Cinemática Escalar - Liceu de Estudos Integrados

Cinemática Escalar
Conceitos Básicos
Espaço (S) O espaço de um
móvel num dado instante t é
dado pelo valor da medida
algébrica da sua distância até a
origem dos espaços O.
Variação do espaço (ΔS)
ΔS = S – S0
Velocidade Escalar (v)
Média
Instantânea
Característica: Se v = cte → v = vm
Aceleração Escalar (a)
Média
Instantânea
Característica: Se a = cte → a = am
Classificação dos Movimentos
Progressivo: quando o sentido
do movimento coincidir com a
orientação da trajetória. Nesse
caso teremos: v > 0 e ΔS > 0.0
Retrógrado: quando o sentido do
movimento for contrário à
orientação da trajetória. Nesse
caso teremos: v < 0 e ΔS < 0.
Acelerado: quando o módulo da
velocidade aumenta no decorrer
do tempo. Nesse caso teremos: v
e a têm o mesmo sinal.
Retardado: quando o módulo da
velocidade diminui no decorrer
do tempo. Nesse caso teremos: v
e a têm sinais contrários.
Movimento Uniforme (M.U.)
É todo o movimento no qual a
velocidade escalar permanece
constante no decorrer do tempo.
Função Horária dos Espaços
S = S 0 + v.t
Onde: S 0: espaço inicial e v:
velocidade escalar.
Movimento Uniformemente
Variado (M.U.V.)
É todo o movimento no qual a
aceleração escalar permanece
constante no decorrer do tempo.
Função Horária dos Espaços
S = S0 + v0.t + a.t 2 /2
Onde: S 0: espaço inicial, v 0:
velocidade inicial e a:
aceleração escalar.
Função Horária da Velocidade
v = v 0 + a.t
Equação de Torricelli
Gráfico em Cinemática
Na análise destes gráficos você
deve saber que:
Espaço X Tempo: O valor da
velocidade escalar instantânea é
numericamente igual à tangente
do ângulo determinado pela
curva com o eixo dos tempos.
N
v = tg ө
Função crescente → v > 0
Ponto de Máximo/Mínimo → v = 0
Função decrescente → v < 0
Caso o movimento seja
uniforme, teremos:
Caso o movimento seja
uniformemente variado, teremos:
Velocidade x tempo:
- O valor da velocidade escalar
instantânea é numericamente
igual à tangente do ângulo
determinado pela curva com o
eixo dos tempos.
N
a = tgө
- O valor da variação do espaço
móvel num determinado
intervalo de tempo é
numericamente igual a ao valor
da área delimitada pela curva
com o eixo dos tempos.
N
ΔS = área A.
Valem para essas propriedades
as seguintes dicas:

Função crescente → a > 0
Função decrescente → a < 0
Área “acima” do eixo dos
tempos → ΔS > 0
Área “abaixo” do eixo dos
tempos → ΔS < 0
Aceleração X Tempo: O
valor da área delimitada pela
curva com o eixo dos tempos é
numericamente igual à variação
da velocidade do móvel no
intervalo de tempo considerado.
Vale lembrar que:
Área “acima” do eixo dos
tempos → Δv > 0
Área “abaixo” do eixo dos
tempos → Δv < 0
Lançamento Vertical e
Queda Livre
Todos os corpos que se
movimentam nas proximidades
da superfície da Terra, na
ausência de resistência do ar,
adquirem uma mesma
aceleração constante,
independentemente da sua
massa; essa aceleração será
denominada aceleração da
gravidade g e seu valor
aproximado é 9,8 m/s 2 . Na
resolução dos exercícios
usaremos g = 10 m/s 2 .
Como nessas situações os
corpos se deslocam com
aceleração constante, esse
movimento vertical é um caso
particular de movimento
uniformemente variado. Assim
sendo, você deverá se utilizar
das funções anteriormente
apresentadas no estudo e
equacionamento dos problemas,
lembrando que:
Você deverá tomar um cuidado
muito especial no momento de
atribuir um sinal para o valor da
aceleração. Ele dependerá apenas
da orientação que você atribuir à
trajetória.
i a
ai o
Cinemática Vetorial
Vetores
Um vetor é definido a partir de
um conjunto de três
características: *Módulo *
direção *sentido.
É representado graficamente por
ser uma seta:
Quando quisermos nos referir a
seu módulo (intensidade),
usaremos as notações: ou
Adição de Vetores: Dados dois
vetores e , o vetor soma (ou
resultante) pode ser obtido
graficamente a partir do seguinte
processo.
Regra da Poligonal
Temos que:
O módulo s do vetor soma é
dado pela lei dos co-senos:
Vale relembrar três casos
particulares:
1 o e têm a mesma direção
e sentido:
2 o e têm direção e sentidos
opostos:
ө
3 o e têm direções
perpendiculares:
Subtração de Vetores
O vetor diferença é obtido
graficamente como se mostra a
figura a seguir
O módulo do vetor diferença d é
dado pela lei dos co-senos:
Produto de um vetor por um
número real.
Ao multiplicarmos um vetor
por um número k, obteremos
um outro vetor , tal que:
*módulo de
* direção de
vetor
* sentido de :
: p = .a
do
Decomposição de um vetor
em um par de eixos
Velocidade Vetorial
ө
ө ө
Movimento Circular e
Uniformemente Variado
(M.C.U.V.)

acp = V²/R
at - cte, diferente de 0
ar² = at² + acp²
Movimento Circular e
Uniforme (M.C.U)
Movimento Circular
DINÃMICA
Leis de Newton
1 a Lei de Newton (Princípio da
Inércia) “Se a resultante das
forças que atuam sobre um
ponto material, então este corpo
permanece em repouso ou em
MRU”.
F R = 0
2 a Lei de Newton (Princípio
Fundamental da Dinâmica)
“A resultante das forças que
atuam sobre um ponto material,
é igual ao produto da sua massa
pela sua aceleração”.
F R = m.a
3 a Lei de Newton (Princípio da
ação e reação) “Quando dois
corpos interagem, se o primeiro
aplica sobre o segundo uma
determinada força, este irá
aplicar ao primeiro uma outra
força de mesmo módulo, mesma
direção e sentido contrário”.
Observação 1: Estas forças,
chamadas de ação-reação, nunca
se equilibram, uma vez que atuam
sempre em corpos diferentes.
Observação 2: Dinamômetros
são aparelhos calibrados de tal
forma a registrar a intensidade
da força aplicada a uma de suas
extremidades; são constituídos
por uma mola que se deforma à
medida que se aplica a ela uma
determinada força; seu
funcionamento se baseia na
proporcionalidade existente
entre a intensidade da força
aplicada e a deformação sofrida
pela mola, que se relacionam
através da lei de Hooke:
F el = k . x
Onde k é a deformação da mola.
Plano Inclinado e Força de Atrito.
Plano Inclinado. Para
analisarmos o deslocamento de
um corpo ao longo de um plano
inclinado, projetamos as forças
que atuam sobre o mesmo em
duas direções perpendiculares
entre si; uma delas será paralela
ao plano e a outra perpendicular
ao mesmo. Projetando-se o peso
do corpo, por exemplo, obtemos
as seguintes componentes.
P T = P . sen θ P N = P . cos θ
Na seqüência desta análise
procuramos aplicar as leis de
Newton, analogamente ao que
foi feito nos tópicos anteriores.
Força de Atrito. É a força de
contato, cuja direção é tangente
à superfície de contato entre os
corpos que interagem e de
sentido contrário ao movimento
ou à tendência de movimento.
Na análise do comportamento
da força de atrito, consideramos
três fases distintas:
* repouso: nesta fase a força de
atrito é denominada força de
atrito estática e seu módulo será
igual ao da força solicitante .
fat = F
* iminência de movimento:
quando o corpo se prepara para
iniciar o movimento, a força de
atrito será máxima e seu módulo
é dado por:
Fat est =
Onde: : coeficiente de atrito
dinâmico (cinético) e N: reação
normal.
Eventualmente pode ocorrer que
= .
Movimento de trajetória
curvilínea.
Para um melhor entendimento
das situações a serem
analisadas, decompomos a força
resultante em duas
componentes.
t: componente tangencial: F t = m.a
CP: componente centrípeta:
F CP = m.
Trabalho de uma Força e
Energia Mecânica
Trabalho realizado por uma
força constante.
O trabalho realizado por uma
força constante num
deslocamento AB é calculado por:
Observe que:
Se 0 < θ < 90 0 tr b lh
t r .

Se 90 0 < θ < 180 0 tr b lh
r t t .
Se θ 90 0 tr b lh ul
(forças não realizam trabalho).
Propriedade Gráfica: No
gráfico da componente
tangencial da força em função
do deslocamento, o valor da
área entre a curva e o eixo dos
deslocamentos é numericamente
igual ao trabalho realizado pela
força, seja ela constante ou não.
Trabalho realizado pela força
peso. Para um corpo de massa
m que se desloca de um ponto A
para outro ponto B, o trabalho
realizado pela força peso não
depende da trajetória executada
pelo corpo de A até B e seu
valor é dado por:
T
= m. g.( hA - h B)
Se h A > h B Trabalho motor
Se h A < h B Trabalho resistente
Trabalho realizado pela força
elástica. Consideremos uma
mola ideal sujeita à ação de uma
força , indicada na figura
abaixo, e seja x a deformação
sofrida pela mola. O trabalho
realizado pela mola é dado por:
(k: constante elástica da mola)
Energia cinética de um corpo.
Para um corpo de massa m e
que se desloca com velocidade
v, definimos sua energia
cinética através da expressão:
E C =
Teorema da Energia Cinética.
“O trabalho realizado pela
resultante das forças que atuam
sobre um ponto material é igual
ao valor da variação da energia
cinética desse ponto material.”
Energia Potencial Gravitacional.
Para um corpo de massa m que
se encontra a uma altura h em
relação a um dado nível de
referência, o valor da sua
energia potencial gravitacional é
dado por:
E P = m.g.h
: Corpo acima do referencial
⊖: Corpo abaixo do referencial
Energia Potencial Gravitacional.
Considere uma mola de
constante elástica k e que sofreu
uma deformação x; nestas
condições a energia potencial
elástica da mola será:
Princípio da Conservação de
Energia Mecânica. “Em um
sistema conservativo, a energia
mecânica do mesmo permanece
constante”.
Entenda-se por sistema
conservativo, todo sistema no
qual atuam forças dissipativas,
tais como atrito e força de
resistência do ar.
Chamamos de energia mecânica
de um sistema a soma das
energias potencial e cinética em
cada instante.
Então, para um sistema
conservativo que evolui de um
ponto A para um ponto B,
podemos escrever:
Potência de uma Força. É
definida como sendo o
quociente entre o trabalho
realizado por esta força e o
tempo necessário para isto.
ou
Também pode ser obtida pelo
produto da força pela velocidade
escalar do corpo num dado
instante: P ot = F . v
Impulso e Quantidade de
Movimento
Impulso de uma força constante
Seja uma força constante que
atua sobre um ponto material
durante um intervalo de tempo
t, definimos impulso de
nesse intervalo de tempo como:
O impulso de é uma grandeza
vetorial de mesma direção e
sentido da força .
Se tivermos o gráfico da
intensidade da força em função
do tempo, vale a seguinte
propriedade:
O valor da área entre a curva e o
eixo dos tempos é
numericamente igual ao valor
do impulso no intervalo de
tempo considerado.
Quantidade de movimento de um
corpo
Seja a velocidade de um corpo
de massa m; a quantidade de
movimento deste corpo é
definida como:
A quantidade de movimento de
um corpo é igualmente uma
grandeza vetorial de mesma
direção e sentido da velocidade
vetorial (será também tangente à
trajetória em cada ponto).

Teorema do Impulso
O impulso comunicado a um
corpo pela resultante das forças
que atuam sobre ele é igual à
variação da quantidade de
movimento desse corpo no
intervalo de tempo considerado.
ou
Princípio da conservação da
quantidade de movimento.
Num sistema isolado, a quantidade
de movimento permanece
constante no decorrer do tempo.
Sistema isolado de corpos é
aquele no qual a resultante das
forças externas que atuam sobre
ele é nula.
Choque Mecânico
Choque Unidimensional ou Frontal
Não há mudança na direção dos
movimentos corpos após o choque.
Choque Bidimensional ou Oblíquo
Ocorre com mudança na direção
dos movimentos.
Coeficiente de restituição
Consideremos um choque
qualquer; definimos coeficiente de
restituição através do quociente:
Conservação da Quantidade de
Movimento
Para qualquer tipo de choque vale
o princípio da conservação da
quantidade de movimento, já que
as forças que atuam durante a
interação são internas ao sistema.
Tipos de Choques
Choque Elástico: a energia
cinética do sistema se conserva
antes e depois do choque.
O coeficiente de restituição será:
e = 1
Choque Parcialmente Elástico:
Ocorre com perda de parte energia
cinética do sistema.
O coeficiente de restituição será:
0 < e < 1
Choque Inelástico: Ocorre com
perda máxima de energia cinética.
Como os corpos não se separam
o coeficiente de restituição será:
e = 0
Gravitação
Gravitação Universal
* Leis de Kepler
1 a Lei ou Lei das Órbitas: Os
planetas descrevem órbitas
elípticas em torno do Sol, que
ocupa um dos focos.
2 a Lei ou Lei das áreas: O raio
vetor de um planeta varre áreas
iguais em intervalos de tempo
iguais.
Se o tempo gasto pelo planeta
para se deslocar de P 1 a P 2 for igual
for ao que ele gosta de P 3 a P 4,
então as áreas A 1 e A 2 são iguais.
3 a Lei ou Lei dos Períodos:
Para corpos que orbitam em
torno de um mesmo corpo, é
constante a relação:
Onde: R= Raio médio da órbita
e T = Período de revolução.
Lei de Gravitação Universal
Consideremos dois corpos de
massas m 1e m 2, separados de
tal forma que a distância entre
seus centros de massa seja d.
Entre eles agirá uma força de
atração, cuja intensidade é
dada por:
G= Constante de gravitação
Universal = 6,67.10 -11 N.m 2 /kg 2 .
Variação da Aceleração da
Gravidade com a altura
O valor da aceleração da
gravidade num ponto A situado
a uma altura h da superfície da
Terra é dado por:
Onde: M = massa da Terra e R =
raio da Terra.
Energia Potencial Gravitacional
Dados dois corpos de massa M
e m separados por uma distância
d, a energia potencial desse
sistema, em relação a um
referencial no infinito, é igual a:

Estática
Equilíbrio do Ponto Material
Para que um ponto material
sujeito à ação de um sistema de
forças permaneça em equilíbrio
é necessário que a resultante das
forças que atuam sobre ele seja
nula.
Equilíbrio de corpos extensos
Dada uma força e um ponto 0,
definimos momento de força
em relação ao ponto 0 como:
d = braço de em relação ao
ponto 0.
Para que um corpo extenso
permaneça em equilíbrio é
necessário que duas condições
sejam simultaneamente
satisfeitas: * A resultante das
forças que atuam sobre o corpo
deve ser nula. * A soma de
todos os momentos em relação a
um mesmo ponto deve ser igual
a zero.
Hidrostática
Pressão
Dada uma força que atua
perpendicularmente a uma
superfície de área A, definimos
a pressão exercida pela força
sobre essa superfície como:
Densidade
Considere um corpo de massa m
e seja V o volume ocupado por
ele; o valor de sua densidade
será dado pela expressão:
Teorema de Stevin
Seja um ponto A situado a uma
profundidade h, no interior de
um líquido de densidade d, em
equilíbrio. A pressão no ponto A
pode ser obtida a partir de:
É importante lembrar que
pontos situados à mesma
profundidade, no interior de um
líquido em equilíbrio, estarão
submetidos à mesma pressão.
Princípio de Pascal: todo
acréscimo de pressão
experimentado por um fluido é
transmitido integralmente a
todos os seus pontos.
Princípio de Arquimedes: Um
corpo em contato com um fluido
fica sujeito à ação de uma força
de direção vertical, cuja
intensidade é igual ao peso do
líquido deslocado pelo corpo.
Chamamos essa força de
empuxo.
Ou
Onde V ld = volume do líquido
deslocado = volume imerso.