2 - CPV

matemátiCa
CPV fgv12junadm
CPV O CursinhO que Mais aPrOva na GV
FGV – ADM – Objetiva – PrOva a – 03/junhO/2012
01. Em um período de grande volatilidade no mercado, Rosana
adquiriu um lote de ações e verificou, ao final do dia, que
ele sofrera uma valorização de 8% em relação ao preço pago
na compra. No final do dia seguinte, o mesmo lote sofrera
uma desvalorização de 6% em relação ao valor do final do
dia anterior; nesse momento, isto é, no final do segundo dia,
Rosana decidiu vender o lote e recebeu por ele R$ 10.152,00.
Entre a compra e a venda, ela ganhou x reais.
A soma dos algarismos de x é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Resolução:
Sendo P o valor do lote adquirido por Rosana, temos:
⎛ 8 ⎞ ⎛ 6 ⎞
P . ⎜1
+ 1
⎝⎜
100⎠⎟
. ⎜ −
⎝⎜
100⎠⎟
= 10 152 Þ P = R$ 10.000
Assim, o ganho de capital x é:
x = 10 152 – 10 000 = R$ 152,00
A soma pedida é, portanto, 1 + 5 + 2 = 8
Alternativa D
02. Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices
consecutivos são, respectivamente, (1; 4), (–2; 6) e (0; 8).
A soma das coordenadas do quarto vértice é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
Resolução:
No paralelogramo, a intersecção entre as diagonais é o ponto médio
das mesmas.
D C (0; 8)
M
Portanto:
xA + xC
xM = = + 1 0 1
=
2 2 2
yA + yC
yM = = + 4 8
= 6
2 2
x x
x B +
M = D
y y
y B +
M = D
⇒
⇒
− + x
= D
y
= D
⇒ xD
=
yD
+
A (1; 4)
B (–2; 6)
2
2
1 2
2 2
6
6
2
⎫⎪
3 ⎪
⎬
⎪
⎪
⇒ = 6
⎪
⎪⎭
⎪
A soma pedida é, portanto, 3 + 6 = 9.
⇒ D( 3; 6 )
Alternativa B
1

2
FGV – 03/06/2012 CPV o Cursinho que Mais aprova na GV
03. Quando o preço por unidade de certo modelo de telefone
celular é R$ 250,00, são vendidas 1.400 unidades por mês.
Quando o preço por unidade é R$ 200,00, são vendidas
1.700 unidades mensalmente.
Admitindo que o número de celulares vendidos por mês
pode ser expresso como função polinomial do primeiro
grau do seu preço, podemos afirmar que, quando o preço
for R$ 265,00, serão vendidas:
a) 1.290 unidades
b) 1.300 unidades
c) 1.310 unidades
d) 1.320 unidades
e) 1.330 unidades
Resolução:
Sendo x o preço do celular, y a quantidade vendida e
y = ax + b a função do 1 o grau, temos:
⎧
⎪1400
= a . 250 + b
⎨
⇒ a = –6 e b = 2.900
⎩⎪ 1700 = a . 200 + b
Assim, a função é:
y = –6x + 2.900
Para x = 265, temos:
y = –6 . 265 + 2.900 Þ y = 1.310
Serão, portanto, vendidas 1.310 unidades.
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Alternativa C
⎡a
⎤
⎢ ⎥
04. A matriz ⎢
b ⎥ é a solução da equação matricial AX = M em que:
⎢
⎣c
⎥
⎦
⎡1
2 5⎤
⎡28⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
A = ⎢
0 1 4⎥
e M = ⎢15⎥
⎥ ⎢ ⎥ . Então a
⎢
⎣0
0 3⎥
⎢ 9 ⎥
⎦ ⎣ ⎦
2 + b2 + c2 vale:
a) 67
b) 68
c) 69
d) 70
e) 71
Resolução:
Como AX = M, temos:
⎡1
2 5⎤
⎡a
⎤ ⎡28⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
0 1 4 ⎥
. ⎢
b ⎥
= ⎢15⎥
⎢ ⎥
⎢
⎣0
0 3⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎦ ⎣c
⎦ ⎣ 9 ⎥
⎦
Multiplicando-se as matrizes, obtemos o seguinte sistema:
⎧⎪
a + 2b + 5c = 28 ⎧
⎪
⎪a
= 7
⎪
⎪
⎨ b + 4c = 15 Þ
⎪
⎨b
= 3
⎪
⎪
⎪ 3c = 9
⎪c
=
⎩⎪
⎩⎪
3
Portanto, a 2 + b 2 + c 2 = 7 2 + 3 2 + 3 2 = 67
Alternativa A

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05. Considere a região do plano cartesiano cujos pontos
satisfazem simultaneamente às inequações:
⎧⎪
x + 2y ≤ 6
⎪ x + y ≤ 4
⎨
⎪ x ≥ 0
⎪
⎩⎪
y ≥ 0
A área dessa região é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Resolução:
Representando graficamente a região solicitada, temos:
4
3
y
P 1
P 4
P 3
O ponto P 3 é obtido pela intersecção entre r 1 e r 2 :
⎧x
+ y=
⎨
⎪ 2 6
⎩
⎪
⎪x
+ y=
4 Þ P3 (2; 2)
P2 4
Finalmente, obtemos a área solicitada decompondo o quadrilátero
em dois triângulos:
P4 A1 A2 P3 3
P 1
2
P 3
P 1
r 2
Portanto, A T = A 1 + A 2 = 3 + 4 = 7
2
4
6
P 2
r 1
x
Alternativa B
06. Aplicando 1 real a juros compostos durante 12 anos, obtémse
um montante de 64 reais. Usando a tabela abaixo,
x 1 2 3 4 5 6
x 1 1,4142 1,7321 2 2,2361 2,4495
pode-se dizer que a taxa anual de juros é:
a) 41,42%
b) 73,21%
c) 100%
d) 123,61%
e) 144,95%
Resolução:
3
Dos dados do enunciado e utilizando a fórmula de juros compostos,
temos:
64 = 1 . (1 + i) 12 Þ 1 + i = 12 26 Þ i = 2 – 1
Pela tabela fornecida, concluímos que i = 41,42%.
Alternativa A
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FGV – 03/06/2012 CPV o Cursinho que Mais aprova na GV
07. Uma loja vende semanalmente x relógios quando seu preço
por unidade p, em reais, é expresso por p = 600 – 10x.
A receita semanal de vendas desse produto é R$ 5.000,00
para dois valores de p.
A soma desses valores é:
a) R$ 400,00
b) R$ 450,00
c) R$ 500,00
d) R$ 550,00
e) R$ 600,00
Resolução:
Equação da receita: R = p . x
R = (600 – 10x) . x
Para R = 5000, devemos ter:
(600 – 10x) . x = 5000 Þ –10x 2 + 600x – 5000 = 0 Þ
x 2 – 60x + 500 = 0
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⎧ ⎪
x1= 10 ⇒ p1=
500
⎨
⎪
⎩⎪
x2 = 50 ⇒ p2
= 100
A soma desses valores é, portanto, p 1 + p 2 = 600.
Alternativa E
2x+ 6
08. O número de soluções inteiras da inequação ≥ 0
14 − 2x
é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) infinito
Resolução:
Montando o quadro de sinais, temos:
2x + 6
14 – 2x
–3 7
– + +
+ + –
– + –
S = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
O número de soluções inteiras é, portanto, 10.
Alternativa C

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09. Sob certas condições ambientais, o número de bactérias de
uma colônia cresce exponencialmente (isto é, y = ab x , em
que y é o número de bactérias e x, o tempo), de modo que
esse número dobra a cada hora.
Se em determinado instante há n bactérias, quanto tempo
levará para que seu número atinja o valor 20n?
Use a tabela abaixo para resolver:
x 1 2 3 4 5
log x 0 0,30 0,48 0,60 0,70
a) 4,1 horas
b) 4,3 horas
c) 4,5 horas
d) 4,7 horas
e) 4,9 horas
Resolução:
Do enunciado, temos:
⎧⎪
y = a b
x
⎨
⎪ .
⎪
⎩⎪
b = 2
Þ y = a . 2 x
Considerando que y = n, para x = 0:
n = a . 2 0 Þ a = n
⎧⎪
20n = n 2
x
Para y = 20n, temos: ⎨
⎪ .
⎪
⎩⎪
n ≠ 0
Þ 20 = 2 x
Þ log 20 = log 2 x
Þ log 2 + log 10 = x log 2
Þ x = 13 ,
03 ,
@ 4,3 horas
Alternativa B
5
10. Uma indústria química produz dois produtos A e B em
quantidades diárias x e y, respectivamente. As quantidades
x e y, expressas em toneladas, relacionam-se pela equação
x
2
y
2
+ = 1 .
400 100
A máxima quantidade do produto A que a empresa consegue
produzir diariamente é:
a) 5 toneladas
b) 10 toneladas
c) 15 toneladas
d) 20 toneladas
e) 25 toneladas
Resolução:
2 2
x y
+ = 1 Þ x = – 4y
400 100
2 + 400
Para que x seja máximo, y deve ser mínimo.
Como y, porém, representa a quantidade de produtos B, y ≥ 0:
⎧ ⎪ x= − 4y 2
+ 400
⎨
⎪
⎩⎪
y = 0
Þ x = 400 = 20
Alternativa D
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FGV – 03/06/2012 CPV o Cursinho que Mais aprova na GV
11. Na figura abaixo, o ângulo  do triângulo ABC inscrito na
circunferência é reto. O lado AB mede 4, e o lado AC mede 5.
A área do círculo da figura é:
a) 9,75π
b) 10π
c) 10,25π
d) 10,50π
e) 10,75π
Resolução:
Como  = 90 o e o ângulo está inscrito na circuferência,
temos que BC é o diâmetro.
Dessa forma:
(BC) 2 = 5 2 + 4 2 Þ BC = 41
O raio da circuferência vale, portanto, 41
2 .
Logo, a área do círculo é:
⎛
⎜
A = π . ⎜
⎝⎜
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41
2
⎞
2
⎟
⎠⎟
= π . 41
4
= 10,25π
Alternativa C
12. Uma doença D atinge 1% de certa população. Um exame
e sangue detecta a doença (dá resultado positivo) em 95%
das pessoas que a têm. Por outro lado, o exame detecta
erroneamente (dá resultado positivo) em 10% das pessoas
que não a têm.
Se uma pessoa, escolhida ao acaso na população, fizer o
exame e o resultado for positivo, a probabilidade de que
ela tenha, de fato, a doença é, aproximadamente:
a) 11%
b) 13%
c) 5%
d) 7%
e) 9%
Resolução:
A partir das informações do enunciado, podemos montar um
"diagrama de árvore":
1%
95%
Positivo
Doentes
População
5%
Negativo
10%
Positivo
99%
Sem doença
90%
Negativo
Assim, temos:
Resultado Positivo: 1% . 95% + 99% . 10%
Doentes com resultado positivo: 1% . 95%
Logo, a probabilidade pedida é dada por:
1% . 95%
95 95
P =
= = ≅ 0, 087
1% . 95% + 99% . 10%
95 + 990 1085
Portanto, aproximadamente, 9%.
Alternativa E

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13. No intervalo [0, 4π ], a equação sen 3 x – 2sen 2 x – 5sen x + 6 = 0
tem raízes cuja soma é:
a) 2
b) – 2
c) 6
d) π / 2
e) 3π
Resolução:
sen 3 x – 2sen 2 x – 5sen x + 6 = 0
Considerando sen x = y, temos:
y 3 – 2y 2 – 5y + 6 = 0
Aplicando Briot - Ruffini para y = 1, temos:
1 1 –2 –5 6
1 –1 –6 0
Portanto, (y – 1) (y 2 – y – 6) = 0 Þ y = 1 ou y = 3 ou y = – 2
Logo, sen x = 1 Þ x = p
2 + 2 kπ, k ÎZ.
k = 0 Þ x = p
2
k = 1 Þ x = 5p
2
Portanto, a soma das raízes é
π 5π
+ = 3π
2 2
Alternativa E
7
14. As raízes da equação x k
∞
2 9
∑ 8
k = 0
= têm soma igual a:
a) – 3
b) – 2
c) – 1
d) 0
e) 1
Resolução:
x k
∞
2 9
∑ = Þ
8
k = 0
x0 + x2 + x4 0
x 9
+ ... = = Þ
1 −
2
x 8
1 9
=
2
1 − x 8
Þ 8 = 9 – 9x 2 Þ 9x 2 – 1 = 0
Þ x = 1
3 ou x = - 1
3
Portanto, a soma das raízes é 0.
Alternativa D
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FGV – 03/06/2012 CPV o Cursinho que Mais aprova na GV
15. Um prisma hexagonal tem duas faces hexagonais paralelas,
as bases, e seis faces laterais retangulares.
Quantas diagonais, não das faces, tem esse prisma?
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
Resolução:
Vamos considerar o número de diagonais que “partem” do vértice
A: AI, AJ, AK, isto é, 3 diagonais.
Podemos realizar o mesmo raciocínio para os vertices B, C, D, E, F.
Portanto, o número de diagonais, não das faces, do prisma
hexagonal é d = 6 . 3 = 18.
CPV fgv12junadm
A
G
H
B C
F E
I
L K
D
J
Alternativa A
COmeNtáRiO DO CPV
A prova de Matemática da Fundação Getúlio Vargas Administração
Junho/2012 mostrou-se, como de costume, bem elaborada, com
assuntos distribuídos de forma bastante equilibrada e abrangente.
A dificuldade da prova foi adequada, o que deverá favorecer aos
propósitos da Banca, selecionando os canditados mais preparados.
Distribuição das Questões
6,66% - Progressão Geométrica
6,66% - Inequações
6,66% - Trigonometria
6,66% - Probabilidades
6,66% - Matrizes e Sistemas Lineares
6,66% - Geometria Plana
6,66% - Geometria Espacial
13,33% - Geometria Analítica
13,33% - Matemática Financeira
26,66% - Funções