Universidade Presbiteriana Mackenzie Automaç˜ao e Controle I

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Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 24T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída resulta Y( s) = CX( s) + DU ( s) . (7) Autovalores e pólos da função de transferência No caso em que o sistema é SISO (Single input single output) e as condições iniciais são nulas, a função de transferência pode ser obtida substituindo-se (6) em (7): ( sI −A) ( sI −A) ( − ) + ( − ) det ( − ) adj = ⎢ ⎥ ⎢ + ⎥ ⇒ det Ys ( ) C B DUs ( ) Ys ⎡ ⎤ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ Cadj sI AB DdetsI A ( ) = Us ( ) sI A 2 . (8) Repare que os pólos da função de transferência, que determinam o compor- tamento transitório são dados por ( sI A) det − = 0 . (9) As raízes de (9) em s são definidas como os autovalores de A . Desta forma, os autovalores da matriz A fornecem os pólos do sistema. Exercícios 1. (NISE, 2002, p. 173) Resolva a seguinte equação de estado e de saída para y( t ) em que u( t ) é o degrau unitário. Use o método da transformada de Laplace.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 24T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 ⎡−2 x= ⎢ ⎢−1 ⎣ 0 ⎤ ⎡1⎤ ⎥ ⎢ ⎥u( t) 1⎥ x + − ⎢1⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ y = ⎡ ⎢0 ⎣ 1 ⎤ ⎥x; ⎦ ⎡1 ⎤ x( 0) = ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ (a) Resolva para y( t) usando a transformada de Laplace. (b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema. 3 . (10) 2. (NISE, 2002, p. 158) Dado o sistema representado no espaço de estados pelas equações: ⎡ 0 x= ⎢ ⎢−3 ⎣ 2 ⎤ ⎡ 0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ −t e 5⎥ x + − ⎢1⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ y = ⎡ ⎢1 ⎣ 3 ⎤ ⎥x; ⎦ ⎡2 ⎤ x( 0) = ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ (a) Resolva para y( t) usando a transformada de Laplace. (b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema. (11) 3. (NISE, 2002, p. 157) Dado o sistema representado no espaço de estados por: ⎡ ⎢ 0 ⎢ x= ⎢ 0 ⎢ ⎢−24 ⎣ 1 0 −26 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥x + ⎢0⎥e ⎥ ⎢ ⎥ −9⎥ ⎢1⎥ ⎦ ⎣ ⎦ y = ⎡ ⎢1 ⎣ 1 0 ⎤ ⎥x; ⎦ ⎡1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ x( 0) = ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 ⎥ ⎣ ⎦ −t (12) (a) Resolva a equação de estados e obtenha a saída para a dada entrada exponen- cial. (b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema.
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