Universidade Presbiteriana Mackenzie Automaç˜ao e Controle I

Universidade Presbiteriana Mackenzie 

Curso de Engenharia Elétrica 

Automação e Controle I 

Notas de Aula 

Prof. Marcio Eisencraft 

Segundo semestre de 2006




TEORIA 



Automação e Controle I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 



Professor Marcio Eisencraft (marcioft@mackenzie.br) 

1. Objetivos 

2º Semestre 2006 

Introduzir os fundamentos matemáticos de Automação e Controle e ilustrar al- 

gumas de suas aplicações à Engenharia de Produção. 

2. Aulas de Teoria e Prática 

Nas aulas de prática serão vistas aplicações dos assuntos abordados nas aulas 

de teoria. Serão utilizados kits didáticos e a ferramenta computacional Ma- 

tlab, principalmente seu ferramental (toolbox) para a área de controle. 

Aulas de exercícios serão realizadas próximo das datas das provas. 

3. Avaliação 

Serão realizadas três avaliações versando sobre o conteúdo visto nas aulas de 

teoria e de prática. 

O aluno estará aprovado caso consiga média maior ou igual a 7,0 e estará re- 

provado caso consiga média inferior a 5,5. Se a média ficar entre 5,5 e 6,9 o 

aluno será aprovado caso possua mais de 80% de presença em aula, caso con- 

trário estará reprovado. 

Cada avaliação será constituída de duas notas: 

o Nota da Prova – 0,0 a 9,0 

o Nota de Relatórios da Aula Prática e Trabalhos– 0,0 a 1,5 

1


Nas aulas de prática os alunos formarão grupos de um ou dois alunos. Ao 

final de todas as aulas será passada uma atividade a ser entregue pelo grupo 

no início da aula prática seguinte. A tolerância para entrega desta atividade é 

de 10 minutos. 

Importante: O relatório deve ser entregue em folha de papel A4 cons- 

tando dos nomes, números de matrículas e número da aula à qual a ati- 

vidade se refere. FORA DESSAS CONDIÇÕES, O RELATÓRIO NÃO 

SERÁ ACEITO. 

Os relatórios das aulas de prática formarão uma nota indo de 0,0 a 1,0. Antes 

de cada prova será passado um trabalho envolvendo tópicos da ementa do 

curso que valerá 0,5 ponto complementando 1,5 pontos. 

Será considerado presente o aluno que estiver em sala no momento em que é 

realizada a chamada. Não serão abonadas faltas (exceto casos previstos em 

lei). A tolerância para entrada na aula é de 30min. 

Para que o grupo tenha presença nas aulas de prática é indispensável que pelo 

menos um dos componentes tenha a apostila da aula. 

As provas serão realizadas no horário das aulas de teoria nos seguintes dias: 

4. Conteúdo Programático 

PROVA Turma F (3ª feira) Peso 

1. Introdução (NISE, 2002, pp. 2-25) 

P1 05/09 Peso 1 

P2 10/10 Peso 1 

P3 A ser definida Peso 2 

2


1.1. Introdução 

1.2. História dos Sistemas de Controle 

1.3. O Engenheiro e sistemas de controle e automação 

1.4. Características da resposta e configurações de sistemas 

1.5. Objetivos de análise e de projeto 

1.6. Procedimento de projeto 

1.7. Projeto assistido por computador (CAD) 

2. Modelagem no domínio da freqüência (NISE, 2002, pp. 27-88). 

2.1. Revisão sobre transformada de Laplace 

2.2. Função de transferência 

2.3. Modelagem de circuitos elétricos 

2.4. Modelagem de sistemas mecânicos em translação 

2.5. Modelagem de sistemas mecânicos em rotação 

2.6. Modelagem de sistemas com engrenagens 

2.7. Modelagem de sistemas eletromecânicos 

2.8. Estudo de caso 

3. Modelagem no domínio do tempo (NISE, 2002, pp. 90-122). 


3.2. Observações 

3.3. Representação geral no espaço de estados 

3.4. Aplicando a representação no espaço de estados 

3.5. Conversão de função de transferência para espaço de estados 

3.6. Conversão de espaço de estados para função de transferência 


4. Resposta no domínio do tempo (NISE, 2002, pp. 123-177). 


4.2. Pólos, zeros e resposta do sistema. 

4.3. Sistemas de primeira ordem 

4.4. Sistemas de segunda ordem: Introdução 

4.5. Sistemas de segunda ordem geral 

3


4.6. Sistemas de segunda ordem sub-amortecidos 

4.7. Solução das equações de estado pela transformada de Laplace 

4.8. Estudos de caso 

5. Redução de sistemas múltiplos (NISE, 2002, pp. 179-233). 

5. Bibliografia 


5.2. Diagramas de blocos 

5.3. Análise e projeto de sistemas com retroação 

5.4. Diagramas de fluxo de sinal 

A cada aula (de teoria e de prática), notas de aula serão disponibilizadas 

no site http://meusite.mackenzie.com.br/marcioft/ . Além disso, listas de exercí- 

cios serão fornecidas. 

A principal referência que será utilizada durante todo o curso é 

NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 

c2002. 695 p. ISBN 8521613016. 

Outras referências disponíveis em vários exemplares na biblioteca: 

CHAPMAN, Stephen J. Programação em MATLAB para engenheiros. 

São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 477 p. ISBN 8522103259. 

DISTEFANO, J. J.; STUBBERUD, A. R.; WILLIAMS, I. J. Schaum´s out- 

line of theory and problems of feedback control systems. 2 nd edition, New 

York: McGraw-Hill, 1990. 496p. ISBN 0070170525. 

DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: 

LTC, 2001. 659 p. ISBN 0201308649. 

HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto alegre: Bo- 

okman, 2001. 668 p. : il. (algumas ISBN 8573077417). 

LATHI, Bhagwandas Pannalal. Signal processing and linear systems. Cali- 

fornia: Berkeley, c1998. 734 p. ISBN 0941413357. 

4


Manual for Model 730 – Magnetic Levitation System. ECP, 1999. 

MATSUMOTO, Élia Yathie. Simulink 5. São Paulo: Érica, 2003. 204 p. : il. 

; 25 cm ISBN 8571949379. 

MITRA, Sanjit K. Digital signal processing : a computer-based approach. 

2nd ed. Boston: McGraw-Hill, c2001. 866 p. : il. ; 24 cm ISBN 0072321059. 

NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janei- 

ro: LTC, c2002. 695 p. ISBN 8521613016. 

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: 

Prentice-Hall do Brasil, 2003. 788 p. ISBN 8587918230 

PAZOS, Fernando. Automação de sistemas & robótica. Rio de janeiro: 

Axcel Books, c2002. 377 p. : il. ; 23 cm ISBN 8573231718. 

PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e reali- 

mentação. São Paulo ; Rio de Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 

8534605963. 

SILVEIRA, Paulo Rogério da; SANTOS, Winderson E. dos. Automação e 

controle discreto. 2. ed. São Paulo: Érica, 1999. 229 p. : il. ; 24 cm ISBN 

85-7194-591-8 

6. Monitoria e atendimento 

O monitor da disciplina e seu horário serão disponibilizados no site da disci- 

plina assim que possível. 

Atendimento pelo professor pode ser agendado por e-mail. 

5


Aula 1T - Introdução aos sistemas de controle 

Bibliografia 

NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN 

8521613016. Páginas 1-10. 

DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN 

0201308649. Páginas 1-14. 

CAPÍTULO 1 – Introdução 

Objetivos: 

Definição e aplicações de sistemas de controle 

Histórico 

Benefícios 

Características e configurações básicas 

Projetos 


• Definição: um sistema de controle consiste em subsistemas e processos (ou 

plantas) reunidos com o propósito de controlar as saídas dos processos. Isto é 

mostrado esquematicamente na Figura 1. 

Figura 1 – Descrição simplificada de um sistema de controle (NISE, 2002). 

Exemplos: 

(a) Controle de uma caldeira: calor produzido pelo fluxo de combustível. Ter- 

mostatos (sensores) medem temperatura da sala e válvulas de combustível e atu- 

adores de válvulas de combustível são usadas para regular a temperatura da sala 

controlando a saída de calor da caldeira. 

1


(b) Pâncreas – regula açúcar no sangue. 

(c) Olhos seguindo um objeto 

(d) Peças mecânicas usinadas automaticamente. 

Figura 2 - a. Os elevadores primitivos eram controlados por cabos manuais ou 

por um operador de elevador. Aqui, uma corda é cortada para demonstrar o freio 

de segurança, uma inovação nos elevadores primitivos; b. os modernos elevado- 

res de transporte duplo fazem sua subida no Grande Arche em Paris, conduzido 

por um motor, com cada carro contrabalançando o outro. Hoje, os elevadores 

são completamente automáticos, usando sistemas de controle para regular posi- 

ção e velocidade. (NISE, 2002). 

Razões para se utilizar sistemas de controle: 

(a) Amplificação de potência 

Elevador hidráulico em postos de combustíveis. 

(b) Controle remoto 

2


Robôs úteis em localidades remotas ou perigosas. 

Figura 3 - O Rover foi construído para trabalhar nas áreas contaminadas de 

Three Mile Island em Middleton, PA, onde ocorreu um acidente nuclear em 

1979. O longo braço do robô de controle remoto pode ser visto na frente do veí- 

culo (NISE, 2002). 

(c) Facilidade de uso da forma de entrada 

Sistemas de controle de temperatura. 

(d) Compensação de perturbações 

Exemplo: antena apontando para direção comandada. Se um vento força a ante- 

na a se deslocar de sua posição comandada, o sistema deve ser capaz detectar a 

perturbação e corrigir o problema. 

3


1.2. Histórico 

Controle de nível de líquidos: 300 a.C. – relógio de água, lampião a óleo. 

Controle de pressão de vapor e temperatura: século XVII – válvula de segu- 

rança, controle de temperatura para chocar ovos. 

Controle de velocidade: século XVIII – moinho de vento, máquinas a vapor. 

Estabilidade, estabilização, condução: século XIX – controle de embarca- 

ções. 

Desenvolvimentos no século XX: projeto no domínio da freqüência (Bode, 

Nyquist). 

Aplicações contemporâneas: meios de transporte, plantas industriais, ônibus 

espaciais, entretenimento, etc. 

Importância dos computadores. 

1.3. O Engenheiro de Controle e Automação 

Percorre inúmeras áreas do conhecimento e inúmeras funções dentro dessas 

áreas. Engenheiro de A&C pode ser encontrado no nível mais elevado de 

grandes projetos, envolvido na fase conceitual de determinar ou implementar 

os requisitos globais do sistema. 

Engenheiro de A&C interage com inúmeros ramos da Engenharia e das ciên- 

cias. Expansão de horizontes da Engenharia além do currículo universitário. 

Vantagem a um estudante (além de se graduar he he...): 

o Ênfase no projeto de cima para baixo (top-down) 

o Abordagem sistêmica diferentemente dos outros cursos até aqui 

o A abordagem de baixo para cima é usada nos cursos anteriores 

principalmente por causa do alto nível matemático necessário. 

o Este curso esclarecerá os procedimentos de análise e planejamento 

e mostrará a você como o conhecimento adquirido se encaixa den- 

tro do projeto do sistema. 

4


Figura 4 - a. Reprodutor de disco de vídeo a laser; b. lentes objetivas lendo de- 

pressões no disco; c. trajetória óptica para reprodução mostrando o espelho de 

rastreamento acionado angularmente por um sistema de controle para manter o 

feixe de laser posicionado nas depressões (NISE, 2002). 

5


1.4. Características de resposta e configuração de sistema 

Entrada e saída 

Sistema de controle fornece uma saída ou resposta para uma dada entrada ou 

estímulo. A entrada representa a resposta desejada, a saída é a resposta real. 

Exemplo: botão do quarto andar de um elevador é pressionado do térreo. 

Elevador deve subir com uma velocidade e uma precisão de nivelamento 

projetados para o conforto do passageiro. Estas características são, respecti- 

vamente, a resposta transitória e o erro de estado estacionário. 

Sistema a malha aberta 

Figura 5 - Entrada e saída do elevador (NISE, 2002). 

Figura 6 - Diagrama de blocos dos sistemas de controle: a. sistema a malha aber- 

ta (NISE, 2002). 

6


Transdutor de entrada – converte a forma de entrada na usada pelo controla- 

dor. 

Controlador – age sobre o processo ou planta. 

Característica que distingue sistemas a malha aberta: não pode compensar a 

ação de quaisquer perturbações que sejam adicionadas. 

Exemplos: torradeira simples; digitação de texto sem se olhar na tela. 

Sistema a malha fechada (controle com retroação) 

Figura 7 - Diagrama de blocos dos sistemas de controle: b. sistema a malha fe- 

chada (NISE, 2002). 

Transdutor de entrada: converte forma de onda de entrada na forma usada 

pelo controlador. 

Transdutor de saída ou sensor: mede a resposta de saída e a converte na 

forma usada pelo controlador. 

Vantagem: compensa perturbações medindo o sinal de saída. Maior precisão, 

menos sensível a ruídos. 

Desvantagem: mais complexos e caros. 

Exemplos: torradeira “automática” (mede cor do pão); digitação de texto 

conferindo-se o resultado na tela. 

Exercícios 

1. (NISE, 2002, p. 21) Cite três aplicações de sistemas de controle com retroa- 

ção. 

7


2. (NISE, 2002, p. 21) Cite três razões para o uso de sistemas de controle com 

retroação e pelo menos uma razão para não usá-los. 

3. (NISE, 2002, p. 21) Dê três exemplos de sistemas a malha aberta. 

4. (NISE, 2002, p. 21) Um resistor variável, chamado potenciômetro, é mostra- 

do a seguir: 

Figura 8 – Potenciômetro (NISE, 2002). 

A resistência é variada pelo movimento de um cursor de contato deslizante ao 

longo de uma resistência fixada. A resistência entre A e C é fixa, mas a resistên- 

cia entre B e C varia com a posição do cursor. Se forem necessárias 10 voltas 

para mover o cursor de contato deslizante de A para C, desenhe um diagrama de 

blocos do potenciômetro mostrando a variável de entrada, a variável de saída e 

(dentro do bloco) o ganho, que é uma constante e é a quantidade pela qual a en- 

trada deve ser multiplicada para se obter a saída. 

8


5. (NISE, 2002, p. 24) Resolva a seguinte equação diferencial usando os méto- 

dos clássicos. Suponha que as condições iniciais sejam iguais a zero. 

dx 

+ 

7 x = 5cos 

2t 

dt 

9


Aula 2T - Projeto de um sistema de controle 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 10-26. 


0201308649. Páginas 14-24. 

1.5. Objetivos de análise e de projeto 

Objetivos de análise e de projeto de sistemas: 

Produzir resposta transitória desejada; 

Reduzir erro de estado estacionário; 

Garantir estabilidade; 

Minimizar Custo; 

Minimizar sensibilidade de desempenho a mudanças nos parâmetros. 

Resposta transitória 

Muito importante. Exemplos: elevador; em um computador contribui para o 

tempo necessário para leitura ou gravação no disco rígido (HD). 

Figura 1 - Acionador de disco rígido de computador, mostrando discos e cabeça 

de leitura/gravação (NISE, 2002). 

1


Resposta de estado estacionário 

Resposta que permanece depois que a componente transitória se reduz a zero. 

Estabilidade 

Figura 2 - Entrada e saída do elevador (NISE, 2002). 

Resposta total de um sistema é a soma da resposta natural e da resposta for- 

çada. Quando você estudou equações diferenciais lineares, provavelmente se 

referiu a estas respostas como soluções homogênea e particular, respectiva- 

mente. 

Resposta total = Resposta natural + Resposta forçada 

Para que um sistema de controle seja útil, a resposta natural deve: 

o Tender a zero, deixando somente a resposta forçada, ou, 

o Oscilar. 

Em alguns sistemas, a resposta natural cresce sem limites em vez de diminuir 

até zero ou oscilar. Finalmente, a resposta natural é tão maior que a resposta 

forçada que o sistema não é mais controlado. Esta condição, chamada insta- 

bilidade pode conduzir à autodestruição do dispositivo físico se não houver 

batentes limitadores como parte do projeto. 

2


Outras considerações 

Seleção de hardware: dimensionamento do motor para atender os requisitos 

de potência e escolha de sensores de acordo com precisão necessária. 

Custos: se o projeto for usado para fazer muitas unidades, pequeno acréscimo 

no custo unitário pode-se traduzir em muito mais dólares para sua empresa 

propor num contrato de licitação. 

Robustez: desempenho deve variar pouco com mudança nos parâmetros. 

Introdução a um estudo de caso 

Uma introdução aos sistemas de posicionamento de uma antena em azimute 

Os sistemas de controle de posição encontram aplicações muito difundidas 

em antenas, braços robóticos e acionamento de disco rígido de computador. 

A antena de radiotelescópio da figura a seguir é um exemplo de sistema que 

utiliza controle de posição. 

1.6. Procedimento de projeto 

Figura 3 – Antena de radioastronomia. 

Passo 1: Transformar requisitos em um sistema físico 

3


Figura 4 - Sistema de controle de posição da antena em azimute: a. conceito do 

sistema; b. leiaute detalhado. (NISE, 2002) 

Passo 2: Desenhar um diagrama de blocos funcional 

Descreve as partes componentes do sistema (isto é, função e/ou hardware) e 

mostra suas interconexões. 

4


Figura 5 - Sistema de controle de posição da antena em azimute: diagrama de 

blocos funcional (NISE, 2002). 

Passo 3: Criar um diagrama esquemático. 

Figura 6 - Sistema de controle de posição da antena em azimute: diagrama es- 

quemático (NISE, 2002). 

Passo 4: Desenvolver um Modelo Matemático (Diagrama de blocos) 

Usar leis físicas para modelar matematicamente o sistema. 

Leis mais importantes: 

5


o Lei de Kirchhoff das tensões: A soma das tensões ao longo de um 

caminho fechado é igual a zero. 

o Lei de Kirchhoff das correntes: A soma das correntes elétricas que 

fluem por um nó é igual a zero. 

o Leis de Newton: A soma das forças aplicadas a um corpo é igual a 

zero; a soma dos momentos aplicados a um corpo é igual a zero. 

Descrições possíveis: 

o Equação diferencial 

o Função de transferência (Transformada de Laplace) 

o Espaço de estados 

Passo 5: Reduzir o diagrama de blocos 

Figura 7 - Diagrama de blocos equivalente para o sistema de controle de posição 

Passo 6: Analisar e projetar 

da antena em azimute (NISE, 2002). 

O engenheiro analisa o sistema para ver se as especificações de resposta e os 

requisitos de desempenho podem ser alcançados através de simples ajustes 

nos parâmetros do sistema. Se as especificações não puderem ser atendidas, o 

projetista então projeta hardware adicional a fim de obter o desempenho de- 

sejado. 

6


Figura 8 - Resposta de um sistema de controle de posição mostrando o efeito de 

valores grande e pequeno para o ganho do controlador na resposta de saída (NI- 

SE, 2002). 

7


Entradas utilizadas: 

Tabela 1 - Formas de onda de teste usadas em sistemas de controle (NISE, 

2002). 

1.7. Projeto de assistido por computador (CAD) 

Computador tem importante papel no projeto de sistemas de controle moder- 

nos. 

Com a capacidade de simular um projeto rapidamente, pode-se facilmente 

fazer mudanças e imediatamente testar um novo projeto. 

8


Matlab 

Parte integrante do projeto de sistemas de controle moderno. 

Sumário 

A metodologia do projeto de sistemas de controle foi apresentada. A partir da 

próxima aula, aprenderemos como usar o esquema para obter um modelo ma- 

temático. 

Exercícios 

1. (NISE, 2002; p. 21) Um sistema de controle de temperatura opera sentindo a 

diferença entre o ajuste do termostato e a temperatura real e em seguida a- 

brindo uma válvula de combustível de uma quantidade proporcional a esta 

diferença. Desenhe um diagrama de blocos funcional a malha fechada seme- 

lhante ao da Figura 5, identificando os transdutores de entrada e de saída, o 

controlador e a planta. Além disso, identifique os sinais de entrada e saída 

para todos os subsistemas descritos anteriormente. 

2. (NISE, 2002; p. 21) A altitude de uma aeronave varia em rolamento, arfagem 

e guinada conforme definido na figura a seguir. Desenhe um diagrama de 

blocos funcional para um sistema de malha fechada que estabilize o rolamen- 

to como a seguir: o sistema mede o ângulo de rolamento real com um dispo- 

sitivo giroscópico e compara o ângulo de rolamento real com o ângulo de ro- 

lamento desejado. Os ailerons respondem ao erro de ângulo de rolamento 

efetuando uma deflexão angular. A aeronave responde a esta deflexão angu- 

lar produzindo uma velocidade angular de rolamento. Identifique os transdu- 

tores de entrada e de saída, o controlador e a planta. Além disso, identifique a 

natureza de cada sinal. 

9


Figura 9 - Definição de atitude da aeronave (NISE, 2002). 

3. (NISE, 2002; p. 24) Dado o circuito elétrico da figura a seguir: 

Figura 9 – Rede RL (NISE, 2002). 

(a) Escreva a equação diferencial para o circuito se ( t) 

u( 

t) 

rio. 

10 

v = , um degrau unitá- 

(b) Resolva a equação diferencial para a corrente i ( t) 

, se não há energia inicial 

no circuito. 

R 

(c) Faça um gráfico da solução se = 1. 

L 

4. (NISE, 2002; p. 24) Repita o problema 3 para o circuito elétrico mostrado na 

1 

Figura a seguir. Suponha R = 1Ω, 

L = 0, 

5H 

e = 30 . 

LC


Figura 10 - Circuito RLC (NISE, 2002). 

5. (NISE, 2002; p. 24) Resolva a seguinte equação diferencial usando os méto- 

dos clássicos. Suponha que as condições iniciais sejam iguais a zero. 

2 

d x 

+ 

8 

dt 

dx 

dt 

+ 25x 

= 10u() 

t 

11


Aula 3T - Revisão sobre transformada de Laplace 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 28-36. 

LATHI, Bhagwandas Pannalal. Signal processing and linear systems. California: Berkeley, c1998. 734 p. 

ISBN 0941413357. Páginas 361-394. 

CAPÍTULO 2 – Modelagem no domínio da freqüência 

Objetivos do capítulo 

Rever a transformada de Laplace; 

Função de transferência 

Próximo passo no curso: desenvolver modelos a partir de diagramas de sis- 

temas físicos. 

Dois métodos: (1) funções de transferência no domínio da freqüência e (2) 

equações de estado no domínio do tempo. 

Queremos encontrar o que colocar dentro das caixas marcadas “sistema” e 

“subsistema” na figura a seguir. 

Figura 1 - a. Representação em diagrama de blocos de um sistema; b. represen- 

tação em diagrama de blocos de uma interconexão de subsistemas (NISE, 2002). 

1


2.1. Revisão sobre Transformadas de Laplace 

Definição: 

L 

∞ 

[ ( ) ] ( ) ( ) 

0 

em que s é uma variável complexa. F ( s) 

é chamada de transformada de Laplace 

de f () t . 

2 

−st 

f t = F s = ∫ f t e dt 

A Tabela 2.1 mostra alguns exemplos de transformadas obtidas a partir da 

definição. A Tabela 2.2 mostra uma série de propriedades bastante importan- 

tes. 

Exercícios 

−at 

1. (NISE, 2002; p. 29) Obter a transformada de Laplace de f () t = Ae u() 

t . 

2. (NISE, 2002; p. 30) Obter a transformada de Laplace inversa de: 

Ou seja, encontre () t 

Expansão em frações parciais 

() s 

1 

( ) 2 

+ 3 

− 

F 1 

. 

= s 

f1 cuja transformada de Laplace seja F1 () s 

Para obter a transformada inversa de uma função complicada, podemos con- 

verter a função em uma soma de parcelas mais simples para cada uma das 

quais se conhece a transformada de Laplace. 

O resultado é chamado de expansão em frações parciais. 

Caso 1: Raízes do denominador de F ( s) 

reais e distintas 

Por exemplo, 

2 

F () s = . 

( s + 1)( 

s + 2) 

.


Tabela 2.1 – Principais transformadas de Laplace (LATHI, 1998). 

3


Tabela 2.2 – Propriedades da Transformada de Laplace (LATHI, 1998). 

4


Neste caso, o denominador tem duas raízes reais e distintas (-1 e -2). Para 

obtermos a transformada inversa, o procedimento é o seguinte: 

Decompomos F () s numa soma de frações com tantas parcelas quantas forem 

as raízes do denominador: 

2 K1 

K 2 

F () s = 

= + . 

( s + 1)( 

s + 2) 

s + 1 s + 2 

As constantes 1 K e 2 K são usualmente chamas de resíduos. Para obter 1 

titui-se a raiz correspondente ( s = −1) 

em F ( s) 

sem o termo ( s + 1) 

. Assim, 

De forma análoga, 

Assim, 

2 2 

K 1 = = = 2 . 

1 

( s + 2) 

( s + 1) 

s= 

−1 

2 2 

K 2 = = = −2 

. 

−1 

s= 

−2 

2 − 2 

F () s = + . 

s + 1 s + 2 

Agora, usando a linha (5) da Tabela 2.1 e a linearidade, 

f 

f 

−t −2t 

() t ( 2e 

− 2e 

) u( 

t) 

= ou 

−t 

−2t 

() t = ( 2e 

− 2e 

) , t ≥ 0 

5 

. 

K , subs- 

Observação: na aplicação deste processo, caso o grau do numerador seja 

maior ou igual ao do denominador, é necessário efetuar a divisão primeiro. 

Exercício 

3. (NISE, 2002; p. 32) Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y ( t) 

se todas as condições iniciais forem zero. Usar a transformada de Laplace. 

2 

d y dy 

+ 12 + 32y 

= 32u() 

t 

2 

. 

dt dt



reais e repetidas 

Neste caso, deve-se lembrar que, no caso de raízes reais, o número de parce- 

las distintas na expansão é sempre igual ao grau do denominador. Assim, ca- 

da raiz múltipla gera termos adicionais com fatores no denominador de mul- 

tiplicidade reduzida. 

Por exemplo, se: 

F 

() s 

= 

( )( ) , 2 

s + 1 s + 2 

as raízes são -1, -2 e -2 (diz-se que -2 tem multiplicidade 2). A expansão em fra- 

ções é: 

Os resíduos 1 

K e 2 

F 

() s 

K1 

= + 

s + 1 

6 

2 

K 

2 

+ 

K 

2 ( s + 2) 

s + 2 

K podem ser obtidos como anteriormente. Assim, 

2 

K 1 = 

= 2 e K 2 

2 = = −2. 

( s + 2) 

( s + 1) 

s= 

−1 

s= 

−2 

Já K 3 pode ser obtido substituindo-se s por um valor conveniente. Por exemplo, 

substituindo-se s = 0 em: 

obtém-se: 

2 2 2 K3 

= − + 

2 

2 

( s + 1)( 

s + 2) 

s + 1 ( s + 2) 

s + 2 

2 

4 

1 K 

= 2 − + ⇒ K 

2 2 

F 

() s 

2 

= + 

s + 1 

Usando as linhas (5) e (6) da Tabela 2.1, 

2 

3 

3 = − 

− 2 

+ 

2 

3 

. 

e assim, 

− 2 

2 ( s + 2) 

s + 2 

−t 

−2t 

−2t 

f () t = 2e 

− 2te 

− 2e 

, t ≥ 0 

. 

, 

.



complexas 

Exemplo: 

F () s = 

. 

s 

2 ( s + 2s 

+ 5) 

Neste caso, não é possível fazer a expansão em parcelas de 1º grau. Esta ex- 

pressão deve ser expandida da seguinte forma: 

F 

() s 

= 

K 

s 

1 

+ 

7 

s 

3 

K 

2 

2 

s + K 

3 

+ 2s 

+ 5 

O resíduo K 1 pode ser obtido como anteriormente: 

3 3 

K 1 = 

= 

2 

. 

s + 2s 

+ 5 5 

K 2 e K 3 podem ser obtidos por substituição conveniente de valores de s em: 

Para s = 1, 

para = −1 

s , 

s 

3 

Resolvendo o sistema, obtém-se: 

Assim, 

= 

3 

5 

s= 

0 

2 3 

2 

2 

( s + 2s 

+ 5) 

s s + 2s 

+ 5 

+ 

3 3 2 3 

8 5 8 

K K + 

= + 

3 3 

4 5 4 

K K − 

− = − + 

3 2 

3 6 

K 2 = − e K 3 = − . 

5 5 

. 

K s + K 

e 

. 

.


F 

F 

() s 

() s 

3 3 

− s − 

= 5 + 5 

2 

s s + 

3 1 3 

= − 

5 s 5 

6 

5 

3 ( s + 2) 

= − 

2 

2s 

+ 5 s 5 ( s + 1) 

+ 4 

( s + 1) 

3 2 

− 2 

2 

( s + 1) 

+ 4 10 ( s + 1) 

+ 4 

8 

3 

5 

⇒ 

Utilizando-se então as linhas (2), (9a) e (9b) da Tabela 2.1 chega-se a: 

Exercícios 

f 

3 

3 

⎛ 

−t 

() t = u() 

t − e ⎜cos 

2t 

+ sin 2t 

⎟ 

5 5 ⎝ 2 ⎠ 

−5t 

4. (NISE, 2002; p. 35) Obter a transformada de Laplace de f () t = te . 

5. (NISE, 2002; p. 36) Obter a transformada de Laplace inversa de: 

10 

F () s = 

. 

s 

1 

( )( ) 2 

s + 2 s + 3 

⎞ 

. 

.


Aula 4T – Função de transferência 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 36-38. 


0201308649. Páginas 37-48. 

2.2 Função de transferência 

Vamos empregar na aula de hoje os conceitos relacionados à Transformada 

de Laplace para simplificar a representação de sistemas dinâmicos. 

Um sistema pode ser representado pela equação diferencial genérica: 

n−1 

() t d c() 

t 

1 

m−1 

( t) 

d r() 

t 

n 

d c 

an n 

dt 

+ an−1 

n−1 

dt 

m 

d r 

+ … + a0c() 

t = bm 

m 

dt 

+ bm−1 

m−1 

dt 

+ … + b0r() 

t 

em que c () t é a saída, r () t é a entrada e os a i , os b i e a forma da equação dife- 

rencial representa o sistema. Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os 

lados da equação e supondo condições iniciais nulas: 

a 

n 

s 

C 

n−1 

m 

m−1 

() s + a s C() 

s + …+ 

a C( 

s) 

= b s R( 

s) 

+ b s R( 

s) 

+ …+ 

b R( 

s) 

n 

n−1 

m 

m−1 

( a s + a s + …+ 

a ) C() 

s = ( b s + b s + …+ 

b ) R() 

s 

n 

n 

n−1 

n−1 

0 

0 

m 

m 

m−1 

A partir da expressão acima, chegamos a: 

Esta expressão: 

C 

R 

() s 

() s 

b 

s 

+ b 

m−1 

m 

m−1 

m m−1 

≡ G() 

s = m 

n−1 

an 

s + an−1s 

C 

G () s = 

R 

s 

( s) 

() s 

+ 

0 

… + b0 

. 

+ a0 

+ … 

é chamada de função de transferência do sistema. Relaciona, de forma algébrica, 

a entrada e a saída de um sistema. Dado G ( s) 

e a transformada da entrada 

R () s podemos calcular a saída: 

( s) 

G( 

s) 

R( 

s) 

C = . 

A função de transferência é representada pelo diagrama de blocos a seguir: 

0 

⇒


Figura 1 - Diagrama de Blocos de uma Função de Transferência (NISE, 2002). 

Nas próximas aulas, aprenderemos a representar, através de funções de trans- 

ferência, circuitos elétricos, sistemas mecânicos de translação, sistemas me- 

cânicos em rotação e sistemas eletromecânicos. 

Exercícios 

1. (NISE, 2002; p. 37) Obter a função de transferência representada por: 

dc 

dt 

( t) 

2 

() t = r() 

t 

+ 2 c . 

2. (NISE, 2002; p. 37) Usar o resultado do Exercício 1 para obter a resposta c ( t) 

a uma entrada r () t = u() 

t a um degrau unitário supondo condições iniciais i- 

guais a zero. 

3. (NISE, 2002; p. 37) Obter a função de transferência, 

correspondente à equação diferencial 

( s) 

() s 

C 

G () s = , 

R 

3 2 

2 

d c d c dc d r dr 

+ 3 + 7 + 5c 

= + 4 + 3r 

3 2 

2 

dt dt dt dt dt 

4. (NISE, 2002; p. 38) Obter a equação diferencial correspondente à função de 

transferência: 

() s 

2s 

+ 1 

+ 6s 

+ 2 

G = 2 . 

s


5. (NISE, 2002; p. 38) Obter a resposta a uma rampa de um sistema cuja função 

de transferência é: 

s 

G () s = 

. 

( s + 4 )( s + 8) 

3


Aula 5T – Modelagem de circuitos elétricos (1ª parte) 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 38-48. 


0201308649. Páginas 25-92. 

2.3 Função de transferência de circuitos elétricos 

Componentes passivos (ver Tabela 1). 

Princípios-guias: Leis de Kirchhoff: somando tensões ao longo de malhas ou 

correntes em nós o resultado é zero. 

Circuitos simples via método das malhas 

I. Redesenhe o circuito original mostrando todas as variáveis no domínio do 

tempo, como v () t , i () t e vC ( t) 

como transformadas de Laplace V () s , I ( s) 

e 

VC () s respectivamente. 

II. Substitua os valores de componentes por seus valores de impedância. 

III. Some as tensões ao longo da malha e use a lei de Kirchhoff das tensões. 

Exercício 

1. (NISE, 2002; p. 39) Obter a função de transferência relacionando a tensão 

VC () s no capacitor à tensão de entrada V ( s) 

na Figura a seguir. 

Figura 1 – Circuito RLC (NISE, 2002). 

1


Tabela 1 – Elementos passivos de circuitos elétricos (NISE, 2002). 

2


Circuito simples via Método dos nós 

As funções de transferência também podem ser obtidas usando a lei de Kirc- 

hhoff das correntes e somando as correntes que fluem nos nós. Chamamos 

este método de método dos nós. 

Exercício 

2. (NISE, 2002; p. 41) Repetir o Exercício 1 usando o método dos nós sem es- 

crever a equação diferencial. 

Circuito simples via divisão de tensão 

O Exercício 1 pode ser resolvido diretamente usando divisão de tensão no 

circuito transformado. 

Exercício 

3. (NISE, 2002; p. 41) Repetir o Exercício 1 usando divisão de tensão e o cir- 

cuito transformado. 

Circuitos mais complicados via Método das Malhas 

I. Substituir todos os valores dos elementos passivos por sua impedância. 

II. Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas 

respectivas transformadas de Laplace. 

III. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha. 

IV. Escrever a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha. 

V. Resolver o sistema de equações em termos da saída. 

VI. Elaborar a função de transferência. 

Exercício 

4. (NISE, 2002; p. 42) Dado o circuito da figura a seguir, obter a função de 

I 2 () s 

transferência . 

V () s 

3


Figura 2 – Circuito elétrico com duas malhas (NISE, 2002). 

Circuitos mais complicados via Método dos Nós 

Usa-se a Lei de Kirchhoff das correntes e somam-se as correntes que deixam 

cada nó. 

Exercício 

5. (NISE, 2002; p. 44) Obter a função de transferência 

Figura 2. Usar o método dos nós. 

Uma técnica para solução de problemas 

4 

VC ( s) 

para o circuito da 

V () s 

Os mesmos procedimentos podem ser usados em circuitos elétricos com mais 

malhas. 

Exercício 

6. (NISE, 2002; p. 45) Escrever, mas não resolver, as equações de malha do cir- 

cuito mostrado na Figura a seguir.


Figura 3 – Circuito elétrico com três malhas (NISE, 2002). 

5


Aula 6T – Modelagem de circuitos elétricos (2ª parte) 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 48-50. 


0201308649. Páginas 23-92. 

Exercícios 

VO 

() s 

1. (NISE, 2002, p.82) Obter a função de transferência G() 

s = para o cir- 

V () s 

cuito mostrado a seguir. 

Figura 1 – Circuito do Exercício 1 (NISE, 2002). 

VL 

2. (NISE, 2002; p. 50) Obter a função de transferência () 

() s 

G s = no circuito a 

V () s 

seguir. Solucionar o problema de duas formas: pelo método das malhas e pe- 

lo método dos nós. Mostrar que os dois métodos conduzem ao mesmo resul- 

tado. 

Figura 2 - Circuito elétrico para o Exercício 2. (NISE, 2002). 

1 

i


Aula 7T – Modelagem de sistemas mecânicos em translação 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 50-56. 

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2003. 

788 p. ISBN 8587918230 Páginas 71-74. 

2.4 Função de transferência de sistemas mecânicos em translação 

Sistemas mecânicos se assemelham muito com circuitos elétricos: existem 

analogias entre componentes e variáveis elétricos e mecânicos. 

Sistemas mecânicos possuem três componentes passivos lineares. Dois deles, 

a mola e a massa são elementos armazenadores de energia; um deles, o a- 

mortecedor viscoso, dissipa energia. 

A Tabela 1 mostra os elementos utilizados num sistema mecânico e suas re- 

lações força-deslocamento e força-velocidade. A Tabela 2, já apresentada, 

mostra os elementos elétricos para comparação. 

Tabela 1 – Componentes de sistemas mecânicos (NISE, 2002). 

Tabela 2 – Componentes de sistemas elétricos (NISE, 2002). 

1


Na Tabela 1, K , f V e M são chamados, respectivamente de constante de mo- 

la, coeficiente de atrito viscoso e massa. 

Comparando as tabelas, percebe-se a seguinte analogia: 

Sistema elétrico Sistema mecânico de translação 

Tensão v () t Força f ( t) 

Corrente elétrica i( t) 

Velocidade v ( t) 

Carga q () t 

Deslocamento x ( t) 

Resistência R 

Indutância L Massa M 

Amortecimento viscoso f V 

Capacitância C Constante de mola K 

Para obtermos funções de transferência em sistemas mecânicos, desenha-se 

um diagrama de corpo livre para cada massa presente no sistema posicionan- 

do nela todas as forças que agem sobre ela no sentido do movimento ou no 

sentido oposto. Em seguida, utilizamos a lei de Newton para construir a e- 

quação diferencial do movimento somando as forças e igualando a zero. 

Finalmente, supondo condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de 

Laplace à equação diferencial, separamos as variáveis e chegamos à função 

de transferência desejada. 

2


Quando mais de um deslocamento estiver presente, desenhamos o diagrama 

de corpo livre para cada um dos corpos e, em seguida, usamos a superposi- 

ção. Para cada um dos diagramas de corpo livre, começamos fixando todos 

os outros corpos e determinamos as forças que atuam sobre o corpo devido 

somente ao próprio movimento. Em seguida, mantemos o corpo parado e ati- 

vamos, um a um, os outros corpos, colocando no corpo original as forças cri- 

adas pelo movimento adjacente. 

Exercícios 

1. (NISE, 2002, p. 51) Obter a função de transferência, X ( s) 

F( 

s) 

para o sistema 

da Figura 1. 

Figura 1 - Sistema massa, mola e amortecedor (NISE, 2002). 

2. (NISE, 2002, p. 83) Obter a função de transferência ( s) 

= X ( s) 

F( 

s) 

para o 

sistema mecânico mostrado na Figura 2. 

3 

G 1 

Figura 2 – Sistema do Exercício 2 (NISE, 2002).


3. (NISE, 2002; p. 53) Obter a função de transferência () s F() 

s 

ma da Figura 3. 

X 2 para o siste- 

Figura 3 - Sistema mecânico com dois graus de liberdade (NISE, 2002). 

4. (NISE, 2002, p. 56) Obter a função de transferência ( s) 

= X ( s) 

F( 

s) 

para o 

sistema mecânico em translação mostrado na Figura 4. 

G 2 

Figura 4 – Sistema mecânico em translação do Exercício 4 (NISE, 2002). 

5. (NISE, 2002, p. 55) Escrever, mas não resolver, as equações de movimento 

da estrutura mecânica da Figura 5. 

Figura 5 – Sistema mecânico com três graus de liberdade (NISE, 2002). 

4


Aula 8T – Modelagem de sistemas mecânicos em rotação 

Bibliografia 

NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. 

ISBN 8521613016. Páginas 56-60. 


0201308649. Páginas 23-92. 

2.5 Função de transferência de sistemas mecânicos em rotação 

Os sistemas mecânicos em movimento de rotação são manipulados da 

mesma forma que os sistemas mecânicos em translação, exceto que o 

torque substitui força e deslocamento angular substitui deslocamento de 

translação. 

Os componentes mecânicos dos sistemas em rotação são os mesmos dos 

sistemas em translação. Veja a Tabela 1 a seguir. 

Tabela 1 - Relações para sistemas mecânicos em rotação. (NISE, 2002). 

1


O termo associado a massa foi substituído por inércia. Os valores de K , 

D e J são chamados constante de mola, coeficiente de atrito viscoso e 

momento de inércia, respectivamente. 

Escrever as equações de movimento para sistemas em rotação é seme- 

lhante a escrevê-las para os sistemas em translação. Obtemos os torques 

por superposição. 

Primeiro giramos um corpo mantendo parados todos os demais e pondo 

no diagrama de corpo livre todos os torques devido ao próprio movi- 

mento. Em seguida, mantendo o corpo parado, giramos os pontos adja- 

centes, um a um, e acrescentamos os torques devidos ao movimento ad- 

jacente ao corpo livre. O processo é repetido para cada um dos pontos 

em movimento. 

Exercício 

1. (NISE, 2002, p. 57) Obter a função de transferência Θ () s T () s para o 

sistema em rotação mostrado na Figura 1a a seguir. O eixo elástico é 

suspenso por meio de mancais em cada uma das extremidades e é sub- 

metido a torção. Um torque é aplicado à esquerda e o deslocamento an- 

gular é medido à direita. O esquema equivalente deste sistema físico é 

mostrado na Figura 1b. 

Figura 1 a. Sistema físico; b. esquema (NISE, 2002). 

2 

2


2. (NISE, 2002, p. 60) Obter a função de transferência () s () s T ( s) 

Θ = 

para o sistema em rotação mostrado na Figura 2. 

3 

G 2 

Figura 2 - Sistema em rotação para o Exercício 2 (NISE, 2002). 

3. (NISE, 2002, p. 59) Escrever, mas não resolver, a transformada de La- 

place das equações de movimento para o sistema mostrado na Figura 3. 

Figura 3 - Sistema em rotação com três graus de liberdade (NISE, 2002). 

4. (NISE, 2002, p. 84) Para cada um dos sistemas mecânicos em rotação 

mostrados na Figura 4, escreva, mas não resolva as equações de movi- 

mento. 

Figura 4 – (NISE, 2002).


Aula 9T – Modelagem de sistemas com engrenagens 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 60-64. 


788 p. ISBN 8587918230. Páginas 71-74. 

2.6 Funções de transferência de sistemas com engrenagens 

Sistemas em rotação raramente são vistos sem trens de engrenagens acionan- 

do a carga. É necessário estudar como modelá-los. 

A interação entre duas engrenagens é mostrada a seguir. 

Figura 1 – Sistema de engrenagens (NISE, 2002). 

À medida que as engrenagens giram, a distância percorrida ao longo de cada 

circunferência das engrenagens é a mesma. Portanto, 

r θ = r θ ou 

θ 

1 

θ 

2 

1 

1 

= 

2 

1 

2 

r 1 

= 

r 

A relação entre os deslocamentos angulares das engrenagens é inversamente 

proporcional à razão do número de dentes. 

2 

N 

N 

1 

2 

.


Como não há perdas, a energia fornecida à primeira engrenagem é a mesma 

obtida na segunda. Assim, 

T θ = T θ ou 

1 

T 

T 

2 

1 

1 

θ1 

= 

θ 

2 

2 

2 

= 

Os torques são diretamente proporcionais à relação do número de dentes. Es- 

tes resultados são resumidos a seguir: 

Figura 2 - Funções de transferência a. entre deslocamentos angulares de engre- 

nagens sem perdas e b. entre torques de engrenagens sem perdas (NISE, 2002). 

Vejamos o que acontece com as impedâncias mecânicas acopladas às engre- 

nagens. A Figura 3 mostra engrenagens acionando uma inércia, uma mola e 

um amortecedor viscoso. Para maior clareza, as engrenagens são mostradas 

2 

N 

N 

por meio de uma vista em corte simplificada. 

Figura 3 - Sistema em rotação acionado por engrenagens (NISE, 2002). 

Deseja-se representar esta figura como um sistema equivalente referido a θ 1 

sem engrenagens. 

2 

1 

.


É possível refletir T 1 na saída multiplicando-o por 

3 

N 2 . O resultado está mos- 

trado na Figura 4, a partir do qual se escreve a equação do movimento como: 

Figura 4 – Sistema referido à saída após reflexão do torque (NISE, 2002). 

N 

1 

Como θ 2 θ1 

N 2 

= , temos: 

2 ( Js Ds + K ) Θ () s = T () s 

N 

N 

2 

+ 2 1 . 

N1 

2 N1 

( Js + Ds + K ) Θ () s = T () s 

⎡ ⎛ N 

⇒ ⎢J 

⎜ 

⎢ N 

⎣ ⎝ 

1 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

s 

2 

N 

2 

1 

⎛ N 

+ D ⎜ 

⎝ N 

1 

2 

1 

N 

N 

2 

2 

⎞ ⎛ N ⎞ ⎤ 

1 

⎟ s + K ⎜ ⎥Θ1 

N ⎟ 

⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ 

Este sistema equivalente é mostrado na Figura 5. 

2 

1 

⇒ 

1 

() s = T () s 

Figura 5 - Sistema referido à entrada após reflexão das impedâncias (NISE, 

2002). 

Generalizando os resultados, podemos elaborar o seguinte enunciado: As im- 

pedâncias mecânicas em rotação podem ser refletidas por meio de trens de 

engrenagens multiplicando-se a impedância mecânica pela relação: 

1 

.


Exercícios 

⎛ Número de dentes da engrenagem ⎞ 

⎜ 

⎟ 

⎜ do eixo de destino 

⎟ 

⎜ 

Número de dentes da engrenagem 

⎟ . 

⎜ 

⎟ 

⎜ 

do eixo de origem 

⎟ 

⎝ 

⎠ 

1. (NISE, 2002, p. 62) Obter a função de transferência 

Figura 6 a seguir. 

4 

2 

Θ 2 

T 

( s) 

para o sistema da 

() s 

Figura 6 – Sistema mecânico em rotação com engrenagens (NISE, 2002). 

Θ 2 

2. (NISE, 2002, p. 64) Obter a função de transferência () 

() s 

G s = para o sis- 

T () s 

tema mecânico em rotação com engrenagens mostrado na Figura 7. 

Figura 7 - Sistema mecânico do Exercício 2 (NISE, 2002). 

Usa-se um trem de engrenagens para implementar valores elevados de rota- 

ção de transmissão. O diagrama esquemático de um trem de engrenagens é 

mostrado na Figura 8. 

1


Figura 8 - Trem de engrenagens (NISE, 2002). 

Concluímos que nos trens de engrenagens a relação de engrenagens equiva- 

lente é o produto das relações de engrenagens individuais. 

Exercícios 

3. (NISE, 2002, p. 63) Obter a função de transferência 

Figura 9. 

5 

Θ1 

T 

1 

( s) 

() s 

para o sistema da 

Figura 9 - Sistema usando um trem de engrenagens (NISE, 2002). 

4. (NISE, 2002, p. 84) Para o sistema mecânico em rotação com engrenagens da 

Θ3 

() s 

Figura 10, calcule a função de transferência G() 

s = . As engrenagens 

T () s 

possuem inércia e atrito, como mostrado.


Figura 10 – (NISE, 2002). 

5. (NISE, 2002, p. 84) Para o sistema mecânico em rotação mostrado na Figura 

Θ 2 

11, calcule a função de transferência () 

( s) 

G s = . 

T () s 

Figura 11 – (NISE, 2002). 

6


Aula 11T – Modelagem de sistemas eletromecânicos 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 64-69. 

PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo ; Rio de 

Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963. Páginas 43-48. 

2.7 Funções de transferência de sistema eletromecânico 

Vamos nos deslocar agora para sistemas em que há mistura de variáveis elé- 

tricas e mecânicas, os sistemas eletromecânicos. 

Exemplos de aplicações: controle de posicionamento de uma antena em azi- 

mute, controle de robôs, rastreadores do Sol e estelares, controle de posição 

de acionadores de fita e de discos para computadores, etc. Um exemplo é 


Figura 1 - Braço robótico de simulador de vôo da NASA com componentes do 

sistema de controle eletromecânico (NISE, 2002). 

1


Um motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamento 

de saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica gerada por 

uma entrada elétrica. 

Aqui, consideraremos apenas o servo motor de corrente contínua controlado 

pela armadura mostrado na Figura 2. 

Figura 2 - Motor CC: a. esquema; b. diagrama de blocos. (NISE, 2002). 

As equações físicas que regem o comportamento deste sistema são: 

F Bi 

= (1) 

i a = corrente elétrica circulando pelo condutor 

= comprimento do condutor 

B = campo magnético em que o condutor está imerso 

v = velocidade do condutor 

= comprimento do condutor 

e = tensão contra-eletromotriz 

e Bv 

2 

a 

= (2) 

Assim, ao aplicarmos a tensão ea ( t) 

, aparece um torque Tm () t e uma velocida- 

de angular ω( 

t) = θ ( t) 

e, em compensação uma tensão contra-eletromotriz 

vb () t .


Baseando-se na Eq. (2), podemos escrever que: 

dθ 

m 

() t = K ⇒ V () s = K sΘ 

() s 

vb b 

b 

b m 

dt 

Escrevendo a equação da malha para o circuito da armadura, 

() s L sI ( s) 

+ V ( s) 

= E ( s) 

Ra I a a a b 

a 

+ . 

Em motores de corrente contínua, pode-se considerar que L ≈ 0 . Assim, 

() s V ( s) 

= E ( s) 

Ra I a b a 

+ . (4) 

Da Eq. (1), vemos que o torque produzido pelo motor é proporcional à cor- 

rente de armadura, assim, 

() s K I () s ⇒ I () s = T () s 

3 

1 

K 

Tm T a 

a 

m 

T 

Substituindo (3) e (5) em (4), 

R 

K 

a 

T 

= . (5) 

T 

m 

() s K sΘ 

() s = E () s 

Para deduzir a função de transferência 

+ b m 

a . (6) 

Θ m 

E 

a 

a 

(3) 

( s) 

, precisamos agora relacionar 

() s 

Tm () s com Θ ( s) 

. Isto pode ser feito utilizando-se o modelo da Figura 3 para 

m 

o motor carregado. Nesta, a J e D a são respectivamente a inércia e o amorte- 

cimento da armadura e J L e D L a inércia e o amortecimento da carga (load). 

Figura 3 - Motor acionando uma carga mecânica em rotação. (NISE, 2002).


com 

Daí, 

J L 

2 () s = ( J s + D s) 

Θ ( s) 

Tm m m m 

2 

⎛ N1 

⎞ 

⎛ N ⎞ 1 

= J + J ⎜ 

⎟ 

m a 

e D 

⎝ N 

⎜ 

⎟ 

m = Da 

+ DL 

. 

2 ⎠ 

⎝ N 2 ⎠ 

Substituindo agora a Eq. (7) na Eq. (6), 

⎡ R 

⎢ 

⎣ K 

a 

Θ 

E 

T 

m 

a 

4 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

2 

(7) 

( J s + D ) + K sΘ 

( s) 

= E ( s)⇒ 

m 

() s 

() s 

m 

= 

⎡ 1 

s⎢s 

+ 

⎣ J 

m 

b 

m 

KT 

1 

Ra 

J m 

⎛ K 

⎜ Dm 

+ 

⎝ R 

Pode-se mostrar que as constantes do motor 

a 

T 

a 

a 

K 

b 

K T e b 

R 

⎞⎤ 

⎟ 

⎟⎥ 

⎠⎦ 

. 

K podem ser obtidas a 

partir das curvas torque-velocidade do motor, como as mostradas na Figura 

4. 

Figura 4 - Curvas de torque-velocidade tendo como parâmetro a tensão de arma- 

dura e a (NISE, 2002).


Pode-se mostrar que: 

Exercícios 

K T = 

R 

a 

T 

bloq 

e 

a 

e 

5 

K 

b 

= 

ω 

e 

a 

vazio 

1. (NISE, 2002, p. 68) Dado o sistema e a curva torque-velocidade das Figuras 

5(a) e (b), obter a função de transferência 

Θ L 

E 

a 

( s) 

. 

() s 

Figura 5 - a. Motor CC e carga; b. curva torque-velocidade. (NISE, 2002). 

Θ L 

2. (NISE, 2002, p. 69) Obter a função de transferência () 

() s 

G s = de um mo- 

E () s 

tor e carga mostrados na Figura 6. A curva torque-velocidade é dada por 

T −8 

ω + 200 quando a tensão de entrada for 100 volts. 

m 

= m 

. 

a


Figura 6 - Sistema eletromecânico para o Exercício 2 (NISE, 2002). 

3. (NISE, 2002, p. 85) Para o motor, a carga e uma curva torque velocidade 

Θ L 

mostrados na Figura 7, obter a função de transferência () 

() s 

G s = . 

E () s 

Figura 7 – (NISE, 2002). 

4. (NISE, 2002, p. 86) O motor cuja característica torque-velocidade está mostrada 

na Figura 8 aciona a carga mostrada no diagrama. Algumas das engre- 

Θ L 

nagens possuem inércia. Obter a função de transferência () 

() s 

G s = . 

E () s 

6 

a 

a



5. (NISE, 2002, p. 86) Nesta aula, deduzimos a função de transferência de um 

motor CC relacionando o deslocamento angular de saída com a tensão de ar- 

madura como entrada frequentemente se deseja controlar o torque em vez do 

deslocamento angular. Deduza a função de transferência do motor que rela- 

ciona o torque de saída com a tensão de armadura na entrada. 

7


Aula 12T – Estudos de casos: Modelos de sistemas 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 78-88. 


0201308649. Páginas 76-92. 

2.8 Estudos de caso 

Controle de antena: Função de transferência 

Este capítulo mostrou que os sistemas físicos podem ser modelados matemati- 

camente como funções de transferências. De um modo geral, os sistemas são 

compostos de subsistemas de diferentes tipos, como os elétricos, os mecânicos e 

os eletromecânicos. 

Atividade 1: Obter a função de transferência de cada subsistema do sistema de 

controle de posicionamento de uma antena em azimute, mostrado nas Figuras 1, 

2 e na Tabela 1. Use a Configuração 1. Os subsistemas individuais do sistema 

estão resumidos na Tabela 2. 

Figura 1 – Arranjo físico – Controle de antena (NISE, 2002). 

1


Figura 2 – Esquema – Controle de antena (NISE, 2002). 

Tabela 1 – Parâmetros do Esquema – Controle de antena (NISE, 2002). 

2


Tabela 2 - Subsistemas do sistema de controle de posição de uma antena em a- 

Respostas: 

zimute (NISE, 2002). 

3


Atividade 2 (desafio): Consultando o diagrama esquemático do sistema de con- 

trole de posicionamento de uma antena em azimute mostrado na Figura 1, calcu- 

lar a função de transferência de cada subsistema. Use a Configuração 2. 

Sumário 

• Neste capítulo, discutimos como obter um modelo matemático, chamado 

Exercício 

função de transferência, para os sistemas lineares e invariantes no tempo, 

de natureza elétrica, mecânica e eletromecânica. A função de transferên- 

C 

cia é definida como () 

( s) 

G s = , ou seja, a relação da transformada de La- 

R() 

s 

place da saída pela transformada de Laplace da entrada. Esta relação é al- 

gébrica e também se adapta à modelagem de sistemas interconectados. 

1. (NISE, 2002, p. 87) O Problema 4 da Lista 1 discute o controle ativo de um 

mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade. O di- 

agrama para o acoplamento do pantógrafo e da catenária está mostrado na 

Figura 5(a). 

Figura 5 - a. Acoplamento do pantógrafo com a catenária; b. representação sim- 

plificada mostrando a força de controle ativa (NISE, 2002). 

4


Admita o modelo simplificado mostrado na Figura 5(b), em que a catenária é 

representada pela mola, K med . 

Y 

(a) Obtenha a função de transferência, G () s = 

F 

5 

( s) 

() s 

1 

cat 

up 

, em que () t 

y cat é o desloca- 

mento da catenária e f up () t é a força para cima aplicada ao pantógrafo sob con- 

trole ativo. 

Y 

(b) Obtenha a função de transferência G () s = 

F 

( s) 

() s 

2 

h 

up 

, em que () t 

mento da parte superior do pantógrafo. 

(c) Obtenha a função de transferência () 

( Yh 

( s) 

− Ycat 

( s) 

) 

G s = . 

F () s 

up 

y h é o desloca


Aula 13T – Modelagem no domínio do tempo: Introdução 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 90-96. 


0201308649. Páginas 93-96. 

3 Modelagem no domínio do tempo 


Obter um modelo matemático, chamado representação no espaço de estados, 

de sistemas lineares e invariantes no tempo. 

Transformar modelos sob a forma de função de transferência em modelos no 

espaço de estados. 

Objetivos do estudo de caso 

Dado o sistema de controle de posicionamento da antena em azimute, você 

deverá ser capaz de obter a representação no espaço de estados de cada sub- 

sistema. 

3.1 Introdução 

Para a análise e o projeto de sistemas de controle com retroação há duas a- 

bordagens. 

A primeira, que começamos a estudar no Capítulo 2, é conhecida como téc- 

nica clássica, ou no domínio da freqüência. Esta abordagem é baseada na 

transformação de uma equação diferencial em uma função de transferência, 

gerando assim um modelo matemático do sistema que relaciona algebrica- 

mente uma representação da saída a uma representação da entrada. 

Principal desvantagem: aplicabilidade limitada – só pode ser usada em sis- 

temas lineares e invariantes no tempo ou em sistemas que possam ser apro- 

ximados como tal. 

1


Principal vantagem: fornecem rapidamente informações sobre a estabilidade 

e sobre a resposta transitória. 

Com o advento da exploração espacial, os requisitos dos sistemas de controle 

aumentaram de escopo. A modelagem de sistemas usando equações diferen- 

ciais lineares e invariantes no tempo e as funções de transferência subseqüen- 

tes se tornaram inadequadas. 

A abordagem no espaço de estados (também referida como abordagem mo- 

derna ou no domínio do tempo) constitui um método unificado de modela- 

gem, análise e projeto de uma gama ampla de sistemas. 

Por exemplo, a abordagem no espaço de estados pode ser usada para repre- 

sentar sistemas não-lineares dotados de folga, saturação e zona morta. 

Além disso, ela pode manipular, de forma adequada, sistemas com condições 

iniciais não-nulas. 

Sistemas variantes no tempo (exemplo: mísseis com níveis de combustível 

variantes) podem ser representados no espaço de estados bem como sistemas 

com múltiplas entradas e saídas. 

Também permite representar um computador digital na malha e também é 

atraente devido à disponibilidade de inúmeros pacotes de software que utili- 

zam modelos no espaço de estados. 

Desvantagem: não é tão intuitivo quanto a abordagem clássica. O projetista 

deve se envolver com muitos cálculos antes que a interpretação física do mo- 

delo se torne aparente. 

3.2. Algumas observações 

Nesta seção, vamos mostrar a partir de exemplos como obter a representação 

por espaço de estados para um sistema. 

Devem-se seguir os seguintes passos: 

I. Selecionamos um subconjunto particular de todas as variáveis do sistema e 

chamamos as variáveis deste conjunto de variáveis de estado. 

2


II. Para um sistema de ordem n , escrevemos n equações diferenciais de primei- 

ra ordem, simultâneas em termos das variáveis de estado. 

III. Se conhecermos a condição inicial de todas as variáveis de estado em t 0 

bem como a entrada do sistema para t ≥ t0 

, poderemos resolver as equações 

diferenciais simultâneas em função das variáveis de estado para t ≥ t0 

. 

IV. Combinamos algebricamente as variáveis de estado com a entrada e ob- 

temos todas as variáveis do sistema para t ≥ t0 

. Chamamos esta equação algé- 

brica de equação de saída. 

V. Consideramos as equações de estado e as equações de saída uma representa- 

ção viável do sistema. Chamamos esta representação de representação do 

sistema no espaço de estados. 

Exercícios 

1. (NISE, 2002, p. 91) Para o circuito elétrico de primeira ordem da Figura 1, 

pede-se: 

(a) Considerando como variável de estado i ( t) 

escreva a equação de estado para 

este circuito. 

(b) Repita utilizando a tensão no resistor vR ( t) 

como variável de estado. 

(c) Considerando vR () t como variável de saída e i ( t) 

como variável de estado, 

escreva a equação de saída. 

(d) Repita para a tensão no indutor vL ( t) 

como variável de saída. 

(e) Repita para a derivada da corrente como variável de saída. 

Figura 1 – Circuito RL (NISE, 2002). 

3


2. (NISE, 2002, p. 93) Para o circuito elétrico de 2ª ordem mostrado na Figura 

2, pede-se: 

Figura 2 – Circuito RLC (NISE, 2002). 

(a) Escreva as equações de estado considerando a carga q ( t) 

e a corrente i ( t) 

co- 

mo variáveis de estado. 

(b) Escreva a equação de saída para a tensão sobre o indutor vL () t . 

(c) Escreva a representação no espaço de estados considerando as variáveis dos 

itens (a) e (b). 

(d) Reescreva as equações de estado considerando como variáveis de estado 

vR () t e () t , as tensões sobre o resistor e sobre o capacitor, respectivamente. 

v C 

As equações de estado podem ser escritas na forma matricial se o sistema for 

linear. Ou seja, para um sistema com uma entrada e uma saída (SISO – single 

input single output), podem ser escritas como: 

Exercício 

⎧x 

= Ax + Bu 

⎨ 

⎩y 

= Cx + Du 

3. (NISE, 2002, p. 91) Para a representação no espaço de estado do Exercício 

2(c), determine quem representa cada uma das variáveis na Eq. (1). 

3.3. A representação geral no espaço de estados 

Agora vamos definir formalmente os conceitos ilustrados na seção anterior. 

4 

(1)


Combinação linear: uma combinação linear de n variáveis, i 

é dada pela seguinte soma, S : 

em que cada k i é uma constante. 

S = kn 

xn 

+ kn−1 

xn−1 

+ … 

5 

+ k 

1 

x 

1 

x , para 1 = i a n 

Independência linear: diz-se que um conjunto de variáveis é linearmente in- 

dependente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como uma combina- 

ção linear das outras. Por exemplo, dados x 1, 

2 x e 3 

x , se x 2 5x1 + 6x3 

= , então 

as variáveis não são linearmente independentes, uma vez que uma delas pode 

ser escrita como combinação linear das demais. 

Variável de sistema: qualquer variável que responda a uma entrada ou a con- 

dições iniciais de um sistema. 

Variáveis de estado: o menor conjunto linearmente independente de variáveis 

de sistema tal que os valores dos membros do conjunto no instante t 0 , junta- 

mente com as funções forçantes conhecidas, determinam completamente o 

valor de todas as variáveis do sistema para todos os instantes de tempo t ≥ t0 

. 

Vetor de estados: um vetor cujos elementos são as variáveis de estado. 

Espaço de estados: o espaço n -dimensional cujos eixos são as variáveis de 

estado (Figura 3). Uma trajetória pode ser imaginada como sendo o mapeamento 

do vetor x () t para uma faixa de valores de t . Na Figura 3 está mostra- 

do também o vetor de estados no instante particular t = 4 . 

Equações de estado: Um conjunto de n equações diferenciais de primeira 

ordem, simultâneas, com n variáveis em que as n variáveis a serem resolvi- 

das são as variáveis de estado. 

Equações de saída: A equação algébrica que exprime as variáveis de saída de 

um sistema linear como combinações lineares das variáveis de estado e das 

entradas. 

Um sistema é representado no espaço de estados pelas seguintes equações:


Figura 3 – Representação gráfica do espaço de estados e de um vetor de estado 

(NISE, 2002). 

x 

= Ax + Bu 

y = Cx + Du 

em que: 

x = vetor de estado 

x = derivada do vetor de estado em relação ao tempo. 

y = vetor de resposta 

u = vetor de entrada ou de controle 

A = matriz de sistema 

B = matriz de entrada 

C = matriz de saída 

D = matriz de ação avante. 

Exercícios 

4. (NISE, 2002, p. 116) Dê duas razões para modelar sistemas no espaço de es- 

tados. 

5. (NISE, 2002, p. 116) Assinale uma vantagem da abordagem em função de 

transferência sobre a representação no espaço de estados. 

6


Aula 14T – Aplicando a representação no espaço de estados 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 96-104. 


0201308649. Páginas 94-98. 

3.4 Aplicando a representação no espaço de estados 

Nesta seção, vamos aplicar a formulação no espaço de estados à representa- 

ção de sistemas físicos mais complicados. 

O primeiro passo para representar um sistema consiste em selecionar o vetor 

de estado, que deve ser escolhido com as seguintes considerações: 

o Devemos selecionar um número mínimo de variáveis de estado 

como componentes do vetor de estado. 

o Os componentes do vetor de estado (isto é, este número mínimo de 

variáveis de estado) devem ser linearmente independentes. 

Variáveis de estado linearmente independentes 

Os componentes do vetor de estado devem ser linearmente independentes. 

Por exemplo, seguindo a definição de independência linear da Seção 3.3, se 

x 1, 

2 x e 3 

x forem escolhidas como variáveis de estado, mas x 3 5x1 + 4x2 

tão 3 x não é linearmente independente de 1 x e 2 

1 

= , en- 

x , uma vez que o conheci- 

mento dos valores de 1 x e 2 x produz o conhecimento do valor de 3 

Número mínimo de variáveis de estado 

Como saber qual o número de variáveis de estado a selecionar? Geralmente, 

o número mínimo necessário é igual à ordem da equação diferencial que des- 

creve o sistema. 

Segundo a perspectiva da função de transferência, a ordem da equação dife- 

rencial é a ordem do denominador da função de transferência depois do can- 

celamento dos fatores comuns ao numerador e ao denominador. 

x .


Na maioria dos casos, uma outra forma de determinar o número de variáveis 

de estado é contar o número de elementos armazenadores de energia inde- 

pendentes existentes no sistema. 

No caso de circuitos elétricos, nossa abordagem consiste em escrever a equa- 

ção simples da derivada para cada um dos elementos armazenadores de ener- 

gia (capacitores e indutores) e expressar a derivada como uma combinação 

linear das variáveis de sistema e de entrada presentes na equação. 

Nos sistemas mecânicos, mudamos a escolha de variáveis de estado para po- 

sição e velocidade de cada ponto com movimento linear independente. 

Exercícios 

1. (NISE, 2002, p 97) Dado o circuito elétrico da Figura 1, obter uma represen- 

tação no espaço de estados se a saída for a corrente através do resistor. 

Figura 1 - Circuito elétrico para representação no espaço de estados (NISE, 

2002). 

2. (NISE, 2002, p. 101) Obter as equações de estado para o sistema mecânico 

em translação mostrado na Figura 2. Qual a equação de saída se a variável de 

saída for x2 () t ? 

Figura 2 - Sistema mecânico em translação (NISE, 2002). 

2


3. (NISE, 2002, p. 101) Obter a representação no espaço de estados do circuito 

elétrico mostrado na Figura 3. A saída é vo ( t) 

. 

Figura 3 - Circuito elétrico para o Exercício 3 (NISE, 2002). 

4. (NISE, 2002, p. 102) Obter a representação no espaço de estados do sistema 

mecânico mostrado na Figura 4 em que a saída é x3 ( t) 

. 

Figura 4 - Sistema mecânico em translação para o Exercício 4 (NISE, 2002). 

5. (NISE, 2002, p. 99) Obter as equações de estado e de saída do circuito elétri- 

co mostrado na Figura 5 se o vetor de saída for [ ] T 

= i 

nifica a transposta do vetor. 

3 

y , em que T sig- 

vR 2 R2 

Figura 5 - Circuito elétrico para o Exercício 5.


Aula 15T – Convertendo uma função de transferência para o espaço de estados 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 102-107. 


0201308649. Páginas 96-103. 

3.5 Convertendo uma função de transferência para o espaço de estados 

Nesta seção vamos aprender como passar de uma representação em função 

de transferência para uma representação no espaço de estados. 

Uma vantagem da representação no espaço de estados é que ela pode ser u- 

sada para simular sistemas físicos num computador digital. 

Desta forma, se quisermos simular um sistema representado por uma função 

de transferência, devemos primeiro converter a representação por função de 

transferência em representação no espaço de estados. 

Vamos dividir o problema em dois casos. 

1º caso: Função de transferência com numerador constante 

Seja a função de transferência: 

C 

R 

() s 

0 

= n 

n−1 

() s s + an−1s 

+ …+ 

a1s 

+ a0 

Esta função representa a equação de diferenças: 

n 

d c 

n 

dt 

1 

b 

n−1 

d c dc 

an−1 

+ … + a a c b r() 

t 

n 1 

1 + 0 = 0 . 

dt 

dt 

+ − 

Um jeito simples de obter a representação no espaço de estados é escolher 

um conjunto de variáveis de estado chamadas de variáveis de fase, em que 

cada variável de estado subseqüente é a derivada de estado anterior. Assim, 

tomamos: 

.


x = c 

x 

x 

 

x 

1 

2 

3 

n 

dc 

= 

dt 

2 

d c 

= 2 

dt 

d 

= 

dt 

A entrada é u = r() 

t e a saída é c( 

t) 

y = . 

Com esta escolha, temos as seguintes equações de entrada e de saída: 

Na forma matricial: 

⎧ ⎡ 0 

⎪ ⎢ 

⎪ ⎢ 

0 

⎪ ⎢ 0 

⎪x 

= ⎢ 

⎨ ⎢ 

⎪ ⎢ 0 

⎪ ⎢ 

⎪ ⎢⎣ 

− 

⎪ 

⎩y 

= 

⎧x 

1 = x2 

⎪ 

⎪ 

x 

2 = x3 

⎪x 

3 = x4 

⎨ 

⎪ 

⎪x 

n = −a0x1 

− a1x 

⎪ 

⎩y 

= x1 

1 

0 

0 

0 

− a 

0 

1 

0 

0 

− a 

[ 1 0 0 … 0] 

0 

0 

1 

0 

− a 

x + 0u 

2 

− a 

2 

− a 

2 

n−1 

c 

n−1 

x 

3 

. 

−… 

− a 

− a 

n−1 

x 

n−1 

− a 

a0 1 2 3 4 5 … n−1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

… 

… 

… 

… 

0 

0 

0 

1 

+ b u 

0 

⎤ ⎡ 0 ⎤ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ ⎢ 

0 

⎥ 

⎥ ⎢ 0 ⎥ 

⎥x 

+ ⎢ ⎥u 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ ⎢ 0 ⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎥⎦ 

⎢⎣ 

b0 

⎥⎦ 

A Eq. (1) é a forma em variáveis de fase das equações de estado. Essa forma 

é reconhecida facilmente pelo padrão exclusivo de 1´s e 0´s e do negativo 

dos coeficientes da equação diferencial, escritos em ordem inversa, na última 

linha da matriz de sistema. 

Exercício 

1. (NISE, 2002, p. 104) Obter a representação no espaço de estados sob a forma 

de variáveis de fase da função de transferência mostrada na Figura 1. Dese- 

(1)


nhar também um diagrama de blocos com integradores, somadores e ganhos 

que implementem este sistema. 

Figura 1 - Função de transferência (NISE, 2002). 

2º caso: Função de transferência com polinômio no numerador 

Seja, por exemplo, a função de transferência mostrada na Figura 2(a). 

Figura 2 – Decompondo uma função de transferência (NISE, 2002). 

Neste caso, primeiro separamos a função de transferência em duas, associa- 

das em cascata, como mostrado na Figura 2(b). A primeira é o denominador 

e a segunda, o numerador. 

A primeira função de transferência com apenas o denominador é convertida 

na representação por variáveis de fase no espaço de estados como feito ante- 

riormente. Portanto, a variável de fase x 1 é a saída e as outras variáveis de fa- 

se são variáveis internas do primeiro bloco, como mostrado na Figura 2(b). 

A segunda função de transferência com apenas o numerador conduz a 

2 

() s = 

C( 

s) 

= ( b s + b s + b ) X ( s) 

Y 2 1 0 1 

3


em que, depois de obtida a transformada de Laplace inversa com condições ini- 

ciais nulas, 

d x dx 

y + 

dt dt 

2 

1 

1 

() t = b2 

+ b 2 1 b0 

x1 

Mas os termos com derivadas são as definições das variáveis de fase obtidas 

no primeiro bloco. Assim, escrevendo-se os termos em ordem inversa para 

dar a forma de uma equação de saída, 

() t b0 

x1 

+ b1x 

2 b2 

x3 

y + 

= . 

Portanto, o segundo bloco forma simplesmente uma combinação linear espe- 

cífica das variáveis de fase desenvolvidas no primeiro bloco. 

Segundo uma outra perspectiva, o denominador da função de transferência 

conduz às equações de estado enquanto o numerador fornece a equação de 

saída. 

Exercício 

2. (NISE, 2002, p. 106) Obter a representação no espaço de estados da função 

de transferência mostrada na Figura 3. Desenhar também um diagrama de 

blocos com integradores, somadores e ganhos que implementem este sistema. 

Figura 3 - Função de transferência (NISE, 2002). 

3. (NISE, 2002, p. 107) Obter as equações de estado e a equação de saída da 

representação em variáveis de fase da função de transferência 

2s 

+ 1 

+ 7s 

+ 9 

G () s = . 

s 

2 

4. (NISE, 2002, p. 119) Um míssil em vôo, como mostrado na Figura 4, está 

submetido a diversas forças: empuxo, sustentação, arrasto e ação da gravida- 

4


de. O míssil voa com um ângulo de ataque, α , em relação ao eixo longitudi- 

nal, criando sustentação. Para manobrar o míssil, controla-se o ângulo φ do 

corpo do míssil em relação à vertical, movendo angularmente o motor pro- 

pulsor da parte traseira. A função de transferência relacionando o ângulo φ 

ao deslocamento δ do motor é da forma: 

Φ 

Δ 

() 

K 

s a b 

= 3 2 

() s K3s 

+ K2s 

+ K1s 

+ K0 

5 

s + K 

Representar o controle de manobra do míssil no espaço de estados. 

Figura 4 – Míssil (NISE, 2002). 

5. (NISE, 2002, p. 118) Represente a seguinte função de transferência no espa- 

ço de estados. Dê sua resposta na forma matricial vetorial. 

T 

2 

() ( s + 3s 

+ 7) 

s = 

2 ( s + 1)( 

s + 5s 

+ 4) 

.


Aula 16T – Convertendo do espaço de estados para função de transferência 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 108-109. 


0201308649. Páginas 107-108. 

3.6 Convertendo do espaço de estados para a função de transferência 

Nos Capítulos 2 e 3 exploramos dois métodos para representar sistemas: (1) a 

representação em função de transferência e (2) a representação no espaço de 

estados. 

Na aula anterior, unificamos as duas representações convertendo funções de 

transferência em representações no espaço de estados. 

Agora, vamos mover na direção contrária e converter a representação no es- 

paço de estados em função de transferência. 

Dadas as equações de estado e de resposta: 

x 

= Ax + Bu 

y = Cx + Du 

aplicando a transformada de Laplace, obtemos: 

ou 

Explicitando X () s na Eq. (1), 

X 

em que I é a matriz identidade. 

( s) 

AX( 

s) 

( s) 

sX = + BU (1) 

() s CX( 

s) 

DU( 

s) 

Y = + (2) 

( sI − A) 

X( 

s) 

= BU( 

s) 

−1 

() s ( sI 

− A) 

BU( 

s) 

= (3) 

Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2), resulta: 

Y 

−1 

() s = C( 

sI 

− A) 

BU( 

s) 

+ DU( 

s) 

−1 

= C( 

sI 

− A) 

B + D U s 

[ ] () 

1 

, 

=


−1 [ C B + D] 

Chamamos a matriz ( I − A) 

s de matriz função de transferência, 

uma vez que ela relaciona o vetor de saída, Y ( s) 

, ao vetor de entrada U ( s) 

. 

Quando U () s = U () s e Y () s = Y ( s) 

forem escalares, podemos obter a função de 

transferência: 

T 

() s 

= 

Y 

U 

( s) 

() s 

= 

−1 ( sI 

− A) 

B D 

C + 

Exercícios 

1. (NISE, 2002, p. 109) Converter as equações de estado e a equação de saída 

mostradas a seguir em função de transferência: 

⎡− 4 −1, 

5⎤ 

⎡2⎤ 

x 

= ⎢ x 

4 0 

⎥ + ⎢ 

0 

⎥u 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

y = [ 1, 

5 0, 

625]x 

2. (NISE, 2002, p. 108) Dado o sistema definido pelas equações a seguir, obter 

Y 

a função de transferência () 

( s) 

T s = em que U ( s) 

é a entrada e Y () s a saída. 

U () s 

⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡10⎤ 

x 

= 

⎢ 

0 0 1 

⎥ 

x 

⎢ 

0 

⎥ 

⎢ 

⎥ 

+ 

⎢ ⎥ 

u 

⎢⎣ 

−1 

− 2 − 3⎥⎦ 

⎢⎣ 

0 ⎥⎦ 

y = [ 1 0 0]x 

Y 

3. (NISE, 2002, p. 118) Obtenha a função de transferência () 

() s 

G s = , para ca- 

R() 

s 

da um dos sistemas representados no espaço de estados: 

⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ 

x 

= 

⎢ 

0 0 1 

⎥ 

x 

⎢ 

0 

⎥ 

⎢ 

⎥ 

+ 

⎢ ⎥ 

r 

(a) ⎢⎣ 

− 3 − 2 − 5⎥⎦ 

⎢⎣ 

10⎥⎦ 

y = [ 1 0 0]x 

2


⎡ 2 3 − 8⎤ 

⎡1⎤ 

x 

= 

⎢ 

0 5 3 

⎥ 

x 

⎢ 

4 

⎥ 

⎢ 

⎥ 

+ 

⎢ ⎥ 

r 

(b) ⎢⎣ 

− 3 − 5 − 4⎥⎦ 

⎢⎣ 

6⎥⎦ 

y = [ 1 3 6]x 

(c) 

⎡ 3 − 5 2⎤ 

⎡ 5 ⎤ 

x 

= 

⎢ 

1 8 7 

⎥ 

x 

⎢ 

3 

⎥ 

⎢ 

− 

⎥ 

+ 

⎢ 

− 

⎥ 

r 

⎢⎣ 

− 3 − 6 2⎥⎦ 

⎢⎣ 

2 ⎥⎦ 

y = [ 1 − 4 3]x 

3


Aula 17T – Estudos de caso: Robótica 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 112-122. 


0201308649. Páginas 121-139. 


Atividades 

1. (NISE, 2002, p. 120) O retorno de robôs a um ponto de referência, baseado 

em imagens, pode ser implementado gerando-se os comandos de entrada de 

rumo para um sistema de manobra baseado no seguinte algoritmo de guia- 

mento: suponha que o robô mostrado na Figura 1(a) deve ir do ponto R para 

um alvo, o ponto T , como mostrado na Figura 1(b). Se X R , Y R e R Z são ve- 

tores do robô a cada marco de referência, X , Y , Z , respectivamente, e T X , 

T Y e T Z são vetores do alvo a cada marco de referência, respectivamente, en- 

tão os comandos de rumo devem acionar o robô para minimizar X X T R − , 

Y Y T R − e Z Z T 

R − simultaneamente, uma vez que as diferenças tenderão a 

zero se o robô alcançar o alvo. Se a Figura 1(c) representa o sistema de con- 

trole de manobra do robô, represente cada bloco – controlador, roda e veículo 

– no espaço de estados. 

1


Figura 1 - a. Robô com sistema de imagem por televisão (©1992 IEEE); b. dia- 

grama vetorial mostrando o conceito por trás do acompanhamento automático 

baseado em imagem (©1992 IEEE); c. sistema de controle de rumo. (NISE, 

2002). 

2. (NISE, 2002, p. 121) Os manipuladores robóticos modernos que atuam dire- 

tamente sobre o ambiente-alvo devem ser controlados de modo que as forças 

de impacto bem como as forças de estado estacionário não danifiquem o al- 

vo. Ao mesmo tempo, o manipulador deve fornecer força suficiente para e- 

xecutar a tarefa. Para desenvolver um sistema de controle para regular estas 

forças, há necessidade de modelar o manipulador robótico e o ambiente-alvo. 

Supondo o modelo mostrado na Figura 2, represente, no espaço de estados, o 

manipulador robótico e o ambiente sob as seguintes condições: 

(a) O manipulador não está em contato direto com o ambiente-alvo. 

2


(b) O manipulador está em contato constante com o ambiente-alvo. 

Figura 2 - Manipulador robótico e ambiente-alvo (©1997 IEEE) (NISE, 2002). 

3. (NISE, 2002, p. 120) Considerar a aeronave militar F4-E mostrada na Figura 

3(a), em que a aceleração normal, a n , e a velocidade angular de arfagem, q , 

são controladas pela deflexão do profundor, δ e , sobre os estabilizadores hori- 

zontais, e pela deflexão das superfícies aerodinâmicas dianteiras (canards), 

δ C . Um comando de deflexão δ COM , como mostrado na Figura 3(b) é usado 

para efetuar uma alteração em ambas as deflexões δ e e δ C . As relações são: 

δ e 

δ 

δ C 

δ 

COM 

COM 

( s) 

() s 

() s 

1 τ 

= 

s + 1 τ 

K C τ 

= 

() s s + 1 τ 

Estas deflexões produzem, através da dinâmica longitudinal da aeronave, a n e 

q . As equações de estado descrevendo os efeitos de δ COM sobre a n e q são dadas 

por: 

an 

an 

q 

q 

δ 

δ e 

δ 

⎥ e 

⎥⎥ 

⎡ ⎤ ⎡−1, 

702 50, 

72 263, 

38⎤⎡ 

⎤ ⎡− 272, 

06⎤ 

⎢ 

 

⎥ ⎢ 

⎥⎢ 

⎥ 

+ 

⎢ 

⎢ ⎥ 

= 

⎢ 

0, 

22 −1, 

418 − 31, 

99 

⎥⎢ 

⎥ ⎢ 

0 

⎢ 

⎣ ⎥⎦ 

⎢⎣ 

0 0 −14 

⎥⎦ 

⎢⎣ 

⎥⎦ 

⎢⎣ 

14 ⎦ 

Obter as seguintes funções de transferência: 

G 

G 

1 

2 

() s 

() s 

= 

δ 

Q 

= 

δ 

3 

A 

n 

COM 

COM 

( s) 

() s 

() s 

() s 

COM 

.


Figura 3 - a. F4-E com canards (© 1992 AIAA); b. sistema de controle de vôo a 

malha aberta (© 1992 AIAA). (NISE, 2002). 

4. (NISE, 2002, p. 121) A Figura 4(b) mostra um modelo de sistema mecânico 

em translação relativo a um pantógrafo para ferrovia de alta velocidade, usa- 

do para fornecer energia elétrica a um trem a partir de uma catenária suspen- 

sa. Representar o pantógrafo no espaço de estados, onde a saída é o deslocamento 

da parte superior do pantógrafo yh ( t) 

− ycat 

( t) 

. 

4


Figura 4 - a. Acoplamento do pantógrafo com a catenária; b. representação. 

Simplificada mostrando a força de controle ativa (NISE, 2002). 

5. (NISE, 2002, p. 117) Represente o sistema mecânico em rotação mostrado na 

Figura 5 no espaço de estados em que θ ( t) 

é a saída. 


5 

1


Aula 18T – Resposta no domínio do tempo - Introdução 

Bibliografia 

NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. 

ISBN 8521613016. Páginas 123-126. 

PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo ; Rio 

de Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963. Páginas 134-135. 

CAPÍTULO 4 – RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO 


Neste capítulo iremos aprender o seguinte: 

4.1 Introdução 

o Como obter a resposta no domínio do tempo a partir da função 

de transferência; 

o Como usar pólos e zeros para determinar quantitativamente a 

resposta de um sistema de controle; 

o Como descrever quantitativamente a resposta transitória de 

sistemas de primeira e segunda ordem; 

o Como aproximar sistemas de ordem maior por sistemas de 

primeira e segunda ordem; 

o Como visualizar os efeitos de não-linearidades na resposta de 

sistemas no domínio do tempo; 

o Como obter a resposta no domínio do tempo a partir da repre- 

sentação no espaço de estados. 

No Cap. 2 mostramos como as funções de transferência podem repre- 

sentar sistemas lineares e invariantes no tempo. 

No Cap. 3 os sistemas foram representados diretamente no domínio do 

tempo por intermédio das equações de estado e de saída. 

1


Depois que o engenheiro obtém uma representação de um subsistema, 

este é analisado através das respostas transitória e de estado estacionário 

para ver se estas características conduzem ao comportamento desejado. 

Este capítulo se destina à análise da resposta transitória de sistemas. 

Depois de descrever uma ferramenta valiosa de análise e de projeto, pó- 

los e zeros, começaremos a analisar nossos modelos para obter a respos- 

ta ao degrau de sistemas de primeira e de segunda ordem. 

A ordem se refere à ordem da equação diferencial equivalente que re- 

presenta o sistema – a ordem do denominador da função de transferên- 

cia depois do cancelamento de fatores comuns com o numerador ou o 

número de equações diferenciais de primeira ordem simultâneas neces- 

sárias para a representação no espaço de estados. 

4.2 Pólos, zeros e resposta do sistema. 

A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a respos- 

ta forçada ou em regime estacionário e a resposta natural ou transitó- 

ria. 

Embora diversas técnicas, como a solução de equações diferenciais ou a 

aplicação da transformada de Laplace inversa, permitam calcular essas 

respostas, tais técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo. 

A produtividade é favorecida pelas técnicas de análise e projeto que 

produzam resultados com um mínimo de tempo. 

Se a técnica for tão rápida que seja possível obter o resultado desejado 

por inspeção, usamos algumas vezes o atributo qualitativo para descre- 

ver o método. 

O uso de pólos e zeros e de sua relação com a resposta de sistemas no 

domínio do tempo é uma dessas técnicas. 

2


Pólos de uma função de transferência 

Os pólos de uma função de transferência são os valores da variável, s , 

da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferên- 

cia se torne infinita. 

Zeros de uma função de transferência 

Os zeros de uma função de transferência são os valores da variável, s , 

da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferên- 

cia se torne igual a zero. 

Pólos e zeros de um sistema de primeira ordem: um exemplo 

Exercício 

1. (NISE, 2002, p. 124) Dada a função de transferência G () s da Figura 1, 

pede-se: 

Figura 1 - Sistema mostrando entrada e saída (NISE, 2002). 

(a) Determine os pólos e zeros deste sistema. 

(b) Localize os pólos e zeros no plano complexo. Usa-se um ‘×’ para loca- 

lizar pólos e ‘ο’ para localizar zeros. 

(c) Utilizando a transformada de Laplace inversa, determine a resposta ao 

degrau do sistema. 

(d) Especifique a resposta em regime estacionário e a resposta transitória. 

Com base no desenvolvimento do Exercício 1, resumido na Figura 2, 

pode-se concluir que: 

3


Figura 2 - Evolução de uma resposta de sistema. Siga as setas voltadas para 

baixo para ver a evolução dos componentes da resposta gerada pelo pólo ou 

pelo zero. (NISE, 2002). 

I. Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada ou em 

regime permanente (isto é, o pólo na origem gerou a função degrau na 

saída). 

II. Um pólo da função de transferência gera a forma da resposta natural ou 

t 

transitória (isto é, o pólo em -5 gerou e 5 − ). 

III. Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma 

t 

e α − , em que − α é a localização do pólo sobre o eixo real. Assim, quan- 

to mais a esquerda fique situado o pólo sobre o eixo real negativo, tanto 

mais rápido será o decaimento da resposta transitória exponencial para 

zero. 

IV. Os pólos e zeros geram as amplitudes para ambas as respostas, natu- 

ral e forçada. 

4


Exercícios 

2. (NISE, 2002, p. 126) Dado o sistema da Figura 4, escrever a saída c ( t) 

, 

em termos genéricos. Especificar as partes forçada e natural da solução. 

Figura 3 - Sistema para o Exercício 2 (NISE, 2002). 

3. (NISE, 2002, p. 126) Um sistema possui uma função de transferência 

10 

() 

( s + 4)( 

s + 6) 

G s = 

. Escrever, por inspeção, a saída, c () t , em 

( s + 1)( 

s + 7)( 

s + 8)( 

s + 10) 

termos genéricos, se a entrada for um degrau unitário. 

4. (NISE, 2002, p. 169) Em um sistema com uma entrada e uma saída, que 

pólos geram a resposta em estado estacionário? 

5. (NISE, 2002, p. 169) Em um sistema com uma entrada e uma saída, que 

pólos geram a resposta transitória? 

5


Aula 19T – Sistemas de primeira ordem 

Bibliografia 

NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 

c2004. 695 p. ISBN 8521613016 Páginas 127-129. 

PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron 

Books, c1997. 558 p. : il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3 Páginas 135-140. 

4.3. Sistemas de primeira ordem 

Um sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de 

transferência mostrada na Figura 1(a). 

Figura 1 - a. Sistema de primeira ordem; b. gráfico do pólo (NISE, 2002). 

1 

Se a entrada for um degrau unitário, ou seja, R() 

s = , a transformada da saí- 

s 

da, C () s , será: 

C 

a 

= = . 

s 

() s R() 

s ⋅G() 

s 

1 

( s + a) 

Aplicando a transformada de Laplace inversa, obtemos a resposta ao degrau 

que é dada por: 

c 

−at 

() t c ( t) 

+ c ( t) 

= − e 

= 1 (1) 

f 

n 

em que o pólo da entrada situado na origem gerou a resposta forçada c = 1 e o 

−at 

pólo do sistema em − a , gerou a resposta natural c ( t) 

= −e 

. 

A Figura 2 mostra um gráfico de c ( t) 

. 

n 

f


Figura 2 - Resposta de um sistema de primeira ordem a um degrau unitário (NI- 

Observe que quando 

1 

t = , 

a 

⎞ 

c⎜ 

⎟ = 1− 

e 

⎝ a ⎠ 

SE, 2002). 

1 

⎛ 1 −a 

a 

−1 

= 1− 

e 

2 

= 1− 

0, 

37 

= 

0, 

63 

. (2) 

Usamos agora as equações acima para definir três especificações da resposta 

transitória. 

Constante de tempo 

1 

Chamamos de constante de tempo da resposta. 

a 

Com base na Eq.(2), a constante de tempo é o tempo necessário para que a 

resposta ao degrau alcance 63% do seu valor final.


Como a derivada de c () t é igual a a para t = 0 , a é a taxa inicial de variação 

da exponencial em t = 0 . 

Portanto, a constante de tempo pode ser considerada uma especificação da 

resposta transitória de um sistema de primeira ordem, uma vez que está rela- 

cionada com a velocidade com que o sistema responde a uma entrada em de- 

grau. 

Tempo de subida, ( T R ) 

O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de 

onda vá de 0,1 a 0,9 do seu valor final. 

O tempo de subida é obtido resolvendo a Eq. (2) para a diferença entre os 

valores de t para os quais c ( t) 

= 0, 

9 e ( t) 

= 0, 

1 

Exercício 

T R 

3 

c . Portanto, 

2, 

31 0, 

11 2, 

2 

= − = (3) 

a a a 

1. A partir da definição de T R , deduza a Eq. (3). 

Tempo de assentamento ( T S ) 

O tempo de assentamento é definido como o tempo necessário para que a 

resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor final e aí 

permaneça. Fazendo () t = 0, 

98 

como: 

Exercício 

c na Eq. (1), obtemos o tempo de assentamento 

T S 

4 

= (4) 

a 

2. Demonstre a Eq. (4) a partir da definição de T S .


Funções de transferência de primeira ordem obtidas experimentalmente 

Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de 

transferência de um sistema. 

Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identifi- 

cáveis facilmente. 

Com uma entrada degrau, podemos medir a constante de tempo e o valor do 

estado estacionário, a partir de cujos valores podemos calcular a função de 

transferência. 

Considere um sistema de primeira ordem, 

cuja resposta ao degrau é: 

C 

() s 

G 

() s 

K 

= , 

s + a 

( s + a) 

s s + a 

4 

K 

a 

K 

a 

K 

= = − . 

s 

Se pudermos identificar os valores de K e de a a partir de ensaios em labora- 

tório, poderemos obter a função de transferência do sistema. 

Exercício 

3. Suponha que um sistema de primeira ordem tenha a resposta dada na Figura 

3. Determine sua função de transferência. 

Figura 3 - Resultados de laboratório de um ensaio com resposta de um sistema 

ao degrau (NISE, 2002).


4. (NISE, 2002, p. 129) Um sistema possui uma função de transferência 

50 

= 

s + 50 

o tempo de subida, T R . 

G () s . Obter a constante de tempo, T C , o tempo de assentamento T S e 

5. (NISE, 2002, p. 170) Determine a tensão no capacitor do circuito mostrado 

na Figura 4 quando a chave fechar em t = 0 . Admita condições iniciais nulas. 

Determine também a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de as- 

sentamento para a tensão no capacitor. 


5


Aula 21T – Sistemas de segunda ordem: Introdução 

Bibliografia 


c2004. 695 p. ISBN 8521613016. Páginas 129-133. 


Books, c1997. 558 p. : il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3. Páginas 140-143. 

4.4. Sistemas de segunda ordem: introdução 

Comparando com a simplicidade dos sistemas de primeira ordem, os siste- 

mas de segunda ordem apresentam uma ampla gama de respostas que deve 

ser analisada e descrita. 

Enquanto nos sistemas de primeira ordem a variação de um parâmetro muda 

simplesmente a velocidade da resposta, as mudanças nos parâmetros do sis- 

tema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta. 

Exemplos numéricos das respostas dos sistemas de segunda ordem são mos- 

trados na Figura 1. 

Todos os exemplos são deduzidos a partir da Figura 1(a), o caso geral que 

tem dois pólos finitos e nenhum zero. 

A resposta ao degrau pode ser encontrada usando ( s) 

G( 

s) 

R( 

s) 

1 

R 

s 

transformada de Laplace inversa. 

1 

C = , em que 

() s = , seguida de uma expansão em frações parciais e da aplicação da 

Resposta superamortecida, Figura 1(b). 

Para esta resposta, 

9 

C () s = 

= 

. 

s 

2 ( s + 9s 

+ 9) 

s( 

s + 7, 

854)( 

s + 1, 

146) 

Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada degrau unitário e 

dois pólos reais provenientes do sistema. 

A saída é escrita como 

9


Superamortecido 

Subamortecido 

Figura 1 - Sistemas de segunda ordem, gráficos de pólos e respostas ao degrau 

(NISE, 2002). 

2


c 

() t 

−7, 

854t 

−1, 

146t 

= K1 

+ K 2e 

+ K 3e 

. 

Esta resposta, mostrada na Figura 1(b) é chamada superamortecida. 

Resposta subamortecida, Figura 1(c). 


9 

C () s = 

. 

s 

2 ( s + 2s 

+ 9) 

Esta função possui um pólo na origem em degrau unitário e dois pólos com- 

plexos provenientes do sistema. 

Os pólos que geram a resposta natural são s = −1+ 

j 8 . Assim, C () s pode ser 

expandida como: 

C 

() s 

A B C 

= + + . 

s s + 1− j 8 s + 1+ 

j 8 

A linha (10b) da Tabela 2.1 da Aula 4T fornece o seguinte par transformado: 

re 

−at 

jθ 

− jθ 

0, 

5re 

0, 

5re 

cos ( bt + θ ) ↔ + . (1) 

s + a − jb s + a + jb 

Assim, a forma geral da resposta ao degrau será: 

c 

() = + ( + θ ) 

−t 

t K K e cos 8t 

1 2 

. 

A parte real do pólo coincide com o decaimento exponencial da senóide en- 

quanto a parte imaginária do pólo coincide com a freqüência da oscilação se- 

noidal. 

A esta freqüência da senóide é dado o nome de freqüência amortecida, ω d . 

A Figura 2 mostra uma resposta senoidal amortecida genérica de um sistema 

de segunda ordem. 

3


Figura 2 - Componente da resposta ao degrau de sistema de segunda ordem ge- 

rados por pólos complexos (NISE, 2002). 

Chamamos este tipo de resposta de resposta subamortecida. 

Exercício 

1. (NISE, 2002, p. 131) Escreva, por inspeção, a forma da resposta ao degrau do 

sistema da Figura 3. 

Figura 3 – Sistema para o Exercício 1 (NISE, 2002). 

Voltaremos à resposta subamortecida do sistema nas próximas aulas em que 

iremos generalizar a discussão e deduzir alguns resultados que relacionam a 

posição do pólo a outros parâmetros da resposta. 

4


Resposta sem amortecimento, Figura 1(d). 


() s 

= 

s s 

2 ( + 9) 

5 

9 

C . 

Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitá- 

rio e dois pólos imaginários puros provenientes do sistema. Expandindo, 

C 

() s 

A B C 

+ + 

s s + j3 

s − j3 

= . 

Usando novamente (1) com a = 0 , obtemos a resposta genérica neste caso: 

() t = A + cos ( t + θ ) 

c 3 

Este tipo de resposta, mostrado na Figura 1(d) é chamado sem amortecimen- 

to. 

Resposta criticamente amortecida, Figura 1(e). 


9 

9 

C () s = 

= . 

s 

( ) ( ) 2 

2 

s + 6s 

+ 9 s s + 3 

Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitá- 

rio e dois pólos reais e iguais provenientes do sistema. 

Expandindo, 

Assim, 

c 

() t 

= 

K 

K 

K 

() 

( ) 2 

1 2 

3 

C s = + + . 

s s + 3 s + 3 

K 

1 

+ 

K 

2 

e 

− 3t 

+ 

Este tipo de resposta, mostrado na Figura 1(e) é chamada criticamente amor- 

tecido. 

Respostas criticamente amortecida são as mais rápidas possíveis sem a ultra- 

K 

3 

te 

−3t 

passagem que é característica da resposta subamortecida. 

Resumindo:


1. RESPOSTAS SUPERAMORTECIDAS 

Pólos: reais e diferentes: − σ 1 e − σ 2 

c 

−σ1t 

−σ 

2t 

Resposta natural: () 

n 

t 

= 

K 

1 

e 

+ 

6 

K 

2. RESPOSTAS SUBAMORTECIDAS 

Pólos: complexos com parte real não-nula: − σ d + jωd 

−σ 

d t 

Resposta natural: () t = Ae cos ( ω t + φ ) 

cn d 

3. RESPOSTAS SEM AMORTECIMENTO 

Pólos: imaginários puros: ± jω1 

Resposta natural: () t = Acos 

( ω t + φ ) 

c n 1 

4. RESPOSTAS CRITICAMENTE AMORTECIDAS 

Pólos: reais e iguais: − σ 1 e − σ 1 

c 

−σ 

1t 

−σ 

1t 

Resposta natural: () 

n 

t 

= 

K 

1 

e 

+ 

K 

As respostas ao degrau para os quatro casos de amortecimento discutidos na 

aula estão superpostas na Figura 4. 

Figura 4 - Respostas ao degrau de sistemas de segunda ordem para os casos de 

2 

2 

e 

te 

amortecimento (NISE, 2002).


Observe que o caso criticamente amortecido caracteriza a separação entre os 

casos superamortecidos e subamortecidos e constitui a resposta mais rápida 

sem ultrapassagem. 

Exercício 

2. (NISE, 2002, p. 133) Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao degrau 

para cada uma das seguintes funções de transferência: 

400 

(a) G () s = 2 

s + 12s 

+ 400 

900 

(b) G () s = 2 

s + 90s 

+ 900 

225 

(c) G () s = 2 

s + 30s 

+ 225 

625 

(d) G 

() s = 2 

s + 625 

7


Aula 22T – Sistema de segunda ordem geral 

Bibliografia 


c2004. 695 p. ISBN 8521613016. Páginas 134-136. 


Books, c1997. 558 p.: il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3. Páginas 140-143. 

4.5. O sistema de segunda ordem geral 

Na aula de hoje vamos definir duas especificações dos sistemas de segunda 

ordem com significado físico. 

As duas grandezas são chamadas de freqüência natural e relação de amorte- 

cimento. 

Freqüência natural - ω n 

A freqüência natural de um sistema de segunda ordem é a freqüência de os- 

cilação do sistema sem amortecimento. 

Por exemplo, a freqüência de oscilação de um circuito RLC série com a resis- 

tência curto-circuitada será a freqüência natural. 

Relação de amortecimento - ζ 

A relação de amortecimento ζ é definida como: 

freqüência exponencial 

de decaimento 

ζ = 

ou 

freqüência natural 

1 período natural (s) 

ζ = . 

2π 

constante de tempo exponencial 

(s) 

Vamos agora relacionar essas grandezas com a forma geral dos sistemas de 

2ª ordem: 

G 

() s 

s 

1 

b 

= 2 . 

+ as + b 

Para um sistema sem amortecimento, teríamos a = 0 e, neste caso,


G 

() s 

2 

s 

b 

+ b 

= 2 . 

Por definição, a freqüência natural é a freqüência de oscilação deste sistema. 

Como os pólos deste sistema estão sobre o eixo j ω em ± j b , 

Portanto, 

b ω . 

n = 

b ω 

= . 

Supondo o sistema subamortecido, os pólos complexos possuem uma parte 

a 

real, σ , igual a − . A magnitude deste valor é então a freqüência de decai- 

2 

mento exponencial descrita na aula passada. Assim, 

a 

freqüência exponencial 

de decaimento σ 

ζ = 

= = 

2 

freqüência natural 

ω ω 

2 

n 

a = 2ζω 

ou n 

Nossa função de transferência genérica finalmente adquire a forma: 

Exercício 

( ) 

G s 

ω 

= 

s s 

2 

n 

2 2 

+ 2ζωn 

+ ωn 

. (1) 

1. (NISE, 2002, p. 135) Dada a função de transferência a seguir, obter ζ e ω n : 

36 

G () s = 2 

. 

s + 4, 

2s 

+ 36 

Calculando os pólos da função de transferência (1), obtemos: 

2 

s = − ± ω ζ −1 

(2) 

ζω n n 

n 

n


Desta equação, constatamos que os vários casos da resposta de segunda or- 

dem são uma função de ζ e estão resumidos na Figura 1 a seguir. 

Figura 1 - Respostas de segunda ordem em função da relação de amortecimento 

Exercícios 

(NISE, 2002). 

2. (NISE, 2002, p. 136) Para cada um dos sistemas mostrados na Figura 2, obter 

o valor de ζ e relatar o tipo de resposta esperado. 

3


Figura 2 - Sistemas para o Exercício 2 (NISE, 2002). 

3. (NISE, 2002, p. 136) Para cada uma das funções de transferência a seguir, 

faça o seguinte: (1) obtenha os valores de ζ e ω n ; (2) caracterize a natureza 

da resposta. 

400 

(a) G () s = 2 

s + 12s 

+ 400 

900 

(b) G () s = 2 

s + 90s 

+ 900 

225 

(c) G () s = 2 

s + 30s 

+ 225 

625 

(d) G 

() s = 2 

s + 625 

4


Aula 23T – Sistemas de segunda ordem subamortecidos 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 136-145. 

PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo; Rio de 

Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963. Páginas 140-150. 

4.6. Sistemas de segunda ordem subamortecidos 

Nesta aula, vamos definir especificações associadas ao regime transitório da 

resposta subamortecida. 

Comecemos obtendo a resposta ao degrau do sistema de segunda ordem ge- 

nérico dado por: 

( ) 

G s 

ω 

= 

s s 

2 

n 

2 2 

+ 2ζωn 

+ ωn 

A transformada da resposta, C ( s) 

é a transformada da entrada multiplicada 

pela função de transferência, ou seja, 

( ) 

C s 

ω K 

= = + 

s s s 

2 

n 

1 

2 3 

2 2 s 

2 2 

s + 2ζωns+ 

ωn 

( + 2ζωn 

+ ωn) 

em que se supõe que ζ < 1 (caso subamortecido). 

1 

. 

Ks+ K 

Aplicando a transformada de Laplace inversa, pode-se mostrar que: 

1 −ζωnt 

2 

() t = − e cos( 

ω 1− 

ζ t − φ ) 

1 

2 

(1) 

1− 

ζ 

c n 

Com ⎜ ζ 

φ = arctan ⎟ . 

⎜ 2 

1 ζ ⎟ 

⎛ 

⎝ 

− 

⎞ 

⎠ 

Na Figura 1 aparece um gráfico desta resposta para diversos valores de ζ , 

traçado em função do eixo de tempos normalizado ω nt 

. Vemos agora a rela- 

ção entre o valor de ζ e o tipo de resposta obtido: quanto menor o valor de 

ζ , tanto mais oscilatória será a resposta.


Figura 1 - Respostas de segunda ordem subamortecidas com os valores da rela- 

ção de amortecimento (NISE, 2002). 

Outros parâmetros associados à resposta subamortecida (Figura 2): 

Instante de pico, T P : tempo necessário para alcançar o primeiro valor de pico 

(máximo). 

Ultrapassagem percentual % UP : o quanto a forma de onda no instante de 

pico ultrapassa o valor de regime estacionário, final, expresso como uma 

porcentagem do valor de estado estacionário. 

Tempo de assentamento, T S : tempo necessário para que as oscilações amor- 

tecidas do regime transitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa 

de valores ± 2% 

em torno do valor de estado estacionário. 

Tempo de subida, T R : tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 a 

0,9 do valor final. 

Figura 2 – Especificações da resposta de segunda ordem subamortecida (NISE, 

2002). 

2


Cálculo de T P 

O valor de T P é encontrado derivando-se c ( t) 

na Eq. (1) e obtendo o primeiro 

instante de passagem por zero depois de t = 0 . 

Efetuando-se essa conta, obtém-se: 

Cálculo de % UP 

TP 

= 

ω 

n 

π 

1− ζ 

3 

2 

. (2) 

Com base na Figura 2, a ultrapassagem percentual, % UP é dada por: 

% 

= 

c 

max 

c 

− c 

final 

final 

× 100 

UP . (3) 

O termo c max é obtido calculando-se o valor de c ( t) 

no instante de pico, c ( T ) . 

Usando a Eq. (2) para T p e substituindo na Eq. (1), vem: 

⎛ 

− 

⎜ 

ζπ 

⎞ 

⎟ 

⎛ 

− 

⎜ 

⎜ 

⎝ 

ζπ ⎞ 

⎟ 

2 ⎟ 

1−ζ 

⎠ 

1 ⎜ 2 ⎟ 

⎝ 1−ζ 

⎠ 

cmax = c( 

TP 

) = 1− 

e cos( 

π −φ 

) = 1+ 

e 

2 

(4) 

1− 

ζ 

Pela resposta ao degrau, calculada na Eq. (1), 

c = 1. 

(5) 

final 

Substituindo as Equações (4) e (5) na Eq. (3), obtemos: 

⎛ 

− 

⎜ 

⎜ 

ζπ 

1−ζ 

⎝ ⎠ 

% UP = e × 100 (6) 

Observe que a ultrapassagem percentual é uma função somente da relação de 

amortecimento ζ . 

Enquanto a Eq. (6) permite que se calcule o valor de % UP dada a relação de 

amortecimento ζ , o inverso da equação permite que se calcule o valor de ζ 

dada a ultrapassagem porcentual % UP . O inverso é dado por: 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

p


⎛ % UP ⎞ 

− ln⎜ 

⎟ 

⎝ 100 

ζ = 

⎠ 

. 

2 2⎛ 

% UP ⎞ 

π + ln ⎜ ⎟ 

⎝ 100 ⎠ 

Um gráfico da Eq. (6) está mostrado na Figura 3. 

Figura 3 – Ultrapassagem percentual em função da relação de amortecimento 

Cálculo de T S 

(NISE, 2002). 

O tempo de assentamento é o tempo necessário para que a amplitude da se- 

nóide amortecida na Eq. (1) alcance o valor 0,02, ou seja, 

e 

−ζω 

t 

Resolvendo esta equação, obtemos: 

TS 

n 

1 

1− 

ζ 

4 

2 = 

0, 

02 

( ζ ) 2 

0, 

02 1 

ln − 

− 

ζω 

= . 

O numerador desta expressão varia de 3,91 a 4,74 à medida que ζ varia de 0 

a 0,9. Assim, costuma-se usar a aproximação: 

TS 

= 

4 

ζω 

n 

n 

. (7) 

.


Cálculo de T R 

O valor de T R em função de ζ só pode ser obtido numericamente. Estes re- 

sultados são mostrados na Figura 4. 

Figura 4 - Tempo de subida normalizado versus relação de amortecimento para 

Exercício 

uma resposta de segunda ordem subamortecida (NISE, 2002). 

1. (NISE, 2002, p. 140) Dada a função de transferência: 

obter T P , % UP , T S e T R . 

100 

+ 15s 

+ 100 

G () s = 

, 

s 

2 

Vimos na aula passada que os pólos do sistema de 2ª ordem subamortecidos 

são: 

2 

s = −ζω 

n ± ωn 

ζ −1 

. 

Esta localização dos pólos é mostrada na Figura 5. 

5


Figura 5 - Diagrama de pólos de um sistema de segunda ordem subamortecido 

(NISE, 2002). 

Vemos, com base no Teorema de Pitágoras, que a distância radial da origem 

ao pólo é a freqüência natural ω n e cos θ = ζ . 

Comparando as equações (2) e (7) com a localização dos pólos, calculamos o 

instante de pico e o tempo de assentamento em termos da localização dos pó- 

los. Por conseguinte, 

TP 

= 

ω 

TS 

n 

π 

1− 

ζ 

n 

6 

2 

4 4 

= = , 

ζω σ 

em que ω d é a parte imaginária do pólo, chamada freqüência amortecida de os- 

cilação e σ d é a magnitude da parte real do pólo, chamada freqüência exponen- 

cial amortecida. 

Exercícios 

2. (NISE, 2002, p. 143) Dado o diagrama de pólos mostrado na Figura 6, de- 

terminar ζ , ω n , T P , % UP e T S . 

d 

= 

π 

ω 

d


Figura 6 - Diagrama de pólos para o Exercício 2 (NISE, 2002). 

3. (NISE, 2002, p. 144) Dado o sistema mostrado na Figura 7, obter J e D para 

uma ultrapassagem porcentual de 20% e um tempo de assentamento de 2 segundos 

para um torque de entrada, T ( t) 

, em degrau. 

Figura 7 – Sistema mecânico em rotação para o Exercício 3 (NISE, 2002). 

Funções de transferência de segunda ordem obtidas experimentalmente 

Podemos medir na curva de resposta em laboratório a ultrapassagem percen- 

tual e o tempo de assentamento de onde é possível obter os pólos e, conse- 

qüentemente, o denominador da função de transferência. O numerador pode 

ser obtido a partir do valor medido do estado estacionário. 

Exercícios 

7


4. (NISE, 2002, p. 145) Obter ζ , ω n , T S , T P , T R e % UP de um sistema cuja fun- 

ção de transferência é: 

361 

+ 16s 

+ 361 

G () s = 

. 

s 

2 

5. (NISE, 2002, p. 171) Determine a função de transferência de segunda ordem 

que apresenta uma ultrapassagem de 12,3% e um tempo de assentamento de 

1 segundo. 

8


Aula 24T – Solução das equações de estado através da 

Bibliografia 

transformada de Laplace 


8521613016. Páginas 156-158. 


788 p. ISBN 8587918230. Páginas 617-620. 

4.10 Solução das equações de estado através da transformada de Laplace 

No Capítulo 3, os sistemas foram modelados no espaço de estados, em que a 

representação se constituiu em uma equação de estado e em uma equação de 

saída. 

Nessa aula, usaremos a transformada de Laplace para resolver as equações de 

estado a fim de obter os vetores de estado e de saída. 

Considere as equações de estado 

e de saída 

e 

ou 

(1) 

x = Ax + Bu 

y = Cx+ Du 

. (2) 

Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros da equação de 

estado, resulta 

Assim, 

s s A s B s 

X( ) − x( 0) 

= X( ) + U ( ) . (3) 

( sI − A) ( s ) = B ( s ) + ( 0) 

X U x (4) 

−1 

⎡ ⎤ 

⎣ ⎦ 

X( s) = ( sI − A) ⎢x( 0) 

+ BU ( s) 

⎥ (5) 

Xs 

( ) 

adj 

= 

det 

( sI −A) 

( sI A) 

1 

( 0) 

+ B ( s) 

⎡ ⎤ 

⎢⎣ ⎥⎦ 

− x U . (6)


Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída resulta 

Y( s) = CX( s) + DU ( s) 

. (7) 

Autovalores e pólos da função de transferência 

No caso em que o sistema é SISO (Single input single output) e as condições 

iniciais são nulas, a função de transferência pode ser obtida substituindo-se (6) 

em (7): 

( sI −A) 

( sI −A) 

( − ) + ( − ) 

det ( − ) 

adj 

= ⎢ ⎥ 

⎢ + ⎥ ⇒ 

det 

Ys ( ) C B DUs ( ) 

Ys 

⎡ ⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎥ 

⎦ 

Cadj sI AB DdetsI A 

( ) 

= 

Us ( ) 

sI A 

2 

. (8) 

Repare que os pólos da função de transferência, que determinam o compor- 

tamento transitório são dados por 

( sI A) 

det − = 0 . (9) 

As raízes de (9) em s são definidas como os autovalores de A . 

Desta forma, os autovalores da matriz A fornecem os pólos do sistema. 

Exercícios 

1. (NISE, 2002, p. 173) Resolva a seguinte equação de estado e de saída para 

y( t ) em que u( t ) é o degrau unitário. Use o método da transformada de 

Laplace.


⎡−2 x= ⎢ 

⎢−1 ⎣ 

0 ⎤ ⎡1⎤ ⎥ ⎢ ⎥u( 

t) 

1⎥ x + 

− ⎢1⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 

y = ⎡ 

⎢0 ⎣ 

1 ⎤ 

⎥x; ⎦ 

⎡1 ⎤ 

x( 

0) 

= ⎢ ⎥ 

⎢ 0⎥ 

⎢⎣ ⎥⎦ 

(a) Resolva para y( t) usando a transformada de Laplace. 

(b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema. 

3 

. (10) 

2. (NISE, 2002, p. 158) Dado o sistema representado no espaço de estados pelas 

equações: 

⎡ 0 

x= ⎢ 

⎢−3 ⎣ 

2 ⎤ ⎡ 0⎤ 

⎥ ⎢ ⎥ −t 

e 

5⎥ 

x + 

− ⎢1⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 

y = ⎡ 

⎢1 ⎣ 

3 ⎤ 

⎥x; ⎦ 

⎡2 ⎤ 

x( 

0) 

= ⎢ ⎥ 

⎢1 ⎥ 

⎢⎣ ⎥⎦ 

(a) Resolva para y( t) usando a transformada de Laplace. 

(b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema. 

(11) 

3. (NISE, 2002, p. 157) Dado o sistema representado no espaço de estados por: 

⎡ 

⎢ 

0 

⎢ 

x= ⎢ 0 

⎢ 

⎢−24 ⎣ 

1 

0 

−26 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

1 ⎥x + ⎢0⎥e ⎥ ⎢ ⎥ 

−9⎥ 

⎢1⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 

y = ⎡ 

⎢1 ⎣ 

1 0 ⎤ 

⎥x; 

⎦ 

⎡1 ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ ⎥ 

x( 

0) = ⎢ 0⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢2 ⎥ 

⎣ ⎦ 

−t 

(12) 

(a) Resolva a equação de estados e obtenha a saída para a dada entrada exponen- 

cial. 

(b) Obtenha os autovalores e os pólos do sistema.

Automação e Controle I – Aula 25T – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006 

Aula 25T – Estudos de casos – resposta a malha aberta 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 164-168. 


Books, c1997. 558 p.: il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3. Páginas 135-156. 

4.8 Estudos de caso 

Neste capítulo, fez-se uso das funções de transferência deduzidas no Capitulo 

2 e das equações de estado deduzidas no Capítulo 3 para obter a resposta na 

saída de um sistema a malha aberta. Mostrou-se também a importância dos 

pólos de um sistema na determinação da resposta transitória. 

O estudo de caso a seguir utiliza esses conceitos para analisar a malha aberta 

do sistema de controle de posição de uma antena em azimute. 

Exercícios 

1. (NISE, 2002, p. 164) Para o diagrama esquemático do sistema de controle de 

posição em azimute discutido na Aula 12T (configuração 1) e reproduzido na 

Figura 1, suponha um sistema em malha aberta (canal de retroação desconec- 

tado). 

Figura 1 – Sistema de posicionamento em azimute (NISE; 2002). 

1


Faça o seguinte: 

(a) prever, por inspeção, a forma da velocidade angular de saída a um degrau de 

tensão na entrada do amplificador; 

(b) encontrar a relação de amortecimento e a freqüência natural do sistema a ma- 

lha aberta; 

(c) deduzir a expressão analítica completa para a resposta da velocidade angular 

da carga em malha aberta a um degrau de tensão na entrada do amplificador, 

usando as funções de transferência; 

(d) obter as equações de estado e de saída a malha aberta. 

2. (NISE, 2002, p. 168) No mar, os navios são submetidos a movimento segun- 

do o eixo de rolamento, como mostrado na Figura 2. Superfícies que se proje- 

tam lateralmente, chamadas estabilizadores, são usadas para reduzir este mo- 

vimento de rolamento. Os estabilizadores podem ser posicionados por um 

sistema de controle a malha fechada que consiste em componentes como os 

atuadores e sensores dos estabilizadores, bem como na dinâmica do rolamen- 

to do navio. Admita que a dinâmica do rolamento, que relaciona o ângulo de 

rolamento de saída, Θ ( s ) , a um torque perturbador de entrada T ( ) 

D s seja 

Θ( 

s ) 2, 25 

= 

( ) 2 

. (1) 

T s s + 0, 5s + 2, 25 

D 

Figura 2 - Eixo de rolamento de uma embarcação (NISE, 2002). 

2


Faça o seguinte: 

(a) determine a freqüência natural, a relação de amortecimento, o instante de pi- 

co, o tempo de assentamento, o tempo de subida e a ultrapassagem percentual; 

(b) determine a expressão analítica para a resposta da saída a um torque degrau 

unitário na entrada. 

3


Aula 26T – Redução de sistemas múltiplos: 

Bibliografia 

Associação em cascata e em paralelo 


8521613016. Páginas 179-182. 


0201308649. Páginas 48-52. 

CAPÍTULO 5 – REDUÇÃO DE DIAGRAMAS DE BLOCOS 

Neste capítulo, aborda-se 

Figura 1 - O ônibus espacial é constituído de diversos subsistemas. (NISE, 

2002). 

1


Figura 2 – Componentes de um diagrama de blocos de um sistema linear invari- 

ante no tempo (NISE, 2002). 

Figura 3 – (a) Subsistemas em cascata; (b) função de transferência equivalente. 

(NISE, 2002). 

2


Figura 4 - (a) Subsistemas em paralelo; (b) função de transferência equivalente. 

(NISE, 2002). 

3


Aula 27T – Associação com retroação 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 182-189. 


0201308649. Páginas 48-52. 

5.2.2 Associação com retroação 

O sistema com retroação típico, descrito detalhadamente no Capítulo 1, está 

mostrado na Figura 1(a); um modelo simplificado está mostrado na Figura 

1(b). 

Figura 1 - a. Sistemas de controle com retroação; b. modelo simplificado; c. 

função de transferência equivalente (NISE, 2002). 

1


• Pensando em termos do modelo simplificado, 

E( s) = R( s) ∓ C( s) H( s) 

. (1) 

• Mas como C( s) = G( s) E( s) 

, 

C( s) 

E( s) 

= . (2) 

G( s) 

• Substituindo a Eq. (2) na Eq. (1) e determinando a função de transferência 

C( s) 

= G ( ) 

e s , obtém-se a função de transferência equivalente, ou a malha 

R( s ) 

fechada, mostrada na Figura 1(c), 

G( s) 

G ( ) 

e s = (3) 

1 ± G( s) H( s) 

• O produto G( s) H( s ) na Eq. (3) é chamado de função de transferência a ma- 

lha aberta ou ganho de malha. 

5.2.3 Movendo blocos para criar formas conhecidas 

• A Figura 2 mostra diagramas de blocos equivalentes formados ao se desloca- 

rem funções de transferência à esquerda e à direita de uma junção somadora e 

a Figura 3 mostra diagramas de blocos equivalentes formados ao se desloca- 

rem funções de transferência à esquerda e à direita de um ponto de coleta do 

sinal. 

Exercícios 

1. (NISE; 2002, p. 185) Reduzir o diagrama de blocos mostrado na Figura 4 a 

uma única função de transferência. 

2. (NISE; 2002, p. 221) Reduza o diagrama de blocos mostrado na Figura 5 a 

C( s) 

uma única função de transferência T( s) 

= . 

R( s) 

3. (NISE; 2002, p. 223) Para o sistema mostrado na Figura 6, determinar a saída 

c( t ) se a entrada r( t ) for um degrau unitário. 

2


Figura 2 - Álgebra de diagrama de blocos para junções de soma – formas equi- 

valentes de deslocar um bloco a. à esquerda da junção somadora; b. à direita da 

junção somadora (NISE, 2002). 

4. (NISE; 2002, p. 223) Para o sistema mostrado na Figura 7, determinar a ul- 

trapassagem percentual, o tempo de assentamento e o instante de pico para 

uma entrada degrau se a resposta for subamortecida. (Será? Por quê?) 

5. (NISE; 2002, p. 223) Para o sistema mostrado na Figura 8, determinar o valor 

de k para o qual a resposta a um degrau unitário apresenta 20% de ultrapas- 

sagem. 

3


Figura 3 – Álgebra de diagrama de blocos para junções de aquisição de sinais – 

formas equivalentes de deslocar um bloco a. à esquerda da junção de aquisição 

de sinais; b. á direita da junção de aquisição de sinais (NISE; 2002). 

Figura 4 – Diagrama de blocos do Exercício 1 (NISE, 2002). 

4






5




Laboratório 



Automação e Controle 1 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 

Aula 1P - Comandos básicos do Matlab aplicados a Automa- 

ção e Controle 

Bibliografia 

HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto alegre: Bookman, 2001. 668 p. : il. (algumas 

ISBN 8573077417). Páginas 71-76. 

MITRA, Sanjit K. Digital signal processing : a computer-based approach. 2nd ed. Boston: McGraw- 

Hill, c2001. 866 p. : il. ; 24 cm ISBN 0072321059.Páginas 70-76. 

1. Introdução 

O Matlab é uma ferramenta muito útil no estudo de problemas e no desenvolvimento 

de projetos em Engenharia sendo utilizado em universidades e empresas ao redor do 

mundo. 

Na área de Engenharia de Produção e, mais precisamente, em projetos de Automação 

e Controle vem adquirindo um caráter quase fundamental. 

O principal motivo deste sucesso é a utilização maciça de vetores e matrizes para 

representar dados de uma forma simples (Matlab = Matrix Laboratory). Esta forma de representação 

praticamente elimina a necessidade de utilização de laços FOR ou WHILE 

simplificando e acelerando muito os programas. EM OUTRAS PALAVRAS, EM MA- 

TLAB, SEMPRE QUE POSSÍVEL (OU SEJA, QUASE SEMPRE!) NÃO UTILIZE LA- 

ÇOS FOR OU WHILE! 

O objetivo desta aula é (re) ver alguns conceitos básicos de programação em Matlab. 

Durante o curso veremos muitos outros detalhes técnicos. 

Lembre-se: sempre que você ficar na dúvida sobre a utilização de um comando, a 

função pode lhe ajudar. 

2. Gerando vetores 

2.1. O operador : 

O operador : é utilizado para gerar e acessar elementos de um vetor. 

Vetor = valor inicial: passo: valor final 

Quando o passo é unitário, ele pode ser omitido. 

• Exemplos de utilização 

1


a. gerar um vetor x com os números inteiros de zero a cinco 

>> x = 0:5 

x = 

0 1 2 3 4 5 

b. gerar um vetor y indo de 0 a 1 com passo de 0.1. 

>> y = 0:0.1:1 

y = 

0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 

0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 

c. mostrar o segundo elemento do vetor x 

>> x(2) 

ans = 

1 

Exercício 

1. Gerar um vetor x de números pares de 0 a 50. 

Comandos: 

2.2. A função linspace 

A função linspace é uma forma prática de se gerar vetores quando sabemos 

quantos pontos ele deve ter. 

Vetor = linspace (valor inicial, valor final, no. de pontos) 

• Exemplos de utilização 

a. Gere um vetor de 1000 pontos com valores entre zero e 1igualmente espaçados. 

>> v = linspace(0,1,1000); 

b. Repita o exercício anterior, mas com os valores em ordem decrescente. 

>> v = linspace(1,0,1000); 

2


Exercício 

2. Gere um vetor x de 5000 pontos com valores entre 0 e 2*pi. 

Comandos: 

2.3. Vetores especiais 

Existem vetores pré-definidos pelo Matlab e que são muito úteis. Dois deles são o 

ones(num.linhas, num.colunas) e o zeros(num.linhas, 

num.colunas) que geram, como os nomes dizem, vetores constituídos de uns e de zeros 

respectivamente. 

• Exemplos de aplicação 

a. Gere um vetor constituído de 10 zeros. 

>> x = zeros(1,10) 

x = 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

b. Gere um vetor constituído por 5000 uns. 

>> y = ones(1,5000); 

Exercício 

3. Gere uma matriz 2x2 constituída por zeros. 

Comandos: 

2.4. Concatenação de vetores 

Uma ferramenta muito interessante do Matlab é a possibilidade de combinar vetores 

para formar outros (concatenar vetores). Veja os seguintes exemplos. 

• Exemplos de aplicação: 

a. Gere um vetor de cinco zeros seguidos por cinco uns. 

>> vector = [zeros(1,5) ones(1,5)] 

vector = 

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 

3


b. Gere um vetor contendo os números inteiros entre zero e 10 em ordem crescente seguidos 

pelos mesmos em ordem decrescente. 

>> x = [0:10 10:-1:0] 

x = 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 

Exercício 

4. Construa um vetor constituído pelos números pares de 0 a 10 seguido pelos números 

ímpares de 0 a 10. 

Comandos: 

2.5. Operações entre vetores 

O Matlab permite somar (+), subtrair (-), multiplicar (.*) , dividir (./) vetores. Essas 

operações são realizadas elemento a elemento e só podem ser aplicadas entre vetores de 

mesmo comprimento. 

Além disso, quase todas as suas funções (trigonométricas, exponenciais e outras) 

podem ser aplicadas a um vetor sendo que elas operam também elemento a elemento. 

• Exemplos de aplicação 

a. Sendo x = [2 3 7] e y = [0 -1 3] escreva a resposta de cada um desses co- 

mandos executados no Matlab. 

I) x + y [2 2 10] 

ii) x – y [2 4 4] 

iii) x.*y [0 -3 21] 

b. Como gerar a partir do vetor x = 0:0.001:1 um vetor com números de 1 a 11? 

V = 10*x+1 

4


Exercício 

5. Sendo x = [2.1 -2 3] e y = [0 -1 3], escreva o vetor resultante das seguin- 

tes operações: 

i) x+y ii) x-y iii) 3*x iv) x.*y 

v) x./y vi) y./x vii) y.^2 viii) x.^y 

Respostas: 

3. Gráficos 

Uma outra característica muito interessante do Matlab para um engenheiro é a facilidade 

de se construir gráficos complicados com ele de uma maneira muito simples. O comando 

mais utilizado é: 

plot(vetor.abscissa, vetor.ordenada, ‘modo’); 

O comando plot traça um gráfico colocando seu primeiro argumento no eixo hori- 

zontal e seu segundo argumento no eixo vertical. A “string” ‘modo’ indica a forma como o 

gráfico será traçado. Veja help plot para mais detalhes. 

Stem traça um gráfico da seqüência em seu segundo argumento como palitos com 

círculos no valor dos dados usando seu primeiro argumento como abscissa. Veja os exemplos. 

• Exemplo de aplicação 

a. Faça um gráfico da função sin(x) 

y = para x ∈[ 

0, 

4π 

] 

>> x = linspace(0,4*pi,5000); 

>> y = sin(x); 

>> plot(x,y) 

5


Alguns comandos interessantes: 

I) grid – coloca linhas de grade no gráfico 

ii) title – permite acrescentar um título ao gráfico 

iii) xlabel - permite acrescentar um título no eixo das abscissas 

iv) ylabel - permite acrescentar um título no eixo das ordenadas 

v) hold on – não apaga o gráfico atual antes de fazer o seguinte 

Exercícios 

y x = sin x e ( ) ( ) 2 

z x = cos x para ∈ [ − 4π 

, 4π 

] 

ra. O gráfico de y ( x) 

deverá ficar em azul e o de z ( x) 

em vermelho. 

6. Faça um gráfico de ( ) ( ) 2 

Comandos: 

6 

x na mesma figu


4. Scripts 

Até este ponto, todas as nossas interações com o Matlab têm sido através da linha de 

comando. Entramos comandos ou funções na linha de comando e o Matlab interpreta 

nossa entrada e toma a ação apropriada. Este é o modo de operação preferencial quando 

nossa sessão de trabalho é curta e não repetitiva. 

No entanto, o real poder do Matlab para análise e projeto de sistemas vêm da sua habilidade 

de executar uma longa seqüência de comandos armazenados num arquivo. Estes 

arquivos são chamados de arquivos-M porque seus nomes têm a forma nomearq.m. 

Um script é um tipo de arquivo-M. Scripts são arquivos-textos comuns e podem ser 

criados usando um editor de texto. 

Um script é uma seqüência de comandos e funções comuns usados na linha de comando. 

Uma vez criado, ele é invocado na linha de comando digitando-se o nome do arquivo. 

Quando isso ocorre, o Matlab executa os comandos e funções no arquivo como se 

eles tivessem sido digitados diretamente na linha de comando. 

Suponha por exemplo que desejemos fazer um gráfico da função y() t = sinαt 

em que 

α é uma variável que queremos variar. 

Usando o editor de texto do Matlab (basta ditar edit na linha de comando), podemos 

escrever um script chamado plotdata.m como mostrado a seguir. 

% Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) 

% O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes 

% de se chamar este script 

t = 0:0.01:1; 

y = sin(alfa*t); 

plot(t,y); 

xlabel ('tempo(s)'); 

ylabel('y(t) = sin(\alpha t)'); 

grid on; 

É importante salvar o scritpt no mesmo diretório em que se está trabalhando na linha de 

comando. Caso contrário, ao tentar executar o script o Matlab não encontrará o arquivo 

e exibirá uma mensagem de erro. Este erro é muito comum quando estamos começando 

a trabalhar com scripts. 

Uma vez digitado e salvo é muito fácil utilizar o script. Veja os exemplos a seguir: 

7


>> alfa = 50; 

>> plotdata 

>> alfa = 10; 

>> plotdata 

Ao escrever scripts é sempre interessante utilizar comentários, linhas que começam 

com %. Se você escrever linhas de comentário antes do começo das instruções do script 

ao utilizar o comando help nomearq o Matlab apresenta estas linhas na tela. Por 

exemplo, 

>> help plotdata 

Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t) 

O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes 

de se chamar este script 

5. Funções 

Assim como os scripts, as funções definidas pelo usuário estão entre os recursos mais 

importantes e utilizados do Matlab. Uma função é um script que recebe um ou mais parâmetros 

do teclado e pode devolver um ou mais parâmetros ou executar uma tarefa. 

8


O formato de uma função no Matlab é o seguinte 

function [outarg1, outarg2,...] = fname(inarg1, inarg2,...) 

% Um comentário 

% Mais um comentário 

.... 

(código executável) 

.... 

fname é o nome da função criada e deve ser o nome do arquivo m em que foi gravado 

o arquivo. inarg1, inarg2,... são os argumentos de entrada e outarg1, 

outarg2,... são os argumentos de saída. 

A seguir damos um exemplo bastante simples de função. A função somateste recebe 

dois argumentos a, b e retorna a soma deles. 

function res = somateste(a,b); 

%Funcao para somar dois numeros a e b 

res = a+b; 

Uma vez que você tenha salvado este arquivo como somateste no diretório corrente, 

você pode usá-lo como nos exemplos a seguir: 

>> somateste(2, 4) 

ans = 

6 

>> a = 5; 

>> b = -3; 

>> res = somateste(a,b) 

res = 

2 

Exercícios 

7. Reescreva o script plotdata visto acima de forma que ele seja uma função que rece- 

be a variável alfa. Ou seja, escreva uma função que faça um gráfico da função 

y() t = sinαt 

no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 e α é um parâmetro escolhido pelo usuário. Por e- 

xemplo, o comando: 

9


>> plotdada(50) 

deve gerar o gráfico 

Resposta (listagem): 

8. Sendo o vetor a = [0 1 5 2.4 7 1000], escreva os elementos dos seguintes 

vetores: 

i) x = a(5:-1:2) ii) y = a(1:4) 

iii) z = a(2:2:4) iv) w = a(3) 

Respostas: 

9. Gere um vetor constituído de 100 elementos iguais a cinco. 

Comandos: 

10. (1032) Escreva uma função Matlab chamada pulso2graf cujas entradas sejam dois 

números inteiros a e b com a 

amplitude 2 no intervalo a ≤ n ≤ b . O gráfico deve começar em a − 2 e terminar em 

b + 2 . 

Por exemplo, ao digitarmos: 

10


>> pulso2graf(2,8); 

devemos obter a figura 

Listagem da função: 

11. Resolver o Exercício 1.44 da página 84 (HAYKIN; VEEN, 2001). Entregue os comandos 

e os gráficos obtidos além dos comentários pertinentes. 

11


Aula 2P – Exemplos práticos de sistemas de Automação e 

Bibliografia 

Controle 


0201308649. Páginas 1-14. 

Manual for Model 730 – Magnetic Levitation System, ECP, 1999. 

O objetivo desta aula é fazer o aluno entrar em contato com alguns sistemas de controle simples. 

Serão analisados quatro sistemas: 

Pêndulo invertido (Simulink) 

Sistema massa-mola (Simulink) 

Controle de nível num vazo sanitário (Simulink) 

Levitador Magnético (kit didático) 

1. Pêndulo invertido (Simulink) 

Esse sistema ilustra um pêndulo colocado sobre um carrinho que pode ser deslocado com 

o cursor. 

Para começar a simulação, basta digitar penddemo na linha de comando do Matlab. De- 

verá ser aberto um diagrama do Simulink como o mostrado a seguir. 

Para iniciar a simulação do pêndulo, clique em “Start Simulation” na barra de ferramentas. 

Deve-se abrir uma janela em que você pode visualizar o pêndulo. 

1


Puxando o cursor com o mouse, verifique o comportamento do pêndulo. Descreva abaixo. 

Resposta: 

A seguir mude o valor do ganho proporcional (circundado abaixo – basta clicar duas vezes 

nele) de -9,4 para -2 e simule novamente. Verifique o que ocorre. 

Resposta: 

2


2. Sistema massa-mola (Simulink) 

Esse sistema simula o comportamento de duas massas ligadas por uma mola sendo este 

conjunto submetido a uma força excitadora. 

Para dar início à simulação, basta digitar dblcart1 na linha de comando do Matlab. 

Deverá ser aberto um diagrama do Simulink como o mostrado a seguir. 

Para iniciar a simulação do sistema massa-mola, clique em “Start Simulation” na 

barra de ferramentas. 

Deve-se abrir uma janela em que você pode visualizar o sistema. 

Ao clicar com o mouse na caixa “Actual Position” é mostrada a entrada e a posição do 

sistema massa-mola. O que você pôde observar? 

3


Resposta: 

Clicando no gerador de sinais é possível mudar a amplitude, a freqüência e a forma de 

onda aplicada. Tente utilizar a forma aleatória (random) e dente de serra (sawtooth), simule 

novamente e escreva o que ocorre. Até que valor de amplitude ainda é possível ver 

os bloquinhos na tela? 

Resposta: 

4


3. Controle de nível de um vaso sanitário (Simulink) 

Esse sistema simula a descarga em um vaso sanitário. 

Para dar início à simulação, basta digitar toilet na linha de comando do Matlab. Deve- 

rá ser aberto um diagrama do Simulink juntamente com um modelo GUI mostrados a seguir. 

Pressione Start Sim e dê a descarga (FLUSH) algumas vezes. A seguir clique em 

Stop Sim. Serão mostradas a seguir quatro curvas. Explique cada uma delas a seguir. 

Resposta: 

4. Levitador magnético 

O levitador magnético é composto por duas bobinas, uma inferior e outra superior que 

geram um campo magnético pela passagem de uma corrente. Essas bobinas interagem a- 

5


través do campo com um ou dois discos magnéticos que se deslocam em uma barra de vidro 

que serve como guia. 

Variando-se a magnitude da corrente na bobina inferior, pode-se controlar a posição do 

magneto inferior fazendo-o levitar através de uma força magnética repulsiva. Similarmente, 

o magneto superior é posicionado através de uma força magnética de atração, adotando-se 

um valor adequado de corrente na bobina superior. Com a proximidade dos discos 

surge também interação magnética (força de repulsão) entre os dois magnetos. 

Dois sensores ópticos baseados em sensores de laser são utilizados para medir a posição 

dos magnetos. 

Figura 1 - Diagrama do levitador magnético (ECP, 1999). 

O diagrama esquemático de um sistema ECP (Educational Control Products) completo é 


Para o sistema Dispositivo de Levitação Magnética, a informação sobre a posição é fornecida 

pelo medidor óptico. A placa DSP é capaz de interpretar comandos de trajetórias e 

realizar verificações em variáveis com o objetivo de garantir a segurança na operação do 

equipamento. 

O acionamento é feito por um sistema eletrônico de potência que gera o sinal de corrente 

adequado para a bobina. 

6


Figura 2 – Diagrama completo de um sistema ECP (ECP, 1999). 

O terceiro elemento que compõe e finaliza todos os sistemas ECP é o programa executivo 

que roda no PC e dispõe de uma interface gráfica a base de menus, que permite operar o 

sistema com facilidade. Ele dá suporte à definição de trajetórias, aquisição de dados, visualização 

de curvas, especificação de controladores, execução de comandos do sistema, etc. 

Observe atentamente a demonstração do equipamento a ser feita pelo professor e anote 

tudo que considerar relevante. 

Anotações: 

Exercício 

1. (1052) Resolver Exercício 1.10 da página 32 do (SILVEIRA; SANTOS, 1999). 

7


Aula 3P – Simulação computacional de sistemas contínuos – 

Bibliografia 

(1ª parte) 

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2003. 788 p. 

ISBN 8587918230. Páginas 31-34. 


8521613016. Páginas 607-610. 

O objetivo desta aula é aprender a trabalhar com funções de transferência no Matlab através de 

exemplos. É interessante que você execute cada um dos exercícios a seguir interpretando seus 

resultados. Esta aula, juntamente com a da próxima semana são fundamentais para o restante do 

curso. 

1. (NISE, 2002; p. 607) Cadeias de caracteres são representadas no Matlab por texto entre após- 

trofos como ‘ab’. Os comentários começam com % e são ignorados pelo Matlab. Os núme- 

ros são digitados sem quaisquer outros caracteres. As operações aritméticas são executadas 

utilizando os operadores adequados. Os números podem ser atribuídos a variáveis usando um 

argumento à esquerda e um sinal de igualdade. Digite a seguinte seqüência de comandos e 

complete os espaços com os resultados do Matlab. Certifique-se que entendeu o seu significado. 

>> '(cap2p1)' % Exibe título. 

>> 'Como vai você?' % Exibe uma cadeia de caracteres. 

>> -3.96 % Exibe o número real -3,96. 

>> -4+7i % Exibe o número complexo -4+7i. 

>> -5-6j % Exibe o número complexo -5-6i. 

>> (-4+7i)+(-5-6i) % Adiciona os números complexos e 

___________________ % Exibe a soma. 

(-4+7j)*(-5-6j) % Multiplica os dois números complexos e 

___________________ % Exibe o produto. 

>> M=5 % Atribui o valor 5 a M e exibe o resultado. 

>> N=6 % Atribui o valor 6 a N e exibe o resultado. 

>> P=M+N %Atribui o valor M+N a P exibe o resultado. 

___________________ 

1


2. (NISE, 2002; p. 607) Os polinômios em s podem ser representados por vetores linha conten- 

do os coeficientes. Deste modo, 7 3 23 

2 3 

P = s + s − s + pode ser representado pelo vetor 

1 

mostrado a seguir, com os elementos separados por um espaço ou uma vírgula. 

>> P1=[1 7 -3 23] % Armazena o polinômio s^3 + 7s^2 -3s + 23 

5 4 2 

Qual seria o comando para armazenar o polinômio P = s − s + 4, 

5s 

+ 7 ? 

Resposta: 

3. (NISE, 2002; p. 607) A execução das instruções anteriores faz com que o Matlab exiba os 

resultados na tela. A digitação de um comando com um ponto-e-vírgula suprime a exibição na 

tela. Digitando-se uma expressão sem atribuição à esquerda e sem o ponto-e-vírgula faz com 

que a expressão seja calculada e o resultado, exibido na tela. Digite P2 na tela Matlab Com- 

mand Window após a execução e verifique o resultado. 

>> P2=[3 5 7 8]; % Atribui P2 

% sem mostrar na tela. 

>> 3*5 % Calcula 3*5 e mostra o resultado. 

Qual o polinômio atribuído a P2? 

Resposta: 

4. (NISE, 2002; p. 607) Uma F () s fatorada pode ser representada sob a forma de polinômio. 

Assim, 3 = ( s + 2)( 

s + 5)( 

s + 6) 

2 

2 

P pode ser transformado em polinômio através do comando 

poly(V), onde V é um vetor linha contendo as raízes do polinômio e poly(V) forma os 

coeficientes do polinômio. 

>> P3=poly([-2 -5 -6]) % Armazena o polinômio 

>> % (s+2)(s+5)(s+6) como P3 

Escreva os coeficientes do polinômio P 3. 

Resposta: 

5. (NISE, 2002; p. 607) Podemos determinar as raízes de polinômios usando o comando ro- 

ots(V). As raízes vêm na forma de um vetor coluna. Por exemplo, obtenha as raízes de 

4 3 2 

5s 

+ 7s 

+ 9s 

− 3s 

+ 2 . 

>>P4=[5 7 9 -3 2] % Forma 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2 e


% exibe o resultado. 

>> raizes_P4=roots(P4) % Acha as raízes de 5s^4+7s^3+9s^2-3s+2. 

Calcule as raízes de () 7 10 

2 3 

P s = s + s + . 

Resposta: 

6. (NISE, 2002; p. 607) Os polinômios podem ser multiplicados entre si usando o comando 

3 2 

4 3 2 

conv(a,b). Assim, 5 = ( s + 7s 

+ 10s 

+ 9)( 

s − 3s 

+ 6s 

+ 2s 

+ 1) 

guir: 

>> P5=conv([1 7 10 9],[1 -3 6 2 1]) 

P é gerado como a se- 

2 

3 2 

Obtenha o polinômio resultante da multiplicação ( + 1) 

( 3s 

+ 4s 

+ 2s 

− 9) 

Resposta: 

Expansão em frações parciais no Matlab. 

Considere a seguinte função 

B 

A 

() s 

() s 

B 

A 

: 

() s 

num 

b s 

3 

s . 

+ b s 

+ + b 

n n−1 

0 1 

n 

= = n n−1 

() s den s + a1s 

+ + an 

em que alguns dos i a e b j podem ser nulos. No Matlab, os vetores linha num e den são forma- 

dos pelos coeficientes do numerador e do denominador da função de transferência. Ou seja, 

num = [b0 b1 … bn] 

den = [1 a1 a2 … an] 

O comando 

[r,p,k] = residue(num,den) 

determina os resíduos (r), os pólos (p) e o termo direto (k) da expansão em frações parciais da 

relação entre os polinômios B () s e A ( s) 

. 

A expansão em frações parciais de 

B 

A 

() s 

() s 

B( 

s) 

A() 

s 

( 1) 

p() 

1 

é dada por: 

( 2) 

p( 

2) 

r r 

r 

= + + + 

s − s − s − 

Por exemplo, considere a seguinte função de transferência: 

( n) 

p( 

n) 

+ 

k() 

s


( s) 

3 2 

B 2s 

+ 5s 

+ 3s 

+ 6 

= 

. 

3 2 

A() 

s s + 6s 

+ 11s 

+ 6 

Para essa função, 

>> num = [2 5 3 6]; 

>> den = [1 6 11 6]; 

O comando 

[r,p,k] = residue(num, den) 

apresenta o seguinte resultado: 

>> [r,p,k] = residue(num, den) 

r = 

-6.00000000000000 

-4.00000000000002 

3.00000000000001 

p = 

-3.00000000000000 

-2.00000000000000 

-1.00000000000000 

k = 

2 

Essa é a representação em Matlab da seguinte expansão em frações parciais de 

B 

A 

( s) 

() s 

3 2 

2s 

+ 5s 

+ 3s 

+ 6 

= 

= 

3 2 

s + 6s 

+ 11s 

+ 6 

4 

− 6 

s + 3 

+ 

− 4 

s + 2 

3 

+ + 2 

s + 1 

O comando residue pode ser também utilizado para formar os polinômios (numerador e de- 

nominador) a partir de suas expansões parciais em frações. Ou seja, o comando: 

[num, den] = residue(r,p,k) 

em que r, p e k foram fornecidos previamente pelo Matlab, convertendo de volta a expansão em 

frações parciais para a relação polinomial, como se segue: 

>> [num, den] = residue(r, p, k); 

>> printsys(num, den, 's') 

num/den = 

2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6 

----------------------s^3 

+ 6 s^2 + 11 s + 6 

O comando 

B 

A 

() s 

() s 

:


printsys(num, den, ‘s’); 

apresenta o num/den em termos da relação polinomial em s. 

Note que, se ( j) 

= p( 

j + 1) = = p( 

j + m −1) 

p , o pólo p ( j) 

é um pólo de multiplicidade m . 

Nestes casos, a expansão inclui termos como se segue: 

r 

s − 

( j) 

p( 

j) 

+ 

r( 

j + ) 

[ s − p( 

j) 

] 

7. (OGATA, 2003; p. 32) Expanda a seguinte 

Comandos e resposta: 

B 

A 

5 

( ) 

[ ( ) ] m 

r j + m −1 

s − p j 

1 

+ + 

. 

2 

B 

A 

( s) 

() s 

2 

2 

() s s + 2s 

+ 3 s + 2s 

+ 3 

= = 3 3 2 

() s ( ) s + 3s 

+ 3s 

+ 1 

s + 1 

em frações parciais com Matlab: 

.


8. (OGATA, 2003; p. 44) Considere a seguinte função: 

4 3 2 

s + 5s 

+ 6s 

+ 9s 

+ 30 

F () s = 

. 

4 3 2 

s + 6s 

+ 21s 

+ 46s 

+ 30 

Utilizando o Matlab, obtenha a expansão em frações parciais de F ( s) 

. Em seguida, determine a 

transformada de Laplace inversa de F ( s) 

. 

Comandos e Resposta: 

9. Resolver Exercício 14 da página 82 do (NISE, 2002). 

6


Aula 4P – Simulação computacional de sistemas contínuos – 

Bibliografia 

(2ª parte) 


0201308649. Páginas 63-76. 


8521613016. Páginas 607-610. 

1. (NISE, 2002, p. 608) Criando Funções de Transferência. 

Método Vetorial, Forma Polinomial: 

Uma função de transferência pode ser expressa como um polinômio em numerador dividido por 

um polinômio em denominador, isto é, F(s) = N(s)/D(s). O numerador, N(s), é representado por 

um vetor linha, numf, que contém os coeficientes de N(s). De modo semelhante, o denominador, 

D(s), é representado por um vetor linha, denf, que contém os coeficientes de D(s). Formamos 

F(s) com o comando 

F = tf(numf,denf). 

F é chamado um objeto linear e invariante no tempo (LIT). Este objeto, ou função de transferên- 

cia, pode ser usado como uma entidade em outras operações, como adição ou multiplicação. 

2 

2 

Mostramos isto com () s = 150( 

s + 2s 

+ 7) 

[ s( 

s + 5s 

+ 4) 

] 

F . Observe que ao executar o comando 

tf, o MATLAB imprime, na tela, a função de transferência. 

>> numf=150*[1 2 7] % Armazena 150(s^2+2s+7) em numf e 

% mostra o resultado. 

>> denf=[1 5 4 0] % Armazena s(s+1)(s+4) em denf e 

% mostra o resultado na tela. 

>> F=tf(numf,denf) % Forma F(s) e mostra o resultado. 

Método Vetorial, Forma Fatorada: 

Também podemos criar funções de transferência LIT se o numerador e o denominador estiverem 

representados na forma fatorada. Fazemos isto usando os vetores linha que contêm as raízes do 

numerador e do denominador. Assim, G(s) = K*N(s)/D(s) pode ser expresso como um objeto 

LIT, usando o comando: 

G = zpk(numg,deng,K), 

1


em que numg é um vetor linha contendo as raízes de N(s) e deng é um vetor linha contendo as 

raízes de D(s). A expressão zpk significa zeros (raízes do numerador), pólos (raízes do denomi- 

nador) e ganho, K. Mostramos isto com ( s) 

= 20 ( s + 2)( 

s + 4) 

[ ( s + 7)( 

s + 8)( 

s + 9) 

] 

G . Observe que 

ao executar o comando zpk, o MATLAB imprime, na tela, a função de transferência. 

>> numg=[-2 -4] % Armazena (s+2)(s+4) em numg e 


>> deng=[-7 -8 -9] % Armazena (s+7)(s+8)(s+9) em deng e 


>> K=20 % Define K. 

>> G=zpk(numg,deng,K) % Forma G(s) e mostra o resultado. 

Método da Expressão Racional em s, Forma Polinomial: 

Este método permite que você digite a função de transferência como a escreveria normalmente. A 

instrução s = tf('s') deve preceder a função de transferência se você quiser criar uma fun- 

ção de transferência LIT na forma polinomial equivalente usando G = tf(numg,deng). 

>> s=tf('s') % Define 's' como um objeto LTI em 

% forma polinomial. 

>> F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)] 

% Forma F(s) como uma função de 

% transferência LTI em forma polino- 

% mial. 

>> G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)] 

% Forma G(s) como uma função de 

% transferência LTI em forma polino- 

% mial. 

Método da Expressão Racional em s, Forma Fatorada. 

Este método permite que você digite a função de transferência como a escreveria normalmente. A 

instrução s = zpk('s') deve preceder a função de transferência se você quiser criar uma 

função de transferência LIT na forma fatorada equivalente usando G = zpk(numg,deng,K). 

Em ambos os métodos da expressão racional a função de transferência pode ser digitada sob 

qualquer forma independentemente de se usar s = tf('s') ou s = zpk('s'). A diferen- 

2


ça está na função de transferência LIT criada. Usamos os mesmos exemplos anteriores para demonstrar 

os métodos da expressão racional em s. 

>> s=zpk('s') % Define 's' como um objeto LTI em 

% forma fatorada. 

>> F=150*(s^2+2*s+7)/[s*(s^2+5*s+4)] 

% Forma F(s) como uma função de transferência 

% LTI em forma fatorada. 

>> G=20*(s+2)*(s+4)/[(s+7)*(s+8)*(s+9)] 

%Forma G(s) como uma função de transferência 

% LTI em forma fatorada. 

2. (NISE, 2002; p. 82) Use o Matlab para gerar a seguinte função de transferência: 

G 

() s 

nas seguintes formas: 

(a) relação de fatores; 

(b) relação de polinômios 

Comandos utilizados: 

= 

s 

5 

( s + 15)( 

s + 26)( 

s + 72) 

2 

2 

( s + 55)( 

s + 5s 

+ 30)( 

s + 56)( 

s + 27s 

+ 52) 

3. (NISE, 2002; p. 609) Os vetores do numerador e do denominador da função de transferência 

podem ser convertidos para a forma polinomial contendo os coeficientes e para a forma fato- 

rada contendo as raízes. A função MATLAB, tf2zp(numtf,dentf), converte os coefi- 

cientes do numerador e do denominador em raízes. Os resultados estão na forma de vetores 

coluna. Mostramos isto com F(s) = (10s^2 + 40s + 60)/(s^3 + 4s^2 +5s + 7). 

>> numftf=[10 40 60] % Forma o numerador de F(s) = 

% (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7). 

>> denftf=[1 4 5 7] % Forma o denominador de F(s) = 

% (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7). 

3


>> [numfzp,denfzp]=tf2zp(numftf,denftf) 

% Converte F(s) para a forma fatorada. 

A função MATLAB zp2tf(numzp,denzp,K) transforma as raízes do numerador e do de- 

nominador em coeficientes. Os argumentos numzp e denzp devem ser vetores coluna. Na de- 

monstração a seguir, o sinal de apóstrofo significa o vetor transposto. Vamos mostrar a conversão 

de raízes em coeficientes com G(s) = 10(s + 2)(s + 4)/[s(s + 3)(s + 5)]. 

>> numgzp=[-2 -4] % Forma o numerador de 

>> K=10 % G(s) = 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)]. 

>> dengzp=[0 -3 -5] % Forma o denominador de 

% G(s) = 10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)]. 

>> [numgtf,dengtf]=zp2tf(numgzp',dengzp',K) 

% Converte G(s) para a forma polinomial. 

4. (NISE, 2002; p. 82) Repita o problema 2 para a seguinte função de transferência: 

Comandos utilizados: 

4 3 2 

s + 25s 

+ 20s 

+ 15s 

+ 42 

F () s = 

. 

5 4 3 2 

s + 13s 

+ 9s 

+ 37s 

+ 35s 

+ 50 

5. (NISE, 2002; p. 609) Modelos LIT também podem ser convertidos entre a forma polinomial e 

fatorada. Os comandos MATLAB tf e zpk também são usados para conversão entre mode- 

los LIT. Se a função de transferência, Fzpk(s), for expressa como fatores em numerador e de- 

nominador, então tf(Fzpk) converte Fzpk(s) em uma função de transferência expressa a- 

través dos coeficientes do numerador e do denominador. De modo semelhante, se uma função 

de transferência, Ftf(s), for expressa através dos coeficientes do numerador e do denomina- 

dor, então zpk(Ftf) converte Ftf(s) em uma função de transferência expressa através dos 

fatores de numerador e de denominador. O seguinte exemplo mostra os conceitos. 

4


>> Fzpk1=zpk([-2 -4],[0 -3 -5],10) % Forma Fzpk1(s)= 

%10(s+2)(s+4)/[s(s+3)(s+5)]. 

>> Ftf1=tf(Fzpk1) % Converte Fzpk1(s) à 

% forma de coeficientes. 

>>Ftf2=tf([10 40 60],[1 4 5 7]) % Forma Ftf2(s)= 

% (10s^2+40s+60)/(s^3+4s^2+5s+7). 

>> Fzpk2=zpk(Ftf2) % Converte Ftf2(s) à 

% forma fatorada. 

6. (DORF; BISHOP, 2001, p. 76) Uma impressora utiliza um feixe de laser para imprimir rapidamente 

cópias para um computador. O laser é posicionado por um sinal de controle de entrada, 

r () t , tal que: 

( s + 100) 

5 

Y () s = R() 

s . 

2 

s + 60s 

+ 500 

A entrada r () t representa a posição desejada do feixe de laser. 

(a) Determine a saída y () t quando r ( t) 

for um degrau unitário de entrada. 

(b) Qual o valor final de y () t ? 

(c) Usando o Matlab, gere um gráfico de ( t) 

Resolução (use o verso também): 

y para 0 ≤ t ≤ 1segundo. 

5


7. O comando step(sys, Tfinal) gera um gráfico da resposta ao degrau para um sistema 

sys no intervalo 0 ≤ t ≤ TFINAL 

. Sendo assim, use o Matlab para gerar diretamente a resposta 

ao degrau do exercício anterior (faça em outra figura para não apagar a anterior) e compare 

com o resultado obtido na letra (c) do Exercício 6. 

Comandos utilizados e comparação. 

8. (DORF; BISHOP, 2001, p. 76) A função de transferência de um sistema é: 

Y 

R 

( s) 

() s 

6 

( s + 2) 

10 

= 

. 

2 

s + 8s 

+ 15 

Determine algebricamente e faça um gráfico de y ( t) 

quando ( t) 

trada. Confira seu resultado com o comando step. 

Resolução: 

r for um degrau unitário de en- 

9. (1061) Resolver Exercício PM2.4 da página 91 do (DORF; BISHOP, 1998).


Aula 5P – Aula de Exercícios para P1 

Bibliografia 


0201308649. Páginas 1-92. 


8521613016. Páginas 1-88. 

1. (DORF; BISHOP, 2001, p. 22) Um exemplo comum de sistema de controle com duas entradas 

é um chuveiro doméstico com válvulas separadas para água quente e fria. O objetivo é 

obter (1) a temperatura desejada da água do chuveiro e (2) um fluxo de água desejado. Esboce 

um diagrama do sistema de controle a malha fechada. 

2. (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 1995, p. 136) Um impulso é aplicado à entrada 

de um sistema contínuo e a saída é observada como sendo a função do tempo 

função de transferência do sistema. 

1 

t 

e 2 − 

. Encontre a


3. (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 1995, p. 139) Determine a função de transferência 

de duas redes de atraso conectadas em série como mostrado na Figura 1. 

Figura 1 –(DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 1995). 

4. (DORF; BISHOP, 2001, p. 91) Considere o sistema mecânico esboçado na Figura 2. A entrada 

é dada por f ( t) 

e a saída por y ( t) 

. Determinar a função de transferência de f () t para y ( t) 

e, usando o Matlab, traçar a curva da resposta a uma entrada degrau unitário. Seja m = 10 , 

k = 1 e b = 0, 

5 . Mostrar que a amplitude máxima da saída é de cerca de 1,8. 

Figura 2 – Sistema mecânico mola-massa-amortecedor (DORF; BISHOP, 2001). 

2


5. (NISE, 2002, p. 84) Para o sistema mecânico em rotação mostrado na Figura 3, calcule a fun- 

ção de transferência, () s ( s) 

T ( s) 

Θ 

G 2 

= . 


6. (1052) Resolver exercício PM2.8 da página 92 do (DORF; BISHOP, 2001). 

3

Automação e Controle I – Aula 6P - Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006 

Aula 6P – Questões da P1 

1. (NISE; 2002, p. 21) (1,0) Funcionalmente, como os sistemas a malha fechada se diferenciam 

dos sistemas a malha aberta? Dê três exemplos de sistemas a malha aberta. 

2. (NISE; 2002, p. 32) (2,0) Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y( t ) se todas 

as condições iniciais forem zero. Usar a transformada de Laplace. 

2 

dy dy 

( ) 

2 12 32y 32u 

t 

dt dt 

+ + = (1) 

3. (DORF; BISHOP, 1998, p. 78) A velocidade de rotação ω de um satélite mostrado na figura 

a seguir é ajustada mudando-se o comprimento L da barra. A função de transferência entre 

Δ é 

( ) ( ) 

( ) ( )( ) 2 

ω s 2, 5 s + 2 

= 

Δ L s s + 5 s + 1 

ω ( s ) e a variação incremental do comprimento da barra L( s) 

1 

A variação do comprimento da barra é Δ L( s) 

= . Determine a resposta de velocidade ω ( t ) . 

4s 

(DORF; BISHOP, 1998). 

4. (PHILLIPS; HARBOR, 1997, p. 70) Considere o circuito mostrado na figura seguinte. 

V ( ) 

2 s 

(a) (1,0) Encontre a função de transferência 

V ( s ) 

. 

1 

(b) (1,0) Suponha que um indutor L 2 é conectado aos terminais de saída em paralelo com R 3 . 

V ( ) 

2 s 

Encontre a função de transferência 

V ( s ) 

. 

1 

1 

(2)

Automação e Controle I – Aula 6P - Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006 

(PHILLIPS; HARBOR, 1997). 

5. (OGATA; 2003, p. 44) (2,0) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que gere a expansão 

em frações parciais da seguinte função. 

( )( ) 

( ) 

( )( )( ) 2 

10 s + 2 s + 4 

F s = (3) 

s + 1 s + 3 s + 5 

Em seguida obtenha a transformada inversa de Laplace de F( s ) . 

2


Aula 7P – Exemplos simples de sistemas e diagramas de 

Bibliografia 

blocos no Simulink 


8521613016. Páginas 642-653. 


0201308649. Páginas 81 – 91. 

1. Introdução 

O Simulink é usado para simular sistemas. Usa uma interface gráfica do usuário (GUI) 

para você interagir com blocos que representam subsistemas. Você pode posicionar os 

blocos, ajustá-los, rotulá-los, especificar seus parâmetros e interconectá-los para formar 

sistemas completos para os quais podem ser executadas simulações. 

O Simulink possui bibliotecas de blocos a partir das quais podem ser feitas cópias de subsistemas, 

de fontes (isto é, geradores de funções) (sources) e dispositivos de visualização 

(sinks). Estão disponíveis blocos de subsistemas para representar sistemas lineares, nãolineares 

e discretos. 

2. Usando o Simulink 

O resumo a seguir mostra os passos para usar o Simulink. 

1. Acessando o Simulink. O Simulink Library Browser, de onde começamos o Simulink, é 

acessado digitando-se simulink na janela Matlab Command Window ou clicando no 

botão Simulink Library Browser na barra de ferramentas, como mostra a parte circundada 

na Figura 1. 

Figura 1 - A janela MATLAB Command Window - como acessar o Simulink. (NISE, 2002). 

Criamos agora uma janela de modelo untitled (sem título), Figura 2, clicando sobre o botão 

Create a new model (dentro do círculo mostrado na Figura 2) na barra de ferramentas 

da janela Simulink Library Browser. 

1


Figura 2 - A janela Simulink Library Browser mostrando: a. o botão Create a new model assinalado 

com um círculo; b. a janela de modelo untitled. 

2. Selecionando subsistemas. Selecione os subsistemas necessários e arraste-os com o mouse 

para a janela untitled. 

3. Monte e rotule os subsistemas. Você pode posicionar, ajustar o tamanho e renomear os 

blocos. Basta clicar duas vezes sobre eles. 

4. Interconecte subsistemas e rotule os sinais. Posicione o cursor na pequena seta de saída ao 

lado de um subsistema, pressione o botão do mouse e arraste o cursor resultante em forma 

de retículo para a pequena seta de entrada do próximo subsistema. 

5. Escolha de parâmetros para os subsistemas. Dê um duplo clique no subsistema da janela 

do modelo e digite os parâmetros desejados. 

6. Escolha os parâmetros para simulação. Selecione Parameters no menu Simulation na janela 

do modelo para configurar parâmetros adicionais, como o tempo de simulação. 

7. Inicie a simulação. Selecione Start no menu Simulation na janela do modelo ou clique no 

ícone Start/Pause na barra de ferramentas da janela do modelo, como mostrado na Figura 

2. 

2


8. Interaja com o gráfico. Na janela Scope você pode usar o zoom para aproximar ou afastar 

o gráfico, modificar a escala dos eixos, salvar a configuração dos eixos e imprimir o gráfico 

resultante. 

9. Gravar o modelo. Ao gravar o modelo, escolhendo a opção Save no menu File, cria-se um 

arquivo com extensão .mdl, a qual é necessária. 

Atividades 

1. (DORF; BISHOP, 2001, p. 91) Considere o sistema com realimentação esboçado na Figura 

3. 

Figura 3 – Sistema de controle com realimentação negativa (DORF; BISHOP, 2001). 

(a) Implemente este sistema no Simulink. 

(b) Obtenha um gráfico da resposta ao degrau deste sistema. Qual seu valor máximo? Qual 

seu erro estacionário? 

Respostas: 

3


2. (DORF; BISHOP, 2001, p. 88) Uma carga adicionada a um caminhão resulta em uma 

força F sobre a mola do suporte e o pneu se deforma como está mostrado na Figura 4a. O 

modelo para o movimento do pneu está mostrado na Figura 4b. 

Figura 4 – Modelo de suporte de caminhão (DORF; BISHOP, 1991). 

(a) Determine a função de transferência 

X 1 

F 

( s) 

() s 

(b) Implemente esta função no Simulink. Use k = k = 1 e b = 0, 

5 e M = 10 . 

. 

(c) Obtenha um gráfico da posição x1 ( t) 

quando balançamos o caminhão com uma freqüência 

de 1 oscilação por segundo (0,1Hz) o que pode ser modelado por f ( t) = sin( 2π ⋅0,1⋅ t) 

. 

(d) Repita para freqüências de 0,2Hz, 0,5Hz e 1Hz. O que ocorre com a saída? Justifique. 

Respostas: 

4 

1 

2


3. (DORF; BISHOP, 2001, p. 81) Estruturas em T são usadas freqüentemente como filtros 

em sistemas de controle em corrente alternada. A Figura 5 mostra um desses circuitos em 

T. 

Figura 3 – Estrutura em T (DORF; BISHOP, 2001). 

(a) Determinar a função de transferência da rede. 

(b) Implemente este sistema no Simulink para R 0, 

5 , R 1 e 5 , 0 = C . 

(c) Obtenha um gráfico da resposta ao degrau para este sistema. 

(d) Obtenha a resposta à entrada x( t) 

sin( 

2πf 

) 

Respostas: 

5 

1 = 

2 = 

= para f = 0, 

1; 

1; 

10; 

100 Hz. 

4. Implemente no Simulink o diagrama de blocos do sistema de posicionamento de antena 

discutido na Aula 12T usando a Configuração 2. Obtenha a resposta deste sistema a uma 

entrada () t = u( 

t) 

θ . Comente o resultado obtido. 

i


Aula 8P – Revisão: vetores e matrizes no Matlab 

Bibliografia 


8521613016. Apêndice G. 

CHAPMAN, Stephen J. Programação em MATLAB para engenheiros. São Paulo: Pioneira Thomson 

Learning, 2003. 477 p. ISBN 8522103259. 

1. (CHAPMAN, 2003, p. 30) Responda às questões seguintes considerando a matriz abaixo: 

(a) Qual o tamanho de c? 

(b) Qual o valor de c(2,3)? 

⎡1. 

1 

c= 

⎢ 

⎢ 

0. 

6 

⎢⎣ 

1. 

3 

− 3. 

2 

1. 

1 

0. 

6 

1 

3. 

4 

− 0. 

6 

5. 

5 

0. 

6⎤ 

3. 

1 

⎥ 

⎥ 

. 

0. 

0⎥⎦ 

(c) Apresente os índices de todos os elementos cujo valor seja 0,6. 

2. (CHAPMAN, 2003, p. 30) Qual a diferença entre uma matriz e um vetor? 

3. (CHAPMAN, 2003, p. 38) Assuma que a matriz c seja definida como abaixo e determine 

o conteúdo das seguintes submatrizes: 

(a) c(2,:) 

(b) c(:,end) 

(c) c(1:2,2:end) 

(d) c(6) 

(e) c(4:end) 

(f) c(1:2,2:4) 

(g) c([1 4],2) 

(h) c([2 2], [3 3]) 

⎡1. 

1 

c= 

⎢ 

⎢ 

0. 

6 

⎢⎣ 

1. 

3 

− 3. 

2 

1. 

1 

0. 

6 

3. 

4 

− 0. 

6 

5. 

5 

0. 

6⎤ 

3. 

1 

⎥ 

⎥ 

0. 

0⎥⎦


4. (CHAPMAN, 2003, p. 29) Qual o conteúdo das seguintes matrizes: 

A=zeros(2); 

B = zeros(2,3); 

C= [1 2; 3 4]; 

D = zeros(size(c)); 

5. Qual o resultado do comando diag([1 2 3])? O que faz o comando diag? 

6. (CHAPMAN, 2003, p. 29) Determine o conteúdo da matriz a após a execução das se- 

guintes declarações: 

(a) a = eye(3,3); 

b = [1 2 3]; 

a(2,:) = b; 

(b) a= eye(3,3); 

b= [7 8 9]; 

a(3,:) = b([3 1 2]); 

7. Qual o resultado do comando toeplitz([1 2 3])? O que faz o comando toe- 

plitz? 

2


8. (CHAPMAN, 2003, p. 29) Determine o conteúdo da matriz a após a execução das seguin- 

tes declarações: 

a = eye(3,3); 

b = [4 5 6]; 

a(:,3) = b’; 

⎡ 4 2⎤ 

9. Calcule o determinante da matriz A = ⎢ ⎥ . Use o comando det para confirmar seu 

⎣−1 

7⎦ 

resultado. 

10. Calcule o menor M 23 do determinante da matriz 

do Matlab que resolve este problema. 

11. Calcule o cofator C 13 da matriz do problema anterior. 

3 

⎡−1 

2 4 ⎤ 

A = 

⎢ ⎥ 

⎢ 

2 3 −1 

⎥ 

. Escreva um coman- 

⎢⎣ 

1 8 4 ⎥⎦ 

12. Resolva de forma manuscrita e usando o Matlab, o determinante da matriz 

⎡1 7 −1⎤ 

A = 

⎢ ⎥ 

⎢ 

0 4 0 

⎥ 

. 

⎢⎣ 

1 1 9 ⎥⎦ 

13. Para que serve o comando Matlab cond? 

14. Verifique a singularidade ou não da matriz 

15. Calcule a adjunta da matriz do exercício anterior. 

⎡ 1 3 7⎤ 

A = 

⎢ ⎥ 

⎢ 

2 6 8 

⎥ 

. 

⎢⎣ 

−1 

− 3 1⎥⎦


16. Usando a função rank determine o posto da matriz do exercício anterior. 

17. (CHAPMAN, 2003, p. 29) Assuma que a, b, c e d são definidas como a seguir: 

⎡1 

a= ⎢ 

⎣2 

0⎤ 

1 

⎥ 

⎦ 

⎡−1 

b= ⎢ 

⎣ 0 

2⎤ 

1 

⎥ 

⎦ 

⎡3 

⎤ 

c= ⎢ ⎥⎦ e d = 5. 

⎣2 

Qual é o resultado das seguintes operações? 

a+b a+c 

a.*b a+d 

a*b a.*d 

a*c a*d 

18. (CHAPMAN, 2003, p. 51) Assuma que a, b, c e d são definidas como a seguir e calcule 

os resultados das seguintes operações se elas forem legais. Se uma operação for ilegal, 

explique o motivo. 

⎡ 2 1⎤ 

⎡0 −1⎤ 

⎡1 

⎤ 

a= ⎢ ⎥ b= 

⎣−1 

2 

⎢ ⎥ c= 

⎦ ⎣3 

1 

⎢ ⎥⎦ e d = -3. 

⎦ ⎣2 

(a) result = a.*c; 

(b) result = a* [c c]; 

(c) result = a.*[c c]; 

(d) result = a+b*c; 

(e) result = a+b.*c; 

4


19. (CHAPMAN, 2003, p. 51) Resolva para x a equação Ax = B , em que 

⎡ 1 2 1⎤ 

⎡1⎤ 

A = 

⎢ ⎥ 

⎢ 

2 3 2 

⎥ 

e B = 

⎢ ⎥ 

⎢ 

1 

⎥ 

. 

⎢⎣ 

−1 

0 1⎥⎦ 

⎢⎣ 

0⎥⎦ 

20. (CHAPMAN, 2003, p. 74) Resolva o seguinte sistema de equações simultâneas para x : 

-2.0 X1 + 5.0 X2 + 1.0 X3 + 3.0 X4 + 4.0 X5 - 1.0 X6 = 0.0 

2.0 X1 - 1.0 X2 - 5.0 X3 - 2.0 X4 + 6.0 X5 + 4.0 X6 = 1.0 

-1.0 X1 + 6.0 X2 - 4.0 X3 - 5.0 X4 + 3.0 X5 - 1.0 X6 = -6.0 

4.0 X1 + 3.0 X2 - 6.0 X3 - 5.0 X4 - 2.0 X5 - 2.0 X6 = 10.0 

-3.0 X1 + 6.0 X2 + 4.0 X3 + 2.0 X4 - 6.0 X5 + 4.0 X6 = -6.0 

2.0 X1 + 4.0 X2 + 4.0 X3 + 4.0 X4 + 5.0 X5 - 4.0 X6 = -2.0 

21. Defina o que são autovalores e autovetores de uma matriz. Encontre-os para: 

⎡1 0 3⎤ 

A = 

⎢ 

2 1 5 

⎥ 

⎢ 

− 

⎥ 

⎢⎣ 0 3 1⎥⎦ 

5 

(1.1)


Aula 9P – Representação computacional de sistemas de controle no 

Bibliografia 

espaço de estados 


8521613016. Páginas 610 – 611. 


0201308649. Páginas 121-124. 

1. Criando a representação no espaço de estados 

Para criar a descrição de um sistema no espaço de estados no Matlab, utilizamos o co- 

mando ss (de state space) cuja funcionalidade é a mesma do tf para funções de transfe- 

rência. Seu formato é: 

SYS = SS(A,B,C,D) 

Por exemplo, considere o problema de obter a resposta ao degrau para um sistema representado 

por: 

Utilizamos a seguinte seqüência de instruções: 

>> A = [1 3; -1 2]; 

>> B = [1;0]; 

>> C = [2 -1]; 

>> D = 0; 

sistema = ss(A,B,C,D) 

a = 

x1 x2 

x1 1 3 

x2 -1 2 

b = 

u1 

x1 1 

x2 0 

c = 

x1 x2 

y1 2 -1 

d = 

⎡ 1 3⎤ 

⎡1⎤ 

x 

= ⎢ x 

1 2 

⎥ + ⎢ 

0 

⎥u 

⎣− 

⎦ ⎣ ⎦ . 

y = [ 2 −1]x 

1


u1 

y1 0 

>> step(sistema) 

Amplitude 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

Step Response 

-4 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 

Time (sec) 

1 1.2 1.4 1.6 

2. Calculando a saída de um sistema a uma entrada 

Pode-se utilizar o comando lsim para obter a saída de um sistema a uma dada entrada 

incluindo aí condições iniciais. Seu formato é: 

LSIM(SYS,U,T,X0) 

O sistema sys pode estar definido na forma de espaço de estados ou função de transfe- 

rência, U são os valores que a entrada assume, T os instantes de tempo em que a entrada 

foi passada e X0 é um vetor de condições iniciais das variáveis de estado (se não especifi- 

cado, considera-se condições iniciais nulas). Assim, a resposta ao degrau do exercício anterior 

poderia ter sido obtida com a seguinte seqüência de comandos: 

A = [1 3; -1 2]; 

B = [1;0]; 

C = [2 -1]; 

D = 0; 

sistema = ss(A,B,C,D) 

t = linspace(0,1.6,1000); 

u = ones(1,1000); 

figure(2); 

lsim(sistema, u,t); 

2


Amplitude 

3 

2 

1 

0 

-1 

-2 

-3 

Linear Simulation Results 

-4 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 

Time (sec) 

1 1.2 1.4 1.6 

Exercício 

1. (DORF; BISHOP, 2001, p. 138) Considere-se o sistema seguinte: 

com 

⎡ 0 1 ⎤ ⎡0⎤ 

x 

= ⎢ x 

2 3 

⎥ + ⎢ 

1 

⎥u 

⎣− 

− ⎦ ⎣ ⎦ 

y = [ 1 0]x 

⎡1⎤ 

x . 

( 0) 

= ⎢ ⎥ 

⎣0⎦ 

(a) Usando a função lsim obter e traçar a resposta do sistema quando u () t = 0. 

(b) Obtenha um gráfico de x2 () t para a mesma entrada. 

3. Convertendo funções de transferência para o espaço de estados 

As funções de transferência representadas seja pelo numerador e denominador, seja por 

um objeto LIT podem ser convertidas para o espaço de estados. Para a representação em 

numerador e denominador, a conversão pode ser implementada usando: 

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den). 

A matriz A retorna em uma forma chamada canônica controlável. Para obter a forma em vari- 

áveis de fase, [Af,Bf,Cf,Df], executamos as seguintes operações: Af =inv(P)*A*P; 

3


Bf = inv(P)*B; Cf =C*P, Df = D, onde P é uma matriz quadrada com valores 

unitários ao longo da diagonal secundária e zeros no resto. 

Para sistemas representados como objetos LIT, o comando ss(F), onde F é um objeto fun- 

ção de transferência LIT, pode ser usado para converter F em um objeto do espaço de estados. 

Por exemplo, considere obter a representação no espaço de estados da função de transferência: 

( s) 

C 

24 

= 

. 

3 2 

R() 

s s + 9s 

+ 26s 

+ 24 

Para o objeto função de transferência LIT, a conversão para o espaço de estados não conduz à 

forma em variáveis de fase. Como ss(F) não conduz a formas familiares das equações de 

estado (nem é possível converter facilmente em formas familiares) teremos, no momento, uso 

limitado dessa transformação. 

num=24; % Define o numerador de G(s)=C(s)/R(s). 

den=[1 9 26 24]; % Define o denominador de G(s). 

[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) % Converte G(s)para a forma canônica 

% do controlador, 

% armazena as matrizes A, B, C, D, e 


P=[0 0 1;0 1 0;1 0 0]; % Forma a matriz de transformação. 

Af=inv(P)*A*P % Forma a matriz A (variáveis de fase). 

Bf=inv(P)*B % Forma o vetor B (variáveis de fase). 

Cf=C*P % Forma o vetor C,(variáveis de fase). 

Df=D % Forma D,(variáveis de fase). 

T=tf(num,den) % Representa T(s)=24/(s^3+9s^2+26s+24) 

% como um objeto função de transferência LTI. 

Tss=ss(T) % Converte T(s) em representação no espaço de 

% estados. 

Exercício 

2. (NISE, 2002, p. 118) Utilize o Matlab para obter a representação no espaço de estados em 

variáveis de fase para cada um dos sistemas mostrados na Figura 1 a seguir. 

4



4. Convertendo sistemas no espaço de estados para funções de transferência 

As representações no espaço de estados podem ser convertidas em funções de transferência 

representadas por um numerador e um denominador usando 

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,iu), 

em que iu é o número da entrada em sistemas de entradas múltiplas. Para sistemas com 

uma única entrada e uma única saída iu = 1. 

Para um sistema LIT no espaço de estados, Tss, a conversão pode ser implementada u- 

sando 

Ttf = tf(Tss) 

para se obter a função de transferência na forma polinomial ou usando 

Tzpk = zpk(Tss) 

para obter a função de transferência na forma fatorada. 

Por exemplo, a função de transferência representada pelas matrizes descritas por: 

podem ser obtidas como: 

⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡7⎤ 

x 

= 

⎢ 

0 0 1 

⎥ 

x 

⎢ 

8 

⎥ 

⎢ 

⎥ 

+ 

⎢ ⎥ 

u 

⎢⎣ 

− 9 − 8 − 7⎥⎦ 

⎢⎣ 

9⎥⎦ 

y = [ 2 3 4]x 

A=[0 1 0;0 0 1;-9 -8 -7]; % Representa A. 

B=[7;8;9]; % Representa B. 

5


C=[2 3 4]; % Representa C. 

D=0; % Representa D. 

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1) % Converte uma representação 

% no espaço de estados 

% em função de transferência representada por 

% um numerador e um denominador,G(s)=num/den, 

% em forma polinomial, 

% e mostra num e den. 

Tss=ss(A,B,C,D) % Form LTI state-space model. 

Ttf=tf(Tss) % Transforma a representação no espaço de 

% estados em função de transferência 

% na forma polinomial. 

Tzpk=zpk(Tss) % Transforma a representação no espaço de 

% estados em função de transferência 

% na forma fatorada. 

Exercícios 

Y 

3. (NISE, 2002, p. 118) Utilize o Matlab para obter a função de transferência, () 

( s) 

G s = , 

R() 

s 

para cada um dos sistemas representados no espaço de estados. 

(a) 

(b) 

⎡ 0 1 3 

⎢ 

0 

x 

= ⎢ 

⎢ 0 

⎢ 

⎣− 

7 

y = [ 1 3 

0 

0 

− 9 

4 

1 

0 

− 2 

6]x 

0 ⎤ ⎡0⎤ 

0 

⎥ ⎢ 

5 

⎥ 

⎥x 

+ ⎢ ⎥r 

1 ⎥ ⎢8⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

− 3⎦ 

⎣2⎦ 

⎡ 3 1 0 4 − 2⎤ 

⎡2⎤ 

⎢ 

3 5 5 2 1 

⎥ ⎢ 

7 

⎥ 

⎢ 

− − − 

⎥ ⎢ ⎥ 

x 

= ⎢ 0 1 −1 

2 8 ⎥x 

+ ⎢6⎥u 

⎢ 

⎥ ⎢ ⎥ 

⎢− 

7 6 − 3 − 4 0 ⎥ ⎢5⎥ 

⎢ 

⎣− 

6 0 4 − 3 1 ⎥ 

⎦ 

⎢ 

⎣4⎥ 

⎦ 

y = [ 1 − 2 − 9 7 6]x 

4. (NISE, 2002, p. 118) Utilize o Matlab para obter a representação no espaço de estados em 

variáveis de fase para cada um dos sistemas mostrados na Figura 2 a seguir. 

6



5. (DORF; BISHOP, 2001, p. 138) Considere o sistema: 

⎡ 0 1 

x 

= 

⎢ 

⎢ 

0 

⎢⎣ 

− 2 

y = [ 1 0 

0 

− 2 

0]x 

7 

0 ⎤ ⎡0⎤ 

1 

⎥ 

x 

⎢ 

0 

⎥ 

⎥ 

+ 

⎢ ⎥ 

u 

. 

− 4⎥⎦ 

⎢⎣ 

1⎥⎦ 

(a) Usando a função ss2tf, determinar a função de transferência 

(b) Traçar a resposta do sistema à condição inicial ( ) [ ] T 

Y 

U 

( s) 

() s 

x 0 = 0 0 1 para 0 ≤ t ≤ 10 . 

6. (3061) Resolver o Exercício 40 da página 173 do (NISE, 2002). 

.


Aula 10P – Aula de exercícios para P2 

Bibliografia 


788 p. ISBN 8587918230. 


Books, c1997. 558 p. : il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3. 

1. (DORF; BISHOP, 2001, p. 78) O sistema de posicionamento de alta precisão de uma 

peça deslizante está mostrado na figura a seguir, Determinar a função de transferência 

X 

X 

P 

IN 

() s 

() s 

quando o coeficiente de atrito viscoso da haste acionadora é b = 1, 

a constante 

2 

de mola da haste acionadora é k d = 3 , m c = e o atrito de deslizamento é b S = 1. 

3 

Peça deslizante de precisão (DORF; BISHOP, 2001). 

1 

d


2. (PHILLIPS; HARBOR, 1996, p. 79) Construa um diagrama para computador analógico 

das seguintes funções de transferência: 

6, 

3 

(a) G () s = 

s + 4 

(b) G 

() s = 

s 

2 

15s 

+ 9, 

7 

+ 

s 

11 

+ 79, 

7 

2


3. (OGATA, 2003, p. 121) Obtenha a representação no espaço de estados do sistema mecâ- 

nico indicado na figura, em que 1 u e 2 u são as entradas e 1 

3 

y e 2 

Sistema mecânico (OGATA, 2003). 

y são as saídas.


4. (NISE, 2002, p.86) (2,0) Para o motor, a carga e a curva torque-velocidade mostrados na 

Θ L 

figura a seguir, obter a função de transferência, () 

( s) 

G s = . 

E s 

4 

a 

()


5. (NISE, 2002, p. 116) Represente o circuito elétrico mostrado na figura a seguir no espaço 

de estados em que iR() t é a saída. 

(NISE, 2002). 

6. (2052) Resolver Exercício E2.21 da página 78 do (DORF; BISHOP, 2001, p. 78). 

5

Automação e Controle I – Aula 12P – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006 

Aula 12P – Efeitos das não-linearidades 

Bibliografia 


8521613016. Páginas 152-158. 

MATSUMOTO, Élia Yathie. Simulink 5. São Paulo: Érica, 2003. 204 p.: il. ; 25 cm ISBN 8571949379. 

Página 167. 

Nesta aula, vamos examinar qualitativamente os efeitos das não-linearidades sobre a resposta 

no domínio do tempo de sistemas físicos. 

Nos exemplos a seguir, inserimos nos sistemas não-linearidades como saturação, zona 

morta e folgas, mostradas na Figura 1, para mostrar os efeitos destas não-linearidades sobre 

as respostas lineares. 

Figura 1 – Algumas não-linearidades físicas (NISE, 2002). 

As respostas foram obtidas usando o Simulink. 

Atividade 1 - Saturação 

O sistema da Figura 2 pode ser usado para ilustrar o efeito da saturação de um amplificador na 

resposta ao degrau de um motor que é limitar a velocidade obtida. 

Figura 2 - Diagrama de blocos em Simulink para ilustrar saturação (NISE, 2002). 

Simule este sistema, compare as curvas obtidas e explique o que ocorre. 

1


Atividade 2 - Zona morta 

O efeito de uma zona morta sobre o ângulo de saída do eixo acionado por um motor com 

engrenagens pode ser simulado pelo sistema da Figura 3. 

Figura 3 - Efeito da zona morta sobre a resposta de deslocamento angular da carga (NISE, 

2002). 


Atividade 3 - Folgas 

O efeito das folgas (backlash) sobre o eixo de saída acionado por um motor com engrenagens 

é simulado pelo sistema da Figura 4. 

2


Figura 4 - Efeito da folga sobre a resposta de deslocamento angular da carga (NISE, 2002). 

Quando o motor inverte o sentido de rotação, o eixo de saída permanece parado no início do 

movimento de inversão de sentido. Quando as engrenagens finalmente ultrapassam a folga de 

contato, o eixo de saída começa a girar no sentido oposto. A resposta resultante é bastante 

diferente da resposta de um sistema linear sem folga. 


Exercício 


3


Aula 13P – Modelamento de sistemas – o levitador magnético 

Bibliografia 


0201308649. Páginas 1-14. 

Manual for Model 730 – Magnetic Levitation System, ECP, 1999. 

É OBRIGATÓRIO TRAZER UM DISQUETE PARA ESTA AULA (1 POR DUPLA) PARA 

QUE VOCÊ POSSA EXPORTAR OS DADOS DO KIT. 

O objetivo desta aula é verificar a validade de um modelo de função de transferência de 2ª 

ordem para um sistema físico, o levitador magnético. 

Cada grupo obterá a resposta ao degrau do kit. Siga os passos descritos pelo professor. 

Pede-se: 

(a) Faça um gráfico da resposta ao degrau obtida. 

(b) A partir dos pontos obtidos, determine: 

a ultrapassagem percentual 

o tempo de assentamento 

o tempo de subida 

o valor da resposta no regime permanente 

(c) Com os valores da ultrapassagem percentual e do tempo de assentamento, encontre ζ e 

ω n . 

(d) Monte a função de transferência experimental G( s ) . 

(e) Usando a função step levante a resposta ao degrau de G( s ) e compara com a curva 

experimental do item (a). 

1


Aula 14P – Aula de exercícios para P3 

Bibliografia 


0201308649. Página 132. 


8521613016. Página 171. 

1. (NISE, 2002, p. 171) Para cada uma das respostas ao degrau unitário mostradas na Figura 

1, determine a função de transferência do sistema. 

Resolução: 


1


2. (DORF; BISHOP, 2001, p. 132) Um sistema é descrito por equações em variáveis de estado: 

() 

() 

Y s 

Determinar G () s = . 

U s 

Resolução: 

⎡ 1 1 −1⎤ 

⎡0⎤ 

x 

= 

⎢ 

4 3 0 

⎥ 

x 

⎢ 

0 

⎥ 

⎢ ⎥ 

+ 

⎢ ⎥ 

u 

. 

⎢⎣ 

− 2 1 10⎥⎦ 

⎢⎣ 

1⎥⎦ 

y = [ 20 30 10]x 

2


3. (NISE, 2002, p. 171) No sistema mostrado na Figura 2 é aplicado um degrau de torque em 

θ 1() 

t . Determinar: 

Θ 2 ( ) 

() 

(b) A ultrapassagem percentual, o tempo de assentamento e o instante de pico para ( t) 

s 

(a) A função de transferência G() 

s = . 

T s 

Resolução: 


4. (DORF; BISHOP, 2001, p. 78) (1,5) A função de transferência de um sistema é: 

Y ( s) 

10( 

s + 2) 

= 2 

R() 

s s + 8s 

+ 15 

Determinar y () t quando r () t for um degrau unitário de entrada. 

Resolução: 

3 

θ . 

2

Automação e Controle I - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2006 


Lista de Exercícios Suplementares 1 – 1º semestre 2006 

1. Resolva o Exercício P1.2 da página 20 do (DORF; BISHOP, 1998). 

2. Resolver Exercício E2.4 da página 76 do (DORF; BISHOP, 2001). 

Respostas: no livro. 




Respostas: (a) 

1 

; (b) 

s 

1 

2 

s 

; (c) 

s 

ω 

; (d) 

2 2 

+ ω 

s 

s 

. 

2 2 

+ ω 



ω 

2 2 

( s + a) 

+ ω 

; (b) 

( s + a) 

2 2 

( s + a) 

+ ω 

; (c) 

6 

4 

s 


−t 

Respostas: (a) x() 

t = −0, 

2cos 

2t 

− 0, 

1sin 

2t 

+ e ( 2, 

2cost 

− 0, 

6sin 

t) 

9 

1 1 

cos 2t 

+ 

8 

8 4 

2 

+ sin 2t 

− t . 


Resposta: 

s 

s 

3 

3 

+ s 

+ 3s 

2 

4 

2 

+ 6s 

+ 8 

+ 5s 

+ 1 

. 


d 3 

+ δ . 

5 

c 

5 

dt 

4 

d c 

4 

dt 

3 

d c 

3 

dt 

dc 

dt 

2 

Resposta: 3 + 2 + 5 + 2c 

= 18 () t + ( 36 + 90t 

+ 9t 

+ 3t 

) u() 

t 



1 

. 

− t −t 

−t 

; (b) 5e − e + 9te 

− 2 + t ; (c) 

2

Automação e Controle I - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2006 



s 

2 

s 

+ 3s 

+ 1 

; (b) 

4s 

2 

2 

2s 

+ 3s 

+ 1 



6s 

3 

2 

3s 2 

+ 5s 

+ 4s 

+ 2 

; (b) 

s 

2s 

2 

2 

. 

+ 3s 

+ 1 

+ 7s 

+ 2 


Resposta: 

1 

2 

s + 1 

. 

15. Resolver Exercício B.3.20 da página 122 do (OGATA, 2003). 

16. Resolver Exercício 2.1 da página 70 do (PHILLIPS; HARBOR, 1997). 


sR1R2C 

+ R2 

sR R C + R + R 

1 

2 

1 

2 

; (b) R2 

; (c) 

5 ⋅10 

5 ⋅10 

. 

−5 

−5 

s + 10 

s + 20 

e 10, respectivamente. 

17. Resolver Exercício 1.10 da página 32 do (SILVEIRA; SANTOS, 1999). 

18. (DiSTEFANO; STUBBERUD; WILLIAMS, 1995, p. 113) Usando a técnica de transfor- 

madas de Laplace, encontre a resposta forçada da equação diferencial: 

() 

−3t 

em que x t = e , t ≥ 0 . 

2 

d y dy dx 

+ 4 + 4y 

= 3 + 2x 

, 

2 

dt dt dt 

2

Automação e Controle I - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006 




Resposta: no livro. 

2. Resolver Exercício PM2.3 da página 91 do (DORF; BISHOP, 2001). 


⎧ ⎡ 0 

⎪ 

x = 

⎢ 

⎨ 

⎢ 

0 

⎪ 

⎢⎣ 

− 4 

⎪ 

⎩y 

= 

Resposta: . 

[ 1 0 0] 

1 0 ⎤ ⎡0⎤ 

0 1 

⎥ 

+ 

⎢ ⎥ 

⎥ 

x 

⎢ 

0 

⎥ 

u 

− 3 − 2⎥⎦ 

⎢⎣ 

5⎥⎦ 

x + 0u 


Resposta: no livro. 

5. Resolver o Exercício 16(b) da página 82 do (NISE, 2002). 

V ( ) 

O s s 

Resposta: (a) 

( ) 2 

= . 

V s s + s + 1 

I 

2 

6. Resolver Exercício 17(a) da página 82 do (NISE, 2002). 


Resposta: 

Θ 2 ( s) 

= 

T ( s) 

20s 

2 

3 

+ 13s 

+ 4 


. 

9. Resolver Exercício 40 da página 85 do (NISE, 2002). (Ao primeiro aluno que en- 

tregar a solução completa e correta deste exercício será acrescentado 0,5 ponto 

à nota da prova P2). 

1


Resposta: 

X 

T 

() s 

() s 

= 

s 

2 

+ 

8 

21 

9 

s 

21 

+ 

4 

21 


Resposta: 

Θ 

E 

L 

a 

() s 0, 

1667 

= 

() s s( 

s + 1, 

6667) 


Resposta: 

G s 

( ) 

1 

= 

12s( s + 0,75) 


Resposta: G () s 

= 

s 

0, 

222 

( s + 0, 

122) 


Resposta: 

Y 

F 

() s 

() s 

= 2 

s 

1 

M 

f 

+ s 

M 

v + 

K 

M 

. 

. 

. 

W 

s 

D 

, com F() 

s = . 




T 

Resposta: x ⎡x1 v1 x2 v2 x3 v ⎤ 

3 

, 

= ⎢⎣ ⎥⎦ 


⎧⎪ ⎡ 0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎪ 

⎢−1 −3 

1 1 0 1 ⎥ ⎢0⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎪ ⎢ 

0 0 0 1 0 0 

⎥ ⎢ 

0 

⎥ 

⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎪ 

⎪x= 

⎢ ⎥x + ⎢ ⎥u 

⎨ 

⎪ ⎢ 1 1 −1 −2 

0 1 ⎥ ⎢1⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎪ 

⎢ 0 0 0 0 0 1 ⎥ ⎢0⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎪ 0 1 0 1 0 −3 

0 

⎪ 

⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 

⎪ y = ⎡0 0 0 0 1 0⎤ ⎪⎩ ⎢ ⎥ x + 0u 

⎣ ⎦ 

2 

.





3

Automação e Controle I - Lista de Exercícios Suplementares 3 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006 




Resposta: ( ) 

4 5 −3t −5t 

y t = + e − 3 e , t ≥ 0. 

3 3 


Resposta: 

G s 

( ) 

s + 1 

= . 

4 3 2 

s + 5s + 8s + 5s + 1 





10 

+ 5s 

+ 2s 

+ 3 

2 

Resposta: (a) G () s = 

; (b) G () s = 

; (c) 

3 2 

3 2 

() s 

s 

2 

23s − 48s 

− 7 

2 

+ 3s 

+ 19s 

−133 

G = 

. 

3 

s 


⎡ 

⎢ 

⎢ 

0 

⎤ 

⎥ 

⎥ 

b 

Resposta: x = 0 0 1 x + 0 δ () t ; y = ⎢ 1 0⎥x 

. 

⎢ K 

⎥ ⎢ ⎥ 

0 K1 

K 2 K a 

⎣ K a ⎦ 

⎢− 

⎢⎣ 

K 

3 

1 

− 

K 

3 

0 

− 

K 

3 

⎥ 

⎥⎦ 

⎡ ⎤ 

⎢ 0 ⎥ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

⎢⎣ 

K 

3 

⎥ 

⎥⎦ 

1 

⎡ K 



2 

− 272, 

06 

Resposta: () ( s + 1, 

8647s 

+ 84, 

128) 

( s + 14)( 

s −1, 

7834)( 

s + 4, 

9034) 

49s 

− 349s 

+ 452 

s − 3s 

− 27s 

+ 157 

G 1 s = 

; G 2 () s = 

. 


⎤ 

− 507, 

71( 

s + 1, 

554) 

( s + 14)( 

s −1, 

7834)( 

s + 4, 

9034)


Resposta: 

⎡ 0 1 0 

⎢ 

x ⎢ 

− 9353 

= 

⎢ 0 

⎢ 

⎣ 406 

y = [ 0, 

9491 

−14, 

29 769, 

2 

0 0 

7, 

558 − 406 

0 0 0]x 

0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ 

14, 

29 

⎥ ⎢ 

0 

⎥ 

⎥x 

+ ⎢ ⎥ 

1 ⎥ ⎢ 0 ⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

− 9, 

302⎦ 

⎣0, 

0581⎦ 



2 

− 272, 

06 

Resposta: () ( s + 1, 

8647s 

+ 84, 

128) 

G 1 s = 

; G 2 () s = 

. 

( s + 14)( 

s −1, 

7834)( 

s + 4, 

9034) 




5s 

+ 136s 

−1777 

s − s − 91s 

+ 67 

2 

f cima 

2 

Resposta: G () s = 

; pólos : 9, 

683; 

0, 

7347; 

− 9, 

4179 

3 2 


() t 

− 507, 

71( 

s + 1, 

554) 

( s + 14)( 

s −1, 

7834)( 

s + 4, 

9034) 

17. Resolver Exercício 13 da página 170 do (NISE, 2002). (Ao primeiro aluno que entregar 

a solução completa e correta deste exercício será acrescentado 0,5 ponto à nota da 

prova PAF). 


G s 

Resposta: (a) ( ) 

= 

1 

3 ; 

2 

s + 5s + 11 

(b) 

ζ = 0,7538; ω = 11; % UP = 2,722%; T = 1,6s; T = 1,44s; T = 0,6963s . 

n S P R 


Θ 

( ) 

2 

Resposta: (a) = 

T( s) 2 

s s 

s 

1 

+ + 1 

; (b) 16,30%; 8s e 3,627s respectivamente. 

20. Resolver Exercício 29(a) da página 171 do (NISE, 2002).


Resposta: 

G s 

( ) 

75 

= 

s + 37,5 

. 


22. Resolver Exercício B.3.10 da página 121 do (OGATA, 2003). 

Resposta: 

G s 

( ) 

= 

s 

2 

s + 5s + 7 

. 

23. (DORF; BISHOP, 2001, p. 98) Uma impressora a laser usa um raio de laser para imprimir 

cópias rapidamente de um computador. O laser é posicionado por uma entrada de controle, 

r( t ) , de forma que 

5( s + 100) 

Y ( s) = ( ) 

2 

R s . (1) 

s + 60s + 500 

A entrada r( t ) representa a posição desejada para o raio de laser. 

(a) Se r( t ) for um degrau unitário, encontre a saída y( t ) . 

(b) Qual o valor final de y( t ) ? 

Resposta: (a) ( ) 

−50t −10t 

y t = 1+ 0,125e −1,125 e , t ≥ 0; 

(b) 1. 

24. (DORF; BISHOP, 2001, p. 164) Um sistema é descrito no espaço de estados por: 

⎡ 

⎢ 

1 

⎢ 

x= ⎢ 4 

⎢ 

⎢−2 ⎣ 

1 

3 

1 

−1⎤ 

⎡0⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 

⎥ ⎢ ⎥ 

0 ⎥x + ⎢0⎥u ⎥ ⎢ ⎥ . 

10⎥ ⎢1⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 

(2) 

y = ⎡ 

⎢20 ⎣ 

Y ( s) 

Determine G( s) 

= . 

U( s) 

30 10⎤ 

⎥ x 

⎦ 

2 

10s −60s −70 

Resposta: G( s) 

= . 

3 2 s − 14s + 37s + 20 

VO 

s 

25. (DiSTEFANO et al., 1990, p. 138) Obtenha a função de transferência G() 

s = do 

V s 

compensador por atraso/avanço de fase implementado através de uma rede RC mostrada 

na figura a seguir. 

3 

I 

( ) 

()


Resposta: 

(DISTEFANO et al., 1990). 

2 ⎛ 1 1 ⎞ 1 

s + ⎜ 

s 

V ( ) 

O s ⎜ 

⎟ 

⎜⎝ 

+ + 

RC 2 2 RC 1 1⎠ ⎟ RC 1 1RC 2 2 

= 

V ( ) 

I s 2 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 

s + ⎜ 

⎟ 

⎜⎝ 

+ + s + 

RC RC RC ⎠ 

⎟ RC RC 

2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 

26. (DORF; BISHOP, 2001, p. 78) Considere o sistema mecânico esboçado na figura a seguir. 

A entrada é dada por f () t e a saída por y ( t) 

. Determinar a função de transferência de 

f () t para y () t e escrever uma seqüência de comandos Matlab que permita traçar a 

curva da resposta a uma entrada degrau unitário. Considere m = 10 , k = 1 e b = 0, 

5 . 

(DORF; BISHOP, 2001, p. 78) 

4 

.

Automação e Controle I –Trabalho 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2006 


Trabalho 1 – 2º semestre 2006 - Sensores 

Este trabalho vale 0,5 ponto somado à nota da Prova P1. 

Instruções: 

Deve ser entregue impreterivelmente até o dia 05/09 – data da P1 

Em folha de papel A4 MANUSCRITO, com nome e número de matrícula. A resposta 

não pode ultrapassar 1 página. Caso qualquer uma dessas condições não seja atendida, o 

trabalho não será aceito. 

Cada aluno deve resolver e entregar a APENAS a questão cujo número coincide com o 

dígito do seu número de matrícula. 

O assunto do trabalho, sensores, é matéria para a P1. Uma dessas questões pode cair na 

prova. 

Entre outras, uma possível referência a ser utilizada para resolver as questões é: 

PAZOS, F. Automação de sistemas & robótica. Rio de Janeiro: Axcel Books, 2002. Capí- 

tulo 4. 

0. O que são transdutores? O que são sensores? 

1. Qual a diferença entre sensores analógicos e digitais? 

2. Explique as seguintes características dos sensores: faixa, resolução, sensibilidade, lineari- 

dade, histerese. 

3. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de temperatura. 

4. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de presença. 

5. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de posição. 

6. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de força. 

7. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de velocidade. 

1

Automação e Controle I –Trabalho 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2006 

8. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de luz. 

9. Explique o funcionamento e dê exemplos de sensores de pressão. 

2

Automação e Controle I –Trabalho 2 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2006 


Trabalho 2 – 2º semestre 2006 

Tecnologias associadas à automação 

Este trabalho vale 0,5 ponto somado à nota da Prova P2 

Instruções: 

Deve ser entregue impreterivelmente até o dia 10/10 – data da P2 


não pode ultrapassar uma folha. Caso qualquer uma dessas condições não seja atendida, 

o trabalho não será aceito. 

Cada aluno deve resolver e entregar a APENAS as seguintes questões de acordo com o 

dígito do seu número de matrícula: 

0 – 1 e 16 

1 – 2 e 15 

2 – 3 e 14 

3 – 4 e 13 

4 – 5 e 12 

5 – 6 e 11 

6 – 7 e 10 

7 – 8 e 9 

8 – 4 e 10 

9 – 6 e 12 

As questões se referem ao livro: 

SILVEIRA, P. R; SANTOS, W. E. Automação e controle discreto, 2 a edição. São Paulo: 

Érica, 1999. Página 209. 

1

Automação e Controle I –Trabalho 3 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2006 


Trabalho 3 – 2º semestre 2006 

Tecnologia e sociedade 

Este trabalho vale 0,5 ponto somado à nota da Prova PAF 

Instruções: 

Deve ser entregue impreterivelmente até o dia 28/11 – data da PAF 


não pode ultrapassar 1 página. Caso qualquer uma dessas condições não seja atendida, o 

trabalho não será aceito. 

Cada aluno deve resolver e entregar a APENAS a seguinte questão de acordo com o dígito 

do seu número de matrícula: 

Dígito 0 – Questão 1 










As questões se referem ao livro: 

SILVEIRA, Paulo Rogério da; SANTOS, Winderson E. dos. Automação e controle discreto. 

2. ed. São Paulo: Érica, 1999. 229 p. : il. ; 24 cm ISBN 85-7194-591-8. Páginas 31 

e 32. 

1

Universidade Presbiteriana Mackenzie Automaç˜ao e Controle I

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