Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D
em que cada uma das colunas corresponde à imagem de cada um dos vértices do triângulo
ATr
⎡ 0
= ⎢
⎣−
1
⎡−
2
= ⎢
⎣−
1
− 1⎤
⎡1
0
⎥ ⎢
⎦ ⎣2
3
3
− 3
− 3
− 1⎤
− 2
⎥
⎦
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 15 12-11-2007
2⎤
1
⎥
⎦
>> teta=pi/2;
>> A2=[cos(teta) -sin(teta);...
sin(teta) cos(teta)];
>> A=A2*A1;
>> Tr=[1 3 2;2 3 1];
>> A*Tr
ans =
-2.0000 -3.0000 -1.0000
-1.0000 -3.0000 -2.0000
VERIFICAR SE UMA IMAGEM PODE RESULTAR DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR.
6. Sendo
⎡1
A =
⎢
⎢
2
⎢⎣
2
a matriz da transformação linear
2
T : R
3
→ R , verifique se os vectores w 1 = ( 4,
− 10,
8)
,
2 ( 0,
0)
= w , ) 8 , 2 , 8 ( w 3 = − − , 4 ( 0,
0,
0)
= w e ) 1 , 2 , 3 ( 5 = w pertencem à imagem (ou
contradomínio) de T .
O vector 2 ( 0,
0)
=
2
w não pertence à imagem de T , dado que 2 R ∈ w e o contradomínio de T
está contido em
3
R . O vector 4 ( 0,
0,
0)
= w pertence, dado que, para toda a transformação
linear, a imagem do vector nulo é o vector nulo ( 0 = A0 ).
Quanto aos vectores w 1 , 3 w e w 5 podemos verificar se pertencem à imagem de T de
diversos modos. Por exemplo, e dado que A é a matriz a transformação, tendo em atenção que
temos
⎡1
w = Au =
⎢
⎢
2
⎢⎣
2
− 3⎤
3
⎥
⎥
− 4⎥⎦
− 3⎤
3
⎥
⎥
u
− 4⎥⎦
⎡1
w
⎢
1 =
⎢
2
⎢⎣
2
− 3⎤
3
⎥
⎥
u1
− 4⎥⎦
⎡ 4⎤
⎡1
⎢ ⎥
=
⎢
⎢
− 10
⎥ ⎢
2
⎢⎣
8⎥⎦
⎢⎣
2
− 3⎤
⎥ ⎡u1
⎤
3
⎥ ⎢ ⎥
− ⎥
⎣u2
4
⎦
⎦