Universidade Presbiteriana Mackenzie Automaç˜ao e Controle I

Automação e Controle I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006
Cálculo de T P
O valor de T P é encontrado derivando-se c ( t)
na Eq. (1) e obtendo o primeiro
instante de passagem por zero depois de t = 0 .
Efetuando-se essa conta, obtém-se:
Cálculo de % UP
TP
=
ω
n
π
1− ζ
3
2
. (2)
Com base na Figura 2, a ultrapassagem percentual, % UP é dada por:
%
=
c
max
c
− c
final
final
× 100
UP . (3)
O termo c max é obtido calculando-se o valor de c ( t)
no instante de pico, c ( T ) .
Usando a Eq. (2) para T p e substituindo na Eq. (1), vem:
⎛
−
⎜
ζπ
⎞
⎟
⎛
−
⎜
⎜
⎝
ζπ ⎞
⎟
2 ⎟
1−ζ
⎠
1 ⎜ 2 ⎟
⎝ 1−ζ
⎠
cmax = c(
TP
) = 1−
e cos(
π −φ
) = 1+
e
2
(4)
1−
ζ
Pela resposta ao degrau, calculada na Eq. (1),
c = 1.
(5)
final
Substituindo as Equações (4) e (5) na Eq. (3), obtemos:
⎛
−
⎜
⎜
ζπ
1−ζ
⎝ ⎠
% UP = e × 100 (6)
Observe que a ultrapassagem percentual é uma função somente da relação de
amortecimento ζ .
Enquanto a Eq. (6) permite que se calcule o valor de % UP dada a relação de
amortecimento ζ , o inverso da equação permite que se calcule o valor de ζ
dada a ultrapassagem porcentual % UP . O inverso é dado por:
2
⎞
⎟
⎟
p