Cálculo I (2007)

Cálculo I
Notas de aulas
André Arbex Hallack
Julho/2007

Índice
0 Preliminares 1
0.1 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Relação de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.4 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.5 Funções exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
0.6 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1 A Derivada 21
1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5 A definição da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8 Derivação implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2 Aplicações da Derivada 65
2.1 Acréscimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 A Derivada como razão de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
i

2.5 Concavidade e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6 Aplicações em problemas de máximos e/ou mínimos . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.7 Aplicações nos esboços de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.8 Apêndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.9 Apêndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.10 Apêndice C : Formas indeterminadas
e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.11 Apêndice D: Aproximações via
Polinômios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3 A Integral Definida 123
3.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2 Somas de Riemann e a definição da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . 126
3.3 Propriedades da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5 Integrais Indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.6 Mudança de variável na integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4 Técnicas de integração 145
4.1 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Algumas integrais trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3 Substituições trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.4 Integrais de funções racionais (Frações Parciais) . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5 Integrais impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5 Aplicações geométricas
da Integral Definida 169
5.1 Áreas de regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.2 Volumes de (alguns) sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Referências 185

Capítulo 0
Preliminares
0.1 Números reais
Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos números reais, os
quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”:
Vejamos agora alguns conjuntos de números reais nessa identificação:
IN = { 1, 2, 3, . . . } (números naturais) ⊂ IR
∩
Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } (números inteiros) ⊂ IR
∩
Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q = 0 } (números racionais) ⊂ IR
Temos ainda números reais que não são racionais. São os chamados números irracionais.
Alguns exemplos:
(A) Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem 1:
Do Teorema de Pitágoras, temos a 2 = b 2 + c 2 = 2 .
Portanto a = √ 2 (e √ 2 não é racional).
1

2 CAPÍTULO 0
(B) Outro número irracional famoso:
FATO: A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é constante.
Essa razão é um número chamado π .
Assim, se C é qualquer circunferência, l o seu comprimento e r seu raio, temos:
l
2r
π é um número irracional ( π ≈ 3, 141592 )
= π
Obs.: Existem muito mais números irracionais do que racionais !
Operações básicas em IR
Existem em IR duas operações básicas:
ADIÇÃO: a ∈ IR, b ∈ IR ↦−→ a + b ∈ IR (soma)
MULTIPLICAÇÃO: a ∈ IR, b ∈ IR ↦−→ a · b ∈ IR (produto)
Essas operações possuem as seguintes propriedades:
COMUTATIVIDADE: a + b = b + a
a · b = b · a
ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
quaisquer que sejam a, b ∈ IR.
EXISTÊNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a + 0 = a
EXISTÊNCIA DE INVERSOS:
quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR.
a · 1 = a
para todo a ∈ IR.
Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .
Todo a = 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a −1 ∈ IR tal que a · a −1 = 1 .
DISTRIBUTIVIDADE: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .

Preliminares 3
Conseqüências: (das propriedades)
1) Duas novas operações:
Subtração: Dados a, b ∈ IR, definimos: a − b = a + (−b) ;
Divisão: Dados a, b ∈ IR, com b = 0, definimos: a
b = a · b−1 .
2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR .
3) Se a · b = 0 , então a = 0 ou b = 0 .
4) Cada a ∈ IR possui um único inverso aditivo −a ∈ IR.
Cada a = 0 em IR possui um único inverso multiplicativo a −1 ∈ IR .
5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR.
6) a −1 = 1
a
para todo a = 0 em IR.
7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b .
8) Se a 2 = b 2 então a = ±b .
0.2 Relação de ordem em IR
Podemos decompor a reta IR como uma união disjunta IR = IR + ∪ IR − ∪ { 0} :
IR + é o conjunto dos números reais POSITIVOS;
IR − é o conjunto dos números reais NEGATIVOS.
De modo que:
• Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas:
• a ∈ IR + ⇔ −a ∈ IR − ;
ou a ∈ IR + ou a = 0 ou a ∈ IR −
• A soma de dois números positivos é um número positivo.
O produto de dois números positivos é um número positivo.

4 CAPÍTULO 0
Dados números reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a é menor do que
b (ou b é maior do que a ) quando b − a ∈ IR + , ou seja, b − a é um número positivo:
Propriedades da relação de ordem:
1) Se a < b e b < c então a < c .
2) Se a, b ∈ IR então a = b ou a < b ou a > b .
3) Se a < b então a + c < b + c para todo c ∈ IR.
4) Se a < b , temos: c > 0 ⇒ a · c < b · c
c < 0 ⇒ a · c > b · c
5) Se a < b e a ′ < b ′ então a + a ′ < b + b ′ .
6) Se 0 < a < b e 0 < a ′ < b ′ então 0 < a · a ′ < b · b ′ .
7) Se a > 0 então 1
a
> 0 .
8) Se 0 < a < b então 0 < 1
b
< 1
a .
Intervalos: Dados números reais a < b , definimos:
(a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b }
[a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b }
(a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b }
[a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b }

Preliminares 5
(a, +∞) = { x ∈ IR ; x > a }
[a, +∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a }
(−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b }
(−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b }
(−∞, +∞) = IR
• Atenção: +∞ e −∞ não são números reais ! São apenas símbolos !
Conjuntos limitados:
Um subconjunto X ⊂ IR é dito LIMITADO quando existem números reais a e b tais
que, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b .
Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR .
(Exemplos)
Observações:
(A) Todo conjunto finito é limitado.
(B) CUIDADO ! NÃO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO !
Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.
(C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos números naturais NÃO É limitado.
Conseqüências importantes deste fato:
(C.1) Propriedade arquimediana: Dados números reais a e b , com a > 0 , é possível obter
um número natural n ∈ IN tal que n · a > b .
⇓
(C.2) Densidade dos racionais: Dados dois números reais a e b quaisquer, com a < b , é
possível obter um número RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q = 0) tal que a < r < b
(por menor que seja a distância entre a e b ).

6 CAPÍTULO 0
A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer número real x
(mesmo irracional), é possível obter uma seqüência de números RACIONAIS que se aproximam
de x tanto quanto quisermos !!!
Exemplos:
1) π = 3, 141592 . . .
3 3, 1 = 31
10
3, 14 = 314
100
3, 141 = 3141
1000
2) Tome um número racional r1 > 0 e considere:
r2 = 1
r1 +
2
3
r1
↓
r3 = 1
r2 +
2
3
r2
↓
r4 = 1
r3 +
2
3
r3
↓.
↓
rn+1 = 1
rn +
2
3
rn
↓.
∈ Q (r2 > 0 , r 2 2 > 3 )
∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r 2 3 > 3 )
3, 1415 = 31415
10000
∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r 2 4 > 3 )
∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , r 2 n+1 > 3 )
. . . −→ π
Esta seqüência de racionais (r1, r2, r3, . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo
número real. Qual ?
Tente generalizar esse processo !
0.3 Valor absoluto
Dado qualquer número real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou M ÓDULO
DE x ) da seguinte forma:
|x| =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um número real x é a distância de x até
o 0 (zero). (Exemplos)

Preliminares 7
Propriedades:
1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x, −x} (o maior dos dois valores).
2) Para todo x ∈ IR temos |x| 2 = x 2 .
3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
4) |a + b| ≤ |a| + |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR .
5) Seja c > 0 : |x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c
0.4 Funções
|x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c
• Definição: Uma função f : X → Y é constituída de:
(a) Um conjunto X chamado o DOMÍNIO da função (onde a função está definida)
(b) Um conjunto Y chamado o CONTRA-DOMÍNIO da função (onde f “toma os valores”)
(c) Uma correspondência que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X
um ÚNICO elemento f(x) = y ∈ Y .
Obs.: Estaremos interessados em estudar funções tais que X e Y são conjuntos de números
reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante.
• Imagem: Dada uma função f : X → Y , sua IMAGEM é o conjunto
f(X) = { f(x) ; x ∈ X } ⊂ Y
• Os elementos do domínio são representados por uma VARIÁVEL INDEPENDENTE.
Os elementos da imagem são representados por uma VARIÁVEL DEPENDENTE.
• Gráfico: O GRÁFICO de uma função f : X → Y é o conjunto dos pontos (x, y) do
Plano Cartesiano tais que y = f(x) , com x ∈ X .
• Funções limitadas: Uma função f : X → Y é dita LIMITADA quando sua imagem
f(X) é um conjunto limitado. Em geral, é dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f(A) é um
conjunto limitado.

8 CAPÍTULO 0
• Funções crescentes ou decrescentes: Uma função f : X → Y é dita ...
... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) < f(x2) .
... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f(x1) > f(x2) .
(Obs.: o mesmo tipo de definição se aplica também a subconjuntos do domínio - por exemplo,
podemos dizer que uma certa função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo
dentro do domínio).
Exemplos:
(A) f1 : IR → IR dada por f1(x) = −x 2 + 4 .
(B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2(x) = −x 2 + 4 .
(C) f3 : IR → IR dada por f3(x) = |x| .
(D) f4 : IR → IR dada por f4(x) = |−x 2 + 4| .
(E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5(x) = √ 1 − x 2 .
(F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x ↦→ y tais que x2 + y2 = 1 NÃO É UMA FUNÇÃO
BEM DETERMINADA.
⎧
⎪⎨
(G) f7 : IR → IR dada por f7(x) =
⎪⎩
1
x
se x > 1
4
−3 se x ≤ 1
4
(H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8(x) = x .
(I) f9 : IR → IR dada por f9(x) = −2x + 1 .
(J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10(x) = − √ x .

Preliminares 9
• Máximos e mínimos: Dizemos que uma função f : X → Y assume VALOR
MÁXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f(x) ≤ f(c) para todo
x ∈ X . Neste caso f(c) é chamado VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f.
Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f(x) ≤ f(c) para todo
x ∈ (a, b) ∩ X , então c é dito um PONTO DE MÁXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c)
é um VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f.
De modo análogo, definimos também MÍNIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MÍNIMOS
RELATIVOS (LOCAIS).
(Ilustração)
Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4(x) = |−x 2 + 4| .
Observações:
(i) Todo máximo (mínimo) absoluto é máximo (mínimo) local.
(ii) Uma função PODE NÃO ASSUMIR valores máximos ou mínimos.
Exercício: Para cada uma das funções dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), deter-
mine seus pontos e valores máximos e mínimos, se existirem.
• Construção de funções através de operações: Sejam f, g : X → IR funções
definidas num mesmo domínio X ⊂ IR .
A partir de f e g vamos construir novas funções (f + g), (f − g), (f · g) :
(f + g) : X → IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f − g) : X → IR dada por (f − g)(x) = f(x) − g(x)
(f · g) : X → IR dada por (f · g)(x) = f(x) · g(x)

10 CAPÍTULO 0
Para ilustrar, consideremos a função indentidade f : IR → IR dada por f(x) = x e
funções constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc(x) = c (cada c é um número real
qualquer, fixado).
Utilizando a função identidade e funções constantes, podemos construir (através das operações
de adição e multiplicação) um importante tipo de função p : IR → IR chamada FUNÇ ÃO
POLINOMIAL:
p(x) = anx n + an−x n−1 + . . . + a2x 2 + a1x + a0 para todo x ∈ IR
(essa é dita uma função polinomial de grau n)
(Exemplos)
an, an−1, . . . , a2, a1, a0 ∈ IR , an = 0
Se quisermos utilizar a operação de divisão, temos que tomar o cuidado para evitar “divisões
por 0 (zero)”.
Assim, dadas f, g : X → IR e sendo Z = { x ∈ X ; g(x) = 0 } , podemos definir:
(f/g) : X − Z → IR pondo (f/g)(x) = f(x)
g(x)
Para ilustrar, temos as chamadas FUNÇÕES RACIONAIS, dadas pelo quociente de funções
polinomiais:
(Exemplos)
• Composição de funções:
p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 }
⇓
(p/q) : IR − Z → IR dada por (p/q)(x) = p(x)
q(x)
Sejam f : X → IR e g : Y → Z funções tais que f(X) ⊂ Y (a imagem de f está
contida no domínio de g).

Preliminares 11
A cada elemento de X associamos um único elemento de Z, aplicando inicialmente a função
f e depois a função g.
Podemos pensar então em uma função de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X
um único elemento g(f(x)) ∈ Z :
(Exemplos)
• Inversão de funções:
(g ◦ f) : X −→ Z
x ↦−→ g(f(x))
Seja f : X → Y uma função. A cada x ∈ X está associado um único f(x) ∈ Y .
Nos interessa a situação em que a associação inversa f(x) ↦→ x é uma função de Y em X.
Para isso, f deverá possuir duas características:
• f(X) = Y (a imagem de f é todo o conjunto Y );
• x1 = x2 em X ⇒ f(x1) = f(x2) em Y .
Uma função f : X → Y é chamada SOBREJETORA quando f(X) = Y , ou seja, a
imagem de f é todo o contradomínio Y . (Exemplos)
Uma função f : X → Y é chamada INJETORA quando elementos distintos do domínio
têm sempre imagens distintas, ou seja, x1 = x2 em X ⇒ f(x1) = f(x2) em Y . (Exemplos)
Uma função f : X → Y é INVERTÍVEL quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo
tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNÇÃO g : Y → X que associa y ↦→ g(y) e
tal que g(f(x)) = x ∀ x ∈ X e f(g(y)) = y ∀ y ∈ Y .
g é dita A INVERSA DA FUNÇ ÃO f e escrevemos g = f −1 .
(Exemplo)

12 CAPÍTULO 0
Exercício: Para cada uma das funções dadas posteriormente, faça o que se pede:
a) Faça um esboço do GRÁFICO da função.
b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a função dada é LIMITADA ou não.
c) Em que partes de seu domínio a função é CRESCENTE ou DECRESCENTE ?
d) Determine pontos e valores MÁXIMOS ou MÍNIMOS (quando existirem).
e) A função é INJETORA ? Justifique.
f) A função é SOBREJETORA ? Justifique.
g) Se a função dada for INVERTÍVEL, determine sua INVERSA e faça um esboço do
GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA.
1) f1 : IR → IR dada por f1(x) = 3x − 1 .
2) g1 : IR → IR + ∪ {0} dada por g1(x) = |3x − 1| .
3) h1 : IR → IR dada por h1(x) = −x 2 + 9 .
4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1(x) = 2x .
5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1(x) =
x 2 se x < 1
−x + 2 se x ≥ 1 .
6) r1 : [0, +∞) → IR + ∪ {0} dada por r1(x) = |x 2 − 3x| .
7) s1 : IR → IR dada por s1(x) = x 2 + 2 .
8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1(x) = x 2 + 2 .
9) v1 : IR + → IR + dada por v1(x) = x 2 .
10) f2 : IR → IR dada por f2(x) = − |x| .
11) g2 : IR → IR dada por g2(x) = − x
3
+ 1 .

Preliminares 13
12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2(x) = − x
3
+ 1 .
13) p2 : IR + ∪ {0} → IR − ∪ {0} dada por p2(x) = − √ 2x .
14) q2 : IR → IR dada por q2(x) =
15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2.s1 .
1 se 1 ≤ x ≤ 3
0 se x < 1 ou x > 3 .
16) s2 : IR → IR dada por s2(x) =
1/x
0
se x = 0
se x = 0 .
⎧
⎪⎨
√
−x se x < 0
17) u2 : IR → [−1, +∞) dada por u2(x) = −1/2
⎪⎩ √
x − 1
se x = 0
se x > 0
.
18) v2 : (−∞, −1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2(x) =
−π
x
se x < −1
2 se x ≥ 0
19) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3(x) = 1 − √ 1 − x 2 .
0.5 Funções exponenciais e logarítmicas
Revisão:
a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ a n = a · a · a · . . . · a (n vezes).
a = 0 ⇒ a 0 = 1 e a −n = 1
a n (n = 1, 2, 3, . . .) .
n PAR e a ≥ 0 : b = n√ a ⇔ b n = a , b ≥ 0 .
n ÍMPAR e a ∈ IR : b = n√ a ⇔ b n = a .
Definimos potências RACIONAIS de números reais positivos do seguinte modo:
a > 0 , p, q inteiros , q = 0 ⇒ a p/q = q√ a p
Temos, neste caso: a r1 · a r2 = a r1+r2 e a r > 0 .
.

14 CAPÍTULO 0
Nos interessa agora definir a x , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional).
Para isso consideremos a > 0 .
Se x é racional, já temos a p/q = q√ a p .
Se x é IRRACIONAL, sabemos que é possível obter uma seqüência de racionais r1, r2, r3, . . .
que se aproxima de x tanto quanto quisermos:
r1, r2, r3, . . . −→ x
FATO: A seqüência a r1 , a r2 , a r3 , . . . se aproxima de um número real, o qual DEFINI-
MOS como a x .
Temos então a nossa função exponencial de base a:
• Fixado a > 0 em IR, a função fa : IR → IR + dada por fa(x) = a x para todo x ∈ IR
é chamada FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE a.
Propriedades:
Gráfico:
a x · a y = a x+y , (a x ) y = a x·y , (a · b) x = a x · b x , a 0 = 1
Crescimento ou decrescimento: fa(x) = a x é
Inversa: Se a = 1 então fa : IR → IR +
x ↦→ a x
mitindo portanto uma função inversa f −1
a : IR + → IR
y ↦→ f −1
a (y)
CRECENTE se a > 1
DECRESCENTE se a < 1
é SOBREJETORA e INJETORA, ad-
.

Preliminares 15
f −1
a
−1
é chamada FUNÇÃO LOGARÍTMICA DE BASE a e escrevemos fa (y) = loga y .
Temos então: y = a x ⇔ x = log a y .
x fa
↦−→ a x = y
y
f −1
a
↦−→ x = log a y
f −1
a
↦−→ x = log a y = log a a x
fa
↦−→ y = a x = a loga y
• Fixado a > 0 , a = 1 em IR, temos a função f −1
a : IR + → IR dada por f −1
a (y) = log a y .
Propriedades:
Gráfico:
Um número especial
log a(x · y) = log a x + log a y , log a(x y ) = y · log a x , log a 1 = 0
(A) Séries numéricas:
Uma S ÉRIE NUMÉRICA é uma soma x1 + x2 + x3 + . . . com uma quantidade INFINITA
de parcelas.
ATENÇÃO: Uma série pode representar ou não um número real bem definido !!!
Para vermos isso, precisamos observar o comportamento das chamadas somas parciais:
s1 = x1
s2 = x1 + x2
s3 = x1 + x2 + x3
.

16 CAPÍTULO 0
Quando a seqüência s1 , s2 , s3 , . . . se aproxima tanto quanto desejarmos de um número
a ∈ IR à medida que n cresce, dizemos que a série CONVERGE PARA a e escrevemos
x1 + x2 + x3 + . . . = a
Caso contrário a série é chamada DIVERGENTE (a soma não é um número real bem
definido).
Exemplos:
1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . . é uma série DIVERGENTE.
s1 = 1
s2 = 1 + 1 = 2
s3 = 1 + 1 + 1 = 3
.
sn = n
.
A seqüência s1, s2, s3, . . . não se aproxima de nenhum número real em particular. Por-
tanto a série é divergente.
2) Se r ∈ IR e |r| < 1 , sabemos que 1 + r + r 2 + r 3 + . . . = 1
1 − r (CONVERGENTE!)
Em particular: 1 + 1
2
3) 1 + 1
2
4) π 1
−
2 3!
+ 1
3
+ 1
4
π
3 +
2
1
5!
+ 1
5
+ 1
4
+ 1
8
1
1
+ + . . . =
16 1 − 1
2
= 1 1
2
= 2
+ . . . (série harmônica) é uma série DIVERGENTE.
π
5 −
2
1
7!
π
7 + . . . = 1 (CONVERGENTE)
2
5) 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . é uma série DIVERGENTE.
(B) Séries de termos não-negativos:
Vamos considerar séries x1 + x2 + x3 + . . . tais que xn ≥ 0 para todo n ∈ IN .
FATO: Uma série x1 + x2 + x3 + . . . de termos não-negativos converge se, e somente se,
existe b ∈ IR tal que x1 + x2 + x3 + ... + xn ≤ b para todo n ∈ IN (“a soma é limitada”).

Preliminares 17
(C) O número e :
Consideremos a série 1 + 1 + 1 1 1 1
+ + + + . . .
2! 3! 4! 5!
É fácil ver que
2 < 1 + 1 + 1 1 1 1
1
+ + + + . . . < 1 + 1 +
2! 3! 4! 5! 2
1 1 1
+ + + + . . . = 3
22 23 24 Segue do FATO anterior que a série 1 + 1 + 1 1 1
+ + + . . . CONVERGE para um
2! 3! 4!
número real (entre 2 e 3), conhecido por CONSTANTE DE EULER e denotado por e .
O número real e acima definido irá desempenhar um importante papel ao longo do nosso
curso de Cálculo I, no que se refere às funções exponencial e logarítmica, na base e :
Exponencial: e x e sua inversa, a função logarítmica log e x (escrevemos log x ou ln x ).
Obs.: Outro modo de obter o número e :
1 + 1
1
1
,
1 + 1
2
2
,
1 + 1
3
0.6 Funções trigonométricas
• Medidas de ângulos em radianos:
3
,
1 + 1
4 4
. . . −→ e
Um ângulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferência (centrada
no vértice do ângulo) de comprimento igual ao raio da circunferência considerada:
Assim, um ângulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo
r o raio da circunferência considerada:
θ
1
= l
r
⇒ l = θ · r
Desta forma, é fácil ver que a medida de “uma volta” em radianos é 2π rad :
2πr = θ · r ⇒ θ = 2π rad

18 CAPÍTULO 0
• Relações trigonométricas nos triângulos retângulos:
Consideremos 0 < θ < π
2
e um ângulo de θ rad em um triângulo retângulo:
sen θ = b
a
cos θ = c
a
• O círculo trigonométrico:
Relações:
tg θ =
sen θ
cos θ
= b
c
cos 2 θ + sen 2 θ = 1
cos 2 θ + sen 2 θ = 1 , sec 2 θ = 1 + tg 2 θ , csc 2 θ = 1 + ctg 2 θ , ctg θ = 1
tg θ
• Ângulos notáveis:
θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
sen θ 0 1
cos θ 1
tg θ 0
√ √
2 3 1 0 −1 0
√2 √2 2
3 2 1 0 −1 0 1
√2 2 2
3 1 3 √ 3 ∄ 0 ∄ 0
( sen θ = 0)

Preliminares 19
• Fórmulas de transformação:
⎧
⎨
⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b cos(a − b) = cos a · cos b + sen a · sen b
sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a
sen 2 a =
cos 2 a =
cos a · cos b =
sen a · sen b =
1 − cos 2a
2
1 + cos 2a
2
1
2
1
2
sen a · cos b = 1
2
• Funções trigonométricas:
Função SENO:
Gráfico:
Im ( sen ) = [−1, 1]
· cos(a + b) + 1
2
· cos(a − b) − 1
2
· sen (a + b) + 1
2
· cos(a − b)
· cos(a + b)
· sen (a − b)
sen : IR −→ IR
sen (−x) = − sen x (é uma função ÍMPAR)
x ↦−→ sen x
sen (x + 2π) = sen x (é uma função PERIÓDICA de período T = 2π)

20 CAPÍTULO 0
A função SENO é ...
... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z
... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k
ÍMPAR, k ∈ Z
Assume o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z)
Assume o VALOR MÍNIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z)
Se sen x = 0 , então temos csc x = 1
sen x
. Assim, não é difícil ver que a função
csc : IR − {kπ , k ∈ Z} → IR , que associa x ↦→ csc x = 1/ sen x tem gráfico:
A função SENO NÃO É injetora e NÃO É sobrejetora, mas
f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1]
x ↦−→ sen x
e tem portanto inversa
f −1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2]
é BIJETORA
y ↦−→ f −1 (y) = arc sen y
Exercício: Faça um estudo semelhante ao que fizemos com a função SENO, para as funções
COSSENO e TANGENTE.

Capítulo 1
A Derivada
1.1 Motivação
Seja dada uma função f : X → Y (X, Y ⊂ IR) .
Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhança de x por uma
função cujo gráfico é uma reta é através da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)) ,
se houver esta tangente.
Conseqüência: Podemos relacionar uma série de informações sobre o comportamento de
f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto (onde existir).
Por exemplo:
(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.
21

22 CAPÍTULO 1
(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.
(C)
(D)
(E)
f assumindo máximo ou mínimo local
no interior de um intervalo
Concavidade do gráfico de f
voltada para cima, em um intervalo
Concavidade do gráfico de f
voltada para baixo, em um intervalo
⇒ mt = 0 no ponto de máximo ou mínimo.
⇒ mt crescente neste intervalo.
⇒ mt decrescente neste intervalo.
Obtendo “mt” (coeficiente angular da reta tangente)
Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter o
coeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) :

A Derivada 23
Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMAÇÕES POR RETAS SECANTES”:
Para cada x = a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),
secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) :
Temos então uma função msa : I − {a} → IR
x ↦→ msa(x) =
f(x) − f(a)
x − a
Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) (coeficiente angular das secantes)
quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x → a ).
O esperado é que, quando x → a , msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum
número real e teremos
msa(x) → mta ∈ IR , quando x → a
Neste caso, dizemos que a função f é derivável no ponto a, existe a reta tangente ao gráfico
de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta é chamado a derivada de f no ponto
a (escrevemos f ′ (a) ).
Obs.:
É fundamental, para fazermos x → a , que possamos aproximar o ponto a por uma
seqüência de pontos do domínio X de f, diferentes de a.
Exemplo:

24 CAPÍTULO 1
Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja,
Dada uma função g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por
pontos x ∈ X , x = a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x → a
(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) → L ∈ IR quando
x → a .
1.2 Limites
Dada uma função f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando
x se aproxima de a , x = a .
Para isso, a não precisa pertencer ao domínio de f, mas deve ser aproximado por pontos
do domínio:
Definição 1.1. (Ponto de acumulação): Um ponto a é chamado um PONTO DE ACUMULAÇ ÃO
do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tão próximos de a
quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a.
Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulação de X.
Exemplos:
(A) A = [−1, 3)
O conjunto dos pontos de acumulação de A é A ′ = [−1, 3] .
(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)
Temos B ′ = [0, 3] .
(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}
Neste caso C ′ = [1, 2] ∪ [3, 5] .

A Derivada 25
Consideremos agora, por exemplo, a função f : IR − {1} → IR dada por
f(x) = 3x2 − 2x − 1
x − 1
1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumulação de IR − {1} . Podemos
então observar o comportamento de f(x) quando x → 1 (x se aproxima de 1, x = 1)
Temos:
x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997
x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003
Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 à medida que x → 1 .
Dizemos então que 4 é o limite de f(x) quando x tende a 1 (x → 1) e escrevemos:
A definição de limite
lim
x→1
3x 2 − 2x − 1
x − 1
= 4 .
Definição 1.2. Sejam f : X → IR uma função e a ∈ X ′ (a é ponto de acumulação do
domínio - não precisa pertencer a X).
Dizemos que um número real L é o LIMITE de f(x) quando x tende a a , e escrevemos
quando ...
lim
x→a
f(x) = L
... podemos obter f(x) tão próximo de L quanto
desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-
lores (no domínio de f) diferentes de a .
⇕ TRADUZINDO
... para cada ɛ > 0 dado, é possível obter um
δ > 0 (em geral dependendo do ɛ) tal que :
se x ∈ X e 0 < |x − a| < δ então |f(x) − L| < ɛ .

26 CAPÍTULO 1
Alguns limites fundamentais
• Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = c ∀ x ∈ IR (função constante).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a f1(x) = lim c = c
x→a
• Seja f2 : IR → IR dada por f2(x) = x ∀ x ∈ IR (função identidade).
Para cada a ∈ IR temos:
lim
x→a f2(x) = lim x = a
x→a
• Seja f3 : IR → IR dada por f3(x) = sen x ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
sen x = 0
• Seja f4 : IR → IR dada por f4(x) = cos x ∀ x ∈ IR .
Temos:
lim
x→0
cos x = 1
• Seja f5 : IR − { 0} → IR dada por f5(x) =
Temos:
lim
x→0
sen x
x
• Seja f6 : IR − { 0} → IR dada por f6(x) =
Temos:
lim
x→0
cos x − 1
x
sen x
x
= 1
cos x − 1
x
= 0
• Seja f7 : IR − { 0} → IR dada por f7(x) = ex − 1
x
Temos:
lim
x→0
ex − 1
= 1
x
∀ x = 0 .
∀ x = 0 .
∀ x = 0 .

A Derivada 27
1.3 Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites
Teorema 1.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Temos:
lim f(x) = L ⇔ lim (f(x) − L) = 0 ⇔ lim |f(x) − L| = 0
x→a x→a x→a
Em particular, considerando L = 0 , temos: lim
x→a f(x) = 0 ⇔ lim
x→a |f(x)| = 0 .
Exemplo: Sabemos que lim
x→0 x = 0 . Então segue que lim
x→0 |x| = 0 .
Teorema 1.2. (Sanduíche) Sejam f , g , h funções tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo
x = a em um intervalo aberto contendo a .
Se lim
x→a f(x) = L = lim
x→a h(x) , então lim
x→a g(x) = L .
Exemplo: Vamos mostrar que lim
x→0 sen x = 0 .

28 CAPÍTULO 1
Teorema 1.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X ′ e lim
x→a f(x) = L , lim
x→a g(x) = M . Então:
lim [f(x) ± g(x)] = L ± M ;
x→a
lim f(x) · g(x) = L · M ;
x→a
lim
x→a
lim
x→a
f(x)
g(x)
= L
M
n
n
f(x) = √ L
Exemplos:
se M = 0 ;
se n é ÍMPAR e L é qualquer real
se n é PAR e L > 0
(A) Seja p : IR → IR dada por p(x) = cnx n + cn−1x n−1 + . . . + c1x + c0 ,
com cn, cn−1, . . . , c1, c0 ∈ IR (constantes) e cn = 0 ( p é uma função polinomial de grau n).

A Derivada 29
(B) Funções racionais (quocientes de funções polinomiais)
(C) lim
x→0 cos x = 1

30 CAPÍTULO 1
(D) lim
x→0
(E) lim
x→0
sen x
x
= 1
cos x − 1
x
= 0

A Derivada 31
Teorema 1.4. Se lim
x→a f(x) = 0 e g é limitada num intervalo aberto contendo o ponto a
(sem precisar estar definida em a), então lim
x→a f(x) · g(x) = 0 .
(Exemplo)
Teorema 1.5. (Troca de variáveis) Se lim f(u) = L , lim u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e
u→b x→a
x = a ⇒ u = b , então
Exemplos:
(A) lim
x→0
(B) lim
x→0
sen 4x
4x
sen 3x
x
lim f(u(x)) = lim f(u) = L
x→a u→b
(C) Seja f uma função definida num intervalo contendo um ponto a. Vamos observar o que
ocorre com o limite lim
x→a
(D) lim
x→0
5 x − 1
x
f(x) − f(a)
x − a
quando fazemos a mudança de variáveis h = x − a :

32 CAPÍTULO 1
Exercícios:
f(x)
1) Prove que se lim f(x) = L = 0 e lim g(x) = 0 então ∄ (não existe) lim
x→a x→a x→a g(x) .
f(x)
Sugestão: Suponha que exista lim
x→a g(x)
2) Calcule os limites abaixo, justificando:
a) lim
x→3
x2 − 9
x − 3
b) lim
x→1/2
3 + 2x
5 − x
c) lim
x→0
√ √
x + 2 − 2
x
d) lim
x→2
e) lim
x→−3
x − 2
x 4 − 16
x + 3
(1/x) + (1/3)
i) lim x
x→0 3
1
sen 3√
x
m) lim
t→0
q) lim
h→0
v) lim
x→0
1 − cos t
sen t
3√ h + 1 − 1
h
1 − cos x
x 2
f(x)
= M e considere lim f(x) = lim
x→a x→a g(x)
· g(x) .
Sugestão: racionalize o numerador
Sugestão: use que (a n − b n ) = (a − b).(a n−1 + a n−2 b + . . . + ab n−2 + b n−1 )
n) lim
x→2
f) lim
x→0
j) lim
h→0
r) lim
x→0
w) lim
x→0
|x|
√ x 4 + 7
4 − √ 16 + h
h
x 2 − x − 2
(x − 2) 2
1 + tg x
sen x
3 x − 1
x
x) lim
x→0
x2 + 5x + 6
x2 − x − 12
h) lim
u→1
k) lim
x→3
3 2 + 5x − 3x3 x2 − 1
l) lim
y→−2
g) lim
x→−3
o) lim
x→4
s) lim
t→0
Teoremas adicionais sobre limites
3x 2 − 17x + 20
4x 2 − 25x + 36
sen 2 2t
t 2
3x 2
1 − cos 2 (x/2)
t) lim
x→π
Teorema 1.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
O lim
x→a f(x) , quando existe, é único.
p) lim
w→0
sen x
x − π
1
√ 5 − u
sen 3w
sen 5w
u) lim
x→0
y 3 + 8
y + 2
x
cos x
Teorema 1.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ . Se existe L = lim
x→a f(x) então a função f é
LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a.
Exemplo: Seja f : IR − {0} → IR dada por f(x) = 1
x
0 é ponto de acumulação do domínio IR − {0} .
Podemos afirmar que NÃO EXISTE o lim
intervalo aberto contendo 0 .
x→0
1
x
∀ x = 0 .
, pois f não é limitada em nenhum

A Derivada 33
Teorema 1.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X ′ e L = lim
x→a f(x) .
Se L > M então f(x) > M para todo x = a do domínio em um intervalo aberto
contendo o ponto a .
Em particular, se lim
x→a f(x) > 0 então f(x) > 0 para todo x = a do domínio em um
intervalo aberto contendo a .
Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim
x→a f(x) = L < M .
Teorema 1.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X ′ .
Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X
menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f:
lim f(x)
x→a +
(limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto é, por valores x ∈ X, com x > a)
lim f(x)
x→a− (limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto é, por valores x < a em X)
Temos, neste caso, que existe L = lim
x→a f(x) se, e somente se, existem e são iguais a L
ambos os limites laterais, ou seja: lim f(x) = lim f(x) .
x→a + x→a− Exemplo: Seja f : IR − {0} → IR dada por f(x) = |x|
x .
Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBÉM PARA LIMITES LATERAIS,
COM AS DEVIDAS ADAPTAÇÕES !

34 CAPÍTULO 1
Exercícios:
1) Sejam f, g : IR → IR dadas por:
f(x) =
x 3 + 3 se x ≤ 1
x + 1 se x > 1
g(x) =
x 2 se x ≤ 1
2 se x > 1
Faça um estudo sobre os limites: lim
x→1 f(x) lim
x→1 g(x) lim
x→1 (f.g)(x)
2) Mostre que lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
= lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
(se existirem)
3) Para cada função f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩ X ′ (a é ponto do domínio e
ponto de acumulação do domínio), também fornecido, obtenha
mta = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)).
(a) f1 : IR → IR dada por f1(x) = 3x − 1 e a = −5 .
(b) f2 : IR → IR dada por f2(x) = −x 2 e a = 3 .
(c) f3 : IR → IR dada por f3(x) = sen x e a = π/6 .
(d) f4 : IR → IR dada por f4(x) = cos x e a = π/6 .
(e) f5 : IR → IR dada por f5(x) = e x e a = 2 .
(f) f6 : (0, +∞) → IR dada por f6(x) = 1/x e a = √ 2 .
Faça ainda um esboço e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboço.
Sugestões:
Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa(x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)),
fazendo x → a.
Para as letras (c),(d) e (e), use também o exercício anterior.
Pode tentar também fazer antes o Exercício 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e-
xercício se torna um caso particular.
4) Para cada função f : X → IR do exercício anterior, tente generalizar o resultado, obtendo
mta para um a ∈ X qualquer !

A Derivada 35
1.4 Continuidade
Definição 1.3. Consideremos uma função f : X → IR tal que X ⊂ X ′ (todo ponto do
domínio é ponto de acumulação).
Dado um ponto a , dizemos que f
condições são satisfeitas:
1) Existe f(a) (ou seja, a ∈ X);
2) Existe lim
x→a f(x) ;
3) lim
x→a f(x) = f(a) .
Se f não é contínua em um ponto a, dizemos que f
TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a.
É CONTÍNUA NO PONTO a quando as seguintes
É DESCONTÍNUA EM a, ou que f
Dizemos que f : X → IR é uma FUNÇÃO CONTÍNUA EM X quando ela é contínua em
todos os pontos de seu domínio.
Exemplos: (e contra-exemplos)
(A) Toda função polinomial é contínua !
(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :
(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOV ÍVEL:

36 CAPÍTULO 1
(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:
Continuidade e operações entre funções
Teorema 1.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X ′ e a ∈ X .
Se f e g são contínuas no ponto a ∈ X , então:
(f ± g) são contínuas em a ;
(f · g) é uma função contínua em a ;
(f/g) é contínua em a se g(a) = 0 .
Teorema 1.11. (Composição) Sejam f : X → IR (X ⊂ X ′ ) e g : Y → IR (Y ⊂ Y ′ ) de
forma que a composta g ◦ f : X → IR está bem definida
Se f é contínua em a ∈ X e g é contínua em b = f(a) ∈ Y então a composta
g ◦ f : X → IR é contínua no ponto a ∈ X .
Exercícios:
1) Seja f : [0, +∞) → IR dada por f(x) = √ x .
√
(i) Mostre que lim x = 0 (Sugestão: Considere apenas o limite lateral lim
x→0
x→0 +
√
x - pois 0

A Derivada 37
só pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare √ x com 3√ x para 0 < x < 1 )
(ii) Conclua que f é contínua (em todos os pontos de seu domínio).
√
x
(iii) Mostre que ∄ lim (racionalize).
x→0 x
(iv) Generalize para g : [0, ∞) → IR dada por g(x) = n√ x , n = 2, 4, 6, 8, . . .
2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f é contínua ou não),
justificando:
(a) f : (−∞, 16] → IR dada por f(x) = √ 16 − x .
(b) f : [0, +∞) → IR dada por f(0) = 0 e f(x) = 1
se x = 0 .
x2 ⎧
x + 1
⎪⎨
x
(c) f : IR → IR dada por f(x) =
⎪⎩
3 se x = −1
+ 1
.
3 se x = −1
Funções contínuas em intervalos
• Quando estudamos problemas sobre máximos e mínimos, podemos ter funções que não
assumem valores máximos e/ou mínimos.
Por exemplo:
f : IR → IR dada por f(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO !
g : (−1, 2) → IR dada por g(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO !

38 CAPÍTULO 1
Existe uma situação (envolvendo continuidade) na qual estes problemas não ocorrem:
Teorema 1.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b] → IR é uma função contínua (em todos os pontos do
intervalo limitado e fechado [a, b]), então f assume valores máximo e mínimo neste intervalo
[a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que
f(cM) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b]
f(cm) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b]
• Outra boa propriedade das funções contínuas é a “PROPRIEDADE DO VALOR IN-
TERMEDI ÁRIO”:
Teorema 1.13. (Teorema do valor intermediário) Se f : X → IR é contínua no intervalo
[a, b] ⊂ X e f(a) = f(b) , então f assume todos os valores entre f(a) e f(b) , ou mellhor,
dado qualquer d entre f(a) e f(b) , existe x entre a e b tal que f(x) = d .
(Ilustração)
(Exemplo)
1.5 A definição da Derivada
Definição 1.4. Consideremos uma função f : X → IR , com X ⊂ X ′ (todo ponto do
domínio é ponto de acumulação do domínio).
Dizemos que f é DERIVÁVEL em a ∈ X quando existe o limite
f ′ (a) = lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
= lim
h→0
f(a + h) − f(a)
h
O número f ′ (a) ∈ IR é chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.

A Derivada 39
Observações:
• Em nossas aplicações, o domínio X será sempre um intervalo (e já teremos X ⊂ X ′ );
• Outras notações para f ′ (a) :
f ′ (a) = Dxf(a) = df
df
(a) =
dx dx
x=a
ou ainda f ′ (a) = y ′ (a) = dy
(a) , se y = f(x)
dx
• Podemos considerar a função f ′ : x ↦→ f ′ (x) definida em todos os pontos x ∈ X onde
existir f ′ (x) . f ′ é chamada a FUNÇÃO DERIVADA DE f .
Interpretação geométrica
Já vimos, como motivação para o estudo de limites, que se f : X → IR é derivável em
a ∈ X , então f ′ (a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gráfico
de f no ponto (a, f(a)) :
Vimos também que o conhecimento de f ′ (a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos
trazer uma série de informações sobre o comportamento da função f.
Primeiros exemplos:
(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR → IR dada por f(x) = c ∀ x ∈ IR .

40 CAPÍTULO 1
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x 3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g ′ (2) , por exemplo:
Exercício:
(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x 3 então g ′ (x) = 3x 2 ∀ x ∈ IR .
(ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = x n (n = 1, 2, 3, . . .) então f ′ (x) = nx n−1 .
(C) Seja f : IR → IR dada por f(x) = sen x .
Exercício: Obtenha a derivada de g : IR → IR dada por g(x) = cos x .
(D) Seja u : IR → IR dada por u(t) = e t (função exponencial na base e).

A Derivada 41
(E) Seja f : IR → IR dada por f(x) = |x| .
(F) Seja g : IR − {0} → IR dada por g(x) = 1
x 4 = x−4 .
Exercício: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x −n (n = 1, 2, 3, . . .)
então g ′ (x) = −nx −n−1 ∀x = 0 .
(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR → IR dada por u(t) = a t (função exponencial na base a).

42 CAPÍTULO 1
1.6 Derivadas e continuidade
Teorema 1.14. Se f : X → IR é DERIVÁVEL em a ∈ X , então f é CONTÍNUA em a.
De fato:
Se f é derivável em a ∈ X , então existe o limite lim
x→a
Existe f(a) (pois a ∈ X).
f(x) − f(a)
Se x = a , temos: f(x) − f(a) =
· (x − a) .
x − a
Como lim
x→a
f(x) − f(a)
x − a
lim f(x) − f(a) = lim
x→a x→a
f(x) − f(a)
x − a
= f ′ (a) e lim
x→a (x − a) = 0 , segue que
f(x) − f(a)
x − a
Logo lim
x→a f(x) = f(a) e portanto f é contínua no ponto a .
Algumas conseqüências:
= f ′ (a) .
· lim
x→a (x − a) = f ′ (a) · 0 = 0
• São contínuas em todos os pontos de seus domínios as funções:
f : IR − {0} → IR dada por f(x) = 1
xn (n = 1, 2, 3. . . .) ,
g1 : IR → IR dada por g1(x) = sen x , g2 : IR → IR dada por g2(x) = cos x ,
u : IR → IR dada por u(t) = a t (a > 0) , pois são todas deriváveis em todos os pontos de
seus domínios.
• Se uma determinada função é descontínua
em algum ponto de seu domínio, então ela não é
derivável neste ponto de descontinuidade.
• CUIDADO! Não podemos garantir a recíproca do teorema anterior, ou seja, podemos
ter uma função que é contínua mas não é derivável em determinados pontos.
Exemplo: f(x) = |x| é contínua no ponto 0 ( lim
x→0 |x| = 0 = f(0) ), mas já vimos que ∄ f ′ (0) .

A Derivada 43
1.7 Regras de derivação
Teorema 1.15. Se f , g : X → IR são deriváveis em a ∈ X , então:
(a) Para cada constante c ∈ IR , (cf) : X → IR é derivável em a e (cf) ′ (a) = c · f ′ (a) ;
(b) f ± g são deriváveis em a e (f ± g) ′ (a) = f ′ (a) ± g ′ (a) ;
(c) (f · g) é derivável em a e (f · g) ′ (a) = f ′ (a).g(a) + f(a).g ′ (a) ;
(d) (f/g) é derivável em a se g(a) = 0 e (f/g) ′ (a) = f ′ (a).g(a) − f(a).g ′ (a)
[g(a)] 2
Exemplos:
(A) Para cada função f dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada)
1) f : IR → IR dada por f(x) = 6x 3 − 3x 2 − x + 7 .
2) f : IR → IR dada por f(t) =
6t − 10
t 2 + 5 .
3) f : IR − Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f(x) = tg x .
Exercício: Obtenha d d d
ctg x , sec x , csc x
dx dx dx
4) f : IR → IR dada por f(u) = e u (u 3 + 3 cos u) .
.

44 CAPÍTULO 1
5) f : IR → IR dada por f(t) = sen 2t .
6) f : IR − {0} → IR dada por f(x) = 1
x n = x−n (n = 1, 2, 3, . . .) .
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = 4 − x 2 .
1) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico de g e que passam pelos pontos:
A(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) .
2) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de g e que é paralela à reta y = 2x .

A Derivada 45
3) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto A(1, 3) .
4) Em que ponto a tangente ao gráfico é “horizontal”? (tem coeficiente angular 0)
5) Onde o coeficiente angular da tangente é positivo ?
6) Onde o coeficiente angular da tangente é negativo ?
A Regra da Cadeia - Derivadas de funções compostas
Teorema 1.16. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e
a composta (g ◦ u) : X → IR está bem definida:
Dado a ∈ X , se u é derivável em a (existe u ′ (a)) e g é derivável em b = u(a) (existe
g ′ (b) = g ′ (u(a)) ), então a composta (g ◦ u) : X → IR é derivável em a ∈ X em temos ainda:
(g ◦ u) ′ (a) = g ′ (b) · u ′ (a) = g ′ (u(a)) · u ′ (a)
Quanto à função derivada (g◦u) ′ : x ↦→ (g◦u) ′ (x) , escrevemos (g◦u) ′ (x) = g ′ (u(x))·u ′ (x)
para todo x onde existirem as derivadas.

46 CAPÍTULO 1
Exemplos:
Para cada função f : IR → IR dada abaixo, obtenha f ′ (onde existir a derivada):
(A) f dada por f(x) = cos(x 3 + 1) .
(B) f dada por f(t) = (4t 3 − t 2 + 3t − 2) 2 .
(C) f dada por f(x) = (5x 2 − 2x + 1) −3 .
(D) f dada por f(w) = (2w 2 − 3w + 1)(3w + 2) 4 .
(E) f dada por f(t) = e kt , k = 0 (constante).

A Derivada 47
(F) f dada por f(t) = sen 2t .
(G) f dada por f(t) = cos 5 t .
(H) f dada por f(x) = e (x2 ) .
(I) f dada por f(w) = (e w − sen w) 2 .
(J) f dada por f(t) = e π cos(2t3 ) .

48 CAPÍTULO 1
Derivadas de funções inversas
Teorema 1.17. Seja f : I (intervalo) → J (intervalo) uma função INVERTÍVEL (bijetora
= injetora e sobrejetora) e CONTÍNUA (em todos os pontos de seu domínio I).
Sua inversa g : J → I é contínua em todos os pontos de J.
Mais ainda:
Se f é derivável em a ∈ I e f ′ (a) = 0 , então g é derivável em b = f(a) e podemos
obter g ′ (b) através da Regra da Cadeia.
Exemplos:
(A) Derivada da função logarítmica na base e:
Exercício: Fixado a > 0 , a = 1 , obtenha g ′ (x) se g : (0, +∞) → IR é dada por
g(x) = log a x
Resposta: g(x) = log a x , x ∈ (0, +∞) ⇒ g ′ (x) = 1
x ln a
∀ x > 0 .

A Derivada 49
(B) Raízes:
(C) Funções trigonométricas e suas inversas:
Exercício:
(a) Se g : [−1, 1] → [0, π] é dada por g(x) = arc cos x , mostre que
g ′ 1
(x) = −√
1 − x2 ∀ x ∈ (−1, 1)

50 CAPÍTULO 1
(b) Se h : IR → (−π/2, π/2) é dada por h(x) = arc tg x , mostre que
1.8 Derivação implícita
h ′ (x) = 1
∀ x ∈ IR
1 + x2 Seja f : [−1, 1] → IR a função dada por f(x) = √ 1 − x 2 para todo x ∈ [−1, 1] .
Pondo y = f(x) , temos:
y = √ 1 − x 2
⇓
y 2 = 1 − x 2 , y ≥ 0
⇓
(∗) x 2 + y 2 = 1 (y ≥ 0)
A equação (*) acima estabelece uma relação entre x e y = f(x) . Juntamente com a
restrição y ≥ 0 ela define bem a função f. Por isso dizemos que f ESTÁ IMPLICITAMENTE
DEFINIDA POR (*).
Tendo em mente que y = f(x) , ou seja, y é função de x , é fácil ver que a equação (*)
estabelece a igualdade entre x 2 + f(x) 2 e a função constante e igual a 1. Podemos pensar
portanto em DERIVAR EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x.
Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) é derivável e tomando o cuidado de lembrar
que y = f(x) , ou seja, y 2 é uma composição de funções e DEVEMOS USAR A REGRA
DA CADEIA:
x 2 + y 2 = 1
⇓
2x + 2yy ′ = 0
⇓
(∗∗) y ′ = − x
y
Lembrando que y = f(x) = √ 1 − x 2 , temos:
f ′ (x) = y ′ = −
(y = 0)
x
√ , x ∈ (−1, 1)
1 − x2

A Derivada 51
Possíveis vantagens da derivação implícita:
• Derivar a equação (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar
obter a derivada através da expressão explícita de f.
• Uma equação em x e y pode definir implicitamente várias funções e, caso isto ocorra,
a derivação implícita serviria para todas elas.
Exemplos:
(A) Admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f(x) = ln x é derivável, obtenha f ′ (x) por
derivação implícita.
(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f(x) = x α seja
derivável, use logarítmos para obter f ′ (x) por derivação implícita.
(C) Obtenha a equação da reta tangente à curva x2
4 + y2 = 1 no ponto (1, − √ 3 /2) .
(D) Seja g : (0, +∞) → IR dada por g(x) = log a x (a > 0, a = 1) . Admitindo que g é
derivável, obtenha g ′ (x) via derivação implícita.

52 CAPÍTULO 1
(E) Se y = 3
x
x3 + 1 , obtenha y′ (x) por derivação implícita.
Exercícios:
1) O objetivo deste exercício é observar a naturalidade da medida de ângulos em radianos,
no seguinte sentido: alguns cálculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao
invés de graus como unidades de medida.
Quando lidamos com as funções trigonométricas, por exemplo, quase todos os resultados
decorrem do seguinte limite:
lim
x→0
sen x
x
= 1 (Limite Trigonométrico Fundamental)
Ajuste a demonstração que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a
medida dos ângulos em GRAUS.
Calcule também
d sen x
dx
quando x é medido em graus.
2) Para cada função dada abaixo (por questões de economia de espaço, estamos cometendo
um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada (onde existir):
a) f(x) = 10x 2 + 9x − 4 b) h(x) = (2x 2 − 4x + 1)(6x − 5) c) f(w) = 2w
d) f(x) =
h) H(x) =
1
1 + x + x 2 + x 3 e) g(x) = (8x−7) −5 f) s(t) =
2x + 3
√ 4x 2 + 9
i) f(x) = 5 1/x j) f(x) = 6x 2 − 5
x
3 3t + 4
6t − 7
+ 2
3√ x 2
w 3 − 7
g) h(z) = 9z3 + 2z
6z + 1
k) f(w) = 3√ 3w 2

A Derivada 53
l) f(t) = (t 6 − t −6 ) 6 m) f(x) = x m/n m, n = 0 ∈ Z n) h(s) = ln(5s 2 +1) 3 o) f(x) = x ln x
p) g(x) = x2
ln x
q) f(u) = ue −u r) h(s) = s 2 e −2s s) f(x) = e x ln x t) g(w) = ln
u) f(x) = e cos 2x v) g(x) = x sen x w) h(x) = ln tg x x) f(w) = ln cos 2 3w
y) f(x) =
arc tg x
x 2 + 1
z) f(x) =
e 2x
arc sen 5x
e w + 1
e w − 1
3) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 2x 3 + 4x 2 − 5x − 3 no ponto
P (−1, 4).
4) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 3x 2 + 4x − 6 e tal que:
(a) Essa tangente seja paralela à reta 5x − 2y − 1 = 0 ;
(b) Seja tangente ao gráfico no ponto P (1, 1) .
5) Obtenha a equação da reta que passa por P (3, 1) e é tangente ao gráfico de
y = 4
x
6) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = (x − 1) 4 no ponto P (2, 1) .
7) Determine as equações da tangente e da normal ao gráfico de y = 8 sen 3 x no ponto
P (π/6, 1) .

54 CAPÍTULO 1
Coletânea de provas anteriores (1):
Questão 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI-
CANDO:
(a) lim
x→1/ √ 2
(d) lim
y→0
x 5 − (1/ √ 2) 5
e 7y − 1
sen y
x − (1/ √ 2)
(e) lim
x→0
(b) lim
x→−2
(x − 1)(x + 2)
x 2 + 4x + 4
(1 − sec x). ctg x. cos x
x
Questão 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) =
(a) Discuta a CONTINUIDADE de f .
(b) A equação f(x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE.
(c) lim
x→3
x 2 − 9
x − 3
x 5 + x 3 + 2x 2 + 3 se x < 0
−x + 2 se x ≥ 0
(c) Responda se f é derivável em x = 0. Se for, obtenha a derivada f ′ (0). Se não for,
justifique.
Questão 3: (10 pts) Faça UM dos ítens abaixo:
(a) Se f(x) = cos x ∀x ∈ IR , mostre (via definição) que f ′ (x) = − sen x ∀x ∈ IR .
(b) Se g(x) = 5 x ∀x ∈ IR , mostre (via definição) que g ′ (x) = 5 x . ln 5 ∀x ∈ IR .
Questão 4: (40 pts) Para cada função dada abaixo (por questões de economia de espaço,
estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada
(onde existir a derivada), indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, a derivada
nos pontos solicitados:
(a) f(x) = (3x − 1).(2x + 1) 5 .
(b) g(w) = 3√ 3w − 1 = (3w − 1) 1/3 . Obtenha ainda, em particular, g ′ (3).
(c) h(s) = π. sec s = π
cos s . Obtenha ainda, em particular, h′ (0).
(d) f(t) = e (3t2 −t) . Obtenha ainda, em particular, f ′ (1/3).
(e) f(x) = ln( sen 4 2x) .
Questão 5: (10 pts) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f : IR → (−2π, 2π)
dada por f(x) = 4. arc tg x no ponto A(1, π) .

A Derivada 55
Coletânea de provas anteriores (2):
Questão 1: (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI-
CANDO:
(a) lim
x→3
(d) lim
x→0
x 2 − 6x + 9
(x + 1)(x − 3)
sen 3 x
5x(1 − cos x)
(b) lim
x→ √ 3
(e) lim
y→0
π √ 3 − πx
x3 − 3 √ 3
1 − e2y Questão 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) =
3
y
(c) lim
x→π/2
x − π/2
cos x
x 3 − x − 3 se x < 2
5 − x se x ≥ 2
(a) Onde f é contínua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2)
(b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe
x tal que f(x) = 0 ? JUSTIFIQUE.
(c) Responda se f é derivável em a = 2. Se for, obtenha a derivada f ′ (2). Se não for,
justifique.
Questão 3: (8 pts) Faça UM dos ítens abaixo:
(a) Seja f(x) = sen x ∀x ∈ IR . Obtenha (via definição) f ′ (2π/3) .
(b) Se g(x) = arc tg x ∀x ∈ IR , prove que g ′ (x) = 1
∀x ∈ IR .
1 + x2 Questão 4: (12 pts) Considere f : IR → IR dada por f(x) = e −2x .
(a) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ?
(b) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ?
Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao
omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça
ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados:
(a) f(x) = 2x2
(x − 4) 2 . Obtenha ainda, em particular, f ′ (2).
(b) h(s) =
ctg s
√ 2 =
cos s
√ 2 · sen s . Obtenha ainda, em particular, h ′ (π/4).
(c) g(t) = (2t − 1) 3 · e (t2 +2t) . Obtenha ainda, em particular, g ′ (0).
(d) f(w) = ln (5w 2 + 2 + cos w) . Obtenha ainda, em particular, f ′ (0).
(e) g(y) = arc tg ( √ y − 1 ) .

56 CAPÍTULO 1
Coletânea de provas anteriores (3):
Questão 1: (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):
3x − 3 √ 2
x6
sen πy
x
(b) lim
(c) lim
− 8
y→0 y
x→1
2 − 1
(1 − x) 3
(a) lim
x→ √ 2
(d) lim
x→−π
1 + cos x
x + π
(e) lim
x→0
e x + sen 2 x − 1
x
Questão 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) =
(a) Responda se f é contínua em a = 3 . (JUSTIFIQUE).
2x + 1 se x ≤ 3
−x 2 + 8x − 8 se x > 3
(b) f é derivável em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f ′ (2). Se não for, justifique.
(c) Sabendo que f é crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10, +∞) , podemos
afirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f(xM) ≥ f(x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE)
Questão 3: (8 pts) Faça UM dos ítens abaixo:
(a) Seja f(x) = 1
x 3 ∀x = 0 . Obtenha, via definição, f ′ (1) .
(b) Se g(x) = arc cos x ∀x ∈ [−1, 1] , prove que g ′ 1
(x) = −√
1 − x2 Questão 4: (12 pts) Considere f : IR → IR dada por f(x) =
arc tg x
π
∀x ∈ (−1, 1) .
(a) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ?
(b) Qual a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto B( √ 3 , 1/3) ?
Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao
omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça
ainda, quando solicitado, o que se pede:
(a) f(x) = x3
e 2x . Responda: Para quais valores de x temos f ′ (x) = 0 ?
(b) h(s) = sen (3s 2 − s) + 2 (s2 +3s) . Obtenha ainda, em particular, h ′ (0).
(c) g(w) = tg w · ln(3 − w 2 ) . Obtenha ainda, em particular, g ′ (0).
(d) v(t) = s(t)2
3t
(existe s ′ (t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s ′ (1) = 2, obtenha v ′ (1) .
(e) u(y) = 4 2y 2 + 5 + 4 cos y = (2y 2 + 5 + 4 cos y) 1/4 .
.

A Derivada 57
Coletânea de provas anteriores (4):
Questão 1: (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):
3 x − 3
(a) lim
(c) lim
x→3
x→0
(d) lim
y→0
27 − x 3 (b) lim
x→−1
sen 7y + cos πy − 1
y
x 3 + 2x 2 + x
x + 1
(e) lim
x→0
1 − cos x
√ 5 · x · sen x
Questão 2: (10 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) =
(a) Responda se f é contínua em a = −1 . (JUSTIFIQUE).
e sen x − 1
2x
x + 1 se x < −1
1 + sen (x + 1) se x ≥ −1
(b) f é derivável em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f ′ (−1). Se não, justifique.
(c) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , é possível afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre
a e b com f(c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta.
Questão 3: (8 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) = 5√ x ∀ x ∈ IR .
Mostre, via definição, que ∄ (não existe) f ′ (0) .
Prove (podendo usar que existe f ′ (x) para todo x = 0 ) que f ′ (x) = 1
5 5√ x 4
∀ x = 0 .
Questão 4: (12 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) = e (2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se
existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(1, 0)
Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao
omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça
ainda, quando solicitado, o que se pede:
(a) h(s) = 3
2 s
1 + s2 . Obtenha ainda, em particular, h′ (1).
(b) v(t) = ln 2 · log 1 (3t
2
2 + 1) . v ′ (1) é positivo, negativo ou zero ? Obtenha v ′ (1) para
justificar.
(c) f(x) = x 2 · ln x − x2
2 . Responda: Para quais valores de x temos f ′ (x) = x ?
(d) g(w) = csc2 1
w =
sen 2w . Obtenha ainda, em particular, g′ (π/4).
1
(e) u(y) = tg arc tg . Obtenha ainda, em particular, u
y
′ ( √ 3 ) .

58 CAPÍTULO 1
Coletânea de provas anteriores (5):
Questão 1: (24 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE):
(a) lim
x→ √ 3
x 3 − 3 √ 3
4x − 4 √ 3
Questão 2: (12 pts)
(b) lim
y→0
e 2y − 1
sen (3y)
(c) lim
x→−1
x 3 + x 2 − x − 1
x 3 − x
(d) lim
x→π/2
1 − sen x
x − (π/2)
sen [π(x − 1)]
(a) Seja f : IR → IR uma função tal que f(x) = ∀ x = 1 . f pode ser
x − 1
contínua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se
não, JUSTIFIQUE.
|x − 1|
(b) Seja g : IR → IR uma função tal que g(x) = ∀ x = 1 . g pode ser contínua
x − 1
em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não,
JUSTIFIQUE.
Questão 3: (12 pts) Seja f : IR → IR dada por f(x) = 3 · 3√ x ∀ x ∈ IR
Mostre, VIA DEFINIÇÃO, que ∄ (não existe) f ′ (0) e que f ′ (a) = 1
3√ a 2
∀ a = 0 .
Questão 4: (12 pts) (a) A reta 3y+8x+1 = 0 é NORMAL ao gráfico de uma certa função
f : IR → IR no ponto A(1, −3) (pertencente ao gráfico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO)
f ′ (1) .
(b) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gráfico de
g(x) = e (x2 +6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao gráfico de g) ? (JUSTIFIQUE)
Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir
os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda
o que se pede:
(a) f(x) = x · (ln 5 − 1 + ln x) . Obtenha ainda, em particular, f ′ (2) .
(b) h(θ) = ( tg θ + 1) 2 . Obtenha ainda, em particular, h ′ (π/3).
(c) g(w) = ln(w 2 − w) + 3(3w2 −w 3 )
(d) v(t) =
sen [s(t)]
t
ln 3
. Obtenha ainda, em particular, g ′ (2).
(existe s ′ (t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = π/2 e s ′ (2) = e, obtenha v ′ (2) .
(e) u(y) = 3 · 3√ arc tg y . Obtenha ainda u ′ (1) e responda se u ′ (1) é maior ou menor
que 1 (mostre as contas).

A Derivada 59
Respostas de exercícios
• Página 32:
Exercício 2)
a) 6 b) 8
9
c)
√ 2
4
d) 1
32
e) −9 f) 0 g) 1
7
k) −2 l) 12 m) 0 n) ∄ (não existe) o) 1 p) 3
5
s) 4 t) −1 u) 0 v) 1
2
• Página 34:
w) ln 3 x) 12
Exercício 1) ∄ lim
x→1 f(x) , ∄ lim
x→1 g(x) , lim
x→1 (f.g)(x) = 4
h) 1
2
q) 1
3
i) 0 j) − 1
8
Exercício 2) Faça a mudança de variáveis x − a = h e aplique o Teorema sobre limites
de funções compostas !
Exercício 3)
(a) f ′ 1(−5) = mt−5 = 3
(b) f ′ 2(3) = mt3 = −6
(c) f ′ √
3
3(π/6) = mt = π/6 2
(d) f ′ 4(π/6) = mt = − π/6 1
2
(e) f ′ 5(2) = mt2 = e2 (f) f ′ 6( √ 2) = mt √ 2
Exercício 4)
(a) f ′ 1(a) = 3
(b) f ′ 2(a) = −2a
(c) f ′ 3(a) = cos a
(d) f ′ 4(a) = − sen a
(e) f ′ 5(a) = e a
(f) f ′ 6(a) = − 1
a 2
= − 1
2
r) ∄

60 CAPÍTULO 1
• Páginas 36-37:
Exercício 2) Contínua em...
a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos: lim
x→16 −
b) ... (0, +∞) . Em a = 0 temos: ∄ lim f(x)
x→0 +
√ 16 − x = 0 = f(16)
c) ... IR − {−1} . Em a = −1 temos: ∃ lim f(x) = 1/3 = f(−1)
x→−1
• Páginas 52-53:
Exercício 1) lim
x→0
sen x
x
= π
180
e
d sen x
dx
= π cos x
180
(se x é dado em GRAUS).
Exercício 2) a) f ′ (x) = 20x + 9 ∀ x ∈ IR b) h ′ (x) = 36x 2 − 68x + 26 ∀ x ∈ IR
c) f ′ (w) = −4w3 − 14
(w3 − 7) 2 ∀ w = 3√ 7 d) f ′ (x) = − (3x2 + 2x + 1)
(1 + x + x2 + x3 ∀ x = −1
) 2
e) g ′ (x) = −40(8x − 7) −6 ∀ x = 7
8
g) h ′ (z) = 108z3 + 27z 2 + 2
(6z + 1) 2
∀ z = − 1
6
f) s ′ 135(3t + 4)2
(t) = −
(6t − 7) 4
h) H ′ (x) =
18 − 12x
(4x 2 + 9) 3
∀ t = 7
6
i) f ′ (x) = − 1
5x 5√ x ∀ x = 0 j) f ′ (x) = 12x + 5
−
x2 4
3x 3√ ∀ x = 0
x2 k) f ′ (w) = 2
3√ 9w ∀ w = 0 l) f ′ (t) = 6(t 6 − t −6 ) 5 .(6t 5 + 6t −7 ) ∀ t = 0
m) f ′ (x) = m
n
· x
m
n
− 1
∀ x > 0 se n é par
∀ x = 0 se n é ímpar
o) f ′ (x) = ln x + 1 ∀ x > 0 p) g ′ (x) =
2x ln x − x
(ln x) 2
n) h ′ (s) = 30s
5s 2 + 1
∀ x > 0
q) f ′ (u) = (1 − u) · e −u ∀ u ∈ IR r) h ′ (s) = (s − s 2 ) · 2e −2s ∀ s ∈ IR
s) f ′ (x) = x x (ln x + 1) ∀ x > 0 t) g ′ (w) = −2ew
e 2w − 1
u) f ′ (x) = −2ecos 2x · sen 2x ∀ x ∈ IR v) g ′ sen x (x) = x
w) h ′ (x) =
y) f ′ (x) =
1
sen x cos x
1 − 2x arc tg x
(x 2 + 1) 2
∀ w = 0
cos x ln x +
∀ x ∈ IR
sen x
x
se tg x > 0 x) f ′ (w) = −6 tg 3w se cos 3w = 0
∀ x ∈ IR
∀ s ∈ IR
∀ x > 0

A Derivada 61
z) f ′ (x) = 2e2x · arc sen 5x · √ 1 − 25x 2 − 5e 2x
√ 1 − 25x 2 · ( arc sen 5x) 2
Exercício 3) y = −7x − 3
Exercício 4) a) y = 5 99
x −
2 16
Exercício 5) y = −x + 4 ou y = −1
9
Exercício 6) y = − x
4
+ 3
2
b) y = 10x − 9
x + 4
3
∀ x ∈
Exercício 7) tangente: y = 3 √
3 x + 1 − π√
3
2
√
3
normal: y = − x + 1 +
9 π√
3
54
• Página 54: Coletânea 1
− 1
5
Questão 1) (a) 5/4 (b) ∄ (c) √ 6 (d) 7 (e) −1/2
Questão 2) (a) f é contínua em todo a = 0 e não é contínua em a = 0 .
(b) Como a função f é contínua no intervalo [−2, −1] e f(−2) < 0 < f(−1) , temos
então pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO que existe x entre −2 e −1 tal que
f(x) = 0 .
(c) f não pode ser derivável em x = 0 pois f não é contínua neste ponto.
Questão 4) (a) f ′ (x) = (2x + 1) 4 (36x − 7) ∀ x ∈ IR
(b) g ′ (w) =
1
3 (3w − 1) 2
∀ w = 1/3 e g ′ (3) = 1/4
(c) h ′ (s) = π. tg s. sec s se cos s = 0 e h ′ (0) = 0
(d) f ′ (t) = e 3t2 −t · (6t − 1) ∀ t ∈ IR e f ′ (1/3) = 1
(e) f ′ (x) = 8 ctg 2x se sen 2x = 0
Questão 5) y = 2x + (π − 2)
, 1
5

62 CAPÍTULO 1
• Página 55: Coletânea 2
Questão 1) (a) 0 (b) − π
9
Questão 2) (a) f é contínua em todo a ∈ IR .
(c) −1 (d)
2
5
(e) − 3√ 2
(b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a função é contínua e “muda de sinal”.
O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO nos garante que sob estas condições a função
assume o valor 0 (zero) nestes intervalos.
(c) f não é derivável em a = 2 (apesar de ser contínua neste ponto).
Questão 4) (a) y = −2x + 1 (b) y = − 1
1 + ln 4
x +
2 4
Questão 5) (a) f ′ (x) = −16x
(x − 4) 3 ∀ x = 4 e f ′ (2) = 4
(b) h ′ (s) = − csc2 s
√ 2
se sen s = 0 e h ′ (π/4) = − √ 2
(c) g ′ (t) = (2t − 1) 2 · e t2 +2t · [6 + (2t − 1)(2t + 2)] ∀ t ∈ IR e g ′ (0) = 4
(d) f ′ (w) =
(e) g ′ (y) =
10w − sen w
5w 2 + 2 + cos w ∀ w ∈ IR e f ′ (0) = 0
1
2y √ y − 1
• Página 56: Coletânea 3
√
2
Questão 1) (a)
16
se y > 1
(b) √ π (c) ∄ (d) 0 (e) 1
Questão 2) (a) f é contínua em a = 3 (verificados também os limites laterais).
(b) ∃ f ′ f(x) − f(3)
(3) = lim
x→3 x − 3
= 2 ( f é derivável em a = 3 ).
(c) SIM! f é contínua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume aí
máximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se então (com as outras hipóteses)
que f(xM) ≥ f(x) ∀ x ∈ IR .
Questão 4) (a) y = 1
π
Questão 5) (a) f ′ (x) = x2 (3 − 2x)
e 2x
x (b) y = −4π x +
12π √
3 + 1
3
∀ x ∈ IR . f ′ (x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 .

A Derivada 63
(b) h ′ (s) = cos(3s 2 − s).(6s − 1) + 2 (s2 +3s) . ln 2.(2s + 3) ∀ s ∈ IR . h ′ (0) = 3 ln 2 − 1 .
(c) g ′ (w) = ln(3 − w2 )
cos 2 w
(d) v ′ (t) = 2t · s(t) · s′ (t) − s(t) 2
3t 2
(e) u ′ (y) =
y − sen y
4 (2y2 + 5 + 4 cos y) 3
• Página 57: Coletânea 4
Questão 1) (a) − 1
3
− 2w tg w
3 − w 2 ∀ cos w = 0 e − √ 3 < w < √ 3 . g ′ (0) = ln 3 .
∀ t = 0 . v ′ (1) = 1 .
∀ y ∈ IR .
(b) 0 (c) 1
2
Questão 2) (a) f não é contínua em a = −1 (∄ lim f(x) ).
x→−1
(d) 7 (e)
(b) f não é derivável em a = −1 (pois não é contínua neste ponto).
(c) NÃO PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2, −1] . Temos:
−1 = f(−2) < 1/2 < f(−1) = 1 mas não existe nenhum c ∈ [−2, −1] tal que f(c) = 1/2 .
Questão 4) y = 2e 2 x − 2e 2 .
Questão 5) (a) h ′ (s) = 2 3 (1 + s 2 ) 2
3(1 + s 2 ) 2 . 3√ s ∀ s = 0 . h′ (1) =
(b) v ′ (t) = −6t
3t2 + 1 ∀ t ∈ IR . v′ (1) = − 3
2
< 0 .
(c) f ′ (x) = 2x ln x ∀ x > 0 . x = f ′ (x) quando x = √ e .
(d) g ′ (w) =
−2 cos w
sen 3 w ∀ sen w = 0 . g′ (π/4) = −4 .
(e) u ′ (y) = − 1
y 2 ∀ y = 0 . u′ ( √ 3 ) = − 1
3 .
• Página 58: Coletânea 5
Questão 1) (a) 9
4
(b) 2
3
(c) 0 (d) 0
3√ 4
6 .
Questão 2) (a) SIM! f(1) = π para que f seja contínua em x = 1 .
1
2 √ 5
(b) NÃO ! g não pode ser contínua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .

64 CAPÍTULO 1
Questão 4) (a) f ′ (1) = 3
8
(b) b = 3e .
Questão 5) (a) f ′ (x) = ln x + ln 5 ∀ x > 0 . f ′ (2) = ln 10 .
(b) h ′ (θ) = 2( tg θ + 1). sec 2 θ ∀ cos θ = 0 . h ′ (π/3) = 8( √ 3 + 1) .
(c) g ′ (w) =
2w − 1
w2 − w + (6w − 3w2 ) · 3 (3w2−w3 ) ′ 3
∀ w < 0 ou w > 1 . g (2) =
2 .
(d) v ′ (t) = cos[s(t)] · s′ (t) · t − sen [s(t)]
t 2
(e) u ′ (y) =
∀ t = 0 . v ′ (2) = − 1
4 .
1
3 ( arc tg y) 2 ·
1
1 + y2 ∀ y = 0 . u′ (1) = 3
2
< 1 .
π2

Capítulo 2
Aplicações da Derivada
2.1 Acréscimos e diferenciais
Consideremos uma função f : X → IR derivável em pontos x ∈ X . Podemos escrever:
f ′ (x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x) − f(x)
∆x
(para cada x onde f for derivável)
∆x é chamado ACRÉSCIMO DE x e representa a variação na variável independente x.
Pondo y = f(x) como variável dependente, temos que ∆y = f(x+∆x)−f(x) representa
a VARIAÇÃO DA FUNÇÃO f (devida ao acréscimo ∆x ) e
f ′ (x) = lim
∆x→0
Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores
∆y
∆x
diferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f ′ (x) .
Então podemos dizer que ∆y/∆x é uma boa aproximação para f ′ (x) quando ∆x é
pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever
ou então, de modo equivalente,
∆y
∆x ≈ f ′ (x) quando ∆x é pequeno
(∗) f(x + ∆x) − f(x) = ∆y ≈ f ′ (x) · ∆x quando ∆x é pequeno
A relação (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximações para a variação da
função, ∆y = f(x + ∆x) − f(x) , através de f ′ (x) · ∆x , com ∆x pequeno !!!
65

66 CAPÍTULO 2
Por exemplo, vamos obter uma aproximação para (0, 98) 4
Portanto, f ′ (x) · ∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esse
importante papel de ser uma boa aproximação para a variação da função f quando ∆x é
pequeno.
f ′ (x) · ∆x será denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo
com x e ∆x).
Escrevemos também dx = ∆x para a chamada diferencial de x.
Geometricamente, temos:
dy = f ′ (x) · ∆x
dx = ∆x

Aplicações da Derivada 67
Exemplos:
(A) Use diferenciais para obter aproximações para:
(a) 3 · (2, 001) 2 − 5 · (2, 001) + 3 (b)
4√
82
(B) A medida de um lado de um cubo é encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade
de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro máximo no cálculo do volume do
cubo.

68 CAPÍTULO 2
(C) A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força F de atração entre duas partículas de
massas m1 e m2 é dada por F = g · m1 · m2
s2 onde g é uma constante e s é a distância entre
as partículas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variação de
s que aumente F em 10% .
(D) À medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha cônica cuja
altura é sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio é de 10 cm, use diferenciais para
aproximar a variação do raio que ocasiona um aumento de 2 cm 3 no volume da pilha.

Aplicações da Derivada 69
Exercícios:
1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01) 4 −3(2, 01) 3 +4(2, 01) 2 −5 ,
3√ 65 , √ 37 , 3 √ 0, 00098 , √ 0, 042 , 5(0, 99) 3/5 − 3(0, 99) 1/5 + 7 ,
1
4√ 15 .
2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) .
3) Use diferenciais para obter uma aproximação para ctg 46 ◦ .
4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da área de uma esfera, quando o raio
varia de 2 a 2, 02 pés.
5) Os lados oposto e adjacente a um ângulo θ de um triângulo retângulo acusam medidas
de 10 pés e 8 pés, respectivamente, com erro possível de 1,5 polegada na medida de 10 pés.
Use a diferencial de uma função trigonométrica inversa para obter uma aproximação do erro
no valor calculado de θ . (Obs.: 1 pé = 12 polegadas)
6) A altura de um cone circular reto é duas vezes o raio da base. A medida encontrada da
altura é de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado
no cálculo do volume do cone.
7) Se l (em metros) é o comprimento de um fio de ferro quando está a t graus de tem-
peratura, então l = 60e 0,00001. t . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l
quando t cresce, de 0 a 10 graus.
8) Em um ponto situado a 20’ (pés) da base de um mastro, o ângulo de elevação do topo
do mastro é de 60 ◦ , com erro possível de 0, 25 ◦ . Obtenha, com auxílio de diferenciais, uma
aproximação do erro no cálculo da altura do mastro.
9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm 3 . Os seis
lados da caixa vão ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o preço do metal que vai
ser usado na fabricação da caixa é de R$ 0,80 por cm 3 , use diferenciais para encontrar o preço
aproximado de todo o metal necessário.
10) A resistência elétrica R de um fio é proporcional ao seu comprimento l e inversamente
proporcional ao quadrado de seu diâmetro d. Suponha que a resistência de um fio, de compri-
mento dado (fixo), seja calculada a partir do diâmetro com uma possibilidade de erro de 2%
∆d
na medida do diâmetro · 100 = 2 . Encontre a possível porcentagem de erro no cálculo
d
do valor da resistência.

70 CAPÍTULO 2
2.2 A Derivada como razão de variação
Variação média:
Sejam f : X → IR e y = f(x) .
A variável y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distância, volume, área,
etc.) que depende da variável independente x, a qual por sua vez representa também uma
quantidade de alguma grandeza.
Já vimos que ∆y = f(x1 + ∆x) − f(x1) é a variação da função, correspondente a uma
variação de x1 a x1 + ∆x (∆x é o chamado acréscimo em x).
Então ∆y
∆x = f(x1 + ∆x) − f(x1)
é a chamada VARIAÇÃO MÉDIA de y por unidade
∆x
de variação de x, quando x varia de x1 a x1 + ∆x.
Exemplo: Seja S (em centímetros quadrados) a área de um cubo de aresta x (centímetros).
Encontre a razão de variação média da área por unidade de variação no comprimento da aresta
quando x varia de ... (a) ... 3 a 3, 2 cm (b) ... 3 a 3, 1 cm
Variação instantânea:
Quando fazemos ∆x → 0 no quociente ∆y/∆x
lim
∆x→0
∆y
, o limite (quando existir)
∆x
será a RAZÃO (TAXA) DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA de y por unidade de variação de x
em (no INSTANTE em que) x = x1 .
Mas lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x1 + ∆x) − f(x1)
∆x
= f ′ (x1) (se existir o limite).
Portanto a derivada f ′ (x1) representa a razão (taxa) de variação instantânea de y = f(x)
por unidade de variação de x no instante em que x = x1 .

Aplicações da Derivada 71
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a razão de variação da área do cubo por
variação de centímetro no comprimento da aresta quando x = 3 ?
Definimos ainda a taxa (razão) de VARIAÇÃO RELATIVA de y por unidade de variação
de x em x1 como sendo f ′ (x1)
f(x1)
(proporção da variação instantânea em relação à quantidade
f(x1) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIAÇÃO PERCENTUAL,
dada por f ′ (x1)
f(x1)
Exemplos:
· 100 .
(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm 3 é o
volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre:
(a) A razão de variação média do volume por unidade de variação do raio, quando r varia
de 5 a 5, 1 cm.
(b) A razão de variação instantânea do volume , por unidade de variação do raio, quando
r = 5 e quando r = 5, 1 cm.
(c) As taxas de variação relativas do volume, por unidade de variação do raio, quando r = 5
e quando r = 5, 1.

72 CAPÍTULO 2
(B) O lucro de um depósito de retalhos é de 100y reais quando x reais são gastos diariamente
em propaganda e y = 2500 + 36x − 0, 2x 2 . Use a derivada para determinar se seria vantajoso
que o orçamento diário de propaganda aumentasse, nos seguintes casos:
(a) O orçamento atual é de 60 reais diários;
(b) O orçamento atual é de 100 reais diários.
(C) Em um circuito elétrico, se E é a força eletromotriz, R ohms é a resistência e I amperes
é a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .
Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma razão que é proporcional
ao inverso do quadrado de I.
Se E = 100 volts, qual a taxa de variação de I por unidade de variação de R quando
R = 20 ohms ?
(D) A temperatura T (em graus Celsius) de uma solução no instante t (minutos) é dada por
T (t) = 10 + 4t − 3
, com 1 ≤ t ≤ 10 .
t + 1
Qual a taxa de variação de T por unidade de variação de t quando t = 2 , t = 5 , ou t = 9 ?

Aplicações da Derivada 73
(E) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p é a pressão, V é o volume e
c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressão seja dada por 20 + 2t
u.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume é de 60 cm 3 , determine a taxa de variação do
volume por unidade de variação do tempo quando t = 5.
Um caso particular: interpretação cinemática da Derivada
Suponhamos agora que s = s(t) represente a posição de um objeto ao longo de uma linha
reta, como função do tempo t:
Se em t1 o objeto estava em s(t1) e em t1 + ∆t estava em s(t1 + ∆t) , a variação total da
posição do objeto entre os instantes t1 e t1 + ∆t é dada por
∆s = s(t1 + ∆t) − s(t1)
A taxa de variação média de s por unidade de variação de tempo, entre o t1 e t1 + ∆t é
s(t1 + ∆t) − s(t1)
∆t
Essa é a VELOCIDADE M ÉDIA com que o objeto se movimentou de s(t1) até s(t1 + ∆t)
entre os instantes t1 e t1 + ∆t.
A razão de variação instantânea da posição s do objeto por unidade de variação do tempo,
no instante t1 é dada por
s ′ (t1) = lim
∆t→0
s(t1 + ∆t) − s(t1)
∆t
Essa é a VELOCIDADE INSTANT ÂNEA do objeto no instante t = t1 .

74 CAPÍTULO 2
Se s ′ (t1) > 0 então a taxa de variação em t1 é positiva, ou seja, s está aumentando em t1,
ou melhor, o objeto está se movimentando no sentido adotado como positivo.
Se s ′ (t1) < 0 , o movimento em t1 é contrário ao sentido positivo.
Se s ′ (t1) = 0 então o objeto está parado no instante t1.
Exemplos:
(A) Um foguete é lançado verticalmente para cima e está a s m do solo t s após ter sido lançado
(t ≥ 0), sendo s(t) = 160t − 5t 2 (o sentido positivo é para cima). Determine:
(a) A velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 4 s.
(b) A velocidade instantânea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s.
(c) Em t = 20 s, o foguete está subindo ou caindo ?
(d) Quanto tempo leva o foguete para alcançar a sua altura máxima ?
(e) Qual a altura máxima atingida pelo foguete ?
(B) Uma pedra é solta de um edifício de 80 m de altura e a equação do movimento é dada por
s(t) = −5t 2 (t em segundos, t ≥ 0, orientação positiva para cima).
(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo após ser lançada ?
(b) Quanto tempo leva a pedra para alcançar o solo ?
(c) Qual a velocidade (instantânea) da pedra ao atingir o solo ?
(d) Qual a velocidade média entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ?

Aplicações da Derivada 75
Obs.: Assim como definimos a velocidade como variação da posição por unidade de variação
do tempo, definimos a ACELERAÇÃO como sendo a variação da velocidade (olhando v = v(t))
por unidade de variação do tempo.
(C) A posição s de um objeto em movimento retilíneo é dada por s(t) = 2t 3 − 15t 2 + 48t − 10 ,
com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a aceleração quando a velocidade é
de 12 m/s. Determine a velocidade quando a aceleração é de 10 m/s 2 .
(D) Um bombardeiro está voando paralelo ao chão a uma altitude de 2 km e a uma veloci-
dade constante de 4, 5 km/min. A que razão varia a distância entre o bombardeiro e o alvo
exatamente 20 segundos após o bombardeiro passar sobre o alvo ?

76 CAPÍTULO 2
Exercícios:
1) O volume de um balão esférico (em pés cúbicos) t horas após 13:00 é dado pela equação
V (t) = 4
3 π(9−2t)3 , com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a variação média do volume por unidade de variação
de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de variação do volume por unidade de variação de
tempo às 16:00 ?
2) Suponha que, t segundos após ter começado a correr, o pulso de um indivíduo tenha
sua taxa dada por P (t) = 56 + 2t 2 − t (batimentos por minuto), com 0 ≤ t ≤ 7 . Determine a
variação média de P por unidade de variação de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha
a taxa de variação de P por unidade de variação de t em t = 2, t = 3, t = 4.
3) O iluminamento I (em u.i. - “unidades de iluminamento” ) de uma fonte de luz é
diretamente proporcional à intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado
da distância d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distância de 2 pés,
determine a taxa de variação de I por unidade de variação de d, quando d = 20 pés.
4) A relação entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala
Celsius, é dada por C = 5/9(F − 32). Qual a taxa de variação de F em relação a C ?
5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de
largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto
e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em função de s e determine a taxa
de variação de V em relação a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume possível,
responda se é conveniente ou não aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.
Obs.: Lembremos que a ACELERAÇÃO de um objeto em movimento retilíneo é a taxa
de variação da velocidade v por unidade de variação do tempo t.
6) Para cada uma das situações abaixo, define-se a posição s de um objeto em movimento
retilíneo como função do tempo t. Determine a velocidade e aceleração em cada instante
t e tente descrever o movimento (posição inicial, velocidade inicial, direções do movimento,
quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados:
(a) s(t) = 3t 2 −12t+1 , t ∈ [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t ∈ [1, 4] (c) s(t) = 24+6t−t 3 , t ∈ [−2, 3]
(d) s(t) =
1 − e−3t
3
, t ∈ [0, 2] (e) s(t) = 3 cos πt , t ∈ [0, 2] (f) s(t) = t 2 −4 ln(t+1) , t ∈ [0, 4]
7) Lança-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pés após t segs
dada por s(t) = 144t − 16t 2 . Obtenha a velocidade e a aceleração iniciais e no instante t = 3
s (descreva o que ocorre). Qual a altura máxima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ?

Aplicações da Derivada 77
2.3 Taxas relacionadas
Em alguns problemas, podemos ter várias grandezas relacionadas através de equações.
Exemplos:
(A) Uma escada com 5 m de comprimento está inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua
base, apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a uma velocidade de 0,5
m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a
base está a 4 m da parede ?
(B) Infla-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de 5 dm 3 /min. A
que razão o diâmetro do balão cresce quando o diâmetro é de 12 dm ?

78 CAPÍTULO 2
(C) Um tanque de água com a forma de cone invertido e altura igual ao diâmetro está sendo
enchido à razão de 3 m 3 /s. Qual a velocidade com que o nível de água sobe, quando a parte
cheia com água tem 2 m de altura ?
(D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta está girando com uma
velocidade de 3 rpm (rotações por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na região
costeira quando o ângulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol à praia é de π/4 rad ?

Aplicações da Derivada 79
Exercícios:
1) Um papagaio de papel está voando a uma altura de 40m. Um garoto está empinando
o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma razão de 3m/seg. Se a linha
está esticada, com que razão deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta é
50m ?
2) Um carro que viaja à razão de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o
carro está a 120m do cruzamento, um caminhão que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento.
O carro e o caminhão estão em estradas que formam ângulos retos uma com a outra. Com
que rapidez separam-se o carro e o caminhão 2 segundos depois que o caminhão passou pelo
cruzamento ?
3) De um orifício em um recipiente vaza areia, que forma um monte cônico cuja altura é
sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta à razão de 6 pol/min, determine a taxa de
vazamento da areia quando a altura da pilha é 10 pols.
4) Uma lâmpada colocada em um poste está a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura
caminha afastando-se da lâmpada à razão de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade
de sua sombra no instante em que ele está a 4m do poste ? Com que rapidez se alonga sua
sombra neste instante ? Qual velocidade é a maior, a da extremidade da sombra ou a de
alongamento da sombra ? O que ocorre em outros instantes ?
5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p é a pressão, v é o volume e c
uma constante. Em certo instante, o volume é de 75 pols 3 , a pressão 30 lbs/pol 2 e a pressão
decresce à razão de 2 lbs/pol 2 por minuto. Qual a taxa de variação do volume neste instante ?
6) Um ponto P (x, y) se move sobre o gráfico da equação y = ln(x 3 ) (x > 0) e sua abscissa
x varia à razão de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y também varia a uma razão fixa ?
Qual a taxa de variação da ordenada no ponto (e, 3) ?
7) Quando duas resistências elétricas R1 e R2 são ligadas em paralelo, a resistência total
R é dada por 1/R = (1/R1) + (1/R2). Se R1 e R2 aumentam à razão de 0,01 ohms/s e 0,02
ohms/s, respect., qual a taxa de variação de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90
ohms ?
8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu
comprimento aumenta à taxa de 0,005 cm/min e seu diâmetro cresce à razão de 0,002 cm/min.
Qual a taxa de variação do volume quando o comprimento é 40 cm e o diâmetro é 3 cm ?
9) Uma escada com 6 m de comprimento está apoiada em um dique inclinado a 60 ◦ em
relação à horizontal. Se a base da escada está sendo movida horizontalmente na direção do

80 CAPÍTULO 2
dique à razão de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no
dique), quando a base estiver a 4 m do dique ?
10) Um avião voa a uma altura constante de 5000 pés ao longo de uma reta que o levará
diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador
nota que o ângulo de elevação do avião é de 60 ◦ e aumenta à razão de 1 ◦ por segundo, determine
a velocidade do avião neste instante.
11) Um triângulo isósceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o ângulo entre
os lados iguais varia à razão de 2 ◦ por min, com que velocidade varia a área do triângulo
quando θ = 30 ◦ ?
12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais próximo P de uma estrada
retilínea está sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora,
se afastando de P. Determine a taxa de rotação do farol no instante em que o carro está a 1/4
de milha do farol.
13) Uma escada de 5 m de altura está apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior
da escada é puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada
escorrega à razão de 3 m/s, com que velocidade está variando a medida do ângulo entre a
escada e o solo quando a parte inferior da escada está a 3 m da parede ?
14) Um homem num cais está puxando um bote à razão de 2 m/s por meio de uma corda
(esta é a velocidade com que puxa a corda). As mãos do homem estão a 30 cm do nível do
ponto onde a corda está presa no bote. com que velocidade varia a medida do ângulo de
deflexão da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda é
de 50 cm ?
15) Um quadro de 40 cm de altura está colocado numa parede, com sua base a 30 cm
acima do nível dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede à razão
de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do ângulo subtendido pelo quadro a seus olhos,
quando o observador estiver a 1 m da parede ?
16) Despeja-se água num recipiente de forma cônica à razão de 8 cm 3 /min. O cone tem
20 cm de profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Com que velocidade deve
aumentar a profundidade da água no recipiente quando a água estiver a 16 cm do fundo ?
Suponhamos agora que se tenha a informação adicional de que existe um furo no fundo, pelo
qual a água escoa, e que a água está subindo à razão de 1/8π cm/min neste instante (quando
a água está a 16 cm do fundo). Com que velocidade a água está escoando ?

Aplicações da Derivada 81
2.4 Alguns resultados importantes
Pontos críticos, máximos e mínimos:
Definição 2.1. Um ponto c ∈ X é um PONTO CR ÍTICO de f : X → IR quando f ′ (c) = 0
ou não existe f ′ (c) .
Exemplos:
(A) Seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = x 3 − 12x .
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x 3 .
(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = e x .
(D) Seja s : IR → IR dada por s(x) = cos x .
(E) Seja f2 : IR → IR dada por f2(x) = (x + 5) 2 3√ x − 4 .

82 CAPÍTULO 2
Teorema 2.1. Seja f : X → IR uma função. Se c é um ponto de máximo ou mínimo local
de f e c ∈ I (intervalo aberto) ⊂ X então c é um ponto crítico de f, ou seja, f ′ (c) = 0 ou
∄ f ′ (c) .
Conseqüência importante do Teorema 2.1: Se f : [a, b] → IR é uma função contínua,
sabemos (ver Teorema 12 do Capítulo 1) que f assume máximo e mínimo absolutos neste
intervalo, ou seja, existem cM e cm em [a, b] tais que f(cM) ≥ f(x) e f(cm) ≤ f(x) para
todo x ∈ [a, b] .
O Teorema 2.1 nos diz que os candidatos a cM e cm são os pontos críticos de f em (a, b)
juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b] .
Exemplos:
(A) f : [−3, 5] → IR dada por f(x) = x 3 − 12x .

Aplicações da Derivada 83
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x 3 .
Obs.: Este exemplo mostra que não vale a recíproca do Teorema 2.1
(C) (Aplicação) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços
quadrados de 12 dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.
Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo
volume seja máximo.

84 CAPÍTULO 2
O Teorema do Valor Médio para Derivadas:
Teorema 2.2. (Rolle) Se f é contínua em um intervalo limitado e fechado [a, b] , derivável
no intervalo aberto correspondente (a, b) e f(a) = f(b) , então existe (pelo menos um)
c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0 .
⇓
Teorema 2.3. (Teorema do Valor Médio, de Lagrange) Se f é contínua em um intervalo
limitado e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) então existe
(pelo menos um) c ∈ (a, b) tal que f(b)−f(a) = f ′ (c)·(b−a) , ou seja, f ′ f(b) − f(a)
(c) = .
b − a
Principais conseqüências do Teorema do Valor Médio:
Teorema 2.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f contínua em um intervalo limitado
e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) .
(i) Se f ′ (x) > 0 para todo x em (a, b), então f é CRESCENTE em [a, b] .
(ii) Se f ′ (x) < 0 para todo x em (a, b), então f é DECRESCENTE em [a, b] .

Aplicações da Derivada 85
Teorema 2.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável
em (a, b), exceto possivelmente em um ponto crítico c ∈ (a, b) .
(i) Se f ′ (x) > 0 ∀ x ∈ (a, c) e f ′ (x) < 0 ∀ x ∈ (c, b) , então c é ponto de máximo local de f.
(ii) Se f ′ (x) < 0 ∀ x ∈ (a, c) e f ′ (x) > 0 ∀ x ∈ (c, b) , então c é ponto de mínimo local de f.
(iii) Se f ′ (x) > 0 ∀ x = c em (a, b) ou se f ′ (x) < 0 ∀ x = c em (a, b) então c não é nem
máximo nem mínimo local de f.
Exemplos:
(A) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x 3 − 12x ∀ x ∈ IR . Obtenha máximos ou mínimos
locais de g e onde g é crescente ou decrescente.

86 CAPÍTULO 2
(B) Seja f : IR → IR dada por f(x) = x 4 − 4x 2 ∀ x ∈ IR .
(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = x 1/3 (8 − x) ∀ x ∈ IR .
(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = (x + 5) 2 3√ x − 4 ∀ x ∈ IR .
2.5 Concavidade e pontos de inflexão
Derivadas de ordem superior:
Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR → IR dada por f(x) = 2x 3 − 5x 2 + x + 2 .
Para todo x ∈ IR existe f ′ (x) = 6x 2 − 10x + 1 .
Podemos considerar portanto a função f ′ : IR → IR dada por f ′ (x) = 6x 2 − 10x + 1
f ′ (x) − f ′ (a)
e indagar se ela é derivável ou não, ou seja, se existe lim
x→a x − a
a ∈ IR (existindo, f ′′ (a) é chamada a derivada segunda de f em a).
= f ′′ (a) para cada
Como f ′ (neste exemplo) é polinomial, sabemos que existe, ∀ x ∈ IR, f ′′ (x) = 12x − 10
e temos portanto uma nova função f ′′ : IR → IR dada por f ′′ (x) = 12x − 10 ∀ x ∈ IR (f ′′ é
a função derivada segunda de f.
Podemos pensar (novamente) em derivar f ′′ e assim por diante...
(Exemplos)
Obs.: (A) Já interpretamos f ′ como taxa de variação instantânea de y = f(x) por unidade
de variação de x.
Como f ′′ é a derivada de f ′ , então f ′′ é a taxa de variação instantânea de y = f ′ (x) por
unidade de variação de x.
Em resumo: f ′ mede a variação de f ;
f ′′ mede a variação de f ′ ;
f ′′′ mede a variação de f ′′ e assim por diante ...
(B) Vimos também que se s = s(t) representa a posição s de um objeto ao longo de uma
linha reta, como função do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTÂNEA) a taxa
de variação instantânea de s por unidade de variação de t, ou seja, v(t) = s ′ (t) .
Derivando novamente, temos a variação da velocidade v ′ (t) = s ′′ (t) (derivada segunda de
s), a qual chamamos de ACELERAÇÃO no instante t.

Aplicações da Derivada 87
Testes de concavidade:
Teorema 2.6. (Sobre concavidade) Seja f derivável em um intervalo aberto contendo c .
(i) Se existe f ′′ (c) > 0 então no ponto ponto (c, f(c)) o gráfico de f tem a concavidade
voltada para cima.
(ii) Se existe f ′′ (c) < 0 então no ponto ponto (c, f(c)) o gráfico de f tem a concavidade
voltada para baixo.
Exemplos:
(A) Seja f : IR → IR dada por f(x) = x 3 ∀ x ∈ IR .
(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = e x ∀ x ∈ IR .

88 CAPÍTULO 2
(C) Seja h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x ∀ x > 0 .
(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = sen x ∀ x ∈ IR .
(E) Seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = x 3 − 12x ∀ x ∈ IR .
Definição 2.2. (Ponto de inflexão) Um ponto (c, f(c)) do gráfico de uma função f, f contínua
em c, é chamado um PONTO DE INFLEXÃO quando neste ponto a concavidade “muda
de sentido” , ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintes
situações ocorre:
(i) f ′′ (x) > 0 se x ∈ (a, c) e f ′′ (x) < 0 se x ∈ (c, b) ;
(ii) f ′′ (x) < 0 se x ∈ (a, c) e f ′′ (x) > 0 se x ∈ (c, b) .

Aplicações da Derivada 89
Teorema 2.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f é derivável em um intervalo aberto contendo
c e f ′ (c) = 0, temos:
(i) Se f ′′ (c) < 0 então f tem máximo local em c ;
(ii) Se f ′′ (c) > 0 então f tem mínimo local em c .
Obs.: Se f ′′ (c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira).
Exemplo: Seja f1 : IR → IR dada por f1(x) = x 3 − 12x .
Resumindo:
• f ′ mede a variação de f; Sinal de f ′ : crescimento e decrescimento de f;
Teste da Derivada Primeira: máximos e/ou mínimos.
• f ′′ mede a variação de f ′ ; Sinal de f ′′ : concavidade do gráfico de f;
Teste da Derivada Segunda: máximos e/ou mínimos.
2.6 Aplicações em problemas de máximos e/ou mínimos
(A) Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito num triângulo
equilátero de lado a, com dois dos vértices sobre um dos lados do triângulo.

90 CAPÍTULO 2
(B) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de
largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma com-
panhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por km do cabo é 25% mais
caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia ?
(C) Um cartaz de 20 pés de altura está localizado no topo de um edifício de tal modo que
seu bordo inferior está a 60 pés acima do nível do olho de um observador. Use funções
trigonométricas inversas para determinar a que distância de um ponto diretamente abaixo
do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o ângulo entre as linhas de visão do
topo e da base do cartaz.

Aplicações da Derivada 91
Exercícios:
1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 pés cúbicos,
determine as dimensões que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e
aperda de material). Refaça o problema considerando o caso de uma caixa coberta.
2) Determine as dimensões do cone circular reto de volume máximo que pode ser inscrito
numa esfera de raio a.
3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada para
formar uma calha, dobrando-se em ângulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas
polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja máxima ? Refaça o
problema considerando que os lados da calha devam fazer um ângulo de 2π/3 rad com a base.
4) Encontre as dimensões do retângulo de maior área que tem 200 cm de perímetro.
5) Determine o ponto do gráfico de y = x 3 mais próximo do ponto (4, 0).
6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidos
de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (até 600), o preço unitário
tem um desconto igual a US$0,02 vezes o número de encomendas. Qual volume de encomendas
proporciona maior receita para o fabricante ?
7) Às 13:00 horas um navio A está a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte
a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B está navegando rumo oeste a 10 mph, determine o
instante em que a distância entre os dois navios é mínima.
8) Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto B mais próximo numa praia reta. Um
armazém está num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar à razão de 4
km/h e caminhar à razão de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém
no menor tempo possível ?
9) Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito
num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm.
10) José comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir à Copa do Mundo. A TV tem
uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distância dos olhos de José, quando ele estiver
sentado confortavelmente em seu sofá, xingando aqueles milionários que estão jogando ɛ vezes
o que deveriam para ganhar a Copa (ɛ → 0). Sabendo que os olhos de José, ao sentar-se, estão
a 1,5 m de altura do solo e num nível entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura
do solo deve ser colocada a TV para que o ângulo de visão de José seja máximo ?

92 CAPÍTULO 2
11) Corta-se um pedaço de arame de 2 m de comprimento em duas partes. Uma parte
será dobrada em forma de círculo e a outra em forma de quadrado. Como deverá ser cortado
o arame para que: (a) a soma das áreas das duas figuras seja tão pequena quanto possível; (b)
a soma das áreas das duas figuras seja a maior possível.
12) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens
opostas e um rio retilíneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto será construída sob a
água, de A até um ponto C na margem oposta, e o restante à superfície, de C até B. Se o
custo de construção do oleoduto sob a água é quatro vezes o custo da construção à superfície e
sabendo que a região onde está sendo construído o oleoduto não pertence à Bolívia, determine
a localização de C que minimize o custo de construção.
13) O proprietário de um pomar estima que, plantando 24 árvores por are, cada árvore
produzirá 600 maçãs por ano. Para cada árvore adicional plantada por are, haverá uma redução
de 12 maçãs por pé por ano. Quantas árvores deve plantar por are para maximizar o número
de maçãs (por are por ano) ?
14) Um piloto de testes da Fórmula 1 percorre um circuito elíptico plano, de forma que
sua posição, após t vezes 10-segundos, é dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (faça um
esboço da trajetória percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t
é dado por v(t) = s ′ (t) = (−2. sen t, cos t) (tente fazer um esboço). A velocidade (tangencial)
escalar é dada pelo módulo do vetor velocidade: |v(t)|. Supondo que o piloto não é o Rubinho
Barrichello e portanto deve completar pelo menos uma volta no circuito, calcule os pontos
onde o piloto alcança as velocidades máximas e mínimas. (Sugestão: maximizar e minimizar
|v(t)| 2 )
2.7 Aplicações nos esboços de gráficos
Dada uma função f : X → IR , nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para
fazer um esboço do gráfico de f.
Algumas dicas:
1) Obter a derivada primeira f ′ e os pontos críticos (onde f ′ se anula ou não existe);
2) Estudando o sinal de f ′ , obter informações sobre o crescimento/decrescimento de f;
3) Obter a derivada segunda f ′′ e estudar o seu sinal para obter informações sobre a
concavidade do gráfico de f;
4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir

Aplicações da Derivada 93
máximos ou mínimos locais;
5) Obter alguns pontos do gráfico para ajudar no esboço (pontos de máximo ou mínimo,
pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.);
6) Observar o comportamento de f(x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) -
busca de assíntotas horizontais (*);
7) Observar o comportamento de f próxima às descontinuidades - busca de assíntotas
verticais (*).
(*) Veremos estes dois últimos ítens com mais detalhes nas próximas aulas.
Exemplo: Seja f : IR → IR dada por f(x) = 5x 3 − x 5 .
Exercício: Faça um esboço do gráfico de g : [−2, 2] → IR dada por g(x) = e−x2 .

94 CAPÍTULO 2
2.8 Apêndice A : Limites no infinito
Noção básica:
Dada f : X → IR, nos interessa investigar (se possível) o comportamento de f(x) quando
x → ±∞ .
Dizemos que um número real L é o limite de f(x) quando x → +∞ e escrevemos
lim f(x) = L
x→+∞
quando f(x) se aproxima tanto quanto quisermos de L à medida que x cresce indefinidamente,
ou seja, quando x → +∞ .
Neste caso, a reta y = L é chamada uma ASSÍNTOTA HORIZONTAL do gráfico de f.
Analogamente, escrevemos lim f(x) = M ∈ IR quando f(x) se aproxima tanto
x→−∞
quanto quisermos de M à medida que x → −∞ .
Neste caso também y = M é assíntota horizontal do gráfico de f.
Exemplos:
(A) f : [2, +∞) → IR dada por f(x) = 1
x .

Aplicações da Derivada 95
⎧
⎨
4 +
(B) g : (−∞, 3) → IR dada por g(x) =
⎩
1
se x ≤ −1
x
6 se −1 < x < 3
(C) u : IR → IR dada por u(x) = sen x .
Teoremas sobre limites no infinito:
Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adaptações.
Por exemplo: Se lim f(x) = L e lim g(x) = M , então podemos comcluir que
x→+∞ x→+∞
lim f(x) ± g(x) = L ± M , lim f(x) · g(x) = L · M , lim f(x)/g(x) = L/M se M = 0
x→+∞ x→+∞ x→+∞
(analogamente para x → −∞ )
Alguns limites básicos no infinito:
1) lim c = c
x→±∞
2) Se k ∈ Q, k > 0 e c = 0 então lim
x→±∞
3) lim 1 +
x→+∞
1
x = e 4) lim
x
x→+∞
5) lim
x→−∞ ex = 0 6) lim
x→+∞
c
= 0 (se fizerem sentido)
xk ln x
x
= 0
1
= 0 7) lim
ex x→+∞
1
ln x
= 0

96 CAPÍTULO 2
Exemplos:
(A) lim
x→+∞
(B) lim
x→−∞
(C) lim
x→+∞
(D) lim
x→−∞
−5x 3 + 2x
x 3 − 4x 2 + 3
3x − 4
5x 2
√ 5x 2 − 6
4x + 3
sen x
x
(E) (Exercício) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que e x > x sempre
que x ≥ 1 (Sugestão: Mostre que f(x) = e x − x é crescente em [1, +∞) e f(1) > 0 ) e
conclua que lim
x→+∞
1
= 0 .
ex (F) (Exercício) Mostre que lim
x→+∞ e−x2 = 0 (Sugestão: Mostre que 0 < e−x2 = 1
quando x → +∞ e aplique o Sanduíche).
ex2 < 1
ex

Aplicações da Derivada 97
2.9 Apêndice B : Limites infinitos
Dada f : X → IR e a ∈ X ′ , vamos estudar agora, para auxílio no esboço do gráfico de f,
a situação na qual NÃO EXISTE o lim f(x) (portanto f é descontínua em a) e, AINDA
x→a
ASSIM, f(x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x = a).
Escrevemos lim
x→a f(x) = +∞ quando f(x) → +∞ à medida que x → a (x = a) .
Neste caso, a reta x = a é chamada uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de f:
Analogamente, lim
x→a f(x) = −∞ quando f(x) → −∞ à medida que x → a (x = a) .
Neste caso também dizemos que x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f:
Observações:
1) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais lim f(x) ou lim f(x) .
x→a + x→a− 2) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite lim
x→a f(x) N ÃO EXISTE (não é um número
real). Apenas escrevemos lim
x→a f(x) = ±∞ para descrever um comportamento especial de
f(x) quando x se aproxima de a.

98 CAPÍTULO 2
Exemplos:
(A) lim
x→−3
(B) lim
x→2 +
lim
x→2 −
(C) Em geral:
1
= +∞
(x + 3) 2
1
= +∞
(x − 2) 3
1
= −∞
(x − 2) 3
Se n é PAR: lim
x→a
Se n é
ÍMPAR: lim
x→a +
(D) lim ln x = −∞
x→0 +
(E) lim tg θ = +∞
θ→π/2− 1
= +∞
(x − a) n
1
= +∞ e lim
(x − a) n
x→a− 1
= −∞
(x − a) n
Proposição 2.1. (Para ajudar no cálculo de alguns limites infinitos)
Sejam lim
x→a f(x) = +∞ , lim
x→a g(x) = c ∈ IR , lim
x→a h(x) = −∞ . Temos:
1) lim
x→a [f(x) + g(x)] = +∞ , lim
x→a [h(x) + g(x)] = −∞ .
2) lim
x→a
g(x)
f(x)
= 0 , lim
x→a
g(x)
h(x)
= 0 .
3) c > 0 ⇒ lim
x→a f(x) · g(x) = +∞ , lim
x→a h(x) · g(x) = −∞ , lim
x→a
lim
x→a
h(x)
g(x)
= −∞ .
c < 0 ⇒ lim
x→a f(x) · g(x) = −∞ , lim
x→a h(x) · g(x) = +∞ , lim
x→a
Obs.: Valem resultados análogos para limites laterais.
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
= −∞ , lim
x→a
h(x)
g(x)
= +∞ ,
= +∞

Aplicações da Derivada 99
Exemplos:
(A) f(x) = 2x2
x 2 − 9
(B) lim sen x tg x
x→−π/2 +
(C) lim
x→0 +
x 4 + √ 2
ln x

100 CAPÍTULO 2
Observação: De modo inteiramente análogo ao que fizemos para lim
x→a f(x) = ±∞ ,
podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposição anterior
continuam válidos! (apenas não temos mais as assíntotas verticais nestes casos)
(D) lim x = +∞ , lim x = −∞
x→+∞ x→−∞
(E) lim
x→+∞ ex = +∞ (F) lim ln x = +∞
x→+∞
(G) lim
x→+∞ −5x4 + 3x + 2
Observação: As conclusões que não podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos
com limites infinitos:
Devemos sempre tomar cuidado com operações entre funções que têm LIMITES INFINI-
TOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINAÇÕES, que são as formas cujos com-
portamentos NÃO PODEMOS PREVER A PRIORI.
Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINAÇ ÕES:
0
0
, ∞
∞ , 0 · ∞ , 00 , ∞ 0 , 1 ∞ , ∞ − ∞
Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as funções dadas de modo que
possamos ELIMINAR AS INDETERMINAÇÕES. (EXEMPLOS)

Aplicações da Derivada 101
2.10 Apêndice C : Formas indeterminadas
As formas 0
0
e a Regra de L’Hopital
INDETERMINAÇ ÕES.
, ∞
∞ , 0 · ∞ , 00 , ∞ 0 , 1 ∞ , ∞ − ∞ são todas consideradas
Além de tentarmos trabalhar com as expressões que geram as indeterminações visando
ELIMINÁ-LAS, veremos a seguir alguns métodos para atacar estes problemas.
C.1) Indeterminações do tipo 0
0
Uma ferramenta muito útil é a ...
Regra de L’Hopital:
Suponhamos que f(x)
g(x)
x → ±∞ . Se f ′ (x)
g ′ (x)
Exemplos:
(A) lim
x→0
(B) lim
x→+∞
3 − 2x − 3 cos x
5x
ln x
x
ou ∞
∞ :
tome a forma indeterminada
0
0
ou ∞
∞
quando x → c ou
tem limite (ou tende a ±∞ ) quando x → c (ou x → ±∞ ), então
lim f(x)
g(x) = lim f ′ (x)
g ′ (x)

102 CAPÍTULO 2
(C) lim
x→+∞
e 2x
x 2
Obs.: CUIDADO! Não saia aplicando a Regra de L’Hopital antes de verificar que realmente
se tem uma indeterminação do tipo 0/0 ou ∞/∞ .
C.2) Indeterminações do tipo 0 · ∞ :
Escrevendo-se f(x) · g(x) = f(x)
1/g(x)
0/0 ou ∞/∞ .
Exemplos:
(A) lim x · ln x
x→0 +
(B) lim arc tg x −
x→+∞
π
· x
2
ou f(x) · g(x) = g(x)
1/f(x)
recai-se numa forma do tipo

Aplicações da Derivada 103
C.3) Indeterminações do tipo 0 0 , ∞ 0 ou 1 ∞ :
O roteiro abaixo pode ser útil nestes casos:
0) Seja f(x) g(x) a expressão que gera a indeterminação;
1) Tome y = f(x) g(x) ;
2) Tome logarítmos: ln y = ln f(x) g(x) = g(x) · ln f(x) (e recaia em casos já vistos);
3) Determine lim ln y (se existir);
4) Se lim ln y = L então lim y = e L . (Atenção: Não pare em 3)
Exemplos:
(A) lim
x→+∞ x1/x
(B) lim 1 +
x→+∞
1
x x
ln x
(C) lim x1/
x→+∞

104 CAPÍTULO 2
C.4) Indeterminações do tipo ∞ − ∞ :
Trabalhe com a expressão para cair em casos conhecidos !
Exemplos:
(A) lim (sec x − tg x)
x→π/2− (B) lim
x→0 +
1
ex
1
−
− 1 x
Exercício:
1) APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, faça um esboço do gráfico de cada
função f dada abaixo:
SUGEST ÃO:
1. Obtenha a derivada primeira f ′ e os pontos críticos de f.
2. Estudando o sinal de f ′ , obtenha informações sobre o crescimento/decrescimento de f.
3. Obtenha a derivada segunda f ′′ e estude seu sinal para obter informações sobre a concavi-
dade do gráfico de f.
4. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir máximos
ou mínimos locais.
5. Obtenha alguns pontos do gráfico de f para ajudar no esboço (pontos de máximo ou
mínimo, pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.).
6. Observar o comportamento de f(x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) - busca
de assíntotas horizontais.
7. Observar o comportamento de f próxima às descontinuidades - busca de assíntotas verticais.

Aplicações da Derivada 105
a) f(x) = 4 − x 2 b) f(x) = x 3 c) f(x) = x 3 − 9x d) f(x) = x 4 − 6x 2
e) f(x) = 1 − 3√ x f) f(x) = x2
1 + x 2 g) f(x) = 10x 3 (x − 1) 2 h) f(x) = 3√ x (8 − x)
i) f(x) = (x + 5) 2 3√ x − 4 j) f(x) = x 2/3 (x 2 − 8) k) f(x) = x 3 + 3
x
l) f(x) =
(x = 0)
1
2x2
3x2
(x = 0, 3) m) f(x) = (x = ±1) n) f(x) = (x = 9)
x(x − 3) 2 1 − x2 (x − 9) 2
o) f(x) = e x p) f(x) = e −x q) f(x) = e x − x r) f(x) = e −x2
t) f(x) = e 1/x (x = 0) u) f(x) = x
e x
w) cosh x = ex + e −x
2
senh x = ex − e −x
2
v) f(x) =
ln x
x
tgh x = ex − e −x
e x + e −x
(x > 0)
s) f(x) = ln x (x > 0)
x) f(x) = arc tg x
y) f(x) = e −x sen x (x ∈ [0, 4π] ) z) f(x) = 2 cos x + sen 2x (x ∈ [0, 2π] )
2.11 Apêndice D: Aproximações via
Polinômios de Taylor
Recordando...
Quando estudamos acréscimos e diferenciais, vimos que se f : X → IR é derivável em
x ∈ X, ou seja, se existe f ′ f(x + ∆x) − f(x)
(x) = lim
∆x→0
, então a variação da função y = f(x),
∆x
dada por ∆y = f(x + ∆x) − f(x) , pode ser aproximada por f ′ (x) · ∆x quando ∆x está
próximo de 0:
Isto é o mesmo que
∆y = f(x + ∆x) − f(x) ≈ f ′ (x) · ∆x = dy quando ∆x → 0
f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′ (x) · ∆x .

106 CAPÍTULO 2
Geometricamente:
A idéia é aproximar o gráfico de f por uma reta numa vizinhança em torno de x. A reta que
melhor cumpre esse papel é a reta tangente ao gráfico de f em (x, f(x)), cujo coeficiente
angular é f ′ (x) . Quando fazemos essa aproximação, cometemos um erro r = r(∆x) .
Quanto menor é |∆x| , ou seja, quanto mais próximos estão ∆x e 0, melhor a aproximação
obtida e menor é o erro cometido.
Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproximações cada vez melhores ?
Resposta: SIM ! (sob certas condições)
Um passo adiante:
Se f : I (intervalo aberto) → IR é duas vezes derivável em um ponto x ∈ I então, se
x + ∆x ∈ I , temos
f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′ (x) · ∆x + f ′′ (x)
2!
· (∆x) 2
(∆x pequeno)
Da mesma forma que antes, quanto menor |∆x| , melhor é a aproximação.
Porém, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinômio do 2 o grau, ou
seja, geometricamente, o gráfico de f é aproximado por um arco de parábola e a expectativa
é que isto funcione melhor como aproximação do que uma reta:

Aplicações da Derivada 107
Generalizando:
Se f : I (intervalo aberto) → IR é n−vezes derivável em um ponto x ∈ I então, se
x + ∆x ∈ I , temos:
f(x + ∆x) ≈ f(x) + f ′ (x) · ∆x + f ′′ (x)
2!
e quanto menor |∆x|, melhor é a aproximação.
Obs.:
· (∆x) 2 + f ′′′ (x)
3!
· (∆x) 3 + . . . + f (n) (x)
n!
· (∆x) n
1) Como o ponto x ∈ I, onde a função é n−vezes derivável, está fixo e ∆x varia (∆x → 0),
vamos adotar uma NOVA NOTAÇ ÃO:
f : I → IR n−vezes derivável em um ponto a ∈ I . Se a + h ∈ I , temos:
f(a + h) ≈ f(a) + f ′ (a) · h + f ′′ (a)
2!
e quanto menor |h| , melhor é a aproximação.
· h 2 + f ′′′ (a)
3!
· h 3 + . . . + f (n) (a)
n!
2) Se f : I → IR é n−vezes derivável em um ponto a ∈ I , definimos o POLINÔMIO DE
TAYLOR DE GRAU n DA FUNÇÃO f NO PONTO a:
sendo a0 = f(a) , a1 = f ′ (a) , a2 = f ′′ (a)
2!
Neste caso temos:
Exemplos:
(A) f(x) = e x , a = 0 , n = 5 .
Pn,f(a)(h) = a0 + a1 · h + a2 · h 2 + . . . + an · h n
ai = f (i) (a)
i!
, . . . , an = f (n) (a)
n!
i = 1, 2, . . . , n
f(a + h) ≈ Pn,f(a)(h)
, ou seja,
· h n

108 CAPÍTULO 2
(B) g(x) = sen x , a = 0 , n = 7 .
(C) h(x) = cos x , a = 0 , n = 10 (Exercício)
Buscando estimativas: A Fórmula de Taylor:
Teorema 2.8. (Fórmula de Taylor)
Se uma função f é n + 1 vezes derivável em um intervalo aberto I contendo x = a então,
se a + h ∈ I, temos:
f(a + h) = f(a) + f ′ (a) · h + f ′′ (a)
2!
com z = z(n, h) entre a e a + h.
· h 2 + . . . + f (n) (a)
n!
· h n + f (n+1) (z)
(n + 1)!
• Continuamos tendo f(a + h) ≈ Pn,f(a)(h) quando h está próximo de 0.
· hn+1
• Rn(h) = f (n+1) (z)
(n + 1)! · hn+1 é o erro cometido na aproximação f(a + h) ≈ Pn,f(a)(h)
(quanto menor |h|, menor o erro).
• A Fórmula de Taylor nos permite, além de aproximar f(a + h) por Pn,f(a)(h) , tentar
obter estimativas para o erro cometido.
(Exemplo)

Aplicações da Derivada 109
Indo um pouco mais além: A Série de Taylor:
Uma função f : I (intervalo aberto) → IR é chamada ANALÍTICA quando para cada a ∈ I
admite o desenvolvimento em Série de Taylor numa vizinhança em torno de a:
f(a + h) = f(a) + f ′ (a) · h + f ′′ (a)
2!
· h 2 + f ′′′ (a)
3!
· h 3 + . . .
Quando a + h está próximo de a (o quanto, depende de f e sua Série) a soma à direita,
chamada a SÉRIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de)
f(a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f(a + h).
Obs.:
1) Uma função analítica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos.
2) As funções clássicas p(x) = a0+a1x+. . .+anx n , e x , sen x, cos x, ln x são todas analíticas.
Exemplos:
(A) f : IR → IR dada por f(x) = e x em torno de a = 0 .
(B) g : IR → IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0 .
Exercício: Obtenha a Série de Taylor de f(x) = ln x em torno do ponto a = 1 .

110 CAPÍTULO 2
Coletânea de provas anteriores (1)
Questão 1: (20 pts) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacessível)
em relação ao seu nível, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicial-
mente um sofisticado aparelho baseado num feixe de laser e obteve √ 17 km como medida da
distância de B ao ponto A . Porém, para medir o ângulo θ da linha BA com o horizonte foi
utilizado um outro aparelho, não tão preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibili-
dade de erro igual a ∆θ = ±0, 01 rad.
(a) Obtenha a equação que expressa o desnível h(θ) entre A e B, como função do ângulo θ.
(b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desnível h(θ) calculado pelo explorador ?
(USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).
(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximação para o erro h(θ + ∆θ) − h(θ) no cálculo
do desnível.
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equação s(t) = [ln(1 + t)] − t/4 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) = posição ao
longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os
instantes t = 0 e t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e
t = 2. (c) Em que instante o objeto pára ? Em que posição isto ocorre ? Qual a aceleração
neste instante ?
Questão 3: (20 pts) Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede
vertical. Sua base, que está apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a
uma velocidade constante de 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se
desloca não é constante. (b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando
a base está a 3 m da parede ? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca
quando o ângulo da escada com o chão é de π/4 rad ?
Questão 4: (20 pts) Uma ilha está num ponto A, a 3 √ 3 km do ponto B (localizado no
continente), o mais próximo numa praia reta. Um armazém está num ponto C a 7 km de B
na praia. Se um homem pode remar à razão de 2 km/h e caminhar à razão de 4 km/h, onde
ele deveria desembarcar, para ir da ilha ao armazém no menor tempo possível ?
Questão 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da
função escolhida: pontos críticos, cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas
horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboço do gráfico da função esco-
lhida.
(a) f : IR − {4} → IR dada por f(x) = 2x2
(x − 4) 2
(b) g : IR → IR dada por g(x) = 3x
e x

Aplicações da Derivada 111
Coletânea de provas anteriores (2)
Questão 1: (20 pts) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproximação para a VARIAÇ ÃO
da área de uma esfera quando seu raio aumenta de 5
π
cm para
5
π
+ 0, 005
cm.
b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento ∆r do raio que, aplicado à esfera de
raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume?
Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua área é 4πr 2 cm 2 e seu volume é 4
3 πr3 cm 3
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equação s(t) =
10 ln(2t + 1)
(2t + 1)
de um eixo orientado, medida em metros).
(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo
(a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade
nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto está parado ?
(d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 até t → +∞ .
Questão 3: (20 pts) A luz de um farol que gira à taxa de 1,5 rpm (rotações por minuto)
está iluminando (acompanhando) um carro que passa numa estrada retilínea. (Obs.: O farol
está distante da estrada)
No momento em que o ângulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol à estrada
é de π/3 rad, a distância do farol ao carro é de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade do
carro neste instante, em km/h.
A velocidade de rotação do farol é constante. Responda se a velocidade do carro também
é constante e justifique.
Questão 4: (20 pts) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm,
sua área total é S = (2πr 2 + 2πrh) cm 2 e seu volume é V = πr 2 h cm 3 . DENTRE TODOS
OS CILINDROS DE ÁREA TOTAL S = 12π cm2 , obtenha as dimensões (r e h) daquele que
tem o maior volume possível e forneça o maior volume que pode ser obtido.
Questão 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da
função escolhida: pontos críticos, cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas
horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboço do gráfico da função esco-
lhida.
(a) f : IR → IR dada por f(x) = x2
e x (b) g : IR − {±2} → IR dada por g(x) = x2
4 − x 2

112 CAPÍTULO 2
Coletânea de provas anteriores (3)
Questão 1: (20 pts) a) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diâmetro, você
recebe a oferta de pagar 10% a mais por um acréscimo de 3 cm no diâmetro. Sem calcular
áreas, USE DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou não a oferta.
(Sugestão: Calcule aproximadamente o aumento percentual na área devido ao acréscimo
∆d = 3 cm)
Para qual diâmetro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diâmetro com um
aumento de 10% no preço seria justa para ambas as partes (você e o vendedor) ?
b) Use diferenciais para aproximar 3 √ 0, 065 .
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equação s(t) = 2t2
et (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo de um
eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0
e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas é a maior (mostre as contas).
(b) O que ocorre com s(t) quando t → +∞ ? (c) Qual a maior distância da posição inicial
que é atingida pelo objeto ?
Questão 3: (20 pts) Uma escada de 4 m está apoiada numa parede vertical. Se a base da
escada (apoiada no chão) é empurrada na direção da parede à razão (constante) de 2 m/s, com
que velocidade está variando a medida do ângulo (agudo) entre a escada e a parede vertical
quando a base da escada está a 2 m da parede ? A velocidade de variação deste ângulo é
constante ? (Justifique)
Questão 4: (20 pts) Quando duas resistências elétricas R1 e R2 são ligadas em paralelo, a
resistência total R é dada por 1
R
1
= +
R1
1
R2
.
Se R1 > 0, R2 > 0 e R1 + R2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R1 e R2 tais que R
seja máxima. (Sugestão: Exprima R como função de uma única variável para então resolver o
problema)
E se fossem pedidos R1 e R2 tais que R seja mínima ? Justifique a resposta.
Questão 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da
função escolhida: pontos críticos, cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas
horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida.
(a) f : IR − {1} → IR , f(x) = −3x
(1 − x) 2 . (b) g : IR − {0} → IR , g(x) = x · ln(x2 ) .

Aplicações da Derivada 113
Coletânea de provas anteriores (4)
Questão 1: (20 pts) a) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde
será constuída a ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens são desniveladas. Mede-se
então o ângulo de inclinação que a ponte terá e obtem-se a medida de 30 o , com possibilidade
de erro de 1 o . Use diferenciais para obter uma aproximação do erro no cálculo do comprimento
da ponte.
b) Se ln 4 ≈ 1, 3863 , use diferenciais para aproximar ln(3, 99) .
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equação s(t) = t · ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo
de um eixo orientado, medida em metros).
(a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = e3 − 1
. (b) Obtenha a veloci-
2
dade nos instantes t = 0 e t = e3 − 1
. (c) Obtenha a aceleração no instante t = 0 .
2
(d) O que ocorre com a velocidade e com a aceleração quando t → +∞ ?
Questão 3: (20 pts) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto às 8 horas da manhã, um
viajando para leste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora.
(a) Como estará variando a distância entre eles quando for meio-dia ?
(b) Como estará variando a área do triângulo formado pelo ponto de partida e as posições
dos ciclistas ao meio-dia ?
Questão 4: (20 pts) Um fazendeiro dispõe de 1km de cerca. Uma parte da cerca será uti-
lizada para cercar uma área circular e o restante para cercar uma área quadrada. Ele também
pode utilizar toda a cerca para cercar uma única área (circular ou quadrada). Como ele deve
proceder para que: (a) A área total cercada seja a menor possível; (b) A área total cercada
seja a maior possível.
Questão 5: (25 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da
função escolhida: pontos críticos, cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas
horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida.
(a) f : IR − {0} → IR dada por f(x) = ex
x 3
(b) g : IR → IR dada por g(x) = 3√ 1 − x 2

114 CAPÍTULO 2
Coletânea de provas anteriores (5)
Questão 1: (20 pts) a) Um empresário fabrica tanques com a forma de cones “invertidos”
nos quais a altura é sempre igual ao diâmetro da base. Sem calcular volumes, USE DIFE-
RENCIAIS para obter (JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade
(volume) dos tanques se o raio da base é aumentado em 3, 333 . . . % .
b) Se ln 8 ≈ 2, 0794 , use diferenciais para aproximar ln(8, 1) .
Questão 2: (15 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito
pela equação s(t) = 3 − e −t2
(t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posição ao longo de um
eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0
e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas é a maior (mostre as contas).
(b) O que ocorre com a velocidade instantânea v(t) quando t → +∞ ? (c) O que ocorre
com s(t) quando t → +∞ ? Qual a maior distância da posição inicial que é atingida pelo
objeto (se existir)?
Questão 3: (20 pts) Um homem num cais está puxando um bote à razão de 1 m/s por
meio de uma corda (esta é a velocidade do bote). As mãos do homem estão a 1 m acima do
nível do ponto onde a corda está presa no bote. Com que velocidade varia a medida do ângulo
de deflexão da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o bote está a √ 3 m de
distância (“medidos na horizontal”) do homem ?
Questão 4: (20 pts) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR
3
RETO de VOLUME MÁXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio
2 m.
Questão 5: (25 pts) Faça um estudo completo da função dada abaixo: pontos críticos,
cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas horizontais/verticais, etc. Uti-
lize este estudo para fazer um esboço do gráfico da função.
f : IR → IR dada por f(x) = 2x2
∀ x ∈ IR .
1 + x2

Aplicações da Derivada 115
Respostas de exercícios
• Página 69:
1) a) Expressão ≈ 3, 12 b)
3√ 65 ≈ 4 + 1/48 = 193/48 c) √ 37 ≈ 6 + 1/12 = 73/12
d) 3 √ 0, 00098 ≈ 1 2
−
10 3 · 103 e) √ 0, 042 ≈ 0, 205 f) Expressão ≈ 9− 3
125
g)
1
4√ ≈
15 65
128
2) ln(2, 01) ≈ 0, 6981 3) ctg 46 ◦ ≈ 1 − π
90
5) ∆θ ≈ ± 1
164
= 1122
125
4) S(2, 02) − S(2) ≈ 8π
25 pés2
= 8, 976
rad 6) ∆V ≈ ±9π
50 cm3 7) ∆l ≈ 0, 6 cm 8) ∆h ≈ ± 4π
3 pols
9) ≈ R$19,20 10) Erro ±2% em d ⇒ Erro no cálculo de R ≈ ∓4%
• Página 76:
1) ∆V
∆t
= −728π
3
pés 3 /hora ; V ′ (3) = −72π pés 3 /hora.
2) ∆P
∆t = 11 bpm/s ; P ′ (2) = 7 bpm/s ; P ′ (3) = 11 bpm/s ; P ′ (4) = 15 bpm/s.
3) I ′ (20) = −0, 12 u.i./pé 4) F ′ (C) = 9
5
◦ F/ ◦ C
5) V (s) = 4s 3 − 200s 2 + 2400s ; V ′ (s) = 12s 2 − 400s + 2400 ;
V ′ (5) = 700 cm 3 /cm ⇒ é conveniente aumentar s quando s = 5;
V ′ (10) = −400 cm 3 /cm ⇒ não é conveniente aumentar s quando s = 10.
6)
(a) s(0) = 1 ; v(t) = s ′ (t) = 6t − 12 ⇒ v(0) = −12 ; a(t) = v ′ (t) = 6 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = −11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16 .
(b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1 − 4/t 2 ; v(1) = −3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t 3 ;
v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = 4 .
(c) s(−2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6 − 3t 2 ; v(−2) = −6 ; v(3) = −21 ; a(t) = −6t ;
v(t) = 0 ⇒ t = ± √ 2 ⇒ s(− √ 2) ≈ 18, 3 , s( √ 2) ≈ 29, 7 .
(d) s(0) = 0 ; s(2) ≈ o, 33 ; v(t) = e −3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) ≈ 0, 0025 ; a(t) = −3e −3t .

116 CAPÍTULO 2
(e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = −3π sen (πt) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = −3π 2 cos(πt) ;
v(1) = 0 ; s(1) = −3 .
(f) s(0) = 0 ; s(4) ≈ 9, 5 ; v(t) = 2t − 4
; v(0) = −4 ; v(4) = 7, 2 ;
t + 1
4
a(t) = 2 + ; v(t) = 0 ⇒ t = 1 ⇒ s(1) = 1 − 4 ln 2 .
(t + 1) 2
7) v(0) = 144 pés/s ; a(0) = −32 (pés/s)/s ; v(3) = 48 pés/s ; a(3) = −32 (pés/s)/s ;
Em t = 3s, o objeto está a 288 pés de altura, subindo e perdendo velocidade ;
Altura máxima: 324 pés (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos.
• Páginas 79-80:
1) 9
5 m/s 2) 14 m/s 3) 600π pol3 /min
4) Extremidade: 5
3
5) 5 pol 3 /min 6) 3
2e
10) − 1000π
27
m/s ; Alonga: 2
3
u/s 7)
11
1600
m/s (menor). Outros inst.: mantêm velocidades
21π
Ω/s 8)
160 cm3 /min 9) 2 + √ 6
4
m/s
pés/s 11) π√ 3
10 pol2 /min 12) 100 rad/hora = 5
6π rpm
13) -1 rad/s 14) 3 rad/s 15) ≈ 0, 778 rad/s 16) 1
2π cm/min , 6cm3 /min (escoando)
• Páginas 91-92:
1) Aberta: b = 2 pés, a = 1 pé; Coberta: b = a = 3√ 4 pés 2) h = 4a
3 , r = 2a√2 3
3) Ângulo reto: d = 3 pols ; Ângulo 2π/3 : d = 4 pols 4) a = b = 50 cm
5) P (1, 1) 6) 500 unidades 7) t = 18/13 horas após 13:00
8) a 8 km de B, entre B e C 9) h = r = 4 cm 10) a 1,25m do solo
11) (a) Menor:
12) a
2π
4 + π
m para o círc. e
8
4 + π
1
√ 15 milhas de B, entre B e C 13) 37 árvores por are
14) Máxima em: s(π/2) e s(3π/2) ; Mínima em: s(0) e s(π)
m para o quad.; (b) Maior: 2m para o círc.

Aplicações da Derivada 117
• Página 110: Coletânea 1
Questão 1) (a) h(θ) = √ 17 · sen θ km (b) h(π/3) ≈ 25
= 3, 571... km
7
√
17
(c) h(θ + ∆θ) − h(θ) ≈ ± km
200
1
(com θ = π/3 , ∆θ = ±
100 )
Questão 2) (a) vm[0, 2] = 1
ln 3 −
2
1
m/s
2
(b) v(0) = 3
1
m/s ; v(2) =
4 12 m/s
(c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln 4 − 3
4
m e a(3) = − 1
16 (m/s)/s
Questão 3) x(t) = dist. da base da escada à parede ; y(t) = dist. do topo até o chão
(a) y ′ = x
y
(b) quando x = 3 m : y ′ = 3
4 m/s (c) quando θ = π/4 rad : y′ = 1 m/s
Questão 4) x = distância de onde vai desembarcar até B ( x ∈ [0, 7] )
√
27 + x2 T = T (x) = tempo gasto para ir de A até C ⇒ T (x) = +
2
7 − x
4
Após testar os candidatos (x = 3 , x = 0 , x = 7), temos que x = 3 km minimiza T .
Questão 5) (a) f(x) = 2x2
(x − 4) 2
Pontos críticos: x = 0 (f ′ (0) = 0) , x = 4 (não existe f ′ (4) - descontinuidade);
Decresc. em (−∞, 0] e (4, +∞) . Cresc. em [0, 4). Mínimo em x = 0 .
Concav. para cima em (−2, +∞) . Para baixo em (−∞, −2) . Inflexão em P (−2, f(−2)) .
Assíntota horizontal: y = 2 , pois lim f(x) = 2 .
x→±∞
Assíntota vertical: x = 4 , pois lim
x→4 f(x) = +∞ .
(b) g(x) = 3x
e x . Ponto crítico: x = 1 (g′ (1) = 0) ;
Crescente em (−∞, 1] . Decresc. em [1, +∞). Máximo em x = 1 .
Concav. para baixo em (−∞, 2) . Para cima em (2, +∞) . Inflexão em P (2, g(2)) .
Assíntota horizontal: y = 0 , pois lim g(x) = 0 . lim g(x) = −∞
x→+∞ x→−∞
Não possui assíntotas verticais.

118 CAPÍTULO 2
• Página 111: Coletânea 2
Questão 1) (a) S(r + ∆r) − S(r) ≈ S ′ (r) · ∆r = 1/5 cm 2 (b) ∆r = 0, 5 cm.
Questão 2) (a) vm[0, 3] =
10 ln 7
21
m/s (b) v(0) = 20 m/s ; v(3) = 20 − 20 ln 7
49
e − 1
(c) v = 0 em t = s (d) s(0) = 0 m , v(0) = 20 m/s (inicialmente) ;
2
e − 1
s =
2
10
m (objeto parado) ; lim s(t) = 0 (se aproxima da posição 0 qdo t → +∞).
e t→+∞
Questão 3) x(t) = dist. do carro a (perp. ∩ estrada) ; θ(t) = ângulo feixe-perpendicular
Quando θ = π/3 rad : x ′ = 90π km/h ; x ′ não é constante
Questão 4) h =
6 − r2
r
x ′ = 45π sec2
θ
2
(relação entre h e r nos cilindros de área total 12π cm 2 )
⇒ V = V (r) = π(6r − r 3 ) , 0 < r < √ 6 ⇒ Ponto crítico: r = √ 2 .
Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume é máximo quando
r = √ 2 e h = 2 √ 2 e temos V ( √ 2 ) = 4π √ 2 cm 2 .
Questão 5) (a) f(x) = x2
e x
Pontos críticos: x = 0 (f ′ (0) = 0) , x = 2 (f ′ (2) = 0) ;
Decresc. em (−∞, 0] e [2, +∞) . Cresc. em [0, 2] ; Mínimo local em x = 0 e máximo
local em x = 2 .
Concav. para cima em (−∞, 2 − √ 2) e (2 + √ 2, +∞) . Para baixo em (2 − √ 2, 2 + √ 2) .
Inflexão em P (2 − √ 2, f(2 − √ 2)) e Q(2 + √ 2, f(2 + √ 2)) .
Assíntota horizontal: y = 0 , pois lim f(x) = 0 . lim f(x) = +∞ .
x→+∞ x→−∞
Não possui assíntotas verticais.
(b) g(x) = x2
4 − x 2 . Ponto crítico: x = 0 (g′ (0) = 0) ;
Decrescente em (−∞, −2) e (−2, 0] . Cresc. em [0, 2) e (2, +∞) . Mínimo em x = 0 .
Concav. para baixo em (−∞, −2) e (2, +∞) . Para cima em (−2, 2) .
Assíntota horizontal: y = −1 , pois lim g(x) = −1 .
x→±∞
Assíntotas verticais em x = ±2 , pois lim g(x) = −∞ , lim g(x) = +∞ , etc.
x→−2− x→−2 +
m/s

Aplicações da Derivada 119
• Página 112: Coletânea 3
Questão 1) (a) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diâmetro gera um aumento aproxi-
mado de 12% na área da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos.
(b) 3 √ 0, 065 ≈ 193
480 .
Questão 2) (a) vm[0, 2] = 4
2
m/s, v(1) =
e2 e m/s e v(1) > vm[0, 2] . (b) lim s(t) = 0 .
t→+∞
(c) A maior distância é atingida em t = 2 (justifique) e s(2) = 8
m.
e2 Questão 3) A velocidade de variação do ângulo não é constante (depende de θ ) e temos
θ ′ √
3
= − rad/s quando x = 2 m.
3
Questão 4) R é M ÁXIMA quando R1 = 25 ohms e R2 = 25 ohms.
R NÃO ASSUME MÍNIMO.
Questão 5) (a) f(x) = −3x
(1 − x) 2
Ponto crítico: x = −1 (f ′ (−1) = 0) ;
Cresc. em (−∞, −1] e (1, +∞) . Decresc. em [−1, 1) ; Máximo local em x = −1 .
Concav. para cima em (−∞, −2) . Para baixo em (−2, 1) e (1, +∞) . Inflexão em
P (−2, f(−2)) .
Assíntota horizontal: y = 0 , pois lim f(x) = 0 .
x→±∞
Assíntota vertical: x = 1 , pois lim
x→1 f(x) = −∞ .
(b) g(x) = x · ln(x 2 )
Pontos críticos: x = −1/e ou x = 1/e (onde g ′ = 0 );
Crescente em (−∞, −1/e] e [1/e, +∞) . Decrescente em [−1/e, 0) e (0, 1/e] . Máximo
local em x = −1/e e mínimo em x = 1/e .
Concavidade para baixo em (−∞, 0) e para cima em (0, +∞) .
Assíntotas horizontais: não possui ( lim g(x) = +∞ e lim g(x) = −∞ ).
x→+∞ x→−∞
Assíntotas verticais: não possui ( lim
x→0 g(x) = 0 ).

120 CAPÍTULO 2
• Página 113: Coletânea 4
Questão 1) (a) ∆l ≈ ± π/90 m. (b) ln(3, 99) ≈ 1, 3838 .
Questão 2) (a) vm[0, e3 − 1
2
] = 3 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v( e3 − 1
) =
2
4e3 − 1
e3 (c) a(0) = 4 (m/s)/s. (d) lim v(t) = +∞ e lim a(t) = 0 .
t→+∞ t→+∞
Questão 3) (a) d ′ = 25 km/h ao meio-dia. (b) S ′ = 1200 km 2 /h ao meio-dia.
Questão 4) (a) A área total cercada é a menor possível quando y = 4
é o perímetro
4 + π
da área quadrada e x = π
é o perímetro da área circular.
4 + π
(b) A área total cercada é a maior possível quando toda a cerca é utilizada para cercar
uma única área circular.
Questão 5) (a) f(x) = ex
x 3
Ponto crítico: x = 3 (f ′ (3) = 0) ;
Decresc. em (−∞, 0) e (0, 3] . Crescente em [3, +∞) ; Mínimo local em x = 3 .
Concavidade para baixo em (−∞, 0) e para cima em ; (0, +∞) .
Assíntota horizontal: y = 0 , pois lim f(x) = 0 . lim f(x) = +∞ .
x→−∞ x→+∞
Assíntota vertical: x = 0 , pois lim f(x) = +∞ e lim f(x) = −∞ .
x→0 + x→0− (b) g(x) = 3√ 1 − x 2
Pontos críticos: x = 0 (g ′ (0) = 0) , x = −1 (∄ g ′ (−1) ) ou x = 1 (∄ g ′ (1) ) .
Decrescente em [0, +∞) e crescente em (−∞, 0] . Máximo em x = 0 .
Concavidade para baixo em (−1, 1) e para cima em (−∞, −1) e (1, +∞) .
Inflexões em P (−1, 0) e Q(1, 0) .
Assíntotas horizontais: não possui ( lim g(x) = −∞ ).
x→±∞
Assíntotas verticais: não possui (g é contínua em toda a reta).
m/s

Aplicações da Derivada 121
• Página 114: Coletânea 5
Questão 1) (a) 10% (aumento percentual aproximado no volume) (b) ln(8, 1) ≈ 2, 0919 .
Questão 2) (a) vm[0, 2] = e4 − 1
m/s
2e4 2
e v(1) =
e m/s. vm[0, 2] < v(1) .
s(t) = 3 . A maior distância do objeto à posição inicial
(b) lim v(t) = 0 . (c) lim
t→+∞ t→+∞
NÃO É ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 ∀ t e lim s(t) = 3 .
t→+∞
Questão 3) θ ′ = 1
4 rad/s quando x = √ 3 m.
Questão 4) h =
√ 3
2
m e r =
Questão 5) (a) f(x) = 2x2
1 + x 2
Ponto crítico: x = 0 (f ′ (0) = 0) ;
√ 6
2
m para que o volume do cilindro seja máximo.
Decrescente em (−∞, 0] e crescente em [0, +∞) . Mínimo local (absoluto) em x = 0 .
Concavidade para baixo em (−∞, − √ 3/3) e ( √ 3/3, +∞) .
Concavidade para cima em (− √ 3/3, √ 3/3) .
Inflexões em P (− √ 3/3, f(− √ 3/3)) e Q( √ 3/3, f( √ 3/3)) .
Assíntota horizontal: y = 2 pois lim f(x) = 2 .
x→±∞
Assíntotas verticais: não possui (f é contínua em toda a reta).

122 CAPÍTULO 2

Capítulo 3
A Integral Definida
3.1 Motivação
Consideremos o problema geométrico de obter área de figuras não tão regulares como os
polígonos da geometria clássica, por exemplo. Vamos considerar inicialmente o seguinte caso:
Seja f : [a, b] → IR uma função contínua, com f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] .
Vamos tentar obter a área S da região delimitada pelas retas x = a e x = b , pelo eixo
das abscissas e pelo gráfico de f:
Uma primeira estimativa (e bem “grosseira”) :
Se m é o valor mínimo absoluto de f em [a, b] e M é o valor máximo absoluto de f em
[a, b], temos:
123

124 CAPÍTULO 3
Refinando nossas estimativas:
Fixemos n ∈ IN . Vamos agora subdividir nosso intervalo [a, b] em n sub-intervalos de
(b − a)
comprimento ∆x = cada um.
n
Para cada i = 1, 2, . . . , n , sejam mi e Mi o mínimo e o máximo absoluto de f no
i-ésimo intervalo. Temos então:
É claro que
m(b − a) ≤ m1∆x + . . . + mn∆x
≤ S ≤ M1∆x + . . . + Mn∆x
n
mi∆x
n
Mi∆x
i=1
i=1
(Soma inferior) (Soma superior)
≤ M(b − a)
Quanto maior o nosso número n de divisões, melhores são as aproximações de S “POR
FALTA” , dadas por
n
mi∆x , ou “POR EXCESSO” , dadas por
n
Mi∆x .
i=1
A expectativa é que
IDÉIA: fazer n → ∞ (ou seja, ∆x =
lim
∆x→0
n
i=1
⇓
⇓
mi∆x = S = lim
∆x→0
b − a
n
n
Mi∆x
i=1
i=1
→ 0 )

A Integral Definida 125
Exemplo: Vamos calcular a área sob a curva f(x) = x 2 + 1 entre x = 0 e x = 3 :

126 CAPÍTULO 3
3.2 Somas de Riemann e a definição da Integral Definida
Iniciamos com a definição de partição de um intervalo:
Definição 3.1. Uma PARTIÇÃO P de um intervalo fechado [a, b] é qualquer decomposição
de [a, b] em intervalos [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn] com n ∈ IN e
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
∆xi = xi − xi−1 é o comprimento do i-ésimo intervalo [xi−1, xi] (i = 1, 2, . . . , n) .
A NORMA da partição P é o maior dos números ∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn, indicado por P .
Vamos agora generalizar FORTEMENTE as idéias anteriores (repare que não pedimos
mais que a função seja contínua, ou que ela seja positiva e vamos tomar uma
espécie de média entre as soma inferior e a soma superior) :
Definição 3.2. (Somas de Riemann)
Sejam f : [a, b] → IR uma função e P uma partição de [a, b] .
Uma SOMA DE RIEMANN de f em relação a P é qualquer soma R(f; P ) da forma:
R(f; P ) =
n
i=1
com wi ∈ [xi−1, xi] para todo i = 1, 2, . . . , n .
f(wi) · ∆xi = f(w1)∆x1 + f(w2)∆x2 + . . . + f(wn)∆xn

A Integral Definida 127
Definição 3.3. (Integral Definida)
Uma função f : [a, b] → IR é dita INTEGRÁVEL NO INTERVALO [a, b] quando existe
o limite
lim
P →0
i
f(wi) · ∆xi
Isto significa que quando fazemos as normas das partições tenderem a 0, as Somas de
Riemann correspondentes se aproximam tanto quanto quisermos de um número real bem de-
terminado (o limite acima).
Este limite, quando existe, é denotado por
b
f(x) dx
e chamado a INTEGRAL DEFINIDA DE f, DE a ATÉ b.
Observações:
(A) Se c < d então definimos:
(B)
a
f(x) dx = 0 .
a
a
c
d
f(x) dx = − f(x) dx (quando existir).
d
(C) Mais à frente em nossos estudos, será de FUNDAMENTAL IMPORTÂNCIA desen-
volvermos um sistema qua nos permita CALCULAR as integrais de uma maneira mais simples,
direta e precisa, evitando assim aproximações tão trabalhosas como a do exemplo anterior.
Teorema 3.1. Se f : [a, b] → IR é contínua, então f é integrável em [a, b] .
Obs.: Funções descontínuas podem ser integráveis (veremos mais tarde). Apesar disso, es-
tudaremos prioritariamente o cálculo de integrais definidas de funções contínuas nos intervalos
[a, b] de integração.
3.3 Propriedades da Integral Definida
• Se f é integrável em [a, b] e k ∈ IR (constante), então k · f é integrável em [a, b] e temos:
b
b
k · f(x) dx = k · f(x) dx
a
• Se f e g são integráveis em [a, b] então f + g é integrável em [a, b] e temos:
b
b b
[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
a
a
c
a
a

128 CAPÍTULO 3
• Se f é integrável em um intervalo fechado contendo a, b e c, então:
b c b
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
a
• Se f é integrável em [a, b] e f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] então
a
b
f(x) dx ≥ 0
a
Conseqüencia: Se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b] então
b b
f(x) dx ≥ g(x) dx
a
• Se f (limitada) é integrável em [a, b] então |f| é integrável em [a, b] e temos:
b
f(x) dx
≤
b
|f(x)| dx
a
• Destacamos uma última propriedade sob a forma de um importante Teorema:
Teorema 3.2. (Teorema do Valor Médio para Integrais)
tal que
Se f é contínua em um intervalo [a, b], então existe um número z no intervalo aberto (a, b)
b
f(x) dx = f(z) · (b − a)
a
a
a
c

A Integral Definida 129
3.4 O Teorema Fundamental do Cálculo
Primitivas (Antiderivadas):
Definição 3.4. Dada uma função f, uma função F é chamada uma PRIMITIVA (ou ANTI-
DERIVADA) DE f EM X quando F ′ (x) = f(x) ∀ x ∈ X .
Exemplos:
(A) f : IR → IR dada por f(x) = x .
Obs.: Se F1 e F2 são duas primitivas para f EM UM INTERVALO, então F1 − F2 é
constante NESTE INTERVALO.
(B) g : IR → IR dada por g(x) = x 2 .

130 CAPÍTULO 3
(C) h : IR → IR dada por h(x) = x n (n = 1, 2, 3, . . .) .
(D) f : IR → IR dada por f(x) = e x .
(E) g : (0, +∞) → IR dada por g(x) = 1
x .
Exercício: Mostre que G(x) = ln |x| é primitiva de g(x) = 1/x em IR − {0} .
(F) h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x .
(G) f : IR → IR dada por f(x) = sen x .
(H) g : IR → IR dada por g(x) = cos x .
(I) h : IR → IR dada por h(x) = 1
.
1 + x2 (J) f : IR → IR dada por f(x) = 2 cos 5x .
(K) g : IR − {0} → IR dada por g(x) = x 2 − 3x + 1
x
(L) h : IR → IR dada por h(x) = e 5x − 3 cos 3x .
− sen 2x .

A Integral Definida 131
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) :
Teorema 3.3. (Teorema Fundamental do Cálculo - TFC) Seja f contínua no intervalo [a, b] .
PARTE I: Se a função G : [a, b] → IR é definida por
s
G(s) = f(x) dx
então G é uma primitiva de f em [a, b].
PARTE II: Se F é uma primitiva de f em [a, b], então
Observações:
a
b
f(x) dx = F (b) − F (a)
• De agora em diante, vamos adotar a seguinte notação:
a
F (x)
b
a
= F (b) − F (a)
• O TFC é o principal resultado do nosso curso, pois constitui-se em uma “ponte” que
liga fortemente os dois assuntos estudados: derivadas e integrais.
Sua segunda parte é a FERRAMENTA que nos ajudará a calcular as integrais definidas
de uma maneira mais objetiva.
Por exemplo:
3
0
x 2 + 1 dx
Demonstração do TFC:

132 CAPÍTULO 3

A Integral Definida 133
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
(K)
(L)
Exemplos:
2
0
3
0
3
1
e
1
3
1
π
0
1
0
π
0
π/3
π/4
−1
−5
1
0
2
−1
4x 3 − 5 dx
|2x − 1| dx
1
dx
x2 1
t dt
2x 3 − 4x 2 + 5
x 2
sen x dx
4
dx
1 + x2 sen 2x dx
1 + sen x
cos 2 x dx
− 2
x dx
5 x dx
e 3x dx
dx

134 CAPÍTULO 3
3.5 Integrais Indefinidas
O Teorema Fundamental do Cálculo relaciona o cálculo de integrais definidas com a busca
de primitivas (antiderivadas) de uma função dada.
Vamos aproveitar essa relação para definir, de modo natural, uma nova NOTAÇÃO para
primitivas:
f(x) dx = F (x) + C quando F ′ (x) = f(x)
f(x) dx é chamada INTEGRAL INDEFINIDA DE f(x) e representa a primitiva
(antiderivada) mais geral de f.
Exemplos:
(A)
(B)
(C)
(D)
3x dx = 3x2
2
1 1
dx = −
x2 x
1
x
Observações:
+ C
+ C
sen x dx = − cos x + C
dx = ln |x| + C , x = 0
• NÃO CONFUNDA:
A integral INDEFINIDA de f(x) = F ′ (x) é uma função:
A integral DEFINIDA de f(x) = F ′ (x) de a até b é um número:
Se F ′ (x) = f(x) em [a, b] temos:
• Dx
b
f(x) dx = F (b) − F (a) =
f(x) dx = f(x) e
a
b f(x) dx
Dx [F (x)] dx = F (x) + C .
f(x) dx = F (x) + C .
b
f(x) dx = F (b)−F (a) .
a
a

A Integral Definida 135
3.6 Mudança de variável na integração
Teorema 3.4. (Mudança de variável)
Se f é contínua em I ( intervalo) ⊃ g ( [a, b] ) e g ′ é contínua em [a, b] , temos:
Observações:
b
f(g(x)) · g ′ (x) dx =
a
g(b)
f(u) du onde u = g(x)
g(a)
• Este resultado é aplicável quando queremos integrar uma função que é a composta de
uma função f com uma g, multiplicada (a menos de uma constante) pela derivada de g. Sua
utilização está ligada à nossa habilidade em reconhecer essa situação !
• A notação dx que aparece nas integrais
este Teorema no seu formato mais “prático”.
f(x) dx é justificada quando utilizamos
• Este resultado tem um análogo para cálculo de integrais indefinidas.

136 CAPÍTULO 3
(A)
(B)
(C)
Exemplos:
1
(x
0
4 − 1) 3 x 3 dx
0
−2
4
1
x2 (x3 dx
− 2) 2
1
√ x · e √ x dx

A Integral Definida 137
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
2ex dx
1 + ex √ 2/2
0
1
0
e 1/x
tg x dx
x
√ 1 − x 4 dx
e x (1 + cos e x ) dx
x · 4 x2
dx
dx
x2

138 CAPÍTULO 3
Exercícios:
A) Interpretando a integral definida como área sob o gráfico de uma função, determine di-
retamente quais devem ser os valores das integrais definidas abaixo, sem utilizar o Teorema
Fundamental do Cálculo (TFC) ou a própria definição de integral (dada por limite de somas
de Riemann):
2
−3
(2x + 6) dx
Faça também um esboço gráfico de cada caso.
3
0
√ 9 − x 2 dx
Obs.: Pode (e deve) “considerar” que a área de um círculo de raio r é πr 2 .
B) Pense na área sob o gráfico da curva y = x 2 , entre x = 1 e x = 4 (faça um esboço),
ou seja,
4
1
x 2 dx . Não temos mais “figuras” tão regulares como no exercício anterior !
Calcule essa área de duas maneiras distintas: (i) “No braço”: dividindo o intervalo em n partes
iguais e usando retângulos inscritos ou circunscritos para aproximar a área e depois fazendo
n → ∞ ; (ii) Via TFC ; Que tal ?
C) Mostre que a área sob a curva y = 1
x entre x = 1 e x = e2 (faça um esboço) é igual a 2 (u.a.).
D) Calcule a área sob o gráfico de f(x) =
x
(x2 entre x = 1 e x = 2.
+ 1) 2
E) Usando uma propriedade da integral definida e SEM CALCULAR as integrais, mostre que
1
0
x 3 dx ≤
1
0
x 2 dx e
2
1
x 3 dx ≥
2
1
x 2 dx
Ilustre com um esboço e por último confirme as desigualdades acima calculando as integrais.
F) OBTENHA (SEM DERIVAR a integral indefinida)
sec x dx = ln | sec x + tg x| + C
Sugestão:
sec x dx =
sec x + tg x
sec x ·
dx e aplique uma mudança de variáveis.
sec x + tg x
G) Mostre (de alguma forma) que temos sen x cos x dx = 1
2 sen 2 x + C e que, por outro
lado, também temos sen x cos x dx = − 1
2 cos2 x + D .
Explique como isto não representa incoerência alguma.

A Integral Definida 139
H) Uma função f : [−a, a] → IR é dita...
... PAR quando f(−x) = f(x) ∀x ∈ [−a, a] .
Exemplos: cos nx (n = 0, 1, 2, . . .), −3x 6 + x 2 − 5 ,
1
, e−x2 , etc.
1 + x2 ... ÍMPAR quando f(−x) = −f(x) ∀x ∈ [−a, a] .
Exemplos: sen nx (n = 1, 2, . . .), x3 + 2x ,
x
, e−x2 sen x , etc.
1 + x2 Alguma observações e propriedades interessantes:
(1) O produto/quociente de duas funções pares (ou duas ímpares) é uma função PAR;
(2) O produto/quociente de uma função par por uma função ímpar (ou vice-versa) é uma
função ÍMPAR;
(3) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oy das ordenadas (ilustre);
(4) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem O(0, 0) (ilustre);
(5) É óbvio que existem funções que não são pares nem são ímpares: ex , x 2 + x, etc.
(6) Toda função f : [−a, a] → IR pode ser escrita como a soma de uma função par com uma
função ímpar (tente provar).
em
Consideremos agora f : [−a, a] → IR , contínua (portanto integrável).
Mostre que se f é ÍMPAR, então
Mostre que se f é PAR, então
a
f(x) dx = 0 .
−a
a
a
f(x) dx = 2 f(x) dx .
−a
Sugestão: Em cada caso, separe em duas integrais, faça a mudança de variáveis y = −x
0
−a
f(x) dx e aplique propriedades da integral definida.
Ilustre geometricamente os resultados obtidos, relacionando-os com as propriedades (3) e
(4) acima.
Calcule:
π/2
−π/2
sen x cos x dx ;
1
−1
x 3 dx ;
1
−1
e |x| dx ;
0
3
−3
x 5 − 4x dx ;
π/4
−π/4
sen x
cos 4 x
dx ;

140 CAPÍTULO 3
I) Calcule:
1)
5)
9)
13)
17)
21)
25)
29)
3
−2
1/2
−1/2
33) Dz
(5 + x − 6x 2 ) dx 2)
1
√ 1 − x 2
dx 6)
(3x + 1) 4 dx 10)
ex (ex dx 26)
+ 1) 2
9
√ 2r + 7 dr 3)
(2 x + 1) 2
2 x dx 4)
sec 2 5x dx
1
1
e
0
x
dx
1 + e2x 2x 3x 2 (e + e )
7)
e5x dx
3
8) e
1
−4x dx
4
t
−4
5 + 2t 3 dt
11) x 2 ctg x 3 csc x 3 dx
ln x
12)
x dx
4 √
16x5 dx
5
15)
3√
2x − 1 dx
16) (4t+1)(4t
1
1
2 +2t−7) 2 dt
1
dx
4 + 9x2 14)
xe x2
dx 18)
1
dx 19)
x log10 x
π/4
sen (3 − 5x) dx 20) tg x sec
0
2
1
e
x dx
x√ dx
1 − e−2x 2 sec
22)
√ x
√ dx
x
23) x csc 2 (3x 2 +4) dx 24)
6
|x − 4| dx
27)
dx
28)
cos x
√ dx
9 − sen 2x
1
dx
cos 2x
z
30)
0
−3
(x 2 +1) 10 dx 34)
2
sen x
37) dx 38)
sec x
41)
45)
49)
53)
57)
61)
5
−1
4
1
|2x − 3| dx 42)
(x + e 5x ) dx 46)
sen 2x tg 2x dx 50)
(csc 2 x)2 ctg x dx 54)
1
√ x( √ x + 1) 3
x(1 − 2x 2 ) 3 dx 62)
x
x 4 + 2x 2 + 1
e 2x
√ 1 − e 2x
1 − sen x
x + cos x dx
x − 2
dx 31)
x2 3 (2 + ln x)
dx 32)
dx
− 4x + 9 x
x 2 + x
(4 − 3x2 − 2x3 dx 35)
) 4
1
√ x(1 + x) dx 39)
e x − e −x
π/2
ex dx 43)
+ e−x cos x
1 + sen 2 x
dx 47)
0
2
4u
1
−5 +6u −4 du 51)
5
−5
x 3 |x| dx 36)
ctg 6x sen 6x dx 40)
sec(1/x)
x 2 dx 44)
−1
0
x 3 + 8
x + 2
π
π/6
dx 48)
4
0
sen xe cos x+1 dx 52)
sen 4x
dx
tg 4x
55) (1+e −3x dx
58) x
) dx
3
56)
1
2 2 x3
dx
sec x tg x
59)
1 + sec2 dx
x
60)
2
x2 − 1
dx
x − 1
1
63) (t 2 − 1) 3 t dt
64)
3
−1
2
1
s 2 + 2
s 2
x
√ x 2 + 9 dx
sen x cos x dx
ds
ex dx
cos ex 2 2x − 5x − 7
dx
x − 3
2x 3 − 4x 2 + 5
x 2
1
x ln x dx
e x tg e x dx
dx

A Integral Definida 141
65)
69)
73)
77)
1
dx 66)
x(ln x) 2
x
√ 36 − x 2
1
√ 9 − 4x 2
x e dx 78)
dx 70)
dx 74)
10 3x dx 67)
4
0
2 x
2 x + 1
1
−1
√ 3t( √ t + √ 3) dt 71)
x
√ 9 − 4x 2
dx 79)
dx 75)
1
0
x 2 tg x dx 68)
e 2x+3 dx 80)
2 sen x
1 + 3 cos x dx
√
x e
√ dx
x
72)
2 tg 2x
sec 2x dx
1
√ dx
e2x − 25
76)
π/3
ctg x dx
−π/3
sec 2 x(1 + tg x) 2 dx
1
81) (2x − 3)(5x + 1) dx
0
x 2 (e + 1)
82)
ex dx
π/2
cos
83)
π/6
2 x
dx
sen x
8
3√
84) s2 + 2 ds
−8
1
1
e
85)
dv 86)
0 (3 − 2v) 2 x
ex 2
x + 1
sen x
dx 87) dx 88)
+ 1 x + 1 cos2 x + 1 dx
1
89)
x √ x4 −3x tg e
dx 90)
− 1 e3x x −x 10 + 10
dx 91)
10x 2
dx 92) x
− 10−x 0
2√ x3 + 1 dx
sen x + 1
93)
dx 94) (t
cos x
4 −t 2 )(10t 3
−5t) dt 95) (y+y −1 ) 2 1
1
dy 96)
−2 2x + 7 dx
97) Dx(3x 5 −7x 4
+2x−8) dx 98) 5 x e x
sec
dx 99)
2
x
x − 1
dx 100)
2 tg x + 1 3x2 − 6x + 2 dx
101) (1+cos 2 x) sen x dx
102) (x+csc 8x) dx
103)
√3 5t + 1 dt
4
1
104)
x2 + 16 dx
105)
109)
2
1
x 2 + 1
x 3 + 3x
dx 106)
x ctg x 2 dx 110)
3 x
√ 3 x + 4 dx 107)
1
x 2 + 2x + 1
dx 111)
π/4
(1+sec x) 2 dx 108)
0
e cos x
csc x
dx 112)
2
0
2/ √ 3
1
x √ x 6 − 4 dx
1
x √ x 2 − 1 dx

142 CAPÍTULO 3
Respostas de exercícios
• Página 137:
G) e x + sen e x + C H)
• Páginas 138-141:
1
A)
2
−3
B) (i)
C)
e 2
1
3
2 ln 4
(2x+6) dx = 25 (área de um triângulo)
n
i=1
1
x
1 + 3i
2 ·
n
3
n
dx = ln |x|
E) Se x ∈ [0, 1] então x 3 ≤ x 2 ⇒
F)
Se x ∈ [1, 2] então x 3 ≥ x 2 ⇒
sec x dx =
n→∞
−→ 21 (ii)
I) −e 1/x + C
4
1
3
e2 = ln e 2 − ln 1 = 2 D)
1
sec x ·
1
0
2
1
sec x + tg x
sec x + tg x
x 3 dx ≤
x 3 dx ≤
0
1
√ 9 − x 2 dx = 9π
4
x 2 dx = x3
3
0
2
1
2
1
x 2 dx
x 2 dx
4
1
= 64 − 1
3
x
(x2 3
dx =
+ 1) 2 20
2 sec x + sec x tg x
dx =
dx =
sec x + tg x
(Mudança de variável: u = sec x + tg x )
G) d
1
dx 2 sen 2
x + C = 1
· 2 · sen x · cos x = sen x · cos x
2
d
−
dx
1
2 cos2
x + D = − 1
· 2 · cos x · (− sen x) = sen x · cos x
2
−1
H)
(1/4 de círculo)
1
u
= 21
du = . . .
Não há incoerência alguma, pois funções deste tipo diferem por uma constante:
1
2 sen 2
x + C − − 1
2 cos2
x + D = 1 2 2 1
sen x + cos x + C − D = + C − D
2
2
π/2
−π/2
e |x| dx = 2
sen x cos x dx = 0
1
0
e x dx = 2(e − 1)
1
−1
x 3 dx = 2
3
−3
1
0
x 5 − 4x dx = 0
3
x dx = 2
π/4
−π/4
1
0
sen x
cos 4 x
x 3 dx = 1
2
dx = 0

A Integral Definida 143
I) 1) − 85
2
2) 98
3
3) 2x − 2 −x + 2x ln 2
ln 2
+ C 4)
6) arc tg e − arc tg 1 7) e x + 2x − e −x + C 8) e8 − 1
4e 12
11) − 1
3 csc x3 + C 12)
15) 3 9 3√ 9 − 1
19)
8
cos(3 − 5x)
5
(ln x)2
2
16) (4t2 + 2t − 7) 3
6
+ C 20) 1
2
+ D 13) 1
6
arc tg
tg 5x
5
9)
+ D 5) π
3
(3x + 1)5
15
3x
+ E 14)
2
1016
7
+ D 10) 0 (zero)
+ C 17) ex2
2 + D 18) ln 10 · ln |log 10 x| + E
21) arc cos e −x + D 22) 2 tg √ x + E
23) − 1
6 ctg (3x2 + 4) + C 24) ln |x + cos x| + D 25) − 1
ex + 1
27) − √ 1 − e2x
sen x
+ C 28) arc sen
3
30) −
34)
39)
+ D 29) 1
2
+ E 26) 53
2
ln |sec 2x + tg 2x| + E
1
2(x2 1
+ C 31)
+ 1) 2 ln
2
x − 4x + 9 (2 + ln x)
+ D 32) 4
+ E 33) (z
4
2 + 1) 10
1
18(4 − 3x2 − 2x3 ) 3 + C 35) 0 (zero) 36) 2 37) sen 3x 3 + D 38) 2 arc tg √ x + E
sen 6x
6
44) − 1
8
49) 1
2
53) −
+ C 40) 2 41) 37
2
45) x2
2
+ e5x
5
+ C 46) π
4
sen 2x 43
ln |sec 2x + tg 2x|− +C 50)
2 16
2 ctg x
ln 2
+ C 54) sen 4x
4
42) ln e x + e −x + D 43) − ln |sec(1/x) + tg (1/x)| + E
47) − 16
3
+ D 55) x − e−3x
3
48) ln |sec e x + tg e x | + D
51) −e cos x+1 +D 52) x 2 +x−4 ln |x − 3|+E
+ E 56) 10
3
57) 5
36
58) 2x3
3 ln 2 + C 59) arc tg (sec x) + D 60) ln |ln x| + E 61) − (1 − 2x2 ) 4
+ F
16
62) − 7
2
63) 0 (zero) 64) − ln |cos e x | + C 65) − 1
103x
+ D 66) + E
ln x 3 ln 10
67) 0 (zero) 68) − 2
3 ln |1 + 3 cos x| + C 69) − √ 36 − x 2 + D 70) 8(2 + √ 3 )
2x
+ E
3
71) 2e √ x + C
1
sen 2x
72) ln |sec 2x + tg 2x| − + D
2 2
1
73) arc sen
2
74) − 1 √
9 − 4x2 + C
4
x
1 e
75) arc sec + D
5 5
76) 0 (zero) 77) xe+1
+ E
e + 1

144 CAPÍTULO 3
78) 1
ln 2 ln |2x + 1|+C 79) e5 − e3 2
83) −ln(2− √ 3 )− √ 3
2
84) 352
5
80)
85) 1
3
(1 + tg x)3
3
+D 81) − 37
6
86) ln(e x +1)+C 87) x2
2
82) e x +2x−e −x +E
−x+2 ln |x + 1|+D
88) − arc tg (cos x)+C 89) 1
2 arc sec(x2 )+D 90) ln |cos e−3x |
+E
3
91) ln |10x − 10−x |
+F
ln 10
92) 52
9
93) ln
sec x + tg x
cos x + C 94) 5(t4 − t2 ) 2
+ D
4
95) y3 1
+ 2y − + E
3 y
96)
ln 3
2
97) 3x 5 − 7x 4 + 2x − 8 + C 98)
5xex 1
+ D 99)
1 + ln 5 2
100) 1
6 ln 3x 2 − 6x + 2 +C 101) −cos x− cos3 x
x2 1
+D 102) +
3 2 8
103) 3
20 (5t + 1)4/3 + C 104) π
16
107) π
4 + 1 + ln(3 + 2√2) 108) π
6
111) − e cos x + C 112) 1
6
105)
ln 7 − ln 2
3
ln |2 tg x + 1| + E
106) 2 √
3x + 4 + D
ln 3
ln |csc 8x − ctg 8x|+E
109) 1
2 ln 2
sen x
1
+ C 110) − + D
x + 1
3 x
arc sec + D
2

Capítulo 4
Técnicas de integração
4.1 Integração por partes
Aplicável quando temos produtos de funções “bem conhecidas” :
Teorema 4.1. Sejam f e g funções com derivadas contínuas em [a, b]. Temos:
b
f(x).g ′ (x) dx = f(x).g(x)
b b
− f ′ (x).g(x) dx
Demonstração:
a
Para todo x ∈ [a, b] , temos (da Regra do Produto para derivadas):
(f.g) ′ (x) = f ′ (x).g(x) + f(x).g ′ (x)
Isto significa que f.g é uma primitiva para f ′ .g + f.g ′ em [a, b] .
Segue portanto do TFC (Parte II) que
b
Das propriedades da integral, temos:
b
a
a
[f ′ (x).g(x) + f(x).g ′ (x)] dx = f(x).g(x)
[f ′ (x).g(x) + f(x).g ′ (x)] dx =
Portanto: b
f(x).g ′ b (x) dx = f(x).g(x)
a
a
a
a
b
f ′ b
(x).g(x) dx + f(x).g ′ (x) dx
145
a
−
a
b
a
b
f ′ (x).g(x) dx
a

146 CAPÍTULO 4
Observações:
1) De um modo “prático”, fazemos u = f(x) e dv = g ′ (x) dx
e usamos:
(A)
(B)
(C)
u dv = u.v −
v du
2) O mesmo processo também funciona para integrais indefinidas.
Exemplos:
1
0
x.e 2x dx
ln x dx
x 2 .e x dx
dv
dx = g′
(x) ⇒ v = g(x)

Técnicas de integração 147
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I)
(J)
(K)
(L)
π
e x . sen x dx
0
sec 3 x dx
π/4
x. sec 2 x dx
π/6
1
x
0
3 .e −x dx
e 4x . sen 5x dx
π/2
x. sen 2x dx
0
π 2
0
x.2 x dx
sen √ x dx (Sugestão: faça antes a mudança de variável z = √ x )
(x + 1) 10 .(x + 2) dx

148 CAPÍTULO 4
4.2 Algumas integrais trigonométricas
Integrais imediatas:
sen u du = − cos u + C
csc 2 u du = − ctg u+C
tg u du = − ln |cos u| + C
sec u du = ln |sec u + tg u| + C
cos u du = sen u + C
sec u. tg u du = sec u+C
(A) Potências ímpares de sen ou cos :
sec 2 u du = tg u + C
csc u. ctg u du = − csc u+C
ctg u du = ln | sen u| + C
csc u du = ln |csc u − ctg u| + C
- Isolamos um fator, que fica então multiplicado por uma potência PAR;
- Usando a relação sen 2 + cos 2 = 1 , desenvolvemos a potência par em função do outro
tipo de função trigonométrica;
- Aplicamos uma mudança de variável (imediata).
Exemplos:
cos 3 x dx
sen 5 x dx
cos 5 3x dx
sen 3 2x dx

Técnicas de integração 149
(B) Potências pares de sen ou cos :
- Utilizamos as fórmulas sen 2 x =
Exemplos:
sen 4 x dx
cos 2 2x dx
cos 6 x dx
(C) Integrais da forma
1 − cos 2x
2
ou cos 2 x =
sen m x. cos n x dx :
1 + cos 2x
2
- Utilizamos as (duas) técnicas anteriores para resolver o problema.
Exemplos:
sen 3 x. cos 4 x dx
sen 2 x. cos 2 x dx
cos 4 x. sen 2 x dx
para simplificar.

150 CAPÍTULO 4
(D) Integrais das formas:
sen mx. cos nx dx , cos mx. cos nx dx ,
sen mx. sen nx dx
- Utilizamos as conhecidas (?) fórmulas de transformação de produtos em somas:
Exemplos:
sen 3x. cos 2x dx
sen 5x. sen 3x dx
(E) Integrais da forma
sen a. cos b =
sen (a + b) + sen (a − b)
2
cos a. cos b = ? (Exercício)
sen a. sen b = ? (Exercício)
cos 2x. cos 3x dx
tg m x. sec n x dx :
- n par: tg m x. sec n x = tg m x. sec n−2 x. sec 2 x , sec 2 = 1 + tg 2 em sec n−2 x e a mudança
de variável u = tg x ;
- m ímpar: tg m x. sec n x = tg m−1 x. sec n−1 x. sec x. tg x , sec 2 = 1 + tg 2 em tg m−1 x e a
mudança de variável u = sec x ;
- m par e n ímpar: Tentar outras coisas, como integração por partes, etc.
- Obs.: Tratamento análogo para integrais da forma
Exemplos:
tg 3 x. sec 3 x dx
sec 4 x dx
tg 3 x. sec 4 x dx
ctg 3 x. csc 3 x dx
ctg m x. csc n x dx .
tg 4 x dx

Técnicas de integração 151
Algumas integrais trigonométricas para exercitar:
√ sen x cos 3 x dx
( tg x + ctg x) 2 dx
π/4
sen 3 x dx
0
sen 4 x. cos 2 x dx
tg 5 x. sec x dx
sen 5x. sen 3x dx
sec2 x
dx
(1 + tg x) 2
tg 6 x dx
4.3 Substituições trigonométricas
Aplicáveis sobretudo a integrais envolvendo expressões como
1
√ a 2 − x 2 , √ a 2 + x 2 , √ x 2 − a 2 (a > 0)
0
tg 2
πx
4
tg 2 x − 1
sec 2 x
sec x
ctg 5 x dx
sen 5 x. cos 2 x dx
Expressão envolvida Substituição Variação de θ ( ∗ ) Lembrete
trigonométrica
√ a 2 − x 2 x = a. sen θ −π/2 ≤ θ ≤ π/2 cos 2 = 1 − sen 2
√ a 2 + x 2 x = a. tg θ −π/2 < θ < π/2 sec 2 = 1 + tg 2
√ x 2 − a 2 x = a. sec θ θ ∈ [0, π/2) ∪ [π, 3π/2) tg 2 = sec 2 −1
( ∗ ) Se a expressão envolvida está no denominador de um quociente, devemos evitar “di-
visão por 0” .
dx
dx

152 CAPÍTULO 4
(A)
(B)
Exemplos:
1
x √ dx
4 − x2 1
√ 9 + x 2 dx

Técnicas de integração 153
(C)
√ x 2 − 1
x
Observações:
dx
1) Podem surgir situações com √ a 2 − x 2 , √ a 2 + x 2 , √ x 2 − a 2 nas quais outras técnicas
sejam mais diretas.
Exemplo: Calcule
x
√ 1 + x 2 dx (Sugestão: Faça a mudança u = 1 + x2 )
2) Esta técnica de substituição trigonométrica também é usada em situações nas quais
aparecem a 2 − x 2 , a 2 + x 2 ou x 2 − a 2 .
Exemplo: Calcule
Exercício: Calcule
1
(x2 dx (Sugestão: x = tg θ )
+ 1) 2
x 2
√ 4 − x 2 dx
√ x 2 + 1
x
dx
x √ 9 + x 2 dx
1
x 4√ x 2 − 4 dx

154 CAPÍTULO 4
4.4 Integrais de funções racionais (Frações Parciais)
Caso (A): Integrais da forma
A
dx (m = 1, 2, 3, . . .)
(px + q) m
- Basta fazer a mudança de variável u = px+q e resolver a integral mais simples resultante.
Exemplos:
3
dx
(2x + 5) 2
1
x − 4 dx
Obs.: Nestas integrais, estamos sempre considerando valores de x tais que as funções
estejam bem definidas (denominadores não-nulos, logarítmos de números positivos, etc.)
Caso (B): Integrais da forma
Ax + B
(ax2 dx (n ∈ IN), com
+ bx + c) n
ax 2 + bx + c irredutível, ou seja, sem raízes reais (∆ = b 2 − 4ac < 0)
- “Completar quadrados” no denominador e obter
1
K
Ax + B
((αx + β) 2 dx , γ > 0
+ γ) n
- Fazer a mudança de variável u = αx + β e “cair” numa integral da forma
A ′ u + B ′
(u2 du , γ > 0 ,
+ γ) n
a qual pode ser resolvida com técnicas anteriores.

Técnicas de integração 155
Exemplo:
x + 5
x 2 + 6x + 13 dx
Obs.: Se n ≥ 2 pode ser necessária uma substituição trigonométrica para resolver
Ex.:
1
(4x2 dx
− 4x + 2) 2
A ′ u + B ′
(u2 du
+ γ) n
Caso (C): (Frações parciais) Integrais da forma
f e g polinômios tais que grau (f) < grau (g)
f(x)
g(x)
dx , sendo
- Fatorando o denominador g(x) , obtemos sua decomposição como produto de fatores dos
tipos px + q e/ou ax 2 + bx + c (irredutíveis). Qualquer polinômio pode ser decomposto desta
forma.
- Agrupam-se os fatores repetidos, obtendo-se assim uma decomposição em fatores dos
tipos (px + q) m e/ou (ax 2 + bx + c) n .
- A cada fator do tipo (px + q) m , m ≥ 1 , corresponderá uma soma de m FRAÇ ÕES
PARCIAIS da forma:
A1
px + q +
A2
+ . . . +
(px + q) 2
Am
(px + q) m

156 CAPÍTULO 4
- A cada fator do tipo (ax 2 + bx + c) n , n ≥ 1 , ∆ = b 2 − 4ac < 0 , corresponderá uma
soma de n FRAÇÕES PARCIAIS da forma:
A1x + B1
ax 2 + bx + c + A2x + B2
(ax 2 + b + c) 2 + . . . + Anx + Bn
(ax 2 + bx + c) n
- Desta forma, podemos decompor o quociente f(x)/g(x) numa soma de frações parciais
típicas dos casos (A) e (B) vistos anteriormente e podemos então resolver as integrais resul-
tantes.
(A)
(B)
(C)
Exemplos:
6x − 9
x 2 − 1 dx
x2 + x + 2
dx
(x + 3)(x + 1) 2
3 2 5x − 3x + 7x − 3
dx
(x 2 + 1) 2

Técnicas de integração 157
Caso (D): Integrais da forma
tais que grau (f) ≥ grau (g)
f(x)
g(x)
dx , sendo f e g polinômios
- Decompor f da seguinte forma: f(x) = h(x).g(x) + r(x) , com grau (r) < grau (g) .
(esta decomposição é obtida dividindo f por g: r é o resto)
- Temos então
f(x) h(x).g(x) + r(x)
= = h(x) +
g(x) g(x)
r(x)
g(x)
r(x)
h(x) é polinômio (fácil de integrar) e dx é o caso (C), pois grau (r) < grau (g) .
g(x)
(A)
(B)
(C)
Exemplos:
x 3 + 3x − 2
x 2 − x
x5 (x2 dx
+ 4) 2
dx
6 3 x − x + 1
dx
x 4 + x 2

158 CAPÍTULO 4
Exercício: Calcule
5x − 12
x(x − 4) dx
x 4 + 2x 2 + 4x + 1
(x 2 + 1) 3
2x 2 − 12x + 4
dx
x 3 − 4x 2
4.5 Integrais impróprias
dx
3 2x + 10x
(x2 dx
+ 1) 2
9x 4 + 17x 3 + 3x 2 − 8x + 3
x 5 + 3x 4
x 3 − 6x 2 + 5x − 3
x 2 − 1
Até agora temos calculado integrais definidas de funções contínuas em intervalos limitados.
Veremos a seguir duas situações extraordinárias, as quais caracterizam as chamadas INTE-
GRAIS IMPR ÓPRIAS.
1 a Situação: Integrais com limites de integração INFINITOS:
• Seja f uma função contínua em [a, +∞) . Definimos
+∞
t
f(x) dx = lim
t→+∞
f(x) dx (desde que exista o limite)
a
a
• Se f é contínua em (−∞, a] . Definimos
a
a
f(x) dx = lim
t→−∞
f(x) dx (desde que exista o limite)
−∞
t
Em cada um dos casos acima, as expressões à esquerda são chamadas INTEGRAIS IMPR ÓPRIAS.
Quando os limites existem, dizemos que as integrais CONVERGEM. Caso contrário, dize-
mos que elas DIVERGEM.
(A)
Exemplos:
+∞
1
1
dx
x2 dx
dx

Técnicas de integração 159
(B)
(C)
+∞
1
0
−∞
1
x dx
e x dx
• Se f é contínua em toda a reta, definimos:
+∞ a
f(x) dx = f(x) dx +
−∞
−∞
+∞
a
f(x) dx (a ∈ IR)
dizemos que esta integral imprópria CONVERGE quando ambas as integrais à direita
convergem. Caso contrário (ou seja, se qualquer uma divergir), diremos que
DIVERGE.
Obs.: A verificação da convergência ou não de
escolhido.
(A)
CUIDADO:
Exemplos:
+∞
−∞
1
dx
1 + x2 +∞
−∞
+∞
−∞
f(x) dx não é o mesmo que lim
t→+∞
t
f(x) dx !!!
−t
+∞
−∞
f(x) dx
f(x) dx não depende do número a

160 CAPÍTULO 4
(B)
+∞
−∞
e x dx
Exercício: Verifique a convergência das seguintes integrais impróprias:
2 a Situação:
+∞
1
+∞
−∞
1
dx
x4/3 x
x 4 + 9 dx
0
−∞
1
dx
(x − 1) 3
+∞
0
x.e −x dx
+∞
0
+∞
1
x
dx
1 + x2 ln x
x dx
b
f(x) dx , f com descontinuidade infinita em [a, b] :
a
• Se f é contínua em [a, b) e se torna infinita em b, definimos
b
a
f(x) dx = lim
t→b −
t
f(x) dx
• Se f é contínua em (a, b] e se torna infinita em a, definimos
b
a
f(x) dx = lim
t→a +
a
b
f(x) dx
Em cada um destes casos, as expressões à esquerda também são INTEGRAIS IMPR ÓPRIAS.
Dizemos que elas CONVERGEM quando os limites existem. Caso contrário elas DI-
VERGEM.
(A)
Exemplos:
1
0
1
x dx
t

Técnicas de integração 161
(B)
(C)
(D)
1
0
2
0
1
0
1
dx
x2 1
3√ 2 − x dx
ln x dx (Exercício)
• Se f é contínua em [a, b] − {c} , c ∈ (a, b) , definimos
b c b
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
a
a
Esta integral, também IMPRÓPRIA, CONVERGE quando ambas as integrais
à direita
b
convergem. Caso contrário (ou seja, se qualquer uma divergir), diremos que f(x) dx
DIVERGE.
Obs.: CUIDADO! Não saia aplicando diretamente o TFC se houver descontinuidade no
(interior do) intervalo de integração!
(A)
Exemplos:
2
−2
1
dx
(x + 1) 3
c
a

162 CAPÍTULO 4
(B)
1
−1
x −2/3 dx (Exercício)
Exercício: Verifique a convergência (e calcule o valor, quando convergir) das seguintes
integrais impróprias:
8
0
1
0
1
3√ x dx
e √ x
√ x dx
1
−3
2
1
1
dx
x2 x
x 2 − 1 dx
π/2
sec 2 x dx
0
π
0
1
0
cos x
√ 1 − sen x dx
x. ln x dx
4
2
1
−1
x −4/3 dx
x − 2
x 2 − 5x + 4 dx
Exercício: Calcule:
1) x sen x dx
2) sec 6 x dx
3)
1
x √ dx
9 + x2 4 3 2 2x − 2x + 6x − 5x + 1
4)
x3 − x2 dx
+ x − 1
+∞
2
1
1
x
5) dx 6)
dx 7)
x + x3 1 x3/4 0 (x2
dx 8) x
− 1) 2 2 e 3x dx
9) tg x sec 5 9
x
x dx 10) 3√ dx 11) e
0 x − 1 x√ 1 − ex 2 5x − 10x − 8
dx 12)
x3 dx
− 4x
1
13) x sec x tg x dx 14)
x3√x2 +∞
dx 15) cos
− 25 −∞
2
x dx 16) x(ln x) 2 dx
17) cos 7
x dx 18) e 1+ln 5x
π/2
dx 19)
dx 20) tg x dx
21)
25)
29)
33)
37)
41)
√x ln x dx 22)
+∞
3
e tg x
1
x 2 − 1
cos 2 x
dx 26)
dx 30)
x
dx
25 − 9x2 34)
e −2x
dx 38)
+∞
0
5x 2 + 11x + 17
x 3 + 5x 2 + 4x + 20
x 3
√ 16 − x 2
dx 23)
cos 3 2x sen 2 2x dx 27)
4x 3 − 3x 2 + 6x − 27
sen 2 x cos 5 x dx 42)
1
x 4 + 9x 2 dx 31)
tg 2 x sec x dx 35)
e x sec 2 (e x ) dx 39)
arc tg x dx 43)
0
0
e3x dx 24)
1 + ex
ln x
dx 28)
x
(ln x) 2 dx 36)
x 2 + 3x + 1
x 4 + 5x 2 + 4
csc 4 x ctg 4 x dx 32)
dx 40)
(x 2 + 1) cos x dx 44)
x
(16 − x2 dx
) 2
e −x sen x dx
9
0
1
x2√x2 + 9 dx
+∞
4
e
1/e
1
x √ x dx
1
√ x dx
1
dx
x(ln x) 2

Técnicas de integração 163
45) sen 3 x cos 2 x dx
46) x arc sen x dx
47)
1
x √ 25x2 dx
− 16
48) x 5√ x3 + 1 dx
49) cos √ x dx
0
1
50)
−∞ x2 dx
− 3x + 2
51) x 2 e −4x dx
3 2 3x − 12x − 37x − 34
52)
dx
(x − 6)(x − 2)
+∞
1
53)
−∞ ex 2
1
dx 54)
dx
+ e−x −2 (x + 1) 3
55) sen 2x cos x dx 56) e 3x
4x
57)
(x
cos 2x dx
2
1
dx 58) √ dx
+ 1) 3 4x2 − 25
cos
59)
3
x
1
√ dx 60)
sen x x ln x(ln x − 1) dx
x
61)
3
x3 − 3x2
+∞
3
dx 62) sen (ln x) dx 63) cos x dx 64)
+ 9x − 27 0
x2 − 6x + 18 dx
2
1
65)
1 x √ x2 3 2 x + 3x + 3x + 63
dx 66)
− 1 (x2 − 9) 2 1
x
dx 67)
0
3
π
√ dx 68) x sen
x2 + 1 −π
2 x dx
1
69)
(x2
2x + 3
dx 70)
− 1) 3/2 x2 π/2
2
1
1 − x
dx 71)
dx 72)
+ 4 0 1 − cos x 0 x2 + 3x + 2 dx
73) (1+ √ cos x ) 2
sen x dx 74) tg 3 x sec 2
√
4 − x2 x dx 75) x arc tg x dx 76)
x2 dx
π
77) cos
0
3 x dx
+∞
x
78)
dx
1 1 + x2
79) ctg 2 (3x) dx
80)
37 − 11x
(x + 1)(x − 2)(x − 3) dx
81) x(2x+3) 99 dx
2 2 (x − 1)
82)
dx
x
4
1
83)
0 x2 dx
− x − 2
π/4
84) sec x tg x dx
−π/4
4 2 x + 2x + 3
85)
x3 dx
− 4x
86) x 2 (8−x 3 ) 1/3 dx
3 12x + 7x
87)
x4 dx
88) arc sen x dx
1
89) ln(1 + x) dx
0
90)
x
csc(3x2 dx
)
√9
+∞
x
91) − 4x2 dx 92)
1 (1 + x2
x
93)
dx
) 2 3 + 1
dx
x(x − 1) 3
94)
1
dx
(x − 7) 5
1
95) sen x ln(cos x) dx 96) e
−1
3|x| dx
−1
1
97)
dx
−2 (x + 2) 5/4
1
98) e
0
√ x
dx
5 3 x − x + 1
99)
x3 + 2x2 dx
100) x 2 ln x dx
π/4
101) cos x cos 5x dx
0
2 2 (4 + x )
102)
x3 dx
0
103) xe
−∞
x dx
104)
e2x dx
1 + e4x 105)
+∞
xe −x2
dx
1
106) x 2 sen x dx 107)
1
x 3 e −x2
dx
108) sen x10 cos x dx
109)
−∞
tg 4x cos 4x dx 110)
−1
4
0
1
dx 111)
(4 − x) 3/2
0
3 2 4x + 2x − 5x − 18
(x − 4)(x + 1) 3 dx

164 CAPÍTULO 4
Respostas de exercícios
• Página 147:
E)
sec x tg x + ln |sec x + tg x|
2
H) 4 sen 5xe4x − 5 cos 5xe 4x
41
L)
(11x + 23)(x + 1)11
132
+ C
• Página 148:
sen 5 x dx = − cos x + 2 cos3 x
cos 5 3x dx =
+ C F) π
4 − π√3 1
6e − 16
+ (ln 2 − ln 3) G)
18 2 e
+ C I) π
4
3
− cos5 x
5
+ C
J)
sen 3x
3 − 2 sen 33x +
9
sen 53x + C
15
sen 3 cos 2x
2x dx = −
2 + cos3 2x
+ C
6
• Página 149:
cos 2 2x dx = x
2
+ sen 4x
8
+ C
cos 6 x dx = 5x sen 2x 3 sen 4x
+ +
16 4 64 − sen 32x 48
sen 2 x cos 2 x dx = x
8
• Página 150:
sen 3x sen 5x dx =
− sen 4x
32
sen 2x
4
sec 4 x dx = tg x + tg 3 x
3
+ C
sen 8x
− + C
16
+ C
ctg 3 x csc 3 x dx = csc3 x
3 − csc5 x
+ C
5
tg 4 x dx = x − tg x + tg 3 x
3
+ C
+ C
(x ln 2 − 1)2x
(ln 2) 2 + D K) 2π
cos 4 x sen 2x dx = x sen 4x
−
16 64 + sen 32x + D
48
cos 2x cos 3x dx =
sen 5x
10
tg 3 x sec 4 x dx = tg 4x 4 + tg 6x + D
6
+ sen x
2
+ D

Técnicas de integração 165
• Página 151:
√ sen x cos 3 x dx = 2 √ sen 3 x
3
− 2√ sen 7 x
7
+ C
tg 5 x sec x dx = sec5 x
5 − 2 sec3 x
+ sec x + C
3
( tg x + ctg x) 2
dx = tg x − ctg x + C
2 tg x − 1
sec2 sen 2x
dx = − + C
x
2
sec2 x
1
dx = − + D
(1 + tg x) 2 1 + tg x
sen 4 x cos 2 x dx = x sen 4x
−
16 64 − sen 22x + C
48
sen 5 x cos 2 x dx = − cos3 x
3 + 2 cos5 x
−
5
cos7 x
+ D
7
tg 6 x dx = −x + tg x − tg 3x 3 + tg 5x + C
5
• Página 153:
x 2
√ 4 − x 2
√ x 2 + 1
x
x
dx = 2 arc sen −
2
x√4 − x2 + C
2
dx = ln
x
√
x2 + 1 + 1
+ √ x2 + 1 + C
1
x4√x2 − 4 dx = (x2 + 2) √ x2 − 4
24x3 + D
1
0
tg 2
πx
4
sen 5x sen 3x dx =
dx =
sen 2x
4
4 − π
π
− sen 8x
16
π/4
sen
0
3 x dx = 8 − 5√2 12
sec x
ctg 5x dx = sec5 x
5 − 2 sec3 x
+ sec x + C
3
• Página 158:
5x − 12
dx = 3 ln |x| + 2 ln |x − 4| + C
x(x − 4)
2 2x − 12x + 4
x3 − 4x2 3 ln |x − 4|
dx = − +
4
11 ln |x|
+
4
1
+ C
x
4 3 2 9x + 17x + 3x − 8x + 3
x5 + 3x4 dx = 4 ln |x + 3| + 5 ln |x| − 2
x
x √ 9 + x 2 dx =
3 1
+ − + C
2x2 3x3 + D
(9 + x2 ) 3
+ D
3

166 CAPÍTULO 4
x 4 + 2x 2 + 4x + 1
(x 2 + 1) 3
dx = arc tg x −
3 2x + 10x
(x2 + 1) 2 dx = ln(x2 + 1) − 4
x2 + C
+ 1
x 3 − 6x 2 + 5x − 3
x 2 − 1
• Página 160:
+∞
1
+∞
0
+∞
0
dx = x2
2
1
dx = 3 (converge)
x4/3 x
dx diverge
1 + x2 xe −x dx = 1 (converge)
• Páginas 161-162:
161-D)
162-B)
1
0
1
−1
• Página 162:
8
0
1
(x2 + C
+ 1) 2
− 6x + 15 ln |x + 1|
2
+∞
0
−∞
−∞
+∞
ln x dx = −1 (converge)
x −2/3 dx = 6 (converge)
1
3√ x dx = 6 (converge)
π/2
sec 2 x dx diverge
0
1
−1
2
1
4
2
x −4/3 dx diverge
x
x 2 − 1
x − 2
x 2 − 5x + 4
dx diverge
dx diverge
1
0
1
0
π
0
1
−3
−
3 ln |x − 1|
2
1
1
dx = −
(x − 1) 3 2
x
x 4 + 9
1
ln x
x
dx = 0 (converge)
dx diverge
1
dx diverge
x2 x. ln x dx = − 1
4
(converge)
e √ x
√ x dx = 2(e − 1) (converge)
cos x
√ 1 − sen x dx = 0 (converge)
+ C
(converge)

Técnicas de integração 167
• Páginas 162-163:
1) sen x − x cos x + C 2) tg x + 2 tg 3x 3 + tg 5x 1
+ D 3)
5
4) x 2 + 3 ln(x2 + 1)
2
8) x2 e 3x
3
− 2xe3x
9
+ ln |x − 1| + C 5) − ln(x2 + 1)
2
3 ln
√
9 + x2 − 3
+ E
x
+ ln |x| + D 6) diverge 7) diverge
2e3x
+
27 + C 9) sec5 x
243
+ D 10)
5 10 (converge) 11) − 2(1 − ex ) 3/2
+ E
3
12) 2 ln |x| + 4 ln |x + 2| − ln |x − 2| + C 13) x sec x − ln |sec x + tg x| + D
14) 1
x
arc sec +
250
5
5√x2 − 25
x2
17) sen x − sen 3 x + 3 sen 5 x
5
20) diverge 21)
23) (1 + ex ) 2
2
26) sen 3 2x
6
30)
2 ln |x|
3
− sen 7 x
7
(6 ln x − 4)x3/2
9
+C 15) diverge 16) 2(x ln x)2 − 2x 2 ln x + x 2
4
+D
5ex2
+ C 18)
2 + D 19) − (x2 + 32) √ 16 − x2 + E
3
+ C 22) ln(x 2 + 4) + 1
2
− 2(1 + e x ) + ln(1 + e x ) + C 24)
arc tg
x
+ 3 ln |x + 5| + D
2
1
2(16 − x2 ln 2
+ D 25)
) 2 (converge)
− sen 52x 10 + C 27) diverge 28) −e−x ( sen x + cos x)
+ D 29) e
2
tg x + E
3
+
x + 5 ln(x2 + 9)
+ C 31) −
3
ctg 5x 5 − ctg 7x + D 32) 6 (converge)
7
33) − ln |25 − 9x2 |
+ C
18
sec x tg x ln |sec x + tg x|
34) − + D
2
2
37) 1
2 (converge)
35) x(ln x) 2 − 2x ln x + 2x + C
√
x2 + 9
36) − + D
9x
38) tg (e x ) + E 40) 1 (converge)
39) 1
2 x + 1
ln
2 x2
x
+ arc tg
+ 4
2
+ C 41) sen 3x 3 − 2 sen 5x +
5
sen 7x + D
7
42) x arc tg x − ln(1 + x2 )
2
45) cos5 x
5 − cos3 x
+ C 46)
3
47) 1
4
arc sec
5x
4
51) (−8x2 − 4x − 1)
32
+ C 43) (x 2 − 1) sen x + 2x cos x + D 44) diverge
2 2x − 1
arc sen x +
4
x√1 − x2 + D 50) ln 2 (converge)
4
+C 48) 2(x3 + 1) 5/2
15
e −4x + C 52) 3x2
2
− 2(x3 + 1) 3/2
+D 49) 2(
9
√ x sen √ x+cos √ x)+E
+ 12x − 10 ln |x − 6| + 33 ln |x − 2| + D

168 CAPÍTULO 4
53) π
2
(converge) 54) diverge 55) − cos 3x
6
cos x
−
2 + C 56) e3x (3 cos 2x + 2 sen 2x)
+ D
13
1
57) −
(x2 + 1) 2 + C 58) ln √
2x + 4x2 − 25 + D
2
59) 2 √ 2( sen x)5/2
sen x − + E
5
60) ln
1
1 −
ln x
+ C 61) x + 3 ln(x2 + 9)
−
4
3
x
arc tg +
2 3
3 ln |x − 3|
+ D
2
63) diverge
62)
66)
x( sen (ln x) − cos(ln x))
2
5 ln |x + 3|
6
−
70) ln(x 2 + 4) + 3
2
73) − cos x −
x − 3
+ C 64) arc tg
3
3 ln |x − 3|
+ −
2(x + 3) 6
arc tg
4(cos x)3/2
3
+ D 65) π
3 (converge) 67) 2 − √ 2
3
7
+ C 68) 0 (zero) 69) −
2(x − 3)
x
√ x 2 − 1 + D
x
+ C 71) diverge 72) 2 ln 3 − 3 ln 2 74)
2
tg 4x + D
4
− cos2 x
2
+ C 75) 1
2
√
4 − x2 76) − − arc sen
x
80) ln
(x + 1)
4 (x − 3)
(x − 2) 5
(200x − 3)(2x + 3)100
+ C 81)
40400
84) 0 (zero) 85) x2
2
x
+ C 78) diverge 79) − x −
2
(x 2 + 1) arc tg x − x + D 77) 4
3
ctg 3x
3
+ D 83) diverge
+ D 82) x2
4 − x2 + ln |x| + E
3 ln |x|
−
4 + 27 ln |x2 − 4|
+ C 86) −
8
(8 − x3 ) 3√ 8 − x3 4
87) 12 ln |x| − 7
2x 2 + C 88) x arc sen x + √ 1 − x 2 + D 89) ln
91) 9
4
94) −
arc sen
2x
+
3
x√9 − 4x2 + C 92)
2
1
2
4
e
+ D
90) − cos(3x2 )
6
+ E
(converge) 93) ln
(x − 1)
2
x −
x
+ D
(x − 1) 2
1
4(x − 7) 4 + C 95) cos x − cos x ln(cos x) + D 96) 2(e3 − 1)
3
98) 2 99) −
ln |x|
4
97) diverge
1 23 ln |x + 2|
− − + C 100)
2x 4
x3 (3 ln x − 1)
+ D 101) −
9
1
12
102) − 8
x2
+ 8 ln |x| +
x2 2 + C 103) − 1 (converge) 104) arc tg (e2x )
+ D 105) 0 (zero)
2
106) 0 (zero) 107)
e − 2
2e
111) ln [(x − 4) 2 (x + 1) 2 ] −
108) −
10cos x
ln 10
3
+ C
2(x + 1) 2
+ C 109) − cos 4x
4
+ D 110) diverge

Capítulo 5
Aplicações geométricas
da Integral Definida
5.1 Áreas de regiões planas
É a aplicação mais direta (imediata), pois está diretamente relacionada com a própria
definição da integral definida:
Problema: Seja f : [a, b] → IR contínua, com f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] .
Como calcular a área sob o gráfico de f, entre x = a e x = b ?
Solução: (Recordando...)
Iniciamos fazendo uma aproximação através das Somas de Riemann.
Fazemos uma partição P do intervalo [a, b], dividindo-o em vários intervalos
[x0, x1] , [x1, x2] , . . . , [xn−1, xn]
169

170 CAPÍTULO 5
∆xi é o comprimento de cada intervalo [xi−1, xi] e P = max
i ∆xi .
Tomamos então um ponto wi em cada intervalo [xi−1, xi] e consideramos (em cada
intervalo) o retângulo de base ∆xi e altura f(wi) , de área f(wi).∆xi .
A soma das áreas desses retângulos é uma Soma de Riemann de f com relação a P .
n
R(f; P ) = f(wi).∆xi representa uma aproximação da área A que desejamos calcular.
i=1
A área A é o limite das Somas de Riemann quando refinamos a partição P , ou seja, tomamos
mais divisões ainda, de modo que P → 0 .
Exemplos:
A = lim
P →0
n
b
f(wi).∆xi = f(x) dx
i=1
(A) Vamos obter a área de um círculo de raio r :
a

Aplicações geométricas
da Integral Definida 171
Obs.: Se f, g : [a, b] → IR são contínuas e f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b], a integral nos
permite calcular a ÁREA ENTRE OS DOIS GRÁFICOS, de x = a até x = b :
b
A = [f(x) − g(x)] dx
a
(mesmo que f ou g sejam negativas, o que importa é que f(x) ≥ g(x) em [a, b])
(B) Calcule a área delimitada pelos gráficos das funções f(x) = x e g(x) = x 2 entre x = 0
e x = 1 :
Obs.: Raciocínio semelhante pode ser feito para se obter áreas delimitadas por gráficos de
equações onde x é dado como função de y ( x = f(y) ).

172 CAPÍTULO 5
(C) Calcule a área delimitada pela curva x = −y 2 + 3y e o eixo Oy das ordenadas.
(D) Refaça o exemplo (B) anterior usando o raciocínio da última observação. (Exercício)
Exercícios:
1) Se f(x) = 2x2
∀ x = 4 , calcule a área sob o gráfico de f entre x = 0 e x = 2.
(x − 4) 2
2) Se g(x) = 3x
∀ x ∈ IR , calcule a área sob o gráfico de g entre x = 0 e x = 2.
ex 3) Qual o valor de a (a > 1) para que a região sob o gráfico de y = 1/x entre x = 1 e x = a
tenha área igual a 5 u.a. ?
4) Mostre que, para qualquer a > 1, a área sob a curva y = 1/x 2 entre x = 1 e x = a é sempre
menor do que 1 u.a.
5) Faça um esboço e calcule as áreas das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes
equações:
(a) y = 1/x 2 , y = −x 2 , x = 1 , x = 2 ;
(b) y = x 2 + 1 ; y = 5 ;
(c) x = y 2 ; x = 2y 2 − 4 ;
(d) y = cos x ; y = sen x ; x = −π/2 ; x = π/6 ;
(e) y = e 2x ; y = x
x 2 + 1
(f) y = x
; x = 1 ; y = 0 ;
1 + x4 ; x = 0 ; x = 1 ;
6) Prove que as curvas de equações y = x 2 e x = y 2 dividem o quadrado de vértices
(0, 0) , (1, 0) , (0, 1) e (1, 1) em 3 regiões de mesma área. Faça também um esboço.

Aplicações geométricas
da Integral Definida 173
5.2 Volumes de (alguns) sólidos de revolução
Problema: Seja f : [a, b] → IR contínua ( f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ).
Como calcular o volume do sólido de revolução gerado quando rodamos a região sob o
gráfico de y = f(x), entre x = a, x = b e o eixo Ox, em torno do eixo Ox ?
Solução: Iniciamos (novamente) com uma partição P do intervalo [a, b]
Em cada intervalo [xi−1, xi] da partição, escolhemos um ponto wi e consideramos o
retângulo de base ∆xi e altura f(wi) .
Girando este retângulo (de base ∆xi e altura f(wi) ) em torno do eixo Ox, obtemos um
cilindro de volume π.f(wi) 2 . ∆xi :
Somando os volumes desses cilindros, temos uma aproximação para o volume que desejamos
calcular.

174 CAPÍTULO 5
n
i=1
π.f(wi) 2 . ∆xi = R(πf 2 ; P )
O volume V procurado é o limite desta soma quando P → 0 , ou seja, quando refinamos
a partição P :
V = lim
P →0
n
πf(wi) 2 ∆xi =
1=1
b
πf(x) 2 dx
Obs.: Raciocínio análogo para girar x = f(y) em torno do eixo Oy !
Exemplos:
(A) Vamos obter o volume da “bola” de raio r :
Obs.: Se f, g : [a, b] → IR são contínuas e f(x) ≥ g(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b], a integral nos
permite calcular o volume do sólido obtido quando giramos a região entre os gráficos de f e g
em torno do eixo Ox :
a
b
V =
a
π[f(x) 2 − g(x) 2 ] dx

Aplicações geométricas
da Integral Definida 175
(B) Calcule o volume do sólido de revolução obtido quando giramos a região entre os gráficos
de f(x) = √ x e g(x) = x (entre x = 0 e x = 1) em torno do exo Ox .
Obs.: E se quisermos girar y = f(x) em torno do eixo Oy ?
Neste caso temos um novo problema...
Problema: Seja f : [a, b] → IR contínua ( f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ).
Como calcular o volume do sólido de revolução gerado quando rodamos a região sob o
gráfico de y = f(x), entre x = a, x = b e o eixo Ox, em torno do eixo Oy ?
Solução: (Método das cascas cilíndricas)
Consideremos, como sempre, uma partição P do intervalo [a, b].
Em cada intervalo [xi−1, xi] da partição, fixemos seu ponto médio di e consideramos o
retângulo de base ∆xi e altura f(di) .

176 CAPÍTULO 5
Girando este retângulo (de base ∆xi e altura f(di) ) em torno do eixo Oy, obtemos uma
CASCA CIL ÍNDRICA
de volume
πx 2 i · f(di) − πx 2 i−1 · f(di) = π(xi − xi−1) · (xi + xi−1) · f(di) = π∆xi · 2 xi + xi−1
= 2π di f(di) · ∆xi
2
· f(di) =
Somando os volumes dessas cascas cilíndricas, temos uma Soma de Riemann da função
g(x) = 2πx.f(x) , a qual representa uma aproximação para o volume que desejamos calcular.
n
2π di f(di) · ∆xi = R(2πxf(x); P )
i=1
O volume V procurado é o limite desta soma quando refinamos a partição P , de modo que
P → 0 :
V = lim
P →0
n
2π di f(di) · ∆xi =
1=1
b
2πxf(x) dx
Exemplo: Calculemos o volume do sólido obtido quando giramos a região delimitada pelo
gráfico de y = f(x) = 2
, x = 1 , x = 2 e o eixo Ox , em torno do eixo Oy :
x
a

Aplicações geométricas
da Integral Definida 177
Exercícios:
1) Utilize a integral definida para deduzir (faça um esboço) a fórmula do volume de um cone
circular reto com raio da base r e altura h.
2) Giramos em torno do eixo Ox a região delimitada por y = sec x ; x = −π/3 ; x = π/3 ;
y = 0 . Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
3) Giramos em torno do eixo Ox a região delimitada por y = 1
√ x ; x = 1 ; x = 4 ; y = 0 .
Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
4) Seja R a região delimitada por y =
1
(x − 1)(4 − x)
; x = 2 ; x = 3 ; y = 0 .
Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido quando...
...giramos R em torno do eixo Ox;
...giramos R em torno do eixo Oy;
5) Giramos em torno do eixo Oy a região do plano delimitada por y = ln x ; y = 0 ; x = e .
Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
6) Fazemos girar em torno do eixo Ox a região do plano delimitada por y = tg x ; y = 0 ;
x = π/6 ; x = π/4 . Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
7) Seja S a região delimitada por y = sen x ; x = 0 ; x = π ; y = 0 .
Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido quando...
...giramos S em torno do eixo Ox;
...giramos S em torno do eixo Oy;
8) Fazemos girar em torno do eixo Ox a região do plano delimitada por y = 1
; y = 0 ;
1 + x2 x = 0 ; x = 2 . Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.
9) Giramos em torno do eixo Oy a região do plano delimitada por y = e−x2 ; y = 0 ; x = 0 ;
x = 1 . Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.

178 CAPÍTULO 5
(a)
(b)
(d)
(a)
Coletânea de provas anteriores (1)
Questão 1: (45 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
1
(3x
0
2 + 1)e x dx
e
1/e
1
0
ln x cos(ln x)
x
dx (c)
2x 4 − 4x 3 − x 2 + 3x − 7
x 3 − 2x 2 + x − 2
dx
π/3
π/6
tg θ
cos 2 θ dθ
Questão 2: (25 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
x 3
√ 9 − x 2
dx (b)
2 sen 3θ sen 2 θ dθ
Questão 3: (15 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo con-
vergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
(a)
(b)
+∞
1
1
0
ln x
dx
x2 1
x(x2 dx
+ 1) 2
Questão 4: (15 pts) Considere a região R delimitada por y = 2x 2 , x = 1 e y = 0 .
(a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área;
(b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sx obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Ox ;
(c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sy obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Oy ;
(d) Responda: Qual dos dois sólidos de revolução (Sx ou Sy) tem o maior volume ?

Aplicações geométricas
da Integral Definida 179
(a)
(c)
(d)
(a)
Coletânea de provas anteriores (2)
Questão 1: (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
π/2
0
(5+π) 2
(5−π) 2
1
0
2+ln(2x+π sen x+1)
4 · e
π
( √ x − 5) sen ( √ x − 5)
2 √ x
dx (b)
dx
2x 5 + 3x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 2x − 1
x 4 + 2x 3 + 2x 2 + 2x + 1
π/4
π/6
tg θ
sen 2 θ dθ
Questão 2: (20 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
1
(4 − x2 dx (b)
) 3/2
dx (Obs.: x 4 +2x 3 +2x 2 +2x+1 = (x+1) 2 (x 2 +1) )
(2 cos 2 θ − 1) cos 5θ dθ
Questão 3: (16 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo con-
vergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
(a)
3
2
y = 0 .
ln(3 − x) dx (b)
+∞
0
e −r2
r dr
Questão 4: (16 pts) Considere a região R delimitada por y = 2 √ x , x = 1 , x = 2 e
(a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área;
(b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sx obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Ox ;
(c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sy obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Oy ;
(d) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (Sx ou Sy) tem o maior
volume ?

180 CAPÍTULO 5
(a)
(b)
(d)
(a)
Coletânea de provas anteriores (3)
Questão 1: (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
1
0
4
1
1
0
cos(πx) − 3x 2 + 5 + e (2x−1) dx
e (√ x +1) dx (c)
π/3
(1 + tg θ) 2 dθ
π/4
x 4 − 2x 3 + 3x 2 + 3
−x 3 + 2x 2 − x + 2 dx (Obs.: −x3 + 2x 2 − x + 2 = x 2 (−x + 2) + (−x + 2) = . . . )
Questão 2: (20 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
9
(x2 dx (b)
− 9) 3/2
sen 2θ · sen 2 θ · cos θ
2
Questão 3: (16 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo con-
vergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
(a)
(b)
1
0
+∞
e
ln x
dx
x3 1
dx
x(ln x) 3/2
Questão 4: (16 pts) Considere a região R delimitada por y = cos x , x = 0 , x = π
2 e
y = 0 .
(a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área;
(b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sx obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Ox ;
(c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sy obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Oy ;
(d) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (Sx ou Sy) tem o maior
volume ?
dθ

Aplicações geométricas
da Integral Definida 181
(a)
(d)
(a)
Coletânea de provas anteriores (4)
Questão 1: (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
−1/e 2
−1
2
1
3 − 1
x
1
+
x2
dx (b)
3x 5 + 12x 4 + 8x 3 − 3x 2 + 2x + 3
x 3 + 4x 2 + 3x
π/3
π/6
1 − sen θ
cos 2 θ
dθ (c)
Questão 2: (20 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(1 − 2 sen 2 θ) cos 4θ dθ (b)
3 √ 4
0
3
8 (x3 − 2) 6 x 2 dx
dx (Obs.: x 3 +4x 2 +3x = x(x 2 +4x+3) = . . . )
√
x2 + 1
(x2 dx
+ 1) 3
Questão 3: (16 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo con-
vergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
(a)
(b)
+∞
0
π
0
y = 0 .
tg
( sen t) · e −st dt (s > 0, constante)
θ
dθ
2
Questão 4: (16 pts) Considere a região R delimitada por y = ln x , x = 1 , x = e e
(a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área;
(b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sx obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Ox ;
(c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução Sy obtido quando giramos a
região R em torno do eixo Oy ;
(d) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (Sx ou Sy) tem o maior
volume ?

182 CAPÍTULO 5
(a)
(c)
(a)
Coletânea de provas anteriores (5)
Questão 1: (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas:
−1
−2
√ 3
1
2 (x+2) − 1
π/6
dx (b)
x
π/4
2x 5 + x 4 + 14x 3 + 15x − 3
x 4 + 3x 2 dx (d)
cos 2 θ + tg 2 θ
tg θ
e
1
dθ
x 3 · ln x dx
Questão 2: (20 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas:
2 · cos 2θ · sen 3 3θ dθ (b)
1
(1 − x2 dx
) 5/2
Questão 3: (16 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo con-
vergem ou não e obtenha os valores das que convergirem:
(a)
(b)
+∞
0
√ 2
1
t 2 · e −st dt (s > 0, constante)
x
2 3√ x 2 − 1 dx
Questão 4: (16 pts) Considere o retângulo R delimitado pelas retas x = 0 , x = 2 ,
y = 0 , y = e 2 .
(a) A curva y = e x divide R em duas regiões R1 e R2 , sendo R1 adjacente ao eixo Ox e
R2 adjacente ao eixo Oy . Faça um esboço com essas três regiões.
(b) Qual das regiões ( R1 ou R2 ) tem a maior área ? (mostre as contas)
(c) Obtenha o volume do sólido S1 obtido quando giramos a região R1 em torno do eixo
Ox . Faça um esboço.
(d) Obtenha o volume do sólido S2 obtido quando giramos a região R2 em torno do eixo
Oy . Faça um esboço.
(e) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (S1 ou S2) tem o maior
volume ?

Aplicações geométricas
da Integral Definida 183
Respostas de exercícios
• Página 172:
1) 12 − 16 ln 2 2) 3e2 − 9
e 2 3) a = e 5 4)
5) a) 17
6
b) 32
3
c) 32
3
6) A área de cada região é de 1
3 u.a.
• Página 177:
1) V = πr2 h
3
4) V0x =
d) 3 + √ 3
2
a
u.v. 2) V = 2π √ 3 3) V = 2π ln 2
(3 + 4 ln 2)π
27
, V0y =
6) V0x = (12 − 4√3 − π)π
12
8) V0x = π
arc tg 2 +
2
2
5
• Página 178: Coletânea 1
10 ln 2π
3
1
1 1
dx = 1 −
x2 a
e) e1 − 1 − ln 2
2
2 e + 1
5) V0y = π
2
7) V0x = π2
2 , V0y = 2π 2
9)
(e − 1)π
e
Questão 1) a) 4e − 7 b) 0 (zero) c) 4
3
Questão 2) a) (9 − x2 ) 3/2
− 9(9 − x 2 ) 1/2 + C b)
Questão 3) a) 1 (converge) b) diverge
3
d) 1 + 3π
4
cos 5θ
10
− cos 3θ
3
< 1
f) π
8
1
a
+ cos 2θ
2
Questão 4) a) AR = 2
3 u.a. b) VSx = 4π
5 u.v. c) VSy = π u.v. d) Adivinhe !
• Página 179: Coletânea 2
Questão 1) a) e 2 (π + 6) b)
Questão 2) a)
ln 3
2
x
4 √ + C b)
4 − x2 c) 2π d)
sen 7θ
14
+ sen 3θ
6
π − 2
4
+ D
> 0
+ D

184 CAPÍTULO 5
Questão 3) a) −1 (converge) b) 1
2 (converge)
Questão 4) a) AR = 4(2√ 2 − 1)
3
c) VSy = 8π(4√ 2 − 1)
5
• Página 180: Coletânea 3
u.v. d) VSy > VSx
u.a. b) VSx = 6π u.v.
Questão 1) a) e2 + 8e − 1
2e
b) 2e3 c) √ 3 + ln 2 − 1 d)
Questão 2)
x
a) −√
+ C
x2 − 9
b) cos5 θ
5 − cos3 θ
+ D
3
Questão 3) a) diverge b) 2 (converge)
7 ln 2 − 1
2
Questão 4) a) AR = 1 u.a. b) VSx = π2
4 u.v. c) VSy = π 2 − 2π u.v. d) VSy > VSx
• Página 181: Coletânea 4
Questão 1) a) e4 + 4e 2 − 3
e 2
Questão 2) a)
sen 6θ
12
+ sen 2θ
4
b) 4√ 3 − 6
3
+ D b)
c) 32
7
2x3 + 3x
(x2 + C
+ 1) 3/2
d)
12 + 3 ln 2 + ln 3 − ln 5
2
Questão 3)
Questão 4)
1
a) (converge) b) diverge
1 + s2 a) AR = 1 u.a. b) VSx = π(e − 2) u.v.
2 e + 1
c) VSy = π u.v.
2
d) VSy > VSx
• Página 182: Coletânea 5
Questão 1) a)
Questão 2) a)
1
3 1
+ ln 2 b) −ln +
ln 2 2 8
sen 2θ
2
− sen 8θ
16
− sen 4θ
8
c) 4√ 3
3
+ D b)
3
+ 4 ln 3 −
2 ln 2 + π√3 18
3x − 2x3 3(1 − x2 + C
) 3/2
d) 3e4 + 1
16
Questão 3) a) 2
(converge)
s3 b)
3
8 (converge)
Questão 4) b) AR1 < AR2 c) VS1 = π(e4 − 1)
u.v.
2
d) VS2 = π(2e2 e) VS1 > VS2
− 2) u.v.

Referências
[1] Swokowski, Earl W., Cálculo com geometria analítica, vol. 1. Makron Books.
[2] Leithold, Louis, Cálculo com geometria analítica. Makron Books.
[3] Simmons, George F., Cálculo com geometria analítica. Makron Books.
[4] Munem, Mustafa e Foulis, David J., Cálculo. Editora Guanabara Dois.
[5] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de cálculo, vol. 1. Editora LTC.
185