Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D
>> A=A3*A2*A1
A =
0 0
-1.0000 0.0000
>> u=[2 2]';
>> w=A*u
w =
0
-2.0000
5. Considere a seguinte matriz dos vértices de um triângulo em
T r
⎡1
= ⎢
⎣2
Determine a imagem final (os vértices) do triângulo quando é reflectido sobre o eixo do yy, e
depois rodado de π 2 no sentido directo.
Dado que a uma reflexão sobre o eixo dos yy corresponde uma matriz de transformação
A 1
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 14 12-11-2007
3
3
⎡− 1
= ⎢
⎣ 0
, e a uma rotação de um ângulo π 2 no sentido directo corresponde uma matriz de
transformação
A matriz da transformação é
A 2
A = A2A1
⎡cos(
θ)
= ⎢
⎣sen(
θ)
2⎤
1
⎥
⎦
0⎤
1
⎥
⎦
− sen( θ)
⎤ ⎡0 − 1⎤
⎥ =
cos( θ)
⎢ ⎥
⎦ ⎣1
0⎦
⎡0 − 1⎤
⎡− 1
= ⎢ ⎥ ⎢
⎣1
0⎦
⎣ 0
0⎤
⎡ 0
⎥ =
1
⎢
⎦ ⎣−
1
Dado que os vértices do triângulo correspondem a vectores coluna correspondentes a cada uma
das colunas da matriz r T
T r
⎡⎡v1⎤
⎡v2⎤
⎡v3⎤⎤
= ⎢⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥
⎣⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎦
, resulta que ao produto AT r corresponde uma matriz
⎡ 0
ATr
= ⎢
⎣−
1
− 1⎤
⎡⎡v1⎤
⎢
0
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣⎣
⎦
⎡v2⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡v3⎤⎤
⎢ ⎥⎥
⎣ ⎦⎦
⎡
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎣
⎡v1⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡v1⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡v2⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡v2⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡ ⎡v1⎤
= ⎢A⎢
⎥
⎣ ⎣ ⎦
⎡v2⎤
A⎢
⎥
⎣ ⎦
⎡v3⎤⎤
A⎢
⎥⎥
⎣ ⎦⎦
⎡⎡w1⎤
= ⎢⎢
⎥
⎣⎣
⎦
⎡w2⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡w3⎤⎤
⎢ ⎥⎥
⎣ ⎦⎦
2
R
− 1⎤
0
⎥
⎦
[ 0 − 1]
[ 0 − 1]
[ 0 − 1]
[ − 1 0]
[ − 1 0]
[ − 1 0]
⎡v3⎤⎤
⎢ ⎥⎥
⎣ ⎦⎥
⎡v3⎤⎥
⎢ ⎥⎥
⎣ ⎦⎦