Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II - UFPB Virtual

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professor: Eduardo Gonçalves dos Santos
Curso de Licenciatura em Matemática – UFPBVIRTUAL
eduardo@mat.ufpb.br
Ambiente Virtual de Aprendizagem: Moodle www.ead.ufpb.br
Site da UFPBVIRTUAL www.virtual.ufpb.br
Site do curso www.mat.ufpb.br/ead
Telefone UFPBVIRTUAL (83) 3216 7257
Carga horária: 60 horas Créditos: 04
Ementa
Descrição
Derivadas e Integrais.
Esta disciplina consiste de uma continuação do estudo das derivadas iniciado no curso de Cálculo
Diferencial e Integral I, bem como de uma apresentação ao conceito de integral. O programa da disciplina está
dividido em cinco unidades. Na primeira ampliaremos o nosso leque de regras de derivação, através de um
aprofundamento no estudo da regra da cadeia que possibilitará a derivação de funções compostas, bem como de
funções dadas na forma implícita e de funções inversas. A segunda unidade aborda algumas aplicações da
derivada, destacando-se aí aquelas relativas ao estudo do comportamento de uma função no que se refere a
máximos, mínimos, crescimento, decrescimento e concavidades. A terceira unidade introduz os conceitos de
integral definida e primitiva, relacionando-os através do chamado Teorema Fundamental do Cálculo. A quarta
unidade faz um estudo sobre algumas técnicas para a determinação de primitivas. Na quinta unidade serão dadas
algumas aplicações geométricas da integral definida, como o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos.
Também durante a quarta unidade será feito um rápido estudo sobre o sistema de coordenadas polares.
As idéias presentes neste curso são bastante antigas e sobre elas vários homens de ciência dedicaram boa
parte de suas carreiras nos mais variados períodos da história da humanidade. Dentre eles, podemos citar
Arquimedes de Siracusa, Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Pierre Fermat, Augustin Cauchy, Joseph-Louis
Lagrange, Julius Dedekind, Bernhard Riemann e Karl Weierstrass.
Esse ramo da Matemática, conhecido em um contexto mais avançado como Análise Matemática,
despertou paixões, causou crises e, logicamente, promoveu o avanço do conhecimento humano. O seu estudo,
além de enriquecedor no sentido da aquisição pura e simples do conhecimento, é útil e importante na formação
do futuro professor uma vez que proporciona uma forte ligação entre conceitos de aspectos puramente teóricos a
situações das mais variadas naturezas.
Objetivos
Ao final do curso, espera-se que o aluno esteja habilitado a:
Compreender o funcionamento da regra da cadeia e utilizá-la no cálculo de derivadas de funções
dadas tanto na forma explícita quanto na forma implícita.
Compreender a interpretação dada à derivada de uma função como sendo uma velocidade e utilizá-la
na resolução de diversos problemas.
Estudar o comportamento de uma função no que diz respeito a pontos extremos, concavidade e
comportamento no infinito.
Esboçar com rigor o gráfico das principais funções.
Compreender o significado da integral definida e relacioná-lo com o conceito de primitiva.
65

Utilizar a integral definida para calcular áreas, volumes e comprimentos de arco em alguns casos.
Ler, interpretar e comunicar idéias matemáticas.
Unidades Temáticas Integradas
Unidade I Regras de Derivação
• Derivada da função composta
• Derivada de funções dadas na forma implícita
• Derivada da função inversa
• Derivadas de algumas funções inversas
Unidade II Interpretando e Utilizando a Derivada
• Taxas de variação
• Crescimento e decrescimento
• Máximos e mínimos locais
• Máximos e mínimos globais
• Concavidade e pontos de inflexão
• Esboço de gráficos
• O Teorema do valor médio
Unidade III Integral Definida e Primitivas
• Motivação inicial: o problema da área
• Integral definida: definição e propriedades
• Primitivas
• O teorema fundamental do cálculo
Unidade IV Algumas Técnicas para se Encontrar Primitivas
• Integração por substituição
• Integração por partes
• Substituições trigonométricas
• O método das frações parciais
Unidade V Aplicações Geométricas da Integral Definida
• Cálculo de áreas
• O sistema de coordenadas polares
• Comprimentos de arcos
• Volumes de sólidos de revolução
66

Unidade I: Regras de Derivação
1. - Situando a Temática
No curso de Cálculo Diferencial e Integral I tivemos a oportunidade de definir e interpretar
geometricamente um objeto bastante importante na matemática que é a derivada de uma função. Vimos que para
obtê-la existem algumas regras que evitam o uso da definição e tornam seu cálculo bastante simplificado. Nesta
unidade ampliaremos o estudo da Regra da Cadeia o que nos permitirá derivar uma quantidade considerável de
funções.
Além disso, utilizaremos a referida regra para obter a derivada de funções dadas na forma implícita e a
derivada da inversa de algumas funções.
2. - Problematizando a Temática
As primeiras regras de derivação que foram estudadas em Cálculo Diferencial e Integral I não eram
suficientes para derivar uma quantidade importante de funções como determinados tipos de funções compostas.
Para tratar desse problema, tornou-se necessária a introdução de uma nova regra, conhecida como Regra da
Cadeia. Aqui vamos explorar este tema de uma forma mais profunda.
3. - Conhecendo a Temática
3.1. - Derivada da Função Composta
No curso de Matemática para o Ensino Básico II tomamos contato com uma situação que permitia obter
uma nova função a partir de duas outras. Mais especificamente, dadas f : A→Be g : B→ C funções,
definimos a função h: A C
h x = g f x . A função h é chamada de função composta de
( )
→ pela fórmula ( ) ( )
g e f e denotada por g f.
Estamos interessados aqui em obter uma fórmula que forneça a derivada da função
h a partir das derivadas de f e g . Com esse objetivo em mente vamos analisar o seguinte exemplo:
h x = 2x+ 3 e vamos tentar obter sua derivada. O nosso impulso
inicial é desenvolver o quadrado do binômio. Fazendo isso ficamos com:
Exemplo 3.1.1. Considere a função ( ) ( ) 2
( )
h x = x + x+
Agora usamos a regra de derivação de polinômios e vemos que:
( )
2
4 12 9.
h'x = 8x+ 12.
Aqui há algo que simplificou bastante essa tarefa: o expoente do binômio é pequeno, o que permitiu que nós o
desenvolvêssemos. Se o expoente fosse, por exemplo, 20, tal desenvolvimento, apesar de possível, seria bastante
laborioso e o cálculo da derivada tornar-se-ia bastante penoso. Imagine o caso em que o expoente é 100.
A situação discutida no Exemplo 3.1.1. nos mostra ser necessário o conhecimento de uma nova regra de
derivação que permita derivar funções como aquela que lá foi discutida. Essa nova regra será chamada Regra da
Cadeia pelo fato de que as derivadas serão executadas como num processo em cadeia, em seqüência. Vamos
revisitar o Exemplo 3.1.1. a fim de que possamos ter uma pista acerca do funcionamento da dita regra.
Exemplo 3.1.1 (Revisitado). Em primeiro lugar vamos encarar h como uma função composta. De fato, se
2
fizermos g ( x) = x e f ( x) = 2x+ 3 então vemos que h( x) = g( f ( x)
). Agora perceba que:
( ) ( )
h' x = 8x+ 12= 2× 2x+ 3 ×
2.
67

( ) ( )
Mas veja que g '( x) = 2x,
f '( x ) = 2 e g' f ( x) = 2× 2x+ 3 . Portanto olhando para a expressão de
h'( x ) obtida antes vemos que:
h'( x) = g'( f ( x) ) × f ' ( x)
.
A conclusão obtida na nova visita que fizemos ao Exemplo 3.1.1. nos dá uma pista sobre o aspecto da Regra da
Cadeia. Ela sugere que a derivada da função composta é obtida multiplicando as derivadas das funções
envolvidas, mas com uma ressalva: nesse produto a derivada da função g está calculada no ponto f ( x ) . Em
termos mais precisos podemos enunciá-la assim.
( )
Regra da Cadeia: Se h( x) g f ( x)
= e f e g são funções deriváveis então
( ) ( )
( ) ( )
h' x = g' f x × f ' x .
A demonstração da Regra da Cadeia ficará postergada para o curso de Introdução à Análise. Aqui vamos
explorar o seu poder para derivar funções mais complexas. Veremos agora diversos exemplos.
Exemplo 3.1.2. Calcule a derivada das seguintes funções:
a. ( ) ( ) 2008
h x = 2x+ 3 b. h( x)
2 ⎛3x+ 4x⎞
= ⎜ 2 ⎟
⎝ 2x+ 1 ⎠
5
( ),
c. h( x)
68
⎛ 2x+ 1⎞
= ⎜ ⎟
⎝5x+ 3⎠
−2
h x = 3x + 5x + 6x
d. ( ) 3 2
2008
Vejamos a letra (a). Temos que h( x) = g f ( x)
onde f ( x) = 2x+ 3 e g( x) = x . Como ( )
2007
g'( x) = 2008 x , segue pela regra da cadeia que:
2007 2007
h'( x) = 2008( 2x+ 3) × 2 = 4016( 2x+ 3 ) .
f ' x = 2e
Vejamos a letra (b). Aqui vamos precisar lembrar a regra de derivação do quociente. Em primeiro lugar temos
2
3x+ 4x
h( x) = g( f ( x)
), onde f ( x)
= 2
2x1 g x = x . Note que:
g ' x = 5 x .
e que ( ) 4
( )
f ' x
Assim, pela regra da cadeia, podemos dizer que:
+ e ( ) 5
( 2 + 1)( 6 + 4) − ( 3 + 4 )( 4 ) 6 + 4−8 2 ( 2x + 1) 2 ( 2x + 1)
x x x x x x x
= =
2 2 2
( )
2 2
( x +
4
x) ( x+ − x )
( )
⎛3x + 4x⎞ 6x+ 4−8x 53 4 6 4 8
h'( x)
= 5⎜
⎟
=
⎝ ⎠ + +
2
4
2
2 2
2
2 6
2x+ 1 2 2
2x 1 2x 1
Passemos à letra (c). Temos que h( x) = g f ( x)
onde f ( x)
( )
f ' x
( x+ ) − ( x+
)
( 5x+ 3) ( 5x+ 3)
25 3 52 1 1
= =
2 2
( ),
2x+ 1
=
5x3 g'x −2
= . Portanto
x
e que ( ) 3
+ e ( ) −2
g x x .
.
= Agora note que

Finalmente, vejamos a letra (d). Note que ( ) ( )
Como g'( x)
=
1
e f '( x) 2
9x 10x 6
69
25 ( x + 3)
( )
2 1
h'( x)
=− × =−
3 2
⎛ 2x+ 1⎞ ( 5x+ 3) ⎜ ⎟
⎝5x+ 3⎠
3
2x+ 1
.
h x = g( f x ), onde g ( x) =
3 2
xe
f ( x) = 3x + 5x + 6x.
= + + , temos que
2 x
2
1 2
9x + 10x+ 6
h'( x) = × ( 9x + 10x+ 6)
=
.
2 2 2 2
2 3x+ 5x + 6x 2 3x + 5x + 6x
Exemplo 3.1.3. Na tabela abaixo, são dadas informações sobre as funções f e g :
x f ( x )
f '(
x )
g ( x )
g '(
x )
-1 2 3 2 -3
2 0 4 1 -5
( )
= . Observe que, pela regra da cadeia, temos que
Vamos determinar o valor de h '( − 1)
, onde h( x) f g( x)
h'( x) = f '( g( x) ) × g' ( x)
, ou seja, quando fizermos 1,
h'( 1) f '( g( 1) ) g'( 1) f '( 2) g'(
1) 4 ( 3) 12
e'( − 1)
, onde e( x) = g( f ( x)
). Com efeito, pela regra da cadeia, temos que ( ) ( )
seja, e'( − 1) = g' f ( − 1) × f ' − 1 = − 5 × 3=− 15.
x = − vamos obter
− = − × − = × − = × − =− . De forma análoga, podemos calcular
( ) ( ) ( )
Exemplo 3.1.4. Calcule a derivada das seguintes funções:
2
= ( ( ) ) b. g( x) = cos ln ( x + 1)
a. f ( x) sen cos tg( x)
( )
( ) ( )
e' x = g' f x × f ' x , ou
Observe que nesses dois exemplos há uma composição de mais de duas funções. Nesse caso, como em outros
desse tipo, usamos uma interpretação muito útil e que simplifica bastante o uso da Regra da Cadeia. Se
observarmos, em todos os exemplos até agora vistos, a regra da cadeia funciona assim:
Começamos derivando a função mais externa, sem mexer naquela que está “dentro” dela e multiplicamos essa
derivada pela derivada daquela que está “dentro”. Enquanto houver funções “dentro”, continuamos derivando,
até chegarmos à variável independente.
Vamos ver como funciona isso nesse caso. A função mais externa é o seno, em seguida vem o co-seno e por
último vem a tangente. Seguindo a interpretação dada, primeiro derivamos o seno, sem mexer no que está dentro
dele. Fazendo isso, obtemos cos( cos( tg ( x ) ) ) . Em seguida, multiplicamos essa derivada pela derivada da
próxima função, sem derivar quem está dentro dela. Fazendo isso, obtemos
cos cos tg x × − sen tg x . Finalmente, derivamos a última função e obtemos:
( ( ( ) ) ) ( )
( ( ) )
2 2
( ( ) ) ( ( ( ) ) ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) ( )
( ) ( )
f ' x = cos cos tg x × − sen tg x × sec x =− cos cos tg x sen tg x sec x .
Vejamos agora a letra (b). A função mais externa é o co-seno, seguida do logaritmo e por último a função
quadrática. Repetindo o argumento anterior, ficamos com:

70
2 ( ( ) )
2 1 − 2xsen ln x + 1
g'( x) =− sen( ln( x + 1) ) × × 2 x=
.
2 2
x + 1 x + 1
Ampliando o seu Conhecimento
Leia com atenção os exemplos acima. Não deixe de compreender nenhuma passagem. Na plataforma
MOODLE vamos disponibilizar mais exemplos resolvidos para que você fique bastante familiarizado
com a regra da cadeia. Não deixe de visitar o nosso ambiente virtual.
3.2. - Derivadas de funções dadas na forma implícita
Na linguagem quotidiana a palavra implícita diz respeito a algo que não está dito de modo claro,
evidente. Em matemática o significado é bastante semelhante. Para entendermos isso basta olharmos para as
funções com as quais temos lidado até agora. Quando dizemos seja y = f ( x)
uma função de x, fica claro,
explícito a maneira de associar um único y para cada x atribuído. Entretanto, nem sempre as coisas acontecem
assim. Em determinados contextos, nos é dada uma expressão envolvendo x e y e pergunta-se: em que condições
essa expressão nos permite explicitar y como função de x, ou o contrário? A resposta não é simples e não
trataremos desta questão aqui. O nosso principal interesse é o seguinte: Dada uma expressão envolvendo x e y, e
supondo que essa expressão nos permita explicitar y como função de x, como fazer para encontrar a derivada de
y com relação a x? Antes de prosseguirmos, convém adotarmos uma notação. Nesta seção a derivada de y com
relação a x será denotada por y’. Vejamos através de alguns exemplos, como proceder para atingirmos nosso
objetivo.
Exemplo 3.2.1. Vamos olhar para a expressão xy = 1 cujo
gráfico no plano cartesiano é uma curva chamada hipérbole que
está desenhada ao lado. Observe que, neste caso, a expressão
tanto fornece y como função de x como o contrário. Se
quiséssemos encontrar y’ poderíamos proceder de duas maneiras.
A primeira é expressar diretamente y como função de x usando a
equação, o que resulta em:
1
y = ,
x
que, quando derivada, nos fornece
1
y ' =− .
2
x
A segunda será aquela que nós utilizaremos com mais freqüência. Derivamos diretamente a expressão, sempre
lembrando que é possível explicitar y como função de x. Fazendo isso, teremos:
( ) '
xy = 0 ,
uma vez que a derivada da função constante é zero. Usando a regra do produto, ficaremos com:
x'y+ xy'=
0.
como a derivada de x com relação a x é 1, temos que essa última igualdade toma o seguinte aspecto:
y+ xy'=
0,
ou ainda,
' .
y −
y =
x

Notemos que se substituirmos y por 1 ,
x obteremos nessa última expressão 2
x
71
1
y ' = − , ou seja, o mesmo que
encontramos anteriormente. Agora um comentário sobre este exemplo: ele é muito especial, pois a expressão nos
permite tirar y como função de x e o contrário. Agora vamos ver um exemplo onde não podemos fazer isso.
4 3
Exemplo 3.2.2. Supondo que a expressão xy− 3xy= 60defina
implicitamente y como função de x, vamos
encontrar y’. Usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivar ambos os membros da igualdade com
relação a x, ficaremos com:
Agora isolando y’ ficamos com
( )
3 3 2 4
4xy 3yyx ' 3 y xy'
0
+ − + = .
3 3
3y−4xy y ' =
.
2 4
3yx − 3x
Perceba uma diferença entre este exemplo e o anterior. No primeiro, y’ ficou apenas em função de x, enquanto
que no segundo, y’ ficou em função tanto de y como de x. Isso aconteceu porque no primeiro exemplo pudemos
explicitar y como função de x, enquanto que no segundo isso não foi possível.
Lembre que, no curso de Cálculo Diferencial e Integral I, foi visto que a derivada de uma função f no ponto
( a, f ( a ) ) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico daquela função naquele ponto. Portanto, quando
calculamos a derivada y’ de uma função definida implicitamente por uma expressão envolvendo x e y o que
estamos encontrando é o coeficiente angular da reta tangente àquela curva - já que no plano cartesiano a
expressão é representada por uma curva - num dado ponto. Vamos ver dois exemplos sobre isso.
Exemplo 3.2.3. Usando a técnica da derivação implícita, vamos
encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva
3 3
x y 6xy
3,3 . Ao lado está mostrado o esboço
+ = no ponto ( )
de um pedaço dessa curva, conhecida como Fólium de Descartes.
Observe que para encontrarmos a equação da reta pedida,
devemos primeiro encontrar o seu coeficiente angular que será
dado por y’, calculado em ( 3,3 ) . Derivando a equação da curva
com respeito a x, ficamos com:
2 2
3x+ 3y y'= 6 y+ xy'
.
Isolando o termo y’, ficaremos com:
( )
2 2
6y−3x2y−x y ' = = ,
2 2
3y−6xy−2x Agora fazendo x=3 e y=3, encontraremos y '= −1. Portanto, a equação da reta tangente ao Fólium de Descartes
no ponto ( 3,3 ) será dada por:
y − 3
= −1,
x − 3
ou seja, y − 3= 3 −x, ou ainda, x+ y = 6. Veja que na figura acima a reta possui coeficiente angular negativo, o
que se confirma no coeficiente por nós encontrado.

2 2
Exemplo 3.2.4. Vamos determinar os pontos da curva x − xy+ y = 3, onde a reta tangente é horizontal. A
curva dada representa uma elipse com eixos não paralelos aos eixos cartesianos. Para encontrarmos os pontos
pedidos, devemos derivar a equação implicitamente com relação a x e encontrarmos os pontos onde y '= 0.
Fazendo isso, obtemos:
Isolando y ', ficamos com:
3.3. - Derivada da função inversa
( )
2x− y + xy ' + 2yy '= 0.
y−2x y ' =
2y−
x
.
Nos pontos que queremos determinar vale y '= 0.
Portanto,
y = 2x.
Substituindo na equação da curva, teremos:
Ampliando o seu Conhecimento
A regra da cadeia vista anteriormente nos serve para encontrar a derivada da inversa de uma função.
Vamos recordar a seguinte definição
Uma função f : A→Bé dita invertível se existir uma outra função g : B A
para todo x A
( ) ,
f g x = x para todo x ∈ B.
∈ e ( )
72
( ) = ,
→ de modo que ( )
g f x x
Em termos mais concretos, a função f é invertível, se existir uma outra função g que desfaça o que ela
faz. Perceba que se f é invertível então a g que desfaz o que ela faz também é invertível, pois f desfaz o que g
faz! Chamamos a função g de inversa da função f. Pela discussão precedente, a função f será chamada de inversa
da função g.
Exemplo 3.3.1. A função f : R R
( ( ) ) ,
g f x = x para todo x R
x
2
2 ( 2x)
+ ( 2 ) = 3,
− x x
ou seja, 3 3
2 2
x = o que nos fornece x = 1 e, portanto, x = 1 ou
x = −1.
Assim, substituindo em y = 2x,
ficaremos com dois
valores, y = 2 ou y = −2
e daí os pontos serão ( 1 , 2)
e ( − 1, −2)
.
Veja a figura ao lado.
Existe um critério bastante interessante que nos permite dizer se uma dada expressão da forma
F( x, y ) = 0 define y como função de x ou o contrário. Esse resultado é conhecido como Teorema
da Função Implícita e é um dos principais resultados da disciplina chamada Análise Matemática.
→
3
dada por f ( x) = x é invertível, pois a função ( )
∈ e f g( x) = x para todo x ∈ R .
( ) ,
1
3
g x = x satisfaz

Nosso interesse agora é obter uma fórmula para o cálculo da derivada da função inversa. Seja então
f : A→ B uma função invertível, onde A e B são subconjuntos de R..Derivando a igualdade
( ( ) ) ,
f g x = x ficaremos com
( f ( g( x ) ) ) ' = 1,
Usando a Regra da Cadeia, esta igualdade transforma-se em:
ou seja, g ( x)
fato:
( ( ) )
( ( ) ) ( )
f ' g x × g' x = 1,
1
' = . para todo x onde essa fração fizer sentido. Podemos então enunciar o seguinte
f ' g x
Fórmula para a derivada da função inversa:
Se f : A→ B é uma função invertível, onde A e B são subconjuntos de R e g : B→ A é a sua inversa, então
1
g' ( x)
= .
f ' g x
onde essa fração fizer sentido
Vamos discutir alguns exemplos.
73
( ( ) )
f x = 2x + 5x+ 3.
Podemos mostrar que f é invertível. Não faremos isso
Exemplo 3.3.2. Considere a função ( ) 3
aqui. Vamos explorar outro aspecto. Chamando a inversa de f de g, podemos calcular g '3. ( ) Usando a fórmula
para a derivada da função inversa, temos que:
g '3 ( ) = .
f '( g(
3)
)
2
Sabemos que f '( x) = 6x + 5, mas não conhecemos o valor de g ( 3. ) Mas veja que se fizermos g ( 3)
= a e
levarmos em conta que g é a inversa de f, teremos que f ( a ) = 3. Como o único número cujo f é 3 é 0, segue que
a=0. Portanto, usando a fórmula anterior, temos
g '3 ( ) =
f '
1
g 3
=
1
f '0
1 1
= = .
6× 0+ 5 5
( ( ) ) ( ) 2
3 3
Exemplo 3.3.3. Considere a função f ( x) = x + 2 . Observe que a função inversa de f é g( x) = x−
2 .
Vamos calcular g '10 ( ) de duas maneiras: primeiro derivando g diretamente e segundo utilizando a fórmula
para a derivada da função inversa. Derivando g, obtemos:
( ) ( ) 2 − 1
g' x = x−
2 3 .
3
Portanto, ( ) ( ) 2 − 1 1
g '10= 8 3 = . Agora vamos obter esse mesmo resultado usando a fórmula para a derivada
3 12
da função inversa. A dita fórmula nos diz que
1
g '10 ( ) = .
f ' g 10
2
Observe que f '( x) = 3x
e g ( 10) = 2 , portanto g ( )
1
( ( ) )
1 1 1
'10 = = = . 2
f '2 3× 2 12
( )

3.4. - Derivadas de algumas funções inversas
Vamos utilizar os conhecimentos adquiridos nos parágrafos anteriores para obtermos a derivada de
algumas funções inversas muito importantes.
3.4.1. - Função Logarítmica
x
A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Mais precisamente, seja f ( x) = e a função
exponencial de base e. A inversa de f é a função g ( x) = ln ( x)
. Sabemos do curso de Cálculo I que a derivada
x
de f é dada por f '(
x) = e . Usando a fórmula para a derivada da inversa temos que
( )
g'x 1 1 1
= = = , ou seja,
f ' g x e x
( ( x)
)
ln(
x)
( ( ) )
' 1
ln = , para todo x > 0.
x
Exemplo 3.4.1.1. Calcule a derivada das seguintes funções:
2
x
= + b. f ( x) = ln ( 1+
e )
2
a. f ( x) ln ( x 1)
( ),
2
Observe que, na letra (a), f ( x) = m n( x)
onde m( x) = ln ( x)
e n( x) x 1.
Cadeia, ficaremos com:
( ) ( )
No caso da letra (b), a função mais externa é ln ( ) .
74
= + Assim, usando a Regra da
f ' x
1 2x
= m'( n x ) × n'( x) = × 2x=
2 2
x + 1 x + 1
.
x Vamos derivá-la, sem mexer no que está dentro dela, que no
2
x
1
nosso caso é 1+
e . Feito isso obtemos . Em seguida, multiplicamos esse resultado pela derivada da
2
x
1+
e
função que estava dentro. Só que essa também possui uma dentro de si. Assim, repetimos o mesmo processo de
1
2
x
antes. Quando fizermos esse produto ficaremos com e 2
x
1 e × . Agora multiplicamos esse resultado pela
+
x
2
derivada da função que estava dentro de 1+
e que era x . Feito isso ficaremos com:
2
x
1 2
x 2xe
f '( x) = × e × 2 x=
.
2 2
x x
1+ e 1+
e
3.4.2. - Função arco seno
A função f ( x) = sen( x)
possui como domínio o conjunto dos números reais, conforme aprendemos
no curso de Matemática para o ensino básico II, e imagem o intervalo fechado [ − 1,1 ] . Entretanto ela não é
invertível pelo fato de não ser injetora. Esse impedimento será contornado agora a fim de possibilitar que esta
função, bem como as outras funções trigonométricas, possua
inversa. O nosso procedimento aqui parecerá arbitrário e até
mesmo artificial numa primeira olhada, mas, em alguns
casos, os fins justificam os meios. A nossa estratégia será
diminuir o domínio da função f a fim de que, neste novo
domínio, ela passe a ser invertível. Observe o gráfico ao lado:

⎡ π π ⎤
Vamos tomar a função seno definida apenas no intervalo fechado
⎢
− ,
2 2⎥
⎡ π π ⎤
Agora definiremos uma função g : [ −1,1 ] →
⎢
− ,
⎣ 2 2⎥
da seguinte maneira:
⎦
Dado x ∈− [ 1,1 ] , ( )
⎡ π π ⎤
g x é definido como o único y ∈
⎢
− ,
⎣ 2 2⎥
⎦
75
⎣ ⎦ e tomando valores em [ 1,1]
sen y x
tal que ( ) . =
− .
Perceba algo de muito interessante com a função g: a sua definição foi construída de propósito, para que
ela fosse a inversa de f. A função g definida acima será chamada de função arco seno e representada assim
g ( x) = arcsen( x).
Antes de passarmos para o cálculo da derivada da função arco seno, vamos ver um
exemplo.
⎡ π π ⎤
arcsen . Quem é ele? É o único y ∈
⎢
− ,
⎣ 2 2⎥
⎦
⎡ π π ⎤
arcsen 1. Ele é o único y ∈
⎢
− ,
⎣ 2 2⎥
tal que
⎦
sen( y ) = 1. Mas sen 1.
2
π ⎛ ⎞ π
⎜ ⎟=
Logo arcsen()
1 = .
⎝ ⎠
2
Passaremos agora ao cálculo da derivada de g ( x) = arcsen( x).
Se fizermos arcsen( x) = y,
então teremos
Exemplo 3.4.2.1. Vamos calcular ( 0)
y é justamente 0. Portanto, arcsen ( 0) = 0. Calculemos agora ( )
tal que sen( y ) = 0. Esse
2 2
2
sen( y) = x e, como conseqüência da identidade sen ( y) + cos ( y)
= 1, teremos cos( y) 1 x
= − que é
⎡ π π ⎤
positivo, pois y ∈
⎢
− ,
⎣ 2 2⎥
. Utilizando a fórmula para a derivada da função inversa com f ( x) = sen( x)
e
⎦
g x = arcsen x bem como o fato de que a derivada da função seno é a função co-seno, teremos que
( ) ( )
( arcsen( x)
)
Como essa expressão só faz sentido se ( )
1 1 1
' = = =
cos 1
( arcsen( x 2
) ) cos y − x
x ∈ − 1,1 , segue que a derivada da função arco seno só existe nesse
intervalo. Resumindo nossa discussão, destacamos:
( ( ) ) '
arcsen x
=
1
1−
x
Exemplo 3.4.2.2. Calcule a derivada das seguintes funções:
2
a. f ( x) = arcsen( 3x)
b. m( x) = arcsen ( 2x)
2
( )
, com x ∈( − 1,1 ) ,
Comecemos pela letra (a). Observe que f ( x) = g h( x)
, onde g ( x) = arcsen( x)
e h( x) 3. x
pela Regra da Cadeia temos que:
f '( x) = g'( h( x) ) × h'( x)
=
1
1−3 × 3=
3
1−9x ( x)
2 2
.
= Portanto,
2
x sem mexermos na
Vejamos agora a letra (b). Em primeiro lugar derivamos a função mais de externa, que é
2 arcsen 2x
. Em seguida multiplicamos esse resultado pela derivada
( )
que está dentro. Feito isso obteremos ( )

da próxima função, que no caso é arcsen( x ) , mas sem mexer no que está dentro dela. Assim procedendo
obteremos ( ( ) )
( ) 2
1
2 arcsen 2 x
. Para finalizar, multiplicamos esse resultado pela derivada da próxima
1−2x função que é 2x e obteremos:
Portanto:
3.4.3. - Função arco tangente
f '( x) = 2( arcsen( 2x) ) ×
1
× 2
1−2 76
( )
4arcsen 2x
f ' ( x)
=
.
2
1−4x A função f ( x) = tg( x)
possui como domínio o
π 3π
conjunto dos números reais diferentes de , , bem
2 2
como de seus múltiplos e imagem o conjunto dos números
reais. Ela, assim como a função seno, não é invertível. A
nossa missão aqui é a mesma do item anterior, ou seja,
reduzir convenientemente o seu domínio a fim de que ela
passe a ter inversa e, depois, encontrar a derivada dessa
inversa. Observe o gráfico mostrado ao lado:
( ) 2
x
⎛ π π ⎞
Se tomarmos f ( x) = tg( x)
definida apenas no intervalo ⎜−, ⎟ tomando valores em R, podemos definir a
⎝ 2 2 ⎠
⎛ π π ⎞
função g: R→⎜−
, ⎟ da seguinte maneira:
⎝ 2 2 ⎠
Dado x ∈ R , ( )
⎛ π π ⎞
g x é definido como o único y ∈⎜− , ⎟
⎝ 2 2 ⎠
tal que tg ( y) x.
=
Essa função, pela sua própria construção, é a inversa de f. Ela será chamada de função arco tangente e será
representada por g ( x) = arctg ( x).
Vamos ver um exemplo.
arctg
⎛ π π ⎞
. Ele é o único y ∈⎜− , ⎟
⎝ 2 2 ⎠
π
Trigonometria nos ensina que esse y é . Portanto arctg ( 3
π
3 ) = .
3
Vamos agora efetuar o cálculo da derivada de g ( x) arctg( x).
Exemplo 3.4.3.1. Vamos calcular ( 3)
tg ( y) = x e, conseqüentemente, ( )
tal que tg ( y ) = 3 . A
= Se fizermos y arctg( x)
= , teremos
2
sec y
2
= 1 + x . Utilizando agora a fórmula da derivada da função inversa e
lembrando que a derivada da tangente é a secante ao quadrado, teremos
( arctg ( x)
)
1 1 1
' = = = .
2
2 2
sec
sec y 1+
x
( arctg ( x)
) ( )

Como essa expressão faz sentido para qualquer x ∈ R,
segue que a função arco tangente é derivável em todo o
conjunto dos números reais. Assim, podemos destacar:
( arctg ( x)
) 2
Exemplo 3.4.3.2. Calcule a derivada das seguintes funções:
2
a. f ( x) arctg( 1 x )
2
= − b. g ( x) = x arctg cos(
x)
1
' = , para todo x ∈ R.
1+
x
( )
Comecemos pela letra (a). Derivando a função mais externa, sem mexer naquela que está dentro, obtemos
1 1
= . Agora multiplicamos esse resultado pela derivada da que está dentro. Fazendo
2
2
2 4
1+ ( 1−x) 2− 2x+
x
isso, ficamos com:
1 −2x
f '( x) = × 2 4 ( − 2x)
= 2 4
2− 2x+ x 2− 2x
+ x
Vejamos agora a letra (b). Aqui primeiro vamos usar a regra do produto. Fazendo isso, obtemos:
( ) ( )
Falta agora calcular cos( ) '.
( ( ) )
2
( ) ( ( ( ) ) )
g' x = 2xarctg cos x + x arctg cos x '
arctg x Agora é que entra em ação a regra da cadeia. Derivando a função mais
1
externa, obtemos
. Agora multiplicamos esse resultado pela derivada da função que está dentro.
2
1+ cos ( x)
Fazendo isso, ficamos com:
2 2 1
g '( x) = 2xarctg ( cos( x) ) + x ( arctg ( cos( x) ) ) ' = 2xarctg ( cos ( x) ) + x 2
1+ cos x
( −sen(
x)
) .
3.4.4. - Função arco secante
= possui o mesmo domínio
da função tangente e sua imagem é o conjunto dos números
reais cujo módulo é maior que ou igual a um. Como as duas
funções precedentes ela também não é invertível. Observe o
seu gráfico mostrado ao lado.
A função f ( x) sec(
x)
Observe que, a despeito de terem o mesmo domínio, não usaremos o mesmo intervalo que o da tangente
para inverter a função secante. Isso porque, no intervalo onde invertemos a tangente, a função secante não é
⎡ π ⎞ ⎛π⎤ injetora, não podendo ser, portanto, invertível. A solução é considerar a união dos intervalos
⎢
0, ⎟ e ⎜ , π .
⎣ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎦
⎥
f x = sec x definida apenas nessa união, podemos definir a função
Se considerarmos ( ) ( )
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
g: { x∈R| x ≥1} →
⎢
0, ⎟∪⎜ , π
⎣ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎦
⎥
da seguinte maneira:
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
∈ ∈ | ≥ 1 , g ( x ) é definido como o único y ∈
⎢
0, ⎟∪⎜ , π
⎣ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎦
⎥
Dado x { x R x }
77
( )
sec y x.
=
tal que ( )

A função g, pela sua própria construção é a inversa de f, será chamada de função arco secante e será representada
por g ( x) = arcsec ( x)
. Vejamos um exemplo.
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
Exemplo 3.4.4.1. Vamos calcular arc sec() 1 . Ele é o único y ∈
⎢
0, ⎟∪⎜ , π
⎣ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎦
⎥
tal que sec( y ) = 1. Como
1
⎡ π ⎞ ⎛π ⎤
sec ( y)
= , para que sec( y ) = 1, devemos ter cos( y ) = 1. Mas em 0, , π
cos(
y)
⎢ ⎟∪⎜ ⎣ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎦
⎥
o único y que
possui essa característica é 0,
arc sec 1 = 0.
y = o que nos mostra que ( )
Vamos agora calcular a derivada de g ( x) = arcsec ( x)
. Se fizermos y arc ( x)
= sec , teremos que
cos
1
= . Usando
x
a identidade
2 2
sen ( y) + cos ( y)
= 1, obtemos
sen( y)
=
2
x −1
. Agora utilizando a fórmula para a derivada da função inversa e o fato de que
2
x
sen( y)
( sec( y)
) ' = , vamos ficar com:
2
cos y
sec( y) = x e, portanto, ( y)
( arc ( x)
)
( )
sec
2
1 1 cos ( y) ' = = = =
' '
( sec ( arcsec( x) ) ) ( sec ( y)
) sen( y)
1
2
x =
2 2
x −1 x
x
x
=
2
x −1 x
1
.
2
x − 1
Como a expressão acima só faz sentido se x > 1, segue que a função arco secante só é derivável no conjunto
{ x R x }
∈ | > 1 . Assim podemos destacar
1
sec ' ,
x x −1
( arc ( x)
) =
2
Veremos agora alguns exemplos sobre as derivadas vistas acima.
Exemplo 3.4.4.2. Calcule a derivada das funções abaixo:
( )
a. f ( x) = arcsec ln ( x)
b. ( )
g x = e
xarcsec( x)
Comecemos pela letra (a). Usando a regra da cadeia temos
( ) ( )
Agora a letra (b). Usando a regra da cadeia temos
para todo x∈{ x∈R x ≥ }
78
| 1 ,
1 1 1
f ' ( x)
= × =
.
2 2
ln x ln x −1 x ln x ln x −1
x
( ) ( ) ( ( ) )
⎛ 2
sec( )
1 ⎞ ⎛
xarc x xarcsec( x) x x − 1arcsec x + x⎞
g'( x) = e ⎜arcsec( x) + x⋅ ⎟=
e ⎜ ⎟.
⎜ 2 2
x x −1⎟ ⎜ x x −1
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )

Observação: Podemos demonstrar fórmulas análogas para a derivada de outras funções trigonométricas
inversas.
4. Avaliando o que foi construído
Dialogando e Construindo Conhecimento
Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas
sobre algum tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a
orientá-lo e ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Acredite em seu potencial e conte
conosco.
Nesta unidade você ampliou seus conhecimentos acerca da regra da cadeia e pode perceber a sua potência
tanto para derivar funções dadas na forma explícita, quanto funções dadas na forma implícita, bem como no
cálculo da derivada de algumas inversas. O que vimos aqui é muito importante para a próxima unidade.
No Moodle...
Visite o espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial II na plataforma MOODLE, onde você terá a
oportunidade de revisar, testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos parceiros nos
estudos e, portanto, devemos caminhar juntos no curso. Aguardo você no MOODLE!
79

Unidade II: Interpretando e Utilizando a Derivada
1. - Situando a Temática
O que faz da derivada um objeto tão importante na Matemática é, dentre outras coisas, a possibilidade de
que, através dela, podemos obter informações muito valiosas acerca do comportamento de uma dada função. O
conhecimento da derivada de uma função nos permite descobrir seus pontos de máximo e mínimo locais, em
alguns casos até os globais, aspectos ligados à sua concavidade, dentre outros. Por outro lado, graças à sua
interpretação como velocidade, podemos ter idéia de como grandezas que se relacionam entre si de forma
explícita e, até mesmo de forma implícita, se comportam uma em relação à outra.
2. - Problematizando a Temática
Os problemas de máximo e mínimo estão entre os mais belos e antigos da Matemática. Determinar os
pontos de máximo e mínimo de uma função com a ajuda das suas derivadas é uma tarefa que envolve um
raciocínio simples, elegante e, acima de tudo, útil. Traçar o gráfico de uma função com rigor é uma tarefa que,
para nós, até então, só está perfeitamente justificada para o caso das funções do primeiro grau. Como justificar,
por exemplo, que a parábola tem aquela aparência ou porque outros gráficos têm este ou aquele jeito? Com o
auxílio da derivada poderemos responder a estas e a outras interessantes questões acerca do comportamento de
uma função de uma maneira bastante satisfatória.
3. - Conhecendo a Temática
3.1. - Taxas de variação
Uma das interpretações mais importantes da derivada diz respeito a como uma grandeza varia em função
de uma outra. Sendo mais específicos, poderíamos perguntar: se y é função de x podemos dizer o que ocorre com
y quando x aumenta ou diminui? com que rapidez y cresce ou decresce quando x cresce ou decresce? Essas
perguntas nos enviam a uma das mais importantes interpretações que a derivada possui que é a de Velocidade. A
princípio associamos velocidade quando estamos diante do movimento de um carro, um avião, ou outro tipo de
veículo. Vamos ver agora que o conceito de velocidade se expande um pouco mais. Começaremos com um
exemplo: imagine que um veículo desloca-se por uma estrada e sua posição em um determinado instante é dada
2
pela seguinte função S() t = 2+ 4t+ 8 t , onde t é dado em segundos e S é dado em metros. Um conceito que
surge, particularmente na Física, é o de Velocidade Média. Dados dois tempos t 1 e t 2 , com t1 t2
velocidade média do móvel entre t 1 e t 2 , como sendo:
S t − S t
Vm
=
t − t
( ) ( )
2 1
80
2 1
.
< , definimos a
Essa nova grandeza nos diz de que forma a posição do móvel variou entre t 1 e t 2 . Se, por exemplo,
t 1 = 2 e t 2 = 4 , então:
S( t2) −S( t1) S( 4) −S( 2) 146 − 42
Vm= = . = = 52 m/ s.
t −t 4−2 2
2 1
O que nos diz esse número? Ele diz que nesse intervalo de tempo, o móvel percorreu, em média, 52 metros a
cada segundo. Entretanto, ele não nos diz, por exemplo, se o móvel parou em algum instante ou se deu marcha ré
em algum instante, dentre outras possibilidades. Portanto, é um conceito que não oferece muito em termos de
informação quantitativa do movimento do veículo. Para termos um conceito que nos informe um pouco mais
sobre o movimento do veículo, precisamos de um conceito mais fino, que é o de Velocidade Instantânea.
Imagine que queiramos saber quanto vale a velocidade do móvel no instante t = 2. Primeiro vamos tentar

construir o que significa a expressão velocidade num determinado instante. Imaginemos que o instante t = 2
está fixo. A velocidade média entre t = 2 e um instante t > 2 é dada por:
V
m
() ( ) 2 2
S t − S 2 2+ 4t+ 8t − 42 8t + 4t−40 = = =
.
t−2 t−2 t−2
Se fizermos esse instante t se aproximar cada vez mais de 2, essa velocidade média será calculada em um
intervalo de tempo cada vez menor, [ 2,t ] . Em virtude disso, é razoável definirmos a Velocidade Instantânea em
t = 2 como sendo:
( 8t+ 20)( t−2)
( )
2
8t + 4t−40 t→2 t→2 t→2
81
( )
limVm= lim = lim = lim 8t+ 20 = 36 .
t→2
t−2 t−2
O que nos diz esse número? Ele diz que se de repente o móvel passasse a se mover exatamente como está em
t = 2 ele percorreria 2 metros a cada segundo. Outro fato importante nessa forma de pensar a velocidade
S t calculada no instante t = 2.
De fato, veja que
instantânea é que ela é dada pela derivada da função ( )
S'() t = 16t+ 4 e daí S '2 ( ) = 16× 2+ 4= 36.
Na discussão acima, as grandezas S e t tiveram um papel apenas ilustrativo. Na realidade se uma
grandeza y é função de uma outra x, podemos definir a Velocidade Média ou, como é mais comum, a Taxa de
variação média de y com relação a x, quando x varia de x 1 até x 2 como sendo:
y( x2) − y( x1)
y =
.
x − x
2 1
Também podemos definir a Velocidade instantânea ou, como é mais comum, a Taxa de variação
instantânea de y com relação a x, quando x = x1
, como sendo y' ( x 1)
. Portanto, quando calculamos uma
derivada, podemos interpretá-la como uma velocidade. Vamos ver alguns exemplos dessa situação.
Exemplo 3.1.1. Suponhamos que um petroleiro esteja com um vazamento de óleo no mar e que a mancha de
óleo formada tenha um formato circular. Com o passar do tempo tanto a área A da mancha, bem como o seu raio
r, muda com relação ao tempo. Vamos avaliar como variam. Digamos que a velocidade de crescimento da área A
2
seja constante e igual a 10000 m / hora. Queremos determinar a velocidade de crescimento do raio r quando
2
ele for igual a 20 m. Observe que a área A e o raio r relacionam-se através da fórmula: A = π r . Sabemos que
dA
2
tanto A como r são funções do tempo t. O dado que temos é que = 10000 m / hora e r=20 m. Derivando a
dt
fórmula que dá a área em função do raio, levando em conta que, tanto A como r são funções implícitas de t,
teremos:
dA dr
= 2 π r ,
dt dt
donde concluímos, substituindo os valores de dA
dt
e r ,que
dr 10000
= ≈ 79,61 m/hora.
dt 40π
Exemplo 3.1.2. Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número
de pessoas atingidas pela referida moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da
3
t
dn
2
epidemia) é dado, aproximadamente, por nt () = 64 t−
. Observe que = 64 − t . Como a derivada de n
3
dt
com relação a t mede a velocidade do número de casos em relação ao tempo, temos que se essa derivada for

positiva, o referido número de casos está aumentando, ao passo que se ela for negativa, então esse número de
dn
casos está diminuindo. Como t ≥ 0, temos que ≥ 0 apenas quando 0 8,
dt t ≤ ≤ ou seja, até o oitavo dia a
dn
epidemia cresceu. Do oitavo dia em diante a epidemia arrefeceu, pois, a partir desse dia, 0.
dt <
Exemplo 3.1.3. Um tanque de água em forma de um cone circular reto invertido está sendo esvaziado a uma
3
taxa de 2 m / h . O raio da base do cone é 5 m e a sua altura é 14 m. Determine:
a) A taxa de variação da altura da água, quando a mesma for 6 m.
b) A taxa de variação do raio do topo da água quando a altura da mesma for 6 m.
Vejamos a letra (a). Sabemos que o volume de um cone circular reto
é dado por:
1 2
V = π r h,
3
onde r é o raio de sua base e h é a sua altura. Queremos encontrar
dh
quando h = 6 m. Na fórmula que dá o volume em função de r e
dt
h, precisaremos explicitar r em função de h. Para isso, vamos usar
semelhança de triângulos. Veja a figura ao lado. Dela podemos
concluir que 5 14 5h
= , ou seja, r = .
r h
14
Dela podemos concluir que 5 14 5h
= , ou seja, r = . Portanto, substituindo esse valor de r na fórmula de V,
r h
14
ficaremos com:
2 3
1 2 1 ⎛5h⎞ 25πh
V = πr h= π⎜ ⎟ h=
.
3 3 ⎝14⎠ 588
Derivando essa última igualdade com relação a t, ficaremos com:
Substituindo os valores dados, obtemos:
donde concluímos que:
π
= × .
dt 588 dt
2
dV 75 h dh
5400π
dh
− 2 = × ,
588 dt
dh 1176
≈− ≈− 0,07 m/ h.
dt 16956
Note que o valor que encontramos é negativo, o que corrobora com o fato de que a altura está diminuindo com
relação ao tempo. Agora vamos à letra (b). O que queremos encontrar é dr
dt
82
quando h = 6 m. O procedimento

aqui é semelhante ao que foi feito na letra (a). A mesma semelhança de triângulos obtida na letra (a) nos permite
14 r
30
dizer que h = . Quando h = 6 , temos que r = . Substituindo o valor de h na fórmula de V vamos obter:
5
14
3
1 2 1 2⎛14r⎞
14πr
V = πr h= πr
⎜ ⎟=
.
3 3 ⎝ 5 ⎠ 15
Derivando essa igualdade com relação a t, obteremos:
Substituindo os valores dados, obteremos:
2
dV 14π
r dr
= × .
dt 5 dt
3150π
dr
− 2 = ×
245 dt
dr
ou seja, ≈− 0,05 m/ h.
Observe que a taxa de variação do raio com respeito ao tempo é negativa pelo fato de
dt
que ele está diminuindo com o passar do tempo.
Veremos agora alguns problemas envolvendo taxas de variação um pouco diferentes dos exemplos
acima. Nos exemplos que seguem, não há uma forma explícita que nos permita obter uma variável em função da
outra. Mas isso não será problema, pois basta usarmos a técnica da derivação implícita. Problemas desse tipo
costumam ser chamados de problemas de Taxas Relacionadas.
Exemplo 3.1.4. Sales e Joaquim estão fazendo um passeio aéreo usando um balão de ar quente. O balão sobe a
uma taxa de 3 m/ s. Passados 15 segundos, Lenimar lembra-se de que eles não levaram um rádio para contato.
Lenimar, que havia estacionado seu carro a 50m do ponto de partida, desloca-se em direção a este com uma
velocidade de 2 m/ s . Vamos determinar a velocidade com que aumenta a distância entre o balão e o carro de
Lenimar, quando o balão estiver a 30m do solo. Desenhar uma figura sempre ajuda. Façamos uma então.
Na figura acima, y denota a altura do balão em relação
ao ponto de partida, x denota a distância do ponto de
partida até onde Lenimar estacionou seu carro e s a
distância do carro Lenimar até o balão. Agora veja, essa
figura vai começar a se transformar, pois as distâncias
x,y e s estarão se modificando. Mas veja uma
peculiaridade que esta figura vai manter: o fato desse
triângulo ser retângulo. Portanto, pelo Teorema de
Pitágoras teremos:
Lembrando que queremos encontrar ds
dt
ou seja:
2 2 2
s = x +
y .
, derivamos a igualdade acima. Fazendo isso, obteremos:
ds dx dy
2s× = 2x× + 2 y×
,
dt dt dt
ds dx dy
s× = x× + y×
.
dt dt dt
83

Agora note que no instante em que Lenimar partiu em direção ao balão, este já estava a 15m acima do solo.
Portanto, quando o balão estiver a 30m do solo, significa que, para efeito da nossa análise, passaram-se 5s já
que a velocidade do balão é 3 m/ s . Nesse período o carro avançou 10m , já que sua velocidade é
2 m/ s. Portanto, os valores de x e y no triângulo acima são x = 30 e y = 40m,
donde s = 50 m.
Portanto,
teremos:
ds
50× = 30× ( − 2) + 40× 3 ,
dt
ds
ou seja, = 1, 2 m/ s.
Na expressão acima usamos a velocidade com um sinal negativo pelo fato de que a
dt
distância x vai estar diminuindo.
3.2. - Crescimento e decrescimento
A interpretação da derivada como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função agora
vai se mostrar muito eficaz nesta seção. Com a ajuda dessa interpretação vamos poder estudar os intervalos onde
a função cresce e onde ela decresce. Se nós refletirmos um pouco, esse problema só está respondido
satisfatoriamente no caso das funções do primeiro grau. Recorde que se f ( x) = ax+ b,
com a ≠ 0, a função f
será crescente se a > 0 e decrescente se a < 0. Para funções do segundo grau também temos um critério, mas
que aparece sem a devida justificativa. Vamos recordar algumas definições.
• Uma função f definida num certo intervalo I do eixo-x é dita crescente nesse intervalo quando para
todos x1x2∈ I , com x1 x2
1 2 .
f x f x <
• Uma função f definida num certo intervalo I do eixo-x é dita decrescente nesse intervalo quando para
todos x1x2I ∈ , com x1 x2
< tivermos ( ) ( )
< tivermos f ( x ) f ( x ) >
1 2 .
O aspecto do gráfico de uma função crescente é o de uma
curva ascendente, enquanto que o de uma função decrescente
é o de uma curva descendente. Nosso intuito é relacionar o
crescimento e o decrescimento de uma função com a sua
derivada. Para termos uma pista de tal relação, vamos
observar atentamente o gráfico mostrado a seguir. Perceba
que, para valores de x pertencentes ao intervalo ( −∞ ,4)
, os
coeficientes angulares das retas tangentes ao gráfico dessa
x, f x são positivos. Note também
( )
função nos pontos ( )
que, a função é crescente justamente no intervalo ( −∞ ,4)
.
Analogamente constatamos que, para valores de x pertencentes ao intervalo ( 4, +∞ ) , os coeficientes
angulares das retas tangentes ao gráfico de f são negativos. Note também que a função é decrescente no
intervalo ( 4, +∞ ) . Como o coeficiente angular ao gráfico de f no ponto ( x, f ( x ) ) é dado por f '(
x )
podemos arriscar um palpite: A função f será crescente onde a sua derivada for positiva e decrescente onde sua
derivada é negativa. De fato, o nosso palpite está correto e o resultado que temos é o seguinte:
• Se f 'é
positiva num intervalo I do eixo-x então f será crescente em I .
• Se f 'é
negativa num intervalo I do eixo-x então f será decrescente em I .
84

Essas observações podem ser provadas com o uso do conhecido Teorema do Valor Médio, mas não faremos isso
agora. O que faremos é analisar o crescimento e o decrescimento de algumas funções conhecidas.
Exemplo 3.2.1. Considere a função do primeiro grau f ( x) = ax+ b.
Vamos obter o seu crescimento, que já é
conhecido, através dos nossos novos conhecimentos. Observe que f ' ( x) = a.
Portanto, se a > 0 então f será
crescente em todo o eixo-x e se a < 0 , f será decrescente em todo o eixo-x.
Exemplo 3.2.2. Considere a função
3
f ( x) = x + x.
Observe que ( ) 2
f ' x = 3x + 1é
sempre positiva. Portanto,
f é crescente em todo o seu domínio. Veja um esboço do
gráfico desta funçãna figura ao lado.
2
Exemplo 3.2.3. Considere a função f ( x) = x − 1 . Temos que ( )
concluímos que f é crescente quando x > 0. Por outro lado,
f '( x ) < 0 apenas quando x < 0 , o que implica ser f decrescente
apenas quando x < 0.
Exemplo 3.2.4. Determine os intervalos onde
3 2
f ( x) = x − 6x + 9x+ 1 é crescente e os intervalos onde ela é
decrescente. Inicialmente vamos encontrar a derivada de f . Temos
2
que f '( x) = 3x − 12x+ 9. As raízes da equação f '( x ) = 0irão
nos indicar os intervalos pedidos. De fato, a equação
2
f '( x) = 3x − 12x+ 9= 0 possui duas raízes reais e diferentes, a
saber, x = 1 e x = 3. Como f '(
x ) é uma função do segundo grau,
o estudo do seu sinal é simples e está resumido na tabela abaixo,
onde também está mostrado o gráfico de f ao lado.
85
f ' x 2 x.
Valores de x Sinal de f '(
x ) Conclusão
= Como ( )
x < 1
positivo f é crescente
1≤ x ≤ 3 negativo f é decrescente
x > 3
positivo f é crescente
Exemplo 3.2.5. Considere a função definida por
2 ⎧x − 4
f ( x)
= ⎨
⎩ 8−x se
se
x<
3
, cujo gráfico está mostrado ao lado.
x≥3
Vamos determinar os seus intervalos de crescimento e de
decrescimento. Inicialmente vamos determinar quem é
f ' x . Observe que para 3 f ' x = 2x
e que para
( )
x < nós temos ( )
x > 3nós
temos f '( x ) =− 1. Resta-nos descobrir se existe '3 ( )
f .
f ' x > 0 quando x > 0,

Observe que a derivada à esquerda f ' ( 3) = 6 e que a derivada à direita ( )
diferentes segue que f não é derivável em x = 3. Assim:
⎧2x
f '(
x)
= ⎨
⎩−
1
se
se
x<
3
x > 3
_
86
f '+ 3 = − 1.
Como esses valores são
Observe que o ponto x = 3 vai nos auxiliar na determinação dos intervalos pedidos. Veja que o estudo do sinal
f ' x e as conclusões dele decorrentes estão listados na tabela abaixo:
de ( )
Valores de x Sinal de f '(
x )
Conclusão
x < 0
negativo f é decrescente
0≤ x < 3
positivo f é crescente
x > 3
negativo f é decrescente
f x = 3x − 2x.
f ' x 2x 2
−
= − . Vamos analisar o sinal
f ' x da seguinte forma:
Exemplo 3.2.6. Considere a função ( ) 2/3
Observe que ( ) 1/3
de f '(
x ) . Podemos escrever ( )
− − ⎛ 3 1−
x ⎞
3
1/3 1/3
( ) ( )
f ' x = 2x − 2= 2 x − 1 = 2⎜
⎟.
⎜ x ⎟
⎝ ⎠
Inicialmente note que x = 1é
a única solução da equação
f '( x ) = 0. Por outro lado a função f ( x ) não é
derivável em x = 0. O estudo do sinal de f '(
x ) e as
conclusões dele decorrentes estão reunidas na tabela
abaixo:
Valores de x Sinal de f '(
x ) Conclusão
x < 0 negativo f é decrescente
0< x < 1 positivo f é crescente
x > 1 negativo f é decrescente
3.3. - Máximos e mínimos locais
Com o auxílio da derivada podemos abordar interessantes questões acerca de máximos e mínimos de
funções. Vamos dar algumas definições para, em seguida, abordarmos os problemas.
• Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-x e x0 ∈ I .Diremos que c é um ponto de máximo
local para f se existir um intervalo J ⊂ I com c J
∈ de modo que f ( x) f ( c)
≤ para todo x ∈ J .
• Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-x e x0 ∈ I .Diremos que c é um ponto de mínimo
local para f se existir um intervalo J ⊂ I com c J
∈ de modo que f ( x) f ( c)
≥ para todo x ∈ J .

Usando outros termos, o ponto c é um ponto de máximo local se, próximo dele, nenhum ponto tem o
valor de f maior que f ( c ) . Da mesma forma, o ponto c é um ponto de mínimo local se, próximo dele,
nenhum ponto tem o valor de f menor que f ( c ) .
Vamos observar agora um fato importante que ficou implícito nos exemplos da seção anterior. Para
descobrirmos os intervalos onde uma dada função era crescente e os intervalos onde ela era decrescente foi
preciso fazer o estudo do sinal de f '.
Em certos casos, para fazer este estudo, precisamos encontrar as raízes da
equação f '( x ) = 0ou
os pontos onde a função f não é derivável (veja os exemplos 3.2.3, 3.2.4 e 3.2.5 e 3.2.6).
Esses pontos irão desempenhar um importante papel no estudo dos máximos e mínimos e, por isso, recebem o
nome de Pontos críticos.
Suponhamos que f seja contínua. Digamos que x = c seja um
ponto crítico. Vamos supor que, para valores de x que estão antes de c, a
derivada de f é negativa e que para valores de x que estão depois de c a
derivada de f é positiva. Pelo fato da derivada de f ser negativa antes de c
vemos que o seu gráfico tem um aspecto de estar descendo. Pelo fato da
derivada de f ser positiva depois de c vemos que a função f é crescente, ou
seja, seu gráfico tem um aspecto de estar subindo. Portanto, nessa
situação temos que o ponto x = c é um ponto de mínimo local. Veja a
figura ao lado.
Façamos agora uma discussão semelhante para a situação
contrária, ou seja, vamos supor que para valores de x que estão antes de c
a derivada de f é positiva e que para valores de x que estão depois de c a
derivada de f é negativa. Pelo fato da derivada de f ser positiva antes de c
vemos que o seu gráfico tem um aspecto de estar subindo. Pelo fato da
derivada de f ser negativa depois de c vemos que a função f é decrescente,
ou seja, seu gráfico tem um aspecto de estar descendo. Portanto, nessa
situação temos que o ponto x = c é um ponto de máximo local. Veja a
figura ao lado.
Assim, com essa análise podemos enunciar um critério bastante prático para a determinação de extremos
locais, conhecido como Teste da derivada primeira:
Teste da derivada primeira: Sejam f uma função contínua definida num intervalo I do eixo-x e c∈I um
ponto crítico de f. Então:
' 0
f ' x > 0 para x à direita e próximo de c então c é
• Se f ( x ) < para x à esquerda e próximo de c e Se ( )
um ponto de mínimo local para f.
' 0
• Se f ( x ) > para x à esquerda e próximo de c e Se ( )
um ponto de máximo local para f.
Vamos ver agora alguns exemplos utilizando esse teste.
87
f ' x < 0 para x à direita e próximo de c então c é
1
= − . Observe
5
4 3
Exemplo 3.3.1. Determine os pontos de máximo e de mínimo locais da função f ( x) ( x 4x
)
4 12
que
3 2
f '(
x) = x − x . Como f '(
x ) existe para todo x
5 5
R
equação f '( x ) = 0.
Vamos encontrá-las. Fazendo f '( x ) = 0,
ficamos com
2
4x ( x− 3) = 0 cujas raízes são x = 0 e x = 3 . Fazendo o estudo do sinal de '(
)
∈ , os únicos pontos críticos de f são as raízes da
3 2
4x 12x 0
f x ficamos com:
− = , ou seja,

Valores de x Sinal de f '(
x )
x < 0
negativo
0< x < 3
negativo
x > 3
positivo
Portanto, vemos que o ponto x = 3 é um ponto de mínimo local. Veja que o
ponto x = 0 apesar de ser ponto crítico não é de máximo nem de mínimo local.
Veja ao lado um esboço do gráfico desta função.
Veja a cima um esboço do gráfico de f :
Exemplo 3.3.2. Vamos determinar os pontos de máximo e de mínimo
10x
locais da função f ( x)
= 2
x + 1
. Observe que Como ( ) ' f x existe
para todo x ∈ R , os únicos pontos críticos de f são as raízes da
equação f '( x ) = 0.
Não é difícil verificar que essas raízes são x = 1 e
x =− 1 . Fazendo o estudo do sinal de f '(
x ) ficamos com:
Valores de x Sinal de f '(
x )
x < − 1
negativo
− 1< x < 1
positivo
x > 1
negativo
Em determinados casos o estudo do sinal da derivada primeira de uma função antes e depois de um
ponto crítico onde ela é derivável pode se tornar difícil. Nessa situação, quando a função for duas vezes
derivável temos um critério mais efetivo para nos garantir quando este ponto crítico é de máximo ou de mínimo.
Mas o que significa uma função ser duas vezes derivável? A resposta é simples: quando pudermos calcular a
derivada de sua derivada. A derivada da derivada é chamada de derivada segunda. Nós vamos representar a
2
derivada segunda de uma função f por f '' . Por exemplo, se f ( x) x f ' x 2x
f '' x = 2 .
= , temos ( ) = e ( )
Analogamente, se f ( x) = senx,
temos que f '( x) = cosxe
f ''(
x) senx
88
=− . A derivada da derivada da
derivada é chamada de derivada terceira, e assim sucessivamente. É claro que nem sempre podemos ir derivando
assim. É preciso ter cuidado. Por exemplo, existem funções que só possuem a derivada primeira. Existem
funções que não possuem sequer a derivada primeira. Agora podemos voltar ao critério para classificar pontos
críticos. Esse critério é conhecido como teste da derivada segunda e é o seguinte:
Teste da derivada segunda: Sejam f uma função definida num intervalo I do eixo-x e c∈I um ponto crítico
de f. Suponha que f é derivável duas vezes em c . Então
• Se f ''( c ) < 0 então c é um ponto de máximo local para f.
• Se f ''( c ) > 0 então c é um ponto de mínimo local para f.
• Se f ''( c ) = 0 então o teste não é conclusivo.
Um interessante exercício que você pode fazer é utilizar o teste da derivada segunda para classificar os
pontos críticos das funções dos exemplos anteriores. Mas veja bem, ele só serve para os pontos críticos onde a
função é duas vezes derivável. Vamos utilizar o teste da derivada segunda para solucionarmos dois interessantes
problemas

Exemplo 3.3.3. Qual o retângulo de perímetro 40 cm que possui a maior área? Vamos denotar por x e y os lados
do retângulo. O seu perímetro é dado por p = 2x+ 2yo
qual, pelo enunciado vale 40 cm, ou seja, temos
2x+ 2y = 40, o que nos fornece x+ y = 20. A área do retângulo é dada por A = xy.
Tirando o valor de y na
expressão obtida a partir do perímetro temos que y = 20 − x que substituída na expressão da área nos dá
2
A = x× ( 20 − x) = 20 x−x . A função da qual queremos achar o máximo é A. Vamos achar os seus pontos
críticos. Derivando a função A, encontramos A'= 20−2 x.
O único ponto crítico de A é x = 10 .Derivando A
novamente, encontramos A '' = − 2 , portanto o ponto x = 10 é um ponto de máximo local. Com esse valor de x
tiramos y = 10 e, portanto, o retângulo pedido é um quadrado de lado 10 cm.
Exemplo 3.3.4. Uma caixa aberta com base quadrada deve ser
construída com 48 m 2 de papelão.Vamos enccontrar as
dimensões da caixa de maior volume possível que pode ser
feita. Vamos denotar por x o lado da base da caixa, que estamos
supondo quadrada, e por y a altura da caixa. A área total da
2
caixa é dada por A = x + 4xy
. Pela informação do enunciado
2
temos que x + 4xy = 48.
O volume da caixa, que é a função
que queremos maximizar, é dado por
Tirando o valor de y da expressão que dá a área total, ficamos com
dado por:
2 ( 48 − )
2
2 48 − x x x 1 2 1
3
V = x × = = x( 48 − x ) = ( 48x−
x ) .
4x4 4 4
89
2
48 − x
y = , assim, o volume da caixa será
4x
1
2
Vamos encontrar os pontos críticos. Derivando V, obtemos V '= ( 48− 3x
) , donde concluímos que os únicos
4
pontos críticos são x = 4 e x = − 4 , sendo que o primeiro é o único que nos interessa por ser positivo. Derivando
6 3
V novamente temos que V '' =− x=− x e que, portanto, x = 4 é um ponto de máximo pelo teste da
4 2
2
48 − x
derivada segunda. Portanto as dimensões da caixa pedida são x = 4 m e, substituindo x = 4 em y = ,
4x
encontramos y = 2 m.
3.4. - Máximos e mínimos globais
Os pontos de máximos e mínimos que apareceram na seção anterior, a princípio, só poderiam ser
classificados como locais. O tipo de problema de máximos e mínimos que trataremos nesta seção são aqueles
conhecidos como problemas de máximos e mínimos globais. Por um ponto de máximo global de uma função f
definida em D, entendemos um ponto c tal que f ( x) ≤ f ( c)
para todo x ∈ D . Analogamente definimos ponto
de mínimo global. Para esse tipo de problema, o principal resultado que temos é devido ao matemático alemão
Karl Weierstrass que diz o seguinte:
Teorema de Weierstrass: Se f : [ ab , ] → Ré
uma função contínua então f possui pontos de máximo e
mínimo globais.
2
V = x y.

Agora atente bem. O Teorema de Weierstrass apenas diz que os pontos de máximo e mínimo globais existem,
mas não diz como encontrá-los. Olhando para a figura abaixo
vemos que existem os seguintes candidatos a extremos globais: os
pontos críticos de f que pertencem ao interior do intervalo e os
extremos do intervalo.
Portanto, o roteiro a ser seguido para encontrarmos os extremos
f : ab , → Rcontínua
é o seguinte:
globais de uma função [ ]
1. Determinar os pontos críticos de f que pertencem a ( ab , ) e calcular o valor de f nestes pontos
2. Calcular o valor de f nos extremos do intervalo [ ab , ] e
3. Comparar os valores obtidos nos itens (1) e (2). O ponto que fornecer o maior valor para f será o ponto de
máximo e o que fornecer o menor valor será o de mínimo.
Observe que neste caso não é necessário fazer o estudo do sinal da derivada nem fazer o teste da derivada
segunda. Vamos ver alguns exemplos:
f x = 2x − 9x + 1.
Vamos determinar os valores de
Exemplo 3.4.1. Considere a função definida por ( ) 3 2
máximo e de mínimo de f no intervalo [ − 1,1]
. Observe que a função f é contínua, portanto o Teorema de
Weierstrass nos garante que existem os pontos de máximo e mínimo global. Vamos localizá-los através do
procedimento sugerido acima. Derivando f , obtemos ( ) 2
f são x = 0 e x = 3 . Calculando o valor de f em ambos obtemos ( )
o valor de f nos extremos. Feito isso, obtemos f ( − 1) =−10e ( )
tabela ficamos com as seguintes informações:
90
f ' x = 6x − 18x
. Portanto, os pontos críticos de
f 0 = 1 e f ( 3) =− 26.
Agora calculamos
f 1 = − 6.
Assim coletando os dados numa
ponto Valor de f classificação
x = 0
f ( 0) = 1
Máximo global
3
f 3 = − 26
Mínimo global
x = ( )
x =− 1
( )
x = 1
( )
f − 1 =− 10
nada
f 1 = − 6
nada
Exemplo 3.4.2. Determine as dimensões do retângulo de maior área
que pode ser inscrito na região fechada limitada pelo eixo-x, pelo eixo-y
3
e pelo gráfico de y = 8 − x . A região e um retângulo típico estão
mostrados na figura ao lado. A área do retângulo é dada por A = xy .
Vamos expressar y em função de x. Observe que como o ponto ( x, y )
pertence ao gráfico da curva dada, temos que
( )
3
= 8 − . Portanto,
y x
3 4
= = × 8− = 8 − . De acordo com a figura, temos que
A xy x x x x
0≤ x ≤ 2,
o que acarreta que desejamos encontrar o ponto de máximo
0, 2 .
global da função A no intervalo fechado [ ]
Como A é uma função contínua, o Teorema de Weierstrass garante a existência do ponto de máximo. Vamos
3
encontrar os pontos críticos de A. Derivando, obtemos A'= 8− 4x,
donde o único pontos crítico de A é

3 3
x = 2 . Assim, calculando A em x= 0, x=
2 e x = 2 verificamos que o ponto de máximo é
3
Portanto as dimensões do retângulo são x = 2 e y = 8− 2= 6.
3.5. - Concavidade e Pontos de Inflexão
91
3
x = 2 .
A nossa próxima aplicação da derivada diz respeito a um aspecto muito importante de uma curva que é a
concavidade. Vamos dar algumas definições.
• Diremos que o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em um intervalo I do eixo-x se estiver
acima de todas as retas tangentes a ele no intervalo I , exceto no ponto de tangência.
• Diremos que o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I se estiver acima de todas as retas
tangentes a ele neste intervalo, exceto no ponto de tangência.
Observer as figuras abaixo. Na figura 1 o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo, enquanto que na
figura 2 o gráfico de f tem concavidade voltada para cima.
O nosso intuito é procurar relacionar essa idéia geométrica de
concavidade com as derivadas de uma função. Vamos fazer uma
discussão bastante intuitiva. Observe a figura a seguir. Nela vemos
que o gráfico da função no trecho considerado é côncavo para cima.
Além disso, e este é o fato que devemos perceber bem, os
coeficientes angulares das retas tangentes vão crescendo à medida
que x aumenta. Isso quer dizer que a função que fornece esses
coeficientes angulares é crescente. Mas esses coeficientes angulares
são dados pela derivada da função f nos respectivos pontos. Portanto,
no trecho considerado, a função f 'é
crescente, ou seja, f '' > 0 .
Através de uma discussão semelhante somos levados a concluir que,
num intervalo onde o gráfico da função f é côncavo para baixo,
temos f '' < 0 . Veja a figura ao lado:
Assim resumimos o resultado de nossa discussão:
Figura 1 Figura 2
Seja f uma função real definida num intervalo I do eixo-x e que possui derivada segunda em seu domínio.
• Se f '' > 0 em I então o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em I.
• Se f '' < 0 em I então o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em I.

A figura ao lado dá uma idéia acerca desse importante
critério. Observe que antes do ponto P a função tem seu gráfico
com a concavidade voltada para baixo. Após o ponto P há uma
mudança da concavidade.
Um ponto onde ocorre uma mudança na concavidade é
conhecido como um ponto de inflexão. Para localizarmos esses
pontos descobrimos as raízes da equação f ''( x ) = 0 e os pontos
onde f '' não existe e, em seguida, fazemos o estudo do sinal de
f ''. Veremos agora alguns exemplos.
2
Exemplo 3.5.1. Seja f ( x) = ax + bx+ c,
com a ≠ 0 . Vamos estudar a concavidade de f . A derivada de f é
dada por f '( x) = 2ax+
be
sua derivada segunda por f ''( x) = 2 a.
Portanto, se a > 0 o gráfico de f tem a
concavidade voltada para cima e se a < 0 , terá a concavidade voltada para baixo. Isso nós conhecíamos desde o
9º. Ano do ensino fundamental. Só não tínhamos uma justificativa mais precisa.
Exemplo 3.5.2. Seja
3 2
f ( x) = 2x − 12x + 18x− 2.
Vamos investigar a concavidade do gráfico de f . Observe
que
2
f '( x) = 6x − 24x+ 18
e
f '' x = 12x− 24 = 12 x−
2 . Vemos que x = 2 é a
( ) ( )
única raiz de f ''( x ) = 0 . Pela análise do sinal de f ''
vemos que para valores de x menores que 2 o gráfico de f
tem concavidade voltada para baixo e para valores de x
maiores que 2 tem concavidade voltada para cima. Veja um
esboço do gráfico de f na figura ao lado.
3.6. - Esboço de gráficos
Exemplo 3.5.3. Nem sempre um ponto que é raiz da equação
f '' x = 0 fornece pontos de inflexão. Tomemos a função
( )
( ) =
4
. Temos que
3
f '( x) = 4x
e f ''( x) 2
12x
f x x
= cuja
única raiz é x = 0 . Entretanto o gráfico de f tem sempre a
concavidade voltada para cima antes e depois do ponto em que
x = 0. Ao lado está mostrado um esboço do gráfico de f .
Chegamos à nossa última aplicação da derivada e, com certeza, uma das mais importantes: a construção do
gráfico de algumas funções de uma variável. As ferramentas desenvolvidas nas seções anteriores serão de grande
importância aqui. Daremos a seguir um pequeno roteiro para o traçado do gráfico de uma função f definida em
algum subconjunto do eixo-x.
92

a) Determinamos o seu domínio. Caso esse domínio contenha pontos de descontinuidade devemos analisar os
limites laterais em cada um deles.
b) Determinamos os pontos onde o gráfico da função corta os eixos coordenados. Esses pontos são chamados
de interceptos. Em alguns casos pode ser difícil encontrar os interceptos do eixo-x. O intercepto do eixo-y é
f 0 .
( )
c) Determinamos os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente, através do estudo do
sinal da derivada primeira antes e depois dos pontos críticos.
d) Determinamos os intervalos onde o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima e os intervalos onde o
gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo, através do estudo do sinal da derivada segunda antes
dos pontos de inflexão.
e) Determinamos o comportamento de f quando x →±∞.
Vejamos alguns exemplos
4 3
Exemplo 3.6.1. Vamos fazer um esboço do gráfico de f ( x) = 3x + 4x
. Inicialmente observamos que o seu
domínio é o conjunto dos números reais. Vejamos os interceptos. Os pontos onde o gráfico de f corta o eixo-x
4 3
3 4
são dados pelas raízes da equação f ( x) = 3x + 4x = 0,
ou seja, x ( 3x+ 4) = 0 que são x = 0 e x = − . O
3
ponto onde o gráfico de f corta o eixo-y é f ( 0) = 0. Vamos agora determinar os pontos críticos de f. Temos que
3 2
f '( x) = 12x + 12 x . Os pontos críticos são x = 0 e x = −1. Agora vamos estudar o sinal de f '. Podemos
3 2 2
2
reescrevê-la como f '( x) = 12x + 12x = 12x ( x+
1)
. Como o fator 12x é sempre ≥ 0 , o sinal de f 'é
o
mesmo de x + 1.
As conclusões estão listadas na tabela a seguir
Valores de x Sinal de f '(
x )
Conclusão
x 0
positivo f é crescente
Da tabela acima vemos que o ponto x =− 1 é um ponto de mínimo local. Vamos agora determinar os pontos
de inflexão de f. Temos que
2
f ''( x) = 36x + 24x.
Vamos determinar agora os pontos de inflexão.
Começamos localizando as raízes da equação f ''( x ) = 0, ou seja,
93
x + x=
que são x = 0 e
2
36 24 0
2
x =− . Agora vamos estudar o sinal de f '' . Como se trata de uma função do segundo grau, reunimos na
3
tabela abaixo as nossas conclusões:
Valores de x Sinal de f ''(
x )
Conclusão
2
x 0
positivo f é côncava para cima
2
Do estudo acima concluímos que x =− e x = 0 são pontos de inflexão. Para finalizar determinamos
3
lim f x lim f x . Vamos determinar o primeiro. Observe que
x→+∞
( )
e ( )
x→−∞

⎛ ⎞
lim f x = lim 3x + 4x = lim x ⎜3+ ⎟=+∞
x→+∞ x→+∞ x→+∞
⎝ x ⎠
( ) 4 3 4 4
lim
x→−∞ f x = lim 3x x→−∞ + 4x = lim x
x→−∞
⎛ ⎞
⎜3+ ⎟=+∞
⎝ x ⎠
Um esboço do gráfico de f está mostrado abaixo
( ) 4 3 4 4
Exemplo 3.6.2. Vamos fazer um esboço do gráfico de f ( x)
94
=
9x
( ) 2
x + 1
. Inicialmente notamos que o domínio
de f é o conjunto os números reais diferentes de -1. Devemos, portanto, investigar o que ocorre com f próximo de
x =− 1 . Observe que quando x está próximo de − 1 pela esquerda, o numerador está próximo de -9 e o
lim f x =−∞. Por um
denominador próximo de 0, e ambos possuem sinais contrários. Em virtude disso,
−
x→−1
( )
argumento semelhante temos que lim
+
x→−1
f ( x)
corta o eixo-y é f ( 0)
que é igual a 0. Os pontos onde f corta o eixo-x são as raízes de ( ) 0
= −∞ . Determinemos agora os interceptos de f. O ponto onde f
f x = , ou seja, a raiz
de 9x = 0 que é x = 0 . Veremos agora os intervalos onde f é crescente e aqueles onde f é decrescente. Temos
que
2
9( x + 1) − 18x( x+ 1) 9( x+ 1)( 1−x) 9( 1−x)
f '(
x)
= = = .
4 4 3
x+ 1 x+ 1 x+
1
( )
( )
( )
Portanto, os pontos críticos de f são x =−1e x = 1.
Observando a expressão da derivada, vemos que o estudo do
seu sinal pode ser feito a partir do estudo do sinal do denominador uma vez que o denominador é sempre
positivo. Assim sendo:
Valores de x Sinal de f '(
x )
Conclusão
x 1
negativo f é decrescente
Da tabela acima constatamos que x = 1 é um ponto de máximo local. Apesar de f ' ter sinal negativo antes de
x =− 1 e positivo após, não podemos qualificá-lo como um ponto de mínimo local pois ele não pertence ao
domínio de f. Vamos agora determinar os pontos de inflexão de f. Temos que

( )
f '' x
( ) ( )( )
( )
3 2
95
( )
( )
− 9 x + 1 −27 1− x1 x+ 1 −9 4−2x = =
6 4
x+ 1 x+
1
Os pontos onde f '' se anula ou não existe são x = −1 e x = 2 , respectivamente. O estudo do sinal de f '' está
listado na tabela abaixo:
Valores de x Sinal de f ''(
x )
Conclusão
x 2
positivo f é côncava para cima
Deste estudo concluímos que x = 2 é o único
ponto de inflexão de f . Para finalizarmos
lim f x lim f x . Note
devemos estudar ( )
que:
x→+∞
e ( )
x→−∞
9 9
9x30 f ( x)
x x
x→+∞ x→+∞ 2
x→+∞ ( 1) 2 2 4 x→+∞
x + ⎛ ⎞ 2 4
1
1
x 1+
+
+ +
2
2
lim = lim = lim = lim = = 0
.
⎜ ⎟
⎝ x x ⎠
Analogamente mostramos que f ( x)
lim = 0 .
x→−∞
Um esboço do gráfico de f está mostrado ao lado:
3.7. - O Teorema do valor médio
Todos os resultados sobre crescimento, decrescimento e concavidade que obtivemos até o momento
repousam essencialmente num dos teoremas mais importantes do Cálculo e que é conhecido como Teorema do
valor médio. A primeira formulação feita desse teorema é devida ao matemático italiano Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813). O seu enunciado é o seguinte:
Suponha que f seja uma função contínua no intervalo fechado [ ab , ] e derivável no intervalo aberto
( ab , ) ,Então existe c∈ ( a, b)
tal que
( )
f ' c
ou equivalentemente, f ( b) − f ( a) = f ( c)( b− a)
=
' .
x x
( ) − ( )
f b f a
b−a Geometricamente ele significa existe um ponto c ( a, b)
reta tangente ao gráfico de f no ponto ( , ( ) )
passa pelos pontos a, f ( a ) e , ( )
( )
( )
∈ tal que a
c f c é paralela à reta que
b f b , conforme nos mostra a
figura ao lado. Não faremos a prova desse Teorema. Indicamos o
livro de Serge Lang, citado na bibliografia como fonte de consulta.
.

Veremos agora através de um exemplo como esse resultado funciona. Para isso, vamos ver a prova de
um resultado sobre crescimento estabelecido anteriormente que é o seguinte:
Seja f uma função definida num intervalo I do eixo-x. Se f 'é
positiva em I então f será crescente em I .
De fato, sejam a e b em I, com a b
f a < f b . Pelo teorema do valor médio,
existe c∈ ( a, b)
tal que f ( b) − f ( a) = f ' ( c)( b−a) . Como ambos os fatores do lado direito dessa igualdade
são positivos, pois f 'é
positiva, então segue que f ( b) f ( a)
0 f b > f a .
4. - Avaliando o que foi construído
< . Vamos provar que ( ) ( )
− > , ou seja, ( ) ( )
Ampliando o seu Conhecimento
Imagine que um objeto move-se em linha reta com sua posição sendo dada por uma função s = s( t)
com t∈ [ a, b]
. Então de acordo com o Teorema do Valor Médio, existe um instante t = c∈ ( a, b)
tal que a velocidade instantânea em c é igual à velocidade média do móvel entre t = a e t = b.
Nesta unidade você teve a oportunidade de apreciar uma nova interpretação da derivada e viu como a
derivada é útil no estudo do comportamento de uma função. Dentre os conhecimentos mais marcantes que vimos
aqui podemos destacar a construção rigorosa do gráfico de uma função. Como dissemos anteriormente só as
funções do primeiro grau possuíam um gráfico com construção totalmente justificada.
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conosco.
96

Unidade III: Integral Definida e Primitivas
1. - Situando a Temática
A partir de agora nós vamos conhecer dois novos objetos da Matemática. São a integral definida e a
primitiva. A primeira vai ser definida a partir de uma situação concreta, a saber, a determinação de uma área.
Como quase tudo o que é feito em Matemática, começa-se com uma situação concreta, esta motiva uma
definição abstrata e esta última cria vida própria e desenvolve-se dando origem a novos resultados que podem
incluir até mesmo outras situações concretas diversas daquela inicial. Durante este curso esta atitude já foi
tomada com relação à derivada. Motivaremos a integral definida para uma situação particular e sempre
voltaremos a essa interpretação. O outro objeto, a primitiva de uma função, será definida como um processo
inverso ao da derivação, ou seja, dada uma função f, procura-se uma outra g tal que a derivada de g seja f. A
função g será chamada uma primitiva para f . Apesar da aparente simplicidade, tal procura, em geral, pode ser
bastante laboriosa. O mais impressionante será o relacionamento entre os dois novos objetos introduzidos: a
integral definida e a primitiva de uma função relacionam-se harmoniosamente num resultado conhecido como
Teorema fundamental do cálculo.
2. - Problematizando a Temática
Determinar a área de uma figura plana foi um problema bastante atacado pelos antigos cientistas e,
muito satisfatoriamente, por um dos maiores gênios da antiguidade, Arquimedes de Siracusa. Aqui abordaremos
alguns problemas semelhantes aos que ele abordou e os resolveremos de uma maneira moderna usando o
chamado Teorema fundamental do Cálculo.
3. - Conhecendo a Temática
3.1 - Motivação inicial: o problema da área
O cálculo das áreas de polígonos já era conhecido desde
Euclides. Entretanto foi Arquimedes quem primeiro construiu
uma idéia satisfatória no cálculo de áreas de figuras planas em
geral. A sua idéia baseava-se na aproximação da região por
polígonos, dos quais se sabia efetivamente calcular a área.
Vejamos a seguinte situação. Tomemos a função
2
f ( x) = x + 1e
o nosso problema é determinar a área da região
S do plano limitada pelo gráfico de f , pelo eixo-x e pelas retas
x = 0 e x = 2 , conforme a figura ao lado:
Vamos dividir o intervalo [ 0, 2 ] em 4 intervalos iguais.
Como são 4 intervalos, cada um terá comprimento
2−0 2
Δ x = = = 0,5 . Assim, teremos os intervalos
4 4
⎡ 1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ 3⎤
⎢
0, , ,1 , 1,
⎣ 2⎥ ⎦
⎢
⎣2 ⎥
⎦
⎢
⎣ 2⎥
⎦ e 3 ⎡ ⎤
⎢
,2
⎣ 2 ⎥
. Em cada um desses intervalos
⎦
escolhemos um ponto qualquer. Vamos escolher o ponto extremo
direito. Consideramos então os retângulos de base igual a cada
intervalo e altura igual ao valor de f no ponto especificado.
Calculamos a soma das áreas de cada um desses retângulos e obtemos um valor aproximado para a área
desejada.
Aqui temos um valor aproximado para essa área:
97

1 ⎛1⎞ 1 1 ⎛3⎞ 1 1 5 1 1 13 1
× f ⎜ ⎟+ × f () 1 + × f ⎜ ⎟+
× f ( 2) = × + × 2+ × + × 5= 5.75.
2 ⎝2⎠ 2 2 ⎝2⎠ 2 2 4 2 2 4 2
Evidentemente a escolha do ponto extremo direito foi uma opção nossa. Poderíamos também ter escolhido o
ponto extremo esquerdo, ou outro qualquer. Caso tivéssemos escolhido o extremo esquerdo e repetido o
processo, um valor aproximado para a área pedida seria
1 1 ⎛1⎞ 1 1 ⎛3⎞ 1 1 5 1 1 13
× f ( 0) + × f ⎜ ⎟+ × f () 1 + × f ⎜ ⎟=
× 1+ × + × 2+ × = 3.75
2 2 ⎝2⎠ 2 2 ⎝2⎠ 2 2 4 2 2 4
Uma figura neste caso está mostrada abaixo:
Se tivéssemos tomado o ponto médio de cada intervalo, um valor aproximado para a área seria
1 ⎛1⎞ 1 ⎛3⎞ 1 ⎛5⎞ 1 ⎛7⎞ 1 17 1 25 1 41 1 65
× f ⎜ ⎟+ × f ⎜ ⎟+ × f ⎜ ⎟+ × f ⎜ ⎟=
× + × + × + × = 4.625.
2 ⎝4⎠ 2 ⎝4⎠ 2 ⎝4⎠ 2 ⎝4⎠ 2 16 2 16 2 16 2 16
Uma figura representando essa situação está mostrada abaixo:
Observe que o valor dessas aproximações vai melhorando cada vez mais quando fizermos a quantidade de
intervalos aumentar. Se ao invés de 4 tivéssemos tomado 8, a aproximação seria 4,65625 usando como ponto
escolhido o ponto médio de cada intervalo. Só para se ter uma idéia, o valor exato de tal área é 14
4,666...
3 =
Vale a pena notar também que se dividirmos o intervalo [ 0, 2 ] em n subintervalos todos de igual comprimento
2− 0 2
= teremos os seguintes subintervalos:
n n
⎡ 2⎤ ⎡2 4⎤ ⎡4 6⎤
⎡ 2( n − 2)
⎤
I1 =
⎢
0, , I2 , , I3 , ,..., In
,2
n⎥ =
⎢
= = ⎢ ⎥
n n⎥ ⎢n n⎥ .
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ n ⎦
98

Se escolhermos um ponto qualquer em cada um deles, c1∈I1, c2∈I2,..., cn∈ In,
o valor para a
aproximação neste caso será:
2 2 2 2 2 2 2 2 n
2 2
( c1 + 1) × + ( c2 + 1) × + ( c3 + 1 ) × + ... + ( cn + 1) × = ∑ ( ci
+ 1)
× ,
n n n n i=
1 n
n
2 2
Onde o símbolo ∑ ( ci
+ 1)
× indica a soma das n parcelas que estão do lado esquerdo. Veja que todas
i=
1 n
elas são semelhantes, só diferem no índice. Por isso mesmo vamos usar com freqüência esta notação que é
muito mais econômica.
3.2. - Integral definida: definição e propriedades
A idéia surgida anteriormente para o cálculo de área agora será usada como motivação para definirmos um
novo objeto matemático: a integral definida. Suponha que f seja uma função contínua definida num intervalo
[ , ]
ab em n subintervalos, I1, I2,..., I n
b−a todos de mesmo comprimento Δ x = . Vamos escolher pontos c1∈I1, c2∈I2,..., cn∈Ine consideremos a
n
soma, conhecida como soma de Riemann:
ab do eixo-x e n um número natural. Vamos dividir o intervalo [ , ]
( ) ( ) ( ) ( )
f c Δ x+ f c Δ x+ f c Δ x+ + f c Δ x
1 2 3 ... n
que pode ser reescrita numa forma mais compacta da seguinte maneira:
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
f c Δ x+ f c Δ x+ f c Δ x+ + f c Δ x= ∑ f c Δx.
1 2 3
Definimos a integral definida de f em [ ab , ] com sendo:
b
n→+∞ i=
1
99
( )
lim n
∑ f c Δx.
i
n i
i=
1
Vamos representá-la pelo símbolo ∫ f ( x) dx.
Devemos lê-lo como a integral de ( )
b n
∫ lim
a
n→+∞ i=
1
b .Portanto, ( ) ∑ ( )
f x dx= f c Δx.
i
Caso a função f seja positiva no intervalo [ ab , ] a integral definida de
f em [ ab , ] representa a área que está abaixo do gráfico de f acima do
eixo-x e limitada pelas retas x = a e x = b , conforme a figura ao lado.
a
n
f x entre a e

Agora devemos ter um cuidado: nem sempre a integral
definida fornece a área entre o gráfico de f , o eixo-x e
as retas x = a e x = b , conforme nos mostra a figura
abaixo. Nela está mostrado o gráfico da função
f ( x) = ( x+ 1)( x−1)( x−
3)
. Perceba que a área da
região delimitada pelo gráfico de f , pelo eixo-x e as
Veremos a seguir algumas propriedades da integral definida. Vamos adiar suas demonstrações para o curso de
Introdução à Análise. Suponha que f e g sejam funções contínuas definidas no intervalo [ ab , ] . Então valem as
seguintes propriedades:
( ± ) = ( ) ± ( )
b b b
∫ f x g x dx ∫ f x dx ∫ g x dx,
1. ( ) ( )
a a a
b c b
2. Se c∈ ( a, b)
então f ( x) dx= f ( x) dx+ f ( x) dx,
∫ ∫ ∫ .
a a c
b b
3. Se f ( x) ≤ g( x)
para todo x ∈ [ ab , ] então ( ) ≤ ( )
∫ f x dx ∫ g x dx.
a a
Faremos também as seguintes convenções:
a
1. f ( x) dx= 0
a
∫ f
b
x dx=−∫ f x dx
∫ 2. ( ) ( ) .
a
3.3. - Primitivas
3
x = NÃO é dada por ( )
retas x =−1e 3
∫ f x dx!
Isso
−1
porque a função nesse trecho assume valores positivos e
negativos. Portanto o que essa integral nos fornece na
realidade é A1− A2,
onde A 1 é a área da região abaixo do
gráfico de f e acima do eixo-x entre x =− 1 e x = 1 e
A2 é a área da região acima do gráfico de f e abaixo do
eixo-x entre x = 1e
x = 3.
b a
A partir de agora iremos a busca de calcular a integral definida de uma função contínua f definida em
um intervalo [ ab , ] . Quem vai interceder de maneira decisiva nesse cálculo será o objeto que estudaremos nesta
seção, a chamada primitiva ou integral indefinida de uma função. Sabemos do nosso estudo inicial de derivadas
que a derivada de uma função constante é igual a zero. A pergunta que se nos põe é a seguinte: uma função que
possua derivada igual nula é constante? Colocada assim de uma forma tão geral essa pergunta está longe de ter
uma resposta afirmativa, como nos mostra o seguinte exemplo:
Exemplo 3.3.1. Considere a função:
( )
f x
⎧ 1 se x > 0
= ⎨
⎩−
1 se x < 0
Observe que essa função tem derivada nula em todos os pontos do seu domínio, mas ela não é uma função
constante.
100

Para responder à pergunta formulada anteriormente de forma satisfatória usaremos o Teorema do Valor Médio.
A resposta definitiva é a seguinte:
Fato 1: Suponha que f seja uma função contínua definida num intervalo aberto I do eixo-x e que para todo
x ∈ I . Então f é constante em I .
Esse fato nos permite ainda tirar uma conclusão bastante importante acerca de funções que possuem a mesma
derivada:
Fato 2: Suponha que f e g são funções contínuas definidas no mesmo intervalo aberto I do eixo-x e que
( ) ( )
f ' x = g' x para todo x I
Passamos agora a definir o principal objeto dessa seção:
∈ . Então existe uma constante k tal que ( ) ( )
101
f x = g x + k,
para todo x ∈ I .
Seja f uma função definida num intervalo aberto I do eixo-x. Uma primitiva ou integral indefinida para f é
uma função F definida em I tal que F'( x) f ( x)
= para todo x ∈ I .
2
Exemplo 3.3.2. A função F( x) = x é uma primitiva para a função f ( x) 2x
2 2
de f as funções F( x) = x + 1,
F( x) = x − 1 e, mais geralmente, ( ) 2
= em R . Também são primitivas
F x = x + k , onde k∈Ré qualquer
constante. Uma pergunta que poderíamos fazer nesse momento é a seguinte: Todas as primitivas de f são dessa
2
forma, ou seja, se F é uma primitiva de f então F( x) = x + k ? A resposta é sim. De fato, Se F e G são
primitivas de f no intervalo aberto I , então, em I , temos F'( x) = G'( x)
. Logo, pelo fato 2 acima, concluímos
que deve existir uma constante k tal que G( x) = F( x) + k , para todo x ∈ I .
O que o exemplo 3.3.2. acima nos conta é que se encontrarmos uma primitiva F de uma função f então todas as
outras são obtidas a partir de F adicionando constantes (que podem ser negativas ou positivas). Portanto, nosso
esforço estará concentrado na determinação de uma primitiva.
Usaremos a notação abaixo para indicar que todas as primitivas de uma função f são iguais a F adicionada a
constantes:
f ( x) dx= F( x) + k,
k uma constante.
Observe que os símbolos ∫ f ( x) dxe
∫ ( )
∫
A seguir exibiremos algumas propriedades da primitiva de uma função.
b
a
f x dxindicam
objetos distintos apesar da semelhança entre eles.
Se f e g são funções definidas em um intervalo I , então valem as seguintes propriedades:
1. ∫⎡⎣f( x) ± g ( x) ⎤⎦
dx= ∫ f ( x) dx± ∫g(
x) dx,
2. ∫cf( x) dx= c∫ f ( x) dx,
onde c é uma constante real.
Agora atente bem porque não valem propriedades semelhantes para divisão e produto. Logo mais veremos
como relacionar a idéia de primitiva com o cálculo de integrais definidas. Antes vejamos alguns exemplos que
ilustram a importância das primitivas.
Exemplo 3.3.3. Vamos determinar a função f que satisfaz às seguintes condições:
( )
( )
2
⎧ ⎪ f ' x = 3x
⎨
.
⎪⎩ f 0 = 2

f 0 = 2,
temos que 2,
= + . Um problema como esse é conhecido como problema de valor inicial,
uma vez que além da informação sobre a derivada da função f também possuímos uma informação sobre o valor
de f em um ponto.
Como
2
3
f '( x) = 3x
temos, por inspeção, que f ( x) = x + k , onde k é uma constante. Como ( )
k = donde f ( x) 3
x 2
Exemplo 3.3.4. Uma partícula desloca-se sobre o eixo-x. Sabe-se que no instante t, t>0, a sua velocidade é
v() t = 2t+ 1.
Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 , a partícula encontra-se na posição x = 1. Determine a
posição da partícula em um instante de tempo t > 0 qualquer.
Sabemos que a velocidade v() t da partícula é dada pela derivada de sua posição x() t . Portanto,
x ' t = 2t+ 1.
Por inspeção, verificamos que
2
x( t) = t + t+ k , onde k é uma constante. Como
()
2
x ( 0) = 1, devemos ter k = 1 o que acarreta ( )
x t = t + t+
1.
Veremos agora um quadro resumido com algumas primitivas chamadas imediatas. O adjetivo refere-se ao
fato de que são obtidas pelo processo inverso de derivação:
•
k + 1
k x
∫ x dx = + C,
se k ≠ − 1
k + 1
•
1
−1
∫ dx = ∫ x dx = ln x + C
x
•
x x
∫ edx= e + C
• ∫ senxdx =− cos x + C
• ∫ cos xdx = senx + C
•
2
∫ sec xdx = tgx+ C
• ∫
1
2
1−
x
dx = arcsenx + C
•
1
∫ dx = arctgx+ C
2
1+
x
2
− x
2
As funções e ,cos ( x ) , sen( x)
3.4. - O Teorema fundamental do Cálculo
Ampliando o seu Conhecimento
Chegamos a um dos resultados mais importantes do nosso curso. Aquele que nos permitirá relacionar as
noções de derivada e integral de uma forma bastante surpreendente e, como resultado, nos mostra um caminho
prático para calcularmos integrais definidas evitando o tortuoso caminho da definição. O resultado é o seguinte:
Teorema Fundamental do Cálculo:
,
Se f for contínua em [ ab ] e se F for uma primitiva de f em [
b
f ( x) dx= F( b) −F(
a).
, ]
∫
a
e muitas outras não possuem primitivas que possam ser
expressas em termos das funções que conhecemos. Esse fato foi provado pelo matemático francês
Liouville.
102
ab , então:

Vamos ver uma demonstração deste fato. Ela é simples e bonita o suficiente para apreciarmos. Supondo que
ab , . Então:
f seja contínua em [ ]
b n
∫ lim
a
n→+∞ i=
1
( ) ∑ ( )
f x dx= f c Δx
existe independentemente da escolha dos ci's. O que faremos aqui é fazer uma escolha particular dos ci's e
que fornecerá o resultado desejado. Como F é contínua em cada intervalo [ 1 ] , Ii = xi−xi e derivável no intervalo
x x
∗
c ∈ x x tal que:
aberto ( − ) , existe, pelo Teorema do Valor Médio, um ponto ( )
1 , i i
1 ,
i i−i i i−1 '
∗
i i i−1 ∗
i i i−1
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
F x − F x = F c x − x = f c x − x .
Agora vamos somar todas as parcelas do tipo acima. Mais especificamente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F x F x F x F x F x F x F x F x F x F x
1 − 0 + 2 − 1 + 3 − 2 + ... + n−1 − n−2 + n − n−1
=
∗
f c1 x1− x0 +
∗
f c2 x2 − x1 +
∗
f c3 x3 − x2 + ... +
∗
f cn−1 xn−1− xn−2 +
∗
f cn xn − xn−1
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
O lado esquerdo dessa igualdade reduz-se a F( x ) F( x ) F( b) F( a)
escrita numa forma mais compacta como:
Agora fazendo n →+∞ nós obtemos:
donde:
como queríamos demonstrar.
n
i=
1
n→+∞ i=
1
n
103
0
i
− = − . Portanto a igualdade pode ser
∗ ( i )( i − i−1)
= ( ) − ( )
∑ f c x x F b F a .
∗ b
( i ) Δ = ( ) = a
( ) − ( )
lim n
∑ f c x ∫ f x dx F b F a ,
b
a
∫
( ) = ( ) − ( )
f x dx F b F a
Vamos calcular algumas integrais definidas usando o Teorema Fundamental.
2
3 2
Exemplo 3.4.1. Calcule ∫ ( + )
3 2
f ( x) x x .
1
x x dx.
Em primeiro lugar vamos determinar uma primitiva para
= + Usando a lista de primitivas vista no final da seção anterior, temos que uma primitiva para f é
4 3
x x
F( x ) = + . Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que:
4 3
2 4 3 4 3
3 2
∫ ( x x ) dx F( 2) F(
1)
1
⎛2 2 ⎞ ⎛1 1 ⎞ 15 7 45−28 17
+ = − = ⎜ + ⎟− ⎜ + ⎟=
+ = =
⎝ 4 3 ⎠ ⎝ 4 3 ⎠ 4 3 12 12
2
Exemplo 3.4.2. Calcule a área limitada pelo gráfico de f ( x) = x + 1,
as retas x = 0 , x = 2 e o eixo-x. Esse
foi o problema com o qual iniciamos nosso estudo da integral definida. Pelo que já vimos a área pedida é igual a
2
3
2
2 x
∫ ( x + 1)
dx . Uma primitiva para f ( x) = x + 1 é F( x) = + x.
Portanto:
0
3
,

2 3 3
2
∫ ( x ) dx F( ) F(
)
0
⎛2 ⎞ ⎛0 ⎞ 8 14
+ 1 = 2 − 0 = ⎜ + 2⎟− ⎜ + 0⎟= + 2=
.
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 3
Exemplo 3.4.3. Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f ( x) ( x 1)( x 1)( x 3)
104
= + − − entre os pontos
x =− 1 e x = 3 . Revendo a discussão sobre áreas e integrais a área pedida será dada por
1 3
( ) − ( )
∫ f x dx∫ f x dx,
ou seja, a área pedida é dada por:
−1
1
1 3 1 3
3 2 3 2
∫ ( ) ∫ ( ) ∫( 3 3) ∫ ( 3 3)
f x dx− f x dx= x − x − x+ dx− x − x − x+ dx=
−1 1 −1
1
3 2
Uma primitiva para f ( x) = x −3x − x+
3é
( )
32
igual a F() 1 −F( −1) −( F( 3) − F()
1 ) = .
4
4. - Avaliando o que foi construído
4 2
x 3 x
F x = −x − + 3x.
Portanto, a área pedida será
4 2
Nesta unidade tivemos a oportunidade de conhecer dois objetos novos da matemática: a integral definida e a
primitiva de uma função. Vimos que ambas resolvem problemas concretos e que relacionam-se através do
conhecido Teorema Fundamental do Cálculo.
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Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial e Integral II, você
poderá testar seus conhecimentos a respeito do tema dessa unidade. Dedique-se à leitura do material
complementar e à resolução das tarefas relacionadas a este assunto. Vamos nos encontrar no MOODLE. Até
lá!
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potencial e conte conosco.

Unidade IV: Algumas Técnicas para se Encontrar Primitivas
1. - Situando a Temática
Na unidade anterior tivemos a oportunidade de conhecer o Teorema fundamental do cálculo que fornece
uma maneira mais rápida para se calcular a integral definida de uma função f em termos de alguma de suas
primitivas. O que faremos nesta unidade será apresentar algumas técnicas para a determinação de primitivas que
também são conhecidas por técnicas de integração.
2. - Problematizando a Temática
As primitivas imediatas vistas na unidade anterior são obtidas diretamente por um processo inverso de
derivação. Em geral isso pode ser feito, mas por procedimentos um pouco mais delicados. Portanto o principal
problema abordado aqui será o de determinar primitivas de funções.
3. - Conhecendo a Temática
3.1. - Integração por substituição
Duas das técnicas de integração que estudaremos funcionam ao contrário de duas regras de derivação. A
primeira é a integração por substituição que funciona ao contrário da Regra da Cadeia. Começaremos com um
exemplo.
2
Exemplo 3.1.1. Vamos determinar uma primitiva para a função ( )
105
2xcos x , o que é equivalente a calcular
2
2 du
∫ 2xcos ( x ) dx.
Observe que se fizermos u = x , e derivarmos com relação a x ficaremos com = 2 x,
de
dx
modo que du = 2 xdx.
Essa última passagem é justificável, mas não faremos isso aqui. Agora fazemos a
substituição:
2 2 2
( ) ( ) ( )
∫2xcos x dx = ∫cos x 2xdx = ∫ cosudu
= senu + C = sen x + C .
Perceba bem: o segredo aqui foi fazer uma escolha acertada da substituição, ou seja, uma escolha acertada de u.
Vejamos outro exemplo:
x
Exemplo 3.1.2. Calcule ∫ dx.
Vamos fazer de duas formas para que fique claro que às vezes um mesmo
2
1+
x
2
problema pode ser resolvido de duas ou mais maneiras diferentes. Vamos ao primeiro modo. Se fizermos u = x
du
e derivarmos com relação a x, ficaremos com = 2 x,
ou seja, du = 2 xdx.
Mas veja que isso fornece
dx
du
xdx = . Por que fizemos isso ? Porque no integrando temos xdx e não 2xdx ! Agora substituímos e
2
obtemos:
x 1 1 du 1 1
∫ dx = .
2 ∫ xdx = 2 ∫ = ∫ du
1+ x 1+ x 1+ u 2 2 1+
u
Aparentemente a nossa escolha de u não foi boa, porque nos conduziu a uma integral que também não é da
categoria das imediatas. Mas veja que podemos fazer uma nova substituição. Faremos v= 1 + u.
Derivando v
dv
com relação a u, teremos = 1, ou seja, dv = du.
Agora substituindo, teremos:
du

Portanto:
1 1
∫ du = ∫ dv = ln v + C = ln 1 + u + C.
1+
u v
x 1 1 1 1 1
∫ = ∫ = + = + + = + +
106
( )
2 2
dx du ln u C ln 1 x C ln 1 x C.
2
1+ x 2 1+ u 2 2 2
2
Vejamos agora uma substituição que é mais rápida. Façamos u = 1 + x . Derivando com relação a x, teremos
du
du
= 2 x,
ou seja, du = 2 xdx.
Essa última nos leva a xdx = . Agora substituindo, teremos:
dx 2
x 1 du 1 1 1 1
2
∫ dx = ln ln 2 ∫ = ∫ du = u + C = ( 1 + x ) + C.
1+ x u 2 2 u 2 2
Em resumo, a regra funciona assim:
( ) ( )
Regra da Substituição: Se quisermos calcular ∫ f
du = g ' ( x) dx.
Assim:
g( x) × g ' x dx,
podemos fazer u g ( x)
∫ f ( g( x) ) × g ' ( x) dx= ∫ f ( u) du.
Portanto, se soubermos calcular esta última e, digamos, que ela seja F( x ), a primeira será F g ( x )
= e daí,
( ).
Vejamos mais dois exemplos:
x
Exemplo 3.1.3. Calcule ∫ dx . Observe que este caso é um pouco diferente dos demais. Gostaríamos muito
x −1
x −1
que o integrando fosse o inverso do que realmente é, ou seja, se fosse algo como ∫ dx seria fácil calcular
x
(será mesmo? Tente). Bom, mas esse impulso inicial é válido e vamos nos apegar a ele. Façamos
u = x−1.
Derivando com relação a x, obtemos du = dx.
Mas o que fazer com o x que está no numerador já que
ele não aparece na expressão de du ? Fazemos o seguinte, lembre que u = x−1,
portanto, x= u+
1. Agora
substituímos:
x u+ 1 u 1 1
∫ dx = ∫ du = ∫ du + ∫ du = ∫1du + ∫ du = u + ln u + C = ( x − 1) + ln x − 1 + C.
x−1u u u u
Exemplo 3.1.4. Calcule ∫
x
dx.
Observe que não está clara aqui nenhuma substituição. Vamos tentar
2x+ 3
du
u = 2x+ 3. Veja que = 2, ou seja, du = 2 dx.
A mesma idéia que usamos antes, ou seja, tirar o valor de x em
dx
u − 3
função de u nos leva a x = . Portanto substituindo ficaremos com:
2
u − 3
∫
x
dx = ∫
2x+ 3
2
u
du 1 u−3 1⎧ = ∫ du = ⎨∫ 2 4 u 4⎩ u
du − ∫
u
3 ⎫ 1 1/2 −1/2
du⎬= { ∫udu − 3∫udu}
=
u ⎭ 4
Há outra possibilidade que é tentar u = 2x+ 3. Faça como exercício.
( ) 3/2
x +
3/2 1/2 3/2
1 ⎧u u ⎫ u
1/2 2 3
= ⎨ − 3 ⎬=
− 6u + C = − 6 2x+ 3 + C.
4⎩3/2 1/2⎭ 6 6

3.2. - Integração por partes
A regra do produto para funções deriváveis afirma que se u e v são funções deriváveis então o produto das duas
também é derivável e sua derivada será dada por:
uv ' x = u' x v x + u x v' x .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A técnica de integração por partes irá reverter esse processo. Isso será descrito a seguir. A primeira coisa para
que devemos atentar é que a fórmula da derivada do produto nos diz que u( x) v( x) é uma primitiva
de u'( x) v( x) + u( x) v'( x)
, ou seja,
u'( x) v( x) + v( x) u'( x) dx= u x v x
∫
( ) ( ) ( )
A segunda é que, supondo que u'( x) v( x) possua uma primitiva imediata, podemos escrever:
∫u( x) v'( x) dx= u( x) v( x) −∫
v( x) u'( x) dx
Se fizermos u '(
x) dx = du e v '(
x) dx = dv a fórmula acima fica:
∫udv = uv − ∫ vdu,
que é conhecida como fórmula da integração por partes. Vamos ver alguns exemplos.
Exemplo 3.2.1. Calcule ∫ x cos xdx.
Observe que não há substituição que possa ser útil para calcular essa
du
integral. Vamos fazer u = x e dv = cos xdx.
Com essas escolhas, temos que = 1, ou seja, du = dx e
dx
dv
= cos x , ou seja, v= senx.
Assim, usando a fórmula acima, temos que:
dx
∫xcos xdx = ∫udv= uv − ∫vdu = xsenx − ∫ senxdx = xsenx + cos x + C .
Observe que as escolhas para u e dv foram muito importantes. Se tivéssemos feito outras escolhas as coisas
poderiam ter ficado mais complicadas. De fato, vamos ver o que ocorreria se tivéssemos escolhido u = cos x e
2
du
dv
x
dv = xdx.
Nesse caso teremos =−senx, ou seja, du = − senxdx e = x,
o que implica v = . Assim,
dx dx 2
substituindo na fórmula da integração por partes, ficamos com
2
x 1 2
∫xcos xdx = ∫udv= uv − ∫vdu = cos x + ∫ x senxdx .
2 2
Note que a última integral é mais difícil de calcular que a primeira. Essa dificuldade maior surgiu em virtude da
nossa escolha infeliz de u e de dv .
Ficou evidenciado no exemplo acima que o sucesso do método da integração por partes reside na escolha certa
de u e de dv . Assim, algumas recomendações são úteis. Escolha u e dv de modo que v e vdu possuam
primitivas fáceis de encontrar. Não precisam ser imediatas, apenas fáceis. Vamos ver mais alguns exemplos.
Exemplo 3.2.2. Calcule ∫ x ln xdx.
A melhor escolha para u e dv é u = ln x e dv = xdx.
Com essa escolha,
2
1 x
temos du = dx e v = . Assim, usando a fórmula da integral por partes ficamos com:
x 2
2 2
x 1 2 1 x 1 2
∫xln xdx = ∫udv = uv − ∫vdu = ln x − ∫
x dx = ln x − x + C.
2 2 x 2 4
107

2 x
2
x
Exemplo 3.2.3. Calcule ∫ x edx.
Vamos fazer u = x e dv = e dx.
Com essas escolhas, teremos du = 2xdx
e
x
v= e . Assim, usando a fórmula da integral por partes, ficaremos com:
2 x 2 x x
∫xedx= ∫udv = uv − ∫vdu= x e −2
∫ xe dx.
Em uma primeira olhada, podemos pensar que a escolha foi ruim. Mas veja que a última integral pode ser
calculada usando novamente partes. Note que apesar de termos caído novamente numa integral por partes a
escolha foi boa porque ela proporcionou uma diminuição no expoente de x que era 2 e passou a ser 1. A última
x
integral pode ser calculada usando novamente partes. Fazendo u = xe
dv = e dx,
obtemos du = dx e
x
v= e . Substituindo na fórmula da integral por partes, ficaremos com:
∫xedx= ∫udv = uv − ∫vdu= xe − ∫ e dx = xe −e
x x x x x
Agora substituímos esse valor na penúltima integral e obtemos:
2 x 2 x x 2 x x x
∫xedx = ∫udv = uv − vdu = x e − 2∫ xe dx = x e − 2xe+ 2 e + C.
3.3. - Substituições trigonométricas
Existem algumas substituições que envolvem funções trigonométricas e que servem para tratar um grande
número de integrais. Elas são as chamadas Substituições Trigonométricas e são três.
Integrais envolvendo expressões do tipo
2 2
a − x , com a > 0.
Para esse tipo de integral, usaremos a substituição x = asenθ , com
dx = a cosθ
dθ
e
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a − x = a − a sen = a − sen = a = a
pela escolha do ângulo θ. Vamos a um exemplo:
2
9 − x
dx 2
108
.
π π
− ≤θ≤ . Com essa substituição temos
2 2
θ 1 θ cos θ cos θ,
Exemplo 3.3.1. Calcule ∫
x
. Neste caso a = 3 e, portanto, usaremos a substituição x = 3senθ
.
Utilizando as fórmulas descritas acima vamos fazer as substituições. Feito isso ficaremos com:
2 2
9−x3cosθ cos θ
2 2
∫ dx = 3cos cot 2 ∫ × θdθ = d g d 2 ∫ θ = 2 ∫ θ θ = ∫ ( cosec θ − 1)
dθ
=
x 9sen
θ sen θ
2
= ∫cos ec θdθ − ∫ dθ =−cot gθ − θ + C.
Agora precisamos retornar à variável original que é x. A nossa única relação entre x e θ é a da substituição, ou
x
⎛ x ⎞
seja, x = 3senθ
. A primeira informação que tiramos é que senθ = , ou seja, θ = arcsen⎜
⎟.
Por outro lado,
3
⎝3⎠ x
como senθ = , temos, que:
3

2
cosθ 1 sen θ 1
109
2 2
⎛ x ⎞ 9 − x
= − = − ⎜ ⎟ =
⎝3⎠ 3
cosθ donde, cot gθ
= =
senθ 2
9 − x
3
x
3
=
2
9 − x
e, portanto,
x
∫
2
9−x dx =−cot gθ − θ + C =− 2
x
2
9−x
⎛ x⎞
− arcsen⎜ ⎟+
C
x
⎝3⎠ Integrais envolvendo expressões do tipo
2 2
a + x , com a > 0.
Para esse tipo de integral, usaremos a substituição x = atgθ , com
2
temos dx = sec θdθ e
( )
θ 1 θ sec θ sec θ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + x = a + a tg = a + tg = a = a
pela escolha do ângulo θ . Vamos a um exemplo.
,
π π
− ≤θ≤ . Com essa substituição
2 2
1
Exemplo 3.3.2. Calcule
2
4 dx ∫
. Usando a substituição acima, com a = 2 , isto é, x = 2 tgθ , essa integral
x +
vai tomar o seguinte aspecto:
2
1 2sec θ
∫ dx = ∫ dθ = ∫sec
θdθ. 2
x + 4 2secθ
A última integral requer um pequeno truque para o seu cálculo. Primeiro note que:
2
secθtgθ + sec θ
sec θ =
,
secθ
+ tgθ
onde essa fração fizer sentido. Portanto:
2
secθtgθ + sec θ
∫sec θdθ = ∫
dθ.
secθ
+ tgθ
Mas essa última integral pode ser calculada observando que a substituição u = secθ
+ tgθé
tal que
2
du = secθtgθ + sec θ dθ.
Assim:
Portanto:
( )
2
secθtgθ + sec θ du
∫secθdθ = ∫ dθ = ∫ = ln u + C = ln sec θ + tgθ + C.
secθ
+ tgθ u
2
1 2sec θ
∫ dx = ∫ dθ = ∫secθdθ
= ln sec θ + tgθ + C.
2
x +
4 2secθ

Agora precisamos expressar secθ e tgθ em função de x. A relação entre x e θ que possuímos é x = 2 tgθ , o
x
que acarreta tgθ = . Agora lembre uma identidade muito importante da trigonometria, qual seja,
2
2 2
sec θ = 1 + tg θ.
Usando essa identidade, podemos concluir que:
Portanto:
110
2 2 2
2 ⎛ x⎞ 4+ x x + 4
secθ = 1+ tg θ = 1 + ⎜ ⎟ = = .
⎝2⎠ 4 2
2 2
1 2sec θ x + 4 x
∫ dx = ∫ dθ = ∫secθdθ
= ln secθ + tgθ + C = ln + + C.
2
x + 4 2secθ 2 2
Integrais envolvendo expressões do tipo
2 2
x − a , com a > 0.
Para esse tipo de integral, usaremos a substituição x= asec θ,
com 0
essa substituição temos dx = secθtgθdθ
e:
( )
2 2
x − a =
2 2 2
a sec θ − a =
2
a
2
sec θ − 1 =
2 2
a tg θ = atgθ,
pela escolha do ângulo θ . Vamos a um exemplo.
π
3 π
≤ θ < ou π ≤ θ < . Com
2
2
1
Exemplo 3.3.3. Calcule
.
2
25 dx
∫
Usando a substituição acima com a = 5 , isto é, x = 5sec θ,
a integral
x −
dada tomará o seguinte aspecto:
1 5secθtgθ
∫ dx = ∫ dθ = ∫secθdθ
= ln sec θ + tgθ + C.
2
x − 25 5tgθ
x
Precisamos agora voltar para a variável x. Da relação x = 5sec θ,
tiramos que sec θ = . Logo
5
Portanto
2 2 2
2 ⎛ x⎞ x −25 x −25
tgθ = sec θ − 1 = ⎜ ⎟ − 1 = = .
⎝5⎠ 25 5
2
1 x x − 25
θ θ θ θ
2
∫ dx = ∫sec
d = ln sec + tg + C = ln + + C.
x − 25
5 5
3.4. - O método das frações parciais
p x
O nosso objetivo aqui será calcular integrais do tipo ∫ dx onde p e q são polinômios em uma
q x
p ( x)
variável com coeficientes reais. Vamos considerar, durante a discussão que segue, somente frações
q( x )
onde
o grau do numerador é menor que o do denominador e onde o coeficiente do termo de maior grau do
denominador seja 1.O porquê disso ficará mais claro adiante. O principal fato usado nesse método é um
resultado de Álgebra Abstrata que é o seguinte:
( )
( )

Todo polinômio com coeficientes reais pode ser escrito como um produto de polinômios de grau um e/ou de
grau dois, todos com coeficientes reais, sendo que os polinômios de grau dois possuem discriminante negativo
Vejamos alguns exemplos desse fato:
3
Exemplo 3.4.1. O polinômio p( x) x 1
discriminante do polinômio de grau 2 é − 3.
2
= − pode ser escrito como p( x) ( x 1)( x x 1)
111
= − + + . Observe que o
= − + .
Observe que ele não possui fatores de grau 2.
p ( x)
O método das frações parciais consiste em decompor a fração em frações mais simples, chamadas
q( x )
frações parciais, que são mais fáceis de integrar. Essa decomposição será baseada nos fatores que aparecem na
decomposição do denominador. Para facilitar o entendimento, dividiremos o estudo do método em quatro casos.
3 2
Exemplo 3.4.2. O polinômio p( x) = 2x + 3x − 2x
pode ser escrito como p( x) x( 2x 1)( x 2)
1º. Caso: Os fatores de q( x ) são todos de grau 1 e não há fatores repetidos.
= − 1 − 2 ... − k , onde os números reais a1, a2,..., a k são todos distintos. Assim
sendo a Álgebra Abstrata nos permite dizer que existem números reais A1, A2,..., Aktais que
p( x) A1 A2
Ak
= + + ... + .
q( x) ( x−a1) ( x−a2) ( x−ak) Vamos ver um exemplo
Nesse caso q( x) ( x a )( x a ) ( x a )
x −1
Exemplo 3.4.3. Calcule ∫
dx.
Inicialmente note que:
3 2
x − x − 2x
( ) ( )( )
− − 2 = − − 2 = − 2 + 1 .
3 2 2
x x x x x x x x x
Pela decomposição fornecida acima temos que existem 1, 2
A A e A 3 tais que
x −1
A1 A2
A3
= + + .
3 2
x −x −2x x x− 2 x+
1
O que faremos agora é encontrar esses números. Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade acima, ficaremos
com
x −1
A1( x− 2)( x+ 1) + A2x( x+ 1) + A3x( x−2)
=
3 2 3 2
x −x −2x x −x −2x
E nessa igualdade de frações algébricas, podemos multiplicar ambos os membros pelo denominador comum de
ambas as frações e ficaremos com a seguinte igualdade de polinômios:
( )( ) ( ) ( )
x− 1= A1 x− 2 x+ 1 + A2x x+ 1 + A3x x−
2 ,
1 1 1
que nos fornecerá, através de uma identidade de polinômios, A1 = , A2
= e A 3 =− . Portanto chegamos à
2 5 10
seguinte decomposição:

1 1 1
x −1
= 2 + 5 − 10
− −2 − 2 + 1
.
3 2
x x x x x x
Integrando essa última igualdade temos
x −1
1 1 1 1 1 1
∫ dx = ,
3 2 ∫ dx + ∫ dx − ∫ dx
x −x −2x 2 x 5 x− 2 10 x+
1
Portanto
x −1
1 1 1
∫
dx= ln x + ln x−2− ln x+ 1 + C.
3 2
x −x −2x
2 5 10
Note que as duas últimas integrais logo acima foram obtidas por substituição. Tente fazer.
2º. Caso: Os fatores de q( x ) são todos de grau 1, mas alguns são repetidos.
Digamos que o fator ( x a j )
− apareça com potência k, ou seja, ele repete-se k vezes na decomposição de
q( x ) . A Álgebra Abstrata nos permite provar que esse fator vai originar k frações parciais do seguinte tipo:
A1 A2
+ + +
( x−aj) ( x −aj) ( x−aj) 112
A
2 ... k
Os demais fatores que não se repetem fornecem apenas uma fração parcial cada, conforme vimos no caso 1.
Vamos ver um exemplo.
Exemplo 3.4.4. Calcule
parciais do integrando será:
∫
4x
2
( x− 1) ( x+
1)
4x
k
.
dx.
De acordo com o que dissemos acima, a decomposição em frações
A A
1 2
= + +
2 2
( x− 1) ( x+ 1) ( x− 1) ( x−1)
( x+
1)
onde as duas primeiras frações foram originadas pelo fator ( ) 2
x − 1 e a última pelo fator ( )
mesmo processo do exemplo precedente, obtemos a seguinte identidade de polinômios
( )( ) ( ) ( ) 2
4x= A x− 1 x+ 1 + A x+ 1 + A x−
1 .
1 2 3
Após desenvolvermos obteremos A1 = 1, A2
= 2 e A 3 = −1. Portanto a decomposição fica:
4x 2
x− 1 x+ 1
=
1
x− 1
+
2
2
x−1
+
−1
,
x+
1
que quando integrada fica :
Ou seja,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4x1 2 1
∫ dx = ∫ dx + ∫ dx −∫
dx,
2 2
( x− 1) ( x+ 1) ( x− 1) ( x−1)
( x+
1)
A
3
,
x + 1. Repetindo o

∫
4x2 dx = ln x − 1 + − ln x + 1 + C.
x −1
2
( x− 1) ( x+
1)
3º. Caso: Alguns dos fatores de q( x ) são de grau dois mas não se repetem.
Digamos que na decomposição de q( x ) apareça um fator do tipo
negativo. A Álgebra Abstrata garante esse fator gera uma fração parcial do tipo:
Ax+ B
2
ax + bx + c
,
onde A e B são números reais. Vamos ver um exemplo.
113
2
ax + bx + c que possua discriminante
2
x + 2x+ 1
3 2
Exemplo 3.4.5. Calcule ∫ dx.
Inicialmente observe que x + x= x 3
( x + 1, ) sendo que o
x + x
discriminante desse último fator é negativo. Portanto, de acordo com o que vimos acima, a decomposição em
frações parciais do integrando será:
2
x + 2x+ 1 A Bx+ C
= + ,
3 2
x + x x x + 1
onde A,B e C são números reais a serem determinados. Procedendo como nos exemplos anteriores, concluímos
que os valores de A,B e C são, respectivamente, 1,2 e 2. Logo a decomposição toma a seguinte forma:
2
x + 2x+ 1 1 2x+ 2
= +
3 2
x + x x x + 1
.
Portanto,
2
x + 2x+ 1 1 2x+ 2
∫ dx = dx dx.
3 ∫ + ∫ 2
x + x x x + 1
A primeira integral do lado direito da igualdade é imediata. Vamos ver a segunda. Observe que:
2x+ 2 2x 2
∫ dx = .
2 ∫ dx + dx
2 ∫ 2
x + 1 x + 1 x + 1
Agora note que a primeira integral do lado direito pode ser tratada usando a substituição
que a segunda é imediata. Após os cálculos ficamos com:
2
x + 2x+ 1
2
∫ dx = ln x + ln 3
( x + 1) + 2 arctg ( x) + C.
x + x
4 o . Caso: Alguns dos fatores de q( x) são de grau dois e se repetem.
Digamos que na decomposição de q( x ) apareça um fator do tipo
2
u = x + 1 enquanto
2
ax + bx + c que possua discriminante
negativo e se repita k vezes. A Álgebra Abstrata garante que esse fator gera k frações parciais do seguinte tipo:
Ax 1 + B1 + 2
ax + bx + c
Ax 2 + B2
2
2
ax + bx + c
+ ... +
Ax k + Bk
k
2
ax + bx + c
,
onde os i A e os B j são números reais a serem determinados.
( ) ( )

Exemplo 3.4.6. Calcule
( ) 2
1
∫ dx.
Procedendo como está acima descrito, a decomposição em frações
2
x x + 1
parciais do integrando será:
1 A Bx + C Dx + E
= + + ,
2 2
2
2 2
x( x + 1) x ( x + 1)
( x + 1)
onde A, BCDe , , E são números reais a serem determinados. Procedendo como nos exemplos anteriores, os
valores de A, BCDe , , E são respectivamente, 1,-1,0,-2 e 0. Assim a decomposição em frações parciais fica:
1 1 x 2x
= − − .
2 2
2
2 1 2
x x + 1 x x + x + 1
( ) ( ) ( )
Integrando ficamos com:
1 1
∫ dx = 2 ∫ dx −∫ 2
x x + 1 x
x
2
x + 1
dx − ∫
2x 1 2
dx = ln x − ln 2
( x + 1 ) +
2
x + 1
2
1
2
x + 1
+ C.
( ) ( ) ( )
4. - Avaliando o que foi construído
114
( )
As técnicas que aqui estudamos serão muito importantes no futuro pois, como vimos na seção anterior, o
cálculo de uma integral definida resume-se, em alguns casos, a determinar uma primitiva de uma função.
No Moodle...
Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial e Integral II, você
poderá testar seus conhecimentos a respeito do tema desta unidade. Dedique-se ao estudo do material
disponibilizado e à resolução das tarefas relacionadas a este assunto. Vamos nos encontrar no MOODLE.
Até lá.
Dialogando e Construindo Conhecimento
Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite constantemente a plataforma
MOODLE, faça as tarefas nela propostas Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum
tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e
ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em seu potencial e conte
conosco.

Unidade V: Aplicações Geométricas da Integral Definida
1. - Situando a Temática
Dentre as várias aplicações da integral definida vamos ver algumas de caráter geométrico. Além disso,
conheceremos um novo sistema de coordenadas, o sistema de coordenadas polares que, além de nos mostrar uma
nova forma de localizar pontos no plano, vai nos permitir abordar algumas aplicações da integral definida de
forma mais ampla.
2. - Problematizando a Temática
Determinaremos aqui algumas áreas de figuras planas conhecidas, comprimentos de algumas curvas e
volumes de alguns sólidos.
3. - Conhecendo a Temática
3.1. - Cálculo de áreas
A motivação que usamos para introduzir o conceito de integral definida foi o problema de determinar a
área de uma região plana. Aqui exploraremos mais essa motivação. Sabemos da unidade III que se f é uma
função contínua definida em [ ab , ] e positiva nesse intervalo então a área abaixo do gráfico de f , acima do
eixo-x e entre x = a e x b
b
= é dada por ( )
∫ f x dx.
Demos alguns exemplos dessa situação logo após o Teorema
a
fundamental do cálculo. Veremos aqui um caso interessante e que pode ser resolvido usando esse mesmo
raciocínio.
A situação é a seguinte: sejam f e g funções contínuas em
[ ab , ] tais que f ≥ gnesse
intervalo. Um exemplo dessa
situação está ilustrado na figura ao lado. O que gostaríamos
de determinar é o valor da área limitada pelos gráficos de
f e de g entre x = a e x = b . Se repetirmos a mesma
argumentação vista na unidade III, constataremos que a
área pedida é dada por:
b
∫ ⎡⎣f( x) − g( x) ⎤⎦
dx.
Vejamos alguns exemplos.
a
Exemplo 3.1.1. Determine a área entre os gráficos das
g x = x . Os gráficos estão
2
funções f ( x) = x e ( )
ilustrados na figura ao lado. Na figura estão mostradas as
2
curvas y = x que representa o gráfico de f e y = x que
representa o gráfico de g. O ponto de interseção entre elas é
obtido igualando as duas equações das curvas, ou seja,
2
resolvendo a equação x = x . As soluções dessa equação
são x = 0 e x = 1.Portanto,
pelo que vimos a área é dada
.
por:
1
1 1 3
2 ⎡ 2 3⎤
∫⎡⎣fxgx⎤⎦dx ∫ x x dx
⎢
x x
0 0 ⎣
⎥
⎦0
2 1 1
− = − = − = .
3 3 3
( ) ( ) ( )
115

Exemplo 3.1.2. Determine a área limitada pelos gráficos de
2
f ( x) = 2x + 10e
g( x) = 4x+ 16. Inicialmente vamos
determinar os pontos de interseção entre as curvas
2
y = 2x + 10e
y = 4x+ 16que
representam,
respectivamente, os gráficos de f e de g. Igualando as duas
2
equações, ficamos com 2x + 10= 4x+ 16,
cujas raízes
são x =− 1 e x = 3 . Veja a figura ao lado. Portanto, pelo
que vimos a área pedida é dada por:
3 3 3
2 2 ⎡ 2 3 2 ⎤ 64
∫ ⎡⎣g( x) − f ( x) ⎤⎦dx
= ∫[ 4x+ 16] − ⎡
⎣2x+ 10⎤ ⎦dx = ∫ ( 4x− 2x+ 6) dx =
⎢
− x + 2x+ 6x
=
−1 −1 −1 ⎣ 3 ⎥
⎦−13
Exemplo 3.1.3. Calcule a área entre os gráficos de f e g das funções
do exemplo anterior entre x = − 2 e x = 5.
Na figura abaixo estão
representados os gráficos de f e de g, no trecho considerado. Observe
que nesse trecho não há uma função que seja superior à outra
inteiramente. Sendo mais específicos, de x =−2a x = −1 a função f
é maior que a função g. De x =− 1 até x = 3 a função g é superior a
f e, de x = 3 até x = 5 novamente f passa a ser superior a g.A
estratégia será usar a idéia anterior para dividirmos a área pedida em
três: uma que vai de x =−2a x =− 1 , outra que vai de x = − 1 até
x = 3 e a última que vai de x = 3até
x = 5.
Assim sendo, a área
pedida será igual a:
−1
3 5 1 5
2 64 2
142
∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx + ∫ ( g ( x) − f ( x) ) dx + ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ ( 2x+ 10−4x− 16) dx + + ∫(
2x+ 10−4x− 16)
dx =
−2 −1 3 −2
3 3
3
3.2. - O sistema de coordenadas polares
Faremos agora uma pequena mudança no nosso estudo para introduzirmos um novo sistema de
coordenadas no plano chamado sistema de coordenadas polares.
No sistema de coordenadas cartesianas, que tem sido o mais usado por
nós até aqui, a localização de um ponto P baseia-se na sua distância a duas
retas concorrentes: uma horizontal, chamada eixo concorrência das retas
chama-se a origem do sistema de coordenadas. A distância orientada do ponto
P até a reta vertical chama-se abscissa, em geral representada pela letra x e
sua distância orientada até a reta horizontal chama-se ordenada, geralmente
representada pela letra y. Veja a figura ao lado.
Um outro modo de localizar um ponto é baseado em duas outras entidades
associadas ao ponto P no plano. Essas entidades são: a sua distância orientada até a
origem, que será denotada por r e o ângulo orientado que o vetor OP forma com o
semi-eixo-x positivo, que será denotado por θ . Assim diremos que os números r e θ
são coordenadas polares para P. Veja a figura ao lado.
Coordenadas polares do ponto P são representadas como um par ordenado ( r, θ ) . O
plano onde encaramos os pontos com suas coordenadas polares não possui o eixo-y,
nem a parte negativa do eixo-x. Ele será chamado de plano polar. O ponto O será
chamado de pólo e o eixo-x positivo passa a se chamar eixo polar.
116
3

Antes de passarmos aos exemplos, cumpre fazermos um ligeiro comentário acerca do adjetivo
orientado(a) que apareceu no texto anteriormente. Para nós, ele terá um significado associado ao sinal. Tanto
ângulos como distâncias poderão estar acrescidas de um sinal. No caso de ângulos o sinal será positivo se os
medirmos no sentido anti-horário e negativo caso a medida seja efetuada no sentido horário. Para as distâncias
faremos o comentário logo após os exemplos.
Exemplo 3.2.1. Localize no plano polar o ponto cujas coordenadas
⎛ 3π
⎞
3π
polares são ⎜2, ⎟.
Para isso, efetuamos uma rotação de radianos
⎝ 4 ⎠ 4
no sentido anti-horário e marcamos desde o pólo uma distância de 2
⎛ 11π
⎞
unidades. A representação está mostrada ao lado. Observe que esse mesmo ponto possui ⎜2, ⎟ como um par
⎝ 4 ⎠
11π 3π
de coordenadas polares. Se você notou que = + 2π
não terá dificuldade em perceber que se
4 4
adicionarmos 2π ao ângulo, encontraremos um novo par de coordenadas polares para o ponto dado. Isso quer
dizer que um mesmo ponto tem infinitos pares de coordenadas
polares!
Queremos agora dar um sentido para coordenadas polares
onde r possa assumir valores negativos. Vamos supor que
⎛ π ⎞
queiramos marcar no plano polar o ponto ⎜−2, ⎟.
A forma de
⎝ 6 ⎠
marcá-lo e que será conveniente quando formos traçar curvas no
plano polar é a seguinte: primeiro marcamos o ponto com r > 0 , ou
⎛ π ⎞
seja, ⎜2, ⎟.
Em seguida, tomamos seu simétrico com relação ao
⎝ 6 ⎠
pólo. Esse simétrico será a representação no plano polar de
⎛ π ⎞
⎜−2, ⎟ .Veja a figura ao lado.
⎝ 6 ⎠
Agora temos uma grande liberdade de interpretar as coordenadas polares com vários sinais. Vejamos
mais um exemplo:
⎛ π ⎞
Exemplo 3.2.2. Determine pares de coordenadas polares para o ponto ⎜5, ⎟ que satisfaçam:
⎝ 3 ⎠
a) r > 0 e θ < 0 b) r < 0 e θ > 0 c) r < 0 e
θ < 0
⎛ π ⎞ ⎛ 5π
⎞
Na letra (a), podemos tomar ⎜5, − 2π ⎟= ⎜5, − ⎟.
Para a
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
letra (b), observamos que o ponto dado tem que ser o simétrico
de um outro. O ângulo positivo que devemos girar para
π 4π
marcarmos o ponto pedido deve ser π + = , portanto,
3 3
⎛ 4π
⎞
nesse caso, um par de coordenadas polares é ⎜−5, ⎟
⎝ 3 ⎠ .
Vejamos a letra (c). Novamente, o ponto dado tem que ser
simétrico de um outro. Portanto, o ângulo negativo que devemos
117

π 2π
⎛ 2π
⎞
girar deve ser − π =− . Assim, um par de coordenadas polares nesse caso é ⎜−5, − ⎟.
Veja a figura a
3 3
⎝ 3 ⎠
cima:
Uma pergunta que surge naturalmente é a seguinte: como relacionar um par de
coordenadas polares de um ponto com as coordenadas cartesianas de um ponto
P ?. Para respondê-la, vamos observar a figura ao lado. Da figura ainda,
y
podemos concluir que: senθ
= , ou seja, y = rsenθ , bem como
r
x
que cosθ
= , ou seja, x= rcosθ . Assim, conhecidas coordenadas polares
r
para um ponto P então suas coordenadas cartesianas ficam automaticamente conhecidas através das expressões
anteriores. Agora, vamos ao problema contrário. Suponhamos dadas as coordenadas cartesianas ( x, y ) de P e
vamos encontrar um par de coordenadas polares para ele. Comecemos com o caso onde x = 0. Nesse caso, o um
par de coordenadas polares para o ponto P é y, 2
π ⎛ ⎞
⎜ ⎟.
Suponhamos agora que x ≠ 0 . Então o triângulo da figura
⎝ ⎠
anterior nos fornece:
y
⎛ y ⎞
tgθ
= , ou seja, θ = arctg ⎜ ⎟
x
⎝ x ⎠ .
O mesmo triângulo, através do Teorema de Pitágoras, nos fornece:
2 2
r = x + y .
Para usarmos as fórmulas acima devemos tomar apenas um cuidado: o quadrante onde o ponto está não é, em
geral, fornecido por elas. Portanto, devemos tomar cuidado quando formos utilizá-las. Vejamos alguns exemplos
desse tipo de situação.
⎛ π ⎞
Exemplo 3.2.3. Suponha um par de coordenadas polares para o ponto P seja ⎜5, ⎟.
Vamos determinar as suas
⎝ 3 ⎠
coordenadas cartesianas. Sabemos que:
π 1 5
x= rcosθ
= 5cos = 5×
=
3 2 2
3 5 3
y rsen 5sen 5 .
3 2 2
π
= θ = = × =
⎛5 5 3⎞
Logo as coordenadas cartesianas de P são ⎜ , ⎟.
Veja a figura do exemplo 3.2.2.
⎜2 2 ⎟
⎝ ⎠
Exemplo 3.2.4. Vamos determinar um par de coordenadas polares para o ponto P cujas coordenadas cartesianas
são ( −1, − 1)
. Inicialmente notamos que ( ) ( )
118
2 2
r = − 1 + − 1 = 2 . Por outro lado,
⎛−1⎞ π
θ = arctg ⎜ ⎟=
artcg () 1 = . Como o ponto P pertence ao quarto quadrante este certamente não é um θ
⎝−1⎠ 4
para o ponto P, em virtude de nossa escolha para o sinal de r. Se observarmos bem, o ângulo correto é 3π
−
4
que também possui tangente igual a 1, mas é “esquecido” pela função arco-tangente, já que não pertence ao
domínio usual de inversão da função tangente.

Passamos agora a uma situação que naturalmente surge nas coordenadas polares. Vamos introduzir algumas
curvas e tentar desenhá-las. Uma curva em coordenadas polares é uma expressão do tipo r = f ( θ ) . Vamos ver
alguns exemplos e tentar desenhá-las. Você pode usar um software apropriado como o winplot ou o geogebra
para fazer desenhos bem curiosos.
π
Exemplo 3.2.5. Vejamos o que representa no plano polar a equação θ = . Como ela
4
não envolve r nós vemos que a única condição para que um ponto pertença a essa
π
curva é que o seu θ seja igual a . Portanto essa curva representa uma reta de
4
coeficiente angular 1. Veja a figura ao lado.
Exemplo 3.2.6. Vamos ver o que representa
no plano polar a equação r = 7 . Vamos abordar a questão de uma
forma mais dialogada. O que significa r = 7 em coordenadas
polares? Significa que todos os pontos dessa curva estão a uma
distância 7 do pólo. Muito bem. E pontos que estão a uma mesma
distância de um ponto formam algo conhecido? Sim. Muito bem. E o
que esses pontos formam? Uma circunferência, com centro no pólo e
raio 7. Ótimo. Sem o diálogo, poderíamos converter essa equação em
uma equação cartesiana que é a que conhecemos melhor. Como
2 2
r = x + y , temos que a equação da nossa curva, agora em
2 2
2 2
coordenadas cartesianas, é x + y = 7 , ou seja, x + y = 49, o que de fato coincide com o resultado obtido
no nosso diálogo, ou seja, nossa curva é mesmo uma circunferência de centro no pólo (ou na origem) com raio 7.
Uma figura dela está mostrada acima.
Exemplo 3.2.7. Vejamos agora o que representa r = 4cosθ
. Aqui um
diálogo fica mais complicado pois a curva em questão não possui seu r
constante como no exemplo anterior. Agora a curva reveste-se de um
caráter dinâmico. No que segue faremos θ variar de 0 até 2π e
acompanharemos o que sucede com r. Inicialmente note que se θ varia de
π
0 até , r varia de 4 até 0. Portanto, enquanto giramos no sentido anti-
2
π
horário saindo de 0 e nos aproximando de , r deverá sair de 4 e
2
colapsar até 0 . Veja na figura abaixo o primeiro trecho do gráfico
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
y
x
π
Agora faremos θ variar de até π . Quando fizermos isso, r variará entre
2
0 e -4. Aqui um cuidado: como r < 0 vamos marcar pontos simétricos.
Dizendo de outra forma, enquanto θ fizer seu passeio no segundo
quadrante, nós estaremos marcando os pontos no quarto! Assim, o gráfico
da figura anterior fica completo:
119
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
5
y
x

= − . A
idéia é fazer θ variar em intervalos onde possamos acompanhar bem o que se
π
passa com r. Primeiro vamos fazer θ variar de 0 até . Com isso, r varia de
2
2 até 0. O trecho do gráfico correspondente a essa variação está mostrado na
figura ao lado.
Exemplo 3.2.8. Vamos fazer agora um esboço da curva r 21 ( senθ)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
Fazendo agora θ variar de π até 3π
, vemos que r varia de 2 até 4,
2
conforme mostra a figura ao lado:
4
3
2
1
4
3
2
1
−1
−2
−3
−4
5
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
5
y
y
x
x
5
π
Agora faremos θ variar de até
2
π . Fazendo isso, r variará de 0 até 2. Ao lado vemos mais um trecho
do gráfico.
Finalmente, faremos θ variar de 3π
até 2π o que acarreta uma
2
variação de r desde 4 até 2, completando o gráfico como nos mostra a
figura ao lado. Essa curva chama-se cardióide, por ter um formato de
coração.
Nosso intuito agora é calcular a área de uma região no plano polar limitada por
duas retas, θ = α e θ = β e pela curva r = f ( θ ) , conforme a figura ao lado.
Podemos provar que a área pedida é dada por:
β 1 2
A = ∫ f ( θ ) dθ.
2 α
Consulte o livro de Serge Lang citado na bibliografia para ver a demonstração.
Vejamos alguns exemplos:
120
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
5
y
−2
−3
−4
y
x
x

Exemplo 3.2.9. Vamos calcular a área de um círculo de raio a > 0 . A equação de uma circunferência de raio a
e, digamos, com centro no pólo é dada por r = a.
A área limitada por esta circunferência é justamente a área
pedida. Lembrando que, para cobrirmos a circunferência precisamos variar θ de 0 até 2π , a fórmula acima nos
diz que:
β 1 2
2 1 π
2 1 2 2
A = ∫ f ( θ ) dθ = ∫ a dθ = a 2π
= πa
,
2 α 2 0 2
que é a fórmula conhecida por todos nós.
Exemplo 3.2.10. Vamos calcular a área limitada pela cardióide r = 1− cosθ.
A
curva tem o aspecto mostrado na figura ao lado. Pela fórmula que vimos acima, a
área é dada por:
β 1 2 2 2
2 1 π
2 1 π
2 1 π
2
A= ∫ f ( θ ) dθ = ∫ ( 1− cosθ) dθ = ∫ ( 1− 2cosθ + cos θ) dθ = π + ∫ cos θdθ =
2 α 2 0 2 0 2 0
3.3. - Comprimento de Arco
1 2π
⎡1 1 ⎤ 3π
∫ cos 2 d
2 ⎢
0 2 2 ⎥ 2
= π + + θ θ =
⎣ ⎦
Uma outra aplicação interessante da integral definida é a possibilidade de calcularmos o comprimento de
uma curva. Vamos considerar três casos desta situação.
3.3.1 - Gráficos de funções
A nossa primeira situação ocorre quando a curva que desejamos calcular o comprimento é um pedaço do gráfico
de uma função. Suponhamos então que f seja uma função definida
num intervalo [ ab , ] e que queremos calcular o comprimento do
gráfico de f entre x = a e x = b . Para esse fim devemos fazer
algumas hipóteses sobre a função f. As hipóteses mais convenientes
são a de que f é derivável e que sua derivada f’ é contínua. Uma
função que satisfaz a essa condição é conhecida como uma função de
1
classe C .No que segue obteremos uma fórmula para o cálculo do
comprimento desejado. A idéia que permeará o nosso raciocínio será
a de aproximar o comprimento pedido pelo comprimento de uma
poligonal, conforme a figura acima: Escolhemos alguns pontos sobre
, b, f b sejam o primeiro e o último,
( )
a curva - na figura escolhemos 9 - de modo que a f ( a ) e ( )
respectivamente. Digamos que as coordenadas cartesianas de cada ponto escolhido sejam , ( )
121
( )
( i i )
x f x , com
i = 0,..., n.
Agora ligamos os pontos consecutivos e formamos uma poligonal como ilustra a figura acima. O
comprimento de cada lado dessa poligonal será dado pela distância entre os vértices sucessivos, ou seja, a
distância entre i P e P i+
1 . Sabemos, pela Geometria Analítica, que essa distância é dada por:
( ) 2
( ) ( ) ( ) ( )
2
d Pi, Pi+ 1 = xi+ 1− xi + f xi+ 1 − f xi
.
Agora usamos o Teorema do valor médio para a função f em cada intervalo [ xi, x i+
1]
para obtermos um
ponto ∈ [ , ] tal que f ( x ) − f ( x ) = f '(
c )( x − x ) . Graças a isso, a expressão de ( , )
ci xi x i+
1
toma o seguinte aspecto:
i+ 1 i i i+ 1 i
( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
i, i+ 1 i+ 1 i i+ 1 i i+ 1 i ' i i+ 1 i
d P P = x − x + f x − f x = x − x + f c x − x =
2
1
−2 −1 1 2
−1
−2
d P P +
i i 1

que, por sua vez, ainda pode ser simplificada e tornar-se
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
i, i+ 1 i+ 1 i 1 ' i i+ 1 i 1 ' i
d P P = x − x + f c = x − x + f c .
O comprimento da poligonal será o igual à soma dos segmentos que a compõem. Assim, se denotarmos
o seu comprimento por L n teremos que:
( 0, 1) ( 1, 2) ... ( − 1, )
n−1 i= 0
( , + 1) n−1
i=
0
1 '(
2
) ( + 1 )
P P P podem ser escolhidos de forma que os intervalos [ , ]
L = d P P + d P P + + d P P = ∑d P P = ∑ + f c x −x
.
n n n i i i i i
Os pontos 0, 1,...,
n
comprimento que denotaremos por Δ x . Assim:
n
n 1 ' i
i=
0
122
( ) 2
L = ∑ + f c Δx.
x x + tenham o mesmo
i i 1
A aproximação acima será cada vez melhor desde que tomemos a quantidade de pontos cada vez maior.
Como f’ é contínua, se fizermos n →+∞, na expressão de L n o limite existirá e será igual ao comprimento da
curva em questão. Portanto:
n
2
b
2
L = lim L = lim ∑ 1+ f ' c Δ x= ∫ 1+ f ' x dx,
Ou seja, podemos enunciar que:
Se f : [ ab , ] → Ré
uma função de classe
x = a até x = b é dado por:
Vejamos agora alguns exemplos.
( ) ( )
n i
n→+∞ n→+∞ i= 0
a
1
C então o comprimento do gráfico de f no trecho variando de
b
( ) 2
L = ∫ 1+ f ' x dx
Exemplo 3.3.1.1. Vamos calcular o comprimento do gráfico da função f ( x)
Começamos calculando a derivada de f que é dada por f '(
x)
Logo:
a
2
3x1 2
=
2
−
6x
. Agora note que:
2
2
4
2 ⎛3x 1 ⎞ 9x 1 1
1+ f '( x)
= 1+ ⎜ − 1 2 ⎟ = + − + 4
⎝ 2 6x⎠ 4 2 36x 2
2
⎛3x 1 ⎞
= ⎜ + ⎟ .
⎝ 2 6x⎠
2
2
3 3 3 2
2
⎛3x 1 ⎞ ⎛3x 1 ⎞ 1
L= ∫ 1+ f '( x) dx= ∫ ⎜ + ⎟ dx= ∫⎜
+ ⎟dx=
13+ ln3.
1 1 ⎝ 2 6x⎠ 1⎝
2 6x⎠ 6
3.3.2 - Curvas na forma paramétrica
3
x 1
= + , com 1≤x≤ 3.
2 6x
Vamos supor agora que queiramos calcular o comprimento de um pedaço de uma curva no plano e que
esta curva esteja dada na forma paramétrica, ou seja, os pontos dessa curva são expressos através de funções de
uma outra variável. Esse ponto de vista é particularmente interessante em física, quando estudamos o movimento
de um projétil no plano e as variáveis x e y que descrevem o movimento do projétil são funções do tempo.
Temos aqui uma fórmula análoga à do caso anterior e cuja demonstração também segue os mesmos passos.
Vamos apenas enunciá-la. Aqueles que quiserem ver a demonstração podem consultar o livro de Serge Lang
citado na bibliografia.

Suponha que C seja uma curva no plano dada na forma paramétrica pelas equações
⎧ ⎪x
= xt ( ) ,
⎨ com t∈ [ t0, t1]
,
⎪⎩ y = y() t .
onde as funções x = xt () e y y() t
comprimento do arco de C entre os pontos t0 e t 1 é dado por
= são tais que suas derivadas são contínuas em [ , ]
t1
t0
( '() ) '()
123
( )
2 2
L = ∫ x t + y t dt
t t . Então o
Vejamos dois exemplos.
3 ⎧ x = 2sen
t
Exemplo 3.3.2.1. Vamos calcular o comprimento da curva C dada por ⎨ , com t ∈ ⎡0, π ⎤ .
3
⎩y
= 2cos t ⎣ 2⎦
2
2
Observe que x '() t = 6sen tcost e y'() t =− 6cos tsent.
Assim sendo, temos que o comprimento pedido é
dado por:
π π
2 2 2 2
4 2 4 2
() ()
L = ∫ x ' t + y ' t dt = ∫ 36sen t cos t + 36cos tsen tdt =
0 0
π π
2 π 2
2
π
2 2 2 2 2 2 2 2
∫ sen t t ( sen t t) dt ∫ sen t tdt ∫ sent tdt ⎡
⎣ sen t⎤
⎦0
0 0 0
36 cos + cos = 36 cos = 6 cos = 3 = 3
Exemplo 3.3.2.2. Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de
raio a. A idéia é obter uma forma paramétrica para a circunferência.
Observe a figura ao lado. Seja P um ponto da circunferência. Se denotarmos
por t o ângulo que OP faz com o eixo-x, então o triângulo OPA nos
fornece x = OA = a cost
e y = OB = asent , com o ângulo t pertencendo
ao intervalo [ 0 , 2π
] . Portanto temos a parametrização da circunferência
como sendo:
⎧x()
t = a cos t
⎨
⎩ y()
t = asent
com ∈[
0,
2π
]
t . Daí x' () t = −asent
e y' () t = a cost
.
2 2 2 2 2 2 2 2
x ' t + y' t = − asent + acost = a sen t+ cos t = a . Daí, o comprimento pedido será
donde () () ( ) ( ) ( )
( () ) ()
( )
2π 2 2 2π 2π
2
L = ∫ x ' t + y ' t dt = ∫ a dt = a ∫ dt = 2πa,
0 0 0
que é um fato conhecido por nós, mas, até então, sem a devida justificativa.
3.3.3 - Curvas na forma polar
Suponhamos que seja dada uma curva no plano polar cuja equação seja r = f ( θ ) , com θ [ αβ , ]
f sendo uma função de classe
1
C em [ , ]
0 1
∈ , com
α β . Podemos encontrar uma expressão para o cálculo do
comprimento dessa curva no trecho considerado usando a expressão anterior. Basta ver que essa curva admite
uma parametrização bastante curiosa que é aquela que converte coordenadas polares para cartesianas. Assim
sendo, temos a seguinte parametrização para a curva:

Agora, derivando as funções x e y nós ficamos com:
( θ ) cosθ ( θ) cos(
θ)
( θ ) = θ = ( θ) ( θ)
⎪⎧
x = r = f
⎨
⎪⎩ y rsen f sen
( ) ( ) ( )
( ) = ( ) + ( )
⎧ ⎪x
' θ = f ' θ cosθ
− f θ senθ
⎨
⎪⎩ y' θ f ' θ senθ f θ cosθ
Agora utilizamos a fórmula da seção anterior com essa parametrização e obtemos:
Vejamos agora alguns exemplos.
( ( ) ) ( )
( ) ( ( ) ) ( ( ) )
β 2 2 β
2 2
L = ∫ x' θ + y' θ dθ = ∫ f ' θ + f θ dθ
α α
Exemplo 3.3.3.1. Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio a > 0 . Relembramos que não
há problemas em considerá-la centrada na origem e que sua equação em coordenadas polares é dada por r = a.
f a
f ' θ = 0.
Portanto, usando a fórmula anterior temos que:
Assim, ( θ ) = e, consequentemente, ( )
( ( ) ) ( )
( )
2π 2 2 2π 2π
2 2
L = ∫ f ' θ + f θ dθ = ∫ a + 0 dθ = ∫ adθ = 2πa,
0 0 0
o que é uma nova forma de provarmos um resultado já conhecido.
Exemplo 3.3.3.2. Vamos calcular o comprimento da cardióide do exemplo 3.3.2. A equação da cardióide é
r = 1− cosθ.
Note que nesse caso f ( θ ) 1 cosθ
f ' θ = senθ
. Logo:
( ( ) ) ( )
= − e, portanto, ( )
( ) ( )
π 2 2 π π
L= 2∫ f ' θ + f θ dθ = 2∫ 2 1− cosθ dθ = 2 2∫ 1− cosθdθ
=
0 0 0
π 2
1−cos θ π senθ
π
= 2 2∫ dθ = 2 2∫ dθ
=− 4 2⎡ 1+ cosθ ⎤ = 8.
0 1+ cosθ 0 1+ cosθ
⎣ ⎦0
3.3.4 - Volumes de sólidos de revolução
Nesta seção vamos usar a integral definida para calcular o volume de um sólido de revolução, ou seja, um sólido
que é obtido pela rotação de uma região do plano cartesiano em torno de uma reta dada, conhecida como eixo de
rotação. A situação que se apresenta é a seguinte: seja f : [ ab , ] → Ruma
função contínua. Consideremos a
região do plano delimitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a , x = b e pelo eixo-x, conforme nos mostra a
figura (1) abaixo. Suponhamos que essa região sofra uma rotação em torno do eixo-x dando origem a um sólido
mostrado na figura (2) abaixo
124

Gostaríamos de encontrar uma expressão que nos permita calcular o
volume de tal sólido. Usaremos o chamado método das seções
planas. Para isso, vamos dividir o intervalo [ ab , ] em n
b−a subintervalos de comprimento Δ x = e escolhamos em cada
n
*
um desses subintervalos um ponto c i . Considere em cada
*
subintervalo o cilindro de altura x f c .
Δ e raio ( i )
O volume de cada um desses cilindros é ( ) 2
*
volume do sólido dado, ou seja,
π f c Δ x e a soma desses volumes dá um valor aproximado para o
i
n
* * * * *
( 1) ( 2) ( 3)
... ( n) ∑ ( i )
2 2 2 2 2
V ≈π f c Δ x+ π f c Δ x+ π f c Δ x+ + π f c Δ x= π f c Δx
Essa aproximação será cada vez melhor na medida em que escolhermos mais e mais pontos. Assim, fazendo
n →∞e levando em conta que f é contínua, temos:
n
b
* ( i ) ( )
125
2 2
V = lim ∑π f c Δ x= ∫ π f x dx.
n→∞ i= 1
a
Portanto temos podemos enunciar o seguinte resultado:
Seja f : [ ab , ] → Ruma
função contínua. Suponha que a região do plano delimitada pelo gráfico de f, pelas
retas x = a , x = b e pelo eixo-x, sofre uma rotação em torno do eixo-x. O volume do sólido obtido é dado por:
( ) 2
b
V = ∫ π f x dx
Vamos ver alguns exemplos
a
Exemplo 3.3.4.1. Vamos calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelo gráfico da
2
função f ( x) = x − 4x+ 5,
as retas x = 1,
x = 4 e o eixo-x, em torno desse último. Veja as figuras abaixo:
Nesse caso temos uma aplicação direta da fórmula anterior, ou seja,
4 2 4
2 4 3 2
78π
V = ∫π ( x − 4x+ 5) dx= ∫ π ( x − 8x + 26x − 40x+ 25)
dx=
.
1 1
15
i=
1

Exemplo 3.3.4.2. Vamos calcular o volume de um cone de altura h e raio
da base r. Esse cone é obtido pela rotação, em torno do eixo-x, da região
r
delimitada pelo gráfico de f ( x) = x,
pela reta x = h e pelo eixo-x. Veja
h
a figura ao lado.
Nesse caso usamos diretamente a fórmula acima e obtemos
que é outra fórmula que já conhecíamos.
2 2 2 3
h
h h
⎛ r ⎞ r 2 r ⎡x ⎤ 1 2
∫π⎜ ⎟ π 2 ∫ π π
2 ⎢ ⎥
0 ⎝h ⎠ h 0 h ⎣ 3 ⎦ 3 0
V = x dx= x dx= = r h,
Exemplo 3.3.4.3. Vamos calcular o volume de uma esfera de raio r. Metade da esfera é obtida pela rotação em
2 2 2
torno do eixo-x da região delimitada pela circunferência x + y = r , pelo eixo-y e pelo eixo-x. Veja as figuras
abaixo:
2 2
A parte de cima da circunferência corresponde à função f ( x) = r − x , obtida tirando o valor de y na
equação da circunferência. Portanto, o volume da metade da esfera será dado por:
2
( ) ( )
r
r r
2 2 2 2 ⎡ 2 1 3⎤ 3 1 3 2 3
V = ∫πr − x dx= ∫π r − x dx= ⎢πr x− πx = πr − πr = πr
3 ⎥
,
⎣ ⎦ 3 3
0 0 0
4 3
donde concluímos que o volume da esfera é dado por 2V
= π r .
3
4. - Avaliando o que foi construído
Ampliando o seu Conhecimento
Em alguns casos é possível calcularmos áreas de figuras infinitas usando o Teorema fundamental do
Cálculo e as idéias de limite no infinito. Por exemplo, a área limitada pelo gráfico da função
1
f ( x)
= , pela reta x = 1 e pelo eixo-x possui um valor numérico associado que é 1. Esse tipo de
2
x
situação motiva o estudo de um interessante tema que são as integrais impróprias.
Nesta unidade tivemos a oportunidade de ver como a integral definida pode ser útil no cálculo de
comprimentos, áreas e volumes. Obtivemos a justificativa de algumas fórmulas que já eram conhecidas nossas.
126

5. Referências
No Moodle...
Na plataforma MOODLE, no espaço reservado à disciplina Cálculo Diferencial e Integral II, você
poderá testar seus conhecimentos a respeito do tema Derivadas. Dedique-se à resolução das tarefas
relacionadas a este assunto. Encontrar-nos-emos no MOODLE. Até lá!
Dialogando e Construindo Conhecimento
Reúna-se com os colegas para discutir os temas abordados. Visite constantemente a plataforma
MOODLE, faça as tarefas nela propostas Procure os Tutores para esclarecer as dúvidas sobre algum
tema que não tenha sido bem assimilado. Comunique-se! Nós estamos sempre dispostos a orientá-lo e
ajudá-lo em caso de dificuldade no estudo da disciplina. Participe! Acredite em seu potencial e conte
conosco.
1. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 7 a Edição 2003.
2. Lang, Serge., CÁLCULO , Volume 1, Editora LTC, 1975.
3. Simmons, George, CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA, Volume 1, McGraw-Hill,1985.
4. Stewart, James, CÁLCULO, Volume 1, Editora Pioneira, 4ª. Edição, 2003.
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