Universidade Presbiteriana Mackenzie Automaç˜ao e Controle I
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<strong>Universidade</strong> <strong>Presbiteriana</strong> <strong>Mackenzie</strong><br />
Curso de Engenharia Elétrica<br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
Notas de Aula<br />
Prof. Marcio Eisencraft<br />
Segundo semestre de 2006
<strong>Universidade</strong> <strong>Presbiteriana</strong> <strong>Mackenzie</strong><br />
Curso de Engenharia Elétrica<br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
TEORIA<br />
Prof. Marcio Eisencraft<br />
Segundo semestre de 2006
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
<strong>Universidade</strong> <strong>Presbiteriana</strong> <strong>Mackenzie</strong><br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
Professor Marcio Eisencraft (marcioft@mackenzie.br)<br />
1. Objetivos<br />
2º Semestre 2006<br />
Introduzir os fundamentos matemáticos de Automação e <strong>Controle</strong> e ilustrar al-<br />
gumas de suas aplicações à Engenharia de Produção.<br />
2. Aulas de Teoria e Prática<br />
Nas aulas de prática serão vistas aplicações dos assuntos abordados nas aulas<br />
de teoria. Serão utilizados kits didáticos e a ferramenta computacional Ma-<br />
tlab, principalmente seu ferramental (toolbox) para a área de controle.<br />
Aulas de exercícios serão realizadas próximo das datas das provas.<br />
3. Avaliação<br />
Serão realizadas três avaliações versando sobre o conteúdo visto nas aulas de<br />
teoria e de prática.<br />
O aluno estará aprovado caso consiga média maior ou igual a 7,0 e estará re-<br />
provado caso consiga média inferior a 5,5. Se a média ficar entre 5,5 e 6,9 o<br />
aluno será aprovado caso possua mais de 80% de presença em aula, caso con-<br />
trário estará reprovado.<br />
Cada avaliação será constituída de duas notas:<br />
o Nota da Prova – 0,0 a 9,0<br />
o Nota de Relatórios da Aula Prática e Trabalhos– 0,0 a 1,5<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Nas aulas de prática os alunos formarão grupos de um ou dois alunos. Ao<br />
final de todas as aulas será passada uma atividade a ser entregue pelo grupo<br />
no início da aula prática seguinte. A tolerância para entrega desta atividade é<br />
de 10 minutos.<br />
Importante: O relatório deve ser entregue em folha de papel A4 cons-<br />
tando dos nomes, números de matrículas e número da aula à qual a ati-<br />
vidade se refere. FORA DESSAS CONDIÇÕES, O RELATÓRIO NÃO<br />
SERÁ ACEITO.<br />
Os relatórios das aulas de prática formarão uma nota indo de 0,0 a 1,0. Antes<br />
de cada prova será passado um trabalho envolvendo tópicos da ementa do<br />
curso que valerá 0,5 ponto complementando 1,5 pontos.<br />
Será considerado presente o aluno que estiver em sala no momento em que é<br />
realizada a chamada. Não serão abonadas faltas (exceto casos previstos em<br />
lei). A tolerância para entrada na aula é de 30min.<br />
Para que o grupo tenha presença nas aulas de prática é indispensável que pelo<br />
menos um dos componentes tenha a apostila da aula.<br />
As provas serão realizadas no horário das aulas de teoria nos seguintes dias:<br />
4. Conteúdo Programático<br />
PROVA Turma F (3ª feira) Peso<br />
1. Introdução (NISE, 2002, pp. 2-25)<br />
P1 05/09 Peso 1<br />
P2 10/10 Peso 1<br />
P3 A ser definida Peso 2<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
1.1. Introdução<br />
1.2. História dos Sistemas de <strong>Controle</strong><br />
1.3. O Engenheiro e sistemas de controle e automação<br />
1.4. Características da resposta e configurações de sistemas<br />
1.5. Objetivos de análise e de projeto<br />
1.6. Procedimento de projeto<br />
1.7. Projeto assistido por computador (CAD)<br />
2. Modelagem no domínio da freqüência (NISE, 2002, pp. 27-88).<br />
2.1. Revisão sobre transformada de Laplace<br />
2.2. Função de transferência<br />
2.3. Modelagem de circuitos elétricos<br />
2.4. Modelagem de sistemas mecânicos em translação<br />
2.5. Modelagem de sistemas mecânicos em rotação<br />
2.6. Modelagem de sistemas com engrenagens<br />
2.7. Modelagem de sistemas eletromecânicos<br />
2.8. Estudo de caso<br />
3. Modelagem no domínio do tempo (NISE, 2002, pp. 90-122).<br />
3.1. Introdução<br />
3.2. Observações<br />
3.3. Representação geral no espaço de estados<br />
3.4. Aplicando a representação no espaço de estados<br />
3.5. Conversão de função de transferência para espaço de estados<br />
3.6. Conversão de espaço de estados para função de transferência<br />
3.7. Estudo de caso<br />
4. Resposta no domínio do tempo (NISE, 2002, pp. 123-177).<br />
4.1. Introdução<br />
4.2. Pólos, zeros e resposta do sistema.<br />
4.3. Sistemas de primeira ordem<br />
4.4. Sistemas de segunda ordem: Introdução<br />
4.5. Sistemas de segunda ordem geral<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
4.6. Sistemas de segunda ordem sub-amortecidos<br />
4.7. Solução das equações de estado pela transformada de Laplace<br />
4.8. Estudos de caso<br />
5. Redução de sistemas múltiplos (NISE, 2002, pp. 179-233).<br />
5. Bibliografia<br />
5.1. Introdução<br />
5.2. Diagramas de blocos<br />
5.3. Análise e projeto de sistemas com retroação<br />
5.4. Diagramas de fluxo de sinal<br />
A cada aula (de teoria e de prática), notas de aula serão disponibilizadas<br />
no site http://meusite.mackenzie.com.br/marcioft/ . Além disso, listas de exercí-<br />
cios serão fornecidas.<br />
A principal referência que será utilizada durante todo o curso é<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC,<br />
c2002. 695 p. ISBN 8521613016.<br />
Outras referências disponíveis em vários exemplares na biblioteca:<br />
CHAPMAN, Stephen J. Programação em MATLAB para engenheiros.<br />
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 477 p. ISBN 8522103259.<br />
DISTEFANO, J. J.; STUBBERUD, A. R.; WILLIAMS, I. J. Schaum´s out-<br />
line of theory and problems of feedback control systems. 2 nd edition, New<br />
York: McGraw-Hill, 1990. 496p. ISBN 0070170525.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro:<br />
LTC, 2001. 659 p. ISBN 0201308649.<br />
HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto alegre: Bo-<br />
okman, 2001. 668 p. : il. (algumas ISBN 8573077417).<br />
LATHI, Bhagwandas Pannalal. Signal processing and linear systems. Cali-<br />
fornia: Berkeley, c1998. 734 p. ISBN 0941413357.<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Manual for Model 730 – Magnetic Levitation System. ECP, 1999.<br />
MATSUMOTO, Élia Yathie. Simulink 5. São Paulo: Érica, 2003. 204 p. : il.<br />
; 25 cm ISBN 8571949379.<br />
MITRA, Sanjit K. Digital signal processing : a computer-based approach.<br />
2nd ed. Boston: McGraw-Hill, c2001. 866 p. : il. ; 24 cm ISBN 0072321059.<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janei-<br />
ro: LTC, c2002. 695 p. ISBN 8521613016.<br />
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo:<br />
Prentice-Hall do Brasil, 2003. 788 p. ISBN 8587918230<br />
PAZOS, Fernando. Automação de sistemas & robótica. Rio de janeiro:<br />
Axcel Books, c2002. 377 p. : il. ; 23 cm ISBN 8573231718.<br />
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e reali-<br />
mentação. São Paulo ; Rio de Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN<br />
8534605963.<br />
SILVEIRA, Paulo Rogério da; SANTOS, Winderson E. dos. Automação e<br />
controle discreto. 2. ed. São Paulo: Érica, 1999. 229 p. : il. ; 24 cm ISBN<br />
85-7194-591-8<br />
6. Monitoria e atendimento<br />
O monitor da disciplina e seu horário serão disponibilizados no site da disci-<br />
plina assim que possível.<br />
Atendimento pelo professor pode ser agendado por e-mail.<br />
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Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 1T - Introdução aos sistemas de controle<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 1-10.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 1-14.<br />
CAPÍTULO 1 – Introdução<br />
Objetivos:<br />
Definição e aplicações de sistemas de controle<br />
Histórico<br />
Benefícios<br />
Características e configurações básicas<br />
Projetos<br />
1.1. Introdução<br />
• Definição: um sistema de controle consiste em subsistemas e processos (ou<br />
plantas) reunidos com o propósito de controlar as saídas dos processos. Isto é<br />
mostrado esquematicamente na Figura 1.<br />
Figura 1 – Descrição simplificada de um sistema de controle (NISE, 2002).<br />
Exemplos:<br />
(a) <strong>Controle</strong> de uma caldeira: calor produzido pelo fluxo de combustível. Ter-<br />
mostatos (sensores) medem temperatura da sala e válvulas de combustível e atu-<br />
adores de válvulas de combustível são usadas para regular a temperatura da sala<br />
controlando a saída de calor da caldeira.<br />
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Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
(b) Pâncreas – regula açúcar no sangue.<br />
(c) Olhos seguindo um objeto<br />
(d) Peças mecânicas usinadas automaticamente.<br />
Figura 2 - a. Os elevadores primitivos eram controlados por cabos manuais ou<br />
por um operador de elevador. Aqui, uma corda é cortada para demonstrar o freio<br />
de segurança, uma inovação nos elevadores primitivos; b. os modernos elevado-<br />
res de transporte duplo fazem sua subida no Grande Arche em Paris, conduzido<br />
por um motor, com cada carro contrabalançando o outro. Hoje, os elevadores<br />
são completamente automáticos, usando sistemas de controle para regular posi-<br />
ção e velocidade. (NISE, 2002).<br />
Razões para se utilizar sistemas de controle:<br />
(a) Amplificação de potência<br />
Elevador hidráulico em postos de combustíveis.<br />
(b) <strong>Controle</strong> remoto<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Robôs úteis em localidades remotas ou perigosas.<br />
Figura 3 - O Rover foi construído para trabalhar nas áreas contaminadas de<br />
Three Mile Island em Middleton, PA, onde ocorreu um acidente nuclear em<br />
1979. O longo braço do robô de controle remoto pode ser visto na frente do veí-<br />
culo (NISE, 2002).<br />
(c) Facilidade de uso da forma de entrada<br />
Sistemas de controle de temperatura.<br />
(d) Compensação de perturbações<br />
Exemplo: antena apontando para direção comandada. Se um vento força a ante-<br />
na a se deslocar de sua posição comandada, o sistema deve ser capaz detectar a<br />
perturbação e corrigir o problema.<br />
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Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
1.2. Histórico<br />
<strong>Controle</strong> de nível de líquidos: 300 a.C. – relógio de água, lampião a óleo.<br />
<strong>Controle</strong> de pressão de vapor e temperatura: século XVII – válvula de segu-<br />
rança, controle de temperatura para chocar ovos.<br />
<strong>Controle</strong> de velocidade: século XVIII – moinho de vento, máquinas a vapor.<br />
Estabilidade, estabilização, condução: século XIX – controle de embarca-<br />
ções.<br />
Desenvolvimentos no século XX: projeto no domínio da freqüência (Bode,<br />
Nyquist).<br />
Aplicações contemporâneas: meios de transporte, plantas industriais, ônibus<br />
espaciais, entretenimento, etc.<br />
Importância dos computadores.<br />
1.3. O Engenheiro de <strong>Controle</strong> e Automação<br />
Percorre inúmeras áreas do conhecimento e inúmeras funções dentro dessas<br />
áreas. Engenheiro de A&C pode ser encontrado no nível mais elevado de<br />
grandes projetos, envolvido na fase conceitual de determinar ou implementar<br />
os requisitos globais do sistema.<br />
Engenheiro de A&C interage com inúmeros ramos da Engenharia e das ciên-<br />
cias. Expansão de horizontes da Engenharia além do currículo universitário.<br />
Vantagem a um estudante (além de se graduar he he...):<br />
o Ênfase no projeto de cima para baixo (top-down)<br />
o Abordagem sistêmica diferentemente dos outros cursos até aqui<br />
o A abordagem de baixo para cima é usada nos cursos anteriores<br />
principalmente por causa do alto nível matemático necessário.<br />
o Este curso esclarecerá os procedimentos de análise e planejamento<br />
e mostrará a você como o conhecimento adquirido se encaixa den-<br />
tro do projeto do sistema.<br />
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Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 4 - a. Reprodutor de disco de vídeo a laser; b. lentes objetivas lendo de-<br />
pressões no disco; c. trajetória óptica para reprodução mostrando o espelho de<br />
rastreamento acionado angularmente por um sistema de controle para manter o<br />
feixe de laser posicionado nas depressões (NISE, 2002).<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
1.4. Características de resposta e configuração de sistema<br />
Entrada e saída<br />
Sistema de controle fornece uma saída ou resposta para uma dada entrada ou<br />
estímulo. A entrada representa a resposta desejada, a saída é a resposta real.<br />
Exemplo: botão do quarto andar de um elevador é pressionado do térreo.<br />
Elevador deve subir com uma velocidade e uma precisão de nivelamento<br />
projetados para o conforto do passageiro. Estas características são, respecti-<br />
vamente, a resposta transitória e o erro de estado estacionário.<br />
Sistema a malha aberta<br />
Figura 5 - Entrada e saída do elevador (NISE, 2002).<br />
Figura 6 - Diagrama de blocos dos sistemas de controle: a. sistema a malha aber-<br />
ta (NISE, 2002).<br />
6
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Transdutor de entrada – converte a forma de entrada na usada pelo controla-<br />
dor.<br />
Controlador – age sobre o processo ou planta.<br />
Característica que distingue sistemas a malha aberta: não pode compensar a<br />
ação de quaisquer perturbações que sejam adicionadas.<br />
Exemplos: torradeira simples; digitação de texto sem se olhar na tela.<br />
Sistema a malha fechada (controle com retroação)<br />
Figura 7 - Diagrama de blocos dos sistemas de controle: b. sistema a malha fe-<br />
chada (NISE, 2002).<br />
Transdutor de entrada: converte forma de onda de entrada na forma usada<br />
pelo controlador.<br />
Transdutor de saída ou sensor: mede a resposta de saída e a converte na<br />
forma usada pelo controlador.<br />
Vantagem: compensa perturbações medindo o sinal de saída. Maior precisão,<br />
menos sensível a ruídos.<br />
Desvantagem: mais complexos e caros.<br />
Exemplos: torradeira “automática” (mede cor do pão); digitação de texto<br />
conferindo-se o resultado na tela.<br />
Exercícios<br />
1. (NISE, 2002, p. 21) Cite três aplicações de sistemas de controle com retroa-<br />
ção.<br />
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Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
2. (NISE, 2002, p. 21) Cite três razões para o uso de sistemas de controle com<br />
retroação e pelo menos uma razão para não usá-los.<br />
3. (NISE, 2002, p. 21) Dê três exemplos de sistemas a malha aberta.<br />
4. (NISE, 2002, p. 21) Um resistor variável, chamado potenciômetro, é mostra-<br />
do a seguir:<br />
Figura 8 – Potenciômetro (NISE, 2002).<br />
A resistência é variada pelo movimento de um cursor de contato deslizante ao<br />
longo de uma resistência fixada. A resistência entre A e C é fixa, mas a resistên-<br />
cia entre B e C varia com a posição do cursor. Se forem necessárias 10 voltas<br />
para mover o cursor de contato deslizante de A para C, desenhe um diagrama de<br />
blocos do potenciômetro mostrando a variável de entrada, a variável de saída e<br />
(dentro do bloco) o ganho, que é uma constante e é a quantidade pela qual a en-<br />
trada deve ser multiplicada para se obter a saída.<br />
8
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
5. (NISE, 2002, p. 24) Resolva a seguinte equação diferencial usando os méto-<br />
dos clássicos. Suponha que as condições iniciais sejam iguais a zero.<br />
dx<br />
+<br />
7 x = 5cos<br />
2t<br />
dt<br />
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Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 2T - Projeto de um sistema de controle<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 10-26.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 14-24.<br />
1.5. Objetivos de análise e de projeto<br />
Objetivos de análise e de projeto de sistemas:<br />
Produzir resposta transitória desejada;<br />
Reduzir erro de estado estacionário;<br />
Garantir estabilidade;<br />
Minimizar Custo;<br />
Minimizar sensibilidade de desempenho a mudanças nos parâmetros.<br />
Resposta transitória<br />
Muito importante. Exemplos: elevador; em um computador contribui para o<br />
tempo necessário para leitura ou gravação no disco rígido (HD).<br />
Figura 1 - Acionador de disco rígido de computador, mostrando discos e cabeça<br />
de leitura/gravação (NISE, 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Resposta de estado estacionário<br />
Resposta que permanece depois que a componente transitória se reduz a zero.<br />
Estabilidade<br />
Figura 2 - Entrada e saída do elevador (NISE, 2002).<br />
Resposta total de um sistema é a soma da resposta natural e da resposta for-<br />
çada. Quando você estudou equações diferenciais lineares, provavelmente se<br />
referiu a estas respostas como soluções homogênea e particular, respectiva-<br />
mente.<br />
Resposta total = Resposta natural + Resposta forçada<br />
Para que um sistema de controle seja útil, a resposta natural deve:<br />
o Tender a zero, deixando somente a resposta forçada, ou,<br />
o Oscilar.<br />
Em alguns sistemas, a resposta natural cresce sem limites em vez de diminuir<br />
até zero ou oscilar. Finalmente, a resposta natural é tão maior que a resposta<br />
forçada que o sistema não é mais controlado. Esta condição, chamada insta-<br />
bilidade pode conduzir à autodestruição do dispositivo físico se não houver<br />
batentes limitadores como parte do projeto.<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Outras considerações<br />
Seleção de hardware: dimensionamento do motor para atender os requisitos<br />
de potência e escolha de sensores de acordo com precisão necessária.<br />
Custos: se o projeto for usado para fazer muitas unidades, pequeno acréscimo<br />
no custo unitário pode-se traduzir em muito mais dólares para sua empresa<br />
propor num contrato de licitação.<br />
Robustez: desempenho deve variar pouco com mudança nos parâmetros.<br />
Introdução a um estudo de caso<br />
Uma introdução aos sistemas de posicionamento de uma antena em azimute<br />
Os sistemas de controle de posição encontram aplicações muito difundidas<br />
em antenas, braços robóticos e acionamento de disco rígido de computador.<br />
A antena de radiotelescópio da figura a seguir é um exemplo de sistema que<br />
utiliza controle de posição.<br />
1.6. Procedimento de projeto<br />
Figura 3 – Antena de radioastronomia.<br />
Passo 1: Transformar requisitos em um sistema físico<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 4 - Sistema de controle de posição da antena em azimute: a. conceito do<br />
sistema; b. leiaute detalhado. (NISE, 2002)<br />
Passo 2: Desenhar um diagrama de blocos funcional<br />
Descreve as partes componentes do sistema (isto é, função e/ou hardware) e<br />
mostra suas interconexões.<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 5 - Sistema de controle de posição da antena em azimute: diagrama de<br />
blocos funcional (NISE, 2002).<br />
Passo 3: Criar um diagrama esquemático.<br />
Figura 6 - Sistema de controle de posição da antena em azimute: diagrama es-<br />
quemático (NISE, 2002).<br />
Passo 4: Desenvolver um Modelo Matemático (Diagrama de blocos)<br />
Usar leis físicas para modelar matematicamente o sistema.<br />
Leis mais importantes:<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
o Lei de Kirchhoff das tensões: A soma das tensões ao longo de um<br />
caminho fechado é igual a zero.<br />
o Lei de Kirchhoff das correntes: A soma das correntes elétricas que<br />
fluem por um nó é igual a zero.<br />
o Leis de Newton: A soma das forças aplicadas a um corpo é igual a<br />
zero; a soma dos momentos aplicados a um corpo é igual a zero.<br />
Descrições possíveis:<br />
o Equação diferencial<br />
o Função de transferência (Transformada de Laplace)<br />
o Espaço de estados<br />
Passo 5: Reduzir o diagrama de blocos<br />
Figura 7 - Diagrama de blocos equivalente para o sistema de controle de posição<br />
Passo 6: Analisar e projetar<br />
da antena em azimute (NISE, 2002).<br />
O engenheiro analisa o sistema para ver se as especificações de resposta e os<br />
requisitos de desempenho podem ser alcançados através de simples ajustes<br />
nos parâmetros do sistema. Se as especificações não puderem ser atendidas, o<br />
projetista então projeta hardware adicional a fim de obter o desempenho de-<br />
sejado.<br />
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Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 8 - Resposta de um sistema de controle de posição mostrando o efeito de<br />
valores grande e pequeno para o ganho do controlador na resposta de saída (NI-<br />
SE, 2002).<br />
7
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Entradas utilizadas:<br />
Tabela 1 - Formas de onda de teste usadas em sistemas de controle (NISE,<br />
2002).<br />
1.7. Projeto de assistido por computador (CAD)<br />
Computador tem importante papel no projeto de sistemas de controle moder-<br />
nos.<br />
Com a capacidade de simular um projeto rapidamente, pode-se facilmente<br />
fazer mudanças e imediatamente testar um novo projeto.<br />
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Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Matlab<br />
Parte integrante do projeto de sistemas de controle moderno.<br />
Sumário<br />
A metodologia do projeto de sistemas de controle foi apresentada. A partir da<br />
próxima aula, aprenderemos como usar o esquema para obter um modelo ma-<br />
temático.<br />
Exercícios<br />
1. (NISE, 2002; p. 21) Um sistema de controle de temperatura opera sentindo a<br />
diferença entre o ajuste do termostato e a temperatura real e em seguida a-<br />
brindo uma válvula de combustível de uma quantidade proporcional a esta<br />
diferença. Desenhe um diagrama de blocos funcional a malha fechada seme-<br />
lhante ao da Figura 5, identificando os transdutores de entrada e de saída, o<br />
controlador e a planta. Além disso, identifique os sinais de entrada e saída<br />
para todos os subsistemas descritos anteriormente.<br />
2. (NISE, 2002; p. 21) A altitude de uma aeronave varia em rolamento, arfagem<br />
e guinada conforme definido na figura a seguir. Desenhe um diagrama de<br />
blocos funcional para um sistema de malha fechada que estabilize o rolamen-<br />
to como a seguir: o sistema mede o ângulo de rolamento real com um dispo-<br />
sitivo giroscópico e compara o ângulo de rolamento real com o ângulo de ro-<br />
lamento desejado. Os ailerons respondem ao erro de ângulo de rolamento<br />
efetuando uma deflexão angular. A aeronave responde a esta deflexão angu-<br />
lar produzindo uma velocidade angular de rolamento. Identifique os transdu-<br />
tores de entrada e de saída, o controlador e a planta. Além disso, identifique a<br />
natureza de cada sinal.<br />
9
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 9 - Definição de atitude da aeronave (NISE, 2002).<br />
3. (NISE, 2002; p. 24) Dado o circuito elétrico da figura a seguir:<br />
Figura 9 – Rede RL (NISE, 2002).<br />
(a) Escreva a equação diferencial para o circuito se ( t)<br />
u(<br />
t)<br />
rio.<br />
10<br />
v = , um degrau unitá-<br />
(b) Resolva a equação diferencial para a corrente i ( t)<br />
, se não há energia inicial<br />
no circuito.<br />
R<br />
(c) Faça um gráfico da solução se = 1.<br />
L<br />
4. (NISE, 2002; p. 24) Repita o problema 3 para o circuito elétrico mostrado na<br />
1<br />
Figura a seguir. Suponha R = 1Ω,<br />
L = 0,<br />
5H<br />
e = 30 .<br />
LC
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 2T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 10 - Circuito RLC (NISE, 2002).<br />
5. (NISE, 2002; p. 24) Resolva a seguinte equação diferencial usando os méto-<br />
dos clássicos. Suponha que as condições iniciais sejam iguais a zero.<br />
2<br />
d x<br />
+<br />
8<br />
dt<br />
dx<br />
dt<br />
+ 25x<br />
= 10u()<br />
t<br />
11
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 3T - Revisão sobre transformada de Laplace<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 28-36.<br />
LATHI, Bhagwandas Pannalal. Signal processing and linear systems. California: Berkeley, c1998. 734 p.<br />
ISBN 0941413357. Páginas 361-394.<br />
CAPÍTULO 2 – Modelagem no domínio da freqüência<br />
Objetivos do capítulo<br />
Rever a transformada de Laplace;<br />
Função de transferência<br />
Próximo passo no curso: desenvolver modelos a partir de diagramas de sis-<br />
temas físicos.<br />
Dois métodos: (1) funções de transferência no domínio da freqüência e (2)<br />
equações de estado no domínio do tempo.<br />
Queremos encontrar o que colocar dentro das caixas marcadas “sistema” e<br />
“subsistema” na figura a seguir.<br />
Figura 1 - a. Representação em diagrama de blocos de um sistema; b. represen-<br />
tação em diagrama de blocos de uma interconexão de subsistemas (NISE, 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
2.1. Revisão sobre Transformadas de Laplace<br />
Definição:<br />
L<br />
∞<br />
[ ( ) ] ( ) ( )<br />
0<br />
em que s é uma variável complexa. F ( s)<br />
é chamada de transformada de Laplace<br />
de f () t .<br />
2<br />
−st<br />
f t = F s = ∫ f t e dt<br />
A Tabela 2.1 mostra alguns exemplos de transformadas obtidas a partir da<br />
definição. A Tabela 2.2 mostra uma série de propriedades bastante importan-<br />
tes.<br />
Exercícios<br />
−at<br />
1. (NISE, 2002; p. 29) Obter a transformada de Laplace de f () t = Ae u()<br />
t .<br />
2. (NISE, 2002; p. 30) Obter a transformada de Laplace inversa de:<br />
Ou seja, encontre () t<br />
Expansão em frações parciais<br />
() s<br />
1<br />
( ) 2<br />
+ 3<br />
−<br />
F 1<br />
.<br />
= s<br />
f1 cuja transformada de Laplace seja F1 () s<br />
Para obter a transformada inversa de uma função complicada, podemos con-<br />
verter a função em uma soma de parcelas mais simples para cada uma das<br />
quais se conhece a transformada de Laplace.<br />
O resultado é chamado de expansão em frações parciais.<br />
Caso 1: Raízes do denominador de F ( s)<br />
reais e distintas<br />
Por exemplo,<br />
2<br />
F () s = .<br />
( s + 1)(<br />
s + 2)<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Tabela 2.1 – Principais transformadas de Laplace (LATHI, 1998).<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Tabela 2.2 – Propriedades da Transformada de Laplace (LATHI, 1998).<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Neste caso, o denominador tem duas raízes reais e distintas (-1 e -2). Para<br />
obtermos a transformada inversa, o procedimento é o seguinte:<br />
Decompomos F () s numa soma de frações com tantas parcelas quantas forem<br />
as raízes do denominador:<br />
2 K1<br />
K 2<br />
F () s =<br />
= + .<br />
( s + 1)(<br />
s + 2)<br />
s + 1 s + 2<br />
As constantes 1 K e 2 K são usualmente chamas de resíduos. Para obter 1<br />
titui-se a raiz correspondente ( s = −1)<br />
em F ( s)<br />
sem o termo ( s + 1)<br />
. Assim,<br />
De forma análoga,<br />
Assim,<br />
2 2<br />
K 1 = = = 2 .<br />
1<br />
( s + 2)<br />
( s + 1)<br />
s=<br />
−1<br />
2 2<br />
K 2 = = = −2<br />
.<br />
−1<br />
s=<br />
−2<br />
2 − 2<br />
F () s = + .<br />
s + 1 s + 2<br />
Agora, usando a linha (5) da Tabela 2.1 e a linearidade,<br />
f<br />
f<br />
−t −2t<br />
() t ( 2e<br />
− 2e<br />
) u(<br />
t)<br />
= ou<br />
−t<br />
−2t<br />
() t = ( 2e<br />
− 2e<br />
) , t ≥ 0<br />
5<br />
.<br />
K , subs-<br />
Observação: na aplicação deste processo, caso o grau do numerador seja<br />
maior ou igual ao do denominador, é necessário efetuar a divisão primeiro.<br />
Exercício<br />
3. (NISE, 2002; p. 32) Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y ( t)<br />
se todas as condições iniciais forem zero. Usar a transformada de Laplace.<br />
2<br />
d y dy<br />
+ 12 + 32y<br />
= 32u()<br />
t<br />
2<br />
.<br />
dt dt
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Caso 2: Raízes do denominador de F ( s)<br />
reais e repetidas<br />
Neste caso, deve-se lembrar que, no caso de raízes reais, o número de parce-<br />
las distintas na expansão é sempre igual ao grau do denominador. Assim, ca-<br />
da raiz múltipla gera termos adicionais com fatores no denominador de mul-<br />
tiplicidade reduzida.<br />
Por exemplo, se:<br />
F<br />
() s<br />
=<br />
( )( ) , 2<br />
s + 1 s + 2<br />
as raízes são -1, -2 e -2 (diz-se que -2 tem multiplicidade 2). A expansão em fra-<br />
ções é:<br />
Os resíduos 1<br />
K e 2<br />
F<br />
() s<br />
K1<br />
= +<br />
s + 1<br />
6<br />
2<br />
K<br />
2<br />
+<br />
K<br />
2 ( s + 2)<br />
s + 2<br />
K podem ser obtidos como anteriormente. Assim,<br />
2<br />
K 1 =<br />
= 2 e K 2<br />
2 = = −2.<br />
( s + 2)<br />
( s + 1)<br />
s=<br />
−1<br />
s=<br />
−2<br />
Já K 3 pode ser obtido substituindo-se s por um valor conveniente. Por exemplo,<br />
substituindo-se s = 0 em:<br />
obtém-se:<br />
2 2 2 K3<br />
= − +<br />
2<br />
2<br />
( s + 1)(<br />
s + 2)<br />
s + 1 ( s + 2)<br />
s + 2<br />
2<br />
4<br />
1 K<br />
= 2 − + ⇒ K<br />
2 2<br />
F<br />
() s<br />
2<br />
= +<br />
s + 1<br />
Usando as linhas (5) e (6) da Tabela 2.1,<br />
2<br />
3<br />
3 = −<br />
− 2<br />
+<br />
2<br />
3<br />
.<br />
e assim,<br />
− 2<br />
2 ( s + 2)<br />
s + 2<br />
−t<br />
−2t<br />
−2t<br />
f () t = 2e<br />
− 2te<br />
− 2e<br />
, t ≥ 0<br />
.<br />
,<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Caso 3: Raízes do denominador de F ( s)<br />
complexas<br />
Exemplo:<br />
F () s =<br />
.<br />
s<br />
2 ( s + 2s<br />
+ 5)<br />
Neste caso, não é possível fazer a expansão em parcelas de 1º grau. Esta ex-<br />
pressão deve ser expandida da seguinte forma:<br />
F<br />
() s<br />
=<br />
K<br />
s<br />
1<br />
+<br />
7<br />
s<br />
3<br />
K<br />
2<br />
2<br />
s + K<br />
3<br />
+ 2s<br />
+ 5<br />
O resíduo K 1 pode ser obtido como anteriormente:<br />
3 3<br />
K 1 =<br />
=<br />
2<br />
.<br />
s + 2s<br />
+ 5 5<br />
K 2 e K 3 podem ser obtidos por substituição conveniente de valores de s em:<br />
Para s = 1,<br />
para = −1<br />
s ,<br />
s<br />
3<br />
Resolvendo o sistema, obtém-se:<br />
Assim,<br />
=<br />
3<br />
5<br />
s=<br />
0<br />
2 3<br />
2<br />
2<br />
( s + 2s<br />
+ 5)<br />
s s + 2s<br />
+ 5<br />
+<br />
3 3 2 3<br />
8 5 8<br />
K K +<br />
= +<br />
3 3<br />
4 5 4<br />
K K −<br />
− = − +<br />
3 2<br />
3 6<br />
K 2 = − e K 3 = − .<br />
5 5<br />
.<br />
K s + K<br />
e<br />
.<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 3T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
F<br />
F<br />
() s<br />
() s<br />
3 3<br />
− s −<br />
= 5 + 5<br />
2<br />
s s +<br />
3 1 3<br />
= −<br />
5 s 5<br />
6<br />
5<br />
3 ( s + 2)<br />
= −<br />
2<br />
2s<br />
+ 5 s 5 ( s + 1)<br />
+ 4<br />
( s + 1)<br />
3 2<br />
− 2<br />
2<br />
( s + 1)<br />
+ 4 10 ( s + 1)<br />
+ 4<br />
8<br />
3<br />
5<br />
⇒<br />
Utilizando-se então as linhas (2), (9a) e (9b) da Tabela 2.1 chega-se a:<br />
Exercícios<br />
f<br />
3<br />
3<br />
⎛<br />
−t<br />
() t = u()<br />
t − e ⎜cos<br />
2t<br />
+ sin 2t<br />
⎟<br />
5 5 ⎝ 2 ⎠<br />
−5t<br />
4. (NISE, 2002; p. 35) Obter a transformada de Laplace de f () t = te .<br />
5. (NISE, 2002; p. 36) Obter a transformada de Laplace inversa de:<br />
10<br />
F () s =<br />
.<br />
s<br />
1<br />
( )( ) 2<br />
s + 2 s + 3<br />
⎞<br />
.<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 4T – Função de transferência<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 36-38.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 37-48.<br />
2.2 Função de transferência<br />
Vamos empregar na aula de hoje os conceitos relacionados à Transformada<br />
de Laplace para simplificar a representação de sistemas dinâmicos.<br />
Um sistema pode ser representado pela equação diferencial genérica:<br />
n−1<br />
() t d c()<br />
t<br />
1<br />
m−1<br />
( t)<br />
d r()<br />
t<br />
n<br />
d c<br />
an n<br />
dt<br />
+ an−1<br />
n−1<br />
dt<br />
m<br />
d r<br />
+ … + a0c()<br />
t = bm<br />
m<br />
dt<br />
+ bm−1<br />
m−1<br />
dt<br />
+ … + b0r()<br />
t<br />
em que c () t é a saída, r () t é a entrada e os a i , os b i e a forma da equação dife-<br />
rencial representa o sistema. Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os<br />
lados da equação e supondo condições iniciais nulas:<br />
a<br />
n<br />
s<br />
C<br />
n−1<br />
m<br />
m−1<br />
() s + a s C()<br />
s + …+<br />
a C(<br />
s)<br />
= b s R(<br />
s)<br />
+ b s R(<br />
s)<br />
+ …+<br />
b R(<br />
s)<br />
n<br />
n−1<br />
m<br />
m−1<br />
( a s + a s + …+<br />
a ) C()<br />
s = ( b s + b s + …+<br />
b ) R()<br />
s<br />
n<br />
n<br />
n−1<br />
n−1<br />
0<br />
0<br />
m<br />
m<br />
m−1<br />
A partir da expressão acima, chegamos a:<br />
Esta expressão:<br />
C<br />
R<br />
() s<br />
() s<br />
b<br />
s<br />
+ b<br />
m−1<br />
m<br />
m−1<br />
m m−1<br />
≡ G()<br />
s = m<br />
n−1<br />
an<br />
s + an−1s<br />
C<br />
G () s =<br />
R<br />
s<br />
( s)<br />
() s<br />
+<br />
0<br />
… + b0<br />
.<br />
+ a0<br />
+ …<br />
é chamada de função de transferência do sistema. Relaciona, de forma algébrica,<br />
a entrada e a saída de um sistema. Dado G ( s)<br />
e a transformada da entrada<br />
R () s podemos calcular a saída:<br />
( s)<br />
G(<br />
s)<br />
R(<br />
s)<br />
C = .<br />
A função de transferência é representada pelo diagrama de blocos a seguir:<br />
0<br />
⇒
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 1 - Diagrama de Blocos de uma Função de Transferência (NISE, 2002).<br />
Nas próximas aulas, aprenderemos a representar, através de funções de trans-<br />
ferência, circuitos elétricos, sistemas mecânicos de translação, sistemas me-<br />
cânicos em rotação e sistemas eletromecânicos.<br />
Exercícios<br />
1. (NISE, 2002; p. 37) Obter a função de transferência representada por:<br />
dc<br />
dt<br />
( t)<br />
2<br />
() t = r()<br />
t<br />
+ 2 c .<br />
2. (NISE, 2002; p. 37) Usar o resultado do Exercício 1 para obter a resposta c ( t)<br />
a uma entrada r () t = u()<br />
t a um degrau unitário supondo condições iniciais i-<br />
guais a zero.<br />
3. (NISE, 2002; p. 37) Obter a função de transferência,<br />
correspondente à equação diferencial<br />
( s)<br />
() s<br />
C<br />
G () s = ,<br />
R<br />
3 2<br />
2<br />
d c d c dc d r dr<br />
+ 3 + 7 + 5c<br />
= + 4 + 3r<br />
3 2<br />
2<br />
dt dt dt dt dt<br />
4. (NISE, 2002; p. 38) Obter a equação diferencial correspondente à função de<br />
transferência:<br />
() s<br />
2s<br />
+ 1<br />
+ 6s<br />
+ 2<br />
G = 2 .<br />
s
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 4T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
5. (NISE, 2002; p. 38) Obter a resposta a uma rampa de um sistema cuja função<br />
de transferência é:<br />
s<br />
G () s =<br />
.<br />
( s + 4 )( s + 8)<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 5T – Modelagem de circuitos elétricos (1ª parte)<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 38-48.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 25-92.<br />
2.3 Função de transferência de circuitos elétricos<br />
Componentes passivos (ver Tabela 1).<br />
Princípios-guias: Leis de Kirchhoff: somando tensões ao longo de malhas ou<br />
correntes em nós o resultado é zero.<br />
Circuitos simples via método das malhas<br />
I. Redesenhe o circuito original mostrando todas as variáveis no domínio do<br />
tempo, como v () t , i () t e vC ( t)<br />
como transformadas de Laplace V () s , I ( s)<br />
e<br />
VC () s respectivamente.<br />
II. Substitua os valores de componentes por seus valores de impedância.<br />
III. Some as tensões ao longo da malha e use a lei de Kirchhoff das tensões.<br />
Exercício<br />
1. (NISE, 2002; p. 39) Obter a função de transferência relacionando a tensão<br />
VC () s no capacitor à tensão de entrada V ( s)<br />
na Figura a seguir.<br />
Figura 1 – Circuito RLC (NISE, 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Tabela 1 – Elementos passivos de circuitos elétricos (NISE, 2002).<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Circuito simples via Método dos nós<br />
As funções de transferência também podem ser obtidas usando a lei de Kirc-<br />
hhoff das correntes e somando as correntes que fluem nos nós. Chamamos<br />
este método de método dos nós.<br />
Exercício<br />
2. (NISE, 2002; p. 41) Repetir o Exercício 1 usando o método dos nós sem es-<br />
crever a equação diferencial.<br />
Circuito simples via divisão de tensão<br />
O Exercício 1 pode ser resolvido diretamente usando divisão de tensão no<br />
circuito transformado.<br />
Exercício<br />
3. (NISE, 2002; p. 41) Repetir o Exercício 1 usando divisão de tensão e o cir-<br />
cuito transformado.<br />
Circuitos mais complicados via Método das Malhas<br />
I. Substituir todos os valores dos elementos passivos por sua impedância.<br />
II. Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas<br />
respectivas transformadas de Laplace.<br />
III. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha.<br />
IV. Escrever a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha.<br />
V. Resolver o sistema de equações em termos da saída.<br />
VI. Elaborar a função de transferência.<br />
Exercício<br />
4. (NISE, 2002; p. 42) Dado o circuito da figura a seguir, obter a função de<br />
I 2 () s<br />
transferência .<br />
V () s<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 2 – Circuito elétrico com duas malhas (NISE, 2002).<br />
Circuitos mais complicados via Método dos Nós<br />
Usa-se a Lei de Kirchhoff das correntes e somam-se as correntes que deixam<br />
cada nó.<br />
Exercício<br />
5. (NISE, 2002; p. 44) Obter a função de transferência<br />
Figura 2. Usar o método dos nós.<br />
Uma técnica para solução de problemas<br />
4<br />
VC ( s)<br />
para o circuito da<br />
V () s<br />
Os mesmos procedimentos podem ser usados em circuitos elétricos com mais<br />
malhas.<br />
Exercício<br />
6. (NISE, 2002; p. 45) Escrever, mas não resolver, as equações de malha do cir-<br />
cuito mostrado na Figura a seguir.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 5T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 3 – Circuito elétrico com três malhas (NISE, 2002).<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 6T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 6T – Modelagem de circuitos elétricos (2ª parte)<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 48-50.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 23-92.<br />
Exercícios<br />
VO<br />
() s<br />
1. (NISE, 2002, p.82) Obter a função de transferência G()<br />
s = para o cir-<br />
V () s<br />
cuito mostrado a seguir.<br />
Figura 1 – Circuito do Exercício 1 (NISE, 2002).<br />
VL<br />
2. (NISE, 2002; p. 50) Obter a função de transferência ()<br />
() s<br />
G s = no circuito a<br />
V () s<br />
seguir. Solucionar o problema de duas formas: pelo método das malhas e pe-<br />
lo método dos nós. Mostrar que os dois métodos conduzem ao mesmo resul-<br />
tado.<br />
Figura 2 - Circuito elétrico para o Exercício 2. (NISE, 2002).<br />
1<br />
i
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 7T – Modelagem de sistemas mecânicos em translação<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 50-56.<br />
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2003.<br />
788 p. ISBN 8587918230 Páginas 71-74.<br />
2.4 Função de transferência de sistemas mecânicos em translação<br />
Sistemas mecânicos se assemelham muito com circuitos elétricos: existem<br />
analogias entre componentes e variáveis elétricos e mecânicos.<br />
Sistemas mecânicos possuem três componentes passivos lineares. Dois deles,<br />
a mola e a massa são elementos armazenadores de energia; um deles, o a-<br />
mortecedor viscoso, dissipa energia.<br />
A Tabela 1 mostra os elementos utilizados num sistema mecânico e suas re-<br />
lações força-deslocamento e força-velocidade. A Tabela 2, já apresentada,<br />
mostra os elementos elétricos para comparação.<br />
Tabela 1 – Componentes de sistemas mecânicos (NISE, 2002).<br />
Tabela 2 – Componentes de sistemas elétricos (NISE, 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Na Tabela 1, K , f V e M são chamados, respectivamente de constante de mo-<br />
la, coeficiente de atrito viscoso e massa.<br />
Comparando as tabelas, percebe-se a seguinte analogia:<br />
Sistema elétrico Sistema mecânico de translação<br />
Tensão v () t Força f ( t)<br />
Corrente elétrica i( t)<br />
Velocidade v ( t)<br />
Carga q () t<br />
Deslocamento x ( t)<br />
Resistência R<br />
Indutância L Massa M<br />
Amortecimento viscoso f V<br />
Capacitância C Constante de mola K<br />
Para obtermos funções de transferência em sistemas mecânicos, desenha-se<br />
um diagrama de corpo livre para cada massa presente no sistema posicionan-<br />
do nela todas as forças que agem sobre ela no sentido do movimento ou no<br />
sentido oposto. Em seguida, utilizamos a lei de Newton para construir a e-<br />
quação diferencial do movimento somando as forças e igualando a zero.<br />
Finalmente, supondo condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de<br />
Laplace à equação diferencial, separamos as variáveis e chegamos à função<br />
de transferência desejada.<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Quando mais de um deslocamento estiver presente, desenhamos o diagrama<br />
de corpo livre para cada um dos corpos e, em seguida, usamos a superposi-<br />
ção. Para cada um dos diagramas de corpo livre, começamos fixando todos<br />
os outros corpos e determinamos as forças que atuam sobre o corpo devido<br />
somente ao próprio movimento. Em seguida, mantemos o corpo parado e ati-<br />
vamos, um a um, os outros corpos, colocando no corpo original as forças cri-<br />
adas pelo movimento adjacente.<br />
Exercícios<br />
1. (NISE, 2002, p. 51) Obter a função de transferência, X ( s)<br />
F(<br />
s)<br />
para o sistema<br />
da Figura 1.<br />
Figura 1 - Sistema massa, mola e amortecedor (NISE, 2002).<br />
2. (NISE, 2002, p. 83) Obter a função de transferência ( s)<br />
= X ( s)<br />
F(<br />
s)<br />
para o<br />
sistema mecânico mostrado na Figura 2.<br />
3<br />
G 1<br />
Figura 2 – Sistema do Exercício 2 (NISE, 2002).
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 7T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
3. (NISE, 2002; p. 53) Obter a função de transferência () s F()<br />
s<br />
ma da Figura 3.<br />
X 2 para o siste-<br />
Figura 3 - Sistema mecânico com dois graus de liberdade (NISE, 2002).<br />
4. (NISE, 2002, p. 56) Obter a função de transferência ( s)<br />
= X ( s)<br />
F(<br />
s)<br />
para o<br />
sistema mecânico em translação mostrado na Figura 4.<br />
G 2<br />
Figura 4 – Sistema mecânico em translação do Exercício 4 (NISE, 2002).<br />
5. (NISE, 2002, p. 55) Escrever, mas não resolver, as equações de movimento<br />
da estrutura mecânica da Figura 5.<br />
Figura 5 – Sistema mecânico com três graus de liberdade (NISE, 2002).<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 8T – Modelagem de sistemas mecânicos em rotação<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p.<br />
ISBN 8521613016. Páginas 56-60.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 23-92.<br />
2.5 Função de transferência de sistemas mecânicos em rotação<br />
Os sistemas mecânicos em movimento de rotação são manipulados da<br />
mesma forma que os sistemas mecânicos em translação, exceto que o<br />
torque substitui força e deslocamento angular substitui deslocamento de<br />
translação.<br />
Os componentes mecânicos dos sistemas em rotação são os mesmos dos<br />
sistemas em translação. Veja a Tabela 1 a seguir.<br />
Tabela 1 - Relações para sistemas mecânicos em rotação. (NISE, 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
O termo associado a massa foi substituído por inércia. Os valores de K ,<br />
D e J são chamados constante de mola, coeficiente de atrito viscoso e<br />
momento de inércia, respectivamente.<br />
Escrever as equações de movimento para sistemas em rotação é seme-<br />
lhante a escrevê-las para os sistemas em translação. Obtemos os torques<br />
por superposição.<br />
Primeiro giramos um corpo mantendo parados todos os demais e pondo<br />
no diagrama de corpo livre todos os torques devido ao próprio movi-<br />
mento. Em seguida, mantendo o corpo parado, giramos os pontos adja-<br />
centes, um a um, e acrescentamos os torques devidos ao movimento ad-<br />
jacente ao corpo livre. O processo é repetido para cada um dos pontos<br />
em movimento.<br />
Exercício<br />
1. (NISE, 2002, p. 57) Obter a função de transferência Θ () s T () s para o<br />
sistema em rotação mostrado na Figura 1a a seguir. O eixo elástico é<br />
suspenso por meio de mancais em cada uma das extremidades e é sub-<br />
metido a torção. Um torque é aplicado à esquerda e o deslocamento an-<br />
gular é medido à direita. O esquema equivalente deste sistema físico é<br />
mostrado na Figura 1b.<br />
Figura 1 a. Sistema físico; b. esquema (NISE, 2002).<br />
2<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 8T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
2. (NISE, 2002, p. 60) Obter a função de transferência () s () s T ( s)<br />
Θ =<br />
para o sistema em rotação mostrado na Figura 2.<br />
3<br />
G 2<br />
Figura 2 - Sistema em rotação para o Exercício 2 (NISE, 2002).<br />
3. (NISE, 2002, p. 59) Escrever, mas não resolver, a transformada de La-<br />
place das equações de movimento para o sistema mostrado na Figura 3.<br />
Figura 3 - Sistema em rotação com três graus de liberdade (NISE, 2002).<br />
4. (NISE, 2002, p. 84) Para cada um dos sistemas mecânicos em rotação<br />
mostrados na Figura 4, escreva, mas não resolva as equações de movi-<br />
mento.<br />
Figura 4 – (NISE, 2002).
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 9T – Modelagem de sistemas com engrenagens<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 60-64.<br />
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2003.<br />
788 p. ISBN 8587918230. Páginas 71-74.<br />
2.6 Funções de transferência de sistemas com engrenagens<br />
Sistemas em rotação raramente são vistos sem trens de engrenagens acionan-<br />
do a carga. É necessário estudar como modelá-los.<br />
A interação entre duas engrenagens é mostrada a seguir.<br />
Figura 1 – Sistema de engrenagens (NISE, 2002).<br />
À medida que as engrenagens giram, a distância percorrida ao longo de cada<br />
circunferência das engrenagens é a mesma. Portanto,<br />
r θ = r θ ou<br />
θ<br />
1<br />
θ<br />
2<br />
1<br />
1<br />
=<br />
2<br />
1<br />
2<br />
r 1<br />
=<br />
r<br />
A relação entre os deslocamentos angulares das engrenagens é inversamente<br />
proporcional à razão do número de dentes.<br />
2<br />
N<br />
N<br />
1<br />
2<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Como não há perdas, a energia fornecida à primeira engrenagem é a mesma<br />
obtida na segunda. Assim,<br />
T θ = T θ ou<br />
1<br />
T<br />
T<br />
2<br />
1<br />
1<br />
θ1<br />
=<br />
θ<br />
2<br />
2<br />
2<br />
=<br />
Os torques são diretamente proporcionais à relação do número de dentes. Es-<br />
tes resultados são resumidos a seguir:<br />
Figura 2 - Funções de transferência a. entre deslocamentos angulares de engre-<br />
nagens sem perdas e b. entre torques de engrenagens sem perdas (NISE, 2002).<br />
Vejamos o que acontece com as impedâncias mecânicas acopladas às engre-<br />
nagens. A Figura 3 mostra engrenagens acionando uma inércia, uma mola e<br />
um amortecedor viscoso. Para maior clareza, as engrenagens são mostradas<br />
2<br />
N<br />
N<br />
por meio de uma vista em corte simplificada.<br />
Figura 3 - Sistema em rotação acionado por engrenagens (NISE, 2002).<br />
Deseja-se representar esta figura como um sistema equivalente referido a θ 1<br />
sem engrenagens.<br />
2<br />
1<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
É possível refletir T 1 na saída multiplicando-o por<br />
3<br />
N 2 . O resultado está mos-<br />
trado na Figura 4, a partir do qual se escreve a equação do movimento como:<br />
Figura 4 – Sistema referido à saída após reflexão do torque (NISE, 2002).<br />
N<br />
1<br />
Como θ 2 θ1<br />
N 2<br />
= , temos:<br />
2 ( Js Ds + K ) Θ () s = T () s<br />
N<br />
N<br />
2<br />
+ 2 1 .<br />
N1<br />
2 N1<br />
( Js + Ds + K ) Θ () s = T () s<br />
⎡ ⎛ N<br />
⇒ ⎢J<br />
⎜<br />
⎢ N<br />
⎣ ⎝<br />
1<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
s<br />
2<br />
N<br />
2<br />
1<br />
⎛ N<br />
+ D ⎜<br />
⎝ N<br />
1<br />
2<br />
1<br />
N<br />
N<br />
2<br />
2<br />
⎞ ⎛ N ⎞ ⎤<br />
1<br />
⎟ s + K ⎜ ⎥Θ1<br />
N ⎟<br />
⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦<br />
Este sistema equivalente é mostrado na Figura 5.<br />
2<br />
1<br />
⇒<br />
1<br />
() s = T () s<br />
Figura 5 - Sistema referido à entrada após reflexão das impedâncias (NISE,<br />
2002).<br />
Generalizando os resultados, podemos elaborar o seguinte enunciado: As im-<br />
pedâncias mecânicas em rotação podem ser refletidas por meio de trens de<br />
engrenagens multiplicando-se a impedância mecânica pela relação:<br />
1<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Exercícios<br />
⎛ Número de dentes da engrenagem ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ do eixo de destino<br />
⎟<br />
⎜<br />
Número de dentes da engrenagem<br />
⎟ .<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
do eixo de origem<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎠<br />
1. (NISE, 2002, p. 62) Obter a função de transferência<br />
Figura 6 a seguir.<br />
4<br />
2<br />
Θ 2<br />
T<br />
( s)<br />
para o sistema da<br />
() s<br />
Figura 6 – Sistema mecânico em rotação com engrenagens (NISE, 2002).<br />
Θ 2<br />
2. (NISE, 2002, p. 64) Obter a função de transferência ()<br />
() s<br />
G s = para o sis-<br />
T () s<br />
tema mecânico em rotação com engrenagens mostrado na Figura 7.<br />
Figura 7 - Sistema mecânico do Exercício 2 (NISE, 2002).<br />
Usa-se um trem de engrenagens para implementar valores elevados de rota-<br />
ção de transmissão. O diagrama esquemático de um trem de engrenagens é<br />
mostrado na Figura 8.<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 8 - Trem de engrenagens (NISE, 2002).<br />
Concluímos que nos trens de engrenagens a relação de engrenagens equiva-<br />
lente é o produto das relações de engrenagens individuais.<br />
Exercícios<br />
3. (NISE, 2002, p. 63) Obter a função de transferência<br />
Figura 9.<br />
5<br />
Θ1<br />
T<br />
1<br />
( s)<br />
() s<br />
para o sistema da<br />
Figura 9 - Sistema usando um trem de engrenagens (NISE, 2002).<br />
4. (NISE, 2002, p. 84) Para o sistema mecânico em rotação com engrenagens da<br />
Θ3<br />
() s<br />
Figura 10, calcule a função de transferência G()<br />
s = . As engrenagens<br />
T () s<br />
possuem inércia e atrito, como mostrado.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 9T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 10 – (NISE, 2002).<br />
5. (NISE, 2002, p. 84) Para o sistema mecânico em rotação mostrado na Figura<br />
Θ 2<br />
11, calcule a função de transferência ()<br />
( s)<br />
G s = .<br />
T () s<br />
Figura 11 – (NISE, 2002).<br />
6
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 11T – Modelagem de sistemas eletromecânicos<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 64-69.<br />
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo ; Rio de<br />
Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963. Páginas 43-48.<br />
2.7 Funções de transferência de sistema eletromecânico<br />
Vamos nos deslocar agora para sistemas em que há mistura de variáveis elé-<br />
tricas e mecânicas, os sistemas eletromecânicos.<br />
Exemplos de aplicações: controle de posicionamento de uma antena em azi-<br />
mute, controle de robôs, rastreadores do Sol e estelares, controle de posição<br />
de acionadores de fita e de discos para computadores, etc. Um exemplo é<br />
mostrado na Figura 1.<br />
Figura 1 - Braço robótico de simulador de vôo da NASA com componentes do<br />
sistema de controle eletromecânico (NISE, 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Um motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamento<br />
de saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica gerada por<br />
uma entrada elétrica.<br />
Aqui, consideraremos apenas o servo motor de corrente contínua controlado<br />
pela armadura mostrado na Figura 2.<br />
Figura 2 - Motor CC: a. esquema; b. diagrama de blocos. (NISE, 2002).<br />
As equações físicas que regem o comportamento deste sistema são:<br />
F Bi<br />
= (1)<br />
i a = corrente elétrica circulando pelo condutor<br />
= comprimento do condutor<br />
B = campo magnético em que o condutor está imerso<br />
v = velocidade do condutor<br />
= comprimento do condutor<br />
e = tensão contra-eletromotriz<br />
e Bv<br />
2<br />
a<br />
= (2)<br />
Assim, ao aplicarmos a tensão ea ( t)<br />
, aparece um torque Tm () t e uma velocida-<br />
de angular ω(<br />
t) = θ ( t)<br />
e, em compensação uma tensão contra-eletromotriz<br />
vb () t .
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Baseando-se na Eq. (2), podemos escrever que:<br />
dθ<br />
m<br />
() t = K ⇒ V () s = K sΘ<br />
() s<br />
vb b<br />
b<br />
b m<br />
dt<br />
Escrevendo a equação da malha para o circuito da armadura,<br />
() s L sI ( s)<br />
+ V ( s)<br />
= E ( s)<br />
Ra I a a a b<br />
a<br />
+ .<br />
Em motores de corrente contínua, pode-se considerar que L ≈ 0 . Assim,<br />
() s V ( s)<br />
= E ( s)<br />
Ra I a b a<br />
+ . (4)<br />
Da Eq. (1), vemos que o torque produzido pelo motor é proporcional à cor-<br />
rente de armadura, assim,<br />
() s K I () s ⇒ I () s = T () s<br />
3<br />
1<br />
K<br />
Tm T a<br />
a<br />
m<br />
T<br />
Substituindo (3) e (5) em (4),<br />
R<br />
K<br />
a<br />
T<br />
= . (5)<br />
T<br />
m<br />
() s K sΘ<br />
() s = E () s<br />
Para deduzir a função de transferência<br />
+ b m<br />
a . (6)<br />
Θ m<br />
E<br />
a<br />
a<br />
(3)<br />
( s)<br />
, precisamos agora relacionar<br />
() s<br />
Tm () s com Θ ( s)<br />
. Isto pode ser feito utilizando-se o modelo da Figura 3 para<br />
m<br />
o motor carregado. Nesta, a J e D a são respectivamente a inércia e o amorte-<br />
cimento da armadura e J L e D L a inércia e o amortecimento da carga (load).<br />
Figura 3 - Motor acionando uma carga mecânica em rotação. (NISE, 2002).
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
com<br />
Daí,<br />
J L<br />
2 () s = ( J s + D s)<br />
Θ ( s)<br />
Tm m m m<br />
2<br />
⎛ N1<br />
⎞<br />
⎛ N ⎞ 1<br />
= J + J ⎜<br />
⎟<br />
m a<br />
e D<br />
⎝ N<br />
⎜<br />
⎟<br />
m = Da<br />
+ DL<br />
.<br />
2 ⎠<br />
⎝ N 2 ⎠<br />
Substituindo agora a Eq. (7) na Eq. (6),<br />
⎡ R<br />
⎢<br />
⎣ K<br />
a<br />
Θ<br />
E<br />
T<br />
m<br />
a<br />
4<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
2<br />
(7)<br />
( J s + D ) + K sΘ<br />
( s)<br />
= E ( s)⇒<br />
m<br />
() s<br />
() s<br />
m<br />
=<br />
⎡ 1<br />
s⎢s<br />
+<br />
⎣ J<br />
m<br />
b<br />
m<br />
KT<br />
1<br />
Ra<br />
J m<br />
⎛ K<br />
⎜ Dm<br />
+<br />
⎝ R<br />
Pode-se mostrar que as constantes do motor<br />
a<br />
T<br />
a<br />
a<br />
K<br />
b<br />
K T e b<br />
R<br />
⎞⎤<br />
⎟<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
.<br />
K podem ser obtidas a<br />
partir das curvas torque-velocidade do motor, como as mostradas na Figura<br />
4.<br />
Figura 4 - Curvas de torque-velocidade tendo como parâmetro a tensão de arma-<br />
dura e a (NISE, 2002).
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Pode-se mostrar que:<br />
Exercícios<br />
K T =<br />
R<br />
a<br />
T<br />
bloq<br />
e<br />
a<br />
e<br />
5<br />
K<br />
b<br />
=<br />
ω<br />
e<br />
a<br />
vazio<br />
1. (NISE, 2002, p. 68) Dado o sistema e a curva torque-velocidade das Figuras<br />
5(a) e (b), obter a função de transferência<br />
Θ L<br />
E<br />
a<br />
( s)<br />
.<br />
() s<br />
Figura 5 - a. Motor CC e carga; b. curva torque-velocidade. (NISE, 2002).<br />
Θ L<br />
2. (NISE, 2002, p. 69) Obter a função de transferência ()<br />
() s<br />
G s = de um mo-<br />
E () s<br />
tor e carga mostrados na Figura 6. A curva torque-velocidade é dada por<br />
T −8<br />
ω + 200 quando a tensão de entrada for 100 volts.<br />
m<br />
= m<br />
.<br />
a
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 6 - Sistema eletromecânico para o Exercício 2 (NISE, 2002).<br />
3. (NISE, 2002, p. 85) Para o motor, a carga e uma curva torque velocidade<br />
Θ L<br />
mostrados na Figura 7, obter a função de transferência ()<br />
() s<br />
G s = .<br />
E () s<br />
Figura 7 – (NISE, 2002).<br />
4. (NISE, 2002, p. 86) O motor cuja característica torque-velocidade está mostrada<br />
na Figura 8 aciona a carga mostrada no diagrama. Algumas das engre-<br />
Θ L<br />
nagens possuem inércia. Obter a função de transferência ()<br />
() s<br />
G s = .<br />
E () s<br />
6<br />
a<br />
a
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 11T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 8 – (NISE, 2002).<br />
5. (NISE, 2002, p. 86) Nesta aula, deduzimos a função de transferência de um<br />
motor CC relacionando o deslocamento angular de saída com a tensão de ar-<br />
madura como entrada frequentemente se deseja controlar o torque em vez do<br />
deslocamento angular. Deduza a função de transferência do motor que rela-<br />
ciona o torque de saída com a tensão de armadura na entrada.<br />
7
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 12T – Estudos de casos: Modelos de sistemas<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 78-88.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 76-92.<br />
2.8 Estudos de caso<br />
<strong>Controle</strong> de antena: Função de transferência<br />
Este capítulo mostrou que os sistemas físicos podem ser modelados matemati-<br />
camente como funções de transferências. De um modo geral, os sistemas são<br />
compostos de subsistemas de diferentes tipos, como os elétricos, os mecânicos e<br />
os eletromecânicos.<br />
Atividade 1: Obter a função de transferência de cada subsistema do sistema de<br />
controle de posicionamento de uma antena em azimute, mostrado nas Figuras 1,<br />
2 e na Tabela 1. Use a Configuração 1. Os subsistemas individuais do sistema<br />
estão resumidos na Tabela 2.<br />
Figura 1 – Arranjo físico – <strong>Controle</strong> de antena (NISE, 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 2 – Esquema – <strong>Controle</strong> de antena (NISE, 2002).<br />
Tabela 1 – Parâmetros do Esquema – <strong>Controle</strong> de antena (NISE, 2002).<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Tabela 2 - Subsistemas do sistema de controle de posição de uma antena em a-<br />
Respostas:<br />
zimute (NISE, 2002).<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Atividade 2 (desafio): Consultando o diagrama esquemático do sistema de con-<br />
trole de posicionamento de uma antena em azimute mostrado na Figura 1, calcu-<br />
lar a função de transferência de cada subsistema. Use a Configuração 2.<br />
Sumário<br />
• Neste capítulo, discutimos como obter um modelo matemático, chamado<br />
Exercício<br />
função de transferência, para os sistemas lineares e invariantes no tempo,<br />
de natureza elétrica, mecânica e eletromecânica. A função de transferên-<br />
C<br />
cia é definida como ()<br />
( s)<br />
G s = , ou seja, a relação da transformada de La-<br />
R()<br />
s<br />
place da saída pela transformada de Laplace da entrada. Esta relação é al-<br />
gébrica e também se adapta à modelagem de sistemas interconectados.<br />
1. (NISE, 2002, p. 87) O Problema 4 da Lista 1 discute o controle ativo de um<br />
mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade. O di-<br />
agrama para o acoplamento do pantógrafo e da catenária está mostrado na<br />
Figura 5(a).<br />
Figura 5 - a. Acoplamento do pantógrafo com a catenária; b. representação sim-<br />
plificada mostrando a força de controle ativa (NISE, 2002).<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 12T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Admita o modelo simplificado mostrado na Figura 5(b), em que a catenária é<br />
representada pela mola, K med .<br />
Y<br />
(a) Obtenha a função de transferência, G () s =<br />
F<br />
5<br />
( s)<br />
() s<br />
1<br />
cat<br />
up<br />
, em que () t<br />
y cat é o desloca-<br />
mento da catenária e f up () t é a força para cima aplicada ao pantógrafo sob con-<br />
trole ativo.<br />
Y<br />
(b) Obtenha a função de transferência G () s =<br />
F<br />
( s)<br />
() s<br />
2<br />
h<br />
up<br />
, em que () t<br />
mento da parte superior do pantógrafo.<br />
(c) Obtenha a função de transferência ()<br />
( Yh<br />
( s)<br />
− Ycat<br />
( s)<br />
)<br />
G s = .<br />
F () s<br />
up<br />
y h é o desloca
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 13T – Modelagem no domínio do tempo: Introdução<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 90-96.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 93-96.<br />
3 Modelagem no domínio do tempo<br />
Objetivos do capítulo<br />
Obter um modelo matemático, chamado representação no espaço de estados,<br />
de sistemas lineares e invariantes no tempo.<br />
Transformar modelos sob a forma de função de transferência em modelos no<br />
espaço de estados.<br />
Objetivos do estudo de caso<br />
Dado o sistema de controle de posicionamento da antena em azimute, você<br />
deverá ser capaz de obter a representação no espaço de estados de cada sub-<br />
sistema.<br />
3.1 Introdução<br />
Para a análise e o projeto de sistemas de controle com retroação há duas a-<br />
bordagens.<br />
A primeira, que começamos a estudar no Capítulo 2, é conhecida como téc-<br />
nica clássica, ou no domínio da freqüência. Esta abordagem é baseada na<br />
transformação de uma equação diferencial em uma função de transferência,<br />
gerando assim um modelo matemático do sistema que relaciona algebrica-<br />
mente uma representação da saída a uma representação da entrada.<br />
Principal desvantagem: aplicabilidade limitada – só pode ser usada em sis-<br />
temas lineares e invariantes no tempo ou em sistemas que possam ser apro-<br />
ximados como tal.<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Principal vantagem: fornecem rapidamente informações sobre a estabilidade<br />
e sobre a resposta transitória.<br />
Com o advento da exploração espacial, os requisitos dos sistemas de controle<br />
aumentaram de escopo. A modelagem de sistemas usando equações diferen-<br />
ciais lineares e invariantes no tempo e as funções de transferência subseqüen-<br />
tes se tornaram inadequadas.<br />
A abordagem no espaço de estados (também referida como abordagem mo-<br />
derna ou no domínio do tempo) constitui um método unificado de modela-<br />
gem, análise e projeto de uma gama ampla de sistemas.<br />
Por exemplo, a abordagem no espaço de estados pode ser usada para repre-<br />
sentar sistemas não-lineares dotados de folga, saturação e zona morta.<br />
Além disso, ela pode manipular, de forma adequada, sistemas com condições<br />
iniciais não-nulas.<br />
Sistemas variantes no tempo (exemplo: mísseis com níveis de combustível<br />
variantes) podem ser representados no espaço de estados bem como sistemas<br />
com múltiplas entradas e saídas.<br />
Também permite representar um computador digital na malha e também é<br />
atraente devido à disponibilidade de inúmeros pacotes de software que utili-<br />
zam modelos no espaço de estados.<br />
Desvantagem: não é tão intuitivo quanto a abordagem clássica. O projetista<br />
deve se envolver com muitos cálculos antes que a interpretação física do mo-<br />
delo se torne aparente.<br />
3.2. Algumas observações<br />
Nesta seção, vamos mostrar a partir de exemplos como obter a representação<br />
por espaço de estados para um sistema.<br />
Devem-se seguir os seguintes passos:<br />
I. Selecionamos um subconjunto particular de todas as variáveis do sistema e<br />
chamamos as variáveis deste conjunto de variáveis de estado.<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
II. Para um sistema de ordem n , escrevemos n equações diferenciais de primei-<br />
ra ordem, simultâneas em termos das variáveis de estado.<br />
III. Se conhecermos a condição inicial de todas as variáveis de estado em t 0<br />
bem como a entrada do sistema para t ≥ t0<br />
, poderemos resolver as equações<br />
diferenciais simultâneas em função das variáveis de estado para t ≥ t0<br />
.<br />
IV. Combinamos algebricamente as variáveis de estado com a entrada e ob-<br />
temos todas as variáveis do sistema para t ≥ t0<br />
. Chamamos esta equação algé-<br />
brica de equação de saída.<br />
V. Consideramos as equações de estado e as equações de saída uma representa-<br />
ção viável do sistema. Chamamos esta representação de representação do<br />
sistema no espaço de estados.<br />
Exercícios<br />
1. (NISE, 2002, p. 91) Para o circuito elétrico de primeira ordem da Figura 1,<br />
pede-se:<br />
(a) Considerando como variável de estado i ( t)<br />
escreva a equação de estado para<br />
este circuito.<br />
(b) Repita utilizando a tensão no resistor vR ( t)<br />
como variável de estado.<br />
(c) Considerando vR () t como variável de saída e i ( t)<br />
como variável de estado,<br />
escreva a equação de saída.<br />
(d) Repita para a tensão no indutor vL ( t)<br />
como variável de saída.<br />
(e) Repita para a derivada da corrente como variável de saída.<br />
Figura 1 – Circuito RL (NISE, 2002).<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
2. (NISE, 2002, p. 93) Para o circuito elétrico de 2ª ordem mostrado na Figura<br />
2, pede-se:<br />
Figura 2 – Circuito RLC (NISE, 2002).<br />
(a) Escreva as equações de estado considerando a carga q ( t)<br />
e a corrente i ( t)<br />
co-<br />
mo variáveis de estado.<br />
(b) Escreva a equação de saída para a tensão sobre o indutor vL () t .<br />
(c) Escreva a representação no espaço de estados considerando as variáveis dos<br />
itens (a) e (b).<br />
(d) Reescreva as equações de estado considerando como variáveis de estado<br />
vR () t e () t , as tensões sobre o resistor e sobre o capacitor, respectivamente.<br />
v C<br />
As equações de estado podem ser escritas na forma matricial se o sistema for<br />
linear. Ou seja, para um sistema com uma entrada e uma saída (SISO – single<br />
input single output), podem ser escritas como:<br />
Exercício<br />
⎧x<br />
= Ax + Bu<br />
⎨<br />
⎩y<br />
= Cx + Du<br />
3. (NISE, 2002, p. 91) Para a representação no espaço de estado do Exercício<br />
2(c), determine quem representa cada uma das variáveis na Eq. (1).<br />
3.3. A representação geral no espaço de estados<br />
Agora vamos definir formalmente os conceitos ilustrados na seção anterior.<br />
4<br />
(1)
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Combinação linear: uma combinação linear de n variáveis, i<br />
é dada pela seguinte soma, S :<br />
em que cada k i é uma constante.<br />
S = kn<br />
xn<br />
+ kn−1<br />
xn−1<br />
+ …<br />
5<br />
+ k<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x , para 1 = i a n<br />
Independência linear: diz-se que um conjunto de variáveis é linearmente in-<br />
dependente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como uma combina-<br />
ção linear das outras. Por exemplo, dados x 1,<br />
2 x e 3<br />
x , se x 2 5x1 + 6x3<br />
= , então<br />
as variáveis não são linearmente independentes, uma vez que uma delas pode<br />
ser escrita como combinação linear das demais.<br />
Variável de sistema: qualquer variável que responda a uma entrada ou a con-<br />
dições iniciais de um sistema.<br />
Variáveis de estado: o menor conjunto linearmente independente de variáveis<br />
de sistema tal que os valores dos membros do conjunto no instante t 0 , junta-<br />
mente com as funções forçantes conhecidas, determinam completamente o<br />
valor de todas as variáveis do sistema para todos os instantes de tempo t ≥ t0<br />
.<br />
Vetor de estados: um vetor cujos elementos são as variáveis de estado.<br />
Espaço de estados: o espaço n -dimensional cujos eixos são as variáveis de<br />
estado (Figura 3). Uma trajetória pode ser imaginada como sendo o mapeamento<br />
do vetor x () t para uma faixa de valores de t . Na Figura 3 está mostra-<br />
do também o vetor de estados no instante particular t = 4 .<br />
Equações de estado: Um conjunto de n equações diferenciais de primeira<br />
ordem, simultâneas, com n variáveis em que as n variáveis a serem resolvi-<br />
das são as variáveis de estado.<br />
Equações de saída: A equação algébrica que exprime as variáveis de saída de<br />
um sistema linear como combinações lineares das variáveis de estado e das<br />
entradas.<br />
Um sistema é representado no espaço de estados pelas seguintes equações:
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 13T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 3 – Representação gráfica do espaço de estados e de um vetor de estado<br />
(NISE, 2002).<br />
x<br />
= Ax + Bu<br />
y = Cx + Du<br />
em que:<br />
x = vetor de estado<br />
x = derivada do vetor de estado em relação ao tempo.<br />
y = vetor de resposta<br />
u = vetor de entrada ou de controle<br />
A = matriz de sistema<br />
B = matriz de entrada<br />
C = matriz de saída<br />
D = matriz de ação avante.<br />
Exercícios<br />
4. (NISE, 2002, p. 116) Dê duas razões para modelar sistemas no espaço de es-<br />
tados.<br />
5. (NISE, 2002, p. 116) Assinale uma vantagem da abordagem em função de<br />
transferência sobre a representação no espaço de estados.<br />
6
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 14T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 14T – Aplicando a representação no espaço de estados<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 96-104.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 94-98.<br />
3.4 Aplicando a representação no espaço de estados<br />
Nesta seção, vamos aplicar a formulação no espaço de estados à representa-<br />
ção de sistemas físicos mais complicados.<br />
O primeiro passo para representar um sistema consiste em selecionar o vetor<br />
de estado, que deve ser escolhido com as seguintes considerações:<br />
o Devemos selecionar um número mínimo de variáveis de estado<br />
como componentes do vetor de estado.<br />
o Os componentes do vetor de estado (isto é, este número mínimo de<br />
variáveis de estado) devem ser linearmente independentes.<br />
Variáveis de estado linearmente independentes<br />
Os componentes do vetor de estado devem ser linearmente independentes.<br />
Por exemplo, seguindo a definição de independência linear da Seção 3.3, se<br />
x 1,<br />
2 x e 3<br />
x forem escolhidas como variáveis de estado, mas x 3 5x1 + 4x2<br />
tão 3 x não é linearmente independente de 1 x e 2<br />
1<br />
= , en-<br />
x , uma vez que o conheci-<br />
mento dos valores de 1 x e 2 x produz o conhecimento do valor de 3<br />
Número mínimo de variáveis de estado<br />
Como saber qual o número de variáveis de estado a selecionar? Geralmente,<br />
o número mínimo necessário é igual à ordem da equação diferencial que des-<br />
creve o sistema.<br />
Segundo a perspectiva da função de transferência, a ordem da equação dife-<br />
rencial é a ordem do denominador da função de transferência depois do can-<br />
celamento dos fatores comuns ao numerador e ao denominador.<br />
x .
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 14T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Na maioria dos casos, uma outra forma de determinar o número de variáveis<br />
de estado é contar o número de elementos armazenadores de energia inde-<br />
pendentes existentes no sistema.<br />
No caso de circuitos elétricos, nossa abordagem consiste em escrever a equa-<br />
ção simples da derivada para cada um dos elementos armazenadores de ener-<br />
gia (capacitores e indutores) e expressar a derivada como uma combinação<br />
linear das variáveis de sistema e de entrada presentes na equação.<br />
Nos sistemas mecânicos, mudamos a escolha de variáveis de estado para po-<br />
sição e velocidade de cada ponto com movimento linear independente.<br />
Exercícios<br />
1. (NISE, 2002, p 97) Dado o circuito elétrico da Figura 1, obter uma represen-<br />
tação no espaço de estados se a saída for a corrente através do resistor.<br />
Figura 1 - Circuito elétrico para representação no espaço de estados (NISE,<br />
2002).<br />
2. (NISE, 2002, p. 101) Obter as equações de estado para o sistema mecânico<br />
em translação mostrado na Figura 2. Qual a equação de saída se a variável de<br />
saída for x2 () t ?<br />
Figura 2 - Sistema mecânico em translação (NISE, 2002).<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 14T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
3. (NISE, 2002, p. 101) Obter a representação no espaço de estados do circuito<br />
elétrico mostrado na Figura 3. A saída é vo ( t)<br />
.<br />
Figura 3 - Circuito elétrico para o Exercício 3 (NISE, 2002).<br />
4. (NISE, 2002, p. 102) Obter a representação no espaço de estados do sistema<br />
mecânico mostrado na Figura 4 em que a saída é x3 ( t)<br />
.<br />
Figura 4 - Sistema mecânico em translação para o Exercício 4 (NISE, 2002).<br />
5. (NISE, 2002, p. 99) Obter as equações de estado e de saída do circuito elétri-<br />
co mostrado na Figura 5 se o vetor de saída for [ ] T<br />
= i<br />
nifica a transposta do vetor.<br />
3<br />
y , em que T sig-<br />
vR 2 R2<br />
Figura 5 - Circuito elétrico para o Exercício 5.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 15T – Convertendo uma função de transferência para o espaço de estados<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 102-107.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 96-103.<br />
3.5 Convertendo uma função de transferência para o espaço de estados<br />
Nesta seção vamos aprender como passar de uma representação em função<br />
de transferência para uma representação no espaço de estados.<br />
Uma vantagem da representação no espaço de estados é que ela pode ser u-<br />
sada para simular sistemas físicos num computador digital.<br />
Desta forma, se quisermos simular um sistema representado por uma função<br />
de transferência, devemos primeiro converter a representação por função de<br />
transferência em representação no espaço de estados.<br />
Vamos dividir o problema em dois casos.<br />
1º caso: Função de transferência com numerador constante<br />
Seja a função de transferência:<br />
C<br />
R<br />
() s<br />
0<br />
= n<br />
n−1<br />
() s s + an−1s<br />
+ …+<br />
a1s<br />
+ a0<br />
Esta função representa a equação de diferenças:<br />
n<br />
d c<br />
n<br />
dt<br />
1<br />
b<br />
n−1<br />
d c dc<br />
an−1<br />
+ … + a a c b r()<br />
t<br />
n 1<br />
1 + 0 = 0 .<br />
dt<br />
dt<br />
+ −<br />
Um jeito simples de obter a representação no espaço de estados é escolher<br />
um conjunto de variáveis de estado chamadas de variáveis de fase, em que<br />
cada variável de estado subseqüente é a derivada de estado anterior. Assim,<br />
tomamos:<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
x = c<br />
x<br />
x<br />
<br />
x<br />
1<br />
2<br />
3<br />
n<br />
dc<br />
=<br />
dt<br />
2<br />
d c<br />
= 2<br />
dt<br />
d<br />
=<br />
dt<br />
A entrada é u = r()<br />
t e a saída é c(<br />
t)<br />
y = .<br />
Com esta escolha, temos as seguintes equações de entrada e de saída:<br />
Na forma matricial:<br />
⎧ ⎡ 0<br />
⎪ ⎢<br />
⎪ ⎢<br />
0<br />
⎪ ⎢ 0<br />
⎪x<br />
= ⎢<br />
⎨ ⎢ <br />
⎪ ⎢ 0<br />
⎪ ⎢<br />
⎪ ⎢⎣<br />
−<br />
⎪<br />
⎩y<br />
=<br />
⎧x<br />
1 = x2<br />
⎪<br />
⎪<br />
x<br />
2 = x3<br />
⎪x<br />
3 = x4<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎪x<br />
n = −a0x1<br />
− a1x<br />
⎪<br />
⎩y<br />
= x1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
− a<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
− a<br />
[ 1 0 0 … 0]<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
− a<br />
x + 0u<br />
2<br />
− a<br />
2<br />
− a<br />
2<br />
n−1<br />
c<br />
n−1<br />
x<br />
3<br />
.<br />
−…<br />
− a<br />
− a<br />
n−1<br />
x<br />
n−1<br />
− a<br />
a0 1 2 3 4 5 … n−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
…<br />
…<br />
…<br />
…<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
+ b u<br />
0<br />
⎤ ⎡ 0 ⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎥ ⎢ 0 ⎥<br />
⎥x<br />
+ ⎢ ⎥u<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢ 0 ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
b0<br />
⎥⎦<br />
A Eq. (1) é a forma em variáveis de fase das equações de estado. Essa forma<br />
é reconhecida facilmente pelo padrão exclusivo de 1´s e 0´s e do negativo<br />
dos coeficientes da equação diferencial, escritos em ordem inversa, na última<br />
linha da matriz de sistema.<br />
Exercício<br />
1. (NISE, 2002, p. 104) Obter a representação no espaço de estados sob a forma<br />
de variáveis de fase da função de transferência mostrada na Figura 1. Dese-<br />
(1)
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
nhar também um diagrama de blocos com integradores, somadores e ganhos<br />
que implementem este sistema.<br />
Figura 1 - Função de transferência (NISE, 2002).<br />
2º caso: Função de transferência com polinômio no numerador<br />
Seja, por exemplo, a função de transferência mostrada na Figura 2(a).<br />
Figura 2 – Decompondo uma função de transferência (NISE, 2002).<br />
Neste caso, primeiro separamos a função de transferência em duas, associa-<br />
das em cascata, como mostrado na Figura 2(b). A primeira é o denominador<br />
e a segunda, o numerador.<br />
A primeira função de transferência com apenas o denominador é convertida<br />
na representação por variáveis de fase no espaço de estados como feito ante-<br />
riormente. Portanto, a variável de fase x 1 é a saída e as outras variáveis de fa-<br />
se são variáveis internas do primeiro bloco, como mostrado na Figura 2(b).<br />
A segunda função de transferência com apenas o numerador conduz a<br />
2<br />
() s =<br />
C(<br />
s)<br />
= ( b s + b s + b ) X ( s)<br />
Y 2 1 0 1<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
em que, depois de obtida a transformada de Laplace inversa com condições ini-<br />
ciais nulas,<br />
d x dx<br />
y +<br />
dt dt<br />
2<br />
1<br />
1<br />
() t = b2<br />
+ b 2 1 b0<br />
x1<br />
Mas os termos com derivadas são as definições das variáveis de fase obtidas<br />
no primeiro bloco. Assim, escrevendo-se os termos em ordem inversa para<br />
dar a forma de uma equação de saída,<br />
() t b0<br />
x1<br />
+ b1x<br />
2 b2<br />
x3<br />
y +<br />
= .<br />
Portanto, o segundo bloco forma simplesmente uma combinação linear espe-<br />
cífica das variáveis de fase desenvolvidas no primeiro bloco.<br />
Segundo uma outra perspectiva, o denominador da função de transferência<br />
conduz às equações de estado enquanto o numerador fornece a equação de<br />
saída.<br />
Exercício<br />
2. (NISE, 2002, p. 106) Obter a representação no espaço de estados da função<br />
de transferência mostrada na Figura 3. Desenhar também um diagrama de<br />
blocos com integradores, somadores e ganhos que implementem este sistema.<br />
Figura 3 - Função de transferência (NISE, 2002).<br />
3. (NISE, 2002, p. 107) Obter as equações de estado e a equação de saída da<br />
representação em variáveis de fase da função de transferência<br />
2s<br />
+ 1<br />
+ 7s<br />
+ 9<br />
G () s = .<br />
s<br />
2<br />
4. (NISE, 2002, p. 119) Um míssil em vôo, como mostrado na Figura 4, está<br />
submetido a diversas forças: empuxo, sustentação, arrasto e ação da gravida-<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 15T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
de. O míssil voa com um ângulo de ataque, α , em relação ao eixo longitudi-<br />
nal, criando sustentação. Para manobrar o míssil, controla-se o ângulo φ do<br />
corpo do míssil em relação à vertical, movendo angularmente o motor pro-<br />
pulsor da parte traseira. A função de transferência relacionando o ângulo φ<br />
ao deslocamento δ do motor é da forma:<br />
Φ<br />
Δ<br />
()<br />
K<br />
s a b<br />
= 3 2<br />
() s K3s<br />
+ K2s<br />
+ K1s<br />
+ K0<br />
5<br />
s + K<br />
Representar o controle de manobra do míssil no espaço de estados.<br />
Figura 4 – Míssil (NISE, 2002).<br />
5. (NISE, 2002, p. 118) Represente a seguinte função de transferência no espa-<br />
ço de estados. Dê sua resposta na forma matricial vetorial.<br />
T<br />
2<br />
() ( s + 3s<br />
+ 7)<br />
s =<br />
2 ( s + 1)(<br />
s + 5s<br />
+ 4)<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 16T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 16T – Convertendo do espaço de estados para função de transferência<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 108-109.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 107-108.<br />
3.6 Convertendo do espaço de estados para a função de transferência<br />
Nos Capítulos 2 e 3 exploramos dois métodos para representar sistemas: (1) a<br />
representação em função de transferência e (2) a representação no espaço de<br />
estados.<br />
Na aula anterior, unificamos as duas representações convertendo funções de<br />
transferência em representações no espaço de estados.<br />
Agora, vamos mover na direção contrária e converter a representação no es-<br />
paço de estados em função de transferência.<br />
Dadas as equações de estado e de resposta:<br />
x<br />
= Ax + Bu<br />
y = Cx + Du<br />
aplicando a transformada de Laplace, obtemos:<br />
ou<br />
Explicitando X () s na Eq. (1),<br />
X<br />
em que I é a matriz identidade.<br />
( s)<br />
AX(<br />
s)<br />
( s)<br />
sX = + BU (1)<br />
() s CX(<br />
s)<br />
DU(<br />
s)<br />
Y = + (2)<br />
( sI − A)<br />
X(<br />
s)<br />
= BU(<br />
s)<br />
−1<br />
() s ( sI<br />
− A)<br />
BU(<br />
s)<br />
= (3)<br />
Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2), resulta:<br />
Y<br />
−1<br />
() s = C(<br />
sI<br />
− A)<br />
BU(<br />
s)<br />
+ DU(<br />
s)<br />
−1<br />
= C(<br />
sI<br />
− A)<br />
B + D U s<br />
[ ] ()<br />
1<br />
,<br />
=
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 16T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
−1 [ C B + D]<br />
Chamamos a matriz ( I − A)<br />
s de matriz função de transferência,<br />
uma vez que ela relaciona o vetor de saída, Y ( s)<br />
, ao vetor de entrada U ( s)<br />
.<br />
Quando U () s = U () s e Y () s = Y ( s)<br />
forem escalares, podemos obter a função de<br />
transferência:<br />
T<br />
() s<br />
=<br />
Y<br />
U<br />
( s)<br />
() s<br />
=<br />
−1 ( sI<br />
− A)<br />
B D<br />
C +<br />
Exercícios<br />
1. (NISE, 2002, p. 109) Converter as equações de estado e a equação de saída<br />
mostradas a seguir em função de transferência:<br />
⎡− 4 −1,<br />
5⎤<br />
⎡2⎤<br />
x<br />
= ⎢ x<br />
4 0<br />
⎥ + ⎢<br />
0<br />
⎥u<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />
y = [ 1,<br />
5 0,<br />
625]x<br />
2. (NISE, 2002, p. 108) Dado o sistema definido pelas equações a seguir, obter<br />
Y<br />
a função de transferência ()<br />
( s)<br />
T s = em que U ( s)<br />
é a entrada e Y () s a saída.<br />
U () s<br />
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡10⎤<br />
x<br />
=<br />
⎢<br />
0 0 1<br />
⎥<br />
x<br />
⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
+<br />
⎢ ⎥<br />
u<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
− 2 − 3⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0 ⎥⎦<br />
y = [ 1 0 0]x<br />
Y<br />
3. (NISE, 2002, p. 118) Obtenha a função de transferência ()<br />
() s<br />
G s = , para ca-<br />
R()<br />
s<br />
da um dos sistemas representados no espaço de estados:<br />
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤<br />
x<br />
=<br />
⎢<br />
0 0 1<br />
⎥<br />
x<br />
⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
+<br />
⎢ ⎥<br />
r<br />
(a) ⎢⎣<br />
− 3 − 2 − 5⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
10⎥⎦<br />
y = [ 1 0 0]x<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 16T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
⎡ 2 3 − 8⎤<br />
⎡1⎤<br />
x<br />
=<br />
⎢<br />
0 5 3<br />
⎥<br />
x<br />
⎢<br />
4<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
+<br />
⎢ ⎥<br />
r<br />
(b) ⎢⎣<br />
− 3 − 5 − 4⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
6⎥⎦<br />
y = [ 1 3 6]x<br />
(c)<br />
⎡ 3 − 5 2⎤<br />
⎡ 5 ⎤<br />
x<br />
=<br />
⎢<br />
1 8 7<br />
⎥<br />
x<br />
⎢<br />
3<br />
⎥<br />
⎢<br />
−<br />
⎥<br />
+<br />
⎢<br />
−<br />
⎥<br />
r<br />
⎢⎣<br />
− 3 − 6 2⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
2 ⎥⎦<br />
y = [ 1 − 4 3]x<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 17T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 17T – Estudos de caso: Robótica<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 112-122.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 121-139.<br />
3.7. Estudo de caso<br />
Atividades<br />
1. (NISE, 2002, p. 120) O retorno de robôs a um ponto de referência, baseado<br />
em imagens, pode ser implementado gerando-se os comandos de entrada de<br />
rumo para um sistema de manobra baseado no seguinte algoritmo de guia-<br />
mento: suponha que o robô mostrado na Figura 1(a) deve ir do ponto R para<br />
um alvo, o ponto T , como mostrado na Figura 1(b). Se X R , Y R e R Z são ve-<br />
tores do robô a cada marco de referência, X , Y , Z , respectivamente, e T X ,<br />
T Y e T Z são vetores do alvo a cada marco de referência, respectivamente, en-<br />
tão os comandos de rumo devem acionar o robô para minimizar X X T R − ,<br />
Y Y T R − e Z Z T<br />
R − simultaneamente, uma vez que as diferenças tenderão a<br />
zero se o robô alcançar o alvo. Se a Figura 1(c) representa o sistema de con-<br />
trole de manobra do robô, represente cada bloco – controlador, roda e veículo<br />
– no espaço de estados.<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 17T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 1 - a. Robô com sistema de imagem por televisão (©1992 IEEE); b. dia-<br />
grama vetorial mostrando o conceito por trás do acompanhamento automático<br />
baseado em imagem (©1992 IEEE); c. sistema de controle de rumo. (NISE,<br />
2002).<br />
2. (NISE, 2002, p. 121) Os manipuladores robóticos modernos que atuam dire-<br />
tamente sobre o ambiente-alvo devem ser controlados de modo que as forças<br />
de impacto bem como as forças de estado estacionário não danifiquem o al-<br />
vo. Ao mesmo tempo, o manipulador deve fornecer força suficiente para e-<br />
xecutar a tarefa. Para desenvolver um sistema de controle para regular estas<br />
forças, há necessidade de modelar o manipulador robótico e o ambiente-alvo.<br />
Supondo o modelo mostrado na Figura 2, represente, no espaço de estados, o<br />
manipulador robótico e o ambiente sob as seguintes condições:<br />
(a) O manipulador não está em contato direto com o ambiente-alvo.<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 17T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
(b) O manipulador está em contato constante com o ambiente-alvo.<br />
Figura 2 - Manipulador robótico e ambiente-alvo (©1997 IEEE) (NISE, 2002).<br />
3. (NISE, 2002, p. 120) Considerar a aeronave militar F4-E mostrada na Figura<br />
3(a), em que a aceleração normal, a n , e a velocidade angular de arfagem, q ,<br />
são controladas pela deflexão do profundor, δ e , sobre os estabilizadores hori-<br />
zontais, e pela deflexão das superfícies aerodinâmicas dianteiras (canards),<br />
δ C . Um comando de deflexão δ COM , como mostrado na Figura 3(b) é usado<br />
para efetuar uma alteração em ambas as deflexões δ e e δ C . As relações são:<br />
δ e<br />
δ<br />
δ C<br />
δ<br />
COM<br />
COM<br />
( s)<br />
() s<br />
() s<br />
1 τ<br />
=<br />
s + 1 τ<br />
K C τ<br />
=<br />
() s s + 1 τ<br />
Estas deflexões produzem, através da dinâmica longitudinal da aeronave, a n e<br />
q . As equações de estado descrevendo os efeitos de δ COM sobre a n e q são dadas<br />
por:<br />
an<br />
an<br />
q<br />
q<br />
δ<br />
δ e<br />
δ<br />
⎥ e<br />
⎥⎥<br />
⎡ ⎤ ⎡−1,<br />
702 50,<br />
72 263,<br />
38⎤⎡<br />
⎤ ⎡− 272,<br />
06⎤<br />
⎢<br />
<br />
⎥ ⎢<br />
⎥⎢<br />
⎥<br />
+<br />
⎢<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢<br />
0,<br />
22 −1,<br />
418 − 31,<br />
99<br />
⎥⎢<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎢ <br />
⎣ ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0 0 −14<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
14 ⎦<br />
Obter as seguintes funções de transferência:<br />
G<br />
G<br />
1<br />
2<br />
() s<br />
() s<br />
=<br />
δ<br />
Q<br />
=<br />
δ<br />
3<br />
A<br />
n<br />
COM<br />
COM<br />
( s)<br />
() s<br />
() s<br />
() s<br />
COM<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 17T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 3 - a. F4-E com canards (© 1992 AIAA); b. sistema de controle de vôo a<br />
malha aberta (© 1992 AIAA). (NISE, 2002).<br />
4. (NISE, 2002, p. 121) A Figura 4(b) mostra um modelo de sistema mecânico<br />
em translação relativo a um pantógrafo para ferrovia de alta velocidade, usa-<br />
do para fornecer energia elétrica a um trem a partir de uma catenária suspen-<br />
sa. Representar o pantógrafo no espaço de estados, onde a saída é o deslocamento<br />
da parte superior do pantógrafo yh ( t)<br />
− ycat<br />
( t)<br />
.<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 17T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 4 - a. Acoplamento do pantógrafo com a catenária; b. representação.<br />
Simplificada mostrando a força de controle ativa (NISE, 2002).<br />
5. (NISE, 2002, p. 117) Represente o sistema mecânico em rotação mostrado na<br />
Figura 5 no espaço de estados em que θ ( t)<br />
é a saída.<br />
Figura 5 – (NISE, 2002).<br />
5<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 18T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 18T – Resposta no domínio do tempo - Introdução<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p.<br />
ISBN 8521613016. Páginas 123-126.<br />
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo ; Rio<br />
de Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963. Páginas 134-135.<br />
CAPÍTULO 4 – RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO<br />
Objetivos do capítulo<br />
Neste capítulo iremos aprender o seguinte:<br />
4.1 Introdução<br />
o Como obter a resposta no domínio do tempo a partir da função<br />
de transferência;<br />
o Como usar pólos e zeros para determinar quantitativamente a<br />
resposta de um sistema de controle;<br />
o Como descrever quantitativamente a resposta transitória de<br />
sistemas de primeira e segunda ordem;<br />
o Como aproximar sistemas de ordem maior por sistemas de<br />
primeira e segunda ordem;<br />
o Como visualizar os efeitos de não-linearidades na resposta de<br />
sistemas no domínio do tempo;<br />
o Como obter a resposta no domínio do tempo a partir da repre-<br />
sentação no espaço de estados.<br />
No Cap. 2 mostramos como as funções de transferência podem repre-<br />
sentar sistemas lineares e invariantes no tempo.<br />
No Cap. 3 os sistemas foram representados diretamente no domínio do<br />
tempo por intermédio das equações de estado e de saída.<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 18T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Depois que o engenheiro obtém uma representação de um subsistema,<br />
este é analisado através das respostas transitória e de estado estacionário<br />
para ver se estas características conduzem ao comportamento desejado.<br />
Este capítulo se destina à análise da resposta transitória de sistemas.<br />
Depois de descrever uma ferramenta valiosa de análise e de projeto, pó-<br />
los e zeros, começaremos a analisar nossos modelos para obter a respos-<br />
ta ao degrau de sistemas de primeira e de segunda ordem.<br />
A ordem se refere à ordem da equação diferencial equivalente que re-<br />
presenta o sistema – a ordem do denominador da função de transferên-<br />
cia depois do cancelamento de fatores comuns com o numerador ou o<br />
número de equações diferenciais de primeira ordem simultâneas neces-<br />
sárias para a representação no espaço de estados.<br />
4.2 Pólos, zeros e resposta do sistema.<br />
A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a respos-<br />
ta forçada ou em regime estacionário e a resposta natural ou transitó-<br />
ria.<br />
Embora diversas técnicas, como a solução de equações diferenciais ou a<br />
aplicação da transformada de Laplace inversa, permitam calcular essas<br />
respostas, tais técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo.<br />
A produtividade é favorecida pelas técnicas de análise e projeto que<br />
produzam resultados com um mínimo de tempo.<br />
Se a técnica for tão rápida que seja possível obter o resultado desejado<br />
por inspeção, usamos algumas vezes o atributo qualitativo para descre-<br />
ver o método.<br />
O uso de pólos e zeros e de sua relação com a resposta de sistemas no<br />
domínio do tempo é uma dessas técnicas.<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 18T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Pólos de uma função de transferência<br />
Os pólos de uma função de transferência são os valores da variável, s ,<br />
da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferên-<br />
cia se torne infinita.<br />
Zeros de uma função de transferência<br />
Os zeros de uma função de transferência são os valores da variável, s ,<br />
da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferên-<br />
cia se torne igual a zero.<br />
Pólos e zeros de um sistema de primeira ordem: um exemplo<br />
Exercício<br />
1. (NISE, 2002, p. 124) Dada a função de transferência G () s da Figura 1,<br />
pede-se:<br />
Figura 1 - Sistema mostrando entrada e saída (NISE, 2002).<br />
(a) Determine os pólos e zeros deste sistema.<br />
(b) Localize os pólos e zeros no plano complexo. Usa-se um ‘×’ para loca-<br />
lizar pólos e ‘ο’ para localizar zeros.<br />
(c) Utilizando a transformada de Laplace inversa, determine a resposta ao<br />
degrau do sistema.<br />
(d) Especifique a resposta em regime estacionário e a resposta transitória.<br />
Com base no desenvolvimento do Exercício 1, resumido na Figura 2,<br />
pode-se concluir que:<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 18T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 2 - Evolução de uma resposta de sistema. Siga as setas voltadas para<br />
baixo para ver a evolução dos componentes da resposta gerada pelo pólo ou<br />
pelo zero. (NISE, 2002).<br />
I. Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada ou em<br />
regime permanente (isto é, o pólo na origem gerou a função degrau na<br />
saída).<br />
II. Um pólo da função de transferência gera a forma da resposta natural ou<br />
t<br />
transitória (isto é, o pólo em -5 gerou e 5 − ).<br />
III. Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma<br />
t<br />
e α − , em que − α é a localização do pólo sobre o eixo real. Assim, quan-<br />
to mais a esquerda fique situado o pólo sobre o eixo real negativo, tanto<br />
mais rápido será o decaimento da resposta transitória exponencial para<br />
zero.<br />
IV. Os pólos e zeros geram as amplitudes para ambas as respostas, natu-<br />
ral e forçada.<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 18T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Exercícios<br />
2. (NISE, 2002, p. 126) Dado o sistema da Figura 4, escrever a saída c ( t)<br />
,<br />
em termos genéricos. Especificar as partes forçada e natural da solução.<br />
Figura 3 - Sistema para o Exercício 2 (NISE, 2002).<br />
3. (NISE, 2002, p. 126) Um sistema possui uma função de transferência<br />
10<br />
()<br />
( s + 4)(<br />
s + 6)<br />
G s =<br />
. Escrever, por inspeção, a saída, c () t , em<br />
( s + 1)(<br />
s + 7)(<br />
s + 8)(<br />
s + 10)<br />
termos genéricos, se a entrada for um degrau unitário.<br />
4. (NISE, 2002, p. 169) Em um sistema com uma entrada e uma saída, que<br />
pólos geram a resposta em estado estacionário?<br />
5. (NISE, 2002, p. 169) Em um sistema com uma entrada e uma saída, que<br />
pólos geram a resposta transitória?<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 19T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 19T – Sistemas de primeira ordem<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos,<br />
c2004. 695 p. ISBN 8521613016 Páginas 127-129.<br />
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron<br />
Books, c1997. 558 p. : il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3 Páginas 135-140.<br />
4.3. Sistemas de primeira ordem<br />
Um sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de<br />
transferência mostrada na Figura 1(a).<br />
Figura 1 - a. Sistema de primeira ordem; b. gráfico do pólo (NISE, 2002).<br />
1<br />
Se a entrada for um degrau unitário, ou seja, R()<br />
s = , a transformada da saí-<br />
s<br />
da, C () s , será:<br />
C<br />
a<br />
= = .<br />
s<br />
() s R()<br />
s ⋅G()<br />
s<br />
1<br />
( s + a)<br />
Aplicando a transformada de Laplace inversa, obtemos a resposta ao degrau<br />
que é dada por:<br />
c<br />
−at<br />
() t c ( t)<br />
+ c ( t)<br />
= − e<br />
= 1 (1)<br />
f<br />
n<br />
em que o pólo da entrada situado na origem gerou a resposta forçada c = 1 e o<br />
−at<br />
pólo do sistema em − a , gerou a resposta natural c ( t)<br />
= −e<br />
.<br />
A Figura 2 mostra um gráfico de c ( t)<br />
.<br />
n<br />
f
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 19T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 2 - Resposta de um sistema de primeira ordem a um degrau unitário (NI-<br />
Observe que quando<br />
1<br />
t = ,<br />
a<br />
⎞<br />
c⎜<br />
⎟ = 1−<br />
e<br />
⎝ a ⎠<br />
SE, 2002).<br />
1<br />
⎛ 1 −a<br />
a<br />
−1<br />
= 1−<br />
e<br />
2<br />
= 1−<br />
0,<br />
37<br />
=<br />
0,<br />
63<br />
. (2)<br />
Usamos agora as equações acima para definir três especificações da resposta<br />
transitória.<br />
Constante de tempo<br />
1<br />
Chamamos de constante de tempo da resposta.<br />
a<br />
Com base na Eq.(2), a constante de tempo é o tempo necessário para que a<br />
resposta ao degrau alcance 63% do seu valor final.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 19T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Como a derivada de c () t é igual a a para t = 0 , a é a taxa inicial de variação<br />
da exponencial em t = 0 .<br />
Portanto, a constante de tempo pode ser considerada uma especificação da<br />
resposta transitória de um sistema de primeira ordem, uma vez que está rela-<br />
cionada com a velocidade com que o sistema responde a uma entrada em de-<br />
grau.<br />
Tempo de subida, ( T R )<br />
O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de<br />
onda vá de 0,1 a 0,9 do seu valor final.<br />
O tempo de subida é obtido resolvendo a Eq. (2) para a diferença entre os<br />
valores de t para os quais c ( t)<br />
= 0,<br />
9 e ( t)<br />
= 0,<br />
1<br />
Exercício<br />
T R<br />
3<br />
c . Portanto,<br />
2,<br />
31 0,<br />
11 2,<br />
2<br />
= − = (3)<br />
a a a<br />
1. A partir da definição de T R , deduza a Eq. (3).<br />
Tempo de assentamento ( T S )<br />
O tempo de assentamento é definido como o tempo necessário para que a<br />
resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor final e aí<br />
permaneça. Fazendo () t = 0,<br />
98<br />
como:<br />
Exercício<br />
c na Eq. (1), obtemos o tempo de assentamento<br />
T S<br />
4<br />
= (4)<br />
a<br />
2. Demonstre a Eq. (4) a partir da definição de T S .
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 19T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Funções de transferência de primeira ordem obtidas experimentalmente<br />
Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de<br />
transferência de um sistema.<br />
Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identifi-<br />
cáveis facilmente.<br />
Com uma entrada degrau, podemos medir a constante de tempo e o valor do<br />
estado estacionário, a partir de cujos valores podemos calcular a função de<br />
transferência.<br />
Considere um sistema de primeira ordem,<br />
cuja resposta ao degrau é:<br />
C<br />
() s<br />
G<br />
() s<br />
K<br />
= ,<br />
s + a<br />
( s + a)<br />
s s + a<br />
4<br />
K<br />
a<br />
K<br />
a<br />
K<br />
= = − .<br />
s<br />
Se pudermos identificar os valores de K e de a a partir de ensaios em labora-<br />
tório, poderemos obter a função de transferência do sistema.<br />
Exercício<br />
3. Suponha que um sistema de primeira ordem tenha a resposta dada na Figura<br />
3. Determine sua função de transferência.<br />
Figura 3 - Resultados de laboratório de um ensaio com resposta de um sistema<br />
ao degrau (NISE, 2002).
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 19T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
4. (NISE, 2002, p. 129) Um sistema possui uma função de transferência<br />
50<br />
=<br />
s + 50<br />
o tempo de subida, T R .<br />
G () s . Obter a constante de tempo, T C , o tempo de assentamento T S e<br />
5. (NISE, 2002, p. 170) Determine a tensão no capacitor do circuito mostrado<br />
na Figura 4 quando a chave fechar em t = 0 . Admita condições iniciais nulas.<br />
Determine também a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de as-<br />
sentamento para a tensão no capacitor.<br />
Figura 4 – (NISE, 2002).<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 21T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 21T – Sistemas de segunda ordem: Introdução<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos,<br />
c2004. 695 p. ISBN 8521613016. Páginas 129-133.<br />
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron<br />
Books, c1997. 558 p. : il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3. Páginas 140-143.<br />
4.4. Sistemas de segunda ordem: introdução<br />
Comparando com a simplicidade dos sistemas de primeira ordem, os siste-<br />
mas de segunda ordem apresentam uma ampla gama de respostas que deve<br />
ser analisada e descrita.<br />
Enquanto nos sistemas de primeira ordem a variação de um parâmetro muda<br />
simplesmente a velocidade da resposta, as mudanças nos parâmetros do sis-<br />
tema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta.<br />
Exemplos numéricos das respostas dos sistemas de segunda ordem são mos-<br />
trados na Figura 1.<br />
Todos os exemplos são deduzidos a partir da Figura 1(a), o caso geral que<br />
tem dois pólos finitos e nenhum zero.<br />
A resposta ao degrau pode ser encontrada usando ( s)<br />
G(<br />
s)<br />
R(<br />
s)<br />
1<br />
R<br />
s<br />
transformada de Laplace inversa.<br />
1<br />
C = , em que<br />
() s = , seguida de uma expansão em frações parciais e da aplicação da<br />
Resposta superamortecida, Figura 1(b).<br />
Para esta resposta,<br />
9<br />
C () s =<br />
=<br />
.<br />
s<br />
2 ( s + 9s<br />
+ 9)<br />
s(<br />
s + 7,<br />
854)(<br />
s + 1,<br />
146)<br />
Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada degrau unitário e<br />
dois pólos reais provenientes do sistema.<br />
A saída é escrita como<br />
9
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 21T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Superamortecido<br />
Subamortecido<br />
Figura 1 - Sistemas de segunda ordem, gráficos de pólos e respostas ao degrau<br />
(NISE, 2002).<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 21T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
c<br />
() t<br />
−7,<br />
854t<br />
−1,<br />
146t<br />
= K1<br />
+ K 2e<br />
+ K 3e<br />
.<br />
Esta resposta, mostrada na Figura 1(b) é chamada superamortecida.<br />
Resposta subamortecida, Figura 1(c).<br />
Para esta resposta,<br />
9<br />
C () s =<br />
.<br />
s<br />
2 ( s + 2s<br />
+ 9)<br />
Esta função possui um pólo na origem em degrau unitário e dois pólos com-<br />
plexos provenientes do sistema.<br />
Os pólos que geram a resposta natural são s = −1+<br />
j 8 . Assim, C () s pode ser<br />
expandida como:<br />
C<br />
() s<br />
A B C<br />
= + + .<br />
s s + 1− j 8 s + 1+<br />
j 8<br />
A linha (10b) da Tabela 2.1 da Aula 4T fornece o seguinte par transformado:<br />
re<br />
−at<br />
jθ<br />
− jθ<br />
0,<br />
5re<br />
0,<br />
5re<br />
cos ( bt + θ ) ↔ + . (1)<br />
s + a − jb s + a + jb<br />
Assim, a forma geral da resposta ao degrau será:<br />
c<br />
() = + ( + θ )<br />
−t<br />
t K K e cos 8t<br />
1 2<br />
.<br />
A parte real do pólo coincide com o decaimento exponencial da senóide en-<br />
quanto a parte imaginária do pólo coincide com a freqüência da oscilação se-<br />
noidal.<br />
A esta freqüência da senóide é dado o nome de freqüência amortecida, ω d .<br />
A Figura 2 mostra uma resposta senoidal amortecida genérica de um sistema<br />
de segunda ordem.<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 21T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 2 - Componente da resposta ao degrau de sistema de segunda ordem ge-<br />
rados por pólos complexos (NISE, 2002).<br />
Chamamos este tipo de resposta de resposta subamortecida.<br />
Exercício<br />
1. (NISE, 2002, p. 131) Escreva, por inspeção, a forma da resposta ao degrau do<br />
sistema da Figura 3.<br />
Figura 3 – Sistema para o Exercício 1 (NISE, 2002).<br />
Voltaremos à resposta subamortecida do sistema nas próximas aulas em que<br />
iremos generalizar a discussão e deduzir alguns resultados que relacionam a<br />
posição do pólo a outros parâmetros da resposta.<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 21T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Resposta sem amortecimento, Figura 1(d).<br />
Para esta resposta,<br />
() s<br />
=<br />
s s<br />
2 ( + 9)<br />
5<br />
9<br />
C .<br />
Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitá-<br />
rio e dois pólos imaginários puros provenientes do sistema. Expandindo,<br />
C<br />
() s<br />
A B C<br />
+ +<br />
s s + j3<br />
s − j3<br />
= .<br />
Usando novamente (1) com a = 0 , obtemos a resposta genérica neste caso:<br />
() t = A + cos ( t + θ )<br />
c 3<br />
Este tipo de resposta, mostrado na Figura 1(d) é chamado sem amortecimen-<br />
to.<br />
Resposta criticamente amortecida, Figura 1(e).<br />
Para esta resposta,<br />
9<br />
9<br />
C () s =<br />
= .<br />
s<br />
( ) ( ) 2<br />
2<br />
s + 6s<br />
+ 9 s s + 3<br />
Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitá-<br />
rio e dois pólos reais e iguais provenientes do sistema.<br />
Expandindo,<br />
Assim,<br />
c<br />
() t<br />
=<br />
K<br />
K<br />
K<br />
()<br />
( ) 2<br />
1 2<br />
3<br />
C s = + + .<br />
s s + 3 s + 3<br />
K<br />
1<br />
+<br />
K<br />
2<br />
e<br />
− 3t<br />
+<br />
Este tipo de resposta, mostrado na Figura 1(e) é chamada criticamente amor-<br />
tecido.<br />
Respostas criticamente amortecida são as mais rápidas possíveis sem a ultra-<br />
K<br />
3<br />
te<br />
−3t<br />
passagem que é característica da resposta subamortecida.<br />
Resumindo:
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 21T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
1. RESPOSTAS SUPERAMORTECIDAS<br />
Pólos: reais e diferentes: − σ 1 e − σ 2<br />
c<br />
−σ1t<br />
−σ<br />
2t<br />
Resposta natural: ()<br />
n<br />
t<br />
=<br />
K<br />
1<br />
e<br />
+<br />
6<br />
K<br />
2. RESPOSTAS SUBAMORTECIDAS<br />
Pólos: complexos com parte real não-nula: − σ d + jωd<br />
−σ<br />
d t<br />
Resposta natural: () t = Ae cos ( ω t + φ )<br />
cn d<br />
3. RESPOSTAS SEM AMORTECIMENTO<br />
Pólos: imaginários puros: ± jω1<br />
Resposta natural: () t = Acos<br />
( ω t + φ )<br />
c n 1<br />
4. RESPOSTAS CRITICAMENTE AMORTECIDAS<br />
Pólos: reais e iguais: − σ 1 e − σ 1<br />
c<br />
−σ<br />
1t<br />
−σ<br />
1t<br />
Resposta natural: ()<br />
n<br />
t<br />
=<br />
K<br />
1<br />
e<br />
+<br />
K<br />
As respostas ao degrau para os quatro casos de amortecimento discutidos na<br />
aula estão superpostas na Figura 4.<br />
Figura 4 - Respostas ao degrau de sistemas de segunda ordem para os casos de<br />
2<br />
2<br />
e<br />
te<br />
amortecimento (NISE, 2002).
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 21T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Observe que o caso criticamente amortecido caracteriza a separação entre os<br />
casos superamortecidos e subamortecidos e constitui a resposta mais rápida<br />
sem ultrapassagem.<br />
Exercício<br />
2. (NISE, 2002, p. 133) Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau<br />
para cada uma das seguintes funções de transferência:<br />
400<br />
(a) G () s = 2<br />
s + 12s<br />
+ 400<br />
900<br />
(b) G () s = 2<br />
s + 90s<br />
+ 900<br />
225<br />
(c) G () s = 2<br />
s + 30s<br />
+ 225<br />
625<br />
(d) G<br />
() s = 2<br />
s + 625<br />
7
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 22T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 22T – Sistema de segunda ordem geral<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos,<br />
c2004. 695 p. ISBN 8521613016. Páginas 134-136.<br />
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron<br />
Books, c1997. 558 p.: il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3. Páginas 140-143.<br />
4.5. O sistema de segunda ordem geral<br />
Na aula de hoje vamos definir duas especificações dos sistemas de segunda<br />
ordem com significado físico.<br />
As duas grandezas são chamadas de freqüência natural e relação de amorte-<br />
cimento.<br />
Freqüência natural - ω n<br />
A freqüência natural de um sistema de segunda ordem é a freqüência de os-<br />
cilação do sistema sem amortecimento.<br />
Por exemplo, a freqüência de oscilação de um circuito RLC série com a resis-<br />
tência curto-circuitada será a freqüência natural.<br />
Relação de amortecimento - ζ<br />
A relação de amortecimento ζ é definida como:<br />
freqüência exponencial<br />
de decaimento<br />
ζ =<br />
ou<br />
freqüência natural<br />
1 período natural (s)<br />
ζ = .<br />
2π<br />
constante de tempo exponencial<br />
(s)<br />
Vamos agora relacionar essas grandezas com a forma geral dos sistemas de<br />
2ª ordem:<br />
G<br />
() s<br />
s<br />
1<br />
b<br />
= 2 .<br />
+ as + b<br />
Para um sistema sem amortecimento, teríamos a = 0 e, neste caso,
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 22T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
G<br />
() s<br />
2<br />
s<br />
b<br />
+ b<br />
= 2 .<br />
Por definição, a freqüência natural é a freqüência de oscilação deste sistema.<br />
Como os pólos deste sistema estão sobre o eixo j ω em ± j b ,<br />
Portanto,<br />
b ω .<br />
n =<br />
b ω<br />
= .<br />
Supondo o sistema subamortecido, os pólos complexos possuem uma parte<br />
a<br />
real, σ , igual a − . A magnitude deste valor é então a freqüência de decai-<br />
2<br />
mento exponencial descrita na aula passada. Assim,<br />
a<br />
freqüência exponencial<br />
de decaimento σ<br />
ζ =<br />
= =<br />
2<br />
freqüência natural<br />
ω ω<br />
2<br />
n<br />
a = 2ζω<br />
ou n<br />
Nossa função de transferência genérica finalmente adquire a forma:<br />
Exercício<br />
( )<br />
G s<br />
ω<br />
=<br />
s s<br />
2<br />
n<br />
2 2<br />
+ 2ζωn<br />
+ ωn<br />
. (1)<br />
1. (NISE, 2002, p. 135) Dada a função de transferência a seguir, obter ζ e ω n :<br />
36<br />
G () s = 2<br />
.<br />
s + 4,<br />
2s<br />
+ 36<br />
Calculando os pólos da função de transferência (1), obtemos:<br />
2<br />
s = − ± ω ζ −1<br />
(2)<br />
ζω n n<br />
n<br />
n
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 22T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Desta equação, constatamos que os vários casos da resposta de segunda or-<br />
dem são uma função de ζ e estão resumidos na Figura 1 a seguir.<br />
Figura 1 - Respostas de segunda ordem em função da relação de amortecimento<br />
Exercícios<br />
(NISE, 2002).<br />
2. (NISE, 2002, p. 136) Para cada um dos sistemas mostrados na Figura 2, obter<br />
o valor de ζ e relatar o tipo de resposta esperado.<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 22T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 2 - Sistemas para o Exercício 2 (NISE, 2002).<br />
3. (NISE, 2002, p. 136) Para cada uma das funções de transferência a seguir,<br />
faça o seguinte: (1) obtenha os valores de ζ e ω n ; (2) caracterize a natureza<br />
da resposta.<br />
400<br />
(a) G () s = 2<br />
s + 12s<br />
+ 400<br />
900<br />
(b) G () s = 2<br />
s + 90s<br />
+ 900<br />
225<br />
(c) G () s = 2<br />
s + 30s<br />
+ 225<br />
625<br />
(d) G<br />
() s = 2<br />
s + 625<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 23T – Sistemas de segunda ordem subamortecidos<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 136-145.<br />
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo; Rio de<br />
Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963. Páginas 140-150.<br />
4.6. Sistemas de segunda ordem subamortecidos<br />
Nesta aula, vamos definir especificações associadas ao regime transitório da<br />
resposta subamortecida.<br />
Comecemos obtendo a resposta ao degrau do sistema de segunda ordem ge-<br />
nérico dado por:<br />
( )<br />
G s<br />
ω<br />
=<br />
s s<br />
2<br />
n<br />
2 2<br />
+ 2ζωn<br />
+ ωn<br />
A transformada da resposta, C ( s)<br />
é a transformada da entrada multiplicada<br />
pela função de transferência, ou seja,<br />
( )<br />
C s<br />
ω K<br />
= = +<br />
s s s<br />
2<br />
n<br />
1<br />
2 3<br />
2 2 s<br />
2 2<br />
s + 2ζωns+<br />
ωn<br />
( + 2ζωn<br />
+ ωn)<br />
em que se supõe que ζ < 1 (caso subamortecido).<br />
1<br />
.<br />
Ks+ K<br />
Aplicando a transformada de Laplace inversa, pode-se mostrar que:<br />
1 −ζωnt<br />
2<br />
() t = − e cos(<br />
ω 1−<br />
ζ t − φ )<br />
1<br />
2<br />
(1)<br />
1−<br />
ζ<br />
c n<br />
Com ⎜ ζ<br />
φ = arctan ⎟ .<br />
⎜ 2<br />
1 ζ ⎟<br />
⎛<br />
⎝<br />
−<br />
⎞<br />
⎠<br />
Na Figura 1 aparece um gráfico desta resposta para diversos valores de ζ ,<br />
traçado em função do eixo de tempos normalizado ω nt<br />
. Vemos agora a rela-<br />
ção entre o valor de ζ e o tipo de resposta obtido: quanto menor o valor de<br />
ζ , tanto mais oscilatória será a resposta.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 1 - Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores da rela-<br />
ção de amortecimento (NISE, 2002).<br />
Outros parâmetros associados à resposta subamortecida (Figura 2):<br />
Instante de pico, T P : tempo necessário para alcançar o primeiro valor de pico<br />
(máximo).<br />
Ultrapassagem percentual % UP : o quanto a forma de onda no instante de<br />
pico ultrapassa o valor de regime estacionário, final, expresso como uma<br />
porcentagem do valor de estado estacionário.<br />
Tempo de assentamento, T S : tempo necessário para que as oscilações amor-<br />
tecidas do regime transitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa<br />
de valores ± 2%<br />
em torno do valor de estado estacionário.<br />
Tempo de subida, T R : tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a<br />
0,9 do valor final.<br />
Figura 2 – Especificações da resposta de segunda ordem subamortecida (NISE,<br />
2002).<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Cálculo de T P<br />
O valor de T P é encontrado derivando-se c ( t)<br />
na Eq. (1) e obtendo o primeiro<br />
instante de passagem por zero depois de t = 0 .<br />
Efetuando-se essa conta, obtém-se:<br />
Cálculo de % UP<br />
TP<br />
=<br />
ω<br />
n<br />
π<br />
1− ζ<br />
3<br />
2<br />
. (2)<br />
Com base na Figura 2, a ultrapassagem percentual, % UP é dada por:<br />
%<br />
=<br />
c<br />
max<br />
c<br />
− c<br />
final<br />
final<br />
× 100<br />
UP . (3)<br />
O termo c max é obtido calculando-se o valor de c ( t)<br />
no instante de pico, c ( T ) .<br />
Usando a Eq. (2) para T p e substituindo na Eq. (1), vem:<br />
⎛<br />
−<br />
⎜<br />
ζπ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎛<br />
−<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
ζπ ⎞<br />
⎟<br />
2 ⎟<br />
1−ζ<br />
⎠<br />
1 ⎜ 2 ⎟<br />
⎝ 1−ζ<br />
⎠<br />
cmax = c(<br />
TP<br />
) = 1−<br />
e cos(<br />
π −φ<br />
) = 1+<br />
e<br />
2<br />
(4)<br />
1−<br />
ζ<br />
Pela resposta ao degrau, calculada na Eq. (1),<br />
c = 1.<br />
(5)<br />
final<br />
Substituindo as Equações (4) e (5) na Eq. (3), obtemos:<br />
⎛<br />
−<br />
⎜<br />
⎜<br />
ζπ<br />
1−ζ<br />
⎝ ⎠<br />
% UP = e × 100 (6)<br />
Observe que a ultrapassagem percentual é uma função somente da relação de<br />
amortecimento ζ .<br />
Enquanto a Eq. (6) permite que se calcule o valor de % UP dada a relação de<br />
amortecimento ζ , o inverso da equação permite que se calcule o valor de ζ<br />
dada a ultrapassagem porcentual % UP . O inverso é dado por:<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
p
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
⎛ % UP ⎞<br />
− ln⎜<br />
⎟<br />
⎝ 100<br />
ζ =<br />
⎠<br />
.<br />
2 2⎛<br />
% UP ⎞<br />
π + ln ⎜ ⎟<br />
⎝ 100 ⎠<br />
Um gráfico da Eq. (6) está mostrado na Figura 3.<br />
Figura 3 – Ultrapassagem percentual em função da relação de amortecimento<br />
Cálculo de T S<br />
(NISE, 2002).<br />
O tempo de assentamento é o tempo necessário para que a amplitude da se-<br />
nóide amortecida na Eq. (1) alcance o valor 0,02, ou seja,<br />
e<br />
−ζω<br />
t<br />
Resolvendo esta equação, obtemos:<br />
TS<br />
n<br />
1<br />
1−<br />
ζ<br />
4<br />
2 =<br />
0,<br />
02<br />
( ζ ) 2<br />
0,<br />
02 1<br />
ln −<br />
−<br />
ζω<br />
= .<br />
O numerador desta expressão varia de 3,91 a 4,74 à medida que ζ varia de 0<br />
a 0,9. Assim, costuma-se usar a aproximação:<br />
TS<br />
=<br />
4<br />
ζω<br />
n<br />
n<br />
. (7)<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Cálculo de T R<br />
O valor de T R em função de ζ só pode ser obtido numericamente. Estes re-<br />
sultados são mostrados na Figura 4.<br />
Figura 4 - Tempo de subida normalizado versus relação de amortecimento para<br />
Exercício<br />
uma resposta de segunda ordem subamortecida (NISE, 2002).<br />
1. (NISE, 2002, p. 140) Dada a função de transferência:<br />
obter T P , % UP , T S e T R .<br />
100<br />
+ 15s<br />
+ 100<br />
G () s =<br />
,<br />
s<br />
2<br />
Vimos na aula passada que os pólos do sistema de 2ª ordem subamortecidos<br />
são:<br />
2<br />
s = −ζω<br />
n ± ωn<br />
ζ −1<br />
.<br />
Esta localização dos pólos é mostrada na Figura 5.<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 5 - Diagrama de pólos de um sistema de segunda ordem subamortecido<br />
(NISE, 2002).<br />
Vemos, com base no Teorema de Pitágoras, que a distância radial da origem<br />
ao pólo é a freqüência natural ω n e cos θ = ζ .<br />
Comparando as equações (2) e (7) com a localização dos pólos, calculamos o<br />
instante de pico e o tempo de assentamento em termos da localização dos pó-<br />
los. Por conseguinte,<br />
TP<br />
=<br />
ω<br />
TS<br />
n<br />
π<br />
1−<br />
ζ<br />
n<br />
6<br />
2<br />
4 4<br />
= = ,<br />
ζω σ<br />
em que ω d é a parte imaginária do pólo, chamada freqüência amortecida de os-<br />
cilação e σ d é a magnitude da parte real do pólo, chamada freqüência exponen-<br />
cial amortecida.<br />
Exercícios<br />
2. (NISE, 2002, p. 143) Dado o diagrama de pólos mostrado na Figura 6, de-<br />
terminar ζ , ω n , T P , % UP e T S .<br />
d<br />
=<br />
π<br />
ω<br />
d
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 6 - Diagrama de pólos para o Exercício 2 (NISE, 2002).<br />
3. (NISE, 2002, p. 144) Dado o sistema mostrado na Figura 7, obter J e D para<br />
uma ultrapassagem porcentual de 20% e um tempo de assentamento de 2 segundos<br />
para um torque de entrada, T ( t)<br />
, em degrau.<br />
Figura 7 – Sistema mecânico em rotação para o Exercício 3 (NISE, 2002).<br />
Funções de transferência de segunda ordem obtidas experimentalmente<br />
Podemos medir na curva de resposta em laboratório a ultrapassagem percen-<br />
tual e o tempo de assentamento de onde é possível obter os pólos e, conse-<br />
qüentemente, o denominador da função de transferência. O numerador pode<br />
ser obtido a partir do valor medido do estado estacionário.<br />
Exercícios<br />
7
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 23T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
4. (NISE, 2002, p. 145) Obter ζ , ω n , T S , T P , T R e % UP de um sistema cuja fun-<br />
ção de transferência é:<br />
361<br />
+ 16s<br />
+ 361<br />
G () s =<br />
.<br />
s<br />
2<br />
5. (NISE, 2002, p. 171) Determine a função de transferência de segunda ordem<br />
que apresenta uma ultrapassagem de 12,3% e um tempo de assentamento de<br />
1 segundo.<br />
8
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 24T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 24T – Solução das equações de estado através da<br />
Bibliografia<br />
transformada de Laplace<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 156-158.<br />
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2003.<br />
788 p. ISBN 8587918230. Páginas 617-620.<br />
4.10 Solução das equações de estado através da transformada de Laplace<br />
No Capítulo 3, os sistemas foram modelados no espaço de estados, em que a<br />
representação se constituiu em uma equação de estado e em uma equação de<br />
saída.<br />
Nessa aula, usaremos a transformada de Laplace para resolver as equações de<br />
estado a fim de obter os vetores de estado e de saída.<br />
Considere as equações de estado<br />
e de saída<br />
e<br />
ou<br />
(1)<br />
x = Ax + Bu<br />
y = Cx+ Du<br />
. (2)<br />
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação de<br />
estado, resulta<br />
Assim,<br />
s s A s B s<br />
X( ) − x( 0)<br />
= X( ) + U ( ) . (3)<br />
( sI − A) ( s ) = B ( s ) + ( 0)<br />
X U x (4)<br />
−1<br />
⎡ ⎤<br />
⎣ ⎦<br />
X( s) = ( sI − A) ⎢x( 0)<br />
+ BU ( s)<br />
⎥ (5)<br />
Xs<br />
( )<br />
adj<br />
=<br />
det<br />
( sI −A)<br />
( sI A)<br />
1<br />
( 0)<br />
+ B ( s)<br />
⎡ ⎤<br />
⎢⎣ ⎥⎦<br />
− x U . (6)
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 24T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída resulta<br />
Y( s) = CX( s) + DU ( s)<br />
. (7)<br />
Autovalores e pólos da função de transferência<br />
No caso em que o sistema é SISO (Single input single output) e as condições<br />
iniciais são nulas, a função de transferência pode ser obtida substituindo-se (6)<br />
em (7):<br />
( sI −A)<br />
( sI −A)<br />
( − ) + ( − )<br />
det ( − )<br />
adj<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎢ + ⎥ ⇒<br />
det<br />
Ys ( ) C B DUs ( )<br />
Ys<br />
⎡ ⎤<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎥<br />
⎦<br />
Cadj sI AB DdetsI A<br />
( )<br />
=<br />
Us ( )<br />
sI A<br />
2<br />
. (8)<br />
Repare que os pólos da função de transferência, que determinam o compor-<br />
tamento transitório são dados por<br />
( sI A)<br />
det − = 0 . (9)<br />
As raízes de (9) em s são definidas como os autovalores de A .<br />
Desta forma, os autovalores da matriz A fornecem os pólos do sistema.<br />
Exercícios<br />
1. (NISE, 2002, p. 173) Resolva a seguinte equação de estado e de saída para<br />
y( t ) em que u( t ) é o degrau unitário. Use o método da transformada de<br />
Laplace.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 24T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
⎡−2 x= ⎢<br />
⎢−1 ⎣<br />
0 ⎤ ⎡1⎤ ⎥ ⎢ ⎥u(<br />
t)<br />
1⎥ x +<br />
− ⎢1⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦<br />
y = ⎡<br />
⎢0 ⎣<br />
1 ⎤<br />
⎥x; ⎦<br />
⎡1 ⎤<br />
x(<br />
0)<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎢ 0⎥<br />
⎢⎣ ⎥⎦<br />
(a) Resolva para y( t) usando a transformada de Laplace.<br />
(b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema.<br />
3<br />
. (10)<br />
2. (NISE, 2002, p. 158) Dado o sistema representado no espaço de estados pelas<br />
equações:<br />
⎡ 0<br />
x= ⎢<br />
⎢−3 ⎣<br />
2 ⎤ ⎡ 0⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥ −t<br />
e<br />
5⎥<br />
x +<br />
− ⎢1⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦<br />
y = ⎡<br />
⎢1 ⎣<br />
3 ⎤<br />
⎥x; ⎦<br />
⎡2 ⎤<br />
x(<br />
0)<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎢1 ⎥<br />
⎢⎣ ⎥⎦<br />
(a) Resolva para y( t) usando a transformada de Laplace.<br />
(b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema.<br />
(11)<br />
3. (NISE, 2002, p. 157) Dado o sistema representado no espaço de estados por:<br />
⎡<br />
⎢<br />
0<br />
⎢<br />
x= ⎢ 0<br />
⎢<br />
⎢−24 ⎣<br />
1<br />
0<br />
−26 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
1 ⎥x + ⎢0⎥e ⎥ ⎢ ⎥<br />
−9⎥<br />
⎢1⎥ ⎦ ⎣ ⎦<br />
y = ⎡<br />
⎢1 ⎣<br />
1 0 ⎤<br />
⎥x;<br />
⎦<br />
⎡1 ⎤<br />
⎢ ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
x(<br />
0) = ⎢ 0⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢2 ⎥<br />
⎣ ⎦<br />
−t<br />
(12)<br />
(a) Resolva a equação de estados e obtenha a saída para a dada entrada exponen-<br />
cial.<br />
(b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema.
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 25T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Aula 25T – Estudos de casos – resposta a malha aberta<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 164-168.<br />
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron<br />
Books, c1997. 558 p.: il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3. Páginas 135-156.<br />
4.8 Estudos de caso<br />
Neste capítulo, fez-se uso das funções de transferência deduzidas no Capitulo<br />
2 e das equações de estado deduzidas no Capítulo 3 para obter a resposta na<br />
saída de um sistema a malha aberta. Mostrou-se também a importância dos<br />
pólos de um sistema na determinação da resposta transitória.<br />
O estudo de caso a seguir utiliza esses conceitos para analisar a malha aberta<br />
do sistema de controle de posição de uma antena em azimute.<br />
Exercícios<br />
1. (NISE, 2002, p. 164) Para o diagrama esquemático do sistema de controle de<br />
posição em azimute discutido na Aula 12T (configuração 1) e reproduzido na<br />
Figura 1, suponha um sistema em malha aberta (canal de retroação desconec-<br />
tado).<br />
Figura 1 – Sistema de posicionamento em azimute (NISE; 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 25T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Faça o seguinte:<br />
(a) prever, por inspeção, a forma da velocidade angular de saída a um degrau de<br />
tensão na entrada do amplificador;<br />
(b) encontrar a relação de amortecimento e a freqüência natural do sistema a ma-<br />
lha aberta;<br />
(c) deduzir a expressão analítica completa para a resposta da velocidade angular<br />
da carga em malha aberta a um degrau de tensão na entrada do amplificador,<br />
usando as funções de transferência;<br />
(d) obter as equações de estado e de saída a malha aberta.<br />
2. (NISE, 2002, p. 168) No mar, os navios são submetidos a movimento segun-<br />
do o eixo de rolamento, como mostrado na Figura 2. Superfícies que se proje-<br />
tam lateralmente, chamadas estabilizadores, são usadas para reduzir este mo-<br />
vimento de rolamento. Os estabilizadores podem ser posicionados por um<br />
sistema de controle a malha fechada que consiste em componentes como os<br />
atuadores e sensores dos estabilizadores, bem como na dinâmica do rolamen-<br />
to do navio. Admita que a dinâmica do rolamento, que relaciona o ângulo de<br />
rolamento de saída, Θ ( s ) , a um torque perturbador de entrada T ( )<br />
D s seja<br />
Θ(<br />
s ) 2, 25<br />
=<br />
( ) 2<br />
. (1)<br />
T s s + 0, 5s + 2, 25<br />
D<br />
Figura 2 - Eixo de rolamento de uma embarcação (NISE, 2002).<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 25T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Faça o seguinte:<br />
(a) determine a freqüência natural, a relação de amortecimento, o instante de pi-<br />
co, o tempo de assentamento, o tempo de subida e a ultrapassagem percentual;<br />
(b) determine a expressão analítica para a resposta da saída a um torque degrau<br />
unitário na entrada.<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 25T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Aula 26T – Redução de sistemas múltiplos:<br />
Bibliografia<br />
Associação em cascata e em paralelo<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 179-182.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 48-52.<br />
CAPÍTULO 5 – REDUÇÃO DE DIAGRAMAS DE BLOCOS<br />
Neste capítulo, aborda-se<br />
Figura 1 - O ônibus espacial é constituído de diversos subsistemas. (NISE,<br />
2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 25T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Figura 2 – Componentes de um diagrama de blocos de um sistema linear invari-<br />
ante no tempo (NISE, 2002).<br />
Figura 3 – (a) Subsistemas em cascata; (b) função de transferência equivalente.<br />
(NISE, 2002).<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 25T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Figura 4 - (a) Subsistemas em paralelo; (b) função de transferência equivalente.<br />
(NISE, 2002).<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 27T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Aula 27T – Associação com retroação<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 182-189.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 48-52.<br />
5.2.2 Associação com retroação<br />
O sistema com retroação típico, descrito detalhadamente no Capítulo 1, está<br />
mostrado na Figura 1(a); um modelo simplificado está mostrado na Figura<br />
1(b).<br />
Figura 1 - a. Sistemas de controle com retroação; b. modelo simplificado; c.<br />
função de transferência equivalente (NISE, 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 27T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
• Pensando em termos do modelo simplificado,<br />
E( s) = R( s) ∓ C( s) H( s)<br />
. (1)<br />
• Mas como C( s) = G( s) E( s)<br />
,<br />
C( s)<br />
E( s)<br />
= . (2)<br />
G( s)<br />
• Substituindo a Eq. (2) na Eq. (1) e determinando a função de transferência<br />
C( s)<br />
= G ( )<br />
e s , obtém-se a função de transferência equivalente, ou a malha<br />
R( s )<br />
fechada, mostrada na Figura 1(c),<br />
G( s)<br />
G ( )<br />
e s = (3)<br />
1 ± G( s) H( s)<br />
• O produto G( s) H( s ) na Eq. (3) é chamado de função de transferência a ma-<br />
lha aberta ou ganho de malha.<br />
5.2.3 Movendo blocos para criar formas conhecidas<br />
• A Figura 2 mostra diagramas de blocos equivalentes formados ao se desloca-<br />
rem funções de transferência à esquerda e à direita de uma junção somadora e<br />
a Figura 3 mostra diagramas de blocos equivalentes formados ao se desloca-<br />
rem funções de transferência à esquerda e à direita de um ponto de coleta do<br />
sinal.<br />
Exercícios<br />
1. (NISE; 2002, p. 185) Reduzir o diagrama de blocos mostrado na Figura 4 a<br />
uma única função de transferência.<br />
2. (NISE; 2002, p. 221) Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura 5 a<br />
C( s)<br />
uma única função de transferência T( s)<br />
= .<br />
R( s)<br />
3. (NISE; 2002, p. 223) Para o sistema mostrado na Figura 6, determinar a saída<br />
c( t ) se a entrada r( t ) for um degrau unitário.<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 27T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Figura 2 - Álgebra de diagrama de blocos para junções de soma – formas equi-<br />
valentes de deslocar um bloco a. à esquerda da junção somadora; b. à direita da<br />
junção somadora (NISE, 2002).<br />
4. (NISE; 2002, p. 223) Para o sistema mostrado na Figura 7, determinar a ul-<br />
trapassagem percentual, o tempo de assentamento e o instante de pico para<br />
uma entrada degrau se a resposta for subamortecida. (Será? Por quê?)<br />
5. (NISE; 2002, p. 223) Para o sistema mostrado na Figura 8, determinar o valor<br />
de k para o qual a resposta a um degrau unitário apresenta 20% de ultrapas-<br />
sagem.<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 27T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Figura 3 – Álgebra de diagrama de blocos para junções de aquisição de sinais –<br />
formas equivalentes de deslocar um bloco a. à esquerda da junção de aquisição<br />
de sinais; b. á direita da junção de aquisição de sinais (NISE; 2002).<br />
Figura 4 – Diagrama de blocos do Exercício 1 (NISE, 2002).<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 27T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Figura 5 – Diagrama de blocos do Exercício 2 (NISE, 2002).<br />
Figura 6 – Diagrama de blocos do Exercício 3 (NISE, 2002).<br />
Figura 7 – Diagrama de blocos do Exercício 4 (NISE, 2002).<br />
Figura 8 – Diagrama de blocos do Exercício 5 (NISE, 2002).<br />
5
<strong>Universidade</strong> <strong>Presbiteriana</strong> <strong>Mackenzie</strong><br />
Curso de Engenharia Elétrica<br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
Laboratório<br />
Prof. Marcio Eisencraft<br />
Segundo semestre de 2006
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 1P - Comandos básicos do Matlab aplicados a Automa-<br />
ção e <strong>Controle</strong><br />
Bibliografia<br />
HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto alegre: Bookman, 2001. 668 p. : il. (algumas<br />
ISBN 8573077417). Páginas 71-76.<br />
MITRA, Sanjit K. Digital signal processing : a computer-based approach. 2nd ed. Boston: McGraw-<br />
Hill, c2001. 866 p. : il. ; 24 cm ISBN 0072321059.Páginas 70-76.<br />
1. Introdução<br />
O Matlab é uma ferramenta muito útil no estudo de problemas e no desenvolvimento<br />
de projetos em Engenharia sendo utilizado em universidades e empresas ao redor do<br />
mundo.<br />
Na área de Engenharia de Produção e, mais precisamente, em projetos de Automação<br />
e <strong>Controle</strong> vem adquirindo um caráter quase fundamental.<br />
O principal motivo deste sucesso é a utilização maciça de vetores e matrizes para<br />
representar dados de uma forma simples (Matlab = Matrix Laboratory). Esta forma de representação<br />
praticamente elimina a necessidade de utilização de laços FOR ou WHILE<br />
simplificando e acelerando muito os programas. EM OUTRAS PALAVRAS, EM MA-<br />
TLAB, SEMPRE QUE POSSÍVEL (OU SEJA, QUASE SEMPRE!) NÃO UTILIZE LA-<br />
ÇOS FOR OU WHILE!<br />
O objetivo desta aula é (re) ver alguns conceitos básicos de programação em Matlab.<br />
Durante o curso veremos muitos outros detalhes técnicos.<br />
Lembre-se: sempre que você ficar na dúvida sobre a utilização de um comando, a<br />
função pode lhe ajudar.<br />
2. Gerando vetores<br />
2.1. O operador :<br />
O operador : é utilizado para gerar e acessar elementos de um vetor.<br />
Vetor = valor inicial: passo: valor final<br />
Quando o passo é unitário, ele pode ser omitido.<br />
• Exemplos de utilização<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
a. gerar um vetor x com os números inteiros de zero a cinco<br />
>> x = 0:5<br />
x =<br />
0 1 2 3 4 5<br />
b. gerar um vetor y indo de 0 a 1 com passo de 0.1.<br />
>> y = 0:0.1:1<br />
y =<br />
0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000<br />
0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000<br />
c. mostrar o segundo elemento do vetor x<br />
>> x(2)<br />
ans =<br />
1<br />
Exercício<br />
1. Gerar um vetor x de números pares de 0 a 50.<br />
Comandos:<br />
2.2. A função linspace<br />
A função linspace é uma forma prática de se gerar vetores quando sabemos<br />
quantos pontos ele deve ter.<br />
Vetor = linspace (valor inicial, valor final, no. de pontos)<br />
• Exemplos de utilização<br />
a. Gere um vetor de 1000 pontos com valores entre zero e 1igualmente espaçados.<br />
>> v = linspace(0,1,1000);<br />
b. Repita o exercício anterior, mas com os valores em ordem decrescente.<br />
>> v = linspace(1,0,1000);<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Exercício<br />
2. Gere um vetor x de 5000 pontos com valores entre 0 e 2*pi.<br />
Comandos:<br />
2.3. Vetores especiais<br />
Existem vetores pré-definidos pelo Matlab e que são muito úteis. Dois deles são o<br />
ones(num.linhas, num.colunas) e o zeros(num.linhas,<br />
num.colunas) que geram, como os nomes dizem, vetores constituídos de uns e de zeros<br />
respectivamente.<br />
• Exemplos de aplicação<br />
a. Gere um vetor constituído de 10 zeros.<br />
>> x = zeros(1,10)<br />
x =<br />
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
b. Gere um vetor constituído por 5000 uns.<br />
>> y = ones(1,5000);<br />
Exercício<br />
3. Gere uma matriz 2x2 constituída por zeros.<br />
Comandos:<br />
2.4. Concatenação de vetores<br />
Uma ferramenta muito interessante do Matlab é a possibilidade de combinar vetores<br />
para formar outros (concatenar vetores). Veja os seguintes exemplos.<br />
• Exemplos de aplicação:<br />
a. Gere um vetor de cinco zeros seguidos por cinco uns.<br />
>> vector = [zeros(1,5) ones(1,5)]<br />
vector =<br />
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
b. Gere um vetor contendo os números inteiros entre zero e 10 em ordem crescente seguidos<br />
pelos mesmos em ordem decrescente.<br />
>> x = [0:10 10:-1:0]<br />
x =<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0<br />
Exercício<br />
4. Construa um vetor constituído pelos números pares de 0 a 10 seguido pelos números<br />
ímpares de 0 a 10.<br />
Comandos:<br />
2.5. Operações entre vetores<br />
O Matlab permite somar (+), subtrair (-), multiplicar (.*) , dividir (./) vetores. Essas<br />
operações são realizadas elemento a elemento e só podem ser aplicadas entre vetores de<br />
mesmo comprimento.<br />
Além disso, quase todas as suas funções (trigonométricas, exponenciais e outras)<br />
podem ser aplicadas a um vetor sendo que elas operam também elemento a elemento.<br />
• Exemplos de aplicação<br />
a. Sendo x = [2 3 7] e y = [0 -1 3] escreva a resposta de cada um desses co-<br />
mandos executados no Matlab.<br />
I) x + y [2 2 10]<br />
ii) x – y [2 4 4]<br />
iii) x.*y [0 -3 21]<br />
b. Como gerar a partir do vetor x = 0:0.001:1 um vetor com números de 1 a 11?<br />
V = 10*x+1<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Exercício<br />
5. Sendo x = [2.1 -2 3] e y = [0 -1 3], escreva o vetor resultante das seguin-<br />
tes operações:<br />
i) x+y ii) x-y iii) 3*x iv) x.*y<br />
v) x./y vi) y./x vii) y.^2 viii) x.^y<br />
Respostas:<br />
3. Gráficos<br />
Uma outra característica muito interessante do Matlab para um engenheiro é a facilidade<br />
de se construir gráficos complicados com ele de uma maneira muito simples. O comando<br />
mais utilizado é:<br />
plot(vetor.abscissa, vetor.ordenada, ‘modo’);<br />
O comando plot traça um gráfico colocando seu primeiro argumento no eixo hori-<br />
zontal e seu segundo argumento no eixo vertical. A “string” ‘modo’ indica a forma como o<br />
gráfico será traçado. Veja help plot para mais detalhes.<br />
Stem traça um gráfico da seqüência em seu segundo argumento como palitos com<br />
círculos no valor dos dados usando seu primeiro argumento como abscissa. Veja os exemplos.<br />
• Exemplo de aplicação<br />
a. Faça um gráfico da função sin(x)<br />
y = para x ∈[<br />
0,<br />
4π<br />
]<br />
>> x = linspace(0,4*pi,5000);<br />
>> y = sin(x);<br />
>> plot(x,y)<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Alguns comandos interessantes:<br />
I) grid – coloca linhas de grade no gráfico<br />
ii) title – permite acrescentar um título ao gráfico<br />
iii) xlabel - permite acrescentar um título no eixo das abscissas<br />
iv) ylabel - permite acrescentar um título no eixo das ordenadas<br />
v) hold on – não apaga o gráfico atual antes de fazer o seguinte<br />
Exercícios<br />
y x = sin x e ( ) ( ) 2<br />
z x = cos x para ∈ [ − 4π<br />
, 4π<br />
]<br />
ra. O gráfico de y ( x)<br />
deverá ficar em azul e o de z ( x)<br />
em vermelho.<br />
6. Faça um gráfico de ( ) ( ) 2<br />
Comandos:<br />
6<br />
x na mesma figu
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
4. Scripts<br />
Até este ponto, todas as nossas interações com o Matlab têm sido através da linha de<br />
comando. Entramos comandos ou funções na linha de comando e o Matlab interpreta<br />
nossa entrada e toma a ação apropriada. Este é o modo de operação preferencial quando<br />
nossa sessão de trabalho é curta e não repetitiva.<br />
No entanto, o real poder do Matlab para análise e projeto de sistemas vêm da sua habilidade<br />
de executar uma longa seqüência de comandos armazenados num arquivo. Estes<br />
arquivos são chamados de arquivos-M porque seus nomes têm a forma nomearq.m.<br />
Um script é um tipo de arquivo-M. Scripts são arquivos-textos comuns e podem ser<br />
criados usando um editor de texto.<br />
Um script é uma seqüência de comandos e funções comuns usados na linha de comando.<br />
Uma vez criado, ele é invocado na linha de comando digitando-se o nome do arquivo.<br />
Quando isso ocorre, o Matlab executa os comandos e funções no arquivo como se<br />
eles tivessem sido digitados diretamente na linha de comando.<br />
Suponha por exemplo que desejemos fazer um gráfico da função y() t = sinαt<br />
em que<br />
α é uma variável que queremos variar.<br />
Usando o editor de texto do Matlab (basta ditar edit na linha de comando), podemos<br />
escrever um script chamado plotdata.m como mostrado a seguir.<br />
% Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t)<br />
% O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes<br />
% de se chamar este script<br />
t = 0:0.01:1;<br />
y = sin(alfa*t);<br />
plot(t,y);<br />
xlabel ('tempo(s)');<br />
ylabel('y(t) = sin(\alpha t)');<br />
grid on;<br />
É importante salvar o scritpt no mesmo diretório em que se está trabalhando na linha de<br />
comando. Caso contrário, ao tentar executar o script o Matlab não encontrará o arquivo<br />
e exibirá uma mensagem de erro. Este erro é muito comum quando estamos começando<br />
a trabalhar com scripts.<br />
Uma vez digitado e salvo é muito fácil utilizar o script. Veja os exemplos a seguir:<br />
7
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
>> alfa = 50;<br />
>> plotdata<br />
>> alfa = 10;<br />
>> plotdata<br />
Ao escrever scripts é sempre interessante utilizar comentários, linhas que começam<br />
com %. Se você escrever linhas de comentário antes do começo das instruções do script<br />
ao utilizar o comando help nomearq o Matlab apresenta estas linhas na tela. Por<br />
exemplo,<br />
>> help plotdata<br />
Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t)<br />
O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes<br />
de se chamar este script<br />
5. Funções<br />
Assim como os scripts, as funções definidas pelo usuário estão entre os recursos mais<br />
importantes e utilizados do Matlab. Uma função é um script que recebe um ou mais parâmetros<br />
do teclado e pode devolver um ou mais parâmetros ou executar uma tarefa.<br />
8
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
O formato de uma função no Matlab é o seguinte<br />
function [outarg1, outarg2,...] = fname(inarg1, inarg2,...)<br />
% Um comentário<br />
% Mais um comentário<br />
....<br />
(código executável)<br />
....<br />
fname é o nome da função criada e deve ser o nome do arquivo m em que foi gravado<br />
o arquivo. inarg1, inarg2,... são os argumentos de entrada e outarg1,<br />
outarg2,... são os argumentos de saída.<br />
A seguir damos um exemplo bastante simples de função. A função somateste recebe<br />
dois argumentos a, b e retorna a soma deles.<br />
function res = somateste(a,b);<br />
%Funcao para somar dois numeros a e b<br />
res = a+b;<br />
Uma vez que você tenha salvado este arquivo como somateste no diretório corrente,<br />
você pode usá-lo como nos exemplos a seguir:<br />
>> somateste(2, 4)<br />
ans =<br />
6<br />
>> a = 5;<br />
>> b = -3;<br />
>> res = somateste(a,b)<br />
res =<br />
2<br />
Exercícios<br />
7. Reescreva o script plotdata visto acima de forma que ele seja uma função que rece-<br />
be a variável alfa. Ou seja, escreva uma função que faça um gráfico da função<br />
y() t = sinαt<br />
no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 e α é um parâmetro escolhido pelo usuário. Por e-<br />
xemplo, o comando:<br />
9
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
>> plotdada(50)<br />
deve gerar o gráfico<br />
Resposta (listagem):<br />
8. Sendo o vetor a = [0 1 5 2.4 7 1000], escreva os elementos dos seguintes<br />
vetores:<br />
i) x = a(5:-1:2) ii) y = a(1:4)<br />
iii) z = a(2:2:4) iv) w = a(3)<br />
Respostas:<br />
9. Gere um vetor constituído de 100 elementos iguais a cinco.<br />
Comandos:<br />
10. (1032) Escreva uma função Matlab chamada pulso2graf cujas entradas sejam dois<br />
números inteiros a e b com a < b . A função deverá fazer o gráfico de um pulso com<br />
amplitude 2 no intervalo a ≤ n ≤ b . O gráfico deve começar em a − 2 e terminar em<br />
b + 2 .<br />
Por exemplo, ao digitarmos:<br />
10
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
>> pulso2graf(2,8);<br />
devemos obter a figura<br />
Listagem da função:<br />
11. Resolver o Exercício 1.44 da página 84 (HAYKIN; VEEN, 2001). Entregue os comandos<br />
e os gráficos obtidos além dos comentários pertinentes.<br />
11
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 2P – Exemplos práticos de sistemas de Automação e<br />
Bibliografia<br />
<strong>Controle</strong><br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 1-14.<br />
Manual for Model 730 – Magnetic Levitation System, ECP, 1999.<br />
O objetivo desta aula é fazer o aluno entrar em contato com alguns sistemas de controle simples.<br />
Serão analisados quatro sistemas:<br />
Pêndulo invertido (Simulink)<br />
Sistema massa-mola (Simulink)<br />
<strong>Controle</strong> de nível num vazo sanitário (Simulink)<br />
Levitador Magnético (kit didático)<br />
1. Pêndulo invertido (Simulink)<br />
Esse sistema ilustra um pêndulo colocado sobre um carrinho que pode ser deslocado com<br />
o cursor.<br />
Para começar a simulação, basta digitar penddemo na linha de comando do Matlab. De-<br />
verá ser aberto um diagrama do Simulink como o mostrado a seguir.<br />
Para iniciar a simulação do pêndulo, clique em “Start Simulation” na barra de ferramentas.<br />
Deve-se abrir uma janela em que você pode visualizar o pêndulo.<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Puxando o cursor com o mouse, verifique o comportamento do pêndulo. Descreva abaixo.<br />
Resposta:<br />
A seguir mude o valor do ganho proporcional (circundado abaixo – basta clicar duas vezes<br />
nele) de -9,4 para -2 e simule novamente. Verifique o que ocorre.<br />
Resposta:<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
2. Sistema massa-mola (Simulink)<br />
Esse sistema simula o comportamento de duas massas ligadas por uma mola sendo este<br />
conjunto submetido a uma força excitadora.<br />
Para dar início à simulação, basta digitar dblcart1 na linha de comando do Matlab.<br />
Deverá ser aberto um diagrama do Simulink como o mostrado a seguir.<br />
Para iniciar a simulação do sistema massa-mola, clique em “Start Simulation” na<br />
barra de ferramentas.<br />
Deve-se abrir uma janela em que você pode visualizar o sistema.<br />
Ao clicar com o mouse na caixa “Actual Position” é mostrada a entrada e a posição do<br />
sistema massa-mola. O que você pôde observar?<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Resposta:<br />
Clicando no gerador de sinais é possível mudar a amplitude, a freqüência e a forma de<br />
onda aplicada. Tente utilizar a forma aleatória (random) e dente de serra (sawtooth), simule<br />
novamente e escreva o que ocorre. Até que valor de amplitude ainda é possível ver<br />
os bloquinhos na tela?<br />
Resposta:<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
3. <strong>Controle</strong> de nível de um vaso sanitário (Simulink)<br />
Esse sistema simula a descarga em um vaso sanitário.<br />
Para dar início à simulação, basta digitar toilet na linha de comando do Matlab. Deve-<br />
rá ser aberto um diagrama do Simulink juntamente com um modelo GUI mostrados a seguir.<br />
Pressione Start Sim e dê a descarga (FLUSH) algumas vezes. A seguir clique em<br />
Stop Sim. Serão mostradas a seguir quatro curvas. Explique cada uma delas a seguir.<br />
Resposta:<br />
4. Levitador magnético<br />
O levitador magnético é composto por duas bobinas, uma inferior e outra superior que<br />
geram um campo magnético pela passagem de uma corrente. Essas bobinas interagem a-<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
través do campo com um ou dois discos magnéticos que se deslocam em uma barra de vidro<br />
que serve como guia.<br />
Variando-se a magnitude da corrente na bobina inferior, pode-se controlar a posição do<br />
magneto inferior fazendo-o levitar através de uma força magnética repulsiva. Similarmente,<br />
o magneto superior é posicionado através de uma força magnética de atração, adotando-se<br />
um valor adequado de corrente na bobina superior. Com a proximidade dos discos<br />
surge também interação magnética (força de repulsão) entre os dois magnetos.<br />
Dois sensores ópticos baseados em sensores de laser são utilizados para medir a posição<br />
dos magnetos.<br />
Figura 1 - Diagrama do levitador magnético (ECP, 1999).<br />
O diagrama esquemático de um sistema ECP (Educational Control Products) completo é<br />
mostrado na Figura 2.<br />
Para o sistema Dispositivo de Levitação Magnética, a informação sobre a posição é fornecida<br />
pelo medidor óptico. A placa DSP é capaz de interpretar comandos de trajetórias e<br />
realizar verificações em variáveis com o objetivo de garantir a segurança na operação do<br />
equipamento.<br />
O acionamento é feito por um sistema eletrônico de potência que gera o sinal de corrente<br />
adequado para a bobina.<br />
6
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 2P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 2 – Diagrama completo de um sistema ECP (ECP, 1999).<br />
O terceiro elemento que compõe e finaliza todos os sistemas ECP é o programa executivo<br />
que roda no PC e dispõe de uma interface gráfica a base de menus, que permite operar o<br />
sistema com facilidade. Ele dá suporte à definição de trajetórias, aquisição de dados, visualização<br />
de curvas, especificação de controladores, execução de comandos do sistema, etc.<br />
Observe atentamente a demonstração do equipamento a ser feita pelo professor e anote<br />
tudo que considerar relevante.<br />
Anotações:<br />
Exercício<br />
1. (1052) Resolver Exercício 1.10 da página 32 do (SILVEIRA; SANTOS, 1999).<br />
7
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 3P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 3P – Simulação computacional de sistemas contínuos –<br />
Bibliografia<br />
(1ª parte)<br />
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2003. 788 p.<br />
ISBN 8587918230. Páginas 31-34.<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 607-610.<br />
O objetivo desta aula é aprender a trabalhar com funções de transferência no Matlab através de<br />
exemplos. É interessante que você execute cada um dos exercícios a seguir interpretando seus<br />
resultados. Esta aula, juntamente com a da próxima semana são fundamentais para o restante do<br />
curso.<br />
1. (NISE, 2002; p. 607) Cadeias de caracteres são representadas no Matlab por texto entre após-<br />
trofos como ‘ab’. Os comentários começam com % e são ignorados pelo Matlab. Os núme-<br />
ros são digitados sem quaisquer outros caracteres. As operações aritméticas são executadas<br />
utilizando os operadores adequados. Os números podem ser atribuídos a variáveis usando um<br />
argumento à esquerda e um sinal de igualdade. Digite a seguinte seqüência de comandos e<br />
complete os espaços com os resultados do Matlab. Certifique-se que entendeu o seu significado.<br />
>> '(cap2p1)' % Exibe título.<br />
>> 'Como vai você?' % Exibe uma cadeia de caracteres.<br />
>> -3.96 % Exibe o número real -3,96.<br />
>> -4+7i % Exibe o número complexo -4+7i.<br />
>> -5-6j % Exibe o número complexo -5-6i.<br />
>> (-4+7i)+(-5-6i) % Adiciona os números complexos e<br />
___________________ % Exibe a soma.<br />
(-4+7j)*(-5-6j) % Multiplica os dois números complexos e<br />
___________________ % Exibe o produto.<br />
>> M=5 % Atribui o valor 5 a M e exibe o resultado.<br />
>> N=6 % Atribui o valor 6 a N e exibe o resultado.<br />
>> P=M+N %Atribui o valor M+N a P exibe o resultado.<br />
___________________<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 3P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
2. (NISE, 2002; p. 607) Os polinômios em s podem ser representados por vetores linha conten-<br />
do os coeficientes. Deste modo, 7 3 23<br />
2 3<br />
P = s + s − s + pode ser representado pelo vetor<br />
1<br />
mostrado a seguir, com os elementos separados por um espaço ou uma vírgula.<br />
>> P1=[1 7 -3 23] % Armazena o polinômio s^3 + 7s^2 -3s + 23<br />
5 4 2<br />
Qual seria o comando para armazenar o polinômio P = s − s + 4,<br />
5s<br />
+ 7 ?<br />
Resposta:<br />
3. (NISE, 2002; p. 607) A execução das instruções anteriores faz com que o Matlab exiba os<br />
resultados na tela. A digitação de um comando com um ponto-e-vírgula suprime a exibição na<br />
tela. Digitando-se uma expressão sem atribuição à esquerda e sem o ponto-e-vírgula faz com<br />
que a expressão seja calculada e o resultado, exibido na tela. Digite P2 na tela Matlab Com-<br />
mand Window após a execução e verifique o resultado.<br />
>> P2=[3 5 7 8]; % Atribui P2<br />
% sem mostrar na tela.<br />
>> 3*5 % Calcula 3*5 e mostra o resultado.<br />
Qual o polinômio atribuído a P2?<br />
Resposta:<br />
4. (NISE, 2002; p. 607) Uma F () s fatorada pode ser representada sob a forma de polinômio.<br />
Assim, 3 = ( s + 2)(<br />
s + 5)(<br />
s + 6)<br />
2<br />
2<br />
P pode ser transformado em polinômio através do comando<br />
poly(V), onde V é um vetor linha contendo as raízes do polinômio e poly(V) forma os<br />
coeficientes do polinômio.<br />
>> P3=poly([-2 -5 -6]) % Armazena o polinômio<br />
>> % (s+2)(s+5)(s+6) como P3<br />
Escreva os coeficientes do polinômio P 3.<br />
Resposta:<br />
5. (NISE, 2002; p. 607) Podemos determinar as raízes de polinômios usando o comando ro-<br />
ots(V). As raízes vêm na forma de um vetor coluna. Por exemplo, obtenha as raízes de<br />
4 3 2<br />
5s<br />
+ 7s<br />
+ 9s<br />
− 3s<br />
+ 2 .<br />
>>P4=[5 7 9 -3 2] % Forma 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2 e
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 3P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
% exibe o resultado.<br />
>> raizes_P4=roots(P4) % Acha as raízes de 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2.<br />
Calcule as raízes de () 7 10<br />
2 3<br />
P s = s + s + .<br />
Resposta:<br />
6. (NISE, 2002; p. 607) Os polinômios podem ser multiplicados entre si usando o comando<br />
3 2<br />
4 3 2<br />
conv(a,b). Assim, 5 = ( s + 7s<br />
+ 10s<br />
+ 9)(<br />
s − 3s<br />
+ 6s<br />
+ 2s<br />
+ 1)<br />
guir:<br />
>> P5=conv([1 7 10 9],[1 -3 6 2 1])<br />
P é gerado como a se-<br />
2<br />
3 2<br />
Obtenha o polinômio resultante da multiplicação ( + 1)<br />
( 3s<br />
+ 4s<br />
+ 2s<br />
− 9)<br />
Resposta:<br />
Expansão em frações parciais no Matlab.<br />
Considere a seguinte função<br />
B<br />
A<br />
() s<br />
() s<br />
B<br />
A<br />
:<br />
() s<br />
num<br />
b s<br />
3<br />
s .<br />
+ b s<br />
+ + b<br />
n n−1<br />
0 1<br />
n<br />
= = n n−1<br />
() s den s + a1s<br />
+ + an<br />
em que alguns dos i a e b j podem ser nulos. No Matlab, os vetores linha num e den são forma-<br />
dos pelos coeficientes do numerador e do denominador da função de transferência. Ou seja,<br />
num = [b0 b1 … bn]<br />
den = [1 a1 a2 … an]<br />
O comando<br />
[r,p,k] = residue(num,den)<br />
determina os resíduos (r), os pólos (p) e o termo direto (k) da expansão em frações parciais da<br />
relação entre os polinômios B () s e A ( s)<br />
.<br />
A expansão em frações parciais de<br />
B<br />
A<br />
() s<br />
() s<br />
B(<br />
s)<br />
A()<br />
s<br />
( 1)<br />
p()<br />
1<br />
é dada por:<br />
( 2)<br />
p(<br />
2)<br />
r r<br />
r<br />
= + + +<br />
s − s − s −<br />
Por exemplo, considere a seguinte função de transferência:<br />
( n)<br />
p(<br />
n)<br />
+<br />
k()<br />
s
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 3P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
( s)<br />
3 2<br />
B 2s<br />
+ 5s<br />
+ 3s<br />
+ 6<br />
=<br />
.<br />
3 2<br />
A()<br />
s s + 6s<br />
+ 11s<br />
+ 6<br />
Para essa função,<br />
>> num = [2 5 3 6];<br />
>> den = [1 6 11 6];<br />
O comando<br />
[r,p,k] = residue(num, den)<br />
apresenta o seguinte resultado:<br />
>> [r,p,k] = residue(num, den)<br />
r =<br />
-6.00000000000000<br />
-4.00000000000002<br />
3.00000000000001<br />
p =<br />
-3.00000000000000<br />
-2.00000000000000<br />
-1.00000000000000<br />
k =<br />
2<br />
Essa é a representação em Matlab da seguinte expansão em frações parciais de<br />
B<br />
A<br />
( s)<br />
() s<br />
3 2<br />
2s<br />
+ 5s<br />
+ 3s<br />
+ 6<br />
=<br />
=<br />
3 2<br />
s + 6s<br />
+ 11s<br />
+ 6<br />
4<br />
− 6<br />
s + 3<br />
+<br />
− 4<br />
s + 2<br />
3<br />
+ + 2<br />
s + 1<br />
O comando residue pode ser também utilizado para formar os polinômios (numerador e de-<br />
nominador) a partir de suas expansões parciais em frações. Ou seja, o comando:<br />
[num, den] = residue(r,p,k)<br />
em que r, p e k foram fornecidos previamente pelo Matlab, convertendo de volta a expansão em<br />
frações parciais para a relação polinomial, como se segue:<br />
>> [num, den] = residue(r, p, k);<br />
>> printsys(num, den, 's')<br />
num/den =<br />
2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6<br />
----------------------s^3<br />
+ 6 s^2 + 11 s + 6<br />
O comando<br />
B<br />
A<br />
() s<br />
() s<br />
:
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 3P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
printsys(num, den, ‘s’);<br />
apresenta o num/den em termos da relação polinomial em s.<br />
Note que, se ( j)<br />
= p(<br />
j + 1) = = p(<br />
j + m −1)<br />
p , o pólo p ( j)<br />
é um pólo de multiplicidade m .<br />
Nestes casos, a expansão inclui termos como se segue:<br />
r<br />
s −<br />
( j)<br />
p(<br />
j)<br />
+<br />
r(<br />
j + )<br />
[ s − p(<br />
j)<br />
]<br />
7. (OGATA, 2003; p. 32) Expanda a seguinte<br />
Comandos e resposta:<br />
B<br />
A<br />
5<br />
( )<br />
[ ( ) ] m<br />
r j + m −1<br />
s − p j<br />
1<br />
+ +<br />
.<br />
2<br />
B<br />
A<br />
( s)<br />
() s<br />
2<br />
2<br />
() s s + 2s<br />
+ 3 s + 2s<br />
+ 3<br />
= = 3 3 2<br />
() s ( ) s + 3s<br />
+ 3s<br />
+ 1<br />
s + 1<br />
em frações parciais com Matlab:<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 3P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
8. (OGATA, 2003; p. 44) Considere a seguinte função:<br />
4 3 2<br />
s + 5s<br />
+ 6s<br />
+ 9s<br />
+ 30<br />
F () s =<br />
.<br />
4 3 2<br />
s + 6s<br />
+ 21s<br />
+ 46s<br />
+ 30<br />
Utilizando o Matlab, obtenha a expansão em frações parciais de F ( s)<br />
. Em seguida, determine a<br />
transformada de Laplace inversa de F ( s)<br />
.<br />
Comandos e Resposta:<br />
9. Resolver Exercício 14 da página 82 do (NISE, 2002).<br />
6
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 4P – Simulação computacional de sistemas contínuos –<br />
Bibliografia<br />
(2ª parte)<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 63-76.<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 607-610.<br />
1. (NISE, 2002, p. 608) Criando Funções de Transferência.<br />
Método Vetorial, Forma Polinomial:<br />
Uma função de transferência pode ser expressa como um polinômio em numerador dividido por<br />
um polinômio em denominador, isto é, F(s) = N(s)/D(s). O numerador, N(s), é representado por<br />
um vetor linha, numf, que contém os coeficientes de N(s). De modo semelhante, o denominador,<br />
D(s), é representado por um vetor linha, denf, que contém os coeficientes de D(s). Formamos<br />
F(s) com o comando<br />
F = tf(numf,denf).<br />
F é chamado um objeto linear e invariante no tempo (LIT). Este objeto, ou função de transferên-<br />
cia, pode ser usado como uma entidade em outras operações, como adição ou multiplicação.<br />
2<br />
2<br />
Mostramos isto com () s = 150(<br />
s + 2s<br />
+ 7)<br />
[ s(<br />
s + 5s<br />
+ 4)<br />
]<br />
F . Observe que ao executar o comando<br />
tf, o MATLAB imprime, na tela, a função de transferência.<br />
>> numf=150*[1 2 7] % Armazena 150(s^2+2s+7) em numf e<br />
% mostra o resultado.<br />
>> denf=[1 5 4 0] % Armazena s(s+1)(s+4) em denf e<br />
% mostra o resultado na tela.<br />
>> F=tf(numf,denf) % Forma F(s) e mostra o resultado.<br />
Método Vetorial, Forma Fatorada:<br />
Também podemos criar funções de transferência LIT se o numerador e o denominador estiverem<br />
representados na forma fatorada. Fazemos isto usando os vetores linha que contêm as raízes do<br />
numerador e do denominador. Assim, G(s) = K*N(s)/D(s) pode ser expresso como um objeto<br />
LIT, usando o comando:<br />
G = zpk(numg,deng,K),<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
em que numg é um vetor linha contendo as raízes de N(s) e deng é um vetor linha contendo as<br />
raízes de D(s). A expressão zpk significa zeros (raízes do numerador), pólos (raízes do denomi-<br />
nador) e ganho, K. Mostramos isto com ( s)<br />
= 20 ( s + 2)(<br />
s + 4)<br />
[ ( s + 7)(<br />
s + 8)(<br />
s + 9)<br />
]<br />
G . Observe que<br />
ao executar o comando zpk, o MATLAB imprime, na tela, a função de transferência.<br />
>> numg=[-2 -4] % Armazena (s+2)(s+4) em numg e<br />
% mostra o resultado.<br />
>> deng=[-7 -8 -9] % Armazena (s+7)(s+8)(s+9) em deng e<br />
% mostra o resultado.<br />
>> K=20 % Define K.<br />
>> G=zpk(numg,deng,K) % Forma G(s) e mostra o resultado.<br />
Método da Expressão Racional em s, Forma Polinomial:<br />
Este método permite que você digite a função de transferência como a escreveria normalmente. A<br />
instrução s = tf('s') deve preceder a função de transferência se você quiser criar uma fun-<br />
ção de transferência LIT na forma polinomial equivalente usando G = tf(numg,deng).<br />
>> s=tf('s') % Define 's' como um objeto LTI em<br />
% forma polinomial.<br />
>> F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)]<br />
% Forma F(s) como uma função de<br />
% transferência LTI em forma polino-<br />
% mial.<br />
>> G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)]<br />
% Forma G(s) como uma função de<br />
% transferência LTI em forma polino-<br />
% mial.<br />
Método da Expressão Racional em s, Forma Fatorada.<br />
Este método permite que você digite a função de transferência como a escreveria normalmente. A<br />
instrução s = zpk('s') deve preceder a função de transferência se você quiser criar uma<br />
função de transferência LIT na forma fatorada equivalente usando G = zpk(numg,deng,K).<br />
Em ambos os métodos da expressão racional a função de transferência pode ser digitada sob<br />
qualquer forma independentemente de se usar s = tf('s') ou s = zpk('s'). A diferen-<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
ça está na função de transferência LIT criada. Usamos os mesmos exemplos anteriores para demonstrar<br />
os métodos da expressão racional em s.<br />
>> s=zpk('s') % Define 's' como um objeto LTI em<br />
% forma fatorada.<br />
>> F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)]<br />
% Forma F(s) como uma função de transferência<br />
% LTI em forma fatorada.<br />
>> G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)]<br />
%Forma G(s) como uma função de transferência<br />
% LTI em forma fatorada.<br />
2. (NISE, 2002; p. 82) Use o Matlab para gerar a seguinte função de transferência:<br />
G<br />
() s<br />
nas seguintes formas:<br />
(a) relação de fatores;<br />
(b) relação de polinômios<br />
Comandos utilizados:<br />
=<br />
s<br />
5<br />
( s + 15)(<br />
s + 26)(<br />
s + 72)<br />
2<br />
2<br />
( s + 55)(<br />
s + 5s<br />
+ 30)(<br />
s + 56)(<br />
s + 27s<br />
+ 52)<br />
3. (NISE, 2002; p. 609) Os vetores do numerador e do denominador da função de transferência<br />
podem ser convertidos para a forma polinomial contendo os coeficientes e para a forma fato-<br />
rada contendo as raízes. A função MATLAB, tf2zp(numtf,dentf), converte os coefi-<br />
cientes do numerador e do denominador em raízes. Os resultados estão na forma de vetores<br />
coluna. Mostramos isto com F(s) = (10s^2 + 40s + 60)/(s^3 + 4s^2 +5s + 7).<br />
>> numftf=[10 40 60] % Forma o numerador de F(s) =<br />
% (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7).<br />
>> denftf=[1 4 5 7] % Forma o denominador de F(s) =<br />
% (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7).<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
>> [numfzp,denfzp]=tf2zp(numftf,denftf)<br />
% Converte F(s) para a forma fatorada.<br />
A função MATLAB zp2tf(numzp,denzp,K) transforma as raízes do numerador e do de-<br />
nominador em coeficientes. Os argumentos numzp e denzp devem ser vetores coluna. Na de-<br />
monstração a seguir, o sinal de apóstrofo significa o vetor transposto. Vamos mostrar a conversão<br />
de raízes em coeficientes com G(s) = 10(s + 2)(s + 4)/[s(s + 3)(s + 5)].<br />
>> numgzp=[-2 -4] % Forma o numerador de<br />
>> K=10 % G(s) = 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)].<br />
>> dengzp=[0 -3 -5] % Forma o denominador de<br />
% G(s) = 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)].<br />
>> [numgtf,dengtf]=zp2tf(numgzp',dengzp',K)<br />
% Converte G(s) para a forma polinomial.<br />
4. (NISE, 2002; p. 82) Repita o problema 2 para a seguinte função de transferência:<br />
Comandos utilizados:<br />
4 3 2<br />
s + 25s<br />
+ 20s<br />
+ 15s<br />
+ 42<br />
F () s =<br />
.<br />
5 4 3 2<br />
s + 13s<br />
+ 9s<br />
+ 37s<br />
+ 35s<br />
+ 50<br />
5. (NISE, 2002; p. 609) Modelos LIT também podem ser convertidos entre a forma polinomial e<br />
fatorada. Os comandos MATLAB tf e zpk também são usados para conversão entre mode-<br />
los LIT. Se a função de transferência, Fzpk(s), for expressa como fatores em numerador e de-<br />
nominador, então tf(Fzpk) converte Fzpk(s) em uma função de transferência expressa a-<br />
través dos coeficientes do numerador e do denominador. De modo semelhante, se uma função<br />
de transferência, Ftf(s), for expressa através dos coeficientes do numerador e do denomina-<br />
dor, então zpk(Ftf) converte Ftf(s) em uma função de transferência expressa através dos<br />
fatores de numerador e de denominador. O seguinte exemplo mostra os conceitos.<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
>> Fzpk1=zpk([-2 -4],[0 -3 -5],10) % Forma Fzpk1(s)=<br />
%10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)].<br />
>> Ftf1=tf(Fzpk1) % Converte Fzpk1(s) à<br />
% forma de coeficientes.<br />
>>Ftf2=tf([10 40 60],[1 4 5 7]) % Forma Ftf2(s)=<br />
% (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7).<br />
>> Fzpk2=zpk(Ftf2) % Converte Ftf2(s) à<br />
% forma fatorada.<br />
6. (DORF; BISHOP, 2001, p. 76) Uma impressora utiliza um feixe de laser para imprimir rapidamente<br />
cópias para um computador. O laser é posicionado por um sinal de controle de entrada,<br />
r () t , tal que:<br />
( s + 100)<br />
5<br />
Y () s = R()<br />
s .<br />
2<br />
s + 60s<br />
+ 500<br />
A entrada r () t representa a posição desejada do feixe de laser.<br />
(a) Determine a saída y () t quando r ( t)<br />
for um degrau unitário de entrada.<br />
(b) Qual o valor final de y () t ?<br />
(c) Usando o Matlab, gere um gráfico de ( t)<br />
Resolução (use o verso também):<br />
y para 0 ≤ t ≤ 1segundo.<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
7. O comando step(sys, Tfinal) gera um gráfico da resposta ao degrau para um sistema<br />
sys no intervalo 0 ≤ t ≤ TFINAL<br />
. Sendo assim, use o Matlab para gerar diretamente a resposta<br />
ao degrau do exercício anterior (faça em outra figura para não apagar a anterior) e compare<br />
com o resultado obtido na letra (c) do Exercício 6.<br />
Comandos utilizados e comparação.<br />
8. (DORF; BISHOP, 2001, p. 76) A função de transferência de um sistema é:<br />
Y<br />
R<br />
( s)<br />
() s<br />
6<br />
( s + 2)<br />
10<br />
=<br />
.<br />
2<br />
s + 8s<br />
+ 15<br />
Determine algebricamente e faça um gráfico de y ( t)<br />
quando ( t)<br />
trada. Confira seu resultado com o comando step.<br />
Resolução:<br />
r for um degrau unitário de en-<br />
9. (1061) Resolver Exercício PM2.4 da página 91 do (DORF; BISHOP, 1998).
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 5P – Aula de Exercícios para P1<br />
Bibliografia<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 1-92.<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 1-88.<br />
1. (DORF; BISHOP, 2001, p. 22) Um exemplo comum de sistema de controle com duas entradas<br />
é um chuveiro doméstico com válvulas separadas para água quente e fria. O objetivo é<br />
obter (1) a temperatura desejada da água do chuveiro e (2) um fluxo de água desejado. Esboce<br />
um diagrama do sistema de controle a malha fechada.<br />
2. (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 1995, p. 136) Um impulso é aplicado à entrada<br />
de um sistema contínuo e a saída é observada como sendo a função do tempo<br />
função de transferência do sistema.<br />
1<br />
t<br />
e 2 −<br />
. Encontre a
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
3. (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 1995, p. 139) Determine a função de transferência<br />
de duas redes de atraso conectadas em série como mostrado na Figura 1.<br />
Figura 1 –(DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 1995).<br />
4. (DORF; BISHOP, 2001, p. 91) Considere o sistema mecânico esboçado na Figura 2. A entrada<br />
é dada por f ( t)<br />
e a saída por y ( t)<br />
. Determinar a função de transferência de f () t para y ( t)<br />
e, usando o Matlab, traçar a curva da resposta a uma entrada degrau unitário. Seja m = 10 ,<br />
k = 1 e b = 0,<br />
5 . Mostrar que a amplitude máxima da saída é de cerca de 1,8.<br />
Figura 2 – Sistema mecânico mola-massa-amortecedor (DORF; BISHOP, 2001).<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
5. (NISE, 2002, p. 84) Para o sistema mecânico em rotação mostrado na Figura 3, calcule a fun-<br />
ção de transferência, () s ( s)<br />
T ( s)<br />
Θ<br />
G 2<br />
= .<br />
Figura 3 – (NISE, 2002).<br />
6. (1052) Resolver exercício PM2.8 da página 92 do (DORF; BISHOP, 2001).<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 6P - Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006<br />
Aula 6P – Questões da P1<br />
1. (NISE; 2002, p. 21) (1,0) Funcionalmente, como os sistemas a malha fechada se diferenciam<br />
dos sistemas a malha aberta? Dê três exemplos de sistemas a malha aberta.<br />
2. (NISE; 2002, p. 32) (2,0) Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y( t ) se todas<br />
as condições iniciais forem zero. Usar a transformada de Laplace.<br />
2<br />
dy dy<br />
( )<br />
2 12 32y 32u<br />
t<br />
dt dt<br />
+ + = (1)<br />
3. (DORF; BISHOP, 1998, p. 78) A velocidade de rotação ω de um satélite mostrado na figura<br />
a seguir é ajustada mudando-se o comprimento L da barra. A função de transferência entre<br />
Δ é<br />
( ) ( )<br />
( ) ( )( ) 2<br />
ω s 2, 5 s + 2<br />
=<br />
Δ L s s + 5 s + 1<br />
ω ( s ) e a variação incremental do comprimento da barra L( s)<br />
1<br />
A variação do comprimento da barra é Δ L( s)<br />
= . Determine a resposta de velocidade ω ( t ) .<br />
4s<br />
(DORF; BISHOP, 1998).<br />
4. (PHILLIPS; HARBOR, 1997, p. 70) Considere o circuito mostrado na figura seguinte.<br />
V ( )<br />
2 s<br />
(a) (1,0) Encontre a função de transferência<br />
V ( s )<br />
.<br />
1<br />
(b) (1,0) Suponha que um indutor L 2 é conectado aos terminais de saída em paralelo com R 3 .<br />
V ( )<br />
2 s<br />
Encontre a função de transferência<br />
V ( s )<br />
.<br />
1<br />
1<br />
(2)
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 6P - Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006<br />
(PHILLIPS; HARBOR, 1997).<br />
5. (OGATA; 2003, p. 44) (2,0) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que gere a expansão<br />
em frações parciais da seguinte função.<br />
( )( )<br />
( )<br />
( )( )( ) 2<br />
10 s + 2 s + 4<br />
F s = (3)<br />
s + 1 s + 3 s + 5<br />
Em seguida obtenha a transformada inversa de Laplace de F( s ) .<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 7P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 7P – Exemplos simples de sistemas e diagramas de<br />
Bibliografia<br />
blocos no Simulink<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 642-653.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 81 – 91.<br />
1. Introdução<br />
O Simulink é usado para simular sistemas. Usa uma interface gráfica do usuário (GUI)<br />
para você interagir com blocos que representam subsistemas. Você pode posicionar os<br />
blocos, ajustá-los, rotulá-los, especificar seus parâmetros e interconectá-los para formar<br />
sistemas completos para os quais podem ser executadas simulações.<br />
O Simulink possui bibliotecas de blocos a partir das quais podem ser feitas cópias de subsistemas,<br />
de fontes (isto é, geradores de funções) (sources) e dispositivos de visualização<br />
(sinks). Estão disponíveis blocos de subsistemas para representar sistemas lineares, nãolineares<br />
e discretos.<br />
2. Usando o Simulink<br />
O resumo a seguir mostra os passos para usar o Simulink.<br />
1. Acessando o Simulink. O Simulink Library Browser, de onde começamos o Simulink, é<br />
acessado digitando-se simulink na janela Matlab Command Window ou clicando no<br />
botão Simulink Library Browser na barra de ferramentas, como mostra a parte circundada<br />
na Figura 1.<br />
Figura 1 - A janela MATLAB Command Window - como acessar o Simulink. (NISE, 2002).<br />
Criamos agora uma janela de modelo untitled (sem título), Figura 2, clicando sobre o botão<br />
Create a new model (dentro do círculo mostrado na Figura 2) na barra de ferramentas<br />
da janela Simulink Library Browser.<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 7P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 2 - A janela Simulink Library Browser mostrando: a. o botão Create a new model assinalado<br />
com um círculo; b. a janela de modelo untitled.<br />
2. Selecionando subsistemas. Selecione os subsistemas necessários e arraste-os com o mouse<br />
para a janela untitled.<br />
3. Monte e rotule os subsistemas. Você pode posicionar, ajustar o tamanho e renomear os<br />
blocos. Basta clicar duas vezes sobre eles.<br />
4. Interconecte subsistemas e rotule os sinais. Posicione o cursor na pequena seta de saída ao<br />
lado de um subsistema, pressione o botão do mouse e arraste o cursor resultante em forma<br />
de retículo para a pequena seta de entrada do próximo subsistema.<br />
5. Escolha de parâmetros para os subsistemas. Dê um duplo clique no subsistema da janela<br />
do modelo e digite os parâmetros desejados.<br />
6. Escolha os parâmetros para simulação. Selecione Parameters no menu Simulation na janela<br />
do modelo para configurar parâmetros adicionais, como o tempo de simulação.<br />
7. Inicie a simulação. Selecione Start no menu Simulation na janela do modelo ou clique no<br />
ícone Start/Pause na barra de ferramentas da janela do modelo, como mostrado na Figura<br />
2.<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 7P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
8. Interaja com o gráfico. Na janela Scope você pode usar o zoom para aproximar ou afastar<br />
o gráfico, modificar a escala dos eixos, salvar a configuração dos eixos e imprimir o gráfico<br />
resultante.<br />
9. Gravar o modelo. Ao gravar o modelo, escolhendo a opção Save no menu File, cria-se um<br />
arquivo com extensão .mdl, a qual é necessária.<br />
Atividades<br />
1. (DORF; BISHOP, 2001, p. 91) Considere o sistema com realimentação esboçado na Figura<br />
3.<br />
Figura 3 – Sistema de controle com realimentação negativa (DORF; BISHOP, 2001).<br />
(a) Implemente este sistema no Simulink.<br />
(b) Obtenha um gráfico da resposta ao degrau deste sistema. Qual seu valor máximo? Qual<br />
seu erro estacionário?<br />
Respostas:<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 7P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
2. (DORF; BISHOP, 2001, p. 88) Uma carga adicionada a um caminhão resulta em uma<br />
força F sobre a mola do suporte e o pneu se deforma como está mostrado na Figura 4a. O<br />
modelo para o movimento do pneu está mostrado na Figura 4b.<br />
Figura 4 – Modelo de suporte de caminhão (DORF; BISHOP, 1991).<br />
(a) Determine a função de transferência<br />
X 1<br />
F<br />
( s)<br />
() s<br />
(b) Implemente esta função no Simulink. Use k = k = 1 e b = 0,<br />
5 e M = 10 .<br />
.<br />
(c) Obtenha um gráfico da posição x1 ( t)<br />
quando balançamos o caminhão com uma freqüência<br />
de 1 oscilação por segundo (0,1Hz) o que pode ser modelado por f ( t) = sin( 2π ⋅0,1⋅ t)<br />
.<br />
(d) Repita para freqüências de 0,2Hz, 0,5Hz e 1Hz. O que ocorre com a saída? Justifique.<br />
Respostas:<br />
4<br />
1<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 7P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
3. (DORF; BISHOP, 2001, p. 81) Estruturas em T são usadas freqüentemente como filtros<br />
em sistemas de controle em corrente alternada. A Figura 5 mostra um desses circuitos em<br />
T.<br />
Figura 3 – Estrutura em T (DORF; BISHOP, 2001).<br />
(a) Determinar a função de transferência da rede.<br />
(b) Implemente este sistema no Simulink para R 0,<br />
5 , R 1 e 5 , 0 = C .<br />
(c) Obtenha um gráfico da resposta ao degrau para este sistema.<br />
(d) Obtenha a resposta à entrada x( t)<br />
sin(<br />
2πf<br />
)<br />
Respostas:<br />
5<br />
1 =<br />
2 =<br />
= para f = 0,<br />
1;<br />
1;<br />
10;<br />
100 Hz.<br />
4. Implemente no Simulink o diagrama de blocos do sistema de posicionamento de antena<br />
discutido na Aula 12T usando a Configuração 2. Obtenha a resposta deste sistema a uma<br />
entrada () t = u(<br />
t)<br />
θ . Comente o resultado obtido.<br />
i
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 8P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 8P – Revisão: vetores e matrizes no Matlab<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Apêndice G.<br />
CHAPMAN, Stephen J. Programação em MATLAB para engenheiros. São Paulo: Pioneira Thomson<br />
Learning, 2003. 477 p. ISBN 8522103259.<br />
1. (CHAPMAN, 2003, p. 30) Responda às questões seguintes considerando a matriz abaixo:<br />
(a) Qual o tamanho de c?<br />
(b) Qual o valor de c(2,3)?<br />
⎡1.<br />
1<br />
c=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0.<br />
6<br />
⎢⎣<br />
1.<br />
3<br />
− 3.<br />
2<br />
1.<br />
1<br />
0.<br />
6<br />
1<br />
3.<br />
4<br />
− 0.<br />
6<br />
5.<br />
5<br />
0.<br />
6⎤<br />
3.<br />
1<br />
⎥<br />
⎥<br />
.<br />
0.<br />
0⎥⎦<br />
(c) Apresente os índices de todos os elementos cujo valor seja 0,6.<br />
2. (CHAPMAN, 2003, p. 30) Qual a diferença entre uma matriz e um vetor?<br />
3. (CHAPMAN, 2003, p. 38) Assuma que a matriz c seja definida como abaixo e determine<br />
o conteúdo das seguintes submatrizes:<br />
(a) c(2,:)<br />
(b) c(:,end)<br />
(c) c(1:2,2:end)<br />
(d) c(6)<br />
(e) c(4:end)<br />
(f) c(1:2,2:4)<br />
(g) c([1 4],2)<br />
(h) c([2 2], [3 3])<br />
⎡1.<br />
1<br />
c=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0.<br />
6<br />
⎢⎣<br />
1.<br />
3<br />
− 3.<br />
2<br />
1.<br />
1<br />
0.<br />
6<br />
3.<br />
4<br />
− 0.<br />
6<br />
5.<br />
5<br />
0.<br />
6⎤<br />
3.<br />
1<br />
⎥<br />
⎥<br />
0.<br />
0⎥⎦
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 8P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
4. (CHAPMAN, 2003, p. 29) Qual o conteúdo das seguintes matrizes:<br />
A=zeros(2);<br />
B = zeros(2,3);<br />
C= [1 2; 3 4];<br />
D = zeros(size(c));<br />
5. Qual o resultado do comando diag([1 2 3])? O que faz o comando diag?<br />
6. (CHAPMAN, 2003, p. 29) Determine o conteúdo da matriz a após a execução das se-<br />
guintes declarações:<br />
(a) a = eye(3,3);<br />
b = [1 2 3];<br />
a(2,:) = b;<br />
(b) a= eye(3,3);<br />
b= [7 8 9];<br />
a(3,:) = b([3 1 2]);<br />
7. Qual o resultado do comando toeplitz([1 2 3])? O que faz o comando toe-<br />
plitz?<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 8P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
8. (CHAPMAN, 2003, p. 29) Determine o conteúdo da matriz a após a execução das seguin-<br />
tes declarações:<br />
a = eye(3,3);<br />
b = [4 5 6];<br />
a(:,3) = b’;<br />
⎡ 4 2⎤<br />
9. Calcule o determinante da matriz A = ⎢ ⎥ . Use o comando det para confirmar seu<br />
⎣−1<br />
7⎦<br />
resultado.<br />
10. Calcule o menor M 23 do determinante da matriz<br />
do Matlab que resolve este problema.<br />
11. Calcule o cofator C 13 da matriz do problema anterior.<br />
3<br />
⎡−1<br />
2 4 ⎤<br />
A =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
2 3 −1<br />
⎥<br />
. Escreva um coman-<br />
⎢⎣<br />
1 8 4 ⎥⎦<br />
12. Resolva de forma manuscrita e usando o Matlab, o determinante da matriz<br />
⎡1 7 −1⎤<br />
A =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
0 4 0<br />
⎥<br />
.<br />
⎢⎣<br />
1 1 9 ⎥⎦<br />
13. Para que serve o comando Matlab cond?<br />
14. Verifique a singularidade ou não da matriz<br />
15. Calcule a adjunta da matriz do exercício anterior.<br />
⎡ 1 3 7⎤<br />
A =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
2 6 8<br />
⎥<br />
.<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
− 3 1⎥⎦
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 8P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
16. Usando a função rank determine o posto da matriz do exercício anterior.<br />
17. (CHAPMAN, 2003, p. 29) Assuma que a, b, c e d são definidas como a seguir:<br />
⎡1<br />
a= ⎢<br />
⎣2<br />
0⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡−1<br />
b= ⎢<br />
⎣ 0<br />
2⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎡3<br />
⎤<br />
c= ⎢ ⎥⎦ e d = 5.<br />
⎣2<br />
Qual é o resultado das seguintes operações?<br />
a+b a+c<br />
a.*b a+d<br />
a*b a.*d<br />
a*c a*d<br />
18. (CHAPMAN, 2003, p. 51) Assuma que a, b, c e d são definidas como a seguir e calcule<br />
os resultados das seguintes operações se elas forem legais. Se uma operação for ilegal,<br />
explique o motivo.<br />
⎡ 2 1⎤<br />
⎡0 −1⎤<br />
⎡1<br />
⎤<br />
a= ⎢ ⎥ b=<br />
⎣−1<br />
2<br />
⎢ ⎥ c=<br />
⎦ ⎣3<br />
1<br />
⎢ ⎥⎦ e d = -3.<br />
⎦ ⎣2<br />
(a) result = a.*c;<br />
(b) result = a* [c c];<br />
(c) result = a.*[c c];<br />
(d) result = a+b*c;<br />
(e) result = a+b.*c;<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 8P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
19. (CHAPMAN, 2003, p. 51) Resolva para x a equação Ax = B , em que<br />
⎡ 1 2 1⎤<br />
⎡1⎤<br />
A =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
2 3 2<br />
⎥<br />
e B =<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
1<br />
⎥<br />
.<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
0 1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0⎥⎦<br />
20. (CHAPMAN, 2003, p. 74) Resolva o seguinte sistema de equações simultâneas para x :<br />
-2.0 X1 + 5.0 X2 + 1.0 X3 + 3.0 X4 + 4.0 X5 - 1.0 X6 = 0.0<br />
2.0 X1 - 1.0 X2 - 5.0 X3 - 2.0 X4 + 6.0 X5 + 4.0 X6 = 1.0<br />
-1.0 X1 + 6.0 X2 - 4.0 X3 - 5.0 X4 + 3.0 X5 - 1.0 X6 = -6.0<br />
4.0 X1 + 3.0 X2 - 6.0 X3 - 5.0 X4 - 2.0 X5 - 2.0 X6 = 10.0<br />
-3.0 X1 + 6.0 X2 + 4.0 X3 + 2.0 X4 - 6.0 X5 + 4.0 X6 = -6.0<br />
2.0 X1 + 4.0 X2 + 4.0 X3 + 4.0 X4 + 5.0 X5 - 4.0 X6 = -2.0<br />
21. Defina o que são autovalores e autovetores de uma matriz. Encontre-os para:<br />
⎡1 0 3⎤<br />
A =<br />
⎢<br />
2 1 5<br />
⎥<br />
⎢<br />
−<br />
⎥<br />
⎢⎣ 0 3 1⎥⎦<br />
5<br />
(1.1)
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 9P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 9P – Representação computacional de sistemas de controle no<br />
Bibliografia<br />
espaço de estados<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 610 – 611.<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 121-124.<br />
1. Criando a representação no espaço de estados<br />
Para criar a descrição de um sistema no espaço de estados no Matlab, utilizamos o co-<br />
mando ss (de state space) cuja funcionalidade é a mesma do tf para funções de transfe-<br />
rência. Seu formato é:<br />
SYS = SS(A,B,C,D)<br />
Por exemplo, considere o problema de obter a resposta ao degrau para um sistema representado<br />
por:<br />
Utilizamos a seguinte seqüência de instruções:<br />
>> A = [1 3; -1 2];<br />
>> B = [1;0];<br />
>> C = [2 -1];<br />
>> D = 0;<br />
sistema = ss(A,B,C,D)<br />
a =<br />
x1 x2<br />
x1 1 3<br />
x2 -1 2<br />
b =<br />
u1<br />
x1 1<br />
x2 0<br />
c =<br />
x1 x2<br />
y1 2 -1<br />
d =<br />
⎡ 1 3⎤<br />
⎡1⎤<br />
x<br />
= ⎢ x<br />
1 2<br />
⎥ + ⎢<br />
0<br />
⎥u<br />
⎣−<br />
⎦ ⎣ ⎦ .<br />
y = [ 2 −1]x<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 9P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
u1<br />
y1 0<br />
>> step(sistema)<br />
Amplitude<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
Step Response<br />
-4<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8<br />
Time (sec)<br />
1 1.2 1.4 1.6<br />
2. Calculando a saída de um sistema a uma entrada<br />
Pode-se utilizar o comando lsim para obter a saída de um sistema a uma dada entrada<br />
incluindo aí condições iniciais. Seu formato é:<br />
LSIM(SYS,U,T,X0)<br />
O sistema sys pode estar definido na forma de espaço de estados ou função de transfe-<br />
rência, U são os valores que a entrada assume, T os instantes de tempo em que a entrada<br />
foi passada e X0 é um vetor de condições iniciais das variáveis de estado (se não especifi-<br />
cado, considera-se condições iniciais nulas). Assim, a resposta ao degrau do exercício anterior<br />
poderia ter sido obtida com a seguinte seqüência de comandos:<br />
A = [1 3; -1 2];<br />
B = [1;0];<br />
C = [2 -1];<br />
D = 0;<br />
sistema = ss(A,B,C,D)<br />
t = linspace(0,1.6,1000);<br />
u = ones(1,1000);<br />
figure(2);<br />
lsim(sistema, u,t);<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 9P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Amplitude<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
Linear Simulation Results<br />
-4<br />
0 0.2 0.4 0.6 0.8<br />
Time (sec)<br />
1 1.2 1.4 1.6<br />
Exercício<br />
1. (DORF; BISHOP, 2001, p. 138) Considere-se o sistema seguinte:<br />
com<br />
⎡ 0 1 ⎤ ⎡0⎤<br />
x<br />
= ⎢ x<br />
2 3<br />
⎥ + ⎢<br />
1<br />
⎥u<br />
⎣−<br />
− ⎦ ⎣ ⎦<br />
y = [ 1 0]x<br />
⎡1⎤<br />
x .<br />
( 0)<br />
= ⎢ ⎥<br />
⎣0⎦<br />
(a) Usando a função lsim obter e traçar a resposta do sistema quando u () t = 0.<br />
(b) Obtenha um gráfico de x2 () t para a mesma entrada.<br />
3. Convertendo funções de transferência para o espaço de estados<br />
As funções de transferência representadas seja pelo numerador e denominador, seja por<br />
um objeto LIT podem ser convertidas para o espaço de estados. Para a representação em<br />
numerador e denominador, a conversão pode ser implementada usando:<br />
[A,B,C,D] = tf2ss(num,den).<br />
A matriz A retorna em uma forma chamada canônica controlável. Para obter a forma em vari-<br />
áveis de fase, [Af,Bf,Cf,Df], executamos as seguintes operações: Af =inv(P)*A*P;<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 9P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Bf = inv(P)*B; Cf =C*P, Df = D, onde P é uma matriz quadrada com valores<br />
unitários ao longo da diagonal secundária e zeros no resto.<br />
Para sistemas representados como objetos LIT, o comando ss(F), onde F é um objeto fun-<br />
ção de transferência LIT, pode ser usado para converter F em um objeto do espaço de estados.<br />
Por exemplo, considere obter a representação no espaço de estados da função de transferência:<br />
( s)<br />
C<br />
24<br />
=<br />
.<br />
3 2<br />
R()<br />
s s + 9s<br />
+ 26s<br />
+ 24<br />
Para o objeto função de transferência LIT, a conversão para o espaço de estados não conduz à<br />
forma em variáveis de fase. Como ss(F) não conduz a formas familiares das equações de<br />
estado (nem é possível converter facilmente em formas familiares) teremos, no momento, uso<br />
limitado dessa transformação.<br />
num=24; % Define o numerador de G(s)=C(s)/R(s).<br />
den=[1 9 26 24]; % Define o denominador de G(s).<br />
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) % Converte G(s)para a forma canônica<br />
% do controlador,<br />
% armazena as matrizes A, B, C, D, e<br />
% mostra o resultado.<br />
P=[0 0 1;0 1 0;1 0 0]; % Forma a matriz de transformação.<br />
Af=inv(P)*A*P % Forma a matriz A (variáveis de fase).<br />
Bf=inv(P)*B % Forma o vetor B (variáveis de fase).<br />
Cf=C*P % Forma o vetor C,(variáveis de fase).<br />
Df=D % Forma D,(variáveis de fase).<br />
T=tf(num,den) % Representa T(s)=24/(s^3+9s^2+26s+24)<br />
% como um objeto função de transferência LTI.<br />
Tss=ss(T) % Converte T(s) em representação no espaço de<br />
% estados.<br />
Exercício<br />
2. (NISE, 2002, p. 118) Utilize o Matlab para obter a representação no espaço de estados em<br />
variáveis de fase para cada um dos sistemas mostrados na Figura 1 a seguir.<br />
4
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 9P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 1 – (NISE, 2002).<br />
4. Convertendo sistemas no espaço de estados para funções de transferência<br />
As representações no espaço de estados podem ser convertidas em funções de transferência<br />
representadas por um numerador e um denominador usando<br />
[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,iu),<br />
em que iu é o número da entrada em sistemas de entradas múltiplas. Para sistemas com<br />
uma única entrada e uma única saída iu = 1.<br />
Para um sistema LIT no espaço de estados, Tss, a conversão pode ser implementada u-<br />
sando<br />
Ttf = tf(Tss)<br />
para se obter a função de transferência na forma polinomial ou usando<br />
Tzpk = zpk(Tss)<br />
para obter a função de transferência na forma fatorada.<br />
Por exemplo, a função de transferência representada pelas matrizes descritas por:<br />
podem ser obtidas como:<br />
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡7⎤<br />
x<br />
=<br />
⎢<br />
0 0 1<br />
⎥<br />
x<br />
⎢<br />
8<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎥<br />
+<br />
⎢ ⎥<br />
u<br />
⎢⎣<br />
− 9 − 8 − 7⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
9⎥⎦<br />
y = [ 2 3 4]x<br />
A=[0 1 0;0 0 1;-9 -8 -7]; % Representa A.<br />
B=[7;8;9]; % Representa B.<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 9P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
C=[2 3 4]; % Representa C.<br />
D=0; % Representa D.<br />
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) % Converte uma representação<br />
% no espaço de estados<br />
% em função de transferência representada por<br />
% um numerador e um denominador,G(s)=num/den,<br />
% em forma polinomial,<br />
% e mostra num e den.<br />
Tss=ss(A,B,C,D) % Form LTI state-space model.<br />
Ttf=tf(Tss) % Transforma a representação no espaço de<br />
% estados em função de transferência<br />
% na forma polinomial.<br />
Tzpk=zpk(Tss) % Transforma a representação no espaço de<br />
% estados em função de transferência<br />
% na forma fatorada.<br />
Exercícios<br />
Y<br />
3. (NISE, 2002, p. 118) Utilize o Matlab para obter a função de transferência, ()<br />
( s)<br />
G s = ,<br />
R()<br />
s<br />
para cada um dos sistemas representados no espaço de estados.<br />
(a)<br />
(b)<br />
⎡ 0 1 3<br />
⎢<br />
0<br />
x<br />
= ⎢<br />
⎢ 0<br />
⎢<br />
⎣−<br />
7<br />
y = [ 1 3<br />
0<br />
0<br />
− 9<br />
4<br />
1<br />
0<br />
− 2<br />
6]x<br />
0 ⎤ ⎡0⎤<br />
0<br />
⎥ ⎢<br />
5<br />
⎥<br />
⎥x<br />
+ ⎢ ⎥r<br />
1 ⎥ ⎢8⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
− 3⎦<br />
⎣2⎦<br />
⎡ 3 1 0 4 − 2⎤<br />
⎡2⎤<br />
⎢<br />
3 5 5 2 1<br />
⎥ ⎢<br />
7<br />
⎥<br />
⎢<br />
− − −<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
x<br />
= ⎢ 0 1 −1<br />
2 8 ⎥x<br />
+ ⎢6⎥u<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎢−<br />
7 6 − 3 − 4 0 ⎥ ⎢5⎥<br />
⎢<br />
⎣−<br />
6 0 4 − 3 1 ⎥<br />
⎦<br />
⎢<br />
⎣4⎥<br />
⎦<br />
y = [ 1 − 2 − 9 7 6]x<br />
4. (NISE, 2002, p. 118) Utilize o Matlab para obter a representação no espaço de estados em<br />
variáveis de fase para cada um dos sistemas mostrados na Figura 2 a seguir.<br />
6
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 9P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 2 – (NISE, 2002).<br />
5. (DORF; BISHOP, 2001, p. 138) Considere o sistema:<br />
⎡ 0 1<br />
x<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
− 2<br />
y = [ 1 0<br />
0<br />
− 2<br />
0]x<br />
7<br />
0 ⎤ ⎡0⎤<br />
1<br />
⎥<br />
x<br />
⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
+<br />
⎢ ⎥<br />
u<br />
.<br />
− 4⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
1⎥⎦<br />
(a) Usando a função ss2tf, determinar a função de transferência<br />
(b) Traçar a resposta do sistema à condição inicial ( ) [ ] T<br />
Y<br />
U<br />
( s)<br />
() s<br />
x 0 = 0 0 1 para 0 ≤ t ≤ 10 .<br />
6. (3061) Resolver o Exercício 40 da página 173 do (NISE, 2002).<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 10P – Aula de exercícios para P2<br />
Bibliografia<br />
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2003.<br />
788 p. ISBN 8587918230.<br />
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron<br />
Books, c1997. 558 p. : il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3.<br />
1. (DORF; BISHOP, 2001, p. 78) O sistema de posicionamento de alta precisão de uma<br />
peça deslizante está mostrado na figura a seguir, Determinar a função de transferência<br />
X<br />
X<br />
P<br />
IN<br />
() s<br />
() s<br />
quando o coeficiente de atrito viscoso da haste acionadora é b = 1,<br />
a constante<br />
2<br />
de mola da haste acionadora é k d = 3 , m c = e o atrito de deslizamento é b S = 1.<br />
3<br />
Peça deslizante de precisão (DORF; BISHOP, 2001).<br />
1<br />
d
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
2. (PHILLIPS; HARBOR, 1996, p. 79) Construa um diagrama para computador analógico<br />
das seguintes funções de transferência:<br />
6,<br />
3<br />
(a) G () s =<br />
s + 4<br />
(b) G<br />
() s =<br />
s<br />
2<br />
15s<br />
+ 9,<br />
7<br />
+<br />
s<br />
11<br />
+ 79,<br />
7<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
3. (OGATA, 2003, p. 121) Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mecâ-<br />
nico indicado na figura, em que 1 u e 2 u são as entradas e 1<br />
3<br />
y e 2<br />
Sistema mecânico (OGATA, 2003).<br />
y são as saídas.
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
4. (NISE, 2002, p.86) (2,0) Para o motor, a carga e a curva torque-velocidade mostrados na<br />
Θ L<br />
figura a seguir, obter a função de transferência, ()<br />
( s)<br />
G s = .<br />
E s<br />
4<br />
a<br />
()
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
5. (NISE, 2002, p. 116) Represente o circuito elétrico mostrado na figura a seguir no espaço<br />
de estados em que iR() t é a saída.<br />
(NISE, 2002).<br />
6. (2052) Resolver Exercício E2.21 da página 78 do (DORF; BISHOP, 2001, p. 78).<br />
5
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 12P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 12P – Efeitos das não-linearidades<br />
Bibliografia<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Páginas 152-158.<br />
MATSUMOTO, Élia Yathie. Simulink 5. São Paulo: Érica, 2003. 204 p.: il. ; 25 cm ISBN 8571949379.<br />
Página 167.<br />
Nesta aula, vamos examinar qualitativamente os efeitos das não-linearidades sobre a resposta<br />
no domínio do tempo de sistemas físicos.<br />
Nos exemplos a seguir, inserimos nos sistemas não-linearidades como saturação, zona<br />
morta e folgas, mostradas na Figura 1, para mostrar os efeitos destas não-linearidades sobre<br />
as respostas lineares.<br />
Figura 1 – Algumas não-linearidades físicas (NISE, 2002).<br />
As respostas foram obtidas usando o Simulink.<br />
Atividade 1 - Saturação<br />
O sistema da Figura 2 pode ser usado para ilustrar o efeito da saturação de um amplificador na<br />
resposta ao degrau de um motor que é limitar a velocidade obtida.<br />
Figura 2 - Diagrama de blocos em Simulink para ilustrar saturação (NISE, 2002).<br />
Simule este sistema, compare as curvas obtidas e explique o que ocorre.<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 12P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Atividade 2 - Zona morta<br />
O efeito de uma zona morta sobre o ângulo de saída do eixo acionado por um motor com<br />
engrenagens pode ser simulado pelo sistema da Figura 3.<br />
Figura 3 - Efeito da zona morta sobre a resposta de deslocamento angular da carga (NISE,<br />
2002).<br />
Simule este sistema, compare as curvas obtidas e explique o que ocorre.<br />
Atividade 3 - Folgas<br />
O efeito das folgas (backlash) sobre o eixo de saída acionado por um motor com engrenagens<br />
é simulado pelo sistema da Figura 4.<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I – Aula 12P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Figura 4 - Efeito da folga sobre a resposta de deslocamento angular da carga (NISE, 2002).<br />
Quando o motor inverte o sentido de rotação, o eixo de saída permanece parado no início do<br />
movimento de inversão de sentido. Quando as engrenagens finalmente ultrapassam a folga de<br />
contato, o eixo de saída começa a girar no sentido oposto. A resposta resultante é bastante<br />
diferente da resposta de um sistema linear sem folga.<br />
Simule este sistema, compare as curvas obtidas e explique o que ocorre.<br />
Exercício<br />
1. Resolver Exercício 50 da página 176 do (NISE, 2002).<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 13P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 13P – Modelamento de sistemas – o levitador magnético<br />
Bibliografia<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Páginas 1-14.<br />
Manual for Model 730 – Magnetic Levitation System, ECP, 1999.<br />
É OBRIGATÓRIO TRAZER UM DISQUETE PARA ESTA AULA (1 POR DUPLA) PARA<br />
QUE VOCÊ POSSA EXPORTAR OS DADOS DO KIT.<br />
O objetivo desta aula é verificar a validade de um modelo de função de transferência de 2ª<br />
ordem para um sistema físico, o levitador magnético.<br />
Cada grupo obterá a resposta ao degrau do kit. Siga os passos descritos pelo professor.<br />
Pede-se:<br />
(a) Faça um gráfico da resposta ao degrau obtida.<br />
(b) A partir dos pontos obtidos, determine:<br />
a ultrapassagem percentual<br />
o tempo de assentamento<br />
o tempo de subida<br />
o valor da resposta no regime permanente<br />
(c) Com os valores da ultrapassagem percentual e do tempo de assentamento, encontre ζ e<br />
ω n .<br />
(d) Monte a função de transferência experimental G( s ) .<br />
(e) Usando a função step levante a resposta ao degrau de G( s ) e compara com a curva<br />
experimental do item (a).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 14P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
Aula 14P – Aula de exercícios para P3<br />
Bibliografia<br />
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN<br />
0201308649. Página 132.<br />
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN<br />
8521613016. Página 171.<br />
1. (NISE, 2002, p. 171) Para cada uma das respostas ao degrau unitário mostradas na Figura<br />
1, determine a função de transferência do sistema.<br />
Resolução:<br />
Figura 1 – (NISE, 2002).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 14P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
2. (DORF; BISHOP, 2001, p. 132) Um sistema é descrito por equações em variáveis de estado:<br />
()<br />
()<br />
Y s<br />
Determinar G () s = .<br />
U s<br />
Resolução:<br />
⎡ 1 1 −1⎤<br />
⎡0⎤<br />
x<br />
=<br />
⎢<br />
4 3 0<br />
⎥<br />
x<br />
⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎢ ⎥<br />
+<br />
⎢ ⎥<br />
u<br />
.<br />
⎢⎣<br />
− 2 1 10⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
1⎥⎦<br />
y = [ 20 30 10]x<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> 1 – Aula 14P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006<br />
3. (NISE, 2002, p. 171) No sistema mostrado na Figura 2 é aplicado um degrau de torque em<br />
θ 1()<br />
t . Determinar:<br />
Θ 2 ( )<br />
()<br />
(b) A ultrapassagem percentual, o tempo de assentamento e o instante de pico para ( t)<br />
s<br />
(a) A função de transferência G()<br />
s = .<br />
T s<br />
Resolução:<br />
Figura 2 – (NISE, 2002).<br />
4. (DORF; BISHOP, 2001, p. 78) (1,5) A função de transferência de um sistema é:<br />
Y ( s)<br />
10(<br />
s + 2)<br />
= 2<br />
R()<br />
s s + 8s<br />
+ 15<br />
Determinar y () t quando r () t for um degrau unitário de entrada.<br />
Resolução:<br />
3<br />
θ .<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2006<br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
Lista de Exercícios Suplementares 1 – 1º semestre 2006<br />
1. Resolva o Exercício P1.2 da página 20 do (DORF; BISHOP, 1998).<br />
2. Resolver Exercício E2.4 da página 76 do (DORF; BISHOP, 2001).<br />
Respostas: no livro.<br />
3. Resolver Exercício 8 da página 23 do (NISE, 2002).<br />
4. Resolver Exercício 17 da página 25 do (NISE, 2002).<br />
5. Resolver Exercício 1 da página 81 do (NISE, 2002).<br />
Respostas: (a)<br />
1<br />
; (b)<br />
s<br />
1<br />
2<br />
s<br />
; (c)<br />
s<br />
ω<br />
; (d)<br />
2 2<br />
+ ω<br />
s<br />
s<br />
.<br />
2 2<br />
+ ω<br />
6. Resolver Exercício 2 da página 81 do (NISE, 2002).<br />
Respostas: (a)<br />
ω<br />
2 2<br />
( s + a)<br />
+ ω<br />
; (b)<br />
( s + a)<br />
2 2<br />
( s + a)<br />
+ ω<br />
; (c)<br />
6<br />
4<br />
s<br />
7. Resolver Exercício 4 da página 81 do (NISE, 2002).<br />
−t<br />
Respostas: (a) x()<br />
t = −0,<br />
2cos<br />
2t<br />
− 0,<br />
1sin<br />
2t<br />
+ e ( 2,<br />
2cost<br />
− 0,<br />
6sin<br />
t)<br />
9<br />
1 1<br />
cos 2t<br />
+<br />
8<br />
8 4<br />
2<br />
+ sin 2t<br />
− t .<br />
8. Resolver Exercício 7 da página 81 do (NISE, 2002).<br />
Resposta:<br />
s<br />
s<br />
3<br />
3<br />
+ s<br />
+ 3s<br />
2<br />
4<br />
2<br />
+ 6s<br />
+ 8<br />
+ 5s<br />
+ 1<br />
.<br />
9. Resolver Exercício 10 da página 82 do (NISE, 2002).<br />
d 3<br />
+ δ .<br />
5<br />
c<br />
5<br />
dt<br />
4<br />
d c<br />
4<br />
dt<br />
3<br />
d c<br />
3<br />
dt<br />
dc<br />
dt<br />
2<br />
Resposta: 3 + 2 + 5 + 2c<br />
= 18 () t + ( 36 + 90t<br />
+ 9t<br />
+ 3t<br />
) u()<br />
t<br />
10. Resolver Exercício 12 da página 82 do (NISE, 2002).<br />
11. Resolver Exercício 14 da página 82 do (NISE, 2002).<br />
1<br />
.<br />
− t −t<br />
−t<br />
; (b) 5e − e + 9te<br />
− 2 + t ; (c)<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2006<br />
12. Resolver Exercício 17 da página 82 do (NISE, 2002).<br />
Respostas: (a)<br />
s<br />
2<br />
s<br />
+ 3s<br />
+ 1<br />
; (b)<br />
4s<br />
2<br />
2<br />
2s<br />
+ 3s<br />
+ 1<br />
13. Resolver Exercício 19 da página 82 do (NISE, 2002).<br />
Respostas: (a)<br />
6s<br />
3<br />
2<br />
3s 2<br />
+ 5s<br />
+ 4s<br />
+ 2<br />
; (b)<br />
s<br />
2s<br />
2<br />
2<br />
.<br />
+ 3s<br />
+ 1<br />
+ 7s<br />
+ 2<br />
14. Resolver Exercício 23 da página 83 do (NISE, 2002).<br />
Resposta:<br />
1<br />
2<br />
s + 1<br />
.<br />
15. Resolver Exercício B.3.20 da página 122 do (OGATA, 2003).<br />
16. Resolver Exercício 2.1 da página 70 do (PHILLIPS; HARBOR, 1997).<br />
Respostas: (a)<br />
sR1R2C<br />
+ R2<br />
sR R C + R + R<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
; (b) R2<br />
; (c)<br />
5 ⋅10<br />
5 ⋅10<br />
.<br />
−5<br />
−5<br />
s + 10<br />
s + 20<br />
e 10, respectivamente.<br />
17. Resolver Exercício 1.10 da página 32 do (SILVEIRA; SANTOS, 1999).<br />
18. (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 1995, p. 113) Usando a técnica de transfor-<br />
madas de Laplace, encontre a resposta forçada da equação diferencial:<br />
()<br />
−3t<br />
em que x t = e , t ≥ 0 .<br />
2<br />
d y dy dx<br />
+ 4 + 4y<br />
= 3 + 2x<br />
,<br />
2<br />
dt dt dt<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006<br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
Lista de Exercícios Suplementares 2 – 2º semestre 2006<br />
1. Resolver Exercício E2.21 da página 78 do (DORF; BISHOP, 2001).<br />
Resposta: no livro.<br />
2. Resolver Exercício PM2.3 da página 91 do (DORF; BISHOP, 2001).<br />
3. Resolver Exercício E3.4 da página 128 do (DORF; BISHOP, 2001).<br />
⎧ ⎡ 0<br />
⎪<br />
x =<br />
⎢<br />
⎨<br />
⎢<br />
0<br />
⎪<br />
⎢⎣<br />
− 4<br />
⎪<br />
⎩y<br />
=<br />
Resposta: .<br />
[ 1 0 0]<br />
1 0 ⎤ ⎡0⎤<br />
0 1<br />
⎥<br />
+<br />
⎢ ⎥<br />
⎥<br />
x<br />
⎢<br />
0<br />
⎥<br />
u<br />
− 3 − 2⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
5⎥⎦<br />
x + 0u<br />
4. Resolver Exercício E3.19 da página 129 do (DORF; BISHOP, 2001).<br />
Resposta: no livro.<br />
5. Resolver o Exercício 16(b) da página 82 do (NISE, 2002).<br />
V ( )<br />
O s s<br />
Resposta: (a)<br />
( ) 2<br />
= .<br />
V s s + s + 1<br />
I<br />
2<br />
6. Resolver Exercício 17(a) da página 82 do (NISE, 2002).<br />
7. Resolver Exercício 33 da página 84 do (NISE, 2002).<br />
Resposta:<br />
Θ 2 ( s)<br />
=<br />
T ( s)<br />
20s<br />
2<br />
3<br />
+ 13s<br />
+ 4<br />
8. Resolver Exercício 37 da página 85 do (NISE, 2002).<br />
.<br />
9. Resolver Exercício 40 da página 85 do (NISE, 2002). (Ao primeiro aluno que en-<br />
tregar a solução completa e correta deste exercício será acrescentado 0,5 ponto<br />
à nota da prova P2).<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006<br />
Resposta:<br />
X<br />
T<br />
() s<br />
() s<br />
=<br />
s<br />
2<br />
+<br />
8<br />
21<br />
9<br />
s<br />
21<br />
+<br />
4<br />
21<br />
10. Resolver Exercício 42 da página 85 do (NISE, 2002).<br />
Resposta:<br />
Θ<br />
E<br />
L<br />
a<br />
() s 0,<br />
1667<br />
=<br />
() s s(<br />
s + 1,<br />
6667)<br />
11. Resolver Exercício 43 da página 86 do (NISE, 2002).<br />
Resposta:<br />
G s<br />
( )<br />
1<br />
=<br />
12s( s + 0,75)<br />
12. Resolver Exercício 44 da página 86 do (NISE, 2002).<br />
Resposta: G () s<br />
=<br />
s<br />
0,<br />
222<br />
( s + 0,<br />
122)<br />
13. Resolver Exercício 54 da página 87 do (NISE, 2002).<br />
Resposta:<br />
Y<br />
F<br />
() s<br />
() s<br />
= 2<br />
s<br />
1<br />
M<br />
f<br />
+ s<br />
M<br />
v +<br />
K<br />
M<br />
.<br />
.<br />
.<br />
W<br />
s<br />
D<br />
, com F()<br />
s = .<br />
14. Resolver Exercício 1 da página 116 do (NISE, 2002).<br />
15. Resolver Exercício 3 da página 116 do (NISE, 2002).<br />
16. Resolver Exercício 4 da página 116 do (NISE, 2002).<br />
T<br />
Resposta: x ⎡x1 v1 x2 v2 x3 v ⎤<br />
3<br />
,<br />
= ⎢⎣ ⎥⎦<br />
17. Resolver Exercício 5 da página 117 do (NISE, 2002).<br />
⎧⎪ ⎡ 0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪<br />
⎢−1 −3<br />
1 1 0 1 ⎥ ⎢0⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪ ⎢<br />
0 0 0 1 0 0<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪<br />
⎪x=<br />
⎢ ⎥x + ⎢ ⎥u<br />
⎨<br />
⎪ ⎢ 1 1 −1 −2<br />
0 1 ⎥ ⎢1⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪<br />
⎢ 0 0 0 0 0 1 ⎥ ⎢0⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎪ 0 1 0 1 0 −3<br />
0<br />
⎪<br />
⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦<br />
⎪ y = ⎡0 0 0 0 1 0⎤ ⎪⎩ ⎢ ⎥ x + 0u<br />
⎣ ⎦<br />
2<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006<br />
18. Resolver Exercício 6 da página 117 do (NISE, 2002).<br />
19. Resolver Exercício 8 da página 118 do (NISE, 2002).<br />
20. Resolver Exercício 13 da página 118 do (NISE, 2002).<br />
3
Automação e <strong>Controle</strong> I - Lista de Exercícios Suplementares 3 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
Lista de Exercícios Suplementares 3 – 2º semestre 2006<br />
1. Resolver Exercício E2.18 da página 78 do (DORF; BISHOP, 2001).<br />
Resposta: ( )<br />
4 5 −3t −5t<br />
y t = + e − 3 e , t ≥ 0.<br />
3 3<br />
2. Resolver Exercício 26 da página 84 do (NISE, 2002).<br />
Resposta:<br />
G s<br />
( )<br />
s + 1<br />
= .<br />
4 3 2<br />
s + 5s + 8s + 5s + 1<br />
3. Resolver Exercício 5 da página 117 do (NISE, 2002).<br />
4. Resolver Exercício 10 da página 118 do (NISE, 2002).<br />
5. Resolver Exercício 12 da página 118 do (NISE, 2002).<br />
6. Resolver Exercício 14 da página 118 do (NISE, 2002).<br />
10<br />
+ 5s<br />
+ 2s<br />
+ 3<br />
2<br />
Resposta: (a) G () s =<br />
; (b) G () s =<br />
; (c)<br />
3 2<br />
3 2<br />
() s<br />
s<br />
2<br />
23s − 48s<br />
− 7<br />
2<br />
+ 3s<br />
+ 19s<br />
−133<br />
G =<br />
.<br />
3<br />
s<br />
7. Resolver Exercício 18 da página 119 do (NISE, 2002).<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
b<br />
Resposta: x = 0 0 1 x + 0 δ () t ; y = ⎢ 1 0⎥x<br />
.<br />
⎢ K<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
0 K1<br />
K 2 K a<br />
⎣ K a ⎦<br />
⎢−<br />
⎢⎣<br />
K<br />
3<br />
1<br />
−<br />
K<br />
3<br />
0<br />
−<br />
K<br />
3<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎡ ⎤<br />
⎢ 0 ⎥<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
K<br />
3<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
1<br />
⎡ K<br />
8. Resolver Exercício 21 da página 120 do (NISE, 2002).<br />
9. Resolver Exercício 22 da página 120 do (NISE, 2002).<br />
2<br />
− 272,<br />
06<br />
Resposta: () ( s + 1,<br />
8647s<br />
+ 84,<br />
128)<br />
( s + 14)(<br />
s −1,<br />
7834)(<br />
s + 4,<br />
9034)<br />
49s<br />
− 349s<br />
+ 452<br />
s − 3s<br />
− 27s<br />
+ 157<br />
G 1 s =<br />
; G 2 () s =<br />
.<br />
10. Resolver Exercício 24 da página 121 do (NISE, 2002).<br />
⎤<br />
− 507,<br />
71(<br />
s + 1,<br />
554)<br />
( s + 14)(<br />
s −1,<br />
7834)(<br />
s + 4,<br />
9034)
Automação e <strong>Controle</strong> I - Lista de Exercícios Suplementares 3 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Resposta:<br />
⎡ 0 1 0<br />
⎢<br />
x ⎢<br />
− 9353<br />
=<br />
⎢ 0<br />
⎢<br />
⎣ 406<br />
y = [ 0,<br />
9491<br />
−14,<br />
29 769,<br />
2<br />
0 0<br />
7,<br />
558 − 406<br />
0 0 0]x<br />
0 ⎤ ⎡ 0 ⎤<br />
14,<br />
29<br />
⎥ ⎢<br />
0<br />
⎥<br />
⎥x<br />
+ ⎢ ⎥<br />
1 ⎥ ⎢ 0 ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
− 9,<br />
302⎦<br />
⎣0,<br />
0581⎦<br />
11. Resolver Exercício 1 da página 170 do (NISE, 2002).<br />
12. Resolver Exercício 2 da página 170 do (NISE, 2002).<br />
2<br />
− 272,<br />
06<br />
Resposta: () ( s + 1,<br />
8647s<br />
+ 84,<br />
128)<br />
G 1 s =<br />
; G 2 () s =<br />
.<br />
( s + 14)(<br />
s −1,<br />
7834)(<br />
s + 4,<br />
9034)<br />
13. Resolver Exercício 7 da página 170 do (NISE, 2002).<br />
14. Resolver Exercício 9 da página 170 do (NISE, 2002).<br />
15. Resolver Exercício 10 da página 170 do (NISE, 2002).<br />
5s<br />
+ 136s<br />
−1777<br />
s − s − 91s<br />
+ 67<br />
2<br />
f cima<br />
2<br />
Resposta: G () s =<br />
; pólos : 9,<br />
683;<br />
0,<br />
7347;<br />
− 9,<br />
4179<br />
3 2<br />
16. Resolver Exercício 11 da página 170 do (NISE, 2002).<br />
() t<br />
− 507,<br />
71(<br />
s + 1,<br />
554)<br />
( s + 14)(<br />
s −1,<br />
7834)(<br />
s + 4,<br />
9034)<br />
17. Resolver Exercício 13 da página 170 do (NISE, 2002). (Ao primeiro aluno que entregar<br />
a solução completa e correta deste exercício será acrescentado 0,5 ponto à nota da<br />
prova PAF).<br />
18. Resolver Exercício 25 da página 171 do (NISE, 2002).<br />
G s<br />
Resposta: (a) ( )<br />
=<br />
1<br />
3 ;<br />
2<br />
s + 5s + 11<br />
(b)<br />
ζ = 0,7538; ω = 11; % UP = 2,722%; T = 1,6s; T = 1,44s; T = 0,6963s .<br />
n S P R<br />
19. Resolver Exercício 26 da página 171 do (NISE, 2002).<br />
Θ<br />
( )<br />
2<br />
Resposta: (a) =<br />
T( s) 2<br />
s s<br />
s<br />
1<br />
+ + 1<br />
; (b) 16,30%; 8s e 3,627s respectivamente.<br />
20. Resolver Exercício 29(a) da página 171 do (NISE, 2002).
Automação e <strong>Controle</strong> I - Lista de Exercícios Suplementares 3 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Resposta:<br />
G s<br />
( )<br />
75<br />
=<br />
s + 37,5<br />
.<br />
21. Resolver Exercício 40 da página 173 do (NISE, 2002).<br />
22. Resolver Exercício B.3.10 da página 121 do (OGATA, 2003).<br />
Resposta:<br />
G s<br />
( )<br />
=<br />
s<br />
2<br />
s + 5s + 7<br />
.<br />
23. (DORF; BISHOP, 2001, p. 98) Uma impressora a laser usa um raio de laser para imprimir<br />
cópias rapidamente de um computador. O laser é posicionado por uma entrada de controle,<br />
r( t ) , de forma que<br />
5( s + 100)<br />
Y ( s) = ( )<br />
2<br />
R s . (1)<br />
s + 60s + 500<br />
A entrada r( t ) representa a posição desejada para o raio de laser.<br />
(a) Se r( t ) for um degrau unitário, encontre a saída y( t ) .<br />
(b) Qual o valor final de y( t ) ?<br />
Resposta: (a) ( )<br />
−50t −10t<br />
y t = 1+ 0,125e −1,125 e , t ≥ 0;<br />
(b) 1.<br />
24. (DORF; BISHOP, 2001, p. 164) Um sistema é descrito no espaço de estados por:<br />
⎡<br />
⎢<br />
1<br />
⎢<br />
x= ⎢ 4<br />
⎢<br />
⎢−2 ⎣<br />
1<br />
3<br />
1<br />
−1⎤<br />
⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
0 ⎥x + ⎢0⎥u ⎥ ⎢ ⎥ .<br />
10⎥ ⎢1⎥ ⎦ ⎣ ⎦<br />
(2)<br />
y = ⎡<br />
⎢20 ⎣<br />
Y ( s)<br />
Determine G( s)<br />
= .<br />
U( s)<br />
30 10⎤<br />
⎥ x<br />
⎦<br />
2<br />
10s −60s −70<br />
Resposta: G( s)<br />
= .<br />
3 2 s − 14s + 37s + 20<br />
VO<br />
s<br />
25. (DiSTEFANO et al., 1990, p. 138) Obtenha a função de transferência G()<br />
s = do<br />
V s<br />
compensador por atraso/avanço de fase implementado através de uma rede RC mostrada<br />
na figura a seguir.<br />
3<br />
I<br />
( )<br />
()
Automação e <strong>Controle</strong> I - Lista de Exercícios Suplementares 3 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Resposta:<br />
(DISTEFANO et al., 1990).<br />
2 ⎛ 1 1 ⎞ 1<br />
s + ⎜<br />
s<br />
V ( )<br />
O s ⎜<br />
⎟<br />
⎜⎝<br />
+ +<br />
RC 2 2 RC 1 1⎠ ⎟ RC 1 1RC 2 2<br />
=<br />
V ( )<br />
I s 2 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1<br />
s + ⎜<br />
⎟<br />
⎜⎝<br />
+ + s +<br />
RC RC RC ⎠<br />
⎟ RC RC<br />
2 2 1 1 2 1 1 1 2 2<br />
26. (DORF; BISHOP, 2001, p. 78) Considere o sistema mecânico esboçado na figura a seguir.<br />
A entrada é dada por f () t e a saída por y ( t)<br />
. Determinar a função de transferência de<br />
f () t para y () t e escrever uma seqüência de comandos Matlab que permita traçar a<br />
curva da resposta a uma entrada degrau unitário. Considere m = 10 , k = 1 e b = 0,<br />
5 .<br />
(DORF; BISHOP, 2001, p. 78)<br />
4<br />
.
Automação e <strong>Controle</strong> I –Trabalho 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2006<br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
Trabalho 1 – 2º semestre 2006 - Sensores<br />
Este trabalho vale 0,5 ponto somado à nota da Prova P1.<br />
Instruções:<br />
Deve ser entregue impreterivelmente até o dia 05/09 – data da P1<br />
Em folha de papel A4 MANUSCRITO, com nome e número de matrícula. A resposta<br />
não pode ultrapassar 1 página. Caso qualquer uma dessas condições não seja atendida, o<br />
trabalho não será aceito.<br />
Cada aluno deve resolver e entregar a APENAS a questão cujo número coincide com o<br />
dígito do seu número de matrícula.<br />
O assunto do trabalho, sensores, é matéria para a P1. Uma dessas questões pode cair na<br />
prova.<br />
Entre outras, uma possível referência a ser utilizada para resolver as questões é:<br />
PAZOS, F. Automação de sistemas & robótica. Rio de Janeiro: Axcel Books, 2002. Capí-<br />
tulo 4.<br />
0. O que são transdutores? O que são sensores?<br />
1. Qual a diferença entre sensores analógicos e digitais?<br />
2. Explique as seguintes características dos sensores: faixa, resolução, sensibilidade, lineari-<br />
dade, histerese.<br />
3. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de temperatura.<br />
4. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de presença.<br />
5. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de posição.<br />
6. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de força.<br />
7. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de velocidade.<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I –Trabalho 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2006<br />
8. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de luz.<br />
9. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de pressão.<br />
2
Automação e <strong>Controle</strong> I –Trabalho 2 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006<br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
Trabalho 2 – 2º semestre 2006<br />
Tecnologias associadas à automação<br />
Este trabalho vale 0,5 ponto somado à nota da Prova P2<br />
Instruções:<br />
Deve ser entregue impreterivelmente até o dia 10/10 – data da P2<br />
Em folha de papel A4 MANUSCRITO, com nome e número de matrícula. A resposta<br />
não pode ultrapassar uma folha. Caso qualquer uma dessas condições não seja atendida,<br />
o trabalho não será aceito.<br />
Cada aluno deve resolver e entregar a APENAS as seguintes questões de acordo com o<br />
dígito do seu número de matrícula:<br />
0 – 1 e 16<br />
1 – 2 e 15<br />
2 – 3 e 14<br />
3 – 4 e 13<br />
4 – 5 e 12<br />
5 – 6 e 11<br />
6 – 7 e 10<br />
7 – 8 e 9<br />
8 – 4 e 10<br />
9 – 6 e 12<br />
As questões se referem ao livro:<br />
SILVEIRA, P. R; SANTOS, W. E. Automação e controle discreto, 2 a edição. São Paulo:<br />
Érica, 1999. Página 209.<br />
1
Automação e <strong>Controle</strong> I –Trabalho 3 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006<br />
Automação e <strong>Controle</strong> I<br />
Trabalho 3 – 2º semestre 2006<br />
Tecnologia e sociedade<br />
Este trabalho vale 0,5 ponto somado à nota da Prova PAF<br />
Instruções:<br />
Deve ser entregue impreterivelmente até o dia 28/11 – data da PAF<br />
Em folha de papel A4 MANUSCRITO, com nome e número de matrícula. A resposta<br />
não pode ultrapassar 1 página. Caso qualquer uma dessas condições não seja atendida, o<br />
trabalho não será aceito.<br />
Cada aluno deve resolver e entregar a APENAS a seguinte questão de acordo com o dígito<br />
do seu número de matrícula:<br />
Dígito 0 – Questão 1<br />
Dígito 1 – Questão 2<br />
Dígito 2 – Questão 3<br />
Dígito 3 – Questão 4<br />
Dígito 4 – Questão 5<br />
Dígito 5 – Questão 6<br />
Dígito 6 – Questão 7<br />
Dígito 7 – Questão 8<br />
Dígito 8 – Questão 9<br />
Dígito 9 – Questão 10<br />
As questões se referem ao livro:<br />
SILVEIRA, Paulo Rogério da; SANTOS, Winderson E. dos. Automação e controle discreto.<br />
2. ed. São Paulo: Érica, 1999. 229 p. : il. ; 24 cm ISBN 85-7194-591-8. Páginas 31<br />
e 32.<br />
1