Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

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T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D for i=1:1000 X=reshape(X,1,m*n); Y=reshape(Y,1,m*n); Z=reshape(Z,1,m*n); U=[X; Y; Z]; W=A*U; X=W(1,:); Y=W(2,:); Z=W(3,:); X=reshape(X,m,n); Y=reshape(Y,m,n); Z=reshape(Z,m,n); h=surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none'); pause(0.001) delete(h) end © Prof. José Amaral ALGA M06 - 32 12-11-2007
T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D Matriz de Rotação Sobre um Eixo Arbitrário. 19. Pode deduzir-se que a matriz da transformação correspondente a uma rotação em sentido directo de uma ângulo θ em torno de um versor arbitrário u = ( ux, uy, uz) é ⎡ 2 c + u ⎤ x( 1 − c) uxuy( 1 − c) − uzs uxuz( 1 − c) + uys ⎢ 2 ⎥ A = ⎢uxuy( 1 − c) + uzs c + uy( 1 − c) uyuz( 1 − c) − uxs⎥ ⎢ 2 u u ( 1 − c) − u s u u ( 1 − c) + u s c + u ( 1 − c) ⎥ ⎣ x z y y z x z ⎦ , em que c = cos(θ) e s = sen(θ) . Exemplo 5. 1. Se admitirmos que o versor arbitrário de rotação é, por exemplo, o versor do eixo dos xx 1 ( 1, 0, 0) = u = e , resulta ⎡1 0 0 ⎤ ⎡1 0 0⎤ A = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ 0 c − s ⎥ ⎢ 0 cos( θ) − sen( θ) ⎥ ⎢⎣ 0 s c ⎥⎦ ⎢⎣ 0 sen( θ) cos( θ) ⎥⎦ , como seria de esperar, dado que se trata de uma rotação sobre o eixo dos xx. 2. Para qualquer versor u = ( ux, uy, uz) , com θ = 2 π resulta ⎡1 A = ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ 0 ou seja, qualquer objecto é transformado nele mesmo. 3. Para uma rotação de em torno do vector u = ( 1, 1, 1) resulta © Prof. José Amaral ALGA M06 - 33 12-11-2007 0 1 0 0⎤ 0 ⎥ ⎥ 1⎥⎦ ⎡0 A = ⎢ ⎢ 1 ⎢⎣ 0 A imagem do vector u = ( 1, 1, 0) é ⎡0 v = Au = ⎢ ⎢ 1 ⎢⎣ 0 0 1 1 0 1 1 1⎤ 0 ⎥ ⎥ 0⎥⎦ 1⎤ ⎡1⎤ ⎡0⎤ 0 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ 0⎥⎦ ⎢⎣ 0⎥⎦ ⎢⎣ 1⎥⎦
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