Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D
Matriz de Rotação Sobre um Eixo Arbitrário.
19. Pode deduzir-se que a matriz da transformação correspondente
a uma rotação em sentido directo de uma ângulo θ em torno de
um versor arbitrário u = ( ux,
uy,
uz)
é
⎡ 2
c + u
⎤
x(
1 − c)
uxuy(
1 − c)
− uzs
uxuz(
1 − c)
+ uys
⎢
2
⎥
A = ⎢uxuy(
1 − c)
+ uzs
c + uy(
1 − c)
uyuz(
1 − c)
− uxs⎥
⎢
2
u u ( 1 − c)
− u s u u ( 1 − c)
+ u s c + u ( 1 − c)
⎥
⎣ x z
y y z
x
z ⎦
, em que c = cos(θ)
e s = sen(θ)
.
Exemplo 5.
1. Se admitirmos que o versor arbitrário de rotação é, por exemplo, o versor do eixo dos xx
1 ( 1,
0,
0)
= u = e , resulta
⎡1
0 0 ⎤ ⎡1
0 0⎤
A =
⎢ ⎥
=
⎢
⎥
⎢
0 c − s
⎥ ⎢
0 cos( θ)
− sen( θ)
⎥
⎢⎣
0 s c ⎥⎦
⎢⎣
0 sen( θ)
cos( θ)
⎥⎦
, como seria de esperar, dado que se trata de uma rotação sobre o eixo dos xx.
2. Para qualquer versor u = ( ux,
uy,
uz)
, com θ = 2 π resulta
⎡1
A =
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
ou seja, qualquer objecto é transformado nele mesmo.
3. Para uma rotação de em torno do vector u = ( 1,
1,
1)
resulta
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 33 12-11-2007
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
⎡0
A =
⎢
⎢
1
⎢⎣
0
A imagem do vector u = ( 1,
1,
0)
é
⎡0
v
= Au =
⎢
⎢
1
⎢⎣
0
0
1
1
0
1
1
1⎤
0
⎥
⎥
0⎥⎦
1⎤
⎡1⎤
⎡0⎤
0
⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎥ ⎢
1
⎥ ⎢
1
⎥
0⎥⎦
⎢⎣
0⎥⎦
⎢⎣
1⎥⎦