1ª lista de exercícios de Álgebra Linear.pdf - CEUNES

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CEUNES
1 a Lista de Álgebra Linear 2011/2 - Matrizes
Prof. Fernando P. P. Reis
1. Considere as seguintes matrizes:
A =
1 0 2
0 1 3
; B =
2 1 3
0 1 0
2
e C = 4
1 1
0 1
0 2
Veri…que quais das seguintes operações estão de…nidas e, para essas determine
o seu valor:
3
5 :
a) (5A) (4C) b) A + B c) B + C
d) C t B e) BC t f) AC
g) CA h) (AC) 2
j) A (CB) k) (CB) 3 + I3
2. Sejam A =
2
3
1
2
; B =
1
4
2
2
3
0
D = 1 0 3
2
e E = 4
1
0
0
2
1
4
3
5
2 1 1
i) (AC) B
2
, C = 4
Calcule, se possível, cada uma das seguintes expressões, ou estabeleça,
porque ela não está de…nida
2
1
3
a) DC b) AB c) BC
d) CD e) BE f) AB + 3BE
g) A (BC) h) (AB) C B (EC) i) C t 2DE
j) 2DD t k) EB l) AB 2E
3. Se A e B são matrizes m n quaisquer, mostre que (A + B) t = A t + B t
e ( A) t = A t , onde 2 R .
4. Duas matrizes A; B 2 Mn n (R) comutam se AB = BA: Determine a
expressão geral das matrizes 2 2 que comutam com a matriz
5. Considere as seguintes matrizes M2 2 (R) :
A =
3 1
6 2
; B =
1 0
1 1
e C =
Mostre que AB = AC e no entanto B 6= C:
1
2 1
2 2
:
3
5,
1 1
0 1
:

6. Mostre que as matrizes A = 1 1
y
y 1
, em que y é um número real não
nulo, veri…cam a equação matricial X2 = 2X:
7. Mostre que para qualquer matriz A (quadrada ou não), AA t e A t A são
matrizes simétricas.
8. Sejam A, B matrizes simétricas.
(a) Mostre que A + B é simétrica.
(b) Mostre que AB é simétrica se, e somente se, BA = AB.
(c) Mostre que A 2 = AA é simétrica.
(d) Mostre que 2A 2 3A + In é simétrica.
(e) Indicamos por X m o produto XX X, onde X é multiplicada m
vezes. Se p(X) = akX k +ak 1X k 1 + +a1X+a0In é um polinômio,
onde X é uma matriz de ordem n, então p(A) é simétrica? Justi…que.
9. Seja A uma matriz de ordem n.
(a) Mostre que A + A t é simétrica.
(b) Uma matriz B = [bij] de ordem n é dita anti-simétrica se bij =
bji; 8i; j (nesse caso, quem é a diagonal principal?). Mostre que
A A t é anti-simétrica.
(c) Mostre que A é escrita, de maneira única, como A = S + K, onde S
é simétrica e K é anti-simétrica.
(d) Mostre que se A 2 3A + I = 0 então A 1 = 3I A.
(e) Mostre que se A 2 = 0 então I A é inversível.
(f) Mostre que se A 3 = 0 então I A é inversível.
(g) Generalizando os dois itens anteriores, mostre que se A k+1 = 0 para
algum inteiro k 0, então (I A) 1 = I + A + + A k .
(h) Mostre que se A 2 + 2A + I = 0 então A é inversível.
(i) Mostre que se A 3 A + I = 0 então A é inversível.
(j) Se A é inversível e AB = AC, mostre que B = C.
(k) Dê um exemplo em que A é não nula e AB = AC, mas B 6= C
(e portanto você não pode “cortar”a matriz A como faz com números
reais).
(l) Use o item anterior para obter uma matriz D 6= 0 tal que AD = 0:
10. Caso seja possível obtenha matrizes B3 3; tais que:
(a) BA = 2A; para qualquer matriz A.
(b) BA = 2B; para qualquer matriz A:
2

11. Considere as matrizes A; B 2 Mn n (R) tal que AB = A e BA = B:
Mostre que:
(a) B t A t = A t e A t B t = B t :
(b) as matrizes A e B são idempotentes.
(c) se a matriz A é invertível, então A = B = In
2
3
2 3 5
n:
2
(d) se considerarmos A = 4 1 4 5 5 e B = 4
1 3 4
então não é válida a recíproca do item b.
2 3 5
1 4 5
1 3 4
12. Mostre que se A ou B não for inversível então AB também não é (ou
equivalentemente, se AB for inversível então A e B também são).
13. Seja A uma matriz inversível. Mostre que
(a) (A t ) 1 = (A 1 ) t . Portanto, podemos escrever A t sem causar confusão.
(b) BA 1 = A 1 B se, e somente se, AB = BA.
(c) A + B e I + BA 1 são ambas inversíveis ou ambas não inversíveis.
14. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz A 3 + 4A 2 2A + 7I = 0
então A t também satisfaz.
15. Mostre que se A t A = A então A é simétrica e A = A 2 .
16. Seja X = [aij] uma matriz de ordem n. O traço de X, tr(X), é a soma
de todos os elementos da diagonal principal, isto é, tr(X) = a11 + a22 +
+ ann. Sejam A e B matrizes de ondem n: Mostre que
a) tr ( A) = tr (A) ; onde 2 R d) tr (A t ) = tr (A)
b) tr (A + B) = tr (A) + tr (B) e) tr (A t A) 0
c) tr (AB) = tr (BA) f) tr B 1 AB = tr (A)
Dica: Faça as contas para uma matriz A de ordem 3. Talvez você consiga
visualizar melhor o processo.
17. Mostre que não existem matrizes A e B de ordem n tais que AB BA = In.
18. Considere A e B como matrizes quadradas de mesma ordem, e suponha
que AB = BA. Mostre que (A+B) 2 = A 2 +2AB +B 2 e (A+B)(A B) =
A 2 B 2 .
19. (a) Seja A a matriz de ordem 3 cujas entradas da diagonal principal
e abaixo dela são nulas, enquanto as entradas acima da diagonal
principal são todas iguais a 1. Encontre A 2 ; A 3 ; A 4 ; : : :. Faça o mesmo
para matrizes de ordem 4.
3
3
5

(b) Seja B = A + I3. Calcule A 2 ; A 3 e A 4 .
20. Seja A =
cos
sen
sen
cos
. Mostre que A2 =
cos 2
sen 2
sen 2
cos 2
indução, determine Ak para qualquer inteiro positivo k.
. Por
21. Mostre que se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem tais que
A k = 0 para algum inteiro k 1 e AB = BA, então (AB) k = 0.
22. Diz-se que uma matriz quadrada A é nilpotente quando existe um inteiro
k 1 tal que Ak = 0. Mostre que qualquer matriz nilpotente não é
inversível. Veri…que que a matriz
é nilpotente.
2
6
A = 6
4
0 1 0 ::: 0
0 0 1 ::: 0
::: ::: ::: ::: :::
0 0 0 ::: 1
0 0 0 ::: 0
3
7
5
n n
23. Mostre que uma matriz diagonal A = [aij] de ordem n tal que a11a22
0 é inversível, e calcule sua inversa.
24. Mostre que se a matriz A =
caso calcule A 1 .
Dica: Considere o produto
rior.
a b
c d
a b
c d
ann 6=
é inversível então ad bc 6= 0. Neste
d b
c a
e use o exercício ante-
25. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Mostre que se AX = BX
para todas as matrizes X de ordem n 1, então A = B.
26. Mostre que se AB = A e BA = B então A 2 = A e B 2 = B.
27. Seja A uma matriz m n e X = 4
2
x1
:::
xn
AX = nP
xjAj é a j-ésima coluna de A.
j=1
4
3
5 uma matriz n 1: Prove que