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CAPÍTULO 2<br />
CARACTERÍSTICAS MAGNÉTICAS DOS MATERIAIS.<br />
CIRCUITOS MAGNÉTICOS<br />
Na maior parte das vezes os campos magnéticos, antes de constituírem em um fim<br />
em si mesmo, são um meio utilizado para alcançar um resultado; em outras palavras,<br />
geralmente não há sentido em gerar um campo magnético sem que este se destine à<br />
obtenção de algum outro tipo de fenômeno.<br />
Uma das maiores utilidades de um campo magnético é servir como "intermediário"<br />
para a transformação de energia elétrica em mecânica – e vice-versa -, em um processo<br />
conhecido como conversão eletro-mecânica de energia, presente nas máquinas elétricas.<br />
No caso de um gerador, por exemplo, a energia mecânica fornecida por uma fonte externa<br />
(digamos, um motor a gasolina) é transformada em energia elétrica, como mostra a Fig. 2.1;<br />
é o campo magnético quem propicia esta transformação, como veremos no próximo<br />
capítulo.<br />
Figura 2.1 - Fluxo de energia em um gerador elétrico<br />
Máquinas que utilizam campos magnéticos têm seus elementos constitutivos<br />
projetados de forma a proporcionar uma otimização na distribuição espacial destes campos.<br />
Esses dispositivos se constituem em verdadeiros circuitos magnéticos, distribuindo os<br />
fluxos magnéticos de maneira adequada ao bom funcionamento da máquina.<br />
2.1 PERMEABILIDADE MAGNÉTICA<br />
A permeabilidade magnética, simbolizada pela letra grega , é uma grandeza<br />
característica de cada material e se refere à sua capacidade em "aceitar" a existência de<br />
linhas de indução em seu interior. Assim, quanto maior for a permeabilidade de um<br />
material, mais facilmente se "instalarão" linhas de indução em seu interior.<br />
A permeabilidade magnética de um material pode ser comparada à condutância de<br />
um corpo: enquanto esta exprime o grau de "facilidade" com que a corrente elétrica<br />
percorre este corpo, aquela mede o grau de "facilidade" com que o fluxo magnético se<br />
estabelece no interior de um material.

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Figura 2.2 - Distribuição das linhas de indução geradas pela corrente i em um enrolamento:<br />
(a) com núcleo de ar; (b) com núcleo de material de alta permeabilidade magnética relativa.<br />
Denomina-se permeabilidade magnética relativa (r) de um material à relação<br />
<br />
<br />
<br />
(2.1)<br />
r<br />
onde é a permeabilidade do material e o = 4 10 -7 Wb/A.m é a permeabilidade<br />
magnética do vácuo. Então, um material com r = 1.000 é capaz de aceitar em seu interior<br />
um número de linhas mil vezes maior que o vácuo.<br />
Para melhor visualizar esta propriedade, observe-se a Fig. 2.2, que mostra dois<br />
casos de distribuição de linhas de indução geradas pela corrente i que circula num<br />
enrolamento. Em (a) não existe núcleo 1 e as linhas se espalham por todo o espaço em torno<br />
do enrolamento; já em (b), as linhas de indução se concentram no interior do núcleo em<br />
torno do qual é feito o enrolamento, graças à elevada permeabilidade relativa do material,<br />
resultando em um fluxo magnético mais intenso. As poucas linhas que "escapam" através<br />
do espaço em torno do núcleo constituem o chamado fluxo de dispersão.<br />
A classificação magnética dos materiais é feita de acordo com sua permeabilidade<br />
magnética (ver Tab. 2.1):<br />
a) Materiais paramagnéticos são aqueles que cuja permeabilidade relativa é pouco<br />
maior que 1. Tais substâncias são levemente atraídas por campos magnéticos<br />
excepcionalmente fortes, porém esta atração é tão fraca que são consideradas nãomagnéticas.<br />
Nessa classe se encontra um grande número de substâncias, como o ar, o<br />
alumínio, o alumínio e a madeira.<br />
b) Materiais diamagnéticos, como o bismuto, o cobre e a água, possuem<br />
permeabilidade relativa um pouco menor que 1, sendo levemente repelidos por campos<br />
magnéticos muito fortes. Também aqui estas forças são muito fracas, sendo esses materiais<br />
considerados não-magnéticos.<br />
1 Ou, como se costuma dizer, a bobina tem núcleo de ar.<br />
13<br />
0

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c) Materiais ferromagnéticos, ou simplesmente materiais magnéticos, possuem<br />
permeabilidade relativa muito maior que 1, sendo fortemente atraídos por campos<br />
magnéticos em geral. Nesta categoria se incluem substâncias como o ferro, o cobalto, o<br />
níquel e algumas ligas industriais.<br />
Material<br />
Permeabilidade magnética relativa<br />
(R)<br />
Classificação<br />
magnética<br />
Bismuto 0,999833 diamagnética<br />
Água 0,999991 diamagnética<br />
Cobre 0,999995 diamagnética<br />
Ar 1,000000 paramagnética<br />
Oxigênio 1,000002 paramagnética<br />
Alumínio 1,000021 paramagnética<br />
Cobalto 170 ferromagnética<br />
Níquel 1.000 ferromagnética<br />
Ferro 7.000 ferromagnética<br />
Permalloy 1 100.000 ferromagnética<br />
(1) Liga composta por ferro (17%), molibdênio (4%) e níquel (79%).<br />
A Tab. 2.1 mostra o valor da permeabilidade magnética relativa de alguns materiais.<br />
É importante observar que se tratam de valores médios de permeabilidade, já que, como se<br />
verá adiante, esta pode variar significativamente de acordo com a intensidade dos campos<br />
magnéticos a que são submetidos os materiais.<br />
2.2. TEORIA DE GAUSS-EWING<br />
Embora sejam usadas há muito tempo, as propriedades magnéticas dos materiais até<br />
hoje não são perfeitamente explicadas. Acredita-se que a "fonte" do magnetismo está no<br />
movimento orbital dos elétrons em torno dos núcleos, gerando campos magnéticos<br />
infinitesimais.<br />
A chamada Teoria de Gauss-Ewing postula que em grande parte dos materiais esses<br />
campos se cancelam mutuamente devido ao movimento desordenado dos elétrons; nos<br />
materiais ferromagnéticos, entretanto, certos grupos de átomos estão "pareados", de forma<br />
que seus campos se somam, formando o que se chama de domínios magnéticos, cada um<br />
dos quais pode ser representado por um dipolo magnético semelhante a um ímã. Porém,<br />
numa dada amostra de material ferromagnético, o alinhamento dos domínios é também<br />
desordenado, como se mostra na Fig. 2.3(a), de forma que o material como um todo não<br />
apresenta qualquer característica magnética 2 .<br />
No entanto, se um campo magnético externo de intensidade H for aplicado à<br />
amostra, os domínios tendem a se alinhar por ele, como se vê na Fig. 2.3(b), reforçando<br />
assim as propriedades magnéticas do material. A amostra comporta-se como um ímã, cujos<br />
pólos são mostrados na figura; como se verá na Seção 2.3, esta "imantação" poderá ou não<br />
2 Uma exceção seria um mineral conhecido como magnetita, que naturalmente apresenta-se magnetizado; é,<br />
portanto, o único ímã natural que se conhece.<br />
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ser permanente, isto é, subsistir após a retirada do campo externo, dependendo do valor do<br />
mesmo.<br />
Figura 2.3 - Domínios em uma amostra de material: (a) não-magnético ou nãomagnetizado;<br />
(b) magnetizado pela aplicação de um campo magnético externo H<br />
Esta teoria explica satisfatoriamente algumas características dos materiais<br />
magnéticos:<br />
imãs naturais (ver nota de rodapé) já teriam os domínios naturalmente alinhados, de<br />
forma a produzir os efeitos magnéticos sem a necessidade de campo externo;<br />
não se consegue isolar os pólos de um ímã: se um desses for partido ao meio obtém-se<br />
dois ímãs completos, cada um com um pólo N e outro S;<br />
quando um ímã é submetido a choque mecânico ou aquecimento, pode perder sua<br />
imantação: é que a energia fornecida ao material nesses casos pode ser suficiente para<br />
desarranjar a orientação dos domínios;<br />
para se magnetizar uma agulha deve-se "esfregá-la" com o pólo de um ímã passado<br />
sempre no mesmo sentido: o ímã produz o papel de campo externo necessário e a<br />
movimentação constante promove um alinhamento dos domínios sempre no mesmo<br />
sentido.<br />
Quando um material magnético é submetido a um campo externo H , a indução<br />
magnética B é dada pela soma dos efeitos devidos ao campo externo e ao vetor chamado<br />
polarização magnética M , isto é:<br />
B o(H M)<br />
equação que, em módulo, pode ser colocada sob a forma<br />
M<br />
B o 1M H<br />
<br />
<br />
O termo entre parênteses representa a permeabilidade magnética relativa do material,<br />
portanto<br />
B0 rH<br />
portanto, de acordo com a Eq. 2.1<br />
B H<br />
(2.2)<br />
que é a mesma Eq. 1.12 do capítulo anterior.<br />
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2.3. CURVAS DE MAGNETIZAÇÃO<br />
Medidas realizadas em laboratório mostram que a relação B H dada pela Eq. 2.2 é<br />
essencialmente não-linear: se for traçado um gráfico relacionando o campo externo H com<br />
a indução magnética B no material, obtém-se uma curva do tipo mostrado na Fig. 2.4,<br />
conhecida como curva de magnetização ou característica BH do material.<br />
A Teoria de Gauss-Ewing também explica o comportamento dessas curvas:<br />
Na região I acontece um crescimento<br />
dos domínios favoravelmente<br />
alinhados com o campo externo.<br />
Nessa região as alterações são<br />
reversíveis: se o campo externo for<br />
retirado, os domínios voltarão a sua<br />
situação original, sem haver<br />
"fixação" das características<br />
magnéticas na amostra.<br />
Se H for aumentado até a região II, o<br />
aumento dos domínios é<br />
acompanhado de uma tendência de<br />
alinhamento de outros domínios com<br />
o campo externo. A partir dessa<br />
região, os efeitos magnéticos<br />
tornam-se irreversíveis, de forma que<br />
o material fica magnetizado mesmo<br />
se o campo externo for anulado.<br />
Figura 2.4 - Curva de magnetização típica de<br />
materiais magnéticos<br />
Na região III, a maioria dos domínios já está alinhada com o campo externo, de modo<br />
que é necessário um grande incremento de H para se conseguir um discreto aumento de<br />
B.<br />
Na região IV, todos os domínios da amostra estão alinhados com o campo externo; portanto<br />
um aumento de H não produz qualquer alteração de B. Diz-se que, nesta situação, o<br />
material atingiu a saturação magnética.<br />
Se for estabelecida uma pequena alteração H no valor do campo magnético, haverá<br />
um correspondente incremento B na indução magnética. A Eq. 2.2 permite concluir que<br />
B<br />
<br />
H<br />
Se H 0, esta equação se transforma em uma derivada, que pode ser representada<br />
geometricamente pela tangente à curva BH em cada ponto. Vê-se, então, que a<br />
permeabilidade magnética não pode ser considerada uma constante: no ponto a mostrado na<br />
Fig. 2.4 a permeabilidade é maior que no ponto b. A exceção é feita para o vácuo, onde a<br />
permeabilidade é considerada constante e igual a 4 10 -7 Wb/A.m.<br />
Na Fig. 2.5 são mostradas as curvas de magnetização de alguns materiais<br />
magnéticos usados em aplicações comerciais.<br />
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Figura 2.5 -- Curvas de magnetização de alguns materiais magnéticos comerciais<br />
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2.4. HISTERESE<br />
Suponha-se que uma amostra de material magnético seja submetida a um campo<br />
magnético de intensidade H variável com o tempo (este é o caso típico de núcleos em torno<br />
dos quais são feitos enrolamentos excitados por CA). Se a amostra estiver inicialmente<br />
desmagnetizada e o campo for aumentando até o valor H1, a curva B H segue a linha 0a<br />
mostrada na Fig. 2.6. Caso o valor de H1 seja suficientemente elevado para atingir a região<br />
II da curva de magnetização, quando o campo externo decrescer a curva seguirá pela linha<br />
ab, de modo que para H = 0 o valor de B será dado pela ordenada 0b; este valor é chamado<br />
de magnetização residual, pois é a magnetização que "resta" no material após o campo<br />
externo ter-se reduzido a zero.<br />
Para desmagnetizar a amostra será necessário inverter o sentido do campo e<br />
aumentar sua intensidade até H2, valor conhecido<br />
como força coercitiva 3 . Se o campo continuar<br />
aumentando até o valor – H1 (isto é, no sentido<br />
contrário ao inicial), a curva B B seguirá a linha<br />
cd. No semiciclo seguinte o raciocínio é o mesmo,<br />
de forma que após completado um ciclo obtém-se<br />
uma curva semelhante à mostrada na Fig. 2.6,<br />
chamada curva de histerese.<br />
A forma do laço de histerese de um dado<br />
material depende do máximo valor do campo<br />
atingido no ciclo (H1). A curva obtida pela ligação<br />
dos vértices dos laços de histerese obtidos para<br />
diferentes valores de H1é chamada curva normal de<br />
magnetização,.<br />
Quando um material é submetido a um campo<br />
magnético externo alternado, seus domínios estarão<br />
em contínuo movimento, buscando alinhar-se com<br />
H. Isso causa um "atrito" entre os domínios,<br />
aquecendo o material e ocasionando as chamadas<br />
perdas por histerese. Demonstra-se que essas<br />
perdas são proporcionais à área encerrada na curva<br />
de histerese.<br />
Comprova-se experimentalmente que a<br />
potência dissipada por unidade de volume de<br />
Figura 2.6 – Formação do laço de<br />
material durante um ciclo de histerese é dada por<br />
histerese<br />
n<br />
Ph K h.f.B M<br />
(2.3)<br />
onde Kh e n são constantes que dependem do<br />
material e da própria densidade do campo<br />
magnético, enquanto f é a freqüência do campo magnético (em Hz) e BM é o máximo valor<br />
de B alcançado durante o ciclo.<br />
3 Este termo é derivado do verbo coagir, que significa obrigar, forçar. De fato este valor de H2 obriga o<br />
material a se desmagnetizar.<br />
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2.5. CIRCUITOS MAGNÉTICOS<br />
Nos dispositivos eletromecânicos – e aí se incluem geradores, motores, contactores,<br />
relés, etc. – a utilização de enrolamentos e núcleos objetiva o estabelecimento de fluxos<br />
magnéticos como meio de acoplamento na transformação de energia elétrica em mecânica,<br />
ou vice-versa. Nesses dispositivos, a função do núcleo é "canalizar" para os pontos<br />
desejados as linhas de indução do campo magnético geradas pelos enrolamentos. Fazendo<br />
uma analogia com os circuitos elétricos, os enrolamentos seriam como fontes, os fluxos<br />
magnéticos equivaleriam a correntes e os núcleos fariam o papel de condutores.<br />
Para tornar mais evidente esta analogia, tome-se um núcleo toroidal, como o da Fig.<br />
2.7(a), com seção transversal circular de raio r, confeccionado com um material de elevada<br />
permeabilidade magnética . Em torno do mesmo é feito um enrolamento de N espiras<br />
onde circula a corrente constante I, gerando um campo magnético. Como a permeabilidade<br />
do material magnético é muito maior que a do ar que o circunda, é válido pensar que as<br />
linhas de indução estará confinadas ao núcleo.<br />
Figura 2.6 - Bobina toroidal: (a) aspecto físico; (b) circuito elétrico análogo<br />
Pode-se deduzir que o campo magnético no interior desse núcleo não é uniforme, já<br />
que as espiras estão mais próximas entre si na parte interna do que na externa, o que<br />
significa que o campo vai enfraquecendo em direção à parte exterior do núcleo. Para<br />
contornar esse problema, que dificulta o processo de cálculos, toma-se a linha de indução<br />
correspondente a um raio médio R, representada por uma linha tracejada na Fig. 2.7(a) e<br />
aplica-se a Lei de Ampère (Eq. 1.13). Como cada uma das espiras transporta a corrente I e<br />
contribui para a formação do campo no interior do núcleo, a corrente total é NI, então<br />
H dl<br />
Hl<br />
NI<br />
<br />
<br />
onde l = 2R corresponde ao comprimento médio do núcleo.<br />
Uma vez que a corrente no enrolamento é a "fonte" geradora do magnetismo, o<br />
termo NI é chamado de força magnetomotriz (abreviadamente f.m.m.), simbolizada por F.<br />
Então<br />
F NI Hl<br />
(2.4)<br />
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As principais unidades de f.m.m. são:<br />
Ampère-espira (A-e) – usada no Sistema Internacional<br />
e Gilbert = 0,7958 A-e.<br />
O fluxo magnético no interior do núcleo será<br />
ou, ainda<br />
S<br />
BS HS<br />
F<br />
l<br />
1 l <br />
F <br />
(2.5)<br />
S <br />
O termo entre parênteses nessa equação lembra a expressão para o cálculo da resistência<br />
elétrica R de um corpo, dada por<br />
1 l<br />
R <br />
S<br />
onde é a condutividade elétrica do material, l é o comprimento do condutor e S é a área<br />
de sua seção transversal. Por esta razão, denomina-se relutância (R) à relação<br />
1 l<br />
R <br />
(2.6)<br />
S<br />
cuja unidade no Sistema Internacional é o Ampère-espira/Webber (A-e/Wb). Assim, a<br />
Eq. 2.5 pode ser reescrita como<br />
F R <br />
(2.7)<br />
que é a chamada Lei de Ohm para circuitos magnéticos, dada sua semelhança com a lei<br />
homônima para circuitos elétricos.<br />
A semelhança entre os circuitos magnéticos e elétricos é evidente. Na Tab. 2.2<br />
mostra-se a analogia entre as grandezas mais comumente encontradas em um e outro tipo<br />
de circuito. O circuito elétrico análogo ao da Fig. 2.7(a) é mostrado na Fig. 2.7(b).<br />
Tabela 2.1 - Analogia entre grandezas dos circuitos elétricos e magnéticos<br />
Circuito elétrico Circuito magnético<br />
Grandeza Símbolo Grandeza Símbolo<br />
Corrente I Fluxo magnético <br />
Densidade de corrente J Densidade de fluxo magnético B<br />
Força eletromotriz (tensão) V Força magnetomotriz F<br />
Intensidade de campo elétrico E Intensidade de campo magnético H<br />
Condutividade elétrica Permeabilidade magnética <br />
Resistência R Relutância R<br />
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Exemplo 2.1<br />
Uma bobina é confeccionada com 500 espiras enroladas em torno de um núcleo<br />
toroidal semelhante ao da Fig. 2.7(a), sendo a = 11 cm e b = 9 cm. Desejando-se<br />
estabelecer no interior desse núcleo um fluxo magnético médio igual a 0,2 mWb,<br />
determinar a corrente I necessária, supondo-se que o material é: (a) plástico; (b) ferro<br />
fundido; (c) aço fundido.<br />
Solução<br />
O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.7(b), Pelas dimensões dadas, seguese<br />
que o raio médio é R = 10 cm = 0,1 m e o comprimento médio do núcleo é<br />
l 2R 0,63 m<br />
Como o raio da área de seção transversal é r = 1 cm = 0,01 m, a área desta seção será<br />
2 4<br />
2<br />
S r 3,14 10 m<br />
Qualquer que seja o material do núcleo, a indução magnética em seu interior é dada pela<br />
Eq. 1.2<br />
<br />
B 0,64 T<br />
S<br />
(a) No caso de plástico, bem como qualquer material não-magnético, pode-se considerar o<br />
valor da permeabilidade magnética muito próxima ao do vácuo; logo, conforme a Eq. 1.13<br />
B A e<br />
H 506.862,88<br />
o<br />
m<br />
Então<br />
Hl<br />
F NI Hl<br />
I 638,65 A<br />
N<br />
(b) Na curva de magnetização do ferro-fundido (Fig. 2.5) vê-se que a saturação é atingida<br />
para valores de B ligeiramente superiores a 0,4 T; assim, um núcleo desse material, com as<br />
dimensões dadas, não é capaz de atingir o valor desejado de 0,64 T, o que significa, em<br />
outras palavras, que não é possível obter-se o fluxo de 0,2 mWb nesse núcleo.<br />
(c) Na curva de magnetização do aço fundido, para B = 0,64 T H = 420 A-e/m, logo<br />
420 0,63<br />
I 0,53 A<br />
500<br />
Em circuitos magnéticos práticos, tais como em máquinas elétricas, normalmente<br />
existem peças móveis, de modo que os núcleos possuem espaços livres chamados<br />
entreferros. Ao cruzarem o entreferro, as linhas de indução se deformam - criando o<br />
chamado efeito de espalhamento – devido ao aumento da relutância neste trecho, como se<br />
vê na Fig. 2.8(a). Na maioria das situações esse efeito pode ser desconsiderado; porém, se<br />
forem necessários cálculos mais precisos pode-se corrigir a influência dessa deformação<br />
somando-se à cada uma das dimensões relativas à seção do entreferro o comprimento do<br />
mesmo. Assim, se a e b forem respectivamente a largura e a profundidade do núcleo e g for<br />
o comprimento do entreferro, como se mostra na Fig. 2.8(b), a seção reta do entreferro será<br />
dada por<br />
S = (a + g) (b + g) (2.8)<br />
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Figura 2.7 - Efeito de espalhamento: (a) deformação das linhas de indução no entreferro;<br />
(b) dimensões usadas para a correção.<br />
Outro fator que deve ser considerado em cálculos mais precisos é o fluxo de<br />
dispersão, já mencionado na Seção 2.1. Porém, desde que o material tenha permeabilidade<br />
magnética relativa muito alta, este fluxo tem valor muito baixo e sua influência nos<br />
resultados é desprezível.<br />
Um último aspecto a ser considerado nos<br />
cálculos em circuitos magnéticos é que<br />
Figura 2.8 - Laminação do núcleo<br />
normalmente os núcleos são laminados, como<br />
forma de redução das correntes parasitas. Então, a<br />
espessura do isolamento que separa cada par de<br />
lâminas deve ser descontada no cálculo da área; em<br />
outras palavras, a área efetivamente disponível para<br />
o fluxo (Sf) é menor que a área total do núcleo (S).<br />
A relação entre essas duas áreas é chamada de fator de empilhamento 4 (f), isto é<br />
f<br />
f (2.9)<br />
valor que também pode ser expresso em termos percentuais.<br />
A analogia entre os circuitos magnéticos e elétricos pode ser estendida. A relutância<br />
ao longo de um dispositivo eletromagnético pode variar, devido à mudança de dimensões,<br />
de permeabilidade (quando se usam materiais diferentes, por exemplo) ou à existência de<br />
entreferros. Então, a relutância de cada um desses trechos pode ser considerada um<br />
"elemento", de sorte que haverá circuitos série ou paralelo.<br />
a) Circuito magnético série: quando todos os elementos são "atravessados" pelo mesmo<br />
fluxo magnético . Se n for o número de elementos associados em série, a f.m.m. total será<br />
dada pela soma das f.m.m. parciais, isto é<br />
T<br />
22<br />
S<br />
S<br />
F F F ... F<br />
1 2<br />
n<br />
(2.10)<br />
4 Est relação também é conhecida como fator de ferro ou fator de laminação.

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que equivale à Lei das Tensões de Kirchoff dos circuitos elétricos<br />
Exemplo 2.2<br />
O circuito magnético da Fig. 2.10(a) tem enrolamento de 1.500 espiras. Determinar<br />
a corrente I necessária para estabelecer um fluxo de 10 mWb nos entreferros, sabendo que o<br />
fator de empilhamento do elemento de aço-silício é igual a 90%, enquanto que o elemento<br />
de aço fundido é maciço. Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de dispersão.<br />
Solução<br />
Na Fig. 2.10(b) é mostrado o circuito elétrico análogo. A f.m.m. deve ser calculada<br />
em cada um dos elementos.<br />
Figura 2.9 - Exemplo 2.2: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo<br />
Entreferros<br />
lef = 0,1 cm = 10 -3 m Sef = 10 cm 20 cm = 200 cm 2 = 0,02 m 2<br />
3<br />
1010 Eq. 1 .2 : Bef 0,5T<br />
S 0,02<br />
ef<br />
B 0,5 A e<br />
Eq. 1 .12 : H 397.887,36<br />
m<br />
ef<br />
f<br />
o 7<br />
410 3<br />
Eq. 2.1: F f Hef lf<br />
397.887,36 10 397,89 A e (para cada entreferro)<br />
Elemento de aço-silício:<br />
las = 2 (30 + 5) + 30 + (2 5) = 110 cm = 1,1 m<br />
Sas = f (10 20) = 180 cm 2 = 0,018 m 2<br />
3<br />
1010 B 0,56T<br />
as<br />
Sas 0,018<br />
Entrando com este valor na curva BH do aço-silício (Fig. 2.5): Has = 80 A-e/m<br />
Fas = Haslas = 80 1,1 = 88 A-e.<br />
23

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Elemento de aço fundido:<br />
laf = 2 7,5 + (25) + 30 = 55 cm = 0,55 m<br />
Saf = 15 20 = 300 cm 2 = 0,03 m 2<br />
3<br />
1010 B 0,33T<br />
af<br />
Saf 0,03<br />
Entrando com este valor na curva BH do aço fundido(Fig. 2.5): Has = 260 A-e/m<br />
Faf = Haflaf = 260 0,55 = 143 A-e.<br />
Aplicando a Eq. 2.10, encontra-se a f.m.m. total<br />
FT = 2 F1 + Fas + Faf = 1.026,78 A-e<br />
Entrando com este valor na Eq. 2.4<br />
T 1026,<br />
78<br />
I 0,<br />
68A<br />
N 1500<br />
F<br />
b) Circuito magnético paralelo: a f.m.m. em cada um dos elementos é a mesma; o fluxo<br />
magnético total é dado pela soma algébrica dos fluxos magnéticos individuais, isto é<br />
T = 1 + 2 + ... + n<br />
(2.11)<br />
onde n é o número de elementos (percursos) do núcleo.<br />
Exemplo 2.3<br />
O núcleo da Fig. 2.11(a) é de aço fundido maciço, sendo o enrolamento dividido em<br />
duas partes, cada qual com número N de espiras. Sabendo que uma corrente de 0,8 A<br />
produz no entreferro um fluxo magnético igual a 5 mWb, determinar o valor de N.<br />
Desprezar o efeito do espalhamento e o fluxo de dispersão.<br />
Figura 2.10 - Exemplo 2.3: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo<br />
Solução<br />
O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.11(b). Considerando que os<br />
enrolamentos são idênticos e que existe total simetria do núcleo, pode-se deduzir que cada<br />
parte do enrolamento fornecerá a metade do fluxo magnético na "perna" central. Assim<br />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<br />
<br />
<br />
2<br />
c<br />
e d 2,5 mWb<br />
onde e, d e c correspondem, respectivamente ao fluxo nas pernas esquerda, direita e<br />
central do núcleo.<br />
Entreferro<br />
lef = 0,1 cm = 0,001 m Sef = 10 10 = 100 cm 2 = 0,01 m 2<br />
<br />
c Bef 0,5<br />
T<br />
Sef<br />
B Ae ef Hef 397.887,36<br />
o<br />
m<br />
Fef = Heflef = 397,89 A-e<br />
Perna esquerda<br />
le = 30 + 40 + 30 = 100 cm = 1 m Se = 10 10 = 100 cm 2 = 0,01 m<br />
Ae B 0,25 T H 230<br />
S m<br />
e<br />
e e<br />
<br />
e<br />
Fe = Hele = 230 A-e<br />
Perna central (trecho bghe), excetuando o entreferro<br />
lc = 40 – 0,1 = 39,9 cm = 0,399 m Sc = 10 10 = 100 cm 2 = 0,01 m<br />
Ae B 0,5 T H 350<br />
S m<br />
c<br />
c c<br />
c<br />
Fc = Hclc = 139,65 A-e<br />
Aplicando a Eq. 2.10 ao trecho abghde: FT = Fe + Fc + Fef = 767,54 A-e. O número de<br />
espiras é dado pela Eq. 2.4:<br />
T<br />
N 959,<br />
43 espiras<br />
I<br />
F<br />
960 espiras<br />
Nos exemplos anteriores observa-se que, apesar de seu pequeno comprimento, o<br />
entreferro "concentra" uma f.m.m. bastante elevada; isto se deve à sua elevada relutância a<br />
qual, por sua vez, resulta da baixa permeabilidade magnética do ar. Esta constatação é útil<br />
na solução de outro tipo de problema: a determinação do fluxo magnético uma vez<br />
conhecida a f.m.m. Nesse caso, como não se conhece o valor de B no núcleo, não é possível<br />
o cálculo de H – e conseqüentemente de F – no elemento.<br />
Um método simplificado para a solução nesses casos é o das aproximações<br />
sucessivas: supõe-se, inicialmente, que toda a relutância do circuito está contida no<br />
entreferro e calcula-se a F requerida, comparando-a à F real. Ajusta-se, então, o valor de B<br />
para mais ou para menos e repete-se os cálculos. Prossegue-se assim até que a f.m.m. dada<br />
e a calculada atinjam uma diferença pré-fixada (por exemplo, 5%) e, por fim, calcula-se o<br />
fluxo<br />
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Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<br />
Exemplo 2.4<br />
Dado o núcleo maciço de aço fundido da Fig. 2.12(a), determinar o fluxo magnético<br />
em seu entreferro, sabendo-se que I = 0,5 A e N = 1.000 espiras. Desconsiderar os efeitos<br />
do espelhamento e do fluxo de dispersão.<br />
Solução<br />
O circuito elétrico análogo é mostrado na Fig. 2.12(b). A f.m.m. real é F = NI = 500<br />
A-e. As medidas neste exemplo são:<br />
Entreferro: lef = 0,1 cm = 0,001 m Sef = 5 10 = 50 cm 2 = 0,005 m 2<br />
Núcleo : ln = 4 15 – 0,1 = 59,9 cm = 0,599 m Sn = 5 10 = 50 cm 2 = 0,005 m 2<br />
1 a Aproximação – desconsidera-se a relutância do núcleo, portanto Fn = 0 e<br />
F A e<br />
Fef = F = Heflef Hf<br />
500.<br />
000<br />
l<br />
m<br />
Bef = oHef = 0,63 T<br />
ef<br />
Vê-se, porém, que o valor de Bef será menor do que este, já que a f.m.m. no núcleo deve ser<br />
considerada.<br />
Figura 2.11 - Exemplo 2.4: (a) circuito magnético; (b) circuito elétrico análogo<br />
2 a Aproximação – fazendo Bef = 0,6 T<br />
Bef Ae Entreferro: Hef 477.464.83<br />
<br />
m<br />
o<br />
Fef = Heflef = 477,46 A-e<br />
Núcleo: Bn = Bef = 0,6 T Hn = 400<br />
26<br />
A e<br />
m<br />
Fn = Hnln = 239,60 A-e<br />
Aplicando a Eq. 2.10: F = Fn + Fef = 717,06. Este valor é cerca de 43% maior que o valor<br />
da f.m.m. real, logo é necessária nova aproximação.

Máquinas e Transformadores Elétricos Eurico G. de Castro Neves e Rubi Münchow<br />
3 a Aproximação – fazendo Bef = 0,5 T e refazendo os cálculos<br />
Entreferro: Hef = 397.887,36 A-e/m Fef = 397,89 A-e<br />
Núcleo: Hn = 350 A-e/m Fn = 209,65 A-e<br />
F = Fn + Fef = 607,54 A-e (cerca de 21,5% maior que o valor real).<br />
4 a Aproximação – fazendo Bef = 0,4 T e refazendo os cálculos<br />
Entreferro: Hef = 318.309,896 A-e/m Fef = 318,31 A-e<br />
Núcleo: Hn = 300 A-e/m Fn = 179,70 A-e<br />
F = Fn + Fef = 498,01 A-e (valor apenas 0,4% menor que o real).<br />
Portanto, adotando-se Bef = 0,4 T: ef = Bef Sef = 2 mwB<br />
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