Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

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T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D Transformação Linear. Matriz da Transformação. Exemplo 1. n m 1. Uma função T : R → R é uma transformação linear (ou uma função linear) se 1. T( α u) = α T( u) , ou seja, , para todos os u e 2. T ( u + v) = T( u) + T( v) T( α u + βv) = α T( u) + β T( v) © Prof. José Amaral ALGA M06 - 2 12-11-2007 n v ∈ R e todos os escalares α e β . n 2. Sendo A uma matriz m × n e u ∈ R , a transformação matricial n m T : R → R w = T ( u) = Au é uma transformação linear. n m 3. Sendo T : R → R uma transformação linear e n u = u1 e1 + u2e2 + L + unen ∈ R , existe uma (e só uma) matriz A = ( a ij) m× n tal que T( u ) = Au , ∀u ∈ R , chamada matriz (canónica) da transformação, dada por A = [ T( e1) M T( e2) M L M T( en) ] , em que T( e j) são matrizes coluna, resultantes da aplicação da transformação T a cada um n dos versores da base canónica de R , e j . 1. A transformação w = T ( u) = Au é uma transformação linear, dado que os escalares α e β . T( αu + βv) = A( αu + βv) = A( αu) + A( βv) = α( Au) + β( Av) = α T( u) + β T( v) ⎡− 1 0⎤ ⎡1⎤ ⎡3⎤ Por exemplo, sendo A = ⎢ ⎥ u = ⎣ 2 3 ⎢ ⎥ , v = ⎦ ⎣2 ⎢ ⎥ , α = −1 e β = 4 , temos ⎦ ⎣0⎦ ⎡− 1 T( αu + βv) = A( αu + βv) = ⎢ ⎣ 2 ⎡− 1 = ⎢ ⎣ 2 ⎡− 11⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ 16⎦ 0⎤⎛ ⎡− 1⎤ ⎡12⎤⎞ ⎡− 1 ⎜ ⎟ ⎜ + = 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎢ ⎦⎝ ⎣− 2⎦ ⎣ 0 ⎦⎠ ⎣ 2 0⎤ ⎡ 11⎤ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣− 2⎦ ⎡− 1 α T( u) + β T( v) = αAu + βAv = −1⎢ ⎣ 2 0⎤⎡1⎤ ⎡− 1 ⎥⎢ ⎥ + 4 3 ⎢ ⎦⎣2⎦ ⎣ 2 0⎤⎡3⎤ 3 ⎥⎢ ⎥ ⎦⎣0⎦ ⎡− 1⎤ ⎡− 3⎤ ⎡ 1⎤ ⎡− 12⎤ = −1⎢ ⎥ + 4⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ 8⎦ ⎣ 6⎦ ⎣− 8⎦ ⎣ 24⎦ ⎡− 11⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ 16⎦ n 0⎤ ⎛ ⎡1⎤ ⎡3⎤ ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ − 1 ⎢ ⎥ + 4 3 ⎢ ⎥⎟ ⎦ ⎝ ⎣2⎦ ⎣0⎦ ⎠ n u, R e todos ∀ v ∈

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D 2. Seja ( 1, 2) x x f = 2 3 w uma função de R → R , tal que w w w 1 2 3 = x © Prof. José Amaral ALGA M06 - 3 12-11-2007 1 = 2x 1 = 3x 1 − x 2 + 4x Adoptando a notação matricial, podemos escrever ⎡w1 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡x1 ⎤ ⎢ w2 ⎥ = ⎢ 2 − 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣x2 ⎦ ⎣w3 ⎦ ⎣3 4⎦ e ainda w = Ax A função ( 1, 2) x x f = w considerada, sendo uma transformação matricial, é uma transformação linear, w = T ( x) = Ax , sendo a matriz da transformação ⎡1 A = ⎢ ⎢ 2 ⎢⎣ 3 2 3 3. Em R e R é possível fazer uma representação geométrica simples do efeito da aplicação de uma transformação linear, quer se considere que os pares ou ternos ordenados são n representativos de pontos ou de vectores. Em R a interpretação do resultado da aplicação de uma transformação linear é idêntica, embora a sua representação geométrica não seja possível. 2 2 1. Seja T : R → R a transformação linear, w = T( x, y) Temos então 0⎤ − 1 ⎥ ⎥ 4⎥⎦ 2 w = Au ⎡w1 ⎤ ⎡1 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎣w2 ⎦ ⎣0 w w 1 2 0⎤⎡x⎤ − 1 ⎥⎢ ⎥ ⎦⎣y ⎦ = T( x) = x = T( y) = −y Da aplicação da matriz da transformação ⎡1 A = ⎢ ⎣0 0⎤ − 1 ⎥ ⎦ 2 a qualquer objecto de R resulta uma imagem que corresponde ao seu simétrico relativamente ao eixo dos xx 2. Seja 2 2 T( x, y) = ( x, − y) T : R → R a transformação linear, w = T( x, y) w = Au ⎡w1 ⎤ ⎡cos( θ) ⎢ ⎥ = ⎢ ⎣w2 ⎦ ⎣sen( θ) em que θ é um ângulo medido no sentido directo. − sen( θ) ⎤⎡x⎤ cos( θ) ⎥⎢ ⎥ ⎦⎣y⎦

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