Transformações Lineares de Rn em Rm - deetc

T R A N S F O R M A Ç Õ E S L I N E A R E S D E R N E M R M A L G E B R A – T U R M A L R 1 1 D
Temos
⎡−
2
w = Au =
⎢
⎢
− 1
⎢⎣
− 1
2⎤
⎡1⎤
⎡ 2⎤
3
⎥ ⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎥ ⎢
2
⎥ ⎢
6
⎥
1⎥⎦
⎢⎣
1⎥⎦
⎢⎣
− 2⎥⎦
A imagem do vector u = e1
+ 2e2 + e3
é o vector w = T ( u)
= 2e1
+ 6e2
− 2e3
.
>> A=[-2 1 2; -1 2 3;-1 0 -1];
>> u=[1 2 1]';
>> w=A*u
w =
2
6
-2
2 2
4. Dada a transformação linear T : R → R , que consiste numa reflexão sobre o eixo do yy,
seguida duma rotação de π 2 (no sentido directo) e duma projecção ortogonal sobre o eixo dos
yy, determine T (( 2,
2))
.
Como vimos, a uma reflexão sobre o eixo dos yy corresponde uma matriz de transformação
A 1
© Prof. José Amaral ALGA M06 - 13 12-11-2007
1
2
0
⎡− 1
= ⎢
⎣ 0
, a uma rotação de um ângulo θ no sentido directo corresponde uma matriz de transformação
A 2
⎡cos(
θ)
= ⎢
⎣sen(
θ)
0⎤
1
⎥
⎦
− sen( θ)
⎤
cos( θ)
⎥
⎦
, e a uma projecção ortogonal sobre o eixo dos yy corresponde uma matriz de transformação
A 3
⎡0
= ⎢
⎣0
Sendo a transformação T uma composição das 3 transformações elementares, temos
0⎤
1
⎥
⎦
w = T(
u)
= A3A2A1u
⎡0
= ⎢
⎣0
0⎤
⎡cos(
π 2)
1
⎥ ⎢
⎦ ⎣sen(
π 2)
− sen( π 2)
⎤ ⎡− 1
cos( π 2)
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
⎡0
= ⎢
⎣0
0⎤
⎡0 1
⎥ ⎢
⎦ ⎣1
− 1⎤
⎡− 1
0
⎥ ⎢
⎦ ⎣ 0
0⎤
⎡2⎤
1
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣2⎦
⎡ 0
= ⎢
⎣−
1
⎡ 0⎤
= ⎢ ⎥
⎣−
2⎦
0⎤
⎡2⎤
0
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣2⎦
0⎤
⎡2⎤
1
⎥ ⎢ ⎥
⎦ ⎣2⎦
>> A1=[-1 0;0 1];
>> teta=pi/2;
>> A2=[cos(teta) -sin(teta); sin(teta) cos(teta)];
>> A3=[0 0;0 1];