Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D
2 2
10. Considere a transformação linear T : R → R que transforma o paralelogramo da figura
a) no paralelogramo da figura b). Qual das seguintes matrizes pode ser a matriz da
transformação em causa
a)
b)
⎡ 2 3 0⎤
⎡2
− 1 2⎤
⎡1
− 1 3⎤
⎡2
3 − 1 3⎤
A 1 = ⎢ ⎥ A 2 =
⎣−
1 3 − 1
⎢ ⎥ A 3 =
⎦ ⎣3
− 3 2
⎢ ⎥ A 4 =
⎦ ⎣2
− 4 3
⎢ ⎥
⎦ ⎣ 0 − 1⎦
Basta atender a que
T ( 0,
2)
= T(
−1,
−
Ora, sendo
⎡0⎤
⎡0⎤
⎡−
1⎤
T ( 0,
2)
= A ⎢ ⎥ = A 2 ⎢ ⎥ = A 2e2
= 2Ae2
= 2T(
e2)
= ⎢ ⎥
⎣2⎦
⎣1⎦
⎣−
3⎦
, temos
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 20 12-11-2007
3)
⎡−
1 2⎤
T ( e2)
= ⎢ ⎥
⎣−
3 2⎦
, pelo que, das matrizes candidatas a única que pode ser a matriz da
transformação em causa é a matriz A 2 .
Escolhendo dois vectores linearmente independentes, por exemplo,
1 ( 0,
2)
= u e ) 4 , 2 ( 2 = u , temos ) 3 , 1 ( ) ( w1 , pelo que, sendo
= T u1
= − − e w2 = T ( u2)
= ( 2,
0)
Genericamente
⎡−
1
⎢
⎣−
3
>> u1=[0 2]';
>> u2=[2 4]';
>> w1=[-1 -3]';
>> w2=[ 2 0]';
>> A=[w1 w2]*inv([u1 u2])
A =
2 -1/2
3 -3/2
w = Au
[ w w ] = A[
u u ]
1
⎡−
1
⎢
⎣−
3
2⎤
⎡0
= A
0
⎥ ⎢
⎦ ⎣2
2⎤
⎡0
0
⎥ ⎢
⎦ ⎣2
−1
2⎤
⎥ = A
4⎦
⎡2
⎢
⎣3
− 1 2⎤
⎥ = A
− 3 2⎦
2
1
2⎤
4
⎥
⎦
[ ][ ] 1 −
w w u
A = u
1
2
1
2
2