1ª lista de exercícios de Álgebra Linear.pdf - CEUNES
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6. Mostre que as matrizes A = 1 1<br />
y<br />
y 1<br />
, em que y é um número real não<br />
nulo, veri…cam a equação matricial X2 = 2X:<br />
7. Mostre que para qualquer matriz A (quadrada ou não), AA t e A t A são<br />
matrizes simétricas.<br />
8. Sejam A, B matrizes simétricas.<br />
(a) Mostre que A + B é simétrica.<br />
(b) Mostre que AB é simétrica se, e somente se, BA = AB.<br />
(c) Mostre que A 2 = AA é simétrica.<br />
(d) Mostre que 2A 2 3A + In é simétrica.<br />
(e) Indicamos por X m o produto XX X, on<strong>de</strong> X é multiplicada m<br />
vezes. Se p(X) = akX k +ak 1X k 1 + +a1X+a0In é um polinômio,<br />
on<strong>de</strong> X é uma matriz <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n, então p(A) é simétrica? Justi…que.<br />
9. Seja A uma matriz <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n.<br />
(a) Mostre que A + A t é simétrica.<br />
(b) Uma matriz B = [bij] <strong>de</strong> or<strong>de</strong>m n é dita anti-simétrica se bij =<br />
bji; 8i; j (nesse caso, quem é a diagonal principal?). Mostre que<br />
A A t é anti-simétrica.<br />
(c) Mostre que A é escrita, <strong>de</strong> maneira única, como A = S + K, on<strong>de</strong> S<br />
é simétrica e K é anti-simétrica.<br />
(d) Mostre que se A 2 3A + I = 0 então A 1 = 3I A.<br />
(e) Mostre que se A 2 = 0 então I A é inversível.<br />
(f) Mostre que se A 3 = 0 então I A é inversível.<br />
(g) Generalizando os dois itens anteriores, mostre que se A k+1 = 0 para<br />
algum inteiro k 0, então (I A) 1 = I + A + + A k .<br />
(h) Mostre que se A 2 + 2A + I = 0 então A é inversível.<br />
(i) Mostre que se A 3 A + I = 0 então A é inversível.<br />
(j) Se A é inversível e AB = AC, mostre que B = C.<br />
(k) Dê um exemplo em que A é não nula e AB = AC, mas B 6= C<br />
(e portanto você não po<strong>de</strong> “cortar”a matriz A como faz com números<br />
reais).<br />
(l) Use o item anterior para obter uma matriz D 6= 0 tal que AD = 0:<br />
10. Caso seja possível obtenha matrizes B3 3; tais que:<br />
(a) BA = 2A; para qualquer matriz A.<br />
(b) BA = 2B; para qualquer matriz A:<br />
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