Lista 02 - Minerva.ufpel.tche.br - Universidade Federal de Pelotas

Universidade Federal de Pelotas<br />
Instituto de Física e Matemática<br />
Departamento de Matemática e Estatística<br />
Disciplina: Variáveis Complexas (2011/2)<br />
Professor: Cicero Nachtigall<br />
Lista 2<br />
1. Calcule as raízes dos números complexos dados e faça a representação gráfica correspondente.<br />
(a) 3√ −1<br />
(c) √ −2i<br />
(b) √ 2i<br />
(d) 3√ i<br />
2. Decomponha o polinômio P (x) = x 4 + 1 em fatores do 2 o grau com coeficientes<br />
reais.<br />
3. Faça o mesmo com o polinômio P (x) = x 4 + 9.<br />
4. Nos exercícios abaixo, decomponha cada polinômio dado em um produto de fatores<br />
do 1 o grau.<br />
(a) P (z) = z 6 − 64<br />
(c) P (z) = 3z 2 − i<br />
(b) P (z) = z 6 + 64<br />
(d) P (z) = 5z 3 + 8<br />
5. Uma raiz n-ésima da unidade z = 1 é chamada de raiz n-ésima primitiva da unidade<br />
se n é o menor inteiro positivo tal que z n = 1. Prove que w = cos(2kπ/n) +<br />
i sin(2kπ/n) é raiz n-ésima primitiva da unidade se e somente se k e n forem primos<br />
entre si. Em consequência, sendo n > 2, as raízes primitivas são sempre em número<br />
maior do que 1; e exatamente n − 1 se n for número primo.<br />
6. Prove que se w = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) é raiz n-ésima primitiva da unidade,<br />
então as n raízes n-ésimas da unidade são dadas por 1, w, w 2 , ..., w n−1 .<br />
7. Prove que 1 + w + w 2 + ... + w n−1 = 0, onde w é qualquer raiz n-ésima da unidade,<br />
diferente de 1.<br />
8. Reduza à forma re iθ cada um dos números complexos dados abaixo e faça os gráficos<br />
correspondentes.<br />
1

(a) 1 + i<br />
(c) −1 + i<br />
(e) 1 + i √ 3<br />
(g) √ 3 + i<br />
(i) − √ 3 − i<br />
(l)<br />
i<br />
1 + i<br />
9. Mostre que e 3+7πi = −e 3<br />
10. Mostre que e 3−2πi<br />
6 ) =<br />
√ √<br />
e(1 − i 3)<br />
.<br />
2<br />
11. Estabeleça as fórmulas de Euler:<br />
cos θ = eiθ + e −iθ<br />
2<br />
12. Sendo z = reiθ , prove que |eiz −r sin θ | = e<br />
(b) 1 − i<br />
(d) −1 − i<br />
(f) 1 − i √ 3<br />
(h) √ 3 − i<br />
(j) −1 − i √ 3<br />
(m) 1 + i√ 3<br />
√ 3 − i<br />
e sin θ = eiθ − e −iθ<br />
13. Prove que e z = 1 ⇔ z = 2kπi, k inteiro. Isto prova, em particular, que e z é função<br />
periódica de período 2πi.<br />
14. (a) Mostre que o plano complexo é um conjunto aberto.(Portanto, seu complementar,<br />
o conjunto vazioφ, é fechado.)<br />
(b) Prove que o conjunto vazio é aberto. (Portanto, o seu complementar, que é o<br />
plano todo, é fechado.)<br />
(c) Prove que qualquer união de conjuntos abertos é um conjunto aberto.<br />
(d) Dê um contra-exemplo para mostrar que uma união de conjuntos fechados pode<br />
não ser um conjunto fechado.<br />
(e) Prove que a interseção de um número finito de conjuntos abertos é um conjunto<br />
aberto.<br />
15. Represente graficamente os conjuntos dados abaixo:<br />
2<br />
2i

(a) Re z < −3.<br />
(c) |z − 2i| > 2.<br />
(e) |z − 1 + i| < 3.<br />
(g) |z| > 2, |arg z| < π.<br />
(i) Re<br />
<br />
1<br />
<<br />
z<br />
1<br />
4 .<br />
(l) Im z 2 < 0.<br />
(b) Im z ≥ 1.<br />
(d) |z + 1| ≤ 2.<br />
(f) z = 0, 0 ≤ arg z < π/3.<br />
(h) 1 < |z + 1 − 2i| < 2.<br />
(j) |3z − 2i| ≤ 5.<br />
(m) Re z 2 > 0.<br />
16. Mostre que cada um dos conjuntos dados abaixo é uma reta. Faça os respectivos<br />
gráficos.<br />
(a) |z − 2| = |z − 3i|.<br />
(c) |z − 1 + i| = |3 + i − z|.<br />
(b) |z + 5| = |z − 1 − i|.<br />
(d) |z + 3 − i| = |z − 4i|.<br />
17. Identifique cada um dos conjuntos de pontos dados abaixo e faça os respectivos<br />
gráficos.<br />
(a) |z − i| + |z + 2| = 3. (b) |z − 2 + i| + |z| ≤ 4.<br />
Respostas:<br />
1. (a) 1 ± i√ 3<br />
2<br />
(c) 1 − i<br />
e −1<br />
2. Pondo w = (1 + i)/ √ 2, temos:<br />
3.<br />
4.<br />
(b) 1 + i<br />
(d) ±√ 3 + i<br />
2<br />
e −i<br />
P (x) = x 4 − i 2 = (x 2 − i)(x 2 + i) = (x 2 − w 2 )(x 2 − w 2 )<br />
= [(x − w)(x + w)][(x − w)(x + w)]<br />
= [(x − w)(x − w)][(x + w)(x + w)]<br />
= (x 2 − √ 2 x + 1)(x 2 + √ 2 x + 1).<br />
3

5.<br />
6.<br />
7.<br />
8. (a) √ 2e iπ/4<br />
9.<br />
10.<br />
11.<br />
12.<br />
13.<br />
(b) √ 2e −πi/4<br />
14. (b) Observe que a proposição<br />
equivale a<br />
(f) 2e −iπ/3<br />
(l) eπi/4<br />
√ 2<br />
x ∈ φ ⇒ x é ponto interior do conjunto φ<br />
x não é ponto interior do conjunto φ ⇒ x /∈ φ.<br />
(d) Observe que a união dos discos fechados |z| ≤ 1 − 1/n é o disco aberto |z| < 1.<br />
15. (i) Observe que Re(1/z) = Re (z/|z| 2 ).<br />
16. (b) Mediatriz do segmento [−5, 1 + i].<br />
17. (a) Elipse de focos i e −2, excentricidade √ 5/3.<br />
4