Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

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T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D Cada uma das colunas da matriz de transformação resulta da aplicação da transformação a cada um dos versores da 2 base canónica de R , e x e e y , ⎡cos( θ) − sen( θ) ⎤ A = ⎢ = x M sen( ) cos( ) ⎥ ⎣ θ θ ⎦ Temos assim que e [ T( e ) T( e ) ] ⎡cos( θ) − sen( θ) ⎤ ⎡1⎤ T( ex) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣sen( θ) cos( θ) ⎦ ⎣0⎦ ⎡cos( θ) ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣sen( θ) ⎦ T( ey ) ⎡cos( θ) = ⎢ ⎣sen( θ) ⎡− = sen( θ) ⎤ cos( θ) ⎥ ⎦ © Prof. José Amaral ALGA M06 - 4 12-11-2007 ⎢ ⎣ − sen( θ) ⎤ ⎡0⎤ cos( θ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣1⎦ Ambos os versores de 2 R sofrem uma rotação de θ no sentido directo. Em resultado da aplicação de uma transformação com matiz de transformação ⎡cos( θ) A = ⎢ ⎣sen( θ) − sen( θ) ⎤ cos( θ) ⎥ ⎦ , todos os objectos do plano sofrem uma rotação de θ no sentido directo. A matriz é por isso 2 chamada matriz de rotação em R . y
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D Transformações Lineares Elementares em R 2 . 4. Projecção ortogonal. Projecção ortogonal sobre o eixo dos xx. Equações Matriz de Transformação w1 = x w2 = 0 Projecção ortogonal sobre o eixo dos yy. ⎡1 T = ⎢ ⎣0 0⎤ 0 ⎥ ⎦ Equações Matriz de Transformação w1 = 0 ⎡0 T = w2 = y ⎢ ⎣0 0⎤ 1 ⎥ ⎦ 5. Reflexão. 1. Reflexão sobre o eixo dos xx. Equações Matriz de Transformação w1 = x w2 = −y ⎡1 T = ⎢ ⎣0 0⎤ − 1 ⎥ ⎦ 2. Reflexão sobre o eixo dos yy. Equações Matriz de Transformação w1 = −x w2 = y ⎡− 1 T = ⎢ ⎣ 0 0⎤ 1 ⎥ ⎦ 6. Rotação. Rotação de um ângulo θ no sentido directo. Equações Matriz de Transformação w1 = x cos( θ) − y sen( θ) w2 = x sen( θ) + y cos( θ) ⎡cos( θ) T = ⎢ ⎣sen( θ) − sen( θ) ⎤ cos( θ) ⎥ ⎦ 7. Contracção Contracção de um factor k ( 0 ≤ k < 1). Equações Matriz de Transformação w1 = kx w2 = ky ⎡k T = ⎢ ⎣0 0 ⎤ k ⎥ ⎦ 8. Expansão Expansão de um factor k ( k > 1). Equações Matriz de Transformação w1 = kx w2 = ky ⎡k T = ⎢ ⎣0 0 ⎤ k ⎥ ⎦ © Prof. José Amaral ALGA M06 - 5 12-11-2007
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