Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D
[ 1, 0, 1/3*w1+1/3*w2]
[ 0, 1, 1/9*w2-2/9*w1]
[ 0, 0, w3+4/9*w2-8/9*w1]
Concluímos que, para que o sistema seja possível, deverá ser
4 8
w 3 + w2
− w1
9 9
= 0 ⇔ 8w1
− 4w2
− 9w3
= 0
Fica assim determinada a restrição do subespaço das imagens. Podemos verificar que
w = ( 4,
− 10,
8)
e w = ( −8,
2,
− 8)
verificam a restrição ( 8 × 4 − 4 × ( −10)
− 9 × 8 = 0 e
1
3
× ( −8)
− 4 × 2 − 9 × ( −8)
0 , e portanto pertencem à imagem da transformação, mas
8 =
w ( 3,
2,
1)
não verifica ( 0 1 9 2 4 3 8 ≠ × − × − × ), e portanto não pertence à imagem.
5 =
DETERMINAR A MATRIZ DA TRANSFORMAÇÃO DADOS UM CONJUNTO DE OBJECTOS E IMAGENS
7. Determine as matrizes das transformações
T1( x1,
x2)
= ( 2x1
− x2,
x1
− 3x2)
T2( x1,
x2,
x3)
= ( x1
+ x2
+ 2x3,
x1
− x2,
x2
− x3)
T3( x1,
x2,
x3,
x4)
= ( x1
+ 2x3,
x1
− x4,
x2
− x3,
x1
− 3x4)
Conhecida a expressão analítica da transformação a determinação da matriz da transformação é
imediata. Para ( w1, w2)
= T1(
x1,
x2)
= ( 2x1
− x2,
x1
− 3x2)
temos
⎧w1
= 2x1
− x2
⎨
⎩w2
= x1
− 3x2
⎡w1
⎤ ⎡2
− 1⎤
⎡x1
⎤
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣w2
⎦ ⎣1
− 3⎦
⎣x2
⎦
logo
⎡2
− 1⎤
A 1 = ⎢ ⎥
⎣1
− 3⎦
Procedendo de modo análogo, temos para T2( x1,
x2,
x3)
= ( x1
+ x2
+ 2x3,
x1
− x2,
x2
− x3)
⎡1
1 2⎤
A
⎢ ⎥
2 =
⎢
1 − 1 0
⎥
⎢⎣
0 1 − 1⎥⎦
e para T3( x1,
x2,
x3,
x4)
= ( x1
+ 2x3,
x1
− x4,
x2
− x3,
x1
− 3x4)
A
3
⎡1
⎢
⎢
1
=
⎢0
⎢
⎣1
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 18 12-11-2007
0
0
1
0
2
0
− 1
0
0⎤
− 1
⎥
⎥
0⎥
⎥
− 3⎦