Universidade Presbiteriana Mackenzie Automaç˜ao e Controle I

Automação e Controle I – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006
Caso 2: Raízes do denominador de F ( s)
reais e repetidas
Neste caso, deve-se lembrar que, no caso de raízes reais, o número de parce-
las distintas na expansão é sempre igual ao grau do denominador. Assim, ca-
da raiz múltipla gera termos adicionais com fatores no denominador de mul-
tiplicidade reduzida.
Por exemplo, se:
F
() s
=
( )( ) , 2
s + 1 s + 2
as raízes são -1, -2 e -2 (diz-se que -2 tem multiplicidade 2). A expansão em fra-
ções é:
Os resíduos 1
K e 2
F
() s
K1
= +
s + 1
6
2
K
2
+
K
2 ( s + 2)
s + 2
K podem ser obtidos como anteriormente. Assim,
2
K 1 =
= 2 e K 2
2 = = −2.
( s + 2)
( s + 1)
s=
−1
s=
−2
Já K 3 pode ser obtido substituindo-se s por um valor conveniente. Por exemplo,
substituindo-se s = 0 em:
obtém-se:
2 2 2 K3
= − +
2
2
( s + 1)(
s + 2)
s + 1 ( s + 2)
s + 2
2
4
1 K
= 2 − + ⇒ K
2 2
F
() s
2
= +
s + 1
Usando as linhas (5) e (6) da Tabela 2.1,
2
3
3 = −
− 2
+
2
3
.
e assim,
− 2
2 ( s + 2)
s + 2
−t
−2t
−2t
f () t = 2e
− 2te
− 2e
, t ≥ 0
.
,
.