1ª lista de exercícios de Álgebra Linear.pdf - CEUNES

(b) Seja B = A + I3. Calcule A 2 ; A 3 e A 4 .
20. Seja A =
cos
sen
sen
cos
. Mostre que A2 =
cos 2
sen 2
sen 2
cos 2
indução, determine Ak para qualquer inteiro positivo k.
. Por
21. Mostre que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem tais que
A k = 0 para algum inteiro k 1 e AB = BA, então (AB) k = 0.
22. Diz-se que uma matriz quadrada A é nilpotente quando existe um inteiro
k 1 tal que Ak = 0. Mostre que qualquer matriz nilpotente não é
inversível. Veri…que que a matriz
é nilpotente.
2
6
A = 6
4
0 1 0 ::: 0
0 0 1 ::: 0
::: ::: ::: ::: :::
0 0 0 ::: 1
0 0 0 ::: 0
3
7
5
n n
23. Mostre que uma matriz diagonal A = [aij] de ordem n tal que a11a22
0 é inversível, e calcule sua inversa.
24. Mostre que se a matriz A =
caso calcule A 1 .
Dica: Considere o produto
rior.
a b
c d
a b
c d
ann 6=
é inversível então ad bc 6= 0. Neste
d b
c a
e use o exercício ante-
25. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Mostre que se AX = BX
para todas as matrizes X de ordem n 1, então A = B.
26. Mostre que se AB = A e BA = B então A 2 = A e B 2 = B.
27. Seja A uma matriz m n e X = 4
2
x1
:::
xn
AX = nP
xjAj é a j-ésima coluna de A.
j=1
4
3
5 uma matriz n 1: Prove que