Universidade Presbiteriana Mackenzie Automaç˜ao e Controle I

Automação e Controle I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006
Aula 23T – Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Bibliografia
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN
8521613016. Páginas 136-145.
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo; Rio de
Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963. Páginas 140-150.
4.6. Sistemas de segunda ordem subamortecidos
Nesta aula, vamos definir especificações associadas ao regime transitório da
resposta subamortecida.
Comecemos obtendo a resposta ao degrau do sistema de segunda ordem ge-
nérico dado por:
( )
G s
ω
=
s s
2
n
2 2
+ 2ζωn
+ ωn
A transformada da resposta, C ( s)
é a transformada da entrada multiplicada
pela função de transferência, ou seja,
( )
C s
ω K
= = +
s s s
2
n
1
2 3
2 2 s
2 2
s + 2ζωns+
ωn
( + 2ζωn
+ ωn)
em que se supõe que ζ < 1 (caso subamortecido).
1
.
Ks+ K
Aplicando a transformada de Laplace inversa, pode-se mostrar que:
1 −ζωnt
2
() t = − e cos(
ω 1−
ζ t − φ )
1
2
(1)
1−
ζ
c n
Com ⎜ ζ
φ = arctan ⎟ .
⎜ 2
1 ζ ⎟
⎛
⎝
−
⎞
⎠
Na Figura 1 aparece um gráfico desta resposta para diversos valores de ζ ,
traçado em função do eixo de tempos normalizado ω nt
. Vemos agora a rela-
ção entre o valor de ζ e o tipo de resposta obtido: quanto menor o valor de
ζ , tanto mais oscilatória será a resposta.