Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D
2. Seja ( 1, 2)
x x f =
2 3
w uma função de R → R , tal que
w
w
w
1
2
3
= x
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 3 12-11-2007
1
= 2x
1
= 3x
1
− x
2
+ 4x
Adoptando a notação matricial, podemos escrever
⎡w1
⎤ ⎡1
0⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡x1
⎤
⎢
w2
⎥
=
⎢
2 − 1
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣x2
⎦
⎣w3
⎦ ⎣3
4⎦
e ainda
w = Ax
A função ( 1, 2)
x x f = w considerada, sendo uma transformação matricial, é uma transformação
linear, w = T ( x)
= Ax , sendo a matriz da transformação
⎡1
A =
⎢
⎢
2
⎢⎣
3
2 3
3. Em R e R é possível fazer uma representação geométrica simples do efeito da aplicação
de uma transformação linear, quer se considere que os pares ou ternos ordenados são
n
representativos de pontos ou de vectores. Em R a interpretação do resultado da aplicação de
uma transformação linear é idêntica, embora a sua representação geométrica não seja possível.
2 2
1. Seja T : R → R a transformação linear, w = T(
x,
y)
Temos então
0⎤
− 1
⎥
⎥
4⎥⎦
2
w = Au
⎡w1
⎤ ⎡1
⎢ ⎥ = ⎢
⎣w2
⎦ ⎣0
w
w
1
2
0⎤⎡x⎤
− 1
⎥⎢
⎥
⎦⎣y
⎦
= T(
x)
= x
= T(
y)
= −y
Da aplicação da matriz da transformação
⎡1
A = ⎢
⎣0
0⎤
− 1
⎥
⎦
2
a qualquer objecto de R resulta uma imagem que corresponde ao seu
simétrico relativamente ao eixo dos xx
2. Seja
2
2
T( x,
y)
= ( x,
− y)
T : R → R a transformação linear, w = T(
x,
y)
w = Au
⎡w1
⎤ ⎡cos(
θ)
⎢ ⎥ = ⎢
⎣w2
⎦ ⎣sen(
θ)
em que θ é um ângulo medido no sentido directo.
− sen( θ)
⎤⎡x⎤
cos( θ)
⎥⎢
⎥
⎦⎣y⎦