Pré-Calculo.

Prof. Drª Marília Brasil Xavier
REITORA
Profª. Drª. Maria das Graças Silva
VICE-REITORA
Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida
PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO
Profª. M.Sc. Maria José de Souza Cravo
DIRETORA DO CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
Prof. M.Sc. Antonio Sérgio Santos Oliveira
CHEFE DO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
Prof. M. Sc. Rubens Vilhena Fonseca
COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA
COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA
Pré-Calculo
Rubens Vilhena Fonseca
BELÉM – PARÁ – BRASIL
- 2009 -

MATERIAL DIDÁTICO
ELABORAÇÃO DO CONTEÚDO
Rubens Vilhena Fonseca
EDITORAÇÃO ELETRONICA
Odivaldo Teixeira Lopes
ARTE FINAL DA CAPA
Odivaldo Teixeira Lopes
REALIZAÇÃO

SUMÁRIO
TEORIA DOS CONJUNTOS ............................................................................................................................ 9
DESIGUALDADES REAIS ............................................................................................................................ 12
NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................................................................................ 18
NÚMEROS RACIONAIS .............................................................................................................................. 23
ÁLGEBRA BÁSICA - POTENCIAÇÃO ............................................................................................................ 29
FRAÇÕES ................................................................................................................................................. 34
FRAÇÕES ALGÉBRICAS ............................................................................................................................. 39
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS .................................................................................................... 40
PRODUTOS NOTÁVEIS (33º IDENTIDADES) ................................................................................................ 44
APLICAÇÕES DAS RAZÕES E PROPORÇÕES................................................................................................. 46
REGRAS DE DIVISIBILIDADE ..................................................................................................................... 53
ANÁLISE COMBINATÓRIA ......................................................................................................................... 54
BINÔMIO DE NEWRON .............................................................................................................................. 60
FATORAÇÃO ............................................................................................................................................ 61
EQAÇÕES DO 1º GRAU ............................................................................................................................... 62
ESTUDO DA RETA ..................................................................................................................................... 63
FUNÇÃO QUADRÁTICA (PARÁBOLA) .......................................................................................................... 65
FUNÇÕES REAIS ....................................................................................................................................... 69
FUNÇÕES EXPONENCIAIS .......................................................................................................................... 74
LOGARITMOS ........................................................................................................................................... 78
RELAÇÕES E FUNÇÕES .............................................................................................................................. 81
SEQUÊNCIAS REAIS .................................................................................................................................. 89
GEOMETRIA ESPACIAL: VETORES NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL .................................................................. 97
GEOMETRIA PLANA: VETORES NO PLANO CARTESIANO .............................................................................. 100

Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS
TEORIA DOS CONJUNTOS
Introdução aos conjuntos
Alguns conceitos primitivos
Algumas notações p/ conjuntos
Subconjuntos
Alguns conjuntos especiais
Reunião de conjuntos
N
o estudo de Conjuntos, trabalhamos com
alguns conceitos primitivos, que devem ser
entendidos e aceitos sem definição. Para
um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos
Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos
ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro
deles foi traduzido para o português sob o título
(nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.
Alguns conceitos primitivos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
a. O conjunto de todos os brasileiros.
b. O conjunto de todos os números naturais.
c. O conjunto de todos os números reais tal que
x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra
maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
a. José da Silva é um elemento do conjunto dos
brasileiros.
b. 1 é um elemento do conjunto dos números
naturais.
c. -2 é um elemento do conjunto dos números
reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado
por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência: é a característica associada a um
elemento que faz parte de um conjunto.
a. José da Silva pertence ao conjunto dos
brasileiros.
b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
c. -2 pertence ao conjunto de números reais que
satisfaz à equação x²-4=0.
9
Interseção de conjuntos
Propriedades dos conjuntos
Diferença de conjuntos
Complemento de um conjunto
Leis de Augustus de Morgan
Diferença Simétrica
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence
a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê:
"pertence".
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1
pertence ao conjunto dos números naturais,
escrevemos:
1 N
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que
0 não pertence ao conjunto dos números naturais,
escrevemos:
0 N
Um símbolo matemático muito usado para a
negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.
ALGUMAS NOTAÇÕES PARA
CONJUNTOS
Muitas vezes, um conjunto é representado com os
seus elementos dentro de duas chaves { e } através
de duas formas básicas e de uma terceira forma
geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão
dentro de duas chaves { e }.
a. A={a,e,i,o,u}
b. N={1,2,3,4,...}
c. M={João,Maria,José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais
propriedades.
a. A={x: x é uma vogal}
b. N={x: x é um número natural}
c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os
conjuntos são mostrados graficamente.

SUBCONJUNTOS
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está
contido em B, denotado por A B, se todos os
elementos de A também estão em B. Algumas
vezes diremos que um conjunto A está
propriamente contido em B, quando o conjunto B,
além de conter os elementos de A, contém também
outros elementos. O conjunto A é denominado
subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto
que contém A.
ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui
elementos. É representado por { } ou por Ø. O
conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém
todos os elementos do contexto no qual estamos
trabalhando e também contém todos os conjuntos
desse contexto. O conjunto universo é representado
por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o
conjunto universo.
REUNIÃO DE CONJUNTOS
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de
todos os elementos que pertencem ao conjunto A
ou ao conjunto B.
A B = { x: x A ou x B }
Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então
A B = {a,e,i,o,3,4}.
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e
ao conjunto B.
A B = { x: x A e x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então
A B=Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são
disjuntos.
PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS
1. Fechamento: Quaisquer que sejam os
conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada
10
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
por A B e a interseção de A e B, denotada
por A B, ainda são conjuntos no universo.
2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A,
tem-se que:
A A = A e A A = A
3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A
e B, tem-se que:
A A B, B A B,
A B A, A B B
4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os
conjuntos A e B, tem-se que:
A B equivale a A B = B
A B equivale a A B = A
5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos
A, B e C, tem-se que:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
6. Comutativa: Quaisquer que sejam os
conjuntos A e B, tem-se que:
A B = B A
A B = B A
7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto
vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de
conjuntos, tal que para todo conjunto A, se
tem:
A Ø = A
8. Elemento "nulo" para a interseção: A
interseção do conjunto vazio Ø com qualquer
outro conjunto A, fornece o próprio conjunto
vazio.
A Ø = Ø
9. Elemento neutro para a interseção: O
conjunto universo U é o elemento neutro para a
interseção de conjuntos, tal que para todo
conjunto A, se tem:
A U = A
10. Distributiva: Quaisquer que sejam os
conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C ) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

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DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto
de todos os elementos que pertencem ao conjunto A
e não pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x A e x B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista
como:
COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
O complemento do conjunto B contido no conjunto
A, denotado por CAB, é a diferença entre os
conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os
elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem ao conjunto B.
CAB = A-B = {x: x A e x B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no
conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que
estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a
letra c posta como expoente no conjunto, para
indicar o complemento deste conjunto. Muitas
vezes usamos a palavra complementar no lugar de
complemento.
Exemplos: Ø c = U e U c = Ø.
LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN
1. O complementar da reunião de dois conjuntos
A e B é a interseção dos complementares
desses conjuntos.
(A B) c = A c B c
11
2. O complementar da reunião de uma coleção
finita de conjuntos é a interseção dos
complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An) c = A1 c A2 c ... An c
3. O complementar da interseção de dois
conjuntos A e B é a reunião dos
complementares desses conjuntos.
(A B) c = A c B c
4. O complementar da interseção de uma coleção
finita de conjuntos é a reunião dos
complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An) c = A1 c A2 c ... An c
DIFERENÇA SIMÉTRICA
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o
conjunto de todos os elementos que pertencem à
reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à
interseção dos conjuntos A e B.
A B = {x: x A B e x A B}
O diagrama de Venn-Euler para a diferença
simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se
mostrar que:
1. A = Ø se, e somente se, B = A B.
2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a
operação de diferença simétrica. Usar o ítem
anterior.
3. A diferença simétrica é comutativa.
4. A diferença simétrica é associativa.
5. A A = Ø (conjunto vazio).
6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto
é:
A (B C) = (A B) (A C)
7. A B está contida na reunião de A C e de B
C, mas esta inclusão é própria, isto é:
A B (A C) (B C)

O SISTEMA ORDENADO
DOS NÚMEROS REAIS
DESIGUALDADES REAIS
Sistema ordenado de N os . reais
Reta numerada
Relação de ordem sobre R
Módulo de um número real
Desigualdades reais
Multiplicação de desigualdade
Conjunto solução
Desigualdades equivalentes
Sistema de desigualdades
Desigualdades da Matemática
T
rabalhar com desigualdades é muito
importante em Matemática, mas são
necessários alguns conceitos de ordem sobre
o conjunto R dos números reais para dar
sentido ao estudo de desigualdades. Nosso trabalho
admite que você já sabe o que é um número real e
que também já conhece as principais propriedades
dos reais.
O conjunto R dos números reais pode ser
construído a partir dos 11 postulados (afirmações
aceitas sem demonstração) listados abaixo:
1. Fecho aditivo: Para quaisquer a R e b R, a
soma de a e b, indicada por a+b, também é um
elemento de R.
2. Associatividade aditiva: Para quaisquer a R,
b R e c R, tem-se que (a+b)+c=a+(b+c).
3. Comutatividade aditiva: Para quaisquer aR
e bR, tem-se que a+b=b+a.
4. Elemento neutro aditivo: Existe 0R,
denominado zero, tal que 0+a=a, para todo
aR.
5. Elemento oposto: Para cada a R, existe –a
R tal que a+(-a)=0.
6. Fecho multiplicativo: Para quaisquer aR e
bR, o produto (ou multiplicação) de a e b,
indicado por a×b, por a.b ou simplesmente por
ab, também é um elemento de R.
7. Associatividade multiplicativa: Para
quaisquer aR, bR e cR, tem-se que
(a.b).c=a.(b.c).
8. Comutatividade multiplicativa: Para
quaisquer aR e bR, tem-se que a.b=b.a.
12
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Principais tipos de desigualdades
Desigualdade linear
Desigualdade quadrática
Desigualdade com fração linear (I)
Desig. com produto de fatores
Desig. produto/quociente de fatores
Desigualdade com fração linear (II)
Desigualdade irracional
Desigualdade modular
Desigualdade exponencial
9. Elemento neutro multiplicativo: Existe 1R,
denominado um, tal que 1.a=a, qualquer que
seja aR.
10. Elemento inverso: Para cada aR, sendo a
diferente de zero, existe a -1 R tal que a.a -1 = 1.
É bastante comum usar a -1 = 1/a.
11. Distributividade: Quaisquer que sejam aR,
bR e cR, tem-se que a.(b+c) = a.b + a.c.
Exercícios: Usando apenas os postulados acima, é
possível demonstrar que:
1. Se a=b então a+c=b+c para todo cR.
2. A equação x + a = b possui uma única solução
x = b + (-a).
3. A equação x + a = a possui somente a solução
x = 0.
4. 0 + 0 = 0
5. -(-a) = a para todo aR.
6. Se a = b então a.c = b.c para todo cR.
7. Se a ≠ 0, a equação a.x = b possui uma única
solução, dada por x = a -1 .b.
8. Se a ≠ 0, a equação a.x = a possui somente a
solução x = 1.
9. 1.1 = 1
10. Se aR com a ≠ 0, então (a -1 ) -1 = a.
11. Para todo aR, tem-se que a.0 = 0.
12. 0.0 = 0
13. Se a.b = 0, então a = 0 ou b = 0.
14. Para quaisquer aR e bR tem-se que (-a).b =-
(a.b).
15. Para quaisquer aR e bR tem-se que (-a) . (b)
= a . b.
16. Para quaisquer aR e bR tem-se que a -1 .b -1 =
(b.a) -1 .

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A RETA NUMERADA
Geometricamente, a reta real pode ser vista como
uma linha reta horizontal tendo a origem em um
ponto O. Ao marcar um outro ponto U,
determinamos um segmento de reta OU e assim o
sentido de O para U é tomado como positivo e o
sentido contrário como negativo.
___________O__________U___________
A origem O recebe o valor zero, que é o elemento
neutro da adição. O segmento OU deve medir uma
unidade, indicada por 1, que é o elemento neutro da
multiplicação.
___________0__________1___________
RELAÇÃO DE ORDEM SOBRE R
Construiremos agora uma relação de ordem. Para
dois números reais a e b, escrevemos aa para
significar que "b é maior do que a". Esta situação
ocorre quando o número a está localizado à
esquerda do número b na reta numerada.
___________a__________b___________
Dizemos que c é positivo se c>0. Do ponto de vista
geométrico, c deve ser marcado à direita de 0.
___________0__________c___________
Esta relação de ordem satisfaz a uma série de
axiomas (objetos matemáticos que são aceitos sem
demonstração), conhecidos como axiomas de
ordem:
1. Tricotomia: Para quaisquer números reais a e
b, somente pode valer uma das três situações
abaixo:
ab
2. Translação: Se a < b então a + c < b + c para
todo c em R.
______a______b______a+c____b+c______
3. Positividade: Se a0 então a.c 0 a.f(x) > 0
f(x) ≤ 0 a > 0 a.f(x) ≤ 0
f(x) ≥ 0 a > 0 a.f(x) ≥ 0
Desigualdade Sinal Produto
f(x) < 0 a < 0 a.f(x) > 0
f(x) > 0 a < 0 a.f(x) < 0
f(x) ≥ 0 a < 0 a.f(x) ≤ 0
f(x) ≥ 0 a < 0 a.f(x) ≤ 0

CONJUNTO SOLUÇÃO DE UMA
DESIGUALDADE
Em uma desigualdade, o que interessa é obtermos o
conjunto solução, que é o conjunto de todos os
números reais para os quais vale a desigualdade.
Para a desigualdade f(x) 0
pois seus conjuntos soluções coincidem, isto é:
S = {x R: x < 2} = (- , 2]
Observação: Para construir o conjunto solução de
uma desigualdade da forma f(x) 20
é S = {xR: x > 20} = (20,), que é a interseção
dos conjuntos soluções das duas desigualdades.
DESIGUALDADES DA MATEMÁTICA
Desigualdades triangulares: Para quaisquer
números reais a e b, tem-se que:
a. |a+b| ≤ |a|+|b|
b. |a-b| ≤ |a|+|b|
c. |a|-|b| ≤ |a-b|
d. ||a|-|b|| ≤ |a-b|
Desigualdades entre médias: Para quaisquer
números reais positivos a e b, tem-se que:
sendo que o termo à esquerda é a média harmônica,
o termo do meio é a média geométrica e o termo à
direita é a média aritmética entre a e b.
Para aprender mais sobre médias e desigualdades,
veja nossos links sobre Máximos e mínimos nesta
Página Matemática Essencial.
PRINCIPAIS TIPOS DE DESIGUALDADES
Existem alguns tipos mais comuns de desigualdades
com números reais. Na sequência, apresentaremos
as formas possíveis e os seus respectivos conjuntos
soluções para os seguintes tipos: Linear,
Quadrática, Fração linear, Produto de fatores,
Produto e quociente de fatores, uma forma
alternativa de Fração linear, Irracional, Modular e
Exponencial
DESIGUALDADE LINEAR
O nome linear provém do fato que a equação da
reta no plano, quase sempre pode ser escrita na
forma y=ax+b. Existem 8 tipos básicos de
desigualdades lineares
ax + b < 0, ax + b> 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0
cujos conjuntos soluções dependem fortemente da
solução (raiz) de ax+b=0.
Desigualdade Sinal Conjunto solução
ax+b0 S=(-,-b/a)
ax+b>0 a>0 S=(-b/a, )
ax+b0 S=(-,-b/a]

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ax+b>0 a>0 S=[-b/a, )
Desigualdade Sinal Conjunto solução
ax+b0 S=(-,r]U[s, )
2. possui somente a raiz real dupla r
Desigualdade Sinal Conjunto solução
ax²+bx+c0 S={ }=
ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,r)U(r, )
ax²+bx+c0 S={r}
ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,)
3. não possui raízes reais
Desigualdade Sinal Conjunto solução
ax²+bx+c0 S={ }=
ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,)
15
ax²+bx+c0 S={ }=
ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,)
4. possui raízes reais r e s com r

Sabemos que cx+d > 0 ou cx+d0. Ao
multiplicar a fração linear por (cx+d)²>0,
eliminaremos a fração e passaremos a ter
(cx+d) (ax+b) < p (cx+d)²
Passando as expressões algébricas para o primeiro
membro, obteremos
(cx+d) [(ax+b) - p(cx+d)] < 0
que ainda pode ser escrita na forma
(cx+d) (mx+n) < 0
onde m=a-pc e n=b-pd. Após as simplificações
possíveis, obtemos uma desigualdade linear ou
quadrática, como o produto de dois fatores lineares.
DESIGUALDADE COM PRODUTO DE
FATORES LINEARES
Se uma desigualdade possui um produto de fatores
lineares, existe o método dos intervalos que facilita
a obtenção do conjunto solução. Iremos mostrar
com um exemplo como funciona este método.
Exemplo: Seja a desigualdade
2(x+3) (x-5) (x-7) > 0
Decompomos a desigualdade acima em três
desigualdades lineares, obter a raiz da expressão
algébrica de cada desigualdade linear, analisar o
sinal de cada uma delas separadamente e realizar o
"produto dos sinais". As raízes das equações
associadas às desigualdades lineares são r = -3, s =
5 e t = 7. A reta R será decomposta em 4 intervalos.
Desigualdade (-,-3) (-3,5) (5,7) (7,)
x+3 - + + +
x-5 - - + +
x-7 - - - +
Produto - + - +
Como o produto dos fatores deve ser positivo, o
conjunto solução é S = (-3,5) (7,).
DESIGUALDADE COM PRODUTO E
QUOCIENTE DE FATORES LINEARES
Quando uma desigualdade possui produtos,
divisões de fatores lineares, ou ambos, o método
dos intervalos facilita a obtenção do conjunto
solução. Mostraremos de novo com um exemplo
16
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Exemplo: Seja a desigualdade
De novo, decompomos esta desigualdade em três
desigualdades lineares, obtemos a raiz de cada
expressão algébrica da desigualdade linear,
analisamos cada uma delas separadamente e
realizamos as operações de produto de sinais ou
divisão de sinais ou ambos
Desigualdade (-,-3) (-3,5) (5,7) (7, )
x+3 - + + +
x-5 - - + +
x-7 - - - +
Produto/Divisão - + - +
O conjunto solução é S = (-3,5) U (7, )
DESIGUALDADE COM
FRAÇÃO LINEAR (II)
Seja uma desigualdade que é uma fração linear,
como por exemplo
que pode ser escrita na forma
(cx + d) (mx + n) < 0
onde m=a–pc e n = b – pd. Os zeros da função
f(x) = (cx+d) (mx+n) = c.m.(x+d/c) (x+n/m)
são r=-d/c e s=-n/m. Admitindo que r 0 o conjunto solução será S = (r,s), mas se
c.m < 0 o conjunto solução deverá ser S = (-, r) U
(s, ).

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Exemplo: Seja a desigualdade
Multiplicando a desigualdade acima por (3x+11)²,
obtemos:
isto é
ou seja
(2x+7) (3x+11) < 2 (3x+11)²
(3x+11) [(2x+7) - 2(3x+11)] < 0
(3x+11) (-4x-15) < 0
Pondo os números 3 e 4 em evidência, obtemos
-12 (x+11/3) (x+15/4) < 0
Multiplicando esta última desigualdade por -1/12,
obtemos
(x+11/3) (x+15/4) > 0
A função f(x) = (x+11/3) (x+15/4) se anula para
r = -11/3 e s = -15/4.
Desigualdade (-,-15/4) (-15/4,-11/3) (-11/3, )
x+11/3 - - +
x+15/4 - + +
Produto + - +
O conjunto solução é S = (-,-15/4) U (-11/3,).
DESIGUALDADE IRRACIONAL
É um tipo de desigualdade que contém expressões
algébricas sob um ou mais radicais. Existem muitas
situações possíveis, mas só usaremos o sinal0, será
indicada por R[z], para reduzir a inserção de
gráficos na página.
Exemplo: O conjunto solução da desigualdade
R[2x+3]+R[x-3]

DESIGUALDADE EXPONENCIAL
São desigualdades onde aparecem funções nos
expoentes e as bases das potências devem ser
números positivos diferentes de 1, condição
importante, pois só podemos definir logaritmos
reais com as bases tendo tais valores. Existe uma
infinidade de casos, mas apenas apresentaremos
dois casos com o sinal >
a x b, a f(x) b
Exemplo: Podemos obter o conjunto solução da
desigualdade
2 4x-3 8
primeiro pela simplificação à forma
2 4x-3 2³
A função f(x)=log2(x), (logaritmo de x na base 2) é
crescente para todo x positivo e a sua aplicação a
INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS
COMPLEXOS
18
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ambos os membros da desigualdade, nos garante
que
que é equivalente a
4x-3 3
x 3/2
Assim, o conjunto solução é
NÚMEROS COMPLEXOS
Introdução aos N os . complexos
Definição de número complexo
Elementos especiais
Operações básicas
Potências e curiosidade sobre i
O inverso de um n o . complexo
Diferença e divisão de complexos
N
a resolução de uma equação algébrica, um
fator fundamental é o conjunto universo
que representa o contexto onde poderemos
encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos
trabalhando no conjunto dos números racionais, a
equação 2x+7=0, terá uma única solução dada por
x=-7/2. assim, o conjunto solução será:
S = { 7/2 }
mas, se estivermos procurando por um número
inteiro como resposta, o conjunto solução será o
conjunto vazio, isto é:
S = Ø = { }
De forma análoga, ao tentar obter o conjunto
solução para a equação x 2 +1=0 sobre o conjunto
dos números reais, obteremos como resposta o
conjunto vazio, isto é:
S = Ø = { }
S = {x em R: x 3/2}
Exemplo: Obtemos o conjunto solução da
desigualdade
2 (x-3)(x-4) > 1
pela aplicação da função logaritmo de base 2 a
ambos os membros da desigualdade. Dessa forma
(x-3) (x-4) > 0
O conjunto solução é S={x R: x < 3 ou x > 4}.
Representação geométrica
Módulo e argumento de complexo
Forma polar e sua multiplicação
Potências na forma polar
Raiz quarta de um complexo
Raiz n-ésima de um complexo
Número complexo como matriz
o que significa que não existe um número real que
elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se
seguirmos o desenvolvimento da equação pelos
métodos comuns, obteremos:
x = R[-1] =
onde R[-1] é a raiz quadrada do número real -1. Isto
parece não ter significado prático e foi por esta
razão que este número foi chamado imaginário, mas
o simples fato de substituir R[-1] pela letra i
(unidade imaginária) e realizar operações como se
estes números fossem polinômios, faz com que uma
série de situações tanto na Matemática como na
vida, tenham sentido prático de grande utilidade e
isto nos leva à teoria dos números complexos.
DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO
Número complexo é todo número que pode ser
escrito na forma
z = a + b i
onde a e b são números reais e i é a unidade
imaginária. O número real a é a parte real do

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número complexo z e o número real b é a parte
imaginária do número complexo z, denotadas por:
a = Re(z) e b = Im(z)
Exemplos de tais números são apresentados na
tabela.
Número
complexo
Parte real
Parte
imaginária
2 + 3 i 2 3
2 - 3 i 2 -3
2 2 0
3 i 0 3
-3 i 0 -3
0 0 0
Observação: O conjunto de todos os números
complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos
números reais pela letra R. Como todo número real
x pode ser escrito como um número complexo da
forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o
conjunto dos números reais está contido no
conjunto dos números complexos.
ELEMENTOS COMPLEXOS ESPECIAIS
1. Igualdade de números complexos: Dados os
números complexos z=a+bi e w=c+di,
definimos a igualdade entre z e w, escrevendo
z = w se, e somente se, a = c e b = d
Para que os números complexos z = 2 + yi e
w = c + 3i sejam iguais, deveremos ter que
c = 2 e y = 3.
2. Oposto de um número complexo: O oposto
do número complexo z = a + bi é o número
complexo denotado por –z =- (a+bi), isto é:
-z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i
O oposto de z = -2 + 3i é o número complexo
–z = 2 -3i.
3. Conjugado de um número complexo: O
número complexo conjugado de z = a + bi é o
número complexo denotado por z*=a-bi, isto é:
z* = conjugado (a+bi) = a + (-b)i
O conjugado de z = 2 – 3i é o número
complexo z* = 2 + 3i.
OPERAÇÕES BÁSICAS COM NÚMEROS
COMPLEXOS
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Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di,
podemos definir duas operações fundamentais,
adição e produto, agindo sobre eles da seguinte
forma:
z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
Observação: Tais operações lembram as operações
com expressões polinomiais, pois a adição é
realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx) +
(c+dx) = (a+c) + (b+d)x e a multiplicação
(a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo
que aparece na forma:
a + b x
c + d x X
ac + bcx
adx + bdx²
ac + (bc+ad)x + bdx²
de forma que devemos substituir x 2 por -1.
Exemplos:
1. Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-
6i)=6-3i.
2. Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-
4+0i.
POTÊNCIAS E CURIOSIDADE SOBRE A
UNIDADE IMAGINÁRIA
Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma
sequência de valores muito simples para as
potências de i:
Potência i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 i 7 i 8 i 9
Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i
Pela tabela acima podemos observar que as
potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4,
fornecem o resultado 1, logo toda potência de i
pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de
4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa
forma podemos calcular rapidamente qualquer
potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão
do expoente por 4.
Exercício: Calcular os valores dos números
complexos: i 402 , i 4033 e i 1998 . Como exemplo:
i 402 =i 400 .i 2 = 1.(-1) = -1
Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um
número complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b)
no plano cartesiano, a multiplicação de um número
complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta
em um outro número complexo w=-b+ai, que forma

um ângulo reto (90 graus) com o número complexo
z=a+bi dado.
Exercício: Tomar um número complexo z,
multiplicar por i para obter z1=i.z, depois
multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i.z1.
Continue multiplicando os resultados obtidos por i
até ficar cansado ou então use a inteligência para
descobrir algum fato geométrico significativo neste
contexto. Após constatar que você é inteligente,
faça um desenho no plano cartesiano contendo os
resultados das multiplicações.
O INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado o número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b
deve ser diferente de zero) definimos o inverso de z
como o número z -1 =u+iv, tal que
z . z -1 = 1
O produto de z pelo seu inverso z-1 deve ser igual a
1, isto é:
(a+bi).(u+iv) = (au-bv)+(av+bu)i = 1 = 1+0.i
o que nos leva a um sistema com duas equações e
duas incógnitas:
a u - b v = 1
b u + a v = 0
Este sistema pode ser resolvido pela regra de
Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são
diferentes de zero), fornecendo:
u = a/(a2+b2)
v = -b/(a2+b2)
assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:
Obtenção do inverso de um número complexo: Para
obter o inverso de um número complexo, por
exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se:
Escrever o inverso desejado na forma de uma
fração
Multiplicar o numerador e o denominador da fração
pelo conjugado de z
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Lembrar que i2 = -1, simplificar os números
complexos pela redução dos termos semelhantes,
para obter
DIFERENÇA E DIVISÃO DE NÚMEROS
COMPLEXOS
Diferença de números complexos: A diferença entre
os números complexos z=a+bi e w=c+di é o
número complexo obtido pela soma entre z e -w,
isto é: z-w=z+(-w).
Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e
w=5+12i é z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-
9i.
Divisão de números complexos: A divisão entre os
números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo)
é definida como o número complexo obtido pelo
produto entre z e w-1, isto é: z/w=z.w-1.
Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i
por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e o
denominador da fração z/w pelo conjugado de w:
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
DE UM NÚMERO COMPLEXO
Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser
representado do ponto de vista geométrico no plano
cartesiano, como um ponto (par ordenado)
tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real
do número complexo a no eixo OX e a ordenada
como a parte imaginária do número complexo z no
eixo OY, sendo que o número complexo 0=0+0i é
representado pela própria origem (0,0) do sistema.
MÓDULO E ARGUMENTO DE
UM NÚMERO COMPLEXO
Módulo de um número complexo: No gráfico
anterior observamos que existe um triângulo
retângulo cuja medida da hipotenusa é a distância
da origem 0 ao número complexo z, normalmente
denotada pela letra grega ro nos livros, mas aqui
denotada por r, o cateto horizontal tem
comprimento igual à parte real a do número
complexo e o cateto vertical corresponde à parte
imaginária b do número complexo z.

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Desse modo, se z=a+bi é um número complexo,
então r2=a2+b2 e a medida da hipotenusa será por
definição, o módulo do número complexo z,
denotado por |z|, isto é:
Argumento de um número complexo: O ângulo ø
formado entre o segmento OZ e o eixo OX, é
denominado o argumento do número complexo z.
Pelas definições da trigonometria circular temos as
três relações:
cos(ø)=a/r, sen(ø)/r, tan(ø)=b/a
Por experiência, observamos que é melhor usar o
cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o
argumento, uma vez que a tangente apresenta
alguns problemas.
FORMA POLAR E SUA MULTIPLICAÇÃO
Forma polar de um número complexo: Das duas
primeiras relações trigonométricas apresentadas
anteriormente, podemos escrever:
z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) = r (cos ø + i sen ø)
e esta última é a forma polar do número complexo
z.
Multiplicação de complexos na forma polar:
Consideremos os números complexos:
z = r (cos m + i sen m)
w = s (cos n + i sen n)
onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n
são os argumentos destes números complexos z e
w.
Realizamos o produto entre estes números da forma
usual e reescrevemos o produto na forma:
z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]
Este fato é garantido pelas relações:
cos(m+n) = cos(m) cos(n) - sen(m) sen(n)
sen(m+n) = sen(m) cos(n) + sen(n) cos(m)
POTÊNCIA DE UM NÚMERO COMPLEXO
NA FORMA POLAR
Seguindo o produto acima, poderemos obter a
potência de ordem k de um número complexo.
Como
então
z = r [cos(m) + i sen(m)]
zk = rk [cos(km) + i sen(km)]
Exemplo: Consideremos o número complexo
z=1+i, cujo módulo é a raiz quadrada de 2 e o
21
argumento é /4 (45 graus). Para elevar este
número à potência 16, basta escrever:
z16 = 28[cos(720o)+isen(720o)]=256
RAIZ QUARTA DE UM NÚMERO
COMPLEXO
Um ponto fundamental que valoriza a existência
dos números complexos é a possibilidade de extrair
a raiz de ordem 4 de um número complexo, mesmo
que ele seja um número real negativo, o que
significa, resolver uma equação algébrica do 4o.
grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do
número -16, devemos obter as quatro raízes da
equação algébrica x4+16=0.
Antes de apresentar o nosso processo para a
obtenção da raiz quarta de um número complexo w,
necessitamos saber o seu módulo r e o seu
argumento t, o que significa poder escrever o
número complexo na forma polar:
w = r (cos t + i sen t)
O primeiro passo é realizar um desenho mostrando
este número complexo w em um círculo de raio r e
observar o argumento t, dado pelo angulo entre o
eixo OX e o número complexo w.
O passo seguinte é obter um outro número
complexo z(1) cujo módulo seja a raiz quarta de r e
cujo argumento seja t/4. Este número complexo é a
primeira das quatro raizes complexas procuradas.
z(1) = r1/4 [cos(t/4)+isen(t/4)]
As outras raízes serão:
z(2) = i z(1)
z(3) = i z(2)
z(4) = i z(3)
Todas aparecem no gráfico, mas observamos que
este processo para obter as quatro raízes do número
complexo w ficou mais fácil pois temos a
propriedade geométrica que o número complexo i
multiplicado por outro número complexo, roda este
último de 90 graus e outro fato interessante é que
todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a
mesma circunferência e os ângulos formados entre
duas raízes consecutivas é de 90 graus.

Se os quatro números complexos forem ligados,
aparecerá um quadrado rodado de t/4 radianos em
relação ao eixo OX.
Raiz n-ésima de um número complexo
Existe uma importantíssima relação atribuída a
Euler:
e i.t = cos(t) + i sen(t)
que é verdadeira para todo argumento real e a
constante e tem o valor aproximado 2,71828... Para
facilitar a escrita usamos frequentemente:
exp(i t) = cos(t) + i sen(t)
Observação: A partir da relação de Euler, é
possível construir uma relação notável envolvendo
os mais importantes sinais e constantes da
Matemática:
Voltemos agora à exp(it). Se multiplicarmos o
número e it por um número complexo z, o resultado
será um outro número complexo rodado de t
radianos em relação ao número complexo z.
Por exemplo, se multiplicarmos o número
complexo z por exp(i/8)=cos(/8)+i sen(/8),
obteremos um número complexo z(1) que forma
com z um ângulo /8=22,5graus, no sentido antihorário.
Iremos agora resolver a equação x n =w, onde n é um
número natural e w é um número complexo dado.
Da mesma forma que antes, podemos escrever o
número complexo w=r(cos t+i sent) e usar a relação
de Euler, para obter:
w = r e it
Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a
primeira raiz que é dada pelo número complexo
z(1) = r 1/n e it/n
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Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela
multiplicação recursiva dada por:
onde k varia de 2 até n.
z(k) = z(k-1) e 2i 0/n
Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação
x 8 =-64, observamos a posição do número complexo
w=-64+0i, constatando que o seu módulo é igual a
64 e o argumento é igual a radianos (=180 graus).
Aqui, a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento
da primeira raiz é /8, então z(1) pode ser escrita na
forma polar:
z(1)=2 e i/8 = 2(cos 22,5 o +i sen 22,5 o ) = R[2](1+i)
onde R[2] é a raiz quadrada de 2. Obtemos as
outras raízes pela multiplicação do número
complexo abaixo, através de qualquer uma das
formas:
e 2i/8 =2(cos45 o +i sen 45 o ) = R[2](1+i)/2=0,707(1+i)
Assim:
z(2) = z(1) R[2](1+i)/2
z(3) = z(2) R[2](1+i)/2
z(4) = z(3) R[2](1+i)/2
z(5) = z(4) R[2](1+i)/2
z(6) = z(5) R[2](1+i)/2
z(7) = z(6) R[2](1+i)/2
z(8) = z(7) R[2](1+i)/2
Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8
números complexos e ligue todas as raízes
consecutivas para obter um octógono regular
rodado de 22,5 graus em relação ao eixo OX. Tente
comparar este método com outros que você
conhece e realize exercícios para observar como
aconteceu o aprendizado.
NÚMERO COMPLEXO COMO MATRIZ
Existe um estudo sobre números complexos, no
qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado
como uma matriz quadrada 2x2 da forma:
e todas as propriedades dos números complexos,
podem ser obtidas através de matrizes, resultando
em processos que transformam as características
geométricas dos números complexos em algo
simples.

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RELACIONANDO NÚMEROS
RACIONAIS COM FRAÇÕES
NÚMEROS RACIONAIS
Relacionando n os racionais e frações
Dízima periódica
Números racionais e reais
Geratriz de dízima periódica
Números irracionais
Representação, ordem, simetria
Módulo de um número racional
Um número racional é o que pode ser escrito na
forma
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve
ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero.
Frequentemente usamos m/n para significar a
divisão de m por n. Quando não existe
possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma
letra como q para entender que este número é um
número racional.
Como podemos observar, números racionais podem
ser obtidos através da razão (em Latim:
ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os
números racionais é denotado por Q. Assim, é
comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o
conjunto dos números racionais positivos e Q_ o
conjunto dos números racionais negativos. O
número zero é também um número racional.
No nosso link Frações já detalhamos o estudo de
frações e como todo número racional pode ser posto
na forma de uma fração, então todas as
propriedades válidas para frações são também
válidas para números racionais. Para simplificar a
escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais
para nos referirmos aos números racionais.
DÍZIMA PERIÓDICA
Uma dízima periódica é um número real da forma:
m,npppp...
onde m, n e p são números inteiros, sendo que o
número p se repete indefinidamente, razão pela qual
usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte
que se repete é denominada período.
23
Adição de números racionais
Produto de números racionais
Propriedade distributiva
Potências de números racionais
Raízes de números racionais
Médias aritmética e ponderada
Médias geométrica e harmônica
Em alguns livros é comum o uso de uma barra
sobre o período ou uma barra debaixo do período
ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa
facilidade de escrita na montagem desta Página,
usaremos o período sublinhado.
Exemplos: Dízimas periódicas
1. 0,3333333... = 0,3
2. 1,6666666... = 1,6
3. 12,121212... = 12,12
4. 0,9999999... = 0,9
5. 7,1333333... = 7,13
Uma dízima periódica é simples se a parte decimal
é formada apenas pelo período. Alguns exemplos
são:
1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3
2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63
Uma dízima periódica é composta se possui uma
parte que não se repete entre a parte inteira e o
período. Por exemplo:
1. 0,83333333... = 0,83
2. 0,72535353... = 0,7253
Uma dízima periódica é uma soma infinita de
números decimais. Alguns exemplos:
1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...
3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...
A conexão entre números racionais e números reais
Um fato importante que relaciona os números
racionais com os números reais é que todo número
real que pode ser escrito como uma dízima
periódica é um número racional. Isto significa que
podemos transformar uma dízima periódica em uma
fração.
O processo para realizar esta tarefa será mostrado
na sequência com alguns exemplos numéricos. Para
pessoas interessadas num estudo mais aprofundado
sobre a justificativa para o que fazemos na

sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries
geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo
estudar números racionais do ponto de vista do
Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na
Reta no âmbito do Ensino Superior.
A GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA
Dada uma dízima periódica, qual será a fração que
dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um
número racional denominado a geratriz da dízima
periódica. Para obter a geratriz de uma dízima
periódica devemos trabalhar com o número dado
pensado como uma soma infinita de números
decimais. Para mostrar como funciona o método,
utilizaremos diversos exemplos numéricos.
1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é,
S=0,3. Observe que o período tem apenas 1
algarismo. Iremos escrever este número como
uma soma de infinitos números decimais da
forma:
S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 10 1 =10 (o
período tem 1 algarismo), obteremos:
10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...
Observe que são iguais as duas últimas expressões
que aparecem em cor vermelha!
Subtraindo membro a membro a penúltima
expressão da última, obtemos:
donde segue que
Simplificando, obtemos:
10 S - S = 3
9 S = 3
Exercício: Usando o mesmo argumento que antes,
você saberia mostrar que:
0,99999... = 0,9 = 1
2. Vamos tomar agora a dízima periódica
T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o
período tem agora 2 algarismos. Iremos
escrever este número como uma soma de
infinitos números decimais da forma:
T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100
(o período tem 2 algarismos), obteremos:
100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha,
assim:
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de onde segue que
100 T = 31 + T
99 T = 31
e simplificando, temos que
3. Um terceiro tipo de dízima periódica é
T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe
um número com 1 algarismo após a vírgula
enquanto que o período tem também 1
algarismo. Escreveremos este número como
uma soma de infinitos números decimais da
forma:
R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um
número comum e passe a parte que não se
repete para o primeiro membro para obter:
R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Multiplique agora a soma "infinita" por 10 1 =10
(o período tem 1 algarismo), para obter:
10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima
expressão da última para obter:
Assim:
10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8
10R - 71 - R + 7,1 = 0,8
Para evitar os números decimais,
multiplicamos toda a expressão por 10 e
simplificamos para obter:
Obtemos então:
90 R = 647
4. Um quarto tipo de dízima periódica é
T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe
que o período tem 3 algarismos, sendo que os
dois primeiros são iguais a zero e apenas o
terceiro é não nulo. Decomporemos este
número como uma soma de infinitos números
decimais da forma:
U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...
Manipule a soma "infinita" como se fosse um
número comum e passe a parte que não se
repete para o primeiro membro para obter:
U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

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Multiplique agora a soma "infinita" por
10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para
obter:
1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 +
0,004004004 +...
Observe que são iguais as duas últimas
expressões que aparecem em cor vermelha!
Subtraia membro a membro a penúltima
expressão da última para obter:
Assim:
Obtemos então
1000(U-7) - (U-7) = 4
1000U - 7000 - U + 7 = 4
999 U = 6997
que pode ser escrita na forma:
NÚMEROS IRRACIONAIS
Um número real é dito um número irracional se ele
não pode ser escrito na forma de uma fração ou
nem mesmo pode ser escrito na forma de uma
dízima periódica.
Exemplo: O número real abaixo é um número
irracional, embora pareça uma dízima periódica:
x=0,10100100010000100000...
Observe que o número de zeros após o algarismo 1
aumenta a cada passo. Existem infinitos números
reais que não são dízimas periódicas e dois números
irracionais muito importantes, são:
e = 2,718281828459045...,
Pi = 3,141592653589793238462643...
que são utilizados nas mais diversas aplicações
práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros
de gravidade, previsão populacional, etc...
Exercício: Determinar a medida da diagonal de um
quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado
numérico é um número irracional e pode ser obtido
através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz
quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para
simplificar as notações estranhas.
REPRESENTAÇÃO, ORDEM E
SIMETRIA DOS RACIONAIS
Podemos representar geometricamente o conjunto
Q dos números racionais através de uma reta
numerada. Consideramos o número 0 como a
origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a
25
unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e
por os números racionais da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem
que os números racionais obedecem é crescente da
esquerda para a direita, razão pela qual indicamos
com uma seta para a direita. Esta consideração é
adotada por convenção, o que nos permite pensar
em outras possibilidades.
Dizemos que um número racional r é menor do que
outro número racional s se a diferença r-s é
positiva. Quando esta diferença r-s é negativa,
dizemos que o número r é maior do que s. Para
indicar que r é menor do que s, escrevemos:
r < s
Do ponto de vista geométrico, um número que está
à esquerda é menor do que um número que está à
direita na reta numerada.
Todo número racional q exceto o zero, possui um
elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é
caracterizado pelo fato geométrico que tanto q
como -q estão à mesma distância da origem do
conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:
(a) O oposto de 3/4 é -3/4.
(b) O oposto de 5 é -5.
Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona
como a imagem virtual de algo colocado na frente
de um espelho que está localizado na origem. A
distância do ponto real q ao espelho é a mesma que
a distância do ponto virtual -q ao espelho.
MÓDULO DE UM NÚMERO RACIONAL
O módulo ou valor absoluto de um número racional
q é maior valor entre o número q e seu elemento
oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras
verticais | |, por:
|q| = max{-q,q}
Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.
Do ponto de vista geométrico, o módulo de um
número racional q é a distância comum do ponto q
até a origem (zero) que é a mesma distância do
ponto -q à origem, na reta numérica racional.
A SOMA (ADIÇÃO) DE NÚMEROS
RACIONAIS
Como todo número racional é uma fração ou pode
ser escrito na forma de uma fração, definimos a
adição entre os números racionais a/b e c/d, da
mesma forma que a soma de frações, através de:

Propriedades da adição de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de
adição, isto é, a soma de dois números racionais
ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a + b = b + a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a
todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q + 0 = q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em
Q, tal que
q + (-q) = 0
Subtração de números racionais: A subtração de
dois números racionais p e q é a própria operação
de adição do número p com o oposto de q, isto é:
p - q = p + (-q)
Na verdade, esta é uma operação desnecessária no
conjunto dos números racionais.
A MULTIPLICAÇÃO (PRODUTO)
DE NÚMEROS RACIONAIS
Como todo número racional é uma fração ou pode
ser escrito na forma de uma fração, definimos o
produto de dois números racionais a/b e c/d, da
mesma forma que o produto de frações, através de:
O produto dos números racionais a e b também
pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab
sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais,
devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale
em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois
números com o mesmo sinal é positivo, mas o
produto de dois números com sinais diferentes é
negativo.
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PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE
NÚMEROS RACIONAIS
Fecho: O conjunto Q é fechado para a
multiplicação, isto é, o produto de dois números
racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a × b = b × a
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado
por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q × 1 = q
Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q
diferente de zero, existe q -1 =b/a em Q, tal que
q × q -1 = 1
Esta última propriedade pode ser escrita como:
Divisão de números racionais: A divisão de dois
números racionais p e q é a própria operação de
multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:
p ÷ q = p × q -1
Provavelmente você já deve ter sido questionado:
Porque a divisão de uma fração da forma a/b por
outra da forma c/d é realizada como o produto da
primeira pelo inverso da segunda?
A divisão de números racionais esclarece a questão:
Na verdade, a divisão é um produto de um número
racional pelo inverso do outro, assim esta operação
é também desnecessária no conjunto dos números
racionais.
PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA (MISTA)
Distributiva: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS
RACIONAIS
A potência q n do número racional q é um produto
de n fatores iguais. O número q é denominado a
base e o número n é o expoente.
q n = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:

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a) (2/5)³ = (2/5) (2/5) × (2/5) = 8/125
b) (-1/2)³ = (-1/2) × (-1/2) × (-1/2) = -1/8
c) (-5)² = (-5) × (-5) = 25
d) (+5)² = (+5) × (+5) = 25
Observação: Se o expoente é n=2, a potência q²
pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o
expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q
elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área
do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a
medida do lado do quadrado e o volume do cubo
pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da
aresta do cubo.
RAÍZES DE NÚMEROS RACIONAIS
A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número
racional q é a operação que resulta em um outro
número racional r que elevado à potência n fornece
o número q. O número n é o índice da raiz enquanto
que o número q é o radicando (que fica sob o
estranho sinal de radical).
Leia a observação seguinte para entender as razões
pelas quais evito usar o símbolo de radical neste
trabalho. Assim:
r = R n [q] equivale a q = r n
Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não
implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a
raiz n-ésima de q por R n [q]. Quando n=2,
simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem
2) de um número racional q por R[q].
A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número
racional q é a operação que resulta em um outro
número racional r não negativo que elevado ao
quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.
Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números
racionais.
Exemplos:
a) R³[125] = 5 pois 5³=125.
b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.
c) R[144] = 12 pois 12²=144.
d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um
número racional negativo no conjunto dos números
racionais. A existência de um número cujo
quadrado seja igual a um número negativo só será
estudada mais tarde no contexto dos Números
Complexos.
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais
didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o
aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
27
Não existe um número racional não negativo que
multiplicado por ele mesmo resulte em um número
negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional
q é a operação que resulta na obtenção de um um
outro número racional que elevado ao cubo seja
igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos
cálculos são válidos para números positivos,
negativos ou o próprio zero.
Exemplos:
a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.
b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.
c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.
d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a
multiplicação de números racionais, concluímos
que:
1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de
número racional negativo.
2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível
extrair a raiz de qualquer número racional.
MÉDIA ARITMÉTICA E MÉDIA
PONDERADA
Média aritmética: Seja uma coleção formada por n
números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média
aritmética entre esses n números é a soma dos
mesmos dividida por n, isto é:
Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:
12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33
então a idade média do grupo pode ser calculada
pela média aritmética:
o que significa que a idade média está próxima de
39 anos.
Média aritmética ponderada: Consideremos uma
coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3,
..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um
peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ...,
pn. A média aritmética ponderada desses n números
é a soma dos produtos de cada um por seu peso,
dividida por n, isto é:

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha
(com salário por dia), em uma empresa é formado
por sub-grupos com as seguintes características:
12 ganham R$ 50,00
10 ganham R$ 60,00
20 ganham R$ 25,00
15 ganham R$ 90,00
7 ganham R$ 120,00
Para calcular a média salarial (por dia) de todo o
grupo devemos usar a média aritmética ponderada:
MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA
Média geométrica: Consideremos uma coleção
formada por n números racionais não negativos: x1,
x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n
números é a raiz n-ésima do produto entre esses
números, isto é:
G = R n [x1 x2 x3 ... xn]
Exemplo: A a média geométrica entre os números
12, 64, 126 e 345, é dada por:
G = R 4 [12 ×64×126×345] = 76,013
Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com
a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo
perímetro é o menor possível, isto é, o mais
econômico? A resposta a este tipo de questão é
dada pela média geométrica entre as medidas do
comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.
A média geométrica G entre a e b fornece a medida
desejada.
G = R[a × b] = R[64] = 8
Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8
cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo
só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é
p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as
medidas dos comprimentos forem diferentes das
alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.
Interpretação gráfica: A média geométrica entre
dois segmentos de reta pode ser obtida
geometricamente de uma forma bastante simples.
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um
segmento de reta que contenha a junção dos
segmentos AB e BC, de forma que eles formem
segmentos consecutivos sobre a mesma reta.
28
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Dessa junção aparecerá um novo segmento AC.
Obtenha o ponto médio O deste segmento e com
um compasso centrado em O e raio OA, trace uma
semi-circunferencia começando em A e terminando
em C. O segmento vertical traçado para cima a
partir de B encontrará o ponto D na semicircunferência.
A medida do segmento BD
corresponde à média geométrica das medidas dos
segmentos AB e BC.
Média harmônica: Seja uma coleção formada por
n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A
média harmônica H entre esses n números é a
divisão de n pela soma dos inversos desses n
números, isto é:
Aplicações práticas: Para as pessoas interessados
em muitas aplicações do conceito de harmônia,
média harmônica e harmônico global, visite o nosso
link Harmonia.

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ÁLGEBRA BÁSICA - POTENCIAÇÃO
Para indicar que um número está elevado à uma
potencia qualquer, colocamos esta potência
como expoente. Veja o exemplo.
5 elevado à potência 4
5 4
Quando dizemos que um número qualquer está
"elevado à potencia 4", por exemplo, estamos
dizendo que este número será multiplicado por ele
mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo
acima:
Veja mais exemplos:
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
2 9 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512
3 3 = 3 · 3 · 3 = 27
8 2 = 8 · 8 = 64
Genericamente podemos representar uma potência:
Onde chamamos "X" de base e "n" de "expoente"
ou "potência".
Com esta definição de potenciação, podemos
efetuar algumas continhas utilizando estas
potências. Por exemplo, podemos multiplicar 5 3 por
5 9 . Veja na próxima página como fazer isso...
Quando estivermos operando uma equação,
diversas vezes encontraremos potências envolvidas
no meio do cálculo.
Existem algumas regras que nos ajudam a mexer
com estas potências.
Irei mostrar as propriedades uma a uma. Sempre
ilustrando com um exemplo para tentar
"demonstrar" de onde veio a regra.
29
MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS
DE MESMA BASE
Esta é a primeira
propriedade pois é a
mais utilizada de
todas.
Por exemplo, se
aparecer o número 5 4
multiplicado por 5 3 ,
Esta é a operação que
queremos efetuar.
Vamos abrir a potência
Agora veja que esta
multiplicação é igual à 5
elevado à potência sete.
Este 7 veio da soma dos
4 fatores de 5 4 com os 3
fatores de 5 3
Daqui nós tiramos a
regra para qualquer
multiplicação de
potências com mesma
base.
Conserva-se a base e
soma-se o expoente.
Genericamente temos:
Esta é a regra. "X" pode
ser qualquer número
(real, imaginário...), que
a regra continuará
valendo.
Conserva-se a base e
soma-se os expoentes.
É muito importante
entendê-la, pois é muito
utilizada.
Note que a base deve ser
a mesma nos fatores, e
ela que aparecerá no
produto.

DIVISÃO DE POTÊNCIAS
DE MESMA BASE
O mesmo raciocínio
mostrado para a
multiplicação, pode
ser aplicado para a
divisão.
O exemplo será 12 6
divididos por 12 2 :
Esta é a divisão que
queremos efetuar.
Vamos novamente abrir
a potência.
Agora podemos cortar
os termos semelhantes
que estão acima e
abaixo da fração.
Portanto podemos
cortar dois fatores 12 de
cima com dois fatores
12 de baixo.
Ao cortar, estaremos
retirando 2 unidades da
potência de cima. Estas
duas unidades são
referentes ao expoente
2 da potência de baixo.
Veja que esta
multiplicação é igual à
12 4 , isto nos dá a regra
para qualquer divisão
de potências com
mesma base.
Conserva-se a base e
subtrai-se os expoentes.
Genericamente, temos:
30
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Novamente, "X" pode
ser qualquer número
(real, imaginário...) que
a regra ainda vale. Estas
são as duas regras mais
utilizadas.
MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE
MESMO EXPOENTE
Até agora vimos
multiplicação e divisão
com termos de mesma
base. E quando não
tiver mesma base??? O
que podemos fazer?
Só podemos efetuar
uma operação quando
tivermos mesma base
ou mesmo expoente. O
que vamos ver agora é
justamente o segundo
caso: expoentes iguais.
O exemplo será
6 5 multiplicados por 9 5 :
Este é o exemplo.
Agora vamos abrir as
potências.
Qualquer multiplicação
tem a propriedade de
comutatividade, ou
seja, se invertermos a
ordem de multiplicação
o valor não se altera.
Então vamos colocar
esta multiplicação em
outra ordem.
Agora temos a
multiplicação 6 · 9
aparecendo 5 vezes.
Então
E esta propriedade
podemos aplicar para
qualquer número.
Conserva-se o expoente
e multiplica-se a base.
Generalizando:

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Os números "X" e "Y"
podem ser quaisquer
números do conjunto
dos complexos.
DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO
EXPOENTE
O mesmo raciocínio
mostrado para a
multiplicação, pode
ser aplicado para a
divisão.
O exemplo será 8 4
divididos por 5 4 :
Este é o exemplo que
iremos usar. Vamos
abrir as potências.
Como temos
multiplicação em cima
e em baixo da fração,
podemos separar em 4
frações multiplicadas
uma pela outra.
E isto é a fração
elevado na potência 4.
E esta propriedade pode
se aplicar para
quaisquer números do
conjunto dos
complexos.
Generalizando,
Os números "X" e "Y"
podem ser quaisquer
números do conjunto
dos números
complexos.
Conserva-se o expoente
e divide-se as bases.
31
POTÊNCIA DE POTÊNCIA
Já vimos as principais
propriedades de operações.
Agora vamos ver quando
tivermos uma potência de
um número que já tem uma
potência. Veja o exemplo:
(4 2 ) 3
O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este
exemplo:
Vamos abrir a potência
de dentro do parênteses
Agora a potência fora
do parênteses diz que
devemos multiplicar o
que tem dentro do
parênteses três vezes,
E isso nos dá a potência
4 6 . E agora tiramos
outra regra para
potências.
Generalizando, ficamos
com:
Onde "a" e "b" podem
ser quaisquer números
do conjunto dos
complexos.
Potência de potência,
multiplica-se os
expoentes.

ATENÇÃO
32
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Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte
precaução, veja os exemplo:
(-5) 2 = (-5) · (-5) = +25
(-2) 4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16
Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se
comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação "menos com menos dá mais":
E se tivermos um expoente ímpar?
(-5) 2 = 52 = 25
(-2) 4 = 24 = 16
Se "k" for PAR (-X) k = X k
(-5) 3 = (-5) · (-5) · (-5) Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5) 2 =
+ 25, substituindo ao lado:
(-5) 3 = 25·(-5)=-125 Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer
expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta
PEGA-RATÃO
(-5) 2 é totalmente diferente de -5 2 . No primeiro caso o sinal de menos também está
elevado ao quadrado, então a resposta é +25. Já no segundo caso, o menos não está
elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.
Para representar números muito grandes ou até
mesmo efetuar cálculos com eles, é utilizado
potências com algumas bases fixas. Uma das bases
mais utilizadas é a base DEZ.
ÁLGEBRA BÁSICA – POTÊNCIA
DE BASE DEZ
Como foi dito no início, podemos ter qualquer tipo
de base para uma potência. Em certos casos é muito
utilizado a escrita na forma de "BASE DEZ". Que é
o que iremos estudar neste tópico.
Vamos começar mostrando uma propriedade
SUPER básica de uma multiplicação de um número
qualquer por 10.
5 x 10 = 50
52 x 10 = 520
458 x 10 = 4580
30 x 10 = 300
Note que sempre que multiplicamos qualquer
número inteiro por 10, acrescentamos um zero à
direita deste número e obtemos o resultado, não
interessa por quais e por quantos algarismos é
formado este número.
Vamos pegar o número 256 e multiplicá-lo por 10
três vezes:
256 x 10 = 2560
2560 x 10 = 25600
25600 x 10 = 256000
Ao multiplicar por 10 três vezes, acrescentamos três
zeros à direita do número.
Veja que o número 256000 pode ser escrito como
256 x 10 x 10 x 10. Ou seja:
256000 = 256 x 10 x 10 x 10
Aplicando potênciação na multiplicação do 10,
temos:
256000 = 256 x 103
Bom, este exemplo não foi muito satisfatório, pois
escrever 256000 ou 256 x 103 acaba dando o
mesmo trabalho. Mas veja agora o número abaixo:
12450000000000000000000000000000
Para representá-lo em uma forma mais compacta,
utilizaremos a potência de base DEZ:
12450000000000000000000000000000 = 1245 x 1028

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Note que para este tipo de número, o expoente da
base 10 será igual ao número de zeros à direita que
existem no número a ser representado.
Potências de base DEZ também são utilizadas para
"movimentar a vírgula" de um número decimal.
Vamos ver agora uma outra propriedade básica de
DIVISÃO por 10.
5 ÷ 10 = 0,5
52 ÷ 10 = 5,2
458 ÷ 10 = 45,8
30 ÷ 10 = 3,0
Note que ao dividir por 10, o resultado será
composto pelos algarismos do dividendo (número a
ser dividido), sendo que este resulta
do terá um destes algarismos DEPOIS da vírgula.
Número sem virgular
254 ÷ 10 = 25,4
Resultado tem os mesmos algarismos, com UM
algarismo APÓS a vírgula.
Agora, se pegarmos este resultado e dividirmos
novamente por 10. O que irá acontecer? Veja o
quadro abaixo:
Número a ser dividido
25,4 ÷ 10 = 2,54
Resultado tem os mesmos algarismos, só que
agora com DOIS algarismos APÓS a vírgula.
Note que cada vez que dividimos por 10, a vírgula
"se movimenta" uma casa para esquerda. Vamos
dividir novamente para confirmar.
Número a ser dividido
2,54 ÷ 10 = 0,254
Resultado tem os mesmos algarismos, agora com
TRÊS algarismos APÓS a vírgula. Como o
número só tinha três algarismos, colocamos um
zero à esquerda, para não ficar ,254
Portanto, podemos dizer que 0,254 é igual a 254
dividido por 10 três vezes, ou seja:
Aqui devemos ver que, dividir um número por 10 é
a mesma coisa que multiplicar pela fração .
Aplicando esta propriedade:
Agora, aplicando as propriedades de potênciação:
33
Esta notação (forma de apresentar o valor) é
também chamada de notação científica. Para
números extremamenta pequenos ou absurdamente
grandes é muito utilizada.
Continuando no exemplo acima. Se multiplicarmos
por 10, iremos desfazer a "movimentação" para
esquerda, ou seja, a vírgula irá "se movimentar"
para direita.
0,254 x 10 = 2,54
Então, se multiplicarmos por 10 três vezes,
voltaremos para 254:
RESUMÃO
0,254 x 10 x 10 x 10 = 254
0,254 x 103 = 254
Quando temos um número multiplicado por uma
potência de base 10 positiva, indica que iremos
"aumentar" o número de zeros à direita ou
"movimentar" para direita a vírgula tantas casas
quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns
exemplos:
54 x 105 = 5400000
Acrescentamos 5 zeros à direita do 54
2050 x 102 = 205000
Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050
0,00021 x 104 = 2,1
"Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita
0,000032 x 103 = 0,032
"Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita
54 x 10 – 5 = 0,00054
"Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda
2050 x 10-2 = 20,5
"Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda.
Lembrando que 20,5 = 20,50
0,00021 x 10 – 4 = 0,000000021
"Movimentamos" a vírgula 4 casas para esquerda
0,000032 x 10-3 = 0,000000032
"Movimentamos" a vírgula 3 casas para esquerda
32500000 x 10-4 = 3250
"Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita

Quando temos um número multiplicado por uma
potência de base 10 negativa, indica que iremos
"diminuir" o número de zeros à direita ou
"movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas
quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns
exemplos:
Agora vamos mostrar um exemplo de uso desta
matéria:
– Calcule o valor de :
– Primeiro de tudo vamos colocar todos números
em notação científica (potências de base DEZ):
ELEMENTOS HISTÓRICOS
SOBRE FRAÇÕES
FRAÇÕES
Histórico sobre frações
Frações
Construindo frações
Definição de fração
Leitura de frações
Tipos de frações
Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós
do Egito realizavam marcação das terras que
ficavam às margens do rio Nilo, para a sua
população. Mas, no período de junho a setembro, o
rio inundava essas terras levando parte de suas
marcações. Logo os proprietários das terras tinham
que marcá-las novamente e para isso, eles
utilizavam uma marcação com cordas, que seria
uma espécie de medida, denominada estiradores de
cordas.
As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e
assim verificavam quantas vezes aquela unidade de
medida estava contida nos lados do terreno, mas
raramente a medida dava correta no terreno, isto é,
não cabia um número inteiro de vezes nos lados do
terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de
criar um novo tipo de número - o número
fracionário, onde eles utilizavam as frações.
Introdução ao conceito de fração
Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como
por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes
que não são do mesmo tamanho.
34
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
– Vamos organizar os termos, para facilitar o
cálculo:
– Agora ficou fácil. É só calcular o lado direito da
multiplicação e aplicar as propriedades de
potênciação no lado esquerdo para calcular.
Fazendo isso, temos:
1024 x 10-1 = 102,4
Propriedades fundamentais
Fração=classe de equivalência
Número misto
Simplificação de frações
Comparação de frações
Divisão de frações
Logo isso daria uma grande confusão, pois quem
ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a
parte menor? É lógico que alguém sairia no
prejuízo.
Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos
comprar chocolate. Eles compraram duas barras de
chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a
comer quando chegou uma de suas melhores
amigas e vieram as perguntas: Quem daria um
pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho
do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte
conclusão:
Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um
daria metade do chocolate para a amiga.
Você concorda com esta divisão? Por quê?
Como você poderia resolver esta situação para
que todos comessem partes iguais?
O que você acha desta frase: Quem parte e
reparte e não fica com a melhor parte, ou é
bobo ou não tem arte.

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ELEMENTOS GERAIS PARA A
CONSTRUÇÃO DE FRAÇÕES
Para representar os elementos que não são tomados
como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o
objeto matemático denominado fração.
O conjunto dos números naturais, algumas vezes
inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que
zero foi um número criado para dar significado nulo
a algo. Nesse momento o conjunto N será
representado por:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Logo, todos os números naturais representam partes
inteiras.
Os números que não representam partes inteiras,
mas que são partes de inteiros, constituem os
números racionais não-negativos, aqui
representados por Q+, onde esta letra Q significa
quociente ou divisão de dois números inteiros
naturais.
Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... }
Numeral: Relativo a número ou indicativo de
número.
Número: Palavra ou símbolo que expressa
quantidade.
DEFINIÇÃO DE FRAÇÃO
Os numerais que representam números racionais
não-negativos são chamados frações e os números
inteiros utilizados na fração são chamados
numerador e denominador, separados por uma linha
horizontal ou traço de fração.
onde Numerador indica quantas partes são tomadas
do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito
sobre o traço de fração e Denominador indica em
quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este
número inteiro deve necessariamente ser diferente
de zero.
Observação: A linguagem HTML (para construir
páginas da Web) não proporciona ainda um método
simples para a implementar a barra de fração, razão
pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o
sinal ÷, para entender a divisão de dois números.
Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser
escrita como:
35
Em linguagem matemática, as fracões podem ser
escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo
como 1/4, considerada mais comum.
1/4 1/4
1/4 1/4
A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A
fração pode ser visualizada através da figura
anexada, sendo que foi sombreada uma dessas
partes.
LEITURA DE FRAÇÕES
(a) O numerador é 1 e o denominador é um
inteiro 1

(c) O numerador é 1 e o denominador é um
múltiplo de 10
Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:
Fração Leitura Leitura Comum
1/10 um dez avos um décimo
1/20 um vinte avos um vigésimo
1/30 um trinta avos um trigésimo
1/40 um quarenta avos um quadragésimo
1/50 um cinqüenta avos um qüinquagésimo
1/60 um sessenta avos um sexagésimo
1/70 um setenta avos um septuagésimo
1/80 um oitenta avos um octogésimo
1/90 um noventa avos um nonagésimo
1/100 um cem avos um centésimo
1/1000 um mil avos um milésimo
1/10000 um dez mil avos um décimo milésimo
1/100000 um cem mil avos um centésimo milésimo
1/1000000 um milhão avos um milionésimo
Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como:
um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.
TIPOS DE FRAÇÕES
A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é
uma fração cujo numerador é um número natural
menor do que o denominador.
1/4 1/4
1/4 1/4
A fração cujo numerador é menor que o
denominador, isto é, a parte é tomada dentro do
inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo
numerador é maior do que o denominador, isto é,
representa mais do que um inteiro dividido em
partes iguais é chamada fração imprópria.
3/3 2/3 5/3 = 1 + 2/3
36
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1/3
1/3
1/3
1/3 + 1/3 = 1 1/3
1/3 1/3 1/3
Fração aparente: é aquela cujo numerador é um
múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração
mas não é, pois representa um número inteiro.
Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo
número inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são
aparentes, pois representam o número inteiro zero.
Frações Equivalentes: São as que representam a
mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os
termos (numerador e denominador) de uma fração
sucessivamente pelos números naturais, teremos um
conjunto infinito de frações que constitui um
conjunto que é conhecido como a classe de
equivalência da fração dada.
1/
2
1/
2
1/
2
1/
4
1/
4
2/4 3/6 4/8
1/
4
1/
4
1/
6
1/
6
1/
6
1/
6
1/
6
1/
6
1/
8
1/
8
1/
8
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS
(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e
denominador) de uma fração por um mesmo
número natural, obteremos uma fração
equivalente à fração dada:
(2) Se é possível dividir os termos (numerador e
denominador) de uma fração por um mesmo
número natural, obteremos uma fração
equivalente à fração dada:
A FRAÇÃO COMO UMA CLASSE DE
EQUIVALÊNCIA
A classe de equivalência de uma fração é o
conjunto de todas as frações equivalentes à fração
dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos
deste conjunto infinito, simplesmente poderemos
tomar a fração mais simples deste conjunto que será
a representante desta classe. Esta fração será
denominada um número racional. Aplicando a
1/
8
1/
8
1/
8
1/
8

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propriedade fundamental, podemos escrever o
conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:
C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, ... }
NÚMERO MISTO
Quando o numerador de uma fração é maior que o
denominador, podemos realizar uma operação de
decomposição desta fração em uma parte inteira e
uma parte fracionária e o resultado é denominado
número misto.
Transformação de uma fração imprópria em um
número misto
Transformação de um número misto em uma
fração imprópria
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em
uma forma mais simples, para que a mesma se torne
mais fácil de ser manipulada.
O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma
fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o
Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o
Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o
Denominador devem ser primos entre si. Essa
simplificação pode ser feita através dos processos
de divisão sucessiva e pela fatoração.
A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois
termos da fração por um mesmo número (fator
comum ) até que ela se torne irredutível.
Respectivamente, dividimos os termos das frações
por 2, 2 e 3.
Observação: Outra maneira de divisão das frações
é obter o Máximo Divisor Comum entre o
Numerador e o Denominador e simplificar a fração
diretamente por esse valor.
Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando
o Máximo Divisor Comum. Como
MDC(54,72)=18, então 54:18=3 e 72:18=4, logo:
37
COMPARAÇÃO DE DUAS FRAÇÕES
(1) Por redução ao mesmo denominador
Se duas frações possuem denominadores
iguais, a maior fração é a que possui maior
numerador. Por exemplo:
(2) Tanto os numeradores como os
denominadores das duas frações são
diferentes
Devemos reduzir ambas as frações a um
denominador comum e o processo depende do
cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os
dois denominadores e este será o denominador
comum às duas frações. Na seqüência, dividese
o denominador comum pelo denominador de
cada fração e multiplica-se o resultado obtido
pelo respectivo numerador.
Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e
3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos
que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as
frações ao mesmo denominador comum 15,
aplica-se a regra de dividir o denominador
comum pelo denominador de cada fração e na
seqüência multiplica-se esse respectivo número
pelo numerador.
Multiplicando os termos da primeira fração por
5 e multiplicando os termos da segunda fração
por 3, obteremos:
Temos então os mesmos denominadores, logo:
e podemos garantir que
(3) As frações possuem um mesmo numerador
Se os numeradores de duas frações forem
iguais, será maior a fração cujo denominador
for menor.
Exemplo: Uma representação gráfica para a
desigualdade

pode ser dada geometricamente por:
3/4=6/8
1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8
3/8
1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8
Observe que a área amarelada é maior na
primeira figura.
DIVISÃO DE FRAÇÕES
Consideremos inicialmente uma divisão D de duas
frações, denotada por:
Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as
duas frações com o mesmo denominador e realizar
a divisão do primeiro numerador pelo segundo
numerador, isto é:
pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a
4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3,
através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6
e 4/6.
3/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
4/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
Realizar a divisão entre dois números fracionários
ou não A e B, é o mesmo que procurar saber
quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas
partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?
38
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No desenho, os numeradores das frações estão em
cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na
primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda
fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja,
em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.
Este argumento justifica a divisão de duas frações
pela multiplicação da primeira fração pelo inverso
da segunda fração e observamos que de fato isto
funciona neste caso:
Na verdade, há um tratamento mais geral que o
deste caso particular. A divisão de um número real
a/b pelo número real c/d é, por definição, a
multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d.
Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

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É o quociente de dois polinômios indicado
na forma fracionária.
SIMPLIFICAÇÃO
Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração
mais simples, que seja equivalente à fração dada.
Para simplificar uma fração algébrica é necessário
fatorar o numerador e o denominador.
Quando o numerador e o denominador da fração
apresentam um fator comum, podemos cancelar
este fator, ao fazer isto estamos simplificando a
fração.
Exemplos :
a)
b)
x
2
2 2
x y
2xy
y
2
( x y)(
x y)
2
( x y)
( x y)(
x
y)
( x y)
( x y)(
x
y
) ( x y)
x 4x
x(
x 4)
x
2x
8 2(
x 4)
2
2
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Para efetuar uma adição ou subtração de frações
algébricas procedemos assim :
1º) reduzimos as frações ao mesmo denominador
(mmc dos denominadores);
2º) conservamos o denominador comum e
adicionamos ou subtraímos os numeradores;
3º) simplificamos os resultados, quando possível.
Exemplos :
a)
1 2 3
2
2x
3x
x
mmc (2x, 3x 2 ,x) = 6x 2
3x
6x
4
6x
18x
6x
2 2 2
4 15x
2
6x
2x
x 5 x 2
b)
2
x 1 x 1
x 1
2x
x 5 x 2
x 1 ( x 1)(
x 1)
x 1
mmc = (x + 1) (x – 1)
2x(
x 1)
x 5 ( x 2)(
x 1)
( x 1)(
x 1)
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
39
2
2
2x
2x
x 5 ( x x 2x
2)
( x 1)(
x 1)
2x
2
2
2x
x 5 x x 2x
2
( x 1)(
x 1)
2
x 4x
3
( x 1)(
x 1)
MULTIPLICAÇÃO
( x 1
)( x 3)
( x 1)(
x
1
)
=
x 3
x 1
Para multiplicar frações algébricas, procedemos
assim :
1º) Fatoramos os numeradores e os denominadores;
2º) Fazemos as simplificações possíveis;
3º) Multiplicamos os numeradores entre si e os
denominadores entre si.
Exemplos:
2
x 1
x 2
a)
( x 1)(
x
1
) ( x
2
) x 1
=
2
x 4 x 1
( x
2
)( x 2)
( x
1
) x 2
2
a b x 4
b)
( a
b
) ( x 2)(
x
2
)
=
2 2
2x 4 a b 2(
x
2
) ( a b)(
a
b
)
x 2
2(
a b)
DIVISÃO
=
x 2
2a
2b
Para dividir frações algébricas, multiplicamos a
primeira pelo inverso da segunda.
Exemplos:
a)
a
2
2
ab a b
b ab
2
a(
a b
) ab
b
( a b)(
a b
)
2
x 2x 1
2 x
b) ( x 1)
2
x 2x
1
x
2
( x 1)
1
=
2
( x 1)
( x 1)(
x 1)
= x
1
3 2
x 3x
3x
1
2
a ab ab
2 2
b a b
=
=
2
2
2
a
a b
2x
1
1
2
2x
1
x 1
=
( x 1)(
x 1)
1
( x 1)(
x 1)
( x 1)(
x 1)

40
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POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
A FUNÇÃO POLINOMIAL
A função polinomial
Grau de um polinômio
Igualdade de polinômios
Soma de polinômios
Produto de polinômios
Espaço vetorial de polinômios
Sobre o grau de um polinômio
Um polinômio (função polinomial) com
coeficientes reais na variável x é uma função
matemática f:R →R definida por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anx n
onde ao, a1, a2, ..., an são números reais,
denominados coeficientes do polinômio. O
coeficiente ao é o termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o
polinômio é denominado polinômio inteiro em x.
Uma das funções polinomiais mais importantes é
f:R→R definida por:
f(x) = a x² + b x + c
O gráfico desta função é a curva plana denominada
parábola, que tem algumas características utilizadas
em estudos de Cinemática, radares, antenas
parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função
quadrática nesta mesma página para entender a
importância da função polinomial quadrática.
O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a
é obtido pela substituição de x pelo número a, para
obter p(a).
Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12
para x=3 é dado por:
p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27
GRAU DE UM POLINÔMIO
Em um polinômio, o termo de mais alto grau que
possui um coeficiente não nulo é chamado termo
dominante e o coeficiente deste termo é o
coeficiente do termo dominante. O grau de um
polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu
termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).
Acerca do grau de um polinômio, existem várias
observações importantes:
1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que
não possui termo dominante. Em estudos mais
Algoritmo da divisão polinomial
Zeros de um polinômio
Eq. algébricas e Transcendentes
Métodos de resolução algébrica
Teorema Fundamental da Álgebra
Algumas identidades polinomiais
Algumas desigualdades polinomiais
avançados, define-se o grau de um polinômio
nulo mas não o faremos aqui.
2. Se o coeficiente do termo dominante de um
polinômio for igual a 1, o polinômio será
chamado mônico.
3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as
suas potências em ordem crescente ou
decrescente.
4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos,
o polinômio será dito incompleto.
5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o
número de termos deste polinômio será menor
do que n+1.
6. Um polinômio será completo quando possuir
todas as potências consecutivas desde o grau
mais alto até o termo constante.
7. Se o grau de um polinômio completo for n, o
número de termos deste polinômio será
exatamente n+1.
É comum usar apenas uma letra p para representar a
função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de
todos os polinômios reais em x.
IGUALDADE DE POLINÔMIOS
Os polinomios p e q em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anx n
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnx n
são iguais se, e somente se, para todo
k=0,1,2,3,...,n:
ak=bk
Teorema: Uma condição necessária e suficiente
para que um polinômio inteiro seja identicamente
nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.
Assim, um polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anx n
será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

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ak= 0
O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].
O polinômio unidade (identidade para o produto)
p1=1 em P[x], é o polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anx n
tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.
SOMA DE POLINÔMIOS
Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos
por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anx n
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnx n
Definimos a soma de p e q, por:
(p+q)(x) = (a o+b o)+(a 1+b 1)x+(a 2+b 2)x²+...+(a n+b n)x n
A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo
conjunto de todos os polinômios com a soma
definida acima, possui algumas propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x],
tem-se que:
(p + q) + r = p + (q + r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x],
tem-se que:
p + q = q + p
Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal
que
po + p = p
qualquer que seja p em P[x].
Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe
outro polinômio q=-p em P[x] tal que
p + q = 0
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é
denominada um grupo comutativo.
PRODUTO DE POLINÔMIOS
Sejam p, q em P[x], dados por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anx n
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnx n
Definimos o produto de p e q, como um outro
polinômio r em P[x]:
r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnx n
tal que:
c k = a ob k + a 1b k-1 + a 2 b k-2 + a 3b k-3 +...+ a k-1 b 1 + a kb o
para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que
para cada termo da soma que gera ck, a soma do
41
índice de a com o índice de b sempre fornece o
mesmo resultado k.
A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo
conjunto de todos os polinômios com o produto
definido acima, possui várias propriedades:
Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x],
tem-se que:
(p · q) · r = p · (q · r)
Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x],
tem-se que:
p · q = q · p
Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal
que
po · p = po
qualquer que seja p em P[x].
Elemento Identidade: Existe um polinômio
p1(x)=1 tal que
p1 · p = p
qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial
é simplesmente denotada por p1=1.
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o
produto de polinômios
Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x],
tem-se que:
p · (q + r) = p · q + p · r
Com as propriedades relacionadas com a soma e o
produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é
denominada anel comutativo com identidade.
ESPAÇO VETORIAL DOS
POLINÔMIOS REAIS
Embora uma sequência não seja um conjunto mas
sim uma função cujo domínio é o conjunto dos
números naturais, usaremos neste momento uma
notação para sequência no formato de um conjunto.
O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser
identificado com o conjunto S das sequências
quase-nulas de números reais , isto é, as sequências
da forma:
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)
Isto significa que após um certo número natural n,
todos os termos da sequência são nulos.
A identificação ocorre quando tomamos os
coeficientes do polinômio
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anx n
e colocamos os mesmos entre parênteses e após o
n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade

infinita de zeros, assim nós temos somente uma
quantidade finita de números não nulos, razão pela
qual tais sequências são denominadas sequências
quase-nulas.
Esta forma de notação
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)
funciona bem quando trabalhamos com espaços
vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a
soma dos elementos e a multiplicação dos
elementos por escalar têm várias propriedades.
Vamos considerar S o conjunto das sequências
quase-nulas de números reais com as operações de
soma, multiplicação por escalar e de multiplicação,
dadas abaixo.
Sejam p e q em S, tal que:
p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...)
q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)
e vamos supor que m < n.
Definimos a soma de p e q, como:
p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)
a multiplicação de p em S por um escalar k, como:
k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)
e o produto de p e q em S como:
sendo que
p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)
ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo
para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).
O conjunto S com as operações definidas é:
associativo, comutativo, distributivo e possui
elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.
CARACTERÍSTICAS DO GRAU DE UM
POLINÔMIO
Se gr(p)=m e gr(q)=n então
gr(p.q) = gr(p) + gr(q)
gr(p+q)

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e x = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x 4 /4! + x 5 /5! +...
assim, a equação
x²+7x=e x
não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer
que esta equação é transcendente.
Quando a equação é da forma:
p(x) = 0
onde p é um polinômio real em P[x], ela será
chamada equação polinomial.
Quando uma equação possui a variável sob um
sinal de radiciação ela é chamada equação
irracional.
Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x ½ =2x+3 são
equações algébricas. A primeira é polinomial, mas
a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma
equação irracional.
Observação: Uma equação algébrica irracional
sempre poderá ser colocada na forma de uma
equação polinomial. Quando uma equação
algébrica irracional é transformada em uma
equação polinomial, as raízes da nova equação
poderão não coincidir com as raízes da equação
original e as raízes obtidas desta nova equação que
não servem para a equação original são
denominadas raízes estranhas.
Exercício: Apresentar uma equação irracional que
tenha raízes estranhas.
Métodos de resolução algébrica
Alguns tipos especiais de equações podem ser
resolvidos.
Equação do 1º grau: A equação ax+b=0 com a
diferente de zero, admite uma única raíz dada por:
x = -b/a
Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com
a diferente de zero, admite exatamente duas raízes
no conjunto dos números complexos, dadas por:
x1=(-b+R[b²-4ac] / 2ª
x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a
onde R[z] é a raiz quadrada de z.
Nesta página há dois links que tratam sobre o
assunto: Equações do Segundo grau que dá um
tratamento mais detalhado sobre o assunto e
Cálculo de raízes de uma Equação do 2º.grau
que é um formulário onde você entra com os
coeficientes e obtém as raízes sem muito esforço.
Equação cúbica: A equação ax³ + bx² + cx + d = 0
com a não nulo, admite exatamente três raízes no
conjunto dos números complexos que podem ser
obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).
43
Equação quártica: A equação ax 4 + bx³ + cx² + dx
+ e = 0 com a não nulo, admite exatamente quatro
raízes no conjunto dos números complexos que
podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.
Equação quíntica: Para equações de grau maior ou
igual a 5, não existem métodos algébricos para
obter todas as raízes, mas existem muitos métodos
numéricos que proporcionam as raízes de tais
equações com grande precisão.
Existe uma versão da planilha Kyplot disponível
gratuitamente na Internet, que dispõe de um
mecanismo capaz de calcular com grande precisão
raízes de equações polinomiais de grau n.
Em Português, há um excelente livro que trata
sobre Equações Algébricas e a história da
Matemática subjacente: "O Romance das Equações
Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São
Paulo, 1999."
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Teorema (Gauss): Toda equação algébrica
polinomial com coeficientes reais ou complexos,
admite no conjunto dos números complexos, pelo
menos uma raiz.
Teorema equivalente: Toda equação algébrica
polinomial de grau n, com coeficientes reais ou
complexos, admite exatamente n raízes, no
conjunto dos números complexos.
Consequência: Toda equação algébrica polinomial
real de grau n, admite no máximo n raízes, no
conjunto dos números reais.
ALGUMAS DESIGUALDADES
POLINOMIAIS
Algumas desigualdades bastante comuns que
podem ser obtidas a partir das identidades
polinomiais:
1. a²+b² > 2ab
2. (a+b)/2 > R[a.b]
3. a²+b²+c² > ab+ac+bc
onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo >
significa maior ou igual.
Há vários livros de Matemática dedicados somente
a desigualdades pois uma grande parte da
Matemática é construída através deste conceito.
Áreas onde existem muitas aplicações para as
desigualdades são a Análise Matemática e a
Programação Linear.

44
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
PRODUTOS NOTÁVEIS (33º IDENTIDADES)
1. Quadrado da soma de dois termos
(a+b)² = a² + b² + 2ab
Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4
2. Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)² = a² + b² - 2ab
Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5
3. Diferença de potências (ordem 2)
a² - b² = (a+b)(a-b)
Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)
4. Cubo da soma de dois termos
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³
5. Cubo da soma de dois termos na forma
simplificada
(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²
6. Cubo da diferença de dois termos
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³
7. Identidade de Fibonacci
(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
Exemplo: (1²+3²) (5²+7²) = (1×5-3×7)² +
(1×7+3×5)²
8. Identidade de Platão
(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²
9. Identidade de Lagrange (4 termos)
(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²
10. Identidade de Lagrange (6 termos)
(a²+b²+c²) (p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²
Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)² =
(1×8-3×7)² + (1×9-5×7)² + (3×9-5×8)²
11. Identidade de Cauchy (n=3)
(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)
Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)
12. Identidade de Cauchy (n=5)
(a+b) 5 - a 5 - b 5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)
Exemplo: (1+2) 5 -1 5 - 2 5 =5 × 1 × 2 × (1+2)
(1²+1×2+2²)
13. Quadrado da soma de n termos
sendo que i < j.
Exemplos:
(a+b)² = a²+b²+2 (ab)
(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab+ac+bc)
(a+b+c+d)² = a² + b² + c² + d² + 2(ab + a c + ad +
bc + bd + cd)
14. Cubo da soma de n termos
3
sendo que i < j e i < j < k.
15. Diferença entre os quadrados da soma e
diferença
(a+b)² - (a-b)² = 4ab
Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9
16. Soma dos quadrados da soma e da diferença
(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)
17. Soma de dois cubos
a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)
18. Soma de dois cubos na forma fatorada
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)
19. Transformação do produto na diferença de
quadrados
ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²
20. Diferença de potências (ordem 4)
a 4 -b 4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)
Exemplo: 5 4 -1 4 =(5-1)(5+1)(5²+1²)
21. Diferença de potências (ordem 6)
a 6 -b 6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
Exemplo: 5 6 -1 6 =(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)
22. Diferença de potências (ordem 8)

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a 8 - b 8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a 4 +b 4 )
Exemplo: 5 8 -1 8 =(5-1)(5+1)(5²+1²)(5 4 +1 4 )
23. Produto de três diferenças
(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-
5)+5×1×(5-1)
24. Produto de três somas
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc
Exemplo: (1+3) (3+5) (5+1) = (1+3+5) (1×3 + 3×5
+ 1×5) - 1×3×5
25. Soma de cubos das diferenças de três termos
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)
Exemplo: (1-3)³ + (3-5)³ + (5-1)³ = 3(1-3) (3-5)
(5-1)
26. Cubo da soma de três termos
(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc
Exemplo: (7+8+9)³ = (7+8-9)³ + (8+9-7)³ + (7+9-
8)³ + 24 × 7 × 8 × 9
27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças
a³(b-c)+b³ (c-a) + c³ (a-b) + (a+b+c) (a-b)(b-c) (a-c) = 0
Exemplo: 2³(4-6) + 4³ (6-2) + 6³ (2-4) + (2+4+6)
(2-4) (4-6) (2-6) = 0
28. Soma de produtos de cubos com diferenças
a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc (a-b) (b-c) (a-c)
Exemplo: 7³(8-9)³ + 8³(9-7)³ + 9³(7-8)³ = 3.7.8.9 (7-
8) (8-9) (7-9)
29. Produto de dois fatores homogêneos de grau
dois
(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a 4 +a² b²+b 4
Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=5 4 +5² 7²+7 4
30. Soma de quadrados de somas de dois termos
(a+b)² + (b+c)² + (a+c)² = (a+b+c)² + a²+b²+c²
Exemplo: (1+3)² + (3+5)² + (1+5)² = (1+3+5)² + 1²
+ 3² + 5²
31. Produto de quadrados de fatores especiais
(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a 4 -b 4 )²
Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(7 4 -3 4 )²
32. Soma de quadrados de express. homogêneas de
grau 1
(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)
Exemplo: (7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-
7)²=3(7²+8²+9²)
33. Identidade de interpolação
45
Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade,
obtemos:

46
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
APLICAÇÕES DAS RAZÕES E PROPORÇÕES
PROPORÇÕES COM NÚMEROS
Proporções com números
Propriedades das Proporções
Grandezas diret. proporcionais
Grandezas invers. proporcionais
Histórico sobre a Regra de três
Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de
zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:
1. Os números A, B, C e D são denominados
termos
2. Os números A e B são os dois primeiros termos
3. Os números C e D são os dois últimos termos
4. Os números A e C são os antecedentes
5. Os números B e D são os consequentes
6. A e D são os extremos
7. B e C são os meios
8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é
uma constante K, denominada constante de
proporcionalidade K dessa razão.
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Para a proporção
valem as seguintes propriedades:
1. O produto dos meios é igual ao produto dos
extremos, isto é:
A · D = B · C
2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos
está para o primeiro termo, assim como a soma
(diferença) dos dois últimos está para o terceiro
termo, isto é:
3. A soma (diferença) dos dois primeiros
termos está para o segundo termo, assim
como a soma (diferença) dos dois últimos
está para o quarto termo, isto é:
Regras de três simples direta
Regras de três simples inversa
Regras de três composta
Porcentagem
Juros simples
4. A soma (diferença) dos antecedentes está
para a soma (diferença) dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o
seu consequente, isto é:
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais
quando, aumentando uma delas, a outra também
aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma
delas, a outra também diminui na mesma
proporção.
Se duas grandezas X e Y são diretamente
proporcionais, os números que expressam essas
grandezas variam na mesma razão, isto é, existe
uma constante K tal que:
Exemplos:
1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa
com água azul. A cada 15 minutos é medida a
altura do nível de água. (cm=centímetros e
min=minutos)
15 minutos
50 cm
30 minutos
100 cm
45 minutos
150 cm

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2. Construímos uma tabela para mostrar a
evolução da ocorrência:
Tempo (min) Altura (cm)
15 50
30 100
45 150
3. Observamos que quando duplica o intervalo de
tempo, a altura do nível da água também
duplica e quando o intervalo de tempo é
triplicado, a altura do nível da água também é
triplicada.
4. Observações: Usando razões, podemos
descrever essa situação de outro modo.
5. (a) Quando o intervalo de tempo passa de 15
min para 30 min, dizemos que o tempo varia na
razão 15/30, enquanto que a altura da água
varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura
varia na razão 50/100. Observamos que estas
duas razões são iguais:
6. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15
min para 45 min, a altura varia de 50 cm para
150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão
15/45 e a altura na razão 50/150. Então,
notamos que essas razões são iguais:
7. Concluímos que a razão entre o valor numérico
do tempo que a torneira fica aberta e o valor
numérico da altura atingida pela água é sempre
igual, assim dizemos então que a altura do
nível da água é diretamente proporcional ao
tempo que a torneira ficou aberta.
8. Em média, um automóvel percorre 80 Km em
1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3
horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos
uma tabela da situação:
Distância (Km) Tempo (h)
80 1
160 2
240 3
47
9. Notamos que quando duplica o intervalo de
tempo, duplica também a distância percorrida e
quando o intervalo de tempo é triplicado, a
distância também é triplicada, ou seja, quando
o intervalo de tempo aumenta, a distância
percorrida também aumenta na mesma
proporção.
10. Observações: Usando razões e proporções,
podemos descrever essa situação de outro
modo.
11. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1
h para 2 h, a distância percorrida varia de 80
Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na
razão de 1/2 enquanto a distância percorrida
varia na razão 80/160. Assim temos que tais
razões são iguais, isto é:
12. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h
para 3 h, a distância percorrida varia de 160
Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na
razão 2/3 e a distância percorrida na razão
160/240 e observamos que essas razões são
iguais, isto é:
13. Concluímos que o tempo gasto e a distância
percorrida, variam sempre na mesma razão e
isto significa que a distância percorrida é
diretamente proporcional ao tempo gasto para
percorrê-la, se a velocidade média do
automóvel se mantiver constante.
GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais
quando, aumentando uma delas, a outra diminui na
mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a
outra aumenta na mesma proporção. Se duas
grandezas X e Y são inversamente proporcionais,
os números que expressam essas grandezas variam
na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal
que:
Exemplos:
X · Y = K
1. A professora de um colégio, tem 24 livros para
distribuir entre os seus melhores alunos, dando
a mesma quantidade de livros para cada aluno.
2. o melhor aluno receberá 24 livros
3. cada um dos 2 melhores alunos receberá 12
livros

4. cada um dos 3 melhores alunos receberá 8
livros
5. cada um dos 4 melhores alunos receberá 6
livros
6. cada um dos 6 melhores alunos receberá 4
livros
Alunos
escolhidos
Livros para
cada aluno
1 24
2 12
3 8
4 6
6 4
7. De acordo com a tabela, a quantidade de alunos
escolhidos e a quantidade de livros que cada
aluno receberá, são grandezas que variam
sendo que uma depende da outra e se
relacionam da seguinte forma:
1. Se o número de alunos dobra, o número de
livros que cada um vai receber cai para a
metade.
2. Se o número de alunos triplica, o número
de livros que cada aluno vai receber cai
para a terça parte.
3. Se o número de alunos quadruplica, o
número de livros que cada aluno vai
receber cai para a quarta parte.
4. Se o número de alunos sextuplica, o
número de livros que cada aluno vai
receber cai para a sexta parte.
Sob estas condições, as duas grandezas
envolvidas (número de alunos escolhidos e
número de livros distribuídos) são grandezas
inversamente proporcionais.
Quando a quantidade de alunos varia na razão
de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos
varia de 12 para 6.
Notemos que essas razões não são iguais, mas
são inversas:
Se a quantidade de alunos varia na razão de 2
para 6, a quantidade de livros distribuídos varia
de 12 para 4. Observemos que essas razões não
são iguais, mas são inversas:
48
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Representamos tais grandezas inversamente
proporcionais com a função f(x)=24/x,
apresentada no gráfico
8. Um automóvel se desloca de uma cidade
até uma outra localizada a 120 Km da
primeira. Se o percurso é realizado em:
9. 1 hora, velocidade média de 120 Km/h
10. 2 horas, velocidade média de 60 Km/h
11. 3 horas, velocidade média de 40 Km/h
A unidade é Km/h=quilômetro por hora e
uma tabela da situação é:
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
120 1
60 2
40 3
De acordo com a tabela, o automóvel faz o
percurso em 1 hora com velocidade média
de 120 Km/h. Quando diminui a
velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o
tempo gasto para realizar o mesmo
percurso dobra e quando diminui a
velocidade para a terça parte, 40 Km/h o
tempo gasto para realizar o mesmo
percurso triplica.
Para percorrer uma mesma distância fixa,
as grandezas velocidade e tempo gasto, são
inversamente proporcionais.

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ELEMENTOS HISTÓRICOS SOBRE A
REGRA DE TRÊS
Embora os gregos e os romanos conhecessem as
proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução
de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram
ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o
italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios
dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco),
com o nome de Regra dos três números
conhecidos.
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
Uma regra de três simples direta é uma forma de
relacionar grandezas diretamente proporcionais.
Para resolver problemas, tomaremos duas
grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras
duas grandezas W e Z também diretamente
proporcionais, de forma que tenham a mesma
constante de proporcionalidade K.
assim
Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!)
colocada verticalmente, foi pendurado um corpo
com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu
um deslocamento no comprimento da mola de
54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de
massa na extremidade dessa mola, qual será o
deslocamento no comprimento da mola?
(Kg=quilograma e cm=centímetro).
Representaremos pela letra X a medida procurada.
De acordo com os dados do problema, temos:
Massa do
corpo (Kg)
Deslocamento da
mola (cm)
10 54
15 X
As grandezas envolvidas: massa e deslocamento,
são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos
valores no problema, podemos obter o quarto valor
X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a
proporção:
Observamos que os números 10 e 15 aparecem na
mesma ordem que apareceram na tabela e os
números 54 e X também aparecem na mesma
49
ordem direta que apareceram na tabela anterior e
desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim
X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.
REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA
Uma regra de três simples inversa é uma forma de
relacionar grandezas inversamente proporcionais
para obter uma proporção.
Na resolução de problemas, consideremos duas
grandezas inversamente proporcionais A e B e
outras duas grandezas também inversamente
proporcionais C e D de forma que tenham a mesma
constante de proporcionalidade K.
segue que
Logo
A · B = K e C · D = K
A · B = C · D
Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1,
um corredor imprimindo a velocidade média de 180
Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua
velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o
tempo gasto no mesmo percurso?
(Km/h=quilômetro por hora, s=segundo).
Representaremos o tempo procurado pela letra T.
De acordo com os dados do problema, temos:
Velocidade (Km/h) Tempo (s)
180 20
200 T
Relacionamos grandezas inversamente
proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo
espaço percorrido. Conhecidos três valores,
podemos obter um quarto valor T.
Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem
que apareceram na tabela, enquanto que os números
20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que
apareceram na tabela acima.
Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600
e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do
corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para
realizar o mesmo percurso.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Regra de três composta é um processo de
relacionamento de grandezas diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma
mistura dessas situações.
O método funcional para resolver um problema
dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas,
sendo que a primeira linha indica as grandezas
relativas à primeira situação enquanto que a
segunda linha indica os valores conhecidos da
segunda situação.
Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados
às grandezas para uma primeira situação e A2, B2,
C2, D2, E2, ... são os valores associados às
grandezas para uma segunda situação, montamos a
tabela abaixo lembrando que estamos interessados
em obter o valor numérico para uma das grandezas,
digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor
numérico Z1 e todas as medidas das outras
grandezas.
Situação
Situação
1
Situação
2
Gra
ndez
a 1
Gran
deza
2
Gran
deza
3
Gran
deza
4
Gran
deza
5
Gra
nd...
Gran
deza ?
A1 B1 C1 D1 E1 … Z1
A2 B2 C2 D2 E2 … Z2
Quando todas as grandezas são diretamente
proporcionais à grandeza Z, resolvemos a
proporção:
Quando todas as grandezas são diretamente
proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda
grandeza (com a letra B, por exemplo) que é
inversamente proporcional à grandeza Z,
resolvemos a proporção com B1 trocada de posição
com B2:
As grandezas que forem diretamente proporcionais
à grandeza Z são indicadas na mesma ordem
(direta) que aparecem na tabela enquanto que as
grandezas que forem inversamente proporcionais à
grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela
que apareceram na tabela.
Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas:
A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C
diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras
duas B e D inversamente proporcionais à grandeza
Z, deveremos resolver a proporção:
50
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Observação: O problema difícil é analisar de um
ponto de vista lógico quais grandezas são
diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais. Como é muito difícil realizar esta
análise de um ponto de vista geral, apresentaremos
alguns exemplos para entender o funcionamento da
situação.
Exemplos:
1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas
produziram 400 peças de uma mercadoria.
Quantas peças dessa mesma mercadoria serão
produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras,
se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?
Vamos representar o número de peças pela
letra X. De acordo com os dados do problema,
vamos organizar a tabela:
No. de
máquinas (A)
No. de dias
(B)
No. de peças
(C)
5 6 400
7 9 X
A grandeza Número de peças (C) servirá de
referência para as outras grandezas.
Analisaremos se as grandezas Número de
máquinas (A) e Número de dias (B) são
diretamente proporcionais ou inversamente
proporcionais à grandeza C que representa o
Número de peças. Tal análise deve ser feita de
uma forma independente para cada par de
grandezas.
Vamos considerar as grandezas Número de
peças e Número de máquinas. Devemos fazer
uso de lógica para constatar que se tivermos
mais máquinas operando produziremos mais
peças e se tivermos menos máquinas operando
produziremos menos peças. Assim temos que
estas duas grandezas são diretamente
proporcionais.
Vamos agora considerar as grandezas Número
de peças e Número de dias. Novamente
devemos usar a lógica para constatar que se
tivermos maior número de dias produziremos
maior número de peças e se tivermos menor
número de dias produziremos menor número
de peças. Assim temos que estas duas
grandezas também são diretamente
proporcionais.
Concluímos que todas as grandezas envolvidas
são diretamente proporcionais, logo, basta
resolver a proporção:

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que pode ser posta na forma
Resolvendo a proporção, obtemos X=840,
assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9
dias serão produzidas 840 peças.
2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre
em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias
esse motociclista irá percorrer 500 Km, se
rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).
Vamos representar o número de dias procurado
pela letra X. De acordo com os dados do
problema, vamos organizar a tabela:
Quilômetros
(A)
Horas por
dia (B)
No. de
dias (C)
200 4 2
500 5 X
A grandeza Número de dias (C) é a que servirá
como referência para as outras grandezas.
Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A)
e Horas por dia (B) são diretamente
proporcionais ou inversamente proporcionais à
grandeza C que representa o Número de dias.
Tal análise deve ser feita de uma forma
independente para cada par de grandezas.
Consideremos as grandezas Número de dias e
Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar
que se rodarmos maior número de dias,
percorreremos maior quilometragem e se
rodarmos menor número de dias percorreremos
menor quilometragem. Assim temos que estas
duas grandezas são diretamente proporcionais.
Na outra análise, vamos agora considerar as
grandezas Número de dias e Horas por dia.
Verificar que para realizar o mesmo percurso,
se tivermos maior número de dias utilizaremos
menor número de horas por dia e se tivermos
menor número de dias necessitaremos maior
número de horas para p mesmo percurso.
Logo, estas duas grandezas são inversamente
proporcionais e desse modo:
que pode ser posta como
51
Resolvendo esta proporção, obtemos X=4,
significando que para percorrer 500 Km,
rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4
dias.
PORCENTAGEM
Praticamente todos os dias, observamos nos meios
de comunicação, expressões matemáticas
relacionadas com porcentagem. O termo por cento
é proveniente do Latim per centum e quer dizer por
cem. Toda razão da forma a/b na qual o
denominador b=100, é chamada taxa de
porcentagem ou simplesmente porcentagem ou
ainda percentagem.
Historicamente, a expressão por cento aparece nas
principais obras de aritmética de autores italianos
do século XV. O símbolo % surgiu como uma
abreviatura da palavra cento utilizada nas
operações mercantis.
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos
10% e isto significa que em cada 100 unidades de
algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser
obtido como o produto de 10% por 80, isto é:
Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8
Em geral, para indicar um índice de M por cento,
escrevemos M% e para calcular M% de um número
N, realizamos o produto:
Produto = M%.N = M.N / 100
Exemplos:
1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo
que 52% dessas fichas estão etiquetadas com
um número par. Quantas fichas têm a etiqueta
com número par? uantas fichas têm a etiqueta
com número ímpar?
Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13
Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com
número par e 12 fichas com número ímpar.
2. Num torneio de basquete, uma determinada
seleção disputou 4 partidas na primeira fase e
venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias
obtida por essa seleção nessa fase?
Vamos indicar por X% o número que
representa essa porcentagem. Esse problema
pode ser expresso da seguinte forma:
Assim:
(X/100).4 = 3
4X/100 = 3
4X = 300
X = 75
X% de 4 = 3

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi
de 75%.
3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse
número corresponde a 42,5% do total de
empregados da indústria. Quantas pessoas
trabalham nesse local? Quantos homens
trabalham nessa indústria?
Vamos indicar por X o número total de
empregados dessa indústria. Esse problema
pode ser representado por:
Assim:
42,5%.X = 255
42,5 / 100.X = 255
42,5.X / 100 = 255
42,5.X = 25500
425.X = 255000
X = 255000/425 = 600
42,5% de X = 255
Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo
que há 345 homens.
4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um
desconto de 8% sobre o preço marcado na
etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria,
qual o preço original dessa mercadoria?
Seja X o preço original da mercadoria. Se
obtive 8% de desconto sobre o preço da
etiqueta, o preço que paguei representa 100%-
8%=92% do preço original e isto significa que
92% de X = 690
logo
92%.X = 690
92/100.X = 690
92.X / 100 = 690
92.X = 69000
X = 69000 / 92 = 750
O preço original da mercadoria era de R$
750,00.
JUROS SIMPLES
Juro é toda compensação em dinheiro que se paga
ou se recebe pela quantia em dinheiro que se
empresta ou que é emprestada em função de uma
taxa e do tempo. Quando falamos em juros,
devemos considerar:
1. O dinheiro que se empresta ou que se pede
emprestado é chamado de capital.
2. A taxa de porcentagem que se paga ou se
recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada
taxa de juros.
52
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma
unidade a que está submetida a taxa, e em caso
contrário, deve-se realizar a conversão para que
tanto a taxa como a unidade de tempo estejam
compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.
4. O total pago no final do empréstimo, que
corresponde ao capital mais os juros, é
denominado montante.
Para calcular os juros simples j de um capital C,
durante t períodos com a taxa de i% ao período,
basta usar a fórmula:
Exemplos:
1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00.
A loja oferece este aparelho para pagamento
em 5 prestações mensais e iguais porém, o
preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se
que a diferença entre o preço à prazo e o preço
à vista é devida aos juros cobrados pela loja
nesse período, qual é a taxa mensal de juros
cobrada por essa loja?
A diferença entre os preços dados pela loja é:
652,00 - 450,00 = 202,50
A quantia mensal que deve ser paga de juros é:
202,50 / 5 = 40,50
Se X% é a taxa mensal de juros, então esse
problema pode ser resolvido da seguinte forma:
X% de 450,00 = 40,50
X/100.450,00 = 40,50
450 X / 100 = 40,50
450 X = 4050
X = 4050 / 450
X = 9
A taxa de juros é de 9% ao mês.
2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma
taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de
juro. Qual foi o capital aplicado?
O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente
de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital
aplicado é indicado por C, esse problema pode
ser expresso por:
3% de C = 960,00
3/100 C = 960,00
3 C / 100 = 960,00
3 C = 96000
C = 96000/3 = 32000,00
O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.

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Centro de Ciências Sociais e Educação
DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por 2 quando é par.
REGRAS DE DIVISIBILIDADE
Números pares são os que terminam em 0, ou 2, ou
4, ou 6 , ou 8.
Exemplo:
42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570
DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos
seus algarismos é divisível por 3.
Exemplo:
123 (S = 1+2+3=6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( S=33) -
570 (S=12)
DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é divisível por 4 quando os dois
últimos algarismos formam um número divisível
por 4.
Exemplo:
956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200
DIVISIBILIDADE POR 5
Um número é divisível por 5 quando termina em
0 ou 5 .
Exemplo:
475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65
DIVISIBILIDADE POR 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível
por 2 e3 ao mesmo tempo.
Exemplo:
36 - 24 - 126 - 1476
DIVISIBILIDADE POR 7
Tomar o último algarismo e calcular seu dobro.
Subtrair esse resultado do número formado pelos
algarismos restantes. Se o resultado for divisível
por 7 então, o número original também será
divisível por 7.
53
Exemplo: 238 8 x 2 = 16
23 – 16 = 7 como 7 é divisível por
7, 238 também é divisível.
693 3 x 2 = 6
69 – 6 = 63
63 3 x 2 = 6
6 – 6 = 0 como 0 é divisível
por 7, 693 também é divisível.
235 5 x 2 = 10
23 – 10 = 13 como 13 não é
divisível por 7, 235 também não é divisível.
DIVISIBILIDADE POR 8
Um número é divisível por 8 quando os três
últimos algarismos formam um número divisível
por 8.
Exemplo:
876.400 - 152 - 245.328.168
DIVISIBILIDADE POR 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos
seus algarismos é divisível por 9.
Exemplo:
36 - 162 - 5463 - 5.461.047
DIVISIBILIDADE POR 10
Um número é divisível por 10 quando termina em
0.
Exemplo:
100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630
DIVISIBILIDADE POR 11
Quando a diferença entre as somas dos algarismos
de ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita
for múltipla de 11.
Exemplo:
7.973.207 S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23
S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferença = 11

INTRODUÇÃO À ANÁLISE
COMBINATÓRIA
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Introdução Análise Combinatória
Arranjos
Permutações
Combinações
Regras gerais Combinatória
Arranjos simples
Permutações simples
Análise Combinatória é um conjunto de
procedimentos que possibilita a construção de
grupos diferentes formados por um número finito
de elementos de um conjunto sob certas
circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z
com m elementos e os grupos formados com
elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a
taxa do agrupamento, com p

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Centro de Ciências Sociais e Educação
PERMUTAÇÕES
Quando formamos agrupamentos com m elementos,
de forma que os m elementos sejam distintos entre
sí pela ordem. As permutações podem ser simples,
com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com
todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações
simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que
não podem ter a repetição de qualquer elemento em
cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada.
Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m
elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos
a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a
x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que
m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
P r(m)=C(m,m 1).C(m-m 1,m 2).C(m-m 1-m 2,m 3) ... C(m n,m n)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra
construída com as mesmas letras da palavra original
trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1
e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-
1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar
com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A
ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T
ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses
3 elementos do conjunto C={A,R,T} em
agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que
contêm a repetição de todos os elementos de C
aparecendo também na ordem trocada. Todos os
agrupamentos estão no conjunto:
P r={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AART
TA,AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARAR
TA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATAR
AR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando
temos grupos com m elementos distintos formando
uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas
K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas
pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa
circular (pode ser retangular) para realizar o jantar
sem que haja repetição das posições?
55
Se considerássemos todas as permutações simples
possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos,
apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,
BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CAB
D,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DABC,D
ACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos
que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
COMBINAÇÕES
Quando formamos agrupamentos com p elementos,
(p

já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA,
AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as
combinações com repetição dos elementos de C
tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
REGRAS GERAIS SOBRE A ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Problemas de Análise Combinatória normalmente
são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos
através de duas regras básicas: a regra da soma e a
regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se
um elemento pode ser escolhido de m formas e um
outro elemento pode ser escolhido de n formas,
então a escolha de um ou outro elemento se
realizará de m+n formas, desde que tais escolhas
sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas
de um elemento pode coincidir com uma escolha do
outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se
um elemento H pode ser escolhido de m formas
diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas,
um outro elemento M pode ser escolhido de n
formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta
ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou
concorrentes sem que os pontos sob análise estejam
em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos
distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s
contem n outros pontos distintos marcados por s1,
s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar
segmentos de retas com uma extremidade numa
reta e a outra extremidade na outra reta?
É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e
assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a
todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e
continuamos até o último ponto para obter também
n segmentos. Como existem m pontos em r e n
pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
56
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas
maneiras diferentes poderemos escolher p
elementos (p

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Centro de Ciências Sociais e Educação
Denotaremos o número de arranjos de m elementos
tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu
cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso
alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de
dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos
diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso
alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de
dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos
(não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e
outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a
regra do produto para concluir que há 5x5=25
possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir
no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3
letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em
nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10
algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em
seguida utilize a regra do produto.
NÚMERO DE PERMUTAÇÕES SIMPLES
Este é um caso particular de arranjo em que p=m.
Para obter o número de permutações com m
elementos distintos de um conjunto C, basta
escolher os m elementos em uma determinada
ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até
a ordem p=m, permitirá obter o número de
permutações de m elementos:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
... ...
p m-p+1
... ...
57
m-2 3
m-1 2
m 1
No.de
permutações
m(m-1)(m-2)...(mp+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m
elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo
será dada por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo,
podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em
Matemática e nas ciências em geral, costuma-se
simplificar a permutação de m elementos e escrever
simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número
m é lido como: fatorial de m, onde m é um número
natural.
Embora zero não seja um número natural no
sentido que tenha tido origem nas coisas da
natureza, procura-se dar sentido para a definição de
fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo
m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função
gama que generaliza o conceito de fatorial de um
número real, excluindo os inteiros negativos e com
estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode
ser definido de uma forma recursiva através da
função P=P(m) ou com o uso do sinal de
exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar
juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante?
O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto
solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as
letras da palavra AMOR? O número de arranjos é
P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,M
ARO,MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR,
OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAM
O,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No
estudo de arranjos, já vimos antes que é possível
escolher p elementos de A, mas quando realizamos
tais escolhas pode acontecer que duas coleções com
p elementos tenham os mesmos elementos em
ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de
um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem
importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H),
assim não há a necessidade de escolher duas vezes
as mesmas pessoas para formar o referido casal.
Para evitar a repetição de elementos em grupos com
a mesma quantidade p de elementos,
introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um
conjunto C com m elementos é uma combinação de
m elementos tomados p a p, se as coleções com p
elementos não tem os mesmos elementos que já
apareceram em outras coleções com o mesmo
número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo,
mas não pode acontecer a repetição do mesmo
grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos
com p elementos, existem p! desses arranjos com os
mesmos elementos, assim, para obter a
combinação de m elementos tomados p a p,
deveremos dividir o número A(m,p) por m! para
obter apenas o número de arranjos que contem
conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-
1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta
fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o
numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1=m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação
de m elementos tomados p a p, será uma das
seguintes:
58
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NÚMERO DE ARRANJOS COM
REPETIÇÃO
Seja C um conjunto com m elementos distintos e
considere p elementos escolhidos neste conjunto em
uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas
é denominada um arranjo com repetição de m
elementos tomados p a p. Acontece que existem m
possibilidades para a colocação de cada elemento,
logo, o número total de arranjos com repetição de m
elementos escolhidos p a p é dado por m p .
Indicamos isto por:
Arep(m,p) = m p
NÚMERO DE PERMUTAÇÕES COM
REPETIÇÃO
Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5
bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem
determinada. Iremos obter o número de
permutações com repetição dessas bolas. Tomemos
10 compartimentos numerados onde serão
colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas
vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3)
possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos
compartimentos restantes para obter C(10-3,2)
possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas
amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).
O número total de possibilidades pode ser calculado
como:
Tal metodologia pode ser generalizada.
NÚMERO DE COMBINAÇÕES COM
REPETIÇÃO
Considere m elementos distintos e ordenados.
Escolha p elementos um após o outro e ordene estes
elementos na mesma ordem que os elementos
dados. O resultado é chamado uma combinação
com repetição de m elementos tomados p a p.
Denotamos o número destas combinações por
Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o
número m de elementos.
Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções
(a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são
exemplos de combinações com repetição de 5
elementos escolhidos 6 a 6.

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Podemos representar tais combinações por meio de
símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido
(e colocado junto) tantas vezes quantas vezes
aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o
vazio Ø serve para separar os objetos em função
das suas diferenças
(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø
(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#
(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ
Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6#
e 4Ø. Para cada combinação existe uma
correspondência biunívoca com um símbolo e
reciprocamente. Podemos construir um símbolo
pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após
isto, os espaços vazios são prenchidos com barras.
Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:
Crep(5,6) = C(5+6-1,6)
Generalizando isto, podemos mostrar que:
Crep(m,p) = C(m+p-1,p)
PROPRIEDADES DAS COMBINAÇÕES
O segundo número, indicado logo acima por p é
conhecido como a taxa que define a quantidade de
elementos de cada escolha.
Taxas complementares
C(m,p)=C(m,m-p)
Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.
Relação do triângulo de Pascal
C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)
Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605
NÚMERO BINOMIAL
O número de combinações de m elementos tomados
p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado
Coeficiente Binomial ou número binomial,
denotado na literatura científica como:
Exemplo: C(8,2)=28.
Extensão: Existe uma importante extensão do
conceito de número binomial ao conjunto dos
números reais e podemos calcular o número
binomial de qualquer número real r que seja
diferente de um número inteiro negativo, tomado a
uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não
podemos mais utilizar a notação de combinação
C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p
são números inteiros não negativos. Como
Pi=3,1415926535..., então:
59
A função envolvida com este contexto é a função
gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e
Estatística.
TEOREMA BINOMIAL
Se m é um número natural, para simplificar um
pouco as notações, escreveremos mp no lugar de
C(m,p). Então:
(a+b) m = a m +m1a m-1 b+m2a m-2 b 2 +m3a m-3 b 3 +...+mmb m
Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a+b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3
(a+b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4
(a+b) 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5 ab 4 + b 5
A demonstração segue pelo Princípio da Indução
Matemática.
Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m,
dada por:
P(m): (a+b) m =a m +m1a m-1 b+m2a m-2 b 2 +m3a m-
3 b 3 +...+mmb m
P(1) é verdadeira pois (a+b) 1 = a + b
Vamos considerar verdadeira a proposição P(k),
com k>1:
P(k): (a+b) k =a k +k1a k-1 b+k2a k-2 b 2 +k3a k-3 b 3 +...+kkb k
para provar a propriedade P(k+1).
Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira,
deveremos chegar à conclusão que:
(a+b) k+1 =a k+1 +(k+1)1a k b+(k+1)2a k-
1 b 2 +...+(k+1)(k+1)b k+1
(a+b) k+1 = (a+b).(a+b) k
=
=
=
=
(a+b).[a k +k1a k-1 b+k2a k-2 b 2 +k3a k-
3 b 3 +...+kkb k ]
a.[a k +k1a k-1 b+k2a k-2 b 2 +k3a k-
3 b 3 +...+kkb k ]
+b.[a k +k1a k-1 b+k2a k-2 b 2 +k3a k-
3 b 3 +...+kk b k ]
a k+1 +k1a k b+k2a k-1 b 2 +k3a k-
2 b 3 +...+kkab k
+a k b+k1a k-1 b 2 +k2a k-2 b 3 +k3a k-
3 b 4 +...+kkb k+1
a k+1 +[k1+1]a k b+[k2+k1]a k-
1 b 2 +[k3+k2]a k-2 b 3 +[k4+k3] a k-
3 b 4 +...+[kk-1+kk-2]a 2 b k-1 +[kk+kk-
1]ab k +kkb k+1

=
a k+1 +[k1+k0] a k b+[k2+k1]a k-
1 b 2 +[k3+k2]a k-2 b 3
+[k4+k3]a k-3 b 4 +...+[kk-1+kk-2]a 2 b k-
1 +[kk+kk-1]ab k +kkb k+1
Pelas propriedades das combinações, temos:
k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1
k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2
k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3
k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4
... ... ... ...
kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
O binômio do tipo ( x + a ) n , onde x IR, a
IR e n IN , é conhecido como binômio de
Newton.
Para o desenvolvimento do binômio de Newton
usaremos os números binomiais.
NÚMEROS BINOMIAIS
Dados dois números naturais n e p, tais que p n,
chama-se número binomial n sobre p , indicado
por n , ao número definido por:
p
n
=
p
n!
p!
( n p)!
TRIÂNGULO DE PASCAL
Os números binomiais podem ser dispostos em
linhas e colunas, numa disposição triangular, de
modo que em cada linha fiquem os termos de
ordem “n” e em cada coluna os termos de ordem
“p”.
1.
1. 1
1. 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
0 0
6
1 6 15 20 15 6 1
60
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kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k
E assim podemos escrever:
(a+b) k+1 =
que é o resultado desejado.
BINÔMIO DE NEWRON
1 1 0 0
2 2 2 0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
6 6 6 6 6 6
0 1 2 3 4 5 6
Observar que :
a k+1 +(k+1)1a k b + (k+1)2a k-1 b 2 +
(k+1)3a k-2 b 3
+(k+1)4a k-3 b 4 +...+ (k+1)k-1a 2 b k-
1 + (k+1)kab k + kkb k+1
1º) Cada linha começa e termina por .
2º) Adicionando dois elementos consecutivos de
uma linha obtemos o elemento situado abaixo
do segundo elemento somado.
DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE
NEWTON
Devemos usar a fórmula :
( x + a ) n =
n n
x a x
0
1
n
a
x
2
n 0 n
1 1 n
2
Exemplo:
(2x + 3) 5 =
5
5
0
1
2 3 5
3
4
2 n
0 n
a
... x a
n
5
4
3 2
2x 2x 3 2x 3 2x 5
5
4
5
2x 3 3
5
2
5
3
(2x + 3) 5 = 1.32x 5 + 5.16x 4 .3 + 10 . 8x 3 .9 + 10 . 4x 2 .
27 + 5.2x . 81 + 1 . 243
(2x+3) 5 = 32x 5 + 240x 4 + 720x 3 + 1.080x 2 + 810x +
243
FÓRMULA DO TERMO GERAL
T p+1 =
n
x
p
n p p
a
Exercício: Calcular o 5º. termo no
desenvolvimento de ( 3x + 2 ) 9 .
p + 1 = 5 → p = 4

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T5 =
4
9 (3x) 9-4 . 2 4 → T5 =
9 ! 5
(3x) . 16 =
4!.
5!
Fatorar uma expressão algébrica significa escrevêla
na forma de um produto de expressões mais
simples.
CASOS DE FATORAÇÃO:
1. FATOR COMUM
ax + bx + cx = x (a + b + c)
O fator comum é x.
12x 3 6x 2 + 3x = 3x (4x 2 2x + 1)
O fator comum é 3x.
2. AGRUPAMENTO
ax + ay + bx + by
Agrupar os termos de modo que em cada grupo
haja um fator comum.
(ax + ay) + (bx + by)
Colocar em evidência o fator comum de cada
grupo
a(x + y) + b(x + y)
Colocar o fator comum (x + y) em evidência
(x + y) (a + b) Este produto é a forma
fatorada da expressão dada
3. DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
A expressão a 2 b 2 representa a diferença de
dois quadrados e sua forma fatorada é :
(a + b) (a b)
Ex: x 2 36 = (x + 6) (x 6)
4. TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
a 2 + 2ab + b 2
Um trinômio é quadrado perfeito quando :
-- dois de seus termos são quadrados perfeitos
(a 2 e b 2 )
– o outro termo é igual ao dobro do produto
das raízes dos quadrados perfeitos (2ab)
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
Ex: x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2
Ex: x 2 6x + 9 = (x 3) 2
a 2 2ab + b 2 = (a b) 2
61
489.888 x 5
FATORAÇÃO
5. TRINÔMIO DO 2 O GRAU
Trinômio do tipo x 2 + Sx + P
Devemos procurar dois números a e b que
tenham soma S e produto P.
x 2 + Sx + P = (x + a) (x + b)
Ex: x 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
x 2 + 2x 8 = (x + 4) (x 2)
x 2 5x + 6 = (x 2) (x 3)
x 2 2x 8 = (x 4) (x + 2)
6. SOMA DE DOIS CUBOS
A expressão a 3 + b 3 representa a soma de dois
cubos.
Sua forma fatorada é :
(a + b) (a 2 ab + b 2 )
Ex: x 3 + 8 = (x + 2) (x 2 2x + 4)
7. DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
A expressão a 3 b 3 representa a diferença de
dois cubos.
Sua forma fatorada é :
(a b) (a 2 + ab + b 2 )
Ex: x 3 27 = (x 3) (x 2 + 3x + 9)

Toda equação possui um primeiro membro, que fica
à esquerda do sinal de igual, e um segundo membro
que fica à direita do sinal de igual.
Uma equação não se altera somando-se ou
subtraindo-se de ambos os membros um mesmo
número.
Uma equação não se altera multiplicando-se ou
dividindo-se ambos os membros por um mesmo
número diferente de zero.
Resolver uma equação é calcular o valor da
incógnita (termo desconhecido).
Exemplo:
a) x - 2 ( x - 1 ) = 4 - 3 ( x - 2 )
x - 2x + 2 = 4 - 3x + 6 aplicamos a propriedade
distributiva da multiplicação.
x – 2x + 3x = 4 + 6 –2 colocamos os termos com
variáveis no primeiro membro
e os termos independentes no
segundo membro (lembre-se
da troca de sinais).
2x = 8 efetuamos as operações
x = 8 / 2
x = 4
b) x -
1
2 3
x
- calcular o mmc dos denominadores de
todos os termos para torná-los iguais e
podermos eliminá-los.
mmc (2, 3 ) = 6
- reduzir todos os termos ao mesmo
denominador, fazendo as devidas
alterações.
6 3
6 6
x x
EQAÇÕES DO 1º GRAU
2
6
- eliminar os denominadores (isso só é
possível porque os dois membros têm
termos com denominadores iguais)
6x – 3x = 2
x = 2
2
x =
3
62
c)
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3x x 1
x
2 3 6
- calcular o mmc dos denominadores
mmc (2, 3, 6)
2, 3, 6
1, 3, 3
1 ,1, 1
2
3
mmc (2, 3, 6) = 2 . 3 = 6
- igualar os denominadores
9x 2x
2 x
6 6 6
- eliminar os denominadores
9x – (2x – 2) = x
9x - 2x + 2 = x
9x - 2x - x = - 2
6x = - 2
x =
1
x = -
3
2
6
1
3

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EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Denominamos equação de uma reta a toda equação
nas incógnitas x e y que exprime a condição para
que o ponto de coordenadas (x, y) pertença à reta.
Sua equação pode ser escrita da forma : ax + by
+ c = 0 , onde a, b e c são números conhecidos,
sendo a 0 ou b 0. Esta equação é denominada
equação geral da reta.
Cálculo da equação
Para obter uma equação da reta que passa por dois
pontos conhecidos, A = (x1, y1) e B = (x2, y2),
basta desenvolver o determinante na fórmula :
x x
x
2
1
x
1
y y
y
2
1
y
1
ESTUDO DA RETA
0
pois esta é a condição para que o ponto P (x, y)
pertença à reta.
Exemplo:
Obter uma equação da reta r que passa por A(2,
0) e B(4, 1).
x 2 y 0
0
4 2 1
0
x 1 . (x – 2 ) – 2 . y = 0
2 y
0
2 1
x – 2 – 2y = 0 x - 2y – 2 = 0
COEFICIENTE ANGULAR
Dada uma reta r do plano cartesiano, vamos
representar por a medida do ângulo de inclinação
de r em relação ao eixo x, conforme indicam as
figuras :
y
x
0 o < < 90º
63
y
y
y
90º < < 180º
= 0º
= 90º
Chamamos coeficiente angular da reta r ao
número m definido por : m = tg ( 90º).
Quando = 90º dizemos que r não possui
coeficiente angular ( não existe m ).
CÁLCULO DE M
Nem sempre conhecemos a medida do ângulo de
inclinação de uma reta r. Mas o coeficiente angular
pode ser determinado a partir de outros elementos
da reta como, por exemplo, dois pontos ou a
equação geral.
COEFICIENTE ANGULAR DA RETA QUE
PASSA POR DOIS PONTOS
Dados dois pontos distintos, A(x1, y1) e B(x2, y2),
de uma reta r , o coeficiente angular é igual a :
x
x
x

Exemplo :
m =
y
x
2
2
y
x
Calcular o coeficiente angular da reta que passa por
A(2, 3) e B(4, 9) :
m =
y
x
2
2
y
x
1
1
=
1
1
9 3 6
= = 3
4 2 2
COEFICIENTE ANGULAR DA RETA DE
EQUAÇÃO AX + BY + C = 0
Se uma reta r tem a equação ax + by + c = 0,
a
temos que : m =
b
Exemplo :
Dê o coeficiente angular da reta (r) 3x + 6y + 11 =
0
a 3 1
m = = =
b 6 2
EQUAÇÃO REDUZIDA
Dizemos que y = mx + q é a equação reduzida
da reta r , onde m é o coeficiente angular e q é
denominado coeficiente linear (onde a reta r corta
o eixo y ).
Exemplo :
Obter a equação reduzida da reta (r) 2x + 2y – 5 = 0
2x + 2y – 5 = 0
2y = - 2x + 5
y =
2x 5
2 2
equação reduzida y =
angular é m = - 1
5
coeficiente linear é q =
2
5
x coeficiente
2
EQUAÇÃO DA RETA, DADOS UM PONTO E
A DIREÇÃO
Sabemos achar a equação de uma reta que passa por
dois pontos conhecidos. Veremos agora uma
64
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fórmula para achar a equação de uma reta que passa
num ponto dado P(x0, y0), e tem a direção
conhecida (por exemplo, é dado o coeficiente
angular).
A equação da reta r que passa por P(x0, y0) e é
paralela ao eixo x é : y = y0
A equação da reta r que passa por P(x0, y0) e é
paralela ao eixo y é : x = x0
A equação da reta r que passa por P(x0, y0) e
tem coeficiente angular m é : y – y0 = m(x –
x0)
Exemplo :
Dado o ponto P(5, 3),
a) a reta r que passa por P e é paralela ao eixo x
tem a equação :
y = y0 y = 3. Na forma geral, y – 3 = 0
b) a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y
tem a equação :
x = x0 x = 5. Na forma geral, x – 5 = 0
c) a reta t que passa por P e tem inclinação =
45º , logo m = tg 45º m = 1, tem a
equação :
y–y0 = m (x–x0) y–3= 1 (x–5) y–3 = x–5.
Na forma geral, x – y – 2 = 0.

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FUNÇÃO QUADRÁTICA (PARÁBOLA)
A FUNÇÃO QUADRÁTICA (PARÁBOLA)
A função quadrática f:R->R é definida por
f(x)=ax²+bx+c
A função quadrática (parábola)
Aplicações das parábolas
onde a, b e c são constantes reais, sendo que
Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é
denominada função trinômia do segundo grau, uma
vez que a expressão
a x² + b x + c = 0
representa uma equação trinômia do segundo grau
ou simplesmente uma equação do segundo grau. O
gráfico cartesiano desta função polinomial do
segundo grau é uma curva plana denominada
parábola.
APLICAÇÕES PRÁTICAS DAS
PARÁBOLAS
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a
situações da vida, as mais importantes são:
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no
foco de um espelho com a superfície parabólica e
esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos
que venham a refletir sobre o espelho parabólico do
farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente
ao eixo que contem o "foco" e o vértice da
superfície parabólica. Esta é uma propriedade
geométrica importante ligada à Ótica, que permite
valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito
do Ensino Fundamental.
65
O sinal do coeficiente a
Sinal de Delta e a concavidade
Antenas parabólicas: Se um satélite artificial
colocado em uma órbita geoestacionária emite um
conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão
ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez
que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem
formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses
raios exatamente para um único lugar, denominado
o foco da parábola, onde estará um aparelho de
receptor que converterá as ondas eletromagnéticas
em um sinal que a sua TV poderá transformar em
ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e
outros programas que você assiste normalmente.
Radares: Os radares usam as propriedades óticas
da parábola, similares às citadas anteriormente
para a antena parabólica e para os faróis.

Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto
no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando
alcançar a maior distância possível tanto na
horizontal como na vertical, a curva descrita pelo
objeto é aproximadamente uma parábola, se
considerarmos que a resistência do ar não existe ou
é pequena.
Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance
horizontal é de 45 graus.
O SINAL DO COEFICIENTE DO TERMO
DOMINANTE
O sinal do coeficiente do termo dominante desta
função polinomial indica a concavidade da parábola
("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará
voltada para cima e se a 0, a concavidade ("boca") da nossa
parábola estará voltada para cima.
Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3.
66
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Este exemplo é análogo ao anterior, só que nesse
caso, a 0
D = 0
D < 0
A parábola no
plano cartesiano
Corta o eixo
horizontal em 2
pontos
Toca em 1 ponto
do eixo horizontal
Não corta o eixo
horizontal
a>0
concavidade
(boca) para
cima
a

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Existem muitas aplicações para a função quadrática
e uma delas está relacionada com a questão de
máximos e mínimos.
Exemplo: Determinar o retângulo de maior área
que é possível construir se o seu perímetro mede 36
m.
Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a
medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy,
mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18,
assim:
A(x) = x(18-x)
Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e
x=18 e o ponto de máximo dessa curva ocorre no
ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de
máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos
que este não é um retângulo qualquer mas é um
quadrado pois x=y=9 e a área máxima será A=81m²
Alguns Exemplos:
1) Gráfico para as funções y= x 2 e x= y 2
2) Gráfico para as funções y=-x 2 e x=-y 2
3) Gráfico para as funções y= x 2 -x-6 e x= y 2 -y-6.
67
4) Alguns gráficos alterando apenas o “b” das
funções:
y=x 2 -x-6
y=x 2 -2x-6
y=x 2 -3x-6
y=x 2 -4x-6
5) Alguns gráficos alterando apenas o “a” das
funções:
y=x 2 -x-6
y=2x 2 -x-6
y=3x 2 -x-6
y=4x 2 -x-6

6) Alguns gráficos alterando apenas o “c” das
funções:
y=x 2 -x-3
y=x 2 -x-4
y=x 2 -x-5
y=x 2 -x-6
7) Alguns gráficos para as funções:
Y+x+4=x 2
y-15x+36=y 2
68
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FUNÇÕES REAIS
Aplicação
Elementos de uma aplicação
Restrição de uma aplicação
Extensão de uma aplicação
Aplicação injetora
Aplicação sobrejetora
"Porque melhor é a sabedoria do que as jóias; e de
tudo o que se deseja nada se pode comparar com ela."
APLICAÇÃO
Provérbios 8:11 A Bíblia Sagrada
Dentre todas as relações em um determinado
produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto
que é muito mais exigente mas que produz
resultados de grande valor na Matemática. Este
conceito é denominado função.
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma
aplicação f no produto cartesiano A×B, é definida
como sendo uma relação em A×B, que satisfaz às
duas propriedades:
1. Para cada xA, existe yB tal que (x,y) f.
2. Se (x,y1) f e (x,y2) f, então y1 = y2
69
Aplicação bijetora
Composição de aplicações
Aplicações inversas
Imagem direta por aplicação
Imagem inversa por aplicação
Propriedades mistas
Uma notação usual para uma aplicação f
definida no produto cartesiano A×B, é f:A→B.
Observações sobre aplicações
1. O primeiro ítem da Definição declara que todos
os elementos de A devem estar relacionados
com elementos de B.
2. O segundo ítem da Definição garante que um
elemento de A deve estar associado com
apenas um elemento em B
3. Nem toda relação no produto cartesiano R² é
uma aplicação, como mostra o exemplo
seguinte:
K = {(x,y) R² : x²+y²=1}

4. Em textos antigos, a palavra função era usada
de uma forma bastante livre no lugar de
aplicação, mas na literatura atual a palavra
aplicação passou a ter outros nomes como:
operador, transformação, funcional,…, e
houve a necessidade de restringir a palavra
função exclusivamente às situações em que o
conjunto B é um subconjunto do conjunto R
dos números reais.
ELEMENTOS DE UMA APLICAÇÃO
Seja f uma aplicação em A×B, denotada por
f:A→B.
1. O gráfico de f, às vezes usado como a definição
de função, é definido por:
G(f)={(x,y) A×B: xA, yB, y=f(x)}
2. O conjunto A recebe o nome de domínio de f,
denotado por Dom(f).
3. O conjunto B recebe o nome de contradomínio
de f, denotado por Codom(f).
4. A imagem de f, denotada por texto Im(f) é o
conjunto:
f(A)={yB: existe xA tal que y=f(x)}
Exemplo: A função quadrática f:R→[0,) pode ser
escrita na forma:
f={(x,y) R×[0,): xR, yR, y=x²}
ou na forma f:R→[0,) definida por
f(x)=x² sendo Dom(f)=R, Codom(f)=Im(f)=[0,).
Exercícios:
1. Sejam A={1,2,3,4,5} e B={0,3,8,15,20}.
Verificar se a relação f em A×B, definida por
(a,b)f se, e somente se, b=a²-1, é uma
aplicação.
2. Verificar se a relação f:Q→Q definida por
f(m/n)=mn é uma aplicação. (Dica: 1/2=3/6
mas,...)
3. Para A={1,2,3} e B={a,b,c,d}, seja a relação
g:A×B→B×A, definida por g(x,y)=(y,x).
Mostrar que g é uma aplicação.
70
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RESTRIÇÃO DE UMA APLICAÇÃO
Podemos restringir o domínio de uma função
f:A→B a um subconjunto S de A de modo que a
função restrita ao conjunto S, denotada por f|S:S→B
seja coincidente com a função original sobre o
conjunto S, isto é, para cada xS tem-se que:
f|S(x)=f(x).
Exemplo: Podemos definir a restrição da função
f:R→R, f(x)=x² ao conjunto [0,) de modo que:
f|[0,):[0,)→R, f(x)=x²
EXTENSÃO DE UMA APLICAÇÃO
Podemos estender uma função f:A→B a um
conjunto M contendo o conjunto A de modo que a
função estendida ao conjunto M, denotada por
F:M→B deva ser coincidente com a função original
sobre o conjunto A, isto é, para cada, xA tem-se
que F(x)=f(x).
Exemplo: Consideremos a função f:R-{0}→R
definida por
f(x) = sen(x)/x
Não tem sentido para x=0, mas podemos estender
esta função de uma forma natural a todo o conjunto
R dos números reais, tomando f(0)=1. Esta forma é
comumente utilizada em Análise Matemática.
Dada uma aplicação f:A→B que associa a cada
elemento de A um único elemento de B, esta
definição não obriga que todos os elementos de A
tenham imagens distintas ou mesmo que todos os
elementos de B sejam imagens de elementos de A.
APLICAÇÃO INJETIVA
Mesmo que a≠b pode ocorrer que f(a)=f(b). Quando
elementos distintos de A possuem imagens
distintas, dizemos que a aplicação é injetora. A
definição seguinte estabelece este fato.
Uma aplicação f:A→B é denominada injetiva,
injetora, unívoca ou 1-1, se:

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a≠b implicar que f(a)≠f(b)
Exemplo: A função f:R→R, definida por f(x)=x²
não é injetiva, pois f(-2)=f(2), mas a função
f:[0,)→[0,) definida por f(x)=x² é injetiva.
Teorema: Seja f:A→B uma aplicação. f é injetora
se, e somente se, f(a)=f(b) implica que a=b;
Demonstração: São equivalentes as proposições
lógicas
e
a≠b implica que f(a)≠f(b)
f(a)=f(b) implica que a=b
pois a proposição lógica (p→q) é equivalente à
proposição lógica (q'→p').
APLICAÇÃO SOBREJETORA
Pode ocorrer que algum elemento de B não seja
imagem de um elemento de A. Temos uma outra
definição.
Dizemos que a aplicação f:A→B é sobrejetiva,
sobre ou sobrejetora, se todos os elementos de B
são imagens de elementos de A, ou seja:
para todo bB existe aA tal que f(a)=b
significando que f(A)=B.
Exemplo: A função f:R→R, definida por f(x)=x²
não é sobrejetiva, pois não existe xR tal que
f(x)=-2, mas f:[0,)→[0,) definida por f(x)=x² é
sobrejetiva
Teorema: Seja f:A→B uma aplicação. f é
sobrejetora se, e somente se, para todo b→B, a
equação f(x)=b tem pelo menos uma solução em A
A demonstração é imediata, pois temos aqui duas
maneiras para garantir que f é sobrejetiva
APLICAÇÃO BIJETORA
71
Uma aplicação f:A→B é denominada bijetiva,
bijetora ou uma correspondência biunívoca, se f é
injetiva e também sobrejetiva
Exemplo: A função f:R→R, f(x)=x² não é bijetiva,
mas a função f:[0,)→[0,) definida por f(x)=x² é
bijetiva
Exemplo: A aplicação f:R-{2}→R-{3} definida
por f(x)=(3x-1)/(x-2) é injetora pois, se f(a)=f(b)
então (3a-1)/(a-2)=(3b-1)/(b-2) e daí segue que a=b.
f também é sobrejetiva pois se f(x)=b, então (3x-
1)/(x-2)=b, de onde segue que para b≠3: x=(2b-
1)/(b-3). Finalmente, segue que f é bijetora pois é
injetora e sobrejetora
Sobre a palavra 'sobre': Afirmar que f:A→B é
uma aplicação injetiva sobre o conjunto B, é o
mesmo que afirmar que f é bijetiva
Exercícios:
1. Mostrar que f:R→R, definida por f(x)=3x+2, é
bijetora.
2. Seja f:R→R uma função real afim da forma
f(x)=ax+b, sendo a≠0. Mostrar que f é bijetora
3. Mostrar que f:R→R definida por f(x)=2x²+4x-
1 não é sobrejetora, pois não existe x em R tal
que f(x)=-4.
4. Mostrar que funções reais de segundo grau não
são injetoras e nem mesmo sobrejetoras,
dependendo do domínio e do contradomínio
destas funções.
Dica 1: Para mostrar que f(x)=ax²+bx+c com
a≠0 não é injetora, basta calcular f(-(b)/(2a)+r)
e f(-(b)/(2a)-r).
Dica 2: Para mostrar que f não é sobrejetiva
suponha que o coeficiente a seja positivo e
tente obter o número real que é levado em (b²+4ac)/(4a)-1.
Se a é negativo, calcule uma
pré-imagem de (-b²+4ac)/(4a)+1.
COMPOSIÇÃO DE APLICAÇÕES
Definição de composta: Sejam as aplicações
f:A→B e g:B→C. Definimos a aplicação composta
g©f:A→C de g e f, nesta ordem, por:
(g©f)(x)=g(f(x))

Uma outra representação geométrica para a
composta das aplica7ccedil;ões f e g, está ilustrada
na figura seguinte.
Exemplo: Sejam f:R→R definida por f(x)=2x e
g:R→R definida por g(y)=y². Definimos a
composta g©f:R→R por:
(gf)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)² = 4x²
Aplicação identidade
A identidade I:A→A é uma das mais importantes
aplicações da Matemática, definida para todo aA,
por I(a)=a. Quando é importante indicar o conjunto
X onde a identidade atua, a aplicação identidade
I:X→X é denotada por IX
Propriedades das aplicações compostas
1. A composição de aplicações não é comutativa,
isto é:
f©g ≠ g©f
2. A composição de aplicações é associativa, isto
é:
(f©g)©h=f©(g©h)
3. A composição de aplicações possui elemento
neutro, isto é:
f©I=I©f=f
4. Se f e g são aplicações injetivas, sobrejetivas e
bijetivas, então as compostas g©f são,
respectivamente, injetivas, sobrejetivas e
bijetivas.
APLICAÇÕES INVERSAS
Aplicação inversa à esquerda: Sejam f:A→B e
g:B→A aplicações. Dizemos que g é uma inversa à
esquerda para f se g©f=IA, isto é, para todo aA:
(g©f)(a)=a
Aplicação inversa à direita: Sejam g:B→A e
f:A→B aplicações. Dizemos que g é uma inversa à
direita para f se f©g=IB, isto é, para todo bB:
(f©g)(b)=b
72
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Aplicação inversa: Uma aplicação f:A→B tem
inversa g:B→A se, g é uma inversa à esquerda e
também à direita para f. Isto significa que, para
todo aA e para todo bB:
(f©g)(a)=IA(a) e (g©f)(b)=IB(b)
Notação para a inversa: A inversa de f é denotada
por g=f -1 . É possível demonstrar que se a inversa
g=f -1 existe, ela é única e que a inversa da inversa
de f é a própria f, isto é: (f -1 ) -1 =f.
IMAGEM UM CONJUNTO POR UMA
APLICAÇÃO
A imagem (direta) de um conjunto AX pela
aplicação f:X→Y, é definida por:
f(A) = {f(a): aA}
PROPRIEDADES DA IMAGEM DIRETA
Sejam f:X→Y uma aplicação, AX e BX. Então:
1. f({x})={f(x)} para todo x em X.
2. Se A≠ø então f(A)≠ø.
3. Se AB, então f(A)f(B).
Demonstração: Seja y(A). Pela definição de
imagem direta de um conjunto por uma
aplicação f, existe xA tal que y=f(x)f(A).
Como por hipótese, AB, então xB, logo
y=f(x)f(B).
4. f(AB)=f(A)f(B).
Demonstração: Em duas etapas:
a. f(AB)f(A)f(B).
b. f(A)f(B)f(AB).
Parte a: Seja wf(AB). Pela definição de
imagem direta, existe xAB tal que w=f(x).
Assim, xA ou xB e temos que f(x)f(A) ou
f(x)f(B) e garantimos que w = f (x) f (A)
f (B).
Parte b: Seja yf(A)f(B). Então, yf(A) ou
yf(B). Existe aA tal que y=f(a) ou existe
bB tal que y=f(b).
A primeira afirmação garante que y=f(a)f(A).
Como AAB,então pelo ítem (3) acima,
segue que f(A)f(AB), e temos que
yf(AB).
Analogamente, y=f(b)f(B). Como BAB,
então pelo ítem (3) acima, segue que
f(B)f(AB) e temos que yf(AB).
As duas circunstâncias garantem que
yf(AB).

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5. f(AB)f(A)f(B).
Demonstração: Seja wf(AB). Pela
definição de imagem direta, existe xAB tal
que w=f(x). Assim, xA e xB e temos que
f(x)f(A) e f(x)f(B), logo wf(A) e wf(B),
assim wf(A)f(B).
6. Existem aplicações para as quais
f(AB)≠f(A)f(B).
IMAGEM INVERSA POR UMA
APLICAÇÃO
A imagem inversa de um conjunto WY pela
aplicação f:X→Y, é definida por
f -1 (W)={xX: f(x)W}
Propriedades da imagem inversa
Sejam f:X→Y uma aplicação, UY e VY. Então:
1. f -1 (ø)=ø
2. Se UV então f -1 (U)f -1 (V).
Demonstração: Seja xf -1 (U). Pela definição
de imagem inversa de um conjunto por uma
função f, segue que f(x)U. Como por
hipótese, UV, então f(x)V, logo xf -1 (V).
3. f -1 (UV)=f -1 (U)f -1 (V)
Demonstraremos a igualdade, em duas partes:
a. f -1 (UV)f -1 (U)f -1 (V).
b. f -1 (U)f -1 (V)f -1 (UV).
Parte a: Seja xf -1 (UV). Pela definição
de imagem inversa, segue que f(x)UV.
Pela definição de reunião de conjuntos,
temos que f(x)U ou f(x)V. Assim, xf -
1 (U) ou xf -1 (V). Concluímos então que
xf -1 (U)f -1 (V).
Parte b: Seja xf -1 (U)f -1 (V). Pela
definição de reunião de conjuntos, temos
que xf -1 (U) ou xf -1 (V). Pela definição
de imagem inversa, segue que f(x)U ou
f(x)V. Assim, f(x)UV e concluímos
que xf -1 (UV).
4. f -1 (UV)=f -1 (U)f -1 (V)
Demonstraremos com duas inclusões:
a. f -1 (UV)f -1 (U)f -1 (V).
b. f -1 (U)f -1 (V)f -1 (UV).
Parte a: Seja xf -1 (UV). Pela definição
de imagem inversa, segue que f(x)UV.
Pela definição de interseção de conjuntos,
temos que f(x)U e f(x)V. Assim, xf -
73
1 (U) e xf -1 (V). Concluímos que xf -
1 (U)f -1 (V).
Parte b: Seja xf -1 (U) )f -1 (V). Pela
definição de interseção de conjuntos,
temos que xf -1 (U) e xf -1 (V). Pela
definição de imagem inversa, segue que
f(x)U e f(x)V. Assim, f(x)UV e
concluímos que xf -1 (UV).
5. f -1 (V c )=[f -1 (V)] c
Demonstração em duas etapas.
a. f -1 (V c )[f -1 (V)] c .
b. [f -1 (V)] c f -1 (V c ).
Parte a: Seja xf -1 (V c ). Pela definição de
imagem inversa, segue que f(x)V c . Pela
definição de complementar, temos que f(x) não
está em V, logo x não pertence a f -1 (V) e temos
que x[f -1 (V)] c .
Parte b: Seja x[f -1 (V)] c . Pela definição de
complementar, temos que x não pertence a f -
1 (V). Assim, f(x) não pertence ao conjunto V
ou seja f(x)V c , o que implica que x f -1 (V c ).
6. Se VU então f -1 (U-V)=f -1 (U)-f -1 (V)
Demonstração: Usando o conceito de
complementar, segue que U-V=UV c . Pela
relação do ítem (4):
f -1 (U-V)=f -1 (UV c )=f -1 (U)f -1 (V c )
Pelo ítem (5), segue que:
f -1 (U-V)=f -1 (U)[f -1 (V)] c =f -1 (U)-f -1 (V)
PROPRIEDADES MISTAS
Sejam f:X→Y uma aplicação. Assim:
1. Para todo AX, tem-se que:
A f -1 (f(A))
2. Para todo VY, tem-se que:
f(f -1 (V)) V
3. Se f é injetiva, então para todo AX, temse
que:
f -1 (f(A)) = A
4. Se f é sobrejetiva, então para todo VY,
tem-se que
f(f -1 (V)) = V
5. Se f é bijetiva, para todo AX e para todo
VY, tem-se que:
f -1 (f(A))=A e f(f -1 (V))=V

A FUNÇÃO EXPONENCIAL
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
A função exponencial
A Constante e de Euler
Conexão entre exp e o número e
Significado geométrico de e
Propriedades básicas
Simplificações matemáticas
Outras funções exponenciais
A função exponencial natural é a função
exp:R→R+, definida como a inversa da função
logarítmo natural, isto é:
Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x
O gráfico da função exponencial é obtido pela
reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em
relação à identidade dada pela reta y=x.
Como o domínio da função Logaritmo natural é o
conjunto dos números reais positivos, então a
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Leis dos expoentes
Relação de Euler
Algumas Aplicações
Resfriamento dos corpos
Curvas de aprendizagem
Crescimento populacional
Desintegração radioativa
imagem da função exp é o conjunto dos números
reais positivos e como a imagem de Ln é o
conjunto R de todos os números reais, então o
domínio de exp também é o conjunto R de todos os
números reais.
Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x),
observamos que:
1. exp(x)>0 se x é real)
2. 0

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1. Ln[exp(5)]=5
2. exp[ln(5)]=5
3. Ln[exp(x+1) 1/2 ]=(x+1) 1/2
4. exp[Ln((x+1) 1/2 ]=(x+1) 1/2
5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³
6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(x k )]=x k
7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)] = exp[7(Ln(3/4))] =
exp [(Ln(3/4)] 7 ) = (3/4) 7
A CONSTANTE e DE EULER
Existe uma importantíssima constante matemática
definida por
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em
função da definição da função exponencial, temos
que:
Ln(e)=1
Este número é denotado por e em homenagem ao
matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um
dos primeiros a estudar as propriedades desse
número.
O valor deste número expresso com 40 dígitos
decimais, é:
e=2,718281828459045235360287471352662497757
CONEXÃO ENTRE O NÚMERO e E A
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Se x é um número real, a função exponencial exp(.)
pode ser escrita como a potência de base e com
expoente x, isto é:
e x = exp(x)
SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DE e
Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que
a área da região do primeiro quadrante localizada
sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja
unitária, então o valor de v será igual a e.
75
PROPRIEDADES BÁSICAS DA FUNÇÃO
EXPONENCIAL
Se x e y são números reais e k é um número
racional, então:
1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).
2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.
3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.
4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)
5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)
6. exp(x.k)=[exp(x)] k
SIMPLIFICAÇÕES MATEMÁTICAS
Podemos simplificar algumas expressões
matemáticas com as propriedades das funções
exponenciais e logaritmos:
1. exp[Ln(3)]=3.
2. Ln[exp(20x)]=20x.
3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(2 5 )]=2 5 =32.
4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².
OUTRAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Podemos definir outras funções exponenciais como
g(x)=a x , onde a é um número real positivo diferente
de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o
expoente é um número racional r.
Tomando x=a r na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:
a r =exp[Ln(a r )]
Como Ln[a r ]=r.Ln(a), a relação acima fica na
forma:
a r = exp[r.Ln(a)]
Esta última expressão, juntamente com a
informação que todo número real pode ser escrito
como limite de uma sequência de números
racionais, justifica a definição para g(x)=a x , onde x
é um número real:
a x =exp[x.Ln(a)]
LEIS DOS EXPOENTES
Se x e y são números reais, a e b são números reais
positivos, então:
1. a x a y =a x+y
2. a x /a y =a x-y
3. (a x ) y =a x.y

4. (a b) x =a x b x
5. (a/b) x =a x /b x
6. a -x =1/a x
RELAÇÃO DE EULER
Se i é a unidade imaginária e x é um número real,
então vale a relação:
e ix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)
ALGUMAS APLICAÇÕES
Funções exponenciais desempenham papéis
fundamentais na Matemática e nas ciências
envolvidas com ela, como: Física, Química,
Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia,
Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns
exemplos com aplicações destas funções.
Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi
encontrado morto em uma sala com temperatura
ambiente constante. O legista tomou a temperatura
do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de
32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e
tomou novamente a temperatura do corpo e
constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius.
Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo,
sabendo-se que a temperatura média de um corpo
humano normal é de 37 graus Celsius?
Partindo de estudos matemáticos pode-se construir
uma função exponencial decrescente que passa
pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas
representam o tempo e as ordenadas a temperatura
do corpo.
A curva que descreve este fenômeno é uma função
exponencial da forma:
então obtemos que:
A = Ln(30)-Ln(32)
C = 32/ (30/32) 21
A t
f(t) = C e
A função exponencial que rege este fenômeno de
resfriamento deste corpo é dada por:
f(t) = 124,09468 e -0,0645385t
76
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e quando f(t) = 37 temos que:
t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos
que pode ser observado através do gráfico.
Observação: Neste exemplo, usamos a construção
de um gráfico e as propriedades operatórias das
funções exponenciais e logarítmicas.
Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por
psicólogos e educadores na descrição do processo
de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam
um papel importante.
A curva básica para este tipo de estudo é da forma:
f(x) = c - a e -k.x
onde c, a e k são constantes positivas.
Considerando o caso especial em que c=a temos
uma das equações básicas para descrever a relação
entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o
número de reforços x.
A função:
f(x) = c - a e -k.x
cresce rapidamente no começo, nivela-se e então
aproxima-se de sua assíntota y=c.
Estas curvas também são estudadas em Economia,
na representação de várias funções de custo e
produção.
Crescimento populacional: Em 1798, Thomas
Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of
Population" formulou um modelo para descrever a
população presente em um ambiente em função do
tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos
em certa população no instante t. Tomou as
hipóteses que os nascimentos e mortes naquele
ambiente eram proporcionais à população presente
e a variação do tempo conhecida entre os dois
períodos. Chegou à seguinte equação para
descrever a população presente em um instante t:
N(t)=No e rt
onde No é a população presente no instante inicial
t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de
população.
O gráfico correto desta função depende dos valores
de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a
forma do gráfico será semelhante ao da função
y=Ke x .

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Este modelo supõe que o meio ambiente tenha
pouca ou nenhuma influência sobre a população.
Desse modo, ele é mais um indicador do potencial
de sobrevivência e de crescimento de cada espécie
de população do que um modelo que mostre o que
realmente ocorre.
Consideremos por exemplo uma população de
bactérias em um certo ambiente. De acordo com
esta equação se esta população duplicar a cada 20
minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma
camada em volta da terra de 30 cm de espessura.
Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são
nulos, a população obedece ao modelo N=Noe rt . Na
realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente
oferece resistência ao seu crescimento e tende a
mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores
são, a quantidade disponível de alimentos,
acidentes, guerras, epidemias,...
Como aplicação numérica, consideremos uma
colônia de bactérias se reproduzindo normalmente.
Se num certo instante havia 200 bactérias na
colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias.
Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas
da última contagem?
No instante inicial havia 200 bactérias, então
No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então
logo
assim
N(12)=600=200 e r12
e 12r =600/200=3
ln(e 12r )=ln(3)
Como Ln e exp são funções inversas uma da outra,
segue que 12r=ln(3), assim:
Finalmente:
r=ln(3)/12=0,0915510
N(48) = 200 e 48.(0,0915510) = 16200 bactérias
Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48
horas do início da contagem, haverá 16200
bactérias.
Desintegração radioativa: Os fundamentos do
estudo da radioatividade ocorrerram no início do
século por Rutherford e outros. Alguns átomos são
77
naturalmente instáveis, de tal modo que após algum
tempo, sem qualquer influência externa sofrem
transições para um átomo de um novo elemento
químico e durante esta transição eles emitem
radiações. Rutherford formulou um modelo para
descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se
N=N(t) representa o número de átomos da
substância radioativa no instante t, No o número de
átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva
chamada de constante de decaimento, então:
N(t) = No e -k.t
esta constante de decaimento k, tem valores
diferentes para substâncias diferentes, constantes
que são obtidas experimentalmente.
Na prática usamos uma outra constante T,
denominada meia-vida do elemento químico, que é
o tempo necessário para que a quantidade de
átomos da substância decaia pela metade.
Se N=No/2 para t=T, temos
assim
No/2 = No e -k.T
T=Ln(2)/k
Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida
de alguns elementos químicos:
Substância Meia-vida T
Xenônio 133 5 dias
Bário 140 13 dias
Chumbo 210 22 anos
Estrôncio 90 25 anos
Carbono 14 5.568 anos
Plutônio 23.103 anos
Urânio 238 4.500.000.000 anos
Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:
k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano

A HIPÉRBOLE EQUILÁTERA
LOGARITMOS
A hipérbole equilátera
Definição de Logaritmo
Propriedades gerais
Simplificações matemáticas
Base para um logaritmo
Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x
diferente de zero. O gráfico desta função é a curva
plana denominada hipérbole equilátera, sendo que
um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e
o outro está localizado no terceiro quadrante.
Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e
construções de óculos, lentes, telescópios, estudos
de química, estudos em economia, etc.
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Logaritmo decimal
Definição estranha de logaritmo
Cálculo de logaritmos
Característica e mantissa
Tábua logaritmos on-line
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas
vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do
ponto de vista geométrico, como a área da região
plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x,
acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que
está no desenho colorido de vermelho.

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A área em vermelho representa o logaritmo natural
de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em
anexo, usaremos a definição:
Ln(u)=área(1,u)
Se u>1, a região possuirá uma área bem definida,
mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha
vertical (que não posssui área ou seja, possui área
nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1).
Assim:
Ln(1)=0
Quando aumentamos os valores de u, esta função
também aumenta os seus valores, o que significa
que esta função é crescente para valores de u>0.
O conceito de Integral de uma função real,
normalmente estudado na disciplina Cálculo
Diferencial e Integral, justifica a forma como
apresentamos o Logaritmo natural de um número
real.
PROPRIEDADES GERAIS DOS
LOGARITMOS
Com o uso deste conceito fundamental da
Matemática, é possível demonstrar várias
propriedades dos Logaritmos naturais (o que não
será feito aqui), para números reais positivos x e y e
para qualquer número real k, desde que tenham
sentido as expressões matemáticas:
Propriedades básicas dos logaritmos naturais
1. Ln(1)=0
2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)
3. Ln(x k )=k.Ln(x)
4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)
ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES
MATEMÁTICAS
As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas
para simplificar expressões matemáticas.
Exemplos:
1. Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(3 4 =Ln(5.3 4 )=Ln(405)
2. (1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²) ½ ]-Ln(t)=Ln(2), se t>0
3. Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)
Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3)
ou 3.Ln(2)? Observamos que:
2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9)
3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)
79
e como a função Ln é crescente, então:
3 Ln(2) = Ln(8)

temos que o Logaritmo de 10 n na base 10 é o
expoente n, o que nos faz pensar que para todo x
real positivo vale a relação:
Log(10 x ) = x
DEFINIÇÃO ESTRANHA DE LOGARITMO
A última expressão mostrada acima é correta e
existe uma outra relação muito mais geral do que
esta, pois o Logaritmo de um número real positivo
x na base b é igual ao número e se, e somente se, x
pode ser escrito como a potência b elevada ao
expoente e, isto é:
Logb(x) = e se, e somente se, x = b e
Em livros de Matemática elementar, esta é tomada
como a definição de Logaritmo de um número em
uma certa base, o que é estranho pois tal definição é
cíclica:
Define-se o logarítmo em função da
exponencial;
Define-se a exponencial em função do
logaritmo.
CÁLCULOS DE LOGARITMOS DE ALGUNS
NÚMEROS
Com a definição estranha é possível obter o um
valor aproximado para o Log(2). Consideremos que
y=Log(2) e 10 y =2. Inicialmente, temos que Log(2)
é positivo e menor do que 1, pois 1

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podemos obter os logaritmos das potências de 2,
como por exemplo:
1. Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206
2. Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309
3. Log(16)=Log(2 4 )=4Log(2)=1,20412
4. Log(32)=Log(2 5 )=5Log(2)=1,50515
5. Log(2 n )=n.Log(2)
6. Log(1/2)=Log(2 -1 )=(-1)Log(2)=-0,30103
7. Log(1/4)=Log(2 -2 )=(-2)Log(2)=-0,60206
8. Log(1/8)=Log(2 -3 )=(-3)Log(2)=-0,90309
9. Log(1/16)=Log(2 -4 )=(-4)Log(2)=-1,20412
10. Log(1/32)=Log(2 -5 )=(-5)Log(2)=-1,50515
11. Log(2 -n )=(-n).Log(2)
Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos
permite realizar uma grande quantidade de cálculos
com logaritmos.
Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os
logaritmos dos números primos maiores do que 5,
mas é possível obter uma grande quantidade de
logaritmos de números naturais.
Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3) =
0,477, para calcular alguns logaritmos.
1. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-
0,301=0,699
2. Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,47
7=0,778
3. Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903
4. Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954
Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode
ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e
Log(8), isto é:
Log(7)=0,840
CARACTERÍSTICA E MANTISSA DE UM
LOGARITMO NA BASE 10
RELAÇÕES E FUNÇÕES
81
Se um número está entre duas potências
consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a
característica do logaritmo deste número e a
diferença entre o logaritmo do número e a
característica é a mantissa que é a parte decimal do
logaritmo.
Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal
negativo para o logaritmo apenas para o número
que está antes da vírgula.
Número Logaritmo Característica Mantissa
0,002 ¯3,30103 -3 0,30103
0,02 ¯2,30103 -2 0,30103
0,2 ¯1,30103 -1 0,30103
2 0,30103 0 0,30103
20 1,30103 1 0,30103
200 2,30103 2 0,30103
2000 3,30103 3 0,30103
Esta notação simplifica operações com logaritmos,
visando mostrar que, se a divisão de dois números é
um múltiplo de 10, basta mudar a característica e
preservar a mantissa do logaritmo. Isto poderá ser
observado na Tábua moderna de logaritmos que
aparece no final desta Página.
¯3,30103 significa que apenas a característica é
negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à
mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto
significa que o resultado deve ser um número com
um sinal negativo, isto é, -2,69897.

Aplicações de relações e funções
O Plano Cartesiano
Produto Cartesiano
Relações no plano Cartesiano
Domínio e Contradomínio
Relações inversas
Propriedades de Relações
Relações de equivalência
Funções no plano Cartesiano
Relações que não são funções
Funções afim e lineares
Função identidade
APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES E FUNÇÕES
NO COTIDIANO
Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente
nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações.
Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios
de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito
mais interessante, chamativo, agradável e de fácil
compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que
encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes
nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos
alimentícios, nas informações de composição
química de cosméticos, nas bulas de remédios,
enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes
gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos
de plano cartesiano.
O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado
pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este
é um bom exemplo de uma aplicação do conceito
de produto cartesiano. Uma aplicação prática do
conceito de relação é a discussão sobre a interação
de neurônios (células nervosas do cérebro).
Ao relacionarmos espaço em função do tempo,
número do sapato em função do tamanho dos pés,
intensidade da fotossíntese realizada por uma planta
em função da intensidade de luz a que ela é exposta
ou pessoa em função da impressão digital,
percebemos quão importantes são os conceitos de
funções para compreendermos as relações entre os
fenômenos físicos, biológicos, sociais...
Observamos então que as aplicações de plano
cartesiano, produto cartesiano, relações e funções
estão presentes no nosso cotidiano.
82
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Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Funções constantes
Funções quadráticas
Funções cúbicas
Domínio, Contradomínio, Imagem
Funções injetoras
Funções sobrejetoras
Funções bijetoras
Funções pares e ímpares
Funções crescentes
Funções compostas e Inversas
Operações com funções
Funções polinomiais e Aplicações
Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de
Valores
O PLANO CARTESIANO
Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e
Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador
René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático
francês. O nome de Descartes em Latim, era
Cartesius, daí vem o nome cartesiano.
O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois
eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam
na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas
(eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas
(eixo OY). Associando a cada um dos eixos o
conjunto de todos os números reais, obtém-se o
plano cartesiano ortogonal.
Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado
por um par ordenado de números, indicados entre
parênteses, a abscissa e a ordenada
respectivamente. Este par ordenado representa as
coordenadas de um ponto.
O primeiro número indica a medidada do
deslocamento a partir da origem para a direita (se
positivo) ou para a esquerda (se negativo).
O segundo número indica o deslocamento a partir
da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se
negativo). Observe no desenho que: (a,b)≠(b,a) se
a≠b.

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Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões
denominadas quadrantes sendo que tais eixos são
retas concorrentes na origem do sistema formando
um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos
quadrantes são indicados no sentido anti-horário,
conforme a figura, com as cores da bandeira do
Brasil.
Segundo
quadrante
Terceiro
quadrante
Primeiro
quadrante
Quarto
quadrante
Quadrante sinal de x sinal de y Ponto
não tem não tem (0,0)
Primeiro + + (2,4)
Segundo - + (-4,2)
Terceiro - - (-3,-7)
Quarto + - (7,-2)
PRODUTO CARTESIANO
Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos
o produto cartesiano entre A e B, denotado por
AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados
da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro
conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.
AxB = { (x,y): xA e yB }
Observe que AxB≠BxA, se A é não vazio ou B é
não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição:
AxØ=Ø=ØxB.
Se A possui m elementos e B possui n elementos,
então AxB possui mxn elementos.
Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o
produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e
será dado por:
AxB = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),
(c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3)}
83
RELAÇÕES NO PLANO CARTESIANO
Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em
AxB é qualquer subconjunto R de AxB.
A relação mostrada na figura acima é:
R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }
Uma relação R de A em B pode ser denotada por
R:A→B.
Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto
cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste
caso, temos algumas relações em AxB:
1. R1={(1,3),(1,4)}
2. R2={(1,3)}
3. R3={(2,3),(2,4)}
DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO DE UMA
RELAÇÃO
As relações mais importantes são aquelas definidas
sobre conjuntos de números reais e nem sempre
uma relação está definida sobre todo o conjunto dos
números reais. Para evitar problemas como estes,
costuma-se definir uma relação R:A→B, onde A e
B são subconjuntos de R, da seguinte forma:
O conjunto A é o domínio da relação R, denotado
por Dom(R) e B é o contradomínio da relação,
denotado por CoDom(R).
Dom(R) = { xA: existe y em B tal que (x,y)R}
Im(R)={yB: existe xA tal que (x,y)R}

Representações gráficas de relações em AxB:
R1={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),
(d,1), (d,2), (d,3)}
R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}
R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}
RELAÇÕES INVERSAS
Seja R uma relação de A em B. A relação inversa
de R, denotada por R -1 , é definida de B em A por:
R -1 = { (y,x)BxA: (x,y)R }
Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma
relação em AxB, definida por
R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}
Então:
R -1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}
Observação: O gráfico da relação inversa R -1 é
simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta
y=x (identidade).
84
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PROPRIEDADES DE RELAÇÕES
Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo
elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou
seja, para todo xA: (x,x)R, isto é, para todo
xA: xRx.
Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é
dada por:
R = {(a,a),(b,b),(c,c)}
Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que
x está relacionado com y, implicar necessariamente
que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer
que sejam xA e yA tal que (x,y)R, segue que
(y,x)R.
Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}
Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está
relacionado com y e y está relacionado com z,
implicar que x deve estar relacionado com z, ou
seja: quaisquer que sejam xA, yA e zA, se
(x,y)R e (y,z)R então (x,z)R.
Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}
Anti-simétrica: Sejam xA e yA. Uma relação R
é anti-simétrica se (x,y)R e (y,x)R implica que
x=y. Alternativamente, uma relação é antisimétrica:
Se x e y são elementos distintos do
conjunto A então x não tem relação com y ou
(exclusivo) y não tem relação com x, o que
significa que o par de elementos distintos (x,y) do
conjunto A poderá estar na relação desde que o par
(y,x) não esteja.
Exemplo: Uma relação anti-simétrica em
A={a,b,c}, é:
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é
chamada relação de equivalência sobre A se, e
somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.
Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA,
definida abaixo, é de equivalência:
R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }
FUNÇÕES NO PLANO CARTESIANO
Referência histórica: Leonhard Euler (1707-
1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático
suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os
ramos da Matemática Pura e Aplicada, com

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destaque para a Análise - estudo dos processos
infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o
responsável também pela adoção do símbolo f(x)
para representar uma função de x. Hoje, função é
uma das idéias essenciais em Matemática.
Uma função f de A em B é uma relação em AxB,
que associa a cada variável x em A, um único y em
B. Uma das notações mais usadas para uma função
de A em B, é:
f:A→B
Quatro aspectos chamam a atenção na definição
apresentada:
O domínio A da relação.
O contradomínio B da relação.
Todo elemento de A deve ter correspondente
em B.
Cada elemento de A só poderá ter no máximo
um correspondente no contradomínio B.
Estas características nos informam que uma função
pode ser vista geometricamente como uma linha no
plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada"
uma única vez por uma reta vertical, qualquer que
seja esta reta.
Exemplo: A circunferência definida por
R={(x,y)R²: x²+y²=a²}
é uma relação que não é uma função, pois tomando
a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes
para a mesma abscissa x.
Neste caso Dom(R)=[-a,a] e CoDom(R)=[-a,a].
RELAÇÕES QUE NÃO SÃO FUNÇÕES
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }
não é uma função em AxB, pois associado ao
mesmo valor a existem dois valores distintos que
são 1 e 3.
Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação
85
R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }
não é uma função em AxB, pois nem todos os
elementos do primeiro conjunto A estão associados
a elementos do segundo conjunto B.
Na sequência, apresentaremos alguns exemplos
importantes de funções reais
FUNÇÕES AFIM E LINEARES
Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a
não nulo. Uma função afim é uma função f:R R
que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.
Exemplos:
1. f(x)=-3x+1
2. f(x)=2x+7
3. f(x)=(1/2)x+4
Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é
uma reta que não passa pela origem (0,0).
Função linear: Seja a um número real. Uma
função linear é uma função f:R R que para cada
x em R, associa f(x)=ax.
Exemplos:
1. f(x)=-3x
2. f(x)=2x
3. f(x)=x/2
O gráfico da função linear é uma reta que sempre
passa pela origem (0,0).

FUNÇÃO IDENTIDADE
É uma função f:R R que para cada x em R,
associa f(x)=x. O gráfico da Identidade é uma reta
que divide o primeiro quadrante e também o
terceiro quadrante em duas partes iguais.
FUNÇÕES CONSTANTES
Seja b um número real. A função constante associa
a cada xR o valor f(x)=b.
Exemplos:
1. f(x)=1
2. f(x)=-7
3. f(x)=0
O gráfico de uma função constante é uma reta
paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).
FUNÇÕES QUADRÁTICAS
Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A
função quadrática é uma função f:R→R que para
cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.
Exemplos:
1. f(x)=x²
86
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2. f(x)=-4 x²
3. f(x)=x²-4x+3
4. f(x)=-x²+2x+7
O gráfico de uma função quadrática é uma curva
denominada parábola.
FUNÇÕES CÚBICAS
Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente
de zero. A função cúbica é uma função f:R→R que
para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Exemplos:
1. f(x)=x³
2. f(x)=-4x³
3. f(x)=2x³+x²-4x+3
4. f(x)=-7x³+x²+2x+7
O gráfico da função cúbica do item (a), se
assemelha a uma parábola tanto no primeiro como
no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores
de f(x) são positivos e no terceiro os valores de f(x)
são negativos.
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM
DE UMA FUNÇÃO
Como nem toda relação é uma função, às vezes,
alguns elementos poderão não ter correspondentes
associados para todos os números reais e para evitar
problemas como estes, costuma-se definir o
Domínio de uma função f, denotado por Dom(f),
como o conjunto onde esta relação f tem
significado.
Consideremos a função real que calcula a raiz
quadrada de um número real. Deve estar claro que a
raiz quadrada de -1 não é um número real, assim
como não são reais as raízes quadradas de
quaisquer números negativos, dessa forma o
domínio desta função só poderá ser o intervalo
[0,), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os
reais.

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Como nem todos os elementos do contradomínio de
uma função f estão relacionados, define-se a
Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto
de todos os elementos do contradomínio que estão
relacionados com elementos do domínio de f, isto é:
Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }
Observe que, se uma relação R é uma função de A
em B, então A é o domínio e B é o contradomínio
da função e se x é um elemento do domínio de uma
função f, então a imagem de x é denotada por f(x).
Exemplos: Cada função abaixo, tem características
distintas.
1. f:R→R definida por f(x)=x²
Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,)
2. f:[0,2]→R definida por f(x)=x²
Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]
3. A função modular é definida por f:R→R tal
que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e
Im(f)=[0,) e seu gráfico é dado por:
4. Uma semi-circunferência é dada pela função
real f:R→R, definida por
Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e
seu gráfico é dado por:
FUNÇÕES INJETORAS
Uma função f:A→B é injetora se quaisquer dois
elementos distintos de A, sempre possuem imagens
distintas em B, isto é:
x1≠x2 implica que f(x1)≠f(x2)
ou de forma equivalente
f(x1)=f(x2) implica que x1=x2
87
Exemplos:
1. A função f:R→R definida por f(x)=3x+2 é
injetora, pois sempre que tomamos dois valores
diferentes para x, obtemos dois valores
diferentes para f(x).
2. A função f:R→R definida por f(x)=x²+5 não é
injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-
1 temos f(-1)=6.
FUNÇÕES SOBREJETORAS
Uma função f:A→B é sobrejetora se todo elemento
de B é a imagem de pelo menos um elemento de A.
Isto equivale a afirmar que a imagem da função
deve ser exatamente igual a B que é o
contradomínio da função, ou seja, para todo y em B
existe x em A tal que y=f(x).
Exemplos:
1. A função f:R→R definida por f(x)=3x+2 é
sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem
de um elemento de R pela função.
2. A função f:R→(0,) definida por f(x)=x² é
sobrejetora, pois todo elemento pertecente a
(0,) é imagem de pelo menos um elemento de
R pela função.
3. A função f:R→R definida por f(x)=2 x não é
sobrejetora, pois o número -1 é elemento do
contradomínio R e não é imagem de qualquer
elemento do domínio.
FUNÇÕES BIJETORAS
Uma função f:A→B é bijetora se ela é ao mesmo
tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo: A função f:R→R dada por f(x)=2x é
bijetora, pois é injetora e bijetora.
FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
Função par: Uma função real f é par se, para todo
x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma
função par possui o gráfico simétrico em relação ao
eixo vertical OY.
Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(x)=x²=f(x).
Observe o gráfico de f! Outra função
par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).
Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para
todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x).

Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em
relação à origem do sistema cartesiano.
Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x)
são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x).
Veja o gráfico para
observar a simetria em relação à origem.
FUNÇÕES CRESCENTES E
DECRESCENTES
Função crescente: Uma função f é crescente, se
quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com
x

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OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas
operações, entre as quais:
(f+g)(x) = f(x)+g(x)
(f-g)(x) = f(x)-g(x)
(f.g)(x) = f(x).g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x)≠0.
FUNÇÕES POLINOMIAIS
Uma função polinomial real tem a forma
f(x) = anx n + an-1x n-1 + ... + a1x + ao
sendo Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f) dependente
de f.
SEQUÊNCIAS REAIS
SEQUÊNCIAS REAIS
Sequências reais
Exemplos de sequências
Sequências finitas e infinitas
Sequências aritméticas e PA
Termo geral da PA
PA monótonas
Extremos e Meios na PA
Interpolação aritmética
Função real: Uma função f sobre um conjunto X
com imagem no conjunto Y, denotada por f:X→Y,
associa a cada xX um único elemento yY, para
todos os elementos de X. O que caracteriza o nome
da função é o contradomínio Y da mesma. Se Y é
um conjunto de:
1. números reais, temos uma função real.
2. vetores, temos uma função vetorial.
3. matrizes, temos uma função matricial.
4. números complexos, a função é complexa.
89
Observação: A área de um quadrado pode ser
representada pela função real f(x)=x² onde x é a
medida do lado do quadrado e o volume de um
cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x
é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela
qual associamos as palavras quadrado e cubo às
funções com as potências 2 e 3.
Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis
na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada
quando se pretende obter o volume de uma caixa
(sem tampa) na forma de paralelepípedo que se
pode construir com uma chapa metálica quadrada
com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos
quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da
chapa. Concluímos que V(x)=(20-2x)x² e com esta
função é possível obter valores ótimos para
construir a caixa.
Soma dos termos da PA
Sequências geométricas e PG
Termo geral da PG
PG monótonas
Interpolação geométrica
Soma dos termos da PG
Soma de série geométrica
Exercícios resolvidos
Neste trabalho, o conjunto dos números naturais
será indicado por:
N={1,2,3,4,5,...}
Sequências reais: Uma sequência real (ou
sucessão) é uma função f:N→R que associa a cada
número natural n um número real f(n). O valor
numérico f(n) é o termo de ordem n da sequência.
Do modo como definimos a sequência, o domínio
de f é um conjunto infinito, mas o contradomínio
poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma
sequência é indicado por Dom(f)=N e a imagem de
uma sequência por Im(f)={a1,a2,a3, ...}.
Muitas vezes, a sequência (função) é confundida
com a Imagem da função (conjunto de números),

no entanto, esta confusão até mesmo colabora para
o entendimento do significado de uma sequência no
âmbito do Ensino Médio.
Um fato importante é que a função determina a
regra que os elementos do conjunto imagem devem
seguir.
EXEMPLOS IMPORTANTES DE SEQUÊNCIAS
REAIS
Função identidade: Seja f:N→R definida por
f(n)=n. Esta função pode ser representada
graficamente de várias formas, sendo que duas
delas estão mostradas abaixo, com o diagrama de
Venn-Euler (esquerda) e o gráfico cartesiano
(direito). Neste caso, Dom(f)=N e Im(f)={1,2,3,...}
Sequência de números pares: Seja f:N R
definida por f(n)=2n. Neste caso Im(f)={2,4,6,...}.
Duas representações gráficas para esta sequência,
são:
Sequência de números ímpares: A função f:N→R
definida por f(n)=2n-1, está representada abaixo e a
sua imagem é Im(f)={1,3,5,...}.
Sequência dos recíprocos: A sequência dos
recíprocos (ou inversos) dos números naturais
f:N→R é definida por f(n)=1/n. Neste caso
Im(f)={1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...}.
90
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Sequência constante: Uma sequência constante é
uma função f:N R definida, por exemplo, por
f(n)=3 e pode ser representada graficamente por:
Neste caso, Im(f)={3}
Sequência nula: A sequência nula f:N R é
definida por f(n)=0. A imagem é o conjunto
Im(f)={0}. f pode ser vista graficamente como:
Sequência alternada: Uma sequência alternada
f:N R pode ser definida por f(n)=(-1) n n. Esta
sequência de números fica alternando o sinal de
cada termo, sendo um negativo e o seguinte
positivo, e assim por diante. A imagem é o
conjunto:
Im(f)={-1,+2,-3,+4,-5,+6,...}
Sequência aritmética: A sequência aritmética
f:N→R é definida por: f(n)=a1+(n-1)r e pode ser
vista com os gráficos abaixo:
Neste caso: Im(f)={a1,a1+r,a1+2r,...,a1+(n-1) r,...}.
Sequência geométrica: Uma sequência geométrica
é uma função f:N→R definida por: f(n)=a1q n-1 que
pode ser esboçada graficamente por:

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Aqui Im(f)={a1,a1q,a1q 2 ,...,a1q n-1 ,...}.
Sequência recursiva:: Uma sequência é recursiva
se, o termo de ordem n é obtido em função dos
termos das posições anteriores.
Exemplo: A importante sequência de Fibonacci,
definida por f:N→R tal que f(1)=1 e f(2)=1 com
f(n+2)=f(n)+f(n+1)
para n>1, é uma sequência recursiva.
O conjunto imagem é
Im(f)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,...}
f(1) = 1
f(2) = 1
f(3) = f(1)+f(2) = 1+ 1 = 2
f(4) = f(2)+f(3) = 1+ 2 = 3
f(5) = f(3)+f(4) = 2+ 3 = 5
f(6) = f(4)+f(5) = 3+ 5 = 8
f(7) = f(5)+f(6) = 5+ 8 = 13
f(8) = f(6)+f(7) = 8+13 = 21
f(9) = f(7)+f(8) = 13+21 = 34
... ... ...
As sequências de Fibonacci aparecem de uma
forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura,
Artes e Padrões de beleza. O livro "A divina
proporção", Huntley, Editora Universidade de
Brasília, trata do assunto.
Observação: O gráfico de uma sequência não é
formado por uma coleção contínua de pontos mas
por uma coleção discreta. Eventualmente usamos
retas ou curvas entre dois pontos dados para melhor
visualizar o gráfico, mas não podemos considerar
tais linhas como representativas do gráfico da
sequência.
Toda vez que nos referirmos a uma sequência
f:N→R tal que f(n)=an, simplesmente usaremos a
imagem da sequência f, através do conjunto
Im(f)={ a1, a2, a3, ..., an-1, an, ...}
91
SEQUÊNCIAS FINITAS E INFINITAS
Quanto ao número de elementos da imagem, uma
sequência poderá ser finita ou infinita.
Sequência Finita: Uma sequência é finita se, o seu
conjunto imagem é um conjunto finito.
Exemplos: As sequências f:N→R definidas por
f(n)=0, g(n)=(-1) n e h(n)=cos(n/3) são finitas e as
suas imagens são, respectivamente:
Im(f)={0}, Im(g)={-1,1}, Im(h)={1/2,-1/2,-1,1}
Sequência Infinita: Uma sequência é infinita se, o
seu conjunto imagem é um conjunto infinito.
Exemplos: As sequências f:N→R definidas por
f(n)=2n, g(n)=(-1) n n, h(n)=sin(n) e k(n)=cos(3n)
são infinitas, pois suas imagens possuem infinitos
termos.
Exemplo: Seja a sequência infinita f:N→R, cujo
conjunto imagem é dado por Im(f)={5,10,15,20,...}.
Observamos que
f(1)=5=5×1, f(2)=10=5×2, f(3)=15=5×3, ..., f(n)=5n
Este é um exemplo de uma sequência aritmética, o
que garante que ela possui uma razão r=5, o que
permite escrever cada termo como
f(n)=f(1)+(n-1).r
No âmbito do Ensino Médio, esta expressão é
escrita como:
an=a1+(n-1).r
SEQUÊNCIAS ARITMÉTICAS E PA
Uma sequência muito útil é a sequência aritmética,
que possui domínio infinito. Esta sequência é
conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma
Progressão Aritmética infinita, mas o objeto
matemático denominado Progressão Aritmética
finita não é uma sequência, uma vez que o domínio
da função que define a progressão, é um conjunto
finito {1,2,3,...,m} contido no conjunto N dos
números naturais.
Progressão Aritmética finita: Surge aqui o
conceito de Progressão Aritmética finita, que é uma
coleção finita de números reais com as mesmas
características que uma sequência aritmética. As
Progressões Aritméticas são denotadas por PA e
são caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir
do segundo, é obtido pela soma do anterior com um
número fixo r, denominado razão da PA.
Na sequência, apresentamos os elementos básicos
de uma Progressão Aritmética da forma:
C = { a1, a2, a3, ..., an, ..., am-1, am }
1. m é o número de termos da PA.

2. n indica uma posição na sequência. n é o índice
para a ordem do termo geral an no conjunto C.
3. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice
n.
4. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê a índice
1.
5. a2 é o segundo termo da PA, que se lê a índice
2.
6. am é o último elemento da PA.
7. r é a razão da PA e é possível observar que
a2=a1+r, a3=a2+r, ..., an=an-1+r, ..., am=am-1+r
A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser
obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do
termo posterior (consequente), ou seja:
a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 = ... an-an-1 = r
Exemplos de Progressões Aritméticas (finitas)
1. A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14}
possui razão r=3, pois:
2+3=5, 5+3=8, 8+3=11, 11+3=14
2. A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5}
possui razão r=1, pois:
1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5
3. A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18}
possui razão r=3, pois:
6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3
4. A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui
razão r=4, pois:
4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4
Média aritmética: Dados n números reais x1, x2,
x3, ..., xn, definimos a média aritmética entre estes
números, denotada pela letra x com um traço sobre
a mesma, como a divisão entre a soma desses
números e o número de elementos:
Na Progressão Aritmética, cada termo é a média
aritmética entre o antecedente e o consequente do
termo tomado, daí a razão de tal denominação para
este tipo de sequência.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA
Consideremos a PA com razão r, definida por
Observamos que:
P = { a1, a2, a3, ..., an-1, an }
92
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a1 = a1 = a1 + 0r
a2 = a1 + r = a1 + 1r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
... ... ... ...
an = an-1+r = a1+(n-1)r
e obtemos a fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n-1) r
Com o material apresentado, podemos obter
qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA),
sem precisar escrevê-la completamente.
Exemplo: Seja a PA com razão r=5, dada pelo
conjunto C={3,8,...,a30,...,a100}. O trigésimo e o
centésimo termos desta PA podem ser obtidos,
substituindo os dados da PA na fórmula do termo
geral an=a1+(n-1)r. Assim:
a30=3+(30-1)3=90 e a100=3+(100-1)3=300
Qual é o termo de ordem n=2 20 desta PA?
Exemplo: Para inserir todos os múltiplos de 5, que
estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela.
21 25 30 ... 615 620 623
a1 a2 ... an-1 an
Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a1=25, o último
múltiplo de 5 é an=620 e a razão é r=5. Substituindo
os dados na fórmula an=a1+(n-1)r, obteremos
620 = 25 + (n-1)5
de onde segue que n=120, assim o número de
múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120 e
podemos observar que o conjunto de tais números é
C5 = { 25, 30, 35, ..., 615, 620 }
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
MONÓTONAS
Quanto à monotonia, uma PA pode ser:
1. crescente se para todo n>1: r>0 e an1: r=0 e an+1=an.
3. decrescente se para todo n>1: r

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Exemplo: A PA finita G={2,2,2,2,2} é constante.
Exemplo: A PA definida pelo conjunto Q={2,0,-2,-
4,-6} é decrescente com razão r=-2 e
a1>a2>...>a4>a5.
Exercício: Em uma PA com m termos, mostrar que
a razão r pode ser escrita na forma r=(am-a1)/(m-1).
EXTREMOS E MEIOS EM UMA PA
Em uma Progressão Aritmética (finita) dada pelo
conjunto:
C = { a1, a2, a3, ..., an,...,am-1, am }
os termos a1 e am são denominados extremos
enquanto os demais: a2, a3, ..., am-2, am-1 são os
meios aritméticos.
a1 a2, a3, ..., am-2, am-1 am
meios aritméticos
93
Exemplo: Na PA definida por C={1,3,5,7,9,11}, os
números 1 e 11 são os extremos e os números 3, 5,
7 e 9 são os meios aritméticos.
Termos equidistantes dos extremos: Em uma PA
com m termos, dois termos são equidistantes dos
extremos se a soma de seus índices é igual a m+1 e
sob estas condições, são equidistantes dos extremos
os pares de termos
a1 e am, a2 e am-1, a3 e am-2, ...
Se a PA possui um número de termos m que é par,
temos m/2 pares de termos equidistantes dos
extremos.
Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20,24},
possui um número par de termos e os extremos são
a1=4 e a6=24, assim:
a2 + a5 = 8 + 20 = 28 = a1 + a6
a3 + a4 = 12 + 16 = 28 = a1 + a6
a4 + a3 = 16 + 12 = 28 = a1 + a6
a5 + a2 = 20 + 8 = 28 = a1 + a6
Se o número m de termos é impar, temos (m-1)/2
pares de termos equidistantes e ainda teremos um
termo isolado (de ordem (m+1)/2) que é
equidistante dos extremos.
Exemplo: Na PA de C={1,3,5,7,9} os números 1 e
9 são os extremos da PA e os números 3, 5 e 7 são
os meios da PA. O par de termos equidistante dos
extremos é formado por 3 e 7, e além disso o
número 5 que ficou isolado também é equidistante
dos extremos.
Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20},
possui um número ímpar de termos e os extremos
são a1=4 e a5=20, logo
a2 + a4 = 8 + 16 = 24 = a1 + a5
a3 + a3 = 12 + 12 = 24 = a1 + a5
a4 + a2 = 16 + 8 = 24 = a1 + a5
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Interpolar k meios aritméticos entre os números a e
b, significa obter uma PA com k+2 termos cujos
extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo
e b é o (último) termo de ordem k+2. Para realizar a
interpolação, basta determinar a razão da PA.
Exemplo: Para interpolar 6 meios aritméticos entre
a=-9 e b=19, é o mesmo que obter uma PA tal que
a1=-9, am=19 e m=8. Como r=(am-a1)/(m-1), então
r=(19-(-9))/7=4 e assim a PA ficará na forma do
conjunto:
C = { -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19 }
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE
UMA PA (FINITA)

Em uma PA (finita), a soma de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos
extremos desta PA. Assim:
a2+am-1=a3+am-2=a4+am-3=...=an+am-n+1=...=a1+am
Seja a soma Sn dos n primeiros termos da PA, dada
por
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
Como a soma de números reais é comutativa,
escrevemos:
Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro as duas últimas
expressões acima, obtemos:
2Sn = (a1+an) + (a2+an-1) +...+ (an-1+a2) + (an+a1)
Como todas as n expressões em parênteses são
somas de pares de termos equidistantes dos
extremos, segue que a soma de cada termo, sempre
será igual a (a1+an), então:
2Sn = (a1 + an) n
Assim, temos a fórmula para o cálculo da soma dos
n primeiros termos da PA.
Sn = (a1 + an)n/2
Exemplo: Para obter a soma dos 30 primeiros
termos da PA definida por C={2,5,8,...,89}. Aqui
a1=2, r=3 e n=30. Aplicando a fórmula da soma,
obtida acima, temos:
Sn = (a1+an)n/2 = (2+89)×30/2 = (91×30)/2 = 1365
SEQUÊNCIAS GEOMÉTRICAS E PG
Outra sequência muito importante é a sequência
geométrica, que possui domínio infinito. Esta
sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio,
como uma Progressão Geométrica infinita, mas o
objeto matemático denominado Progressão
Geométrica finita não é uma sequência, uma vez
que o domínio da função é um conjunto finito
{1,2,3,...,m} que é um subconjunto próprio de N.
As sequência geométricas são aplicadas a estudos
para a obtenção do montante de um valor
capitalizado periodicamente, assim como em
estudos de Taxas de juros, Financiamentos e
Prestações. Tais sequências também aparecem em
estudos de decaimento radioativo (teste do Carbono
14 para a análise da idade de um fóssil ou objeto
antigo).
No Ensino Superior tais sequências aparecem em
estudos de Sequências e Séries de números e de
funções, sendo que a série geométrica (um tipo de
sequência obtida pelas somas de termos de uma
sequência geométrica) é muito importante para a
obtenção de outras séries numéricas e séries de
funções.
94
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Progressão Geométrica finita: Uma Progressão
Geométrica finita, é uma coleção finita de números
reais que possui as mesmas características que uma
sequência geométrica, no entanto, possui um
número finito de elementos. As Progressões
Geométricas são denotadas por PG e são
caracterizadas pelo fato que a divisão do termo
seguinte pelo termo anterior é um quociente q
fixado.
Se este conjunto possui m elementos, ele é
denotado por
G = { a1, a2, a3, ..., an,...,am-1,am }
No caso de uma Progressão Geométrica finita,
temos os seguintes termos técnicos.
1. m é o número de termos da PG.
2. n indica uma posição na sequência. n é o índice
para a ordem do termo geral an no conjunto G.
3. an é o n-ésimo termo da PG, que se lê a índice
n.
4. a1 é o primeiro termo da PG, que se lê a índice
1.
5. a2 é o segundo termo da PG, que se lê a índice
2.
6. am é o último elemento da PG.
7. q é a razão da PG, que pode ser obtida pela
divisão do termo posterior pelo termo anterior,
ou seja na PG definida por G={a1,a2,a3,...,an-
1,an}, temos que
a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 =...= an/an-1 = q
Média geométrica: Dados n números reais
positivos x1, x2, x3, ..., xn, definimos a média
geométrica entre estes números, denotada pela letra
g, como a raiz n-ésima do produto entre estes
números, isto é:
Na Progressão Geométrica, cada termo é a média
geométrica entre o antecedente e o consequente do
termo tomado, daí a razão de tal denominação para
este tipo de sequência.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG
Observamos que:
a1 = a1 = a1 q 0
a2 = a1 q = a1 q 1
a3 = a2 q = a1 q 2
a4 = a3 q = a1 q 3
... ... ...
an = an-1 q = a1 q n-1
E temos a fórmula para o termo geral da PG, dada
por:

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an = a1 q n-1
Exemplos com progressões geométricas finitas
1. Seja a PG finita, definida por G={2,4,8,16,32}.
Obtemos a razão q=2 da PG com a divisão do
consequente pelo antecedente, pois:
32÷16 = 16÷8 = 8÷4 = 4÷2 = 2
2. Para a PG definida por G={8,2,1/2,1/8,1/32}, a
divisão de cada termo posterior pelo anterior é
q=1/4, pois:
1/32÷1/8 = 1/8÷1/2 = 1/2÷2 = 2÷8 = 1/4
3. Para a PG definida por T={3,9,27,81}, temos:
q = 9/3 = 27/3 = 81/3 = 3
4. Para a PG A={10,100,1000,10000}, temos:
q = 100/10 = 1000/100 = 10000/1000 = 10
5. Para obter o termo geral da sequências
geométrica definida por E={4,16,64,...},
tomamos a1=4 e a2=16. Assim q=16/4=4.
Substituindo estes dados na fórmula do termo
geral da sequência geométrica, obtemos:
f(n) = a1.q n-1 = 4 1 .4 n-1 =4 (n-1)+1 = 4 n
6. Para obter o termo geral da PG tal que a1=5 e
q=5, basta usar a fórmula do termo geral da
PG, para escrever:
an = a1.q n-1 = 5.5 n-1 = 5 1 .5 n-1 = 5 (n-1)+1 = 5 n
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
MONÓTONAS
Quanto ao aspecto de monotonia, uma PG pode ser:
1. Crescente se para todo n>1: q>1 e an1: q=1 e an=an+1.
3. Decrescente se para todo n>1: 01: q

q Sn = a1q + a1q 2 + a1q 3 + a1q 4 + ... + a1q n-1 + a1q n
Dispondo estas expressões de uma forma alinhada,
obteremos:
Sn = a1 + a1q +...+ a1q n-1
q Sn = a1q +...+ a1q n-1 + a1q n
Subtraindo membro a membro, a segunda
expressão da primeira, obteremos
Sn - q Sn = a1 - a1 q n
que pode ser simplificada em
ou seja
Sn(1-q) = a1 (1 - q n )
Sn = a1(1-q n )/(1-q) = a1(q n -1)/(q-1)
Esta é a fórmula para a soma dos n termos de uma
PG finita de razão q, sendo -1

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Para obter a soma S, deve-se então tomar o limite
de Sn quando n tende a infinito e poderemos
escrever:
Concluímos então que para -1

Existe uma definição mais ampla do conceito de
vetor (não necessariamente geométrica) que
envolve uma gama variada de objetos matemáticos
como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de
equações diferenciais, etc.
SOMA DE VETORES
Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma
de v e w, por:
v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)
Propriedades da soma de vetores
1. Fecho: Para quaisquer u e v de R³, a soma u+v
está em R³.
2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R³:
v+w=w+v.
3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de
R³: u+(v+w)=(u+v)+w.
4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0,0)
em R³ tal que para todo vetor u de R³, se tem:
Ø+u=u.
5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R³,
existe um vetor -v em R³ tal que: v+(-v)=Ø.
APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS
Ponto Médio de um segmento: Dado um
segmento de reta, cujas extremidades são também
as extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1) e
v2=(x2,y2,z2), o ponto médio deste segmento é dado
por m=(x,y,z) onde
x = (x1+x2)/2; y = (y1+y2)/2; z = (z1+z2)/2
Centro de Gravidade de um triângulo:
Consideremos os vértices de um triângulo, dados
pelas extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1),
v2=(x2,y2,z2) e v3=(x3,y3,z3). O centro de gravidade
deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y,z) onde
x =(x1+x2+x3)/3; y =(y1+y2+y3)/3; z =(z1+z2+z3)/3
DIFERENÇA DE VETORES
Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a
diferença entre v e w, por:
v - w = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)
Exercício: Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construir
os vetores v, w, -v, -w, v+w e v-w.
PRODUTO DE VETOR POR ESCALAR
Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a
multiplicação de k por v, como:
98
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k.v = (ka,kb,kc)
PROPRIEDADES DO PRODUTO DE
ESCALAR POR VETOR
Quaisquer que sejam os escalares a, b e c e os
vetores v e w teremos:
(E1) 1 v = v
(E2) (a b)v = a (b v) = b (a v)
(E3) a v = b v com v não nulo, então a=b.
(E4) k (v + w) = k v + k w
(E5) (a + b)v = a v + b v
MÓDULO DE UM VETOR E VETORES UNITÁRIOS
O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é
definido por:
Um vetor unitário é o que tem o módulo
(comprimento) igual a 1.
Exemplo: Existe um importante conjunto com três
vetores unitários de R³.
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)
Estes três vetores formam a base canônica para o
espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço
R³ pode ser escrito como combinação linear dos
vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:
v = (a,b,c) = a i + b j + c k
Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário
com a mesma direção e sentido que um vetor v,
basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:
u = v / |v|
Para construir um vetor w paralelo a um vetor v,
basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:
w = k v
As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c)
sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são
respectivamente, dadas por:
vx=(0,b,c); vy=(a,0,c); vz=(a,b,0)
Exercício: Quais são os vetores que representam as
projeções ortogonais do vetor v = (3,4,12)? Quais
são os módulos de todos estes vetores? Esboce um
gráfico com estes vetores.
PRODUTO ESCALAR
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3),
definimos o produto escalar (produto interno) entre
v e w, como o escalar real:

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v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3
Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e
w=(2,-7,12) é:
v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48
O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:
v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0
Exercício: Faça um gráfico, com muito cuidado nas
medidas e mostre as posições dos vetores v e w do
último exemplo.
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar
k:
(PE1) v.w = w.v
(PE2) v.v = |v| |v| = |v|²
(PE3) u.(v + w) = u.v + u.w
(PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w)
(PE5) |k v| = |k| |v|
(PE6) |u.v| < |u|.|v| (desigualdade de Schwarz)
(PE7) |u+v| < |u|+|v| (desigualdade triangular)
ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES (PRODUTO
ESCALAR)
O produto escalar entre os vetores v e w pode ser
escrito na forma:
v.w = |v| |w| cos(t)
onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w.
Observamos que este ângulo pode ser maior ou
igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus
(pi radianos). Com esta última definição, podemos
obter o ângulo t, através do cosseno deste
argumento t.
cos(t) = (v.w) / (|v|.|w|)
Exercício: Realizar uma análise acerca do produto
escalar de dois vetores, quando o ângulo t é nulo,
quando é reto e quando é raso.
Exercício: Determinar o ângulo entre os vetores
v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de
construir um gráfico com esses objetos
matemáticos.
99
VETORES ORTOGONAIS
Dois vetores v e w são ortogonais se o produto
escalar entre ambos é nulo, isto é, v.w=0.
Exercício: Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos
são os vetores ortogonais a v no espaço R³?
Construa geometricamente esta situação.
PRODUTO VETORIAL
Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3),
definimos o produto vetorial (produto exterior)
entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido
pelo objeto matemático que não é um determinante
mas que pode ser calculado como se fosse um
determinante.
u × v =
Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6),
o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-
3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do
"determinante". Observamos que o produto vetorial
é um vetor em R³.
u × v = = (-3,6,-3)
Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano
do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será
v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste
plano, daí a razão deste produto ser denominado
exterior.
Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor
ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o
produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os
dois vetores v e w.
PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
(PV1) v × w = - w × v
(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w
(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)
(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0
(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j

(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são
paralelos
ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
(PRODUTO VETORIAL)
O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser
escrito na forma:
v × w = |v| |w| sen(t) U
onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U
é um vetor unitário que é paralelo ao produto
vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também
a w.
Tomando o módulo em ambos os lados da
igualdade acima, obtemos:
|v × w| = |v| |w| sen(t)
e isto significa que, com esta última definição de
produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre
dois vetores v e w, através de:
sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|)
sendo que t é um número real pertencente ao
intervalo [0,pi].
APLICAÇÕES DO PRODUTO VETORIAL
Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores
v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a
formar um ângulo diferente de zero e também
diferente de pi radianos, o módulo do produto
vetorial entre v e w pode ser interpretado como a
área do paralelogramo que tem v e w como lados
contíguos.
A(paralelogramo) = | v × w |
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Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
Área do triângulo: A metade do módulo do
produto vetorial entre v e w pode ser interpretada
como sendo a área do triângulo que tem dois lados
como os vetores v e w, com origens no mesmo
ponto, isto é:
A(triângulo) = ½ | v × w |
PRODUTO MISTO
Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e
w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v
e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o
número real obtido a partir do determinante
[u,v,w] = u·(v×w) =
APLICAÇÕES DO PRODUTO MISTO
Volume do paralelepípedo: O módulo do produto
misto entre u, v e w representa o volume do
paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas
pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm
a mesma origem. Isto é,
V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.
Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do
produto misto entre u, v e w representa o volume do
tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as
3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w,
sendo que estes vetores têm a mesma origem.
V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|
GEOMETRIA PLANA: VETORES NO PLANO CARTESIANO
DEFINIÇÃO DE VETOR
Definição de vetor
Soma de vetores e propriedades
Aplicações geométricas
Diferença de vetores
Produto por escalar e propriedades
Módulo de vetor e propriedades
Produto escalar e propriedades
Ângulo entre dois vetores
Vetores ortogonais
Vetores paralelos
Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de
objetos matemáticos (segmentos) com a mesma

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direção, mesmo sentido e mesmo módulo
(intensidade).
1. A direção é a da reta que contém o segmento.
2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.
3. O módulo é o comprimento do segmento.
Uma quarta característica de um vetor é formada
por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa
(origem) e um outro ponto onde ele termina
(extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas
pela diferença entre as coordenadas da extremidade
e as coordenadas da origem.
Observação: Existe uma definição, não
necessariamente geométrica, muito mais ampla do
conceito de vetor envolvendo uma gama variada de
objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos,
funções, soluções de equações diferenciais, etc.
Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e
extremidade em (7,12), ele é dado por v=(6,10),
pois:
v = (7,12)-(1,2) = (6,10)
Esta classe de objetos é representada por um
segmento de reta (representante) desta família que
tem as mesmas características.
O representante escolhido, quase sempre é o vetor
com a origem está em (0,0) e a extremidade em
(a,b) no plano cartesiano e que será denotado por
v = (a,b)
SOMA DE VETORES E SUAS
PROPRIEDADES
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores
v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)
Propriedades da soma de vetores
1. Fecho:Para quaisquer u e v de R², a soma u+v
está em R².
2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²:
v + w = w + v
3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de
R²:
u + (v + w) = (u + v) + w
4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em
R² tal que para todo vetor u de R², se tem:
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Ø + u = u
5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R²,
existe um vetor -v em R² tal que:
v + (-v) = Ø
APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS
Ponto médio de um segmento: Dado um segmento
de reta, cujas extremidades são também as
extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ) e v2=(x2 ,y2 ),
o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y)
onde
x=(x1 + x2 )/2 e y=(y1 + y2 )/2
Centro de gravidade de um triângulo: Tomemos
os vértices de um triângulo como as extremidades
dos vetores v1=(x1 , y1 ), v2=(x2 ,y2 ) e v3=(x3 ,y3 ).
O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo
vetor g=(x,y) onde
x=(x1 + x2 + x3 )/3 e y=(y1 + y2 + y3 )/3
DIFERENÇA DE VETORES
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v
e w, por:
v-w = (a-c,b-d)
PRODUTO POR ESCALAR E SUAS
PROPRIEDADES
Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real,
definimos a multiplicação de k por v, por:
k.v = (ka,kb)
Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores:
1. 1 v = v
2. (ab) v = a (b v) = b (a v)
3. Se a v = b v e v é um vetor não nulo, então a = b.
4. a (v + w) = a v + a w
5. (a + b) v = a v + b v
Exercício: Dados os vetores v=(3,4) e w=(8,12),
construa no plano cartesiano os vetores: v, w, -v, -
w, v+w e v-w.
MÓDULO DE UM VETOR E SUAS
PROPRIEDADES
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um
número real não negativo, definido por:

Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual
a 1.
Exercício: Mostrar que para todo t real, o vetor
v=(cos(t),sen(t)) é unitário.
Observações
1. Existem dois vetores unitários, que formam a
base canônica para o espaço R², dados por:
i=(1,0) e j=(0,1)
2. Para obter um versor de v, que é um vetor
unitário u com a mesma direção e sentido que o
vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de
v, isto é:
3. Para obter um vetor w paralelo a um vetor v,
basta tomar w=kv onde k é um escalar não
nulo. Nesse caso, w e v serão paralelos.
a. Se k=0 então w será o vetor nulo.
b. Se 0

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