1ª lista de exercícios de Álgebra Linear.pdf - CEUNES

6. Mostre que as matrizes A = 1 1
y
y 1
, em que y é um número real não
nulo, veri…cam a equação matricial X2 = 2X:
7. Mostre que para qualquer matriz A (quadrada ou não), AA t e A t A são
matrizes simétricas.
8. Sejam A, B matrizes simétricas.
(a) Mostre que A + B é simétrica.
(b) Mostre que AB é simétrica se, e somente se, BA = AB.
(c) Mostre que A 2 = AA é simétrica.
(d) Mostre que 2A 2 3A + In é simétrica.
(e) Indicamos por X m o produto XX X, onde X é multiplicada m
vezes. Se p(X) = akX k +ak 1X k 1 + +a1X+a0In é um polinômio,
onde X é uma matriz de ordem n, então p(A) é simétrica? Justi…que.
9. Seja A uma matriz de ordem n.
(a) Mostre que A + A t é simétrica.
(b) Uma matriz B = [bij] de ordem n é dita anti-simétrica se bij =
bji; 8i; j (nesse caso, quem é a diagonal principal?). Mostre que
A A t é anti-simétrica.
(c) Mostre que A é escrita, de maneira única, como A = S + K, onde S
é simétrica e K é anti-simétrica.
(d) Mostre que se A 2 3A + I = 0 então A 1 = 3I A.
(e) Mostre que se A 2 = 0 então I A é inversível.
(f) Mostre que se A 3 = 0 então I A é inversível.
(g) Generalizando os dois itens anteriores, mostre que se A k+1 = 0 para
algum inteiro k 0, então (I A) 1 = I + A + + A k .
(h) Mostre que se A 2 + 2A + I = 0 então A é inversível.
(i) Mostre que se A 3 A + I = 0 então A é inversível.
(j) Se A é inversível e AB = AC, mostre que B = C.
(k) Dê um exemplo em que A é não nula e AB = AC, mas B 6= C
(e portanto você não pode “cortar”a matriz A como faz com números
reais).
(l) Use o item anterior para obter uma matriz D 6= 0 tal que AD = 0:
10. Caso seja possível obtenha matrizes B3 3; tais que:
(a) BA = 2A; para qualquer matriz A.
(b) BA = 2B; para qualquer matriz A:
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