CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

ISEP – LEI – AMATA - 1S. 2009/10
CÁLCULO DIFERENCIAL EM IR

ISEP –LEI –AMATA ‐ 1S. 2009/10
Cálculo Diferencial em IR
• Derivada de uma função num ponto
y
y=f(x)
P
Q 3
Q 2
Q 1
t
x
As rectas PQ 1, PQ 2 ePQ 3 são
rectas secantes à curva y=f(x).
A recta t é tangente à curva y=f(x) no
ponto P.
Os declives das rectas secantes PQ 1, PQ 2, PQ 3,..., são
cada vez mais próximos do declive da recta tangente t.

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Δ y
f(x 0+Δ x)
f(x 0)
y
P
x 0
Δ x
y=f(x)
Q
x 0+Δ x
Δ x ‐ variação ou acréscimo da variável independente
s
t
x
P(x 0 , f(x 0))
Q(x 0+Δ x, f(x 0+Δ x))
s ‐ recta secante àcurva y=f(x) que
passa nos pontos P eQ.
t ‐ recta tangente à curva y=f(x) no
ponto P.
Δ y - variação ou acréscimo da variável dependente ou função: Δ y=f(x 0+Δ x)-f(x 0)

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Declive da recta secante s:
Declive da recta tangente t:
m s
lim
Δy
= =
Δx
m
f ( x0
+ Δx)
− f ( x0
)
Δx
Δy
= lim = lim
Δx
f ( x
0
Δx→0
s
Δx→0
Δx→0
Δ
+ Δx)
− f ( x )
Definição: A função y= f(x) diz‐se diferenciável num ponto x 0 , sse existir
e representa‐se por,
y'
lim
f ( x
0
Δx→0
Δ
+ Δx)
− f ( x )
f’(x 0) éa derivada da função y=f(x) no ponto x 0
=
f '(
x ) = lim
x
f ( x
0
x= x0
0
Δx→0
Δ
0
+ Δx)
− f ( x )
x
0
x
0
dy df
' ′ .
dx dx
Notação: y ; f ( x)
; ; ; Dy
; y

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• Interpretação geométrica da derivada
O valor da derivada de uma função num ponto P(x 0 , f(x 0)) é numericamente igual ao
valor do declive da recta t tangente à curva y=f(x) nesse ponto, isto é
f(x 0)
y
θ
x 0
P
y=f(x)
f ′ ( x0
) =
t
x
tgθ
θ : ângulo formado pela direcção
positiva do eixo OX ea recta t tangente à
curva y=f(x) no ponto P.

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• Recta tangente e recta normal
y
y 0
N
x 0
P
y=f(x)
T
x
T –rectade declive m T, tangente à curva y=f(x) no
ponto P.
N ‐ recta de declive m N, normal à curva y=f(x) no
ponto P.
m T
m
N
=
f ′
x
( 0
1
= −
m
T
) =
= −
dy
dx
x=
x
1
f ′ ( x
0
0
)
1
= −
dy
dx
As equações das rectas tangente e normal à curva no ponto P(x 0, y 0 ) são dadas por:
T →
N →
y − y = mT
−
0
( x x0
)
y − y0
= mN
( x − x0
)
Se f’(x)=0 então:
x=
x
a recta tangente é horizontal (y=y 0) e
a recta normal é vertical (x=x 0)
0

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• Exemplo
Considere a função y=sen(x) definida no intervalo [0, π], e os pontos P e Q de abcissas π/2 e π/4. Escreva as equações das
rectas tangente e normal à curva nos pontos dados e represente‐as graficamente.

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• Regras básicas de derivação
Derivada do produto
Derivada do quociente
Derivada da potência
Derivada da função
exponencial

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• Regras básicas de derivação
Derivada da função
logarítmica
Derivada de funções
trigonométricas

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• Exemplos
Calcule as derivadas das seguintes funções:
3 x + 4
a) y =
b)
5x
c) 2
y = sen ( 3x)
d)
e)
y =
[ ] x 2 x 4
cot g(
e )
3 + 4
=
5
x
y
3
y = tg(
2x)

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• Derivada da função composta
Seja u=g(x) uma função de x diferenciável e y=f(u) uma função de u diferenciável.
Define‐se a função composta y=(fog)(x) como a função y=f [g(x)].
g f
x0 u0 y0
A derivada da função composta é dada por:
dy
( f o
g)
′ ( x)
= f ′ ( g(
x))
g′
( x)
⇔ y′
( x)
= y′
( u)
g′
( x)
⇔ =
dx
e é extensível a um número maior de variáveis.
⎧u
⎨
⎩y
0
0
dy
du
= g(
x
=
du
dx
0
f ( u
0
)
)
∴
y
0
=
f ( g(
x
0
))

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• Exemplo
u −1
2
dy
Sendo y = e u = x , determine (das duas formas possíveis).
u + 1
dx

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• Função inversa
Recordemos que a condição para uma função admitir inversa é que seja injectiva.
O domínio e contradomínio da função f --1 (x) são respectivamente o contradomínio
e o domínio da função f(x) .
x =
−1
y f ( x)
⇔ x = f ( y)
f
−
1
( y)
D = D′
D = D
= − 1
f ( x)
f ( x)
1
f ( x)
f ( x)
Os gráficos de f(x) e f --1 (x) são simétricos relativamente à recta de equação y=x.
f
f
−1
y =
f (x)
Domínio de f Domínio de f --1
′ −

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• Derivada da função inversa
Seja y=f(x) uma função invertível e diferenciável no intervalo ]a,b[ tal que f’(x)≠ 0.
A derivada da função inversa x=f --1 (y) é dada por:
′ −1
′
[] = [ f y)
]
1 1
x = = −
f ′ ( x)
f ′
( 1
( f ( y)
)
A derivada da função inversa é igual ao inverso multiplicativo da derivada da
função directa.
dy
1 dx
1
=
⇔ =
dx
dx
dy
dy
dy
dx

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• Exemplos
dy
dx
Sendo y = 3− 2ln(
x − 4)
, calcule directamente e através da regra da derivada da função inversa.
dx
dy
Sendo y = 3− 2ln(
x − 4)
, calcule pela regra da derivada da função inversa.

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• Derivada da função trigonométrica inversa arcsen(x)
Seja y=arcsen(x) com -1< x

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• Derivada da função trigonométrica inversa arctg(x)
Seja y=arctg (x) com -∞< x

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• Derivadas das função trigonométricas inversas

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• Exemplos
Calcule y’ sendo y=f(x)
a) f(x)=arccos(x 4 )
b) f(x)=arctg(4x+2)
c) f(x)=arcsen(2x 2 ‐3)

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• Derivadas de ordem superior a um
– Derivada de 1ª ordem:
– Derivada de 2ª ordem:
– Derivada de 3ª ordem:
– Derivada de ordem n:
dy
y′ ;
dx
y′
′
2
d y
dx
; 2
=
d
dx
⎛
⎜
⎝
dy
dx
⎞
⎟
⎠
3
2
d y d ⎛ d y ⎞
y′
′ ′ ; = ⎜
⎟
3
2
dx
dx
⎝ dx
⎠
d y
dx
Exemplo: Calcule a derivada de 2ª ordem da função y=xe ‐2x
y
n
d ⎛ d
⎜
dx
⎝ dx
y ⎞
⎟
⎠
n
-1
( n)
; n = n−1

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• Diferencial
AvariaçãoΔy que uma função y=f(x) sofre
em consequência da variação da sua
variável independente x tem uma relação
estreita com a sua derivada f’(x).
Seja Δx a variação ou acréscimo da
variável independente e Δy=f(x+Δx)-f(x) a
variação ou acréscimo da variável
dependente ou função.
Quando a variável independente varia de
x para x+Δx avariaçãoexacta da função é
dada por Δy, no entanto, para valores
pequenos de Δx, estavariaçãopodeser
estimada por dy.
f(x+Δx)
f(x)
y
P
y=f(x)
Q
x x+Δx
Δ x
t
dy
x
Δy

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Tendo em conta a interpretação geométrica da
derivada num ponto podemos verificar que:
comp. cateto oposto dy
tgθ
=
=
comp. cateto adjacente Δx
dy
= tgθ
Δx
⇔ dy
= f ′ ( x)
Δx
a que se dá o nome de diferencial da função:
dy=f’(x) Δx
Através da observação directa da figura anterior
podemos verificar que, para valores pequenos
de Δx, a variação Δy pode ser aproximada pelo
diferencial dy.
y ≈ dy
⇔ Δy
≈ f ( x)
Δ
Δ ′
x
f(x+Δx)
f(x)
y
P
θ
y=f(x)
Q
x x+Δx
Δ x
t
dy
x
Δy

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Verifiquemos se o erro cometido quando se toma Δy por dy é efectivamente pequeno
quando comparado com Δx.
Considere‐se a diferença
e calcule‐se o limite
x
[ f ( x + Δx)
− f ( x)
] − f ( x x
y − dy
=
) Δ
Δ ′
Δy
− dy
lim
Δ → 0 Δx
Δy
− dy
lim = lim
Δ → 0 Δx
Δ → 0
x
= lim
Δ
=
x
[ f ( x + Δx)
− f ( x)
]
f ( x + Δx)
− f ( x)
f ′ ( x)
Δx
− lim =
Δ → 0 Δx
x → 0 Δx
f ′ ( x)
− f ′ ( x)
= 0
− f ′ ( x)
Δx
=
Conclui‐se que a aproximação é tanto melhor quanto menor for Δx.
Sendo que Δx=dx, podemos também representar o diferencial dy como dy=f’(x)dx.
Δ
x
x

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Exemplo
2
Considere a função y =
x , x>0 (área de um quadrado).
Escreva as expressões analíticas de Δy e dy , correspondentes a uma variação Δx do lado do quadrado.