Cálculo integral em R
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Conteúdo<br />
1 <strong>Cálculo</strong> <strong>integral</strong> 1<br />
1.1 Integral de Ri<strong>em</strong>ann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1<br />
1.2 Fórmula fundamental do cálculo <strong>integral</strong>. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
1.3 Aplicações do cálculo <strong>integral</strong> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17<br />
1.4 Integração por partes e por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
1.5 Teor<strong>em</strong>a da média. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
1.6 Integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30<br />
1.7 Integral impróprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38<br />
Os apontamentos Lições de Mat<strong>em</strong>ática tiveram orig<strong>em</strong> nas matérias leccionadas aos alunos de<br />
Mat<strong>em</strong>ática II (Lic. <strong>em</strong> Biologia) ao longo do ano lectivo de 2004-05. Uma parte do conteúdo<br />
aqui apresentado foi inspirado nos apontamentos manuscritos da Isabel Faria para a disciplina de<br />
Análise Mat<strong>em</strong>ática I e uma parte dos exercícios provém dos exercícios dessa mesma disciplina.<br />
Estes apontamentos foram realizados com recurso a software livre, como o Tex, GnuPlot e XFig.<br />
Não posso deixar de agradecer os preciosos conselhos dos meus colegas das disciplinas de Análise<br />
Mat<strong>em</strong>ática I, Análise Mat<strong>em</strong>ática II e Mat<strong>em</strong>ática I, a qu<strong>em</strong> recorri por diversas vezes.<br />
Um agradecimento também às alunas que disponibilizaram a sua resolução dos exercícios para<br />
ser<strong>em</strong> colocados na página web da disciplina.<br />
Um agradecimento muito especial à Isabel Faria, que ainda leu algumas das Lições de Mat<strong>em</strong>ática,<br />
detectando várias gralhas e alguns erros e sugerindo diversas melhorias ao texto.<br />
i
CONTE ÚDO<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 ii
Capítulo 1<br />
<strong>Cálculo</strong> <strong>integral</strong><br />
1.1 Integral de Ri<strong>em</strong>ann<br />
Seja f : I = [a,b] → R uma função contínua tal que f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b]. Pretend<strong>em</strong>os<br />
determinar a área da região delimitada pelo eixo dos xx e o gráfico de f, que designamos por A.<br />
Comec<strong>em</strong>os por calcular a área aproximada utlizando regiões cujas áreas conhec<strong>em</strong>os.<br />
Pelo teor<strong>em</strong>a de Weierstrass, toda a função contínua num intervalo fechado e limitado t<strong>em</strong><br />
máximo e mínimo nesse intervalo. Seja m = min{f(x) : x ∈ [a,b]} e M = max{f(x) : x ∈<br />
[a,b]}. Claramente a área A é limitada inferiormente por S 0 = m(b − a) e superiormente por<br />
S0 = M(b − a), i.e.,<br />
S 0 = m(b − a) ≤ A ≤ S0 = M(b − a).<br />
m<br />
y<br />
a b<br />
x<br />
y<br />
a b<br />
x<br />
M<br />
y<br />
a b<br />
Pod<strong>em</strong>os tentar melhorar a aproximação ao valor de A, subdividindo o intervalo [a,b] <strong>em</strong> dois<br />
sub-intervalos [a,c] e [c,b] onde c ∈]a,b[ é um ponto arbitrário. Designamos por<br />
Claramente t<strong>em</strong>os<br />
m1 = min{f(x) : x ∈ [a,c]}, m2 = min{f(x) : x ∈ [c,b]},<br />
M1 = max{f(x) : x ∈ [a,c]} M2 = max{f(x) : x ∈ [c,b]}.<br />
S 0 ≤ S 1 = m1(c − a) + m2(b − c) ≤ Área ≤ S1 = M1(c − a) + M2(b − c) ≤ S0,<br />
conforme está representado na seguinte figura.<br />
1<br />
x
m1<br />
m2<br />
y<br />
S 1 (f)<br />
y<br />
≤ ≤<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
x<br />
x<br />
a c b<br />
a c b<br />
a c b<br />
Continuando este processo pod<strong>em</strong>os determinar duas sucessões, uma crescente, S n(f), designada<br />
por sucessão das somas inferiores de Darboux de f, e outra decrescente, Sn(f), designada por<br />
sucessão das somas superiores superiores de Darboux de f, tais que<br />
M2<br />
M1<br />
y<br />
S1(f)<br />
S 0(f) ≤ S 1(f) ≤ · · · ≤ S n(f) ≤ · · · ≤ A ≤ · · · ≤ Sn(f) ≤ · · · ≤ S1(f) ≤ S0(f).<br />
Intuitivamente o valor da área A será o valor dos limites de ambas estas sucessões. Neste caso<br />
diz<strong>em</strong>os que a função é integrável à Ri<strong>em</strong>ann e escrev<strong>em</strong>os b<br />
f = f(x)dx = área A.<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
Pretend<strong>em</strong>os calcular<br />
1<br />
xdx. Calculando as somas inferiores e superiores de Darboux associadas<br />
0<br />
às partições representadas na seguinte figura e que foram obtidas dividindo sucessivamente a<br />
meio cada um dos sub-intervalos anteriores obt<strong>em</strong>os a sucessão crescente<br />
e a sucessão decrescente<br />
Daqui resulta que<br />
S0 = 0, S1 = 1<br />
4 , S2 = 3<br />
8 , S3 = 7<br />
16 , ..., Sn = 2n − 1<br />
2<br />
I<br />
a<br />
n+1 , ...<br />
S0 = 1, S1 = 3<br />
4 , S2 = 5<br />
8 , S3 = 9<br />
16 , ..., Sn = 2n + 1<br />
, ...<br />
2n+1 1<br />
0<br />
xdx = lim<br />
n→∞ Sn = lim<br />
n→∞ Sn = 1<br />
2 .<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 2<br />
x
1<br />
1<br />
y y<br />
y<br />
S 0 = 0 S0 = 1<br />
S 2 = 3 8 S2 = 5 8<br />
y = x<br />
1<br />
y = x<br />
1<br />
x<br />
x<br />
1<br />
y<br />
S1 = 1 4 S1 = 3 S1 =<br />
4<br />
1 4 S1 = 3 4<br />
S 4 = 7<br />
16 S4 = 9<br />
16<br />
1.1. INTEGRAL DE RIEMANN<br />
Vamos agora dar a definição formal de somas inferiores e superiores de Darboux e definir função<br />
integrável à Ri<strong>em</strong>ann.<br />
Seja f : [a,b] → R uma função limitada. Chamamos partição de I = [a,b] a uma colecção<br />
P = {x0,x1,...,xn} tal que a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b. Associada a uma partição P<br />
t<strong>em</strong>os uma subdivisão do intervalo I <strong>em</strong> n sub-intervalos<br />
y = x<br />
1<br />
y = x<br />
I1 = [x0,x1], I2 = [x1,x2], ... , In = [xn−1,xn].<br />
Cada sub-intervalo Ij = [xj−1,xj] t<strong>em</strong> amplitude ∆j = xj − xj−1.<br />
Como f é uma função limitada vão existir mj = inf{f(x) : x ∈ Ij} 1 e Mj = sup{f(x) : x ∈ Ij} 2 .<br />
Definição 1 Chamamos soma inferior de Darboux de f relativamente a P a S P (f) = n<br />
j=1 ∆jmj<br />
e soma superior de Darboux de f relativamente a P a SP(f) = n<br />
j=1 ∆jMj.<br />
Tal como anteriormente t<strong>em</strong>-se,<br />
S P(f) ≤ A ≤ SP(f).<br />
Definição 2 Seja f uma função limitada <strong>em</strong> [a,b]. Diz<strong>em</strong>os que f é uma função integrável à<br />
Ri<strong>em</strong>ann <strong>em</strong> [a,b] se<br />
∀ε > 0 ∃P partição tal que SP(f) − S P (f) < ε.<br />
1 Diz<strong>em</strong>os que um el<strong>em</strong>ento de R é um minorante de f <strong>em</strong> Ij se for inferior ou igual a f(x) para todo o x ∈ Ij.<br />
Ao maior dos minorantes chamamos ínfimo. Se o ínfimo for atingido por algum valor de f(x) designa-se por<br />
mínimo <strong>em</strong> Ij.<br />
2 Diz<strong>em</strong>os que um el<strong>em</strong>ento de R é um majorante de f <strong>em</strong> Ij se for superior ou igual a f(x) para todo o x ∈ Ij.<br />
Ao menor dos majorantes chamamos supr<strong>em</strong>o. Se o supr<strong>em</strong>o for atingido por algum valor de f(x) designa-se por<br />
máximo <strong>em</strong> Ij.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 3<br />
1<br />
1<br />
x<br />
x
Se f é integrável chama-se <strong>integral</strong> de f e denota-se <br />
f =<br />
verifica<br />
para toda a partição P.<br />
S P(f) ≤<br />
b<br />
a<br />
I<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
b<br />
f(x)dx ≤ SP(f)<br />
Vejamos algumas propriedades do <strong>integral</strong> de Ri<strong>em</strong>ann.<br />
a<br />
f(x)dx, ao único número real que<br />
Proposição 1.1.1 Sejam f,g : I = [a,b] → R duas funções integráveis, λ ∈ R e c ∈ [a,b].<br />
T<strong>em</strong>-se:<br />
(i) f + g é uma função integrável e t<strong>em</strong>-se<br />
b<br />
a<br />
(f(x) + g(x))dx =<br />
(ii) λf é uma função integrável e t<strong>em</strong>-se<br />
b<br />
(iii) f(x) ≥ g(x) para todo o x ∈ I t<strong>em</strong>-se<br />
(iv)<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx =<br />
c<br />
a<br />
<br />
f(x)dx +<br />
c<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx.<br />
b<br />
a<br />
λf(x)dx = λ<br />
f(x)dx ≥<br />
<br />
f(x)dx +<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
a<br />
b<br />
f(x)dx.<br />
g(x)dx.<br />
g(x)dx.<br />
As propriedades (i) e (ii) costumam designar-se por linearidade do <strong>integral</strong>, (iii) por monotonia<br />
do <strong>integral</strong> e (iv) por aditividade do <strong>integral</strong>.<br />
a<br />
a<br />
b<br />
Vamos ainda denotar f(x)dx = 0 e f(x)dx = − f(x)dx.<br />
a<br />
Vejamos dois ex<strong>em</strong>plos que ilustram as propriedades anteriores.<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
Sabendo que<br />
1<br />
0<br />
b<br />
xdx = 1<br />
2<br />
e que<br />
1<br />
0<br />
a<br />
x 2 dx = 1<br />
3 ,<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 4
obt<strong>em</strong>os pelas propriedades anteriores<br />
1<br />
0<br />
(x + 5x 2 )dx =<br />
=<br />
1<br />
0<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
xdx +<br />
0<br />
xdx + 5<br />
1<br />
5x 2 dx<br />
1<br />
0<br />
1.1. INTEGRAL DE RIEMANN<br />
x 2 dx = 1 5 13<br />
+ =<br />
2 3 6 .<br />
O <strong>integral</strong> de uma função representa a área da região delimitada pelo eixo dos xx e pelo gráfico<br />
de f, se a função f tomar valores não negativos. No caso de a função tomar valores negativos o<br />
<strong>integral</strong> representa o simétrico da área dessa região. Vejamos um ex<strong>em</strong>plo.<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
Consider<strong>em</strong>os a função f(x) = sin x <strong>em</strong> [0,2π]. No intervalo [0,π] t<strong>em</strong>os f(x) ≥ 0 e no intervalo<br />
[π,2π] t<strong>em</strong>os f(x) ≤ 0. As áreas <strong>em</strong> cada um dos sub-intervalos são iguais mas os integrais têm<br />
sinais contrários. Assim,<br />
Exercícios<br />
2π<br />
0<br />
sin xdx =<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
π<br />
0<br />
<br />
sin xdx +<br />
y = sin x<br />
1. Seja f : [a,b] → R a função constante de valor k.<br />
y<br />
+<br />
π<br />
-<br />
π<br />
2π<br />
sinxdx = 0.<br />
(a) Determine as somas inferiores e superiores de Darboux de f.<br />
(b) Justifique que f é integrável <strong>em</strong> [a,b] e calcule<br />
2π<br />
b<br />
a<br />
X<br />
f(x)dx.<br />
2. Justifique, s<strong>em</strong> calcular, qual dos seguintes integrais é maior:<br />
(a)<br />
(b)<br />
1<br />
0<br />
e<br />
√ xdx e<br />
<br />
xdx e<br />
1<br />
3. Sabendo que<br />
e<br />
1<br />
b<br />
a<br />
1<br />
0<br />
x 3 dx.<br />
log xdx.<br />
1dx = b − a e que<br />
b<br />
a<br />
xdx = b2 − a2 determine<br />
2<br />
2<br />
−1<br />
|3x − 1|dx.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 5
1.2 Fórmula fundamental do cálculo <strong>integral</strong>.<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
O próximo resultado vai-nos dar uma classe muito importante de funções integráveis <strong>em</strong> intervalos<br />
fechados e limitados, a saber, as funções contínuas. Esta classe engloba já a maior parte<br />
das funções com que vamos trabalhar.<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.2.1 Seja f : I = [a,b] → R uma função contínua. Então f é integrável à Ri<strong>em</strong>ann<br />
<strong>em</strong> [a,b].<br />
Observações<br />
1. Não é necessário adicionar a hipótese de f ser uma função limitada uma vez que toda a<br />
função contínua num intervalo fechado e limitado t<strong>em</strong> máximo e mínimo nesse intervalo<br />
(Teor<strong>em</strong>a de Weierstrass).<br />
2. O teor<strong>em</strong>a anterior também é valido para funções que sejam contínuas <strong>em</strong> todos os pontos<br />
de [a,b] com a possível excepção de um número finito de pontos. Mas nessa altura t<strong>em</strong>os<br />
que adicionar a hipótese de f ser uma função limitada.<br />
3. Uma outra classe de funções integráveis <strong>em</strong> intervalos fechados e limitados que pod<strong>em</strong>os<br />
considerar são as funções monótonas.<br />
O próximo resultado é conhecido por fórmula fundamental do cálculo <strong>integral</strong> (ou fórmula de<br />
Barrow) e relaciona dois conceitos aparent<strong>em</strong>ente desconexos, a saber, o conceito de <strong>integral</strong><br />
que foi motivado pelo probl<strong>em</strong>a de determinar uma área, e o conceito de primitiva que envolve<br />
a noção de derivada.<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.2.2 Seja f : I = [a,b] → R uma função limitada, integrável e primitivável. Seja<br />
F : I = [a,b] → R uma primitiva de f. Então<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx =<br />
b F(x) = F(b) − F(a).<br />
a<br />
A d<strong>em</strong>onstração deste resultado no caso particular <strong>em</strong> que f é uma função contínua será obtida<br />
mais adiante como corolário das propriedades do <strong>integral</strong> indefinido (ver o corolário 1.6.2).<br />
Exercícios resolvidos<br />
Vejamos uma série de exercícios resolvidos onde pod<strong>em</strong>os aplicar a fórmula de Barrow. Estes<br />
exercícios pretend<strong>em</strong> ser também uma revisão sobre primitivas e funções trignométricas inversas.<br />
1.<br />
2.<br />
b<br />
a<br />
1<br />
0<br />
kdx com k ∈ R uma constante.<br />
xdx<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 6
3.<br />
4.<br />
5.<br />
6.<br />
7.<br />
8.<br />
9.<br />
10.<br />
11.<br />
12.<br />
13.<br />
14.<br />
6<br />
2<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
e<br />
1<br />
1<br />
0<br />
√ 3<br />
<br />
0<br />
√ 2<br />
2<br />
<br />
√<br />
2<br />
− 2<br />
1<br />
−1<br />
0<br />
−2<br />
√ 2<br />
<br />
0<br />
2<br />
−2<br />
1<br />
0<br />
√ x + 1 dx.<br />
e −x dx.<br />
|2 − x|dx.<br />
log xdx.<br />
arctan x<br />
dx.<br />
1 + x2 dx<br />
(1 + x 2 )arctan x .<br />
xdx<br />
√ 1 − x 4 .<br />
dx<br />
x 2 − 4 .<br />
x + 10<br />
(x − 1) 2dx.<br />
2x + 3<br />
x 2 + 2 dx.<br />
3x 3 + 2<br />
x + 3 dx.<br />
e 2x<br />
e x + 4 dx.<br />
1.2. FÓRMULA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 7
15.<br />
16.<br />
π2 <br />
0<br />
1<br />
3<br />
<br />
0<br />
Resolução<br />
1.<br />
2.<br />
b<br />
a<br />
1<br />
0<br />
cos √ xdx.<br />
2dx<br />
√ 4 − 9x 2 .<br />
<br />
k dx = k<br />
a<br />
b<br />
<br />
x2 xdx =<br />
2<br />
1dx = k[x] b a<br />
1<br />
0<br />
= 1<br />
2 .<br />
= k(b − a).<br />
3. Record<strong>em</strong>os que P f ′ f α = fα+1<br />
α + 1 + Cte (α = −1). Assim,<br />
6<br />
2<br />
√ x + 1 dx =<br />
6<br />
2<br />
= 2<br />
3<br />
4. Record<strong>em</strong>os que P (f ′ e f ) = e f + C te . Assim,<br />
3<br />
1<br />
e −x <br />
dx = −<br />
5. T<strong>em</strong>-se f(x) = |2 − x| =<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3<br />
|2 − x|dx =<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
(x + 1) 1<br />
2 dx =<br />
<br />
(x + 1) 3<br />
6 2<br />
2<br />
<br />
(x + 1) 3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
6<br />
2<br />
=<br />
3 (732<br />
− 3 3<br />
2).<br />
−e −x dx = − e −x 3<br />
1 = −(e−3 − e −1 ) = e −1 − e −3 .<br />
<br />
2 − x, 2 − x ≥ 0<br />
x − 2, 2 − x ≤ 0 =<br />
<br />
2 − x, 1 ≤ x ≤ 2<br />
x − 2, 2 ≤ x ≤ 3<br />
2<br />
1<br />
3<br />
(2 − x)dx + (x − 2)dx<br />
<br />
= 2x − x2<br />
2 <br />
x2 +<br />
2 1 2<br />
<br />
= (4 − 2) − 2 − 1<br />
2<br />
2<br />
<br />
+<br />
3 − 2x<br />
2<br />
<br />
9<br />
− 6<br />
2<br />
2<br />
. Assim<br />
<br />
− (2 − 4) = 1,<br />
como pod<strong>em</strong>os constatar imediatamente analisando o gráfico da função.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 8
1.2. FÓRMULA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL.<br />
2<br />
1<br />
−2<br />
y<br />
1<br />
2<br />
3<br />
y = x − 2<br />
y = 2 − x<br />
6. Record<strong>em</strong>os a fórmula de primitivação por partes P (u ′ v) = uv−P(uv ′ ). Tomando u ′ = 1<br />
e v = log x obt<strong>em</strong>os<br />
Assim,<br />
P 1 · log x = x log x − P x 1<br />
= x log x − x = x(log x − 1).<br />
x<br />
e<br />
1<br />
log xdx = [x(log x − 1)] e<br />
1 = e(1 − 1) − (−1) = 1.<br />
7. A função f(x) = arctg x é a função trignométrica inversa da tangente. Esta função está<br />
definida <strong>em</strong> todo o R e t<strong>em</strong> como contradomínio ] − π π<br />
2 , 2 [. O seu gráfico encontra-se<br />
representado na seguinte figura.<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
-1<br />
-1.5<br />
− √ 3<br />
π 2<br />
√<br />
3<br />
−<br />
3<br />
-4 -2<br />
−<br />
0 2 4<br />
π 2<br />
T<strong>em</strong>-se (arctg x) ′ = 1<br />
1+x 2. Como P f ′ f = 1<br />
2 f2 obt<strong>em</strong>os<br />
Assim,<br />
1<br />
0<br />
P<br />
arctg x<br />
= P<br />
1 + x2 −1<br />
π 3<br />
π 4<br />
π 6<br />
− π 6<br />
− π 4<br />
− π 3<br />
√ 3<br />
3<br />
1<br />
x<br />
√ 3<br />
1 1<br />
1 + x2arctg x =<br />
2 arctg2x. arctg x 1 2 1 1<br />
dx = arctg x =<br />
1 + x2 2 0 2 (arctg21 − arctg 2 0) = 1<br />
2<br />
atan(x)<br />
<br />
π<br />
2 =<br />
4<br />
π2<br />
32 .<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 9
8. Record<strong>em</strong>os que P<br />
e portanto,<br />
√ 3<br />
<br />
1<br />
f ′<br />
f = log |f| + Cte . Assim<br />
P<br />
dx<br />
arctg x(1 + x 2 ) =<br />
1<br />
arctg x(1 + x2 1<br />
1+x<br />
= P<br />
) 2<br />
= log |arctg x|,<br />
arctg x<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
<br />
log |arctg x|<br />
√ 3<br />
1 = log |arctg √ 3| − log |arctg 1|<br />
= log π π<br />
− log<br />
3 4<br />
= log 4<br />
3 .<br />
9. A função f(x) = arcsen x é a função trignométrica inversa de seno x. Esta função está<br />
definida <strong>em</strong> [−1,1] e t<strong>em</strong> como contradomínio [−π π<br />
2 , 2 ]. O seu gráfico encontra-se representado<br />
na seguinte figura.<br />
2<br />
1.5<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
-0.5<br />
-1<br />
-1.5<br />
√<br />
3<br />
−<br />
2<br />
− 1 2<br />
π 2<br />
π 3<br />
π 6<br />
asin(x)<br />
-2<br />
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1<br />
T<strong>em</strong>-se y = (arcsen x) ′ = 1 √ , logo<br />
1−x2 Assim<br />
e √ 2<br />
2<br />
<br />
√<br />
2<br />
− 2<br />
P<br />
xdx<br />
√ 1 − x 4<br />
(arcsen f) ′ =<br />
x<br />
√ 1 − x 4<br />
1<br />
<br />
=<br />
2<br />
− π 6<br />
− π 3<br />
− π 2<br />
1<br />
1 − f 2 f ′ =<br />
1<br />
=<br />
2 P<br />
2x<br />
<br />
1 − (x2 ) 2<br />
arcsen x 2 √ 2<br />
2<br />
−<br />
√ 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
f ′<br />
1 − f 2 .<br />
= 1<br />
2 arcsen x2 ,<br />
√ 3<br />
2<br />
= 1<br />
<br />
arcsen<br />
2<br />
1<br />
<br />
1<br />
− arcsen = 0.<br />
2 2<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 10
10. A função R(x) = 1<br />
1.2. FÓRMULA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL.<br />
é uma função racional própria pois é um quociente de dois<br />
x2−4 polinómios, sendo que o grau do denominador é superior ao do numerador. O polinómio<br />
x2−4 t<strong>em</strong> duas raízes simples −2,2 e portanto admite a factorização x2−4 = (x+2)(x−2).<br />
Vamos <strong>em</strong>pregar o método dos coeficientes indeterminados para decompôr R(x):<br />
1<br />
x 2 − 4 =<br />
= A(x + 2) + B(x − 2)<br />
Daqui resultam as igualdades<br />
Assim<br />
e portanto<br />
1 A B<br />
= +<br />
(x − 2)(x + 2) x − 2 x + 2<br />
(x − 2)(x + 2)<br />
A + B = 0<br />
2(A − B) = 1 ⇔<br />
1<br />
−1<br />
dx<br />
x 2 − 4 =<br />
1<br />
x 2 − 4 =<br />
1<br />
−1<br />
= 1<br />
<br />
4<br />
= (A + B)x + 2(A − B)<br />
B = −A<br />
4A = 1<br />
1<br />
4(x − 2) −<br />
x2 .<br />
− 4<br />
⇔<br />
1<br />
4(x + 2)<br />
<br />
1<br />
4(x − 2) −<br />
<br />
1<br />
dx<br />
4(x + 2)<br />
1<br />
−1<br />
dx 1<br />
−<br />
x − 2 4<br />
1<br />
−1<br />
dx<br />
x + 2<br />
B = − 1<br />
4<br />
A = 1<br />
4 .<br />
= 1<br />
<br />
1 log |x − 2| − log |x + 2|<br />
4<br />
−1<br />
= 1<br />
3<br />
(log 1 − log 3 − log 3 + log 1) = −log<br />
4 2 .<br />
11. A função R(x) = x+10<br />
(x−1) 2 é uma função racional própria cujo denominador admite a raíz<br />
dupla x = 1. Nestes casos procuramos decompôr R(x) da seguinte forma:<br />
x + 10 A<br />
=<br />
(x − 1) 2 x − 1 +<br />
Daqui resultam as igualdades<br />
Assim<br />
B A(x − 1) + B<br />
=<br />
(x − 1) 2 (x − 1) 2<br />
A = 1<br />
B − A = 10 ⇔<br />
= Ax + B − A<br />
A = 1<br />
B = 11.<br />
x + 10 1<br />
=<br />
(x − 1) 2 x − 1 −<br />
11<br />
(x − 1) 2.<br />
(x − 1) 2 .<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 11
Uma vez que P 1<br />
(x−1) 2 = P(x − 1) −2 = −(x − 1) −1 obt<strong>em</strong>os<br />
0<br />
−2<br />
x + 10<br />
(x − 1) 2dx =<br />
=<br />
0<br />
−2<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
<br />
1<br />
x − 1 −<br />
11<br />
(x − 1) 2<br />
<br />
dx<br />
<br />
log |x − 1| − 11<br />
x − 1<br />
0<br />
−2<br />
= log 1 + 11 − log 3 − 11<br />
3<br />
= 22<br />
3<br />
− log 3.<br />
12. A função R(x) = 2x+3<br />
x2 +2 é uma função racional própria cujo denominador não admite raízes<br />
reais (apenas t<strong>em</strong> raízes complexas simples). Nestes casos decompomos R(x) da seguinte<br />
forma:<br />
2x + 3<br />
x2 2x<br />
=<br />
+ 2 x2 3<br />
+<br />
+ 2 x2 + 2 .<br />
A primeira parcela t<strong>em</strong> primitiva imediata P 2x<br />
x2 +2 = log |x2 + 2| uma vez que é da forma<br />
P = log |f|. Quanto à segunda parcela t<strong>em</strong> primitiva (quase) imediata. Senão vejamos:<br />
f ′<br />
f<br />
pois é da forma P<br />
√ 2<br />
<br />
0<br />
P<br />
3<br />
x 2 + 2<br />
3<br />
= P <br />
x2 2 2 + 1<br />
= 3√ 2<br />
2 P<br />
1√ 2<br />
2 x√2 + 1<br />
= 3√ 2<br />
2 arctg x √ 2 ,<br />
f ′<br />
1+f 2 = arctg f com f(x) = x √ 2 . Donde<br />
2x + 3<br />
x2 dx =<br />
+ 2<br />
13. A função R(x) = 3x3 +2<br />
x+3<br />
√ 2<br />
<br />
0<br />
2xdx<br />
x 2 + 2 +<br />
<br />
log |x 2 + 2|<br />
√ 2<br />
<br />
0<br />
√ 2<br />
3dx<br />
x 2 + 2<br />
<br />
arctg x <br />
√<br />
2<br />
√ 2<br />
=<br />
0 + 3√2 2<br />
0<br />
= log 4 − log 2 + 3√ √ <br />
2 2<br />
arctg√2<br />
− arctg 0<br />
2<br />
= log 2 + 3√2π .<br />
8<br />
. Trata-se de uma função racional imprópria pois o grau do<br />
denominador é inferior ao grau do numerador. Dividindo os polinómios pod<strong>em</strong>os escrever<br />
R(x) como uma soma de um polinómio com uma função racional própria (outro processo<br />
seria utilizando a regra de Ruffini com a raíz x = −3):<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 12
1.2. FÓRMULA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL.<br />
3x 3 + 0x 2 + 0x + 2 x + 3<br />
− 3x 3 − 9x 2<br />
−<br />
9x 2<br />
+ 0x<br />
9x 2 + 27x<br />
27x + 2<br />
−27x<br />
− 81<br />
− 79<br />
Donde resulta que 3x3 +2<br />
x+3 = 3x2 − 9x + 27 − 79<br />
x+3 . Assim<br />
2<br />
−2<br />
3x3 + 2<br />
dx =<br />
x + 3<br />
2<br />
−2<br />
3x 2 − 9x + 27<br />
<br />
3x 2 − 9x + 27 − 79<br />
<br />
dx<br />
x + 3<br />
=<br />
<br />
x 3 − 9<br />
2 x2 + 27x − 79log |x + 3|<br />
−2<br />
= 8 − 18 + 54 − 79log 5 − (−8 − 18 − 54 − 79log 1)<br />
= 132 − 79log 5.<br />
14. Record<strong>em</strong>os a fórmula de primitivação por substituição. Seja x = x(t) uma função derivável<br />
e invertível, e t = t(x) a correspondente inversa. Então<br />
Pf(x) = Pf(x(t)).x ′ (t)| t=t(x).<br />
Vamos fazer a substituição t = ex . Então x = log t e x ′ = 1<br />
t . Assim<br />
P e2x<br />
e x + 4<br />
t2<br />
= P<br />
t + 4 .1<br />
<br />
<br />
<br />
t <br />
t=ex = P t<br />
<br />
<br />
<br />
t + 4<br />
= P<br />
t=ex <br />
= P 1 − 4<br />
t + 4<br />
<br />
= t − 4 log |t + 4|<br />
t=e x<br />
= e x − 4 log(e x + 4).<br />
t + 4 − 4<br />
t + 4<br />
t=e x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
t=e x<br />
15. Vamos fazer a substituição t = √ x. Então x = t 2 e x ′ = 2t. Assim<br />
P cos √ x = P cos t.2t| t= √ x<br />
por partes<br />
= sin t .2t − 2P sint| t= √ x<br />
= 2t sin t + 2 cos t| t= √ x<br />
= 2 √ xsin √ x + 2 cos √ x.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 13
Assim,<br />
π2 <br />
0<br />
cos √ xdx =<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
<br />
2 √ xsin √ x + 2 cos √ π2 x<br />
0<br />
= 2π sin π + 2cos π − (0 + 2cos 0) = −4.<br />
1<br />
16. Finalmente consider<strong>em</strong>os a função √ . A primitiva desta função é uma primitiva<br />
4−9x2 (quase) imediata envolvendo a função arcsin x. Alternativamente pod<strong>em</strong>os tentar calcular<br />
1<br />
a primitiva efectuando uma mudança de variável conveniente. Mais precisamente, √<br />
4−9x2 é uma função “racional” <strong>em</strong> x e √ 4 − 9x2 , ou seja, do tipo R(x, √ a2 − b2x2 ) com a = 2 e<br />
2 sint = 3 sint.<br />
b = 3. Para este tipo de funções efectuamos a mudança de variável x = a<br />
b<br />
Logo x ′ = 2<br />
3 cos t e t = arcsin3x 2 . Portanto<br />
1<br />
P √<br />
4 − 9x2 =<br />
1<br />
P <br />
4 − 9 =<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
cos t<br />
2 2 2 3 <br />
3 sin t <br />
3x t=arcsin 2<br />
2<br />
3 P<br />
=<br />
<br />
cos t<br />
<br />
<br />
<br />
2 4(1 − sin t) 3x t=arcsin 2<br />
2<br />
=<br />
<br />
cos t <br />
P √ <br />
3 4cos2 <br />
t 3x t=arcsin 2<br />
2<br />
<br />
cos t <br />
P <br />
3 2cos t<br />
3x t=arcsin 2<br />
= 1<br />
3 P 1| 1<br />
t=arcsin x =<br />
3 t| t=arcsin 3x<br />
2<br />
= 1<br />
3 arcsin3x<br />
2 .<br />
Assim,<br />
Exercícios<br />
1<br />
3<br />
<br />
0<br />
2dx<br />
√ 4 − 9x 2<br />
2<br />
<br />
=<br />
3<br />
arcsin 3x<br />
2<br />
1<br />
3<br />
0<br />
<br />
2<br />
= arcsin<br />
3<br />
1<br />
<br />
− arcsin 0<br />
2<br />
= 2 π<br />
3 6<br />
Calcule os seguintes integrais usando a fórmula fundamental do cálculo <strong>integral</strong>.<br />
1.<br />
2.<br />
2<br />
0<br />
5<br />
−1<br />
<br />
x2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1<br />
f(x)dx com f(x) =<br />
√ 2 + xdx.<br />
x+3<br />
.<br />
2 , 1 ≤ x ≤ 2<br />
= π<br />
9 .<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 14
3.<br />
4.<br />
5.<br />
6.<br />
7.<br />
8.<br />
9.<br />
10.<br />
11.<br />
12.<br />
13.<br />
14.<br />
√ π<br />
<br />
0<br />
e<br />
0<br />
<br />
π/6<br />
0<br />
<br />
π<br />
2<br />
−π<br />
√ π<br />
<br />
0<br />
e<br />
1<br />
2<br />
e<br />
1<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
− 1<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
xcos(x 2 − π)dx.<br />
x 2 e x3 −4 dx.<br />
cos xe sin x dx.<br />
(x + cos x)sin xdx.<br />
xcos(x 2 − π)dx.<br />
dx<br />
xlog x .<br />
dx<br />
xlog 2 x .<br />
x 2 e x (Sug:2x por partes).<br />
arctg xdx (Sug: por partes).<br />
arcsin xdx (Sug: por partes).<br />
x 3 1 − x 2 dx (Sug: por partes).<br />
1.2. FÓRMULA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL.<br />
x2arctg x<br />
dx (Sug: decomp+alínea (k)).<br />
1 + x2 ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 15
15.<br />
16.<br />
17.<br />
18.<br />
19.<br />
20.<br />
21.<br />
22.<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
0<br />
π<br />
4<br />
<br />
0<br />
π<br />
0<br />
dx<br />
x(x + 4) .<br />
dx<br />
x(x + 4) 2.<br />
dx<br />
x(x 2 + 4) .<br />
x 2 − 2<br />
x 3 + x .<br />
dx<br />
e x + 1 (Sug: fazer t = ex ).<br />
e2x + e3x dx.<br />
1 + e2x tg x sec 2 x e tg x (Sug: por partes).<br />
sin xe x (Sug: 2 x por partes ... ).<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 16
1.3 Aplicações do cálculo <strong>integral</strong><br />
• <strong>Cálculo</strong> de áreas.<br />
• <strong>Cálculo</strong> de volumes de sólidos de revolução.<br />
• <strong>Cálculo</strong> de comprimentos de arco.<br />
1.3. APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.3.1 Se f,g : I = [a,b] → R são duas funções integráveis tais que f(x) ≥ g(x)<br />
b<br />
para todo o x ∈ [a,b], (f(x) − g(x))dx representa a área da região {(x,y) ∈ R2 : a ≤ x ≤<br />
b, g(x) ≤ y ≤ f(x)} (ver a seguinte figura).<br />
Observações<br />
a<br />
y<br />
a<br />
g<br />
f<br />
R b<br />
(f(x) − g(x))dx<br />
a<br />
Se o sinal de f − g não for constante no intervalo [a,b] t<strong>em</strong>os que determinar os pontos onde<br />
os gráficos de ambas as funções se intersectam e decompôr o intervalo <strong>em</strong> subintervalos onde<br />
esse sinal se mantenha constante. O valor da área será a soma das áreas <strong>em</strong> cada um desses<br />
subintervalos. No ex<strong>em</strong>plo descrito na seguinte figura a área da região assinalada v<strong>em</strong> dada pelo<br />
<strong>integral</strong><br />
c<br />
a<br />
d<br />
b<br />
(g(x) − f(x))dx + (f(x) − g(x))dx + (g(x) − f(x))dx.<br />
Vejamos dois ex<strong>em</strong>plos de cálculos de áreas.<br />
y<br />
c<br />
a c d b<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 17<br />
f<br />
g<br />
b<br />
d<br />
x<br />
x
1. Calcular a área da região delimitada por |x| e 2 − x 2 .<br />
Área =<br />
=<br />
=<br />
1<br />
−1<br />
−1<br />
y<br />
2<br />
−1 1<br />
((2 − x 2 ) − |x|)dx<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
y = |x|<br />
y = 2 − x 2<br />
0<br />
((2 − x 2 1<br />
) − (−x))dx + ((2 − x 2 ) − x)dx<br />
<br />
2x − x3 x2<br />
+<br />
3 2<br />
0<br />
= −(2(−1) − (−1)3<br />
3<br />
−1<br />
0<br />
x<br />
<br />
+ 2x − x3 x2<br />
−<br />
3 2<br />
(−1)2<br />
+ ) + (2 −<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
0<br />
1 10<br />
+ ) =<br />
2 3 .<br />
2. Pretende-se calcular a área da região (representada na próxima figura)<br />
<br />
(x,y) : 0 ≤ y ≤ 1<br />
<br />
x<br />
, ≤ y ≤ 2x, .<br />
x 4<br />
2<br />
√<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
y<br />
√ 2<br />
2<br />
y = 2x<br />
2<br />
y = 1<br />
x<br />
y = x<br />
4<br />
Para isso necessitamos de determinar os pontos de intersecção dos gráficos de cada uma<br />
das funções. Ora, a intersecção da hipérbole y = 1<br />
x com a recta y = 2x obt<strong>em</strong>-se resolvendo<br />
o sist<strong>em</strong>a ⎧<br />
⎨ y =<br />
⎩<br />
1<br />
⎧<br />
x ⎨ y =<br />
⇔<br />
⎩<br />
y = 2x<br />
1<br />
⎧<br />
x ⎨ y =<br />
⇔<br />
⎩<br />
1<br />
x<br />
x2 = 2.<br />
1<br />
x = 2x<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 18<br />
x
1.3. APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL<br />
√<br />
2<br />
Como y ≥ 0 obt<strong>em</strong>os o ponto ( 2 , √ 2). Analogamente a intersecção da hipérbole y = 1<br />
x<br />
com a recta y = x<br />
4 obt<strong>em</strong>-se resolvendo o sist<strong>em</strong>a<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
y = 1<br />
x<br />
y = x<br />
2<br />
⎧<br />
⎨<br />
⇔<br />
⎩<br />
Como y ≥ 0 obt<strong>em</strong>os o ponto (2, 1<br />
2 ). Assim,<br />
Área =<br />
√ 2<br />
2<br />
<br />
0<br />
= 7<br />
4<br />
<br />
x 2<br />
2x − x<br />
4<br />
2<br />
√ 2<br />
2<br />
0<br />
y = 1<br />
x<br />
1 x<br />
x = 2<br />
<br />
dx +<br />
⎧<br />
⎨ y =<br />
⇔<br />
⎩<br />
1<br />
x<br />
x2 = 4.<br />
2<br />
√ 2<br />
2<br />
<br />
+ log |x| − x2<br />
8<br />
<br />
1 x<br />
− dx<br />
x 4<br />
2<br />
√ 2<br />
2<br />
= · · ·<br />
Vejamos agora como calcular o volume de sólidos de revolução usando o <strong>integral</strong> definido.<br />
Seja f : [a,b] → R é uma função contínua. Seja V o sólido de revolução <strong>em</strong> torno do eixo do<br />
xx com geratriz definida pelo gráfico f, ou seja, V é o sólido obtido rodando o gráfico de f <strong>em</strong><br />
torno do eixo do xx como ilustrado na seguinte figura.<br />
z<br />
y<br />
f(x)<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.3.2 O volume do sólido de revolução anterior é dado por<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
a<br />
V =<br />
b<br />
a<br />
π f 2 (x)dx.<br />
Pretende-se calcular o volume do cone de altura h = 1 e cuja base é uma disco de raio R = 1.<br />
O cone é um sólido de revolução <strong>em</strong> torno do eixo dos xx, cuja geratriz é a função f : [0,1] → R<br />
definida por f(x) = x.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 19<br />
b<br />
x
O volume do cone é então dado por<br />
z<br />
V =<br />
y<br />
1<br />
0<br />
f(x)<br />
1<br />
1<br />
π x 2 <br />
x3 dx = π<br />
3<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
1<br />
0<br />
x<br />
= π<br />
3 .<br />
Vejamos por último como calcular o comprimento de arco (ou comprimento de linha) para<br />
curvas definidas como gráficos de funções. Intuitivamente o comprimento de arco de uma função<br />
f : [a,b] → R representa de o comprimento de uma linha de expessura nula sobreposta ao gráfico<br />
de f entre os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) que posteriormente foi rectificada.<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.3.3 Se f : [a,b] → R é uma função contínua <strong>em</strong> [a,b] e com derivada contínua <strong>em</strong><br />
]a,b[, o comprimento de arco de f(x) entre os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) é dado por<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
l(f) =<br />
b<br />
a<br />
1 + [f ′ (x)] 2 dx.<br />
Pretende-se calcular o perímetro de uma circunferência de raio r. Uma equação da circunferência<br />
centrada na orig<strong>em</strong> e raio um é x 2 + y 2 = r 2 . Esta circunferência determina duas<br />
s<strong>em</strong>i-circunferências, uma situada no s<strong>em</strong>i-plano superior de equação y = √ r 2 − x 2 e outra situada<br />
no s<strong>em</strong>i-plano inferior de equação y = − √ r 2 − x 2 . O perímetro da cirunferência obtém-se<br />
duplicando o comprimento de arco de y = √ r 2 − x 2 (por ex<strong>em</strong>plo) entre os pontos (−r,0) e<br />
(r,0) (ver a seguinte figura).<br />
−r<br />
y<br />
r<br />
y = √ r 2 − x 2<br />
r<br />
x<br />
y = − √ r 2 − x 2<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 20
O perímetro da s<strong>em</strong>i-circunferência é dado por<br />
r<br />
r <br />
<br />
<br />
1 + [y ′ ] 2 dx = 1 +<br />
−r<br />
=<br />
=<br />
−r<br />
r<br />
<br />
−r<br />
r<br />
<br />
−r<br />
<br />
= r<br />
<br />
1.3. APLICAÇÕES DO CÁLCULO INTEGRAL<br />
2 −x<br />
√ dx<br />
r2 − x2 1 + x2<br />
r2 dx<br />
− x2 r 2 − x 2 + x 2<br />
r 2 − x 2 dx<br />
r<br />
−r<br />
<br />
= r arcsin x<br />
r<br />
1<br />
√ r 2 − x 2 dx<br />
r<br />
−r<br />
<br />
π<br />
= r<br />
2 −<br />
<br />
− π<br />
<br />
2<br />
= πr.<br />
Logo o perímetro da circunferência é dado pela fórmula b<strong>em</strong> conhecida 2πr.<br />
efectuámos a mudança de variável x = r sin t. Então<br />
1<br />
Para calcular uma primitiva de √<br />
r2−x2 x ′ = r cos t e t = arcsin x<br />
r . Assim<br />
Exercícios<br />
P<br />
1<br />
√ r 2 − x 2<br />
=<br />
=<br />
<br />
r cos t<br />
<br />
<br />
P <br />
r2 − r2 2 sin t<br />
x t=arcsin r<br />
<br />
r cos t<br />
P <br />
r cos t<br />
x t=arcsin r<br />
=<br />
=<br />
P 1 | x t=arcsin r<br />
t | x t=arcsin = arcsin<br />
r<br />
x<br />
r .<br />
1. Represente graficamente e calcule a área das seguintes regiões do plano:<br />
(a) (x,y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2, −x 2 ≤ y ≤ √ x .<br />
(b) (x,y) ∈ R 2 : −1 ≤ x ≤ 1, x 2 − 1 ≤ y ≤ arccos x .<br />
2. Represente graficamente e calcule a área da região do plano delimitada por y = |x|, y =<br />
−x 2 + 6 e y + x 2 = 2.<br />
3. Calcular o volume do sólido de revolução obtido rodando y = x 2 , 0 ≤ x ≤ 2, <strong>em</strong> torno do<br />
eixo dos xx.<br />
4. Calcular o volume do sólido obtido rodando a área delimitada pelas curvas y = √ x e<br />
y = x<br />
2 .<br />
5. Calcule o volume da esfera de raio r.<br />
6. Calcular o comprimento de arco do gráfico de f(x) = x2<br />
4<br />
1 − 2 log x entre x = 1 e x = 2.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 21
1.4 Integração por partes e por substituição<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
Vimos nas secções anteriores que para calcular os integrais necessitávamos muitas vezes de<br />
primitivar a função integranda recorrendo à primitivação por partes e/ou por substituição. Estas<br />
técnicas pod<strong>em</strong> ser aplicadas directamente no <strong>integral</strong> a calcular passando a designar-se por<br />
integração por partes e por substituição.<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.4.1 (Integração por partes) Sejam f,G : [a,b] → R duas funções integráveis com<br />
f primitivável e G derivável. Seja F : [a,b] → R uma primitiva de f. Então é válida a fórmula<br />
b<br />
a<br />
f(x)G(x)dx =<br />
b F(x)G(x)<br />
a −<br />
b<br />
a<br />
F(x)G ′ (x)dx.<br />
D<strong>em</strong>: T<strong>em</strong>os (FG) ′ = F ′ G + F G ′ = f G + F G ′ , ou seja, F G é uma primitiva de f G + F G ′ .<br />
Logo pela fórmula fundamental do cálculo <strong>integral</strong>,<br />
ou seja,<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
b F(x)G(x)<br />
a =<br />
=<br />
b<br />
b<br />
f(x)G(x)dx = [F(x)G(x)]<br />
a<br />
b a −<br />
b<br />
a<br />
Pretende-se calcular<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
<br />
f<br />
1<br />
−1<br />
arctg xdx. Ora,<br />
.arctg x dx =<br />
<br />
G<br />
=<br />
<br />
a<br />
<br />
a<br />
b<br />
(f(x)G(x) + F(x)G ′ (x))dx<br />
<br />
f(x)G(x)dx +<br />
<br />
F(x)G ′ (x)dx. <br />
x<br />
<br />
F<br />
1 .arctg x<br />
<br />
G<br />
−1 −<br />
1 1<br />
xarctg x −<br />
−1 2<br />
1<br />
−1<br />
a<br />
b<br />
1<br />
−1<br />
F(x)G ′ (x)dx,<br />
x<br />
<br />
F<br />
.<br />
2x<br />
dx<br />
1 + x2 = arctg 1 − (−1)arctg(−1) − 1<br />
2<br />
= π π<br />
−<br />
4 4<br />
1<br />
− (log 2 − log 2) = 0.<br />
2<br />
1<br />
1 + x 2<br />
<br />
G ′<br />
dx<br />
<br />
log(1 + x 2 1 )<br />
−1<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.4.2 (Integração por substituição) Seja f : [a,b] → R uma função contínua e primitivável.<br />
Seja ψ : J → [a,b] uma função invertível e derivável num intervalo J de extr<strong>em</strong>os t0<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 22
1.4. INTEGRAÇÃO POR PARTES E POR SUBSTITUIÇÃO<br />
e t1 (ou seja, J = [t0,t1] ou J = [t1,t0] consoante t0 < t1 ou t1 < t0) e tal que ψ(t0) = a e<br />
ψ(t1) = b. Então<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx =<br />
t1<br />
t0<br />
f(ψ(t))ψ ′ (t)dt.<br />
D<strong>em</strong>: Seja F = P f. Pelo teor<strong>em</strong>a da derivada da função composta,<br />
(F ◦ ψ) ′ (t) = F ′ (ψ(t)) · ψ ′ (t) = f(ψ(t)) · ψ ′ (t).<br />
Pela fórmula fundamental do cálculo <strong>integral</strong> t<strong>em</strong>os,<br />
Observações<br />
t1<br />
t0<br />
f(ψ(t))ψ ′ (t)dt =<br />
t1 (F ◦ ψ)(t)<br />
t0<br />
= (F ◦ ψ)(t1) − (F ◦ ψ)(t0)<br />
= F(ψ(t1)) − F(ψ(t0))<br />
= F(b) − F(a) =<br />
1. Muitas vezes escrever<strong>em</strong>os x = x(t) no lugar de ψ(t).<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx. <br />
2. Na maior parte das situações pod<strong>em</strong>os optar por integrar uma função por substituição<br />
ou primitivar essa função por substituição e calcular o valor da primitiva encontrada nos<br />
extr<strong>em</strong>os do domínio de integração. No entanto há situações <strong>em</strong> que pod<strong>em</strong>os calcular o<br />
<strong>integral</strong> s<strong>em</strong> ser necessário primitivar a função integranda (que até pod<strong>em</strong>os não conhecer!).<br />
É o caso, por ex<strong>em</strong>plo, do <strong>integral</strong> de funções ímpares <strong>em</strong> certo tipo de domínios como<br />
ver<strong>em</strong>os mais adiante.<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
Pretende-se calcular<br />
e x ′ (t) = ψ ′ (t) = 1<br />
t<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
1 + e x. Vamos efectuar a substituição t = ex . Então x(t) = ψ(t) = log t<br />
. Quanto aos novos extr<strong>em</strong>os de integração t<strong>em</strong>os<br />
x(t0) = a = 0<br />
x(t1) = b = 1 ⇔<br />
log t0 = 0<br />
log t1 = 1 ⇔<br />
t0 = 1<br />
t1 = e<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 23
Assim<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1 + ex dx =<br />
<br />
f(x)<br />
=<br />
e<br />
1<br />
e<br />
1<br />
·<br />
<br />
1<br />
<br />
+ t<br />
<br />
f(x(t))<br />
Para decompôr a função racional 1<br />
(1+t)t<br />
=<br />
1<br />
1<br />
t<br />
<br />
x ′ (t)<br />
dt<br />
<br />
−1 1<br />
+ dt<br />
1 + t t<br />
<br />
− log |1 + t| + log |t|<br />
e<br />
1<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
= − log(1 + e) + log e − (− log 2 + log 1) = 1 + log<br />
1 A B<br />
= +<br />
(1 + t)t 1 + t t<br />
2<br />
1 + e .<br />
<strong>em</strong>pregámos o método dos coeficientes indeterminados:<br />
= At + B(t + 1)<br />
(t + 1)t<br />
Daqui resultam as igualdades B = 1 e A + B = 0, ou seja, A = −1.<br />
= (A + B)t + B<br />
(t + 1)t<br />
Definição 3 Uma função f : [−a,a] → R (ou f : R → R) diz-se ímpar [resp. par] se f(x) =<br />
−f(−x) [resp. f(x) = f(−x)] para todo o x.<br />
Observações<br />
O gráfico de uma função ímpar é simétrico relativamente à orig<strong>em</strong> do referencial (ver a figura<br />
abaixo). Como ex<strong>em</strong>plos de funções ímpares t<strong>em</strong>os sin x, arcsin x, arctg x, x + 3x 3 , qualquer<br />
polinómio formado apenas por monómios de grau ímpar, etc,. ..<br />
O gráfico de uma função par é simétrico relativamente ao eixo dos yy, i.e., relativamente à recta<br />
x = 0 (ver a figura abaixo). Como ex<strong>em</strong>plos de funções pares t<strong>em</strong>os cos x, |x|, x 2 + 1, qualquer<br />
polinómio formado apenas por monómios de grau par, etc,. ..<br />
T<strong>em</strong>os as seguintes propriedades (ver a próxima figura).<br />
Proposição 1.4.3 Consider<strong>em</strong>os uma função integrável f : [−a,a] → R com a > 0. Entao:<br />
(i) Se f é ímpar,<br />
(ii) Se f é par,<br />
a<br />
−a<br />
a<br />
−a<br />
f(x)dx = 0.<br />
f(x)dx = 2<br />
a<br />
0<br />
f(x)dx.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 24
(i)<br />
−a<br />
−<br />
y<br />
1.4. INTEGRAÇÃO POR PARTES E POR SUBSTITUIÇÃO<br />
+<br />
y = x<br />
a<br />
x<br />
As áreas são iguais<br />
mas de sinais contrários<br />
(ii)<br />
−a<br />
+<br />
y<br />
+<br />
a<br />
x<br />
As áreas são iguais<br />
e de sinais iguais<br />
D<strong>em</strong>: Vamos provar apenas (i). O ponto (ii) d<strong>em</strong>onstra-se de forma análoga e fica como<br />
exercício. Pela aditividade do <strong>integral</strong> t<strong>em</strong>os<br />
Portanto basta mostrar que<br />
a<br />
−a<br />
f(x)dx =<br />
0<br />
−a<br />
0<br />
−a<br />
<br />
f(x)dx +<br />
<br />
f(x)dx = −<br />
0<br />
a<br />
0<br />
a<br />
f(x)dx.<br />
f(x)dx.<br />
Vamos efectuar no primeiro <strong>integral</strong> a mudança de variável t = −x, ou seja, x(t) = −t. Então<br />
x ′ = x ′ (t) = −1. Quanto aos novos extr<strong>em</strong>os de integração t<strong>em</strong>os<br />
Assim<br />
0<br />
−a<br />
x(t0) = −a<br />
x(t1) = 0<br />
f(x) dx =<br />
0<br />
a<br />
<br />
= −<br />
=<br />
0<br />
a<br />
⇔<br />
f(−t)(−1)dt<br />
a<br />
0<br />
<br />
= −<br />
f(−t)dt<br />
f(t)dt<br />
0<br />
a<br />
<br />
f(t)dt = −<br />
−t0 = −a<br />
−t1 = 0<br />
0<br />
a<br />
⇔<br />
t0 = a<br />
t1 = 0<br />
f(x)dx (a variável t é muda).<br />
Na 3a igualdade usámos o facto de f ser uma função ímpar e portanto de termos f(−t) = −f(t)<br />
para todo o t. Na 4a igualdade trocámos os extr<strong>em</strong>os de integração e usámos a propriedade<br />
d c<br />
f = − f. <br />
c<br />
d<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 25
Exercícios<br />
1. Sejam f,g : [−a,a] → R duas funções. Mostre que:<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
(a) Se f,g são funções ímpares [resp. pares] então f + g é também uma função ímpar<br />
[resp. par].<br />
(b) Indique, justificando, se f g (e f/g) é uma função par ou ímpar <strong>em</strong> cada um dos casos<br />
descritos no seguinte quadro:<br />
2. D<strong>em</strong>onstre a fórmula (ii) da proposição 1.4.3.<br />
f g f impar f par<br />
g impar<br />
g par<br />
3. Aplique a proposição 1.4.3 (e o exercício 1b) para calcular:<br />
(a)<br />
(b)<br />
(c)<br />
1<br />
−1<br />
1<br />
2<br />
<br />
− 1<br />
2<br />
2<br />
−2<br />
4. O <strong>integral</strong><br />
|x|dx.<br />
cos x log 1+x<br />
1−x dx.<br />
sinx<br />
1+x 8 dx.<br />
b<br />
f(x)dx é transformado pela mudança de variável x = sint no <strong>integral</strong><br />
a<br />
π<br />
2<br />
cos t<br />
1+cos t dt. Determine a, b e f(x).<br />
0<br />
5. Mostre, s<strong>em</strong> calcular os integrais, que<br />
1<br />
0<br />
x 5 (1 − x) 7 dx =<br />
1<br />
0<br />
x 7 (1 − x) 5 dx.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 26
1.5 Teor<strong>em</strong>a da média.<br />
1.5. TEOREMA DA M ÉDIA.<br />
Consider<strong>em</strong>os uma variável X = X(t) que depende continuamente de t num dado intervalo [a,b].<br />
Durante o período de t<strong>em</strong>po compreendido entre t = a e t = b efectuamos n observações que<br />
registamos na variável da seguinte forma: dividimos o intervalo [a,b] <strong>em</strong> n sub-intervalos de<br />
igual amplitude ∆ = b−a<br />
n ,<br />
I1 = [a, a + ∆], · · · , Ij = [a + (j − 1)∆, a + j∆], · · · , In = [a + (n − 1)∆, a + n∆].<br />
Para cada um destes sub-intervalos Ij = [a+(j −1)∆,a+j∆], tomamos o ponto médio tj = a+<br />
(j −1)∆+ ∆<br />
2 e registamos o valor: Xj = X(tj). Obtiv<strong>em</strong>os assim n observações X1,X2,... ,Xn,<br />
que representamos como um gráfico de n colunas de amplitude ∆ e alturas X1,... ,Xn.<br />
Xj<br />
X3<br />
X2<br />
X1 X1<br />
Xn<br />
X<br />
Área = ∆ Xj<br />
X(t)<br />
a b<br />
∆<br />
t1 t2 tj tn<br />
A área de cada coluna de altura Xj é obviamente Xj · ∆. Soma das áreas de todas as colunas<br />
dá-nos um valor aproximado da área abaixo do gráfico de X, ou seja,<br />
Como ∆ = b−a<br />
n obt<strong>em</strong>os<br />
∆ ·<br />
n<br />
Xj =<br />
i=1<br />
b − a<br />
n<br />
n<br />
Xj · ∆ ∼<br />
i=1<br />
n<br />
Xj, ∼<br />
j=1<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
X(t)dt.<br />
X(t)dt.<br />
Dividindo ambos os m<strong>em</strong>bros da igualdade anterior por b − a obt<strong>em</strong>os<br />
1<br />
n<br />
n<br />
Xj, ∼<br />
j=1<br />
1<br />
b − a<br />
b<br />
a<br />
X(t)dt.<br />
Ora o primeiro m<strong>em</strong>bro representa a média das n observações, que vamos notar Xn, ou seja,<br />
Portanto<br />
Xn = X1 + X2 + · · · + Xn<br />
n<br />
Xn ∼<br />
1<br />
b − a<br />
b<br />
a<br />
=<br />
X(t)dt.<br />
n j=1 Xj<br />
.<br />
n<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 27<br />
t
Como X(t) é uma função contínua pod<strong>em</strong>os mostrar que<br />
lim<br />
n→∞ Xn = Xmed = 1<br />
b − a<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
b<br />
a<br />
X(t)dt.<br />
Por esta razão designamos Xmed o valor médio da variável X <strong>em</strong> [a,b] e que corresponde à<br />
noção intuitiva de média quando passamos do caso discreto de n observações para o caso de uma<br />
observação X(t) a depender continuamente de t. O teor<strong>em</strong>a da média, enunciado a seguir, vai<br />
garantir que existe pelo menos um instante t0 tal que X(t0) foi igual ao valor médio Xmed. Note<br />
que no caso discreto este resultado é falso, ou seja, a média de n observações não corresponde<br />
necessariamente a nenhum dos valores observados.<br />
Definição 4 Seja f : [a,b] → R uma função integrável. Chamamos valor médio de f <strong>em</strong> [a,b] a<br />
fmed = 1<br />
b − a<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx.<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.5.1 (Teor<strong>em</strong>a da média) Se f : [a,b] → R é uma função contínua, existe c ∈ [a,b]<br />
tal que f(c) = fmed, ou seja,<br />
f(c)<br />
y<br />
b<br />
a b<br />
Possíveis valores de c<br />
a<br />
f(x)dx = f(c)(b − a).<br />
f(x)<br />
x<br />
D<strong>em</strong>: Como f é contínua <strong>em</strong> [a,b] exist<strong>em</strong> t0,t1 ∈ [a,b] tais que m = minf = f(t0) e M =<br />
maxf = f(t1) (teor<strong>em</strong>a de Weierstrass). Como<br />
t<strong>em</strong>os<br />
m(b − a) =<br />
b<br />
a<br />
f(c)<br />
m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a,b]<br />
m dx ≤<br />
b<br />
a<br />
y<br />
a<br />
f(x)dx ≤<br />
Dividindo por b − a e atendendo ao facto que fmed = 1<br />
b − a<br />
m ≤ fmed ≤ M.<br />
b<br />
a<br />
b<br />
a<br />
f(x)<br />
b<br />
x<br />
M dx = M(b − a).<br />
f(x)dx v<strong>em</strong><br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 28
1.5. TEOREMA DA M ÉDIA.<br />
Como f é contínua vai existir, pelo teor<strong>em</strong>a de Bolzano, c ∈ [t0,t1] (ou, c ∈ [t1,t0]) tal que<br />
f(c) = fmed, ou seja,<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
f(c) =<br />
Considere f(x) = x 2 + 2x, x ∈ [0,3].<br />
1. Determine o valor médio de f(x).<br />
1<br />
b − a<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx. <br />
2. Determine c ∈ [0,3] tal que f(c) = fmed. Interprete geometricamente o resultado.<br />
Resolução<br />
1. Por definição t<strong>em</strong>os<br />
fmed = 1<br />
3 − 0<br />
3<br />
0<br />
(x 2 + 2x)dx = 1<br />
<br />
x3 3<br />
+ x2 = 6.<br />
3 3 0<br />
2. Quer<strong>em</strong>os c ∈ [0,3] tal que f(c) = fmed = 6, ou seja, c 2 +2c = 6. Resolvendo esta equação<br />
do 2 o grau obt<strong>em</strong>os as duas soluções c = −1 − √ 7 ou c = −1+ √ 7. Como c ∈ [0,3] a única<br />
solução do probl<strong>em</strong>a é c = −1 + √ 7.<br />
f med = 6<br />
y<br />
15 15<br />
Estas áreas<br />
são iguais<br />
y = x 2 + 2x y = x 2 + 2x<br />
−1 + √ 7 3<br />
f med = 6<br />
x<br />
y<br />
−1 + √ 7 3<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 29<br />
x
1.6 Integral indefinido<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
Definição 5 Seja f : [a,b] → R uma função integrável. Chama-se <strong>integral</strong> indefinido de f à<br />
função<br />
Ex<strong>em</strong>plos<br />
y<br />
Área=F(x)<br />
F(x) =<br />
x<br />
1. Se f(x) = x, x ∈ [0,1], então F(x) =<br />
2. Seja f(x) =<br />
x − 1, 1 ≤ x ≤ 2,<br />
3, 2 < x ≤ 4<br />
F(x) =<br />
x<br />
1<br />
a<br />
f(t)dt, x ∈ [a,b].<br />
f(x)<br />
a x<br />
b<br />
f(t)dt =<br />
=<br />
=<br />
x<br />
0<br />
. Então<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
<br />
t2 t dt =<br />
2<br />
x<br />
0<br />
= x2<br />
2 .<br />
x<br />
(t − 1)dt, 1 ≤ x ≤ 2,<br />
1<br />
2<br />
x<br />
(t − 1)dt + 3dt, 2 < x ≤ 4,<br />
1<br />
<br />
t2 2<br />
t 2<br />
2<br />
x 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
− t<br />
x<br />
1<br />
2<br />
x<br />
, 1 ≤ x ≤ 2,<br />
2 <br />
− t + 3 t<br />
1<br />
x<br />
2<br />
, 2 < x ≤ 4,<br />
1 − x + 2 , 1 ≤ x ≤ 2,<br />
11<br />
+ 3x − 6 = 3x − 2 , 2 < x ≤ 4.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 30
F(x)<br />
11<br />
2<br />
1<br />
2<br />
y<br />
y<br />
1<br />
f(x)<br />
1 2<br />
F(x)<br />
2<br />
x<br />
x<br />
3<br />
3<br />
x<br />
x<br />
1.6. INTEGRAL INDEFINIDO<br />
No último ex<strong>em</strong>plo pode-se constatar que o <strong>integral</strong> indefinido é uma função contínua, <strong>em</strong>bora<br />
f(x) não o seja. De facto, esta e outras propriedades, muito importantes são verificadas pelo<br />
<strong>integral</strong> indefinido como vamos ver agora.<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.6.1 Seja f : [a,b] → R uma função integrável e seja F(x) =<br />
respectivo <strong>integral</strong> indefinido. Então são verificadas as seguintes propriedades:<br />
(i) O <strong>integral</strong> indefinido é uma função contínua <strong>em</strong> [a,b].<br />
x<br />
f(t)dt, x ∈ [a,b], o<br />
(ii) Se f(x) ≥ 0 [resp. f(x) ≤ 0] para todo o x então F(x) é uma função crescente [resp.<br />
decrescente].<br />
(iii) Se f(x) é uma função contínua <strong>em</strong> [a,b] então F(x) é uma função derivável <strong>em</strong> [a,b] e<br />
t<strong>em</strong>-se F ′ (x) = f(x) para todo o x.<br />
Observações<br />
1. A propriedade (iii) significa que F(x) é uma primitiva de f(x) s<strong>em</strong>pre que f(x) fôr uma<br />
função contínua. De facto, F(x) é a única primitiva de f(x) que se anula no ponto x = a<br />
a<br />
(pois F(a) = f(t)dt = 0).<br />
2.<br />
a<br />
É válida a seguinte propriedade mais forte que (iii): Se f(x) é uma função contínua <strong>em</strong><br />
x0 ∈ [a,b] então F(x) é uma função derivável <strong>em</strong> x0 e t<strong>em</strong>-se F ′ (x0) = f(x0).<br />
D<strong>em</strong>: Vejamos (i): seja x0 ∈ [a,b] um ponto arbitrário. T<strong>em</strong>os que mostrar que limx→x0 F(x) =<br />
F(x0), ou seja, que limx→x0 F(x) − F(x0) = 0. Vamos mostrar que lim +<br />
x→x F(x) − F(x0) = 0.<br />
0<br />
O caso lim −<br />
x→x F(x) − F(x0) = 0 prova-se de maneira análoga. Ora, t<strong>em</strong>-se por definição de<br />
0<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 31<br />
a
F(x) e pela aditividade do <strong>integral</strong> as relações<br />
F(x) − F(x0) =<br />
=<br />
=<br />
x<br />
a<br />
⎛<br />
<br />
⎝<br />
<br />
x0<br />
a<br />
x<br />
<br />
f(t)dt −<br />
x0<br />
a<br />
x0<br />
<br />
f(t)dt +<br />
f(t)dt.<br />
x0<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
f(t)dt<br />
x<br />
⎞<br />
<br />
f(t)dt⎠<br />
−<br />
a<br />
x0<br />
f(t)dt<br />
Como f uma função integrável, é limitada, ou seja, existe M > 0 tal que −M ≤ f(t) ≤ M para<br />
todo o t ∈ [a,b]. Em particular −M ≤ f(t) ≤ M para todo o t ∈ [x0,x]. Assim,<br />
−M(x − x0) =<br />
x<br />
x0<br />
(−M)dt ≤<br />
x<br />
Quando x → x0, M(x − x0) → 0 o que implica que<br />
x0<br />
f(t)dt ≤<br />
x<br />
x0<br />
x<br />
x0<br />
M dt = M(x − x0).<br />
f(t)dt → 0 como queríamos provar.<br />
Vejamos (ii): sejam x1,x2 ∈ [a,b] tais que x1 ≤ x2. T<strong>em</strong>os que mostrar que F(x1) ≤ F(x2).<br />
Ora, t<strong>em</strong>os novamente pela aditividade do <strong>integral</strong>,<br />
F(x2) =<br />
x2<br />
Como x2 ≥ x1 e f(t) ≥ 0 para todo o t,<br />
F(x2) =<br />
a<br />
x2<br />
a<br />
f(t)dt =<br />
x2<br />
x1<br />
x1<br />
a<br />
<br />
f(t)dt +<br />
x1<br />
f(t)dt ≥ 0. Portanto<br />
f(t)dt ≥<br />
x1<br />
a<br />
x2<br />
f(t)dt.<br />
f(t)dt = F(x1).<br />
Finalmente verifiqu<strong>em</strong>os (iii): seja x0 ∈ [a,b] um ponto arbitrário. T<strong>em</strong>os que mostrar que<br />
∃F ′ (x0) = f(x0), ou seja, que existe<br />
F(x) − F(x0)<br />
lim<br />
= f(x0).<br />
x→x0 x − x0<br />
Vimos na d<strong>em</strong>onstração do ponto (i) que F(x) − F(x0) =<br />
F(x) − F(x0)<br />
lim<br />
= lim<br />
x→x0 x − x0 x→x0<br />
x<br />
x0<br />
x<br />
x0<br />
f(t)dt. Assim<br />
f(t)dt<br />
x − x0<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 32<br />
.
O valor<br />
1<br />
x − x0<br />
x<br />
x0<br />
1.6. INTEGRAL INDEFINIDO<br />
f(t)dt corresponde ao valor médio de f(x) <strong>em</strong> [x0,x] (estamos a supor que<br />
x > x0. O caso x < x0 é análogo). Como f é contínua <strong>em</strong> [x0,x] (uma vez que é uma função<br />
contínua <strong>em</strong> [a,b]), o teor<strong>em</strong>a da média garante que pod<strong>em</strong>os encontrar cx ∈ [x0,x] tal que<br />
f(cx) =<br />
1<br />
x − x0<br />
x<br />
x0<br />
f(t)dt.<br />
Quando x → x + 0 , cx → x0 uma vez que x0 ≤ cx ≤ x. Como f é uma função contínua,<br />
limx→x0 f(cx) = f(limx→x0 cx) = f(x0). <br />
Como consequência deste resultado obt<strong>em</strong>os imediatamente a fórmula fundamental do cálculo<br />
<strong>integral</strong>.<br />
Corolário 1.6.2 Se f : I = [a,b] → R é uma função contínua então f é primitivável e t<strong>em</strong>-se<br />
b<br />
f(t)dt = F(b) − F(a) onde F = P f.<br />
a<br />
Corolário 1.6.3 Seja f : I → R uma função contínua num intervalo aberto I. Seja x0 ∈ I.<br />
x<br />
Consider<strong>em</strong>os a função F(x) = f(t)dt. Então F(x) é uma função derivável <strong>em</strong> I e t<strong>em</strong>-se<br />
x0<br />
F ′ (x) = f(x) para todo o x <strong>em</strong> I, ou seja, F(x) é a única primitiva de f(x) de I que se anula<br />
<strong>em</strong> x = x0.<br />
D<strong>em</strong>: T<strong>em</strong>os 2 casos: x ≥ x0 ou x < x0. Suponhamos que x ≥ x0. Como o intervalo I é aberto,<br />
pod<strong>em</strong>os encontrar <strong>em</strong> I um ponto x1 > x0 tal que x0 ≤ x ≤ x1 e pod<strong>em</strong>os considerar que a<br />
restrição de F ao subintervalo [x0,x1] é o <strong>integral</strong> indefinido determinado pela restrição de f a<br />
[x0,x1], ou seja,<br />
F(x) =<br />
x<br />
x0<br />
f(t)dt, x ∈ [x0,x1].<br />
Pela propriedade do <strong>integral</strong> indefinido concluímos que F ′ (x) = f(x) para todo o x ∈ [x0,x1].<br />
Suponhamos agora que x < x0. Como o intervalo I é aberto, pod<strong>em</strong>os encontrar <strong>em</strong> I um ponto<br />
x1 < x0 tal que x1 ≤ x ≤ x0. Pela aditividade do <strong>integral</strong> t<strong>em</strong>os, para x ∈ [x1,x0],<br />
F(x) =<br />
=<br />
=<br />
x<br />
x0<br />
<br />
x1<br />
x0<br />
x<br />
<br />
x1<br />
f(t)dt<br />
<br />
f(t)dt +<br />
x1<br />
<br />
f(t)dt −<br />
x1<br />
x<br />
x0<br />
f(t)dt<br />
f(t)dt = G(x) + K<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 33
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
com K uma constante. Pela propriedade do <strong>integral</strong> indefinido <strong>em</strong> [x1,x0] sab<strong>em</strong>os que G ′ (x) =<br />
f(x) para todo o x ∈ [x1,x0]. Logo F ′ (x) = G ′ (x) = f(x) para todo o x ∈ [x1,x0]. <br />
Exercícios resolvidos<br />
⎧<br />
⎨ 2, 0 ≤ x < 1,<br />
1. Considere a função f(x) = 0, 1 ≤ x < 3,<br />
⎩<br />
−1, 3 ≤ x ≤ 4.<br />
(a) Seja F(x) o <strong>integral</strong> indefinido de f(x). Determine uma expressão analítica para<br />
F(x).<br />
(b) Determine F ′ (x).<br />
2. Seja F(x) =<br />
Resolução<br />
x 2 + π<br />
2<br />
(a) Determine F( √ π).<br />
<br />
0<br />
sin 2 (t)dt, x ∈ R.<br />
(b) Justifique que F é derivável <strong>em</strong> R e determine F ′ (x) para todo o x ∈ R.<br />
1. (a) Por definição t<strong>em</strong>os F(x) =<br />
Assim,<br />
F(x) =<br />
=<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x<br />
f(t)dt, x ∈ [0,4], ou seja,<br />
0<br />
x<br />
2dt, 0 ≤ x < 1,<br />
0<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2dt +<br />
x<br />
0dt, 1 ≤ x < 3<br />
1<br />
3 x<br />
2dt + 0dt + (−1)dt, 3 ≤ x ≤ 4,<br />
1<br />
2x, 0 ≤ x < 1,<br />
2 + 0, 1 ≤ x < 3,<br />
2 + 0 + (−x + 3), 3 ≤ x ≤ 4.<br />
⎧<br />
2x,<br />
⎪⎨<br />
0 ≤ x < 1,<br />
F(x) = 2, 1 ≤ x < 3,<br />
⎪⎩<br />
3<br />
−x + 5, 3 ≤ x ≤ 4.<br />
(b) A função f(x) é contínua <strong>em</strong> cada um dos sub-intervalos [0,1[, ]1,3[ e ]3,4] uma vez<br />
que é constante nesses intervalos. Pela observação ao teor<strong>em</strong>a 2, F(x) é derivável<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 34
2. (a) T<strong>em</strong>-se<br />
1.6. INTEGRAL INDEFINIDO<br />
<strong>em</strong> todos os pontos onde f(x) é contínua e t<strong>em</strong>-se F ′ (x) = f(x). Portanto F(x)<br />
é derivável <strong>em</strong> cada um dos intervalos 3 [0,1[, ]1,3[ e ]3,4]. Resta analisar se F é<br />
derivável <strong>em</strong> x = 1 e x = 3. T<strong>em</strong>-se,<br />
F ′ e (1) = lim<br />
x→1− f(x) − f(1)<br />
=<br />
x − 1<br />
2x − 2<br />
= 2.<br />
x − 1<br />
F ′ d (1) = lim<br />
x→1 +<br />
f(x) − f(1)<br />
=<br />
x − 1<br />
2 − 2<br />
= 0.<br />
x − 1<br />
Como F ′ e (1) = F ′ d (1), não existe F ′ (1). Analogamente t<strong>em</strong>-se,<br />
F ′ e(3) = lim<br />
x→3− f(x) − f(3)<br />
=<br />
x − 1<br />
2 − 2<br />
= 0.<br />
x − 3<br />
F ′ d (3) = lim<br />
x→3 +<br />
f(x) − f(3)<br />
=<br />
x − 3<br />
−x + 5 − 2<br />
= −1.<br />
x − 3<br />
Como F ′ e(3) = F ′ d (3), também não existe F ′ (3). Em resumo,<br />
F ′ ⎧<br />
⎨ 2, 0 ≤ x < 1,<br />
(x) = 0, 1 < x < 3,<br />
⎩<br />
−1, 3 < x ≤ 4.<br />
A situação descrita atrás pode ser facilmente constatada na seguinte figura.<br />
y<br />
f(x)<br />
2 2<br />
1 3 4<br />
Pontos de descontinuidade de f(x)<br />
F( √ π) =<br />
( √ π) 2 + π<br />
2<br />
<br />
0<br />
1<br />
y<br />
F(x)<br />
x x<br />
1 3 4<br />
Nestes pontos F(x) não é derivável<br />
sin 2 <br />
t dt =<br />
3<br />
2 π<br />
0<br />
sin 2 t dt.<br />
Usando a fórmula trignométrica n o 12 da tabela das primitivas,<br />
sin 2 x = 1<br />
(1 − 2cos 2x),<br />
2<br />
3 Record<strong>em</strong>os que F(x) é derivável nos extr<strong>em</strong>os x = 0 x = 3 pois exist<strong>em</strong> F ′ d(0) = f(0) = 2 e F ′ e(3) = f(3) = 1.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 35
Exercícios<br />
obt<strong>em</strong>os<br />
(b) Tomamos y = x 2 + π<br />
2<br />
3<br />
2 π<br />
<br />
0<br />
sin 2 (t)dt =<br />
3<br />
2 π<br />
<br />
0<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
1<br />
(1 − 2cos 2t)dt<br />
2<br />
= 1<br />
3<br />
2<br />
t − sin 2t<br />
2<br />
π 3<br />
=<br />
0 4 π.<br />
. Pod<strong>em</strong>os considerar F(x) como uma função composta,<br />
y<br />
F(x) = G(y(x)) onde G(y) = sin2 (t)dt, y ∈ R. Pelas propriedades do <strong>integral</strong><br />
0<br />
indefinido, corolário 1.6.3, como a função integranda sin2 t é contínua <strong>em</strong> I = R,<br />
y<br />
G(y) =<br />
sin<br />
0<br />
2 (t)dt é derivável <strong>em</strong> R e t<strong>em</strong>-se G ′ (y) = sin2 (y) para todo o y ∈ R.<br />
Ora, pelo teor<strong>em</strong>a da derivada da função composta t<strong>em</strong>os<br />
1. Considere a função<br />
F ′ (x) = (G ◦ y) ′ (x) = G ′ (y(x)) · y ′ (x)<br />
<br />
2<br />
= sin x 2 + π<br />
<br />
· x<br />
2<br />
2 + π<br />
′<br />
2<br />
⎧<br />
⎨ 1 − x, 0 ≤ x < 1,<br />
f(x) = 0, 1 ≤ x < 2,<br />
⎩<br />
(2 − x) 2 , 2 ≤ x ≤ 3.<br />
(a) Determine uma expressão analítica para F(x) =<br />
<br />
2<br />
= 2x sin x 2 + π<br />
<br />
.<br />
2<br />
x<br />
f(t)dt<br />
(b) Indique o valor médio de f(x) <strong>em</strong> [0,3] e determine o(s) ponto(s) onde f(x) atinge<br />
esse valor.<br />
2. Seja f uma função contínua <strong>em</strong> [1,+∞[ tal que<br />
(a) Determine, justificando, f(x).<br />
(b) Mostre s<strong>em</strong> calcular o <strong>integral</strong> que<br />
9<br />
4<br />
x<br />
1<br />
0<br />
f(t)dt = e √ x ( √ x − 1).<br />
f(t)dt = 2e 3 − e 2 .<br />
3. Considere a função ϕ :]0,+∞[→ R definida por ϕ(x) =<br />
(a) Determine ϕ(2).<br />
(b) Justifique que ϕ é derivável e calcule ϕ ′ (x), x > 0.<br />
x<br />
1<br />
t log t<br />
(1 + t2 dt.<br />
) 2<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 36
4. Considere a função F(x) =<br />
(a) Determine F(1).<br />
x2 <br />
−1<br />
<br />
1 − t, t < 0<br />
f(t)dt onde f(t) =<br />
(b) Justifique que F é derivável <strong>em</strong> R e calcule F ′ (x).<br />
(Sug: estude o exercício resolvido 3.)<br />
5. Considere a função f(x) =<br />
<br />
k log x<br />
x 2<br />
e −t2<br />
dt.<br />
Determine k de modo a que f ′ (1) = 0.<br />
(Sug: justifique que se pode decompor<br />
<br />
k log x<br />
x 2<br />
e −t2<br />
dt =<br />
e proceda como no exercício resolvido 3.)<br />
<br />
k log x<br />
6. Seja f uma função contínua <strong>em</strong> R. Seja F(x) =<br />
0<br />
e −t2<br />
<br />
dt −<br />
<strong>em</strong> R, F(x) atinge um máximo (absoluto) <strong>em</strong> x = 0.<br />
1.6. INTEGRAL INDEFINIDO<br />
2<br />
(t+1)(t+2) , t ≥ 0.<br />
0<br />
x 2<br />
e −t2<br />
dt,<br />
x<br />
tf(t)dt, x ∈ R. Prove que se f(x) < 0<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 37<br />
0<br />
.
1.7 Integral impróprio<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
O <strong>integral</strong> impróprio pretende estender a noção de <strong>integral</strong> a domínios não limitados e/ou de<br />
funções não limitadas. Por ex<strong>em</strong>plo, o que é que pod<strong>em</strong>os dizer sobre os integrais<br />
<br />
+∞<br />
0<br />
e −x dx e<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
x ?<br />
O primeiro destes integrais corresponde à área abaixo do gráfico de e−x definida no intervalo<br />
não limitado [0,+∞[, e o segundo corresponde à área abaixo do gráfico da função não limitada<br />
, definida no intervalo ]0,1].<br />
1<br />
x<br />
y = e −x<br />
y y<br />
R ∞<br />
0 e−x dx<br />
R 1<br />
0<br />
dx<br />
x<br />
y = 1<br />
x<br />
x x<br />
1<br />
Vamos abordar <strong>em</strong> primeiro lugar o <strong>integral</strong> de funções limitadas <strong>em</strong> domínios não limitados.<br />
+∞ <br />
Para estudar o <strong>integral</strong> e−x dx vamos considerar o <strong>integral</strong> no intervalo [0,z] e investigar se<br />
0<br />
existe o limite deste <strong>integral</strong> quando z → +∞. Ora,<br />
z<br />
lim A(z) = lim<br />
z→+∞ z→+∞<br />
0<br />
Uma vez que este limite existe e é finito vamos dizer que<br />
e −x −x<br />
dx = lim −e<br />
z→+∞<br />
z = lim 0 z→+∞ −e−z − (−1) = 1.<br />
de valor 1. A definição de <strong>integral</strong> impróprio no caso geral vai ser análoga.<br />
+∞ <br />
0<br />
e −x dx é um <strong>integral</strong> convergente<br />
Definição 6 Seja f : [a,+∞[→ R uma função integrável <strong>em</strong> qualquer intervalo da forma [a,z]<br />
+∞ <br />
com z > a. Diz<strong>em</strong>os que f(x)dx é convergente se existe e é finito<br />
Nessa altura tomamos<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
a<br />
f(x)dx = lim<br />
lim<br />
z<br />
z→+∞<br />
a<br />
z<br />
z→+∞<br />
a<br />
f(x)dx.<br />
f(x)dx. Se o <strong>integral</strong> não é convergente, diz<strong>em</strong>os<br />
que é divergente. Estudar a natureza de um <strong>integral</strong> impróprio consiste <strong>em</strong> saber se ele é<br />
convergente ou divergente.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 38
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO<br />
Analogamente, se f :]−∞,a] → R é uma função integrável <strong>em</strong> qualquer intervalo da forma [z,a]<br />
com z < a tomamos<br />
a<br />
−∞<br />
f(x)dx = lim<br />
z→−∞<br />
a<br />
z<br />
f(x)dx (se este limite existir!).<br />
Se f : R → R é uma função integrável <strong>em</strong> qualquer intervalo fechado e limitado de R, também<br />
se define<br />
+∞<br />
a<br />
+∞<br />
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx,<br />
se<br />
a<br />
−∞<br />
f(x)dx e<br />
+∞ <br />
a<br />
−∞<br />
−∞<br />
a<br />
f(x)dx for<strong>em</strong> ambos integrais convergentes para algum a ∈ R (o ponto a<br />
não é relevante como ver<strong>em</strong>os no teor<strong>em</strong>a 1.7.2).<br />
Vamos agora estudar uma família muito importante de integrais impróprios, designados por<br />
integrais de Dirichelet, e que são da forma<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
x α,<br />
α ∈ R.<br />
O estudo da natureza destes integrais é bastante fácil, uma vez que a função integranda admite<br />
uma primitiva conhecida.<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.7.1 O <strong>integral</strong> de Dirichelet<br />
caso t<strong>em</strong>os<br />
+∞<br />
1<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
=<br />
xα dx<br />
é convergente se e somente se α > 1, e nesse<br />
xα 1<br />
α − 1 .<br />
Intuitivamente se α > 1 “o gráfico de 1<br />
vai decrescer suficient<strong>em</strong>ente rápido para zero quando<br />
xα x → +∞” o que vai permitir que a área abaixo do gráfico seja finita.<br />
1<br />
y<br />
1<br />
1<br />
xα , α < 1<br />
1<br />
x<br />
1<br />
xα , α > 1<br />
x<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 39
D<strong>em</strong>:<br />
Por definição<br />
+∞<br />
1<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
dx<br />
é convergente se e somente se existir e for finito o limite<br />
xα lim<br />
z→+∞<br />
Para estudar este limite vamos considerar separadamente os casos α = 1, α > 1 e α < 1.<br />
α = 1: neste caso a função integranda é 1<br />
, que admite a primitiva log x. Assim<br />
x<br />
e portanto<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
lim<br />
z→+∞<br />
z<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
(α = 1) é divergente.<br />
z<br />
1<br />
dx<br />
x α.<br />
z = lim log x = lim (log z − log 1) = +∞,<br />
z→∞ 1 z→∞<br />
α > 1: a função integranda é 1<br />
xα = x−α que admite a primitiva x−α+1<br />
. Assim<br />
−α + 1<br />
lim<br />
z→+∞<br />
z<br />
1<br />
<br />
dx x−α+1 = lim<br />
xα z→∞ −α + 1<br />
z<br />
1<br />
<br />
z−α+1 = lim<br />
z→∞ −α + 1 −<br />
<br />
1<br />
=<br />
−α + 1<br />
1<br />
α − 1 .<br />
Note que lim<br />
z→+∞ z1−α = 0 uma vez que 1 − α < 0.<br />
α < 1: este caso é análogo ao anterior com a diferença que<br />
pois 1 − α > 0. Assim<br />
lim<br />
z→+∞<br />
z<br />
1<br />
lim<br />
z→+∞ z1−α = +∞,<br />
<br />
dx x−α+1 = lim<br />
xα z→∞ −α + 1<br />
e portanto o <strong>integral</strong> é divergente neste caso. .<br />
z<br />
1<br />
<br />
z−α+1 = lim<br />
z→∞ −α + 1 −<br />
<br />
1<br />
= +∞,<br />
−α + 1<br />
Vamos agora enunciar vários resultados para integrais impróprios da forma<br />
+∞ <br />
a<br />
f(x)dx. Estes<br />
resultados são ainda verdadeiros, com as devidas alterações, para integrais impróprios da forma<br />
a<br />
f(x)dx. Os alunos são incentivados a reescrever os resultados com essas alterações.<br />
−∞<br />
O seguinte resultado vai-nos dizer essencialmente que a natureza de um <strong>integral</strong> impróprio não<br />
se altera por adição de um <strong>integral</strong> definido.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 40
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.7.2 Seja f : [a,+∞[→ R uma função integrável <strong>em</strong> qualquer intervalo da forma<br />
[a,z], z > a. Seja b > a. Então,<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
f(x)dx e<br />
<br />
+∞<br />
b<br />
f(x)dx,<br />
têm ambos a mesma natureza (ou seja, são ambos convergentes ou são ambos divergentes).<br />
A seguinte figura pretende ilustrar esta propriedade.<br />
D<strong>em</strong>:<br />
Estas áreas são ambas finitas ou<br />
são ambas infinitas<br />
y y<br />
f(x) f(x)<br />
a b x a b<br />
x<br />
Pela aditividade do <strong>integral</strong> pod<strong>em</strong>os escrever<br />
Assim,<br />
z<br />
a<br />
lim<br />
z→+∞<br />
f(x)dx =<br />
z<br />
a<br />
b<br />
a<br />
<br />
f(x)dx +<br />
<br />
finito<br />
f(x)dx = lim<br />
z→+∞<br />
z<br />
b<br />
b<br />
z<br />
f(x)dx.<br />
f(x)dx + C te .<br />
Logo se um dos limites existir e for finito o mesmo acontece ao outro. <br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
Pretende-se determinar a natureza do <strong>integral</strong><br />
Ora pelo teor<strong>em</strong>a anterior o <strong>integral</strong><br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
. Como α = 2 > 1,<br />
x2 é convergente.<br />
+∞<br />
1<br />
+∞<br />
5<br />
+∞<br />
5<br />
dx<br />
.<br />
x2 dx<br />
t<strong>em</strong> a mesma natureza que o <strong>integral</strong> de Dirichelet<br />
x2 dx<br />
é um <strong>integral</strong> convergente, e portanto o <strong>integral</strong><br />
x2 +∞<br />
5<br />
dx<br />
também<br />
x2 ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 41
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
A d<strong>em</strong>onstração das seguintes propriedades é consequência imediata das correspondentes propriedades<br />
do <strong>integral</strong> definido, das propriedades dos limites e da definição de <strong>integral</strong> impróprio.<br />
Proposição 1.7.3 Sejam f,g : [a,+∞[→ R duas funções integráveis <strong>em</strong> qualquer intervalo da<br />
+∞<br />
+∞<br />
forma [a,z], z > a, tais que f(x)dx e g(x)dx são ambos integrais convergentes. Então:<br />
(i)<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
[f(x) + g(x)]dx é convergente e t<strong>em</strong>-se<br />
(ii) Para ∀k ∈ R,<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
a<br />
[f(x) + g(x)]dx =<br />
a<br />
<br />
+∞<br />
[k f(x)]dx é convergente e t<strong>em</strong>-se<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
a<br />
[k f(x)]dx = k<br />
Pretende-se determinar a natureza do <strong>integral</strong><br />
+∞<br />
calcular o seu valor.<br />
Res: Pod<strong>em</strong>os considerar dois integrais separadamente:<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
,<br />
x2 <br />
1<br />
+∞<br />
1<br />
<br />
f(x)dx +<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
+∞<br />
a<br />
f(x)dx.<br />
<br />
1 e−x<br />
+<br />
x2 2<br />
e −x<br />
2 dx.<br />
g(x)dx.<br />
dx, e se este for convergente<br />
O primeiro é um <strong>integral</strong> de Dirichelet com α = 2 > 1 logo convergente. Além disso,<br />
+∞<br />
1<br />
dx 1 1<br />
= = = 1. (ver o teor<strong>em</strong>a 1.7.7)<br />
x2 α − 1 2 − 1<br />
Quanto ao segundo <strong>integral</strong> vamos determiná-lo por definição:<br />
+∞<br />
1<br />
e −x<br />
2<br />
dx = lim<br />
z→+∞<br />
z<br />
1<br />
1<br />
= lim<br />
z→+∞ 2<br />
1<br />
= lim<br />
z→+∞ 2<br />
e −x<br />
2 dx<br />
−e −x z<br />
1<br />
−e −z − (−e −1 ) = e −1<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 42<br />
2
Como ambos os integrais são convergentes concluímos que<br />
vergente e t<strong>em</strong>-se<br />
<br />
+∞<br />
1<br />
<br />
1 e−x<br />
+<br />
x2 2<br />
dx =<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
+<br />
x2 +∞<br />
1<br />
e −x<br />
2<br />
<br />
+∞<br />
1<br />
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO<br />
<br />
1 e−x<br />
+<br />
x2 2<br />
dx = 1 + e−1<br />
2 .<br />
dx é também con-<br />
Proposição 1.7.4 Sejam f,g : [a,+∞[→ R duas funções integráveis <strong>em</strong> qualquer intervalo<br />
+∞<br />
+∞<br />
da forma [a,z], z > a, tais que f(x)dx é convergente e g(x)dx é divergente. Então<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
[f(x) + g(x)]dx é divergente.<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
Pretende-se determinar a natureza do <strong>integral</strong><br />
a<br />
<br />
+∞<br />
1<br />
<br />
1 + x<br />
x2 <br />
dx.<br />
Ora este <strong>integral</strong> é obtido como a soma de dois integrais de Dirichelet, um divergente<br />
(α = 1) e outro convergente<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
dx (α = 2 > 1). Logo é divergente.<br />
x2 a<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
x dx<br />
Vamos agora enunciar dois critérios muito importantes no estudo da natureza de integrais<br />
+∞<br />
impróprios da forma f(x)dx <strong>em</strong> que f(x) apenas toma valores não negativos. O objec-<br />
a<br />
tivo é comparar o <strong>integral</strong> que pretend<strong>em</strong>os estudar com um <strong>integral</strong> impróprio cuja natureza<br />
seja conhecida (normalmente os integrais de Dirichelet) ou que seja fácil de determinar.<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.7.5 (1 o Critério de comparação) Sejam f,g : [a,+∞[→ R duas funções integráveis<br />
<strong>em</strong> qualquer intervalo da forma [a,z], z > a, tais que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo o x ∈ [a,+∞[ 4 .<br />
T<strong>em</strong>-se:<br />
(i) Se<br />
(ii) Se<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
g(x)dx é convergente então<br />
f(x)dx é divergente então<br />
<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
+∞<br />
a<br />
f(x)dx é convergente.<br />
g(x)dx é divergente.<br />
4 De facto, basta que estas desigualdades sejam verifcadas para todo x ∈ [b,+∞[ para algum b ≥ a.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 43
y<br />
a<br />
g(x)<br />
f(x)<br />
R +∞<br />
g(x)dx<br />
a<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
R +∞<br />
f(x)dx<br />
a<br />
A d<strong>em</strong>onstração do resultado anterior baseia-se no facto de os integrais indefinidos F(z) =<br />
z<br />
z<br />
f(x)dx e G(z) = g(x)dx definir<strong>em</strong> funções crescentes <strong>em</strong> [a,+∞[ (pois f(x),g(x) ≥ 0 para<br />
a<br />
a<br />
todo o x) e portanto que admitir<strong>em</strong> limite <strong>em</strong> +∞ se e só se for<strong>em</strong> limitados.<br />
Ex<strong>em</strong>plos<br />
Pretende-se determinar a natureza dos seguintes integrais<br />
1.<br />
2.<br />
+∞<br />
1<br />
+∞<br />
1<br />
Resolução:<br />
dx<br />
x 3 + 2x + 1 .<br />
2<br />
x + √ x dx.<br />
1. Como x ≥ 0, x3 +<br />
<br />
2x<br />
<br />
+ 1<br />
<br />
≥ x<br />
≥0<br />
3 e portanto 0 ≤<br />
1<br />
x 3 + 2x + 1<br />
x<br />
1<br />
≤<br />
x3. Como o <strong>integral</strong><br />
é um <strong>integral</strong> de Dirichelet convergente (α = 3 > 1) concluímos pelo 1o critério de com-<br />
+∞<br />
dx<br />
paração (i), que<br />
x3 é também convergente.<br />
+ 2x + 1<br />
1<br />
2. Como x ≥ 1, √ x ≤ x e portanto x + √ x ≤ 2x. Portanto 0 ≤ 1<br />
2x ≤<br />
<strong>integral</strong><br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
é um <strong>integral</strong> de Dirichelet divergente,<br />
resulta do 1 o critério de comparação (ii), que<br />
+∞<br />
1<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
x + √ x<br />
dx<br />
2x<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
x 3<br />
1<br />
x + √ . Como o<br />
x<br />
é também divergente. Logo<br />
é também divergente.<br />
Muitas vezes não é fácil majorar ou minorar uma função por forma a podermos aplicar o 1 o<br />
critério de comparação. Nessas alturas pod<strong>em</strong>os tentar aplicar o seguinte critério de comparação.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 44
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.7.6 (2 o Critério de comparação) Sejam f,g : [a,+∞[→ R duas funções integráveis<br />
<strong>em</strong> qualquer intervalo da forma [a,z], z > a, tais que f(x),g(x) ≥ 0 para todo o x ∈ [a,+∞[.<br />
Suponhamos ainda que<br />
Então<br />
<br />
+∞<br />
a<br />
Ex<strong>em</strong>plo<br />
f(x)dx e<br />
<br />
+∞<br />
Pretende-se determinar a natureza de<br />
Vamos tentar comparar<br />
a<br />
f(x)<br />
∃ lim<br />
x→+∞ g(x)<br />
= λ = 0,+∞.<br />
g(x)dx têm ambos a mesma natureza.<br />
+∞<br />
vergente (α = 1). Note que sin 1<br />
x<br />
propriedades do limite, t<strong>em</strong>os<br />
<br />
1<br />
lim<br />
x→+∞<br />
<br />
+∞<br />
1<br />
sin 1<br />
x dx.<br />
sin 1<br />
dx com o <strong>integral</strong> de Dirichelet<br />
x<br />
sin 1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
> 0, uma vez que 1<br />
x<br />
= lim<br />
y= 1<br />
x →0+<br />
siny<br />
y<br />
Logo resulta do 2 o critério de comparação que<br />
portanto que<br />
Exercícios<br />
<br />
+∞<br />
1<br />
sin 1<br />
dx é também divergente.<br />
x<br />
1. Calcule os seguintes integrais impróprios:<br />
(a)<br />
(b)<br />
<br />
+∞<br />
0<br />
0<br />
−∞<br />
xe −x dx.<br />
dx<br />
(x − 1) 2.<br />
2. Estude a natureza dos seguintes integrais:<br />
(a)<br />
+∞<br />
1<br />
x + 4<br />
dx.<br />
ex <br />
+∞<br />
1<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
, que sab<strong>em</strong>os ser di-<br />
x<br />
< π, para todo o x ≥ 1. Ora, pelas<br />
= 1 = λ = 0,+∞.<br />
sin 1<br />
dx e<br />
x<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
têm a mesma natureza e<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 45
(b)<br />
(c)<br />
(d)<br />
(e)<br />
(f)<br />
(g)<br />
+∞<br />
1<br />
+∞<br />
1<br />
dx<br />
x √ x + x dx.<br />
log(x 2 + 1)<br />
x<br />
+∞<br />
e<br />
2<br />
−x<br />
x2 − 1 dx.<br />
+∞<br />
1<br />
+∞<br />
√ 3<br />
+∞<br />
−∞<br />
√<br />
x<br />
dx.<br />
1 + x2 dx.<br />
dx<br />
x(1 + x 2 ) dx.<br />
2x<br />
dx.<br />
1 + x2 CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
Vamos agora considerar rapidamente o caso dos integrais impróprios de funções não limitadas. A<br />
maior parte das propriedades enunciadas para o <strong>integral</strong> de funções <strong>em</strong> intervalos não limitados<br />
são ainda verificadas neste contexto, com as devidas adaptações. Por essa razão apenas ir<strong>em</strong>os<br />
enunciar algumas dessas propriedades e calcular alguns ex<strong>em</strong>plos.<br />
Definição 7 Seja f :]a,b] → R, b > a, uma função integrável <strong>em</strong> qualquer intervalo da forma<br />
b<br />
[z,b] com z > a. Diz<strong>em</strong>os que f(x)dx é convergente se existir e for finito<br />
Nessa altura tomamos<br />
b<br />
a<br />
a<br />
lim<br />
z→a +<br />
f(x)dx = lim z→a +<br />
b<br />
z<br />
b<br />
z<br />
f(x)dx.<br />
f(x)dx. Se o <strong>integral</strong> não for convergente, diz<strong>em</strong>os<br />
que é divergente.<br />
Analogamente, se f : [a,b[→ R é uma função integrável <strong>em</strong> qualquer intervalo da forma [a,z]<br />
com z < b tomamos<br />
b<br />
a<br />
f(x)dx = lim<br />
z→b −<br />
z<br />
a<br />
f(x)dx (se este limite existir!).<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 46
y y<br />
f(x)<br />
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO<br />
R b<br />
z f(x)dx<br />
R z<br />
a f(x)dx<br />
x x<br />
a ← z b a<br />
z → b<br />
f(x) t<strong>em</strong> uma assímptota vertical <strong>em</strong> x = a +<br />
f(x)<br />
f(x) t<strong>em</strong> uma assímptota vertical <strong>em</strong> x = b −<br />
Analogamente ao caso dos integrais definidos <strong>em</strong> intervalos não limitados, também aqui vamos<br />
considerar uma família muito importante de integrais impróprios 5 , designados novamente por<br />
integrais de Dirichelet, e que são da forma<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
x α,<br />
α ∈ R<br />
T<strong>em</strong>os o resultado análogo ao teor<strong>em</strong>a 1 da lição anterior, cuja d<strong>em</strong>onstração se deixa ao cuidado<br />
do aluno mais entusiasta.<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.7.7 O <strong>integral</strong> de Dirichelet<br />
caso t<strong>em</strong>os<br />
1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
=<br />
xα dx<br />
é convergente se e somente se α < 1, e nesse<br />
xα 1<br />
1 − α .<br />
Intuitivamente se α < 1 “o gráfico de 1<br />
vai se aproximar suficient<strong>em</strong>ente rápido do eixo dos<br />
xα yy quando x → 0 + ” de modo a que a área da região delimitada pelo eixo dos yy e pelo gráfico<br />
+∞ <br />
de f seja finita (confrontar com o <strong>integral</strong> de Dirichelet<br />
5<br />
Note que se α ≤ 0, a função<br />
considerado um <strong>integral</strong> definido.<br />
1<br />
dx<br />
x α).<br />
1<br />
x −α não t<strong>em</strong> assímptota <strong>em</strong> x = 0 + e <strong>em</strong> rigor o <strong>integral</strong> abaixo deve ser<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 47
1<br />
y<br />
1<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
1<br />
xα , α < 1<br />
1<br />
x<br />
1<br />
xα , α > 1<br />
Vamos agora ver alguns ex<strong>em</strong>plos onde essas propriedades são utilizadas.<br />
Exercícios resolvidos<br />
Pretende-se determinar a natureza dos integrais impróprios:<br />
1.<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
5.<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
π<br />
0<br />
1<br />
0<br />
Resolução<br />
dx<br />
√ x − 1 .<br />
dx<br />
√ x + 2x .<br />
dx<br />
x √ x − 1 .<br />
dx<br />
sin x dx.<br />
dx<br />
x(1 − x) .<br />
1. A função<br />
1<br />
√ x − 1 t<strong>em</strong> apenas uma assímptota vertical <strong>em</strong> x = 1 + (i.e. t<strong>em</strong> uma assímptota<br />
vertical à direita <strong>em</strong> x = 1). Por definição o <strong>integral</strong> impróprio<br />
x<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
√ x − 1 é convergente<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 48
se e somente se existir e for finito o limite<br />
Ora,<br />
Assim o <strong>integral</strong><br />
2<br />
1<br />
lim<br />
z→1 +<br />
2<br />
z<br />
lim<br />
z→1 +<br />
2<br />
z<br />
dx<br />
√ x − 1 .<br />
dx<br />
√ x − 1 = lim<br />
z→1 +<br />
= lim<br />
z→1 +<br />
2<br />
dx<br />
√ x − 1 é convergente de valor 2.<br />
z<br />
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO<br />
(x − 1) −1<br />
2 dx<br />
<br />
(x − 1) 1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
= 2 lim<br />
z→1 +[1 − √ z − 1] = 2.<br />
2. Vamos aplicar o 1 o critério de comparação, (i). A função 1<br />
√ x+2x t<strong>em</strong> uma assímptota<br />
vertical no ponto x = 0 + . Como 0 < x, t<strong>em</strong>os a desigualdade √ x + 2x > √ x e portanto<br />
1<br />
dx<br />
√ é um <strong>integral</strong> de Dirichelet convergente (pois α =<br />
x<br />
√ 1 < x+2x 1 √ . Como o <strong>integral</strong><br />
x<br />
1<br />
2 < 1), também o <strong>integral</strong><br />
1<br />
0<br />
0<br />
dx<br />
√ x + 2x é convergente.<br />
3. Vamos aplicar o 2o 1<br />
critério de comparação. No intervalo ]1,2] a função<br />
x √ t<strong>em</strong> apenas<br />
x−1<br />
uma assímptota vertical no ponto x = 1 + . Ora<br />
lim<br />
x→1 +<br />
1<br />
x √ x−1<br />
1<br />
√ x−1<br />
= lim<br />
x→1 +<br />
1<br />
x<br />
Logo pelo 2 o critério de comparação os integrais<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
x √ x − 1<br />
e<br />
z<br />
= 1 = λ = 0,1.<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
√ x − 1<br />
têm a mesma natureza e portanto são ambos convergentes (ver o ex<strong>em</strong>plo 1.).<br />
4. No intervalo ]0,π[ a função 1<br />
sinx<br />
x = 0 + e outra <strong>em</strong> x = π − . Por definição o <strong>integral</strong><br />
é positiva e t<strong>em</strong> duas assímptotas verticais, uma no ponto<br />
π<br />
dx<br />
é convergente se e somente<br />
sinx<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 49<br />
0
se for<strong>em</strong> convergentes ambos os integrais<br />
a<br />
0<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
dx<br />
sin x e<br />
π<br />
a<br />
dx<br />
, com a ∈]0,π[ um ponto<br />
sin x<br />
arbitrário. Pod<strong>em</strong>os tomar, por ex<strong>em</strong>plo, a = π<br />
2 . T<strong>em</strong>os então que estudar a natureza dos<br />
integrais<br />
π<br />
2<br />
<br />
0<br />
dx<br />
sin x<br />
e<br />
π<br />
π<br />
2<br />
dx<br />
sin x .<br />
Vamos aplicar o 2 o critério de comparação no estudo do primeiro destes integrais. T<strong>em</strong>-se,<br />
Logo o <strong>integral</strong><br />
π<br />
2<br />
<br />
0<br />
dx<br />
sin x<br />
lim<br />
x→0 +<br />
1<br />
sin x<br />
1<br />
x<br />
= lim<br />
x→0 +<br />
x<br />
sin x<br />
= 1 = λ = 0,1.<br />
t<strong>em</strong> a mesma natureza que o <strong>integral</strong><br />
t<strong>em</strong> a mesma natureza que o <strong>integral</strong> de Dirichelet divergente (pois α = 1),<br />
difere deste por um <strong>integral</strong> definido. De facto,<br />
Daqui resulta que finalmente que<br />
π<br />
2<br />
<br />
0<br />
π<br />
0<br />
dx<br />
x =<br />
dx<br />
sin x<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
x +<br />
π<br />
2<br />
<br />
1<br />
é divergente.<br />
dx<br />
x .<br />
π<br />
2<br />
<br />
0<br />
dx<br />
. Este último <strong>integral</strong><br />
x<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
, pois<br />
x<br />
1<br />
5. No intervalo ]0,1[ a função √ é positiva e t<strong>em</strong> duas assímptotas verticais, uma no<br />
x(1−x)<br />
ponto x = 0 + e outra <strong>em</strong> x = 1 − . Por definição o <strong>integral</strong><br />
e somente se for<strong>em</strong> convergentes ambos os integrais<br />
a<br />
0<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
x(1 − x) é convergente se<br />
dx<br />
x(1 − x) e<br />
1<br />
a<br />
dx<br />
x(1 − x) , com<br />
a ∈]0,1[ um ponto arbitrário. Pod<strong>em</strong>os tomar, por ex<strong>em</strong>plo, a = 1<br />
2 . T<strong>em</strong>os então que<br />
estudar a natureza dos integrais<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
dx<br />
x(1 − x)<br />
Vamos aplicar o 2 o critério de comparação. T<strong>em</strong>-se,<br />
lim<br />
x→0 +<br />
√ 1<br />
x(1−x)<br />
1<br />
√ x<br />
= lim<br />
x→0 +<br />
e<br />
1<br />
1<br />
2<br />
√ x<br />
√ x √ 1 − x = lim<br />
x→0 +<br />
dx<br />
x(1 − x) .<br />
1<br />
√ 1 − x = 1 = λ = 0,1.<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 50
Logo o <strong>integral</strong><br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
dx<br />
x(1 − x) t<strong>em</strong> a mesma natureza que o <strong>integral</strong><br />
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
dx<br />
√ x . Este último<br />
<strong>integral</strong> t<strong>em</strong> a mesma natureza que o <strong>integral</strong> de Dirichelet convergente (pois α = 1<br />
2 <<br />
1<br />
dx<br />
1), √ , pois difere deste por um <strong>integral</strong> definido. Daqui resulta que finalmente que<br />
x<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
0<br />
dx<br />
x(1 − x) é convergente.<br />
Analogamente se mostra que o <strong>integral</strong><br />
1<br />
gral convergente (ver a resolução do exercício 1.)<br />
convergente. Como ambos os integrais<br />
são convergentes, também<br />
Exercícios<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
x(1 − x)<br />
1<br />
2<br />
dx<br />
x(1 − x) t<strong>em</strong> a mesma natureza que o inte-<br />
e<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
x(1 − x) é convergente.<br />
1. Determine a natureza dos seguintes integrais impróprios<br />
(a)<br />
(b)<br />
(c)<br />
(d)<br />
1<br />
0<br />
π<br />
2<br />
<br />
0<br />
6<br />
2<br />
2<br />
1<br />
dx<br />
(2 − x) √ x .<br />
dx<br />
cos x .<br />
dx<br />
(4 − x) 2<br />
3<br />
dx<br />
x 1<br />
3 − 1 .<br />
.<br />
0<br />
dx<br />
√ 1 − x , e portanto que também é<br />
dx<br />
x(1 − x) ,<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 51
(e)<br />
(f)<br />
π<br />
2<br />
<br />
− π<br />
2<br />
3<br />
−3<br />
dx<br />
1 − cos x .<br />
x 2<br />
√ 9 − x 2 dx.<br />
2. Prove o seguinte resultado: dados a,b,α ∈ R, 0 < a < b,<br />
b<br />
e indique o valor deste <strong>integral</strong> para α < 1.<br />
3. Calcule os seguintes limites:<br />
1<br />
(a) lim<br />
x→0 x<br />
(b) lim<br />
x→0<br />
x<br />
0<br />
x 2<br />
1 − e x2<br />
e 2 t dt.<br />
x<br />
0<br />
a<br />
e t2<br />
dt.<br />
dx<br />
(x − a) α converge ⇔ α < 1,<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 52
Apêndice: A regra de Cauchy<br />
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO<br />
Um resultado “maravilhoso” no cálculo de limites é a chamada regra de Cauchy enunciada a<br />
seguir:<br />
Teor<strong>em</strong>a 1.7.8 Sejam f,g duas funções deriváveis num intervalo aberto I de extr<strong>em</strong>idade a (a<br />
pode ser −∞ ou +∞) tal que g ′ (x) = 0 para todo o x ∈ I. Admitamos ainda que<br />
Então<br />
Ex<strong>em</strong>plos<br />
∃ lim<br />
x→a f(x) = lim<br />
x→a g(x) = 0 (ou ∞) e que ∃ lim<br />
x→a<br />
lim<br />
x→a<br />
f(x)<br />
g(x)<br />
= lim<br />
x→a<br />
f ′ (x)<br />
g ′ (x) .<br />
f ′ (x)<br />
g ′ (x) .<br />
1. A maior parte dos limites notáveis pode ser recuperada com recurso à regra de Cauchy:<br />
sin x<br />
(a) lim<br />
x→0 x<br />
0<br />
0 cos x<br />
= lim<br />
x→0 1<br />
= 1.<br />
e<br />
(b) lim<br />
x→0<br />
x − 1<br />
x<br />
0<br />
0 e<br />
= lim<br />
x→0<br />
x<br />
= 1.<br />
1<br />
cos x − 1<br />
(c) lim<br />
x→0 x<br />
0<br />
0 − sinx<br />
= lim = −1.<br />
x→0 x<br />
e<br />
(d) Quer<strong>em</strong>os calcular lim<br />
x→+∞<br />
x<br />
com p um número inteiro positivo. Aplicando sucessive-<br />
xp mente a regra de Cauchy obt<strong>em</strong>os<br />
arctg x −<br />
2. lim<br />
x→1<br />
π<br />
4<br />
x2 − 1<br />
log x<br />
3. lim<br />
x→+∞ x<br />
0<br />
0<br />
= lim<br />
x→1<br />
∞ 1<br />
∞ x = lim<br />
x→+∞ 1<br />
1<br />
1+x 2<br />
2x<br />
lim<br />
x→+∞<br />
= 1<br />
4 .<br />
e x<br />
x p<br />
1<br />
= lim = 0.<br />
x→+∞ x<br />
4. Se a indeterminação não for do tipo 0<br />
0<br />
de um daqueles dois tipos:<br />
0<br />
0<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
0<br />
0<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
0<br />
0<br />
= · · ·<br />
0<br />
0<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
e x<br />
p x p−1<br />
e x<br />
p(p − 1)x p−2<br />
e x<br />
p!<br />
= +∞.<br />
∞ ou ∞ , é possível transformá-la numa indeterminação<br />
(a) Indeterminação do tipo ∞ · 0: transformamos numa indeterminação 0<br />
0<br />
uma relação do tipo f · g = f<br />
.<br />
1<br />
g<br />
∞ (ou ∞ ) usando<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 53
Vejamos um ex<strong>em</strong>plo:<br />
lim<br />
x→−∞ xex ∞·0<br />
= lim<br />
x→−∞<br />
∞<br />
∞<br />
= lim<br />
x→−∞<br />
CAPÍTULO 1. CÁLCULO INTEGRAL<br />
x<br />
e−x 1<br />
= lim<br />
−e−x x→−∞ −ex = 0.<br />
(b) Indeterminações do tipo 00 , 1∞ e ∞0 : transformamos <strong>em</strong> 0 · ∞ usando uma relação<br />
do tipo f g log fg<br />
= e = e g log f e posteriormente numa indeterminação do tipo 0 ∞<br />
0 ou ∞<br />
como atrás. Vejamos alguns ex<strong>em</strong>plos:<br />
i. limx→0 + xx 0 0<br />
= limx→0 + ex log x = e0 = 1.<br />
C.A. : lim<br />
x→0 + xlog x 0·∞ = lim<br />
x→0 +<br />
log x<br />
1<br />
<br />
ii. lim 1 +<br />
x→+∞<br />
1<br />
x 1∞ = lim<br />
x x→+∞<br />
x<br />
∞<br />
∞<br />
= lim<br />
x→0 +<br />
1<br />
elog(1+ x) x<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
1<br />
x<br />
− 1<br />
x 2<br />
= lim −x = 0.<br />
x→0 +<br />
1<br />
log(1+<br />
ex x) = e.<br />
Note que este limite é a “versão contínua” do limite b<strong>em</strong> conhecido para sucessões:<br />
<strong>Cálculo</strong>s auxiliares:<br />
lim<br />
x→+∞<br />
1<br />
iii. lim x x<br />
x→+∞ ∞0<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
<br />
lim 1 +<br />
n→+∞<br />
1<br />
n = e.<br />
n<br />
<br />
x log 1 + 1<br />
<br />
∞·0<br />
= lim<br />
x x→+∞<br />
0<br />
0<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
= lim<br />
x→+∞<br />
log 1 + 1<br />
<br />
1<br />
x<br />
(1+ 1<br />
x) ′<br />
1+ 1<br />
x<br />
− 1<br />
x2 − 1<br />
x 2<br />
1+ 1<br />
x<br />
− 1<br />
x 2<br />
1<br />
1 + 1<br />
x<br />
e 1<br />
x log x = e 0 = 1 (ver o ex<strong>em</strong>plo 3.)<br />
(c) Indeterminação do tipo +∞ − ∞: transformamos <strong>em</strong> 0<br />
0<br />
do tipo<br />
ou do tipo<br />
f − g =<br />
1 1<br />
g − f<br />
1<br />
f·g<br />
f − g = log(e f−g <br />
ef ) = log<br />
eg <br />
.<br />
,<br />
x<br />
= 1.<br />
∞ (ou ∞ ) usando uma relação<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 54
Exercícios<br />
Vejamos um ex<strong>em</strong>plo:<br />
pois lim<br />
x→∞<br />
Calcule os seguintes limites:<br />
x<br />
1. lim<br />
x→4<br />
2 − 16<br />
x − 4 .<br />
2. lim<br />
x→ π<br />
2<br />
−<br />
tg x<br />
sec 2 x .<br />
sin x<br />
3. lim<br />
x→0 cos x − 1 .<br />
√<br />
x<br />
4. lim .<br />
x→+∞ ex 5. lim<br />
x→0 +<br />
√<br />
x log x.<br />
6. lim<br />
x→+∞ x<br />
<br />
π<br />
<br />
− arctgx .<br />
2<br />
7. lim<br />
x→0 + xsinx .<br />
8. lim<br />
x→1 + xlog x .<br />
9. lim<br />
x→ π −<br />
2<br />
10. lim<br />
x→ π<br />
2<br />
−<br />
11. lim<br />
x→+∞<br />
[tg x − sec x].<br />
tg x<br />
sec 2 x .<br />
+∞−∞<br />
lim [log x − x]<br />
x→+∞<br />
x<br />
ex = 0+ e<br />
uma vez que lim<br />
x→∞<br />
x<br />
x<br />
<br />
x 2 − x4 <br />
+ 3x .<br />
1.7. INTEGRAL IMPR ÓPRIO<br />
=<br />
=<br />
lim<br />
x→+∞<br />
<br />
elog x<br />
log<br />
ex <br />
0<br />
0<br />
= lim<br />
x→+∞ log<br />
<br />
x<br />
ex <br />
= −∞,<br />
log elog x−x<br />
= +∞ (cf. ex<strong>em</strong>plo 1(d)).<br />
ISA/UTL – Licões de Mat<strong>em</strong>ática – 2005 55