Função Inversa - Sofi

Função Inversa
by dvalex
Vou explicar de duas maneiras distintas. Uma formal, matematicamente falando( a que
provavelmente você já procurou e não entendeu) e de uma maneira mais informal ( a que
provavelmente você entenderá). No entanto aconselho tentar entender das duas maneiras.
Requisitos para ler este documento:
*Saber o que é Domínio e Imagem de uma função;
Função Inversa Formalmente
Definição: Dizemos que uma função é Injetora se, para qualquer a e b
pertencentes ao seu domínio,
a b, f(a) f(b) (a diferente de b; e f(a) diferente de f(b))
Obs.: Quando f for sempre crescente ou sempre descrescente, ou seja,
quando f(x1) < f(x2) < ... < f(xn) < ... quando x1 < x2 < ... > xn < ... no caso crescente e f(x1) >
f(x2) > ... > f(xn) > ... quando x1 > x2 > ... > xn > ... no caso decrescente, a função será injetora
Mas por quê essa definição? Porque uma função é inversível, ou seja, admite
função inversa se, e somente se, ela for injetora. Ou seja, para cada elemento y da Imagem da
função existe apenas um correspondente x tal que f(x) = y.
Sabendo do pré requisito para uma função ter inversa, vamos à ela
propriamente dita.
Seja f uma função injetora, portanto inversível. E para cada y pertencente à
imagem de f existe apenas um x pertencente ao Domínio de f, tal que f(x) = y. Existe uma
função g definida no Domínio de f que é dada por:
g(y) = x se, e somente se f(x) = y
g também pode ser expressada como
Domínio de f
f
Imagem de f
x y
g

Função Inversa Informalmente
O pré-requisito para uma função ser inversível que que ela seja
injetora. Mas o que diabos significa ser injetora? Eu li ali em cima e não entendi naaada! Uma
função é injetora se para qualquer número que eu substitua em y, só existirá um único x na
relação a seguir:
f(x) = y
Exemplo de função injetora: Seja f(x) = x + 1
Vamos tentar encontrar um número x tal que f(x) = 2.
f(x) = 2 x + 1 = 2 x = 1. Ou seja, existe apenas um número x
que colocado em f(x), dá como resultado o 2. É claro que para ela ser injetora, para qualquer x
e y tem que existir apenas um único x que colocado em f(x), dê como resultado o y.
Exemplo de função não injetora: Seja f(x) =
Vamos encontrar um número x tal que f(x) = 4.
f(x) = 4 x = . Ou seja, existe dois números que
substituindo x em f(x), dão como resultado o 4. Portanto neste caso f não é injetora. Se existir
apenas um resultado em que existam mais de um número x para o mesmo y, a função não será
injetora.
Um modo prático de ver se a função é injetora: Traçar uma reta
paralela ao eixo x no gráfico da função. Se esta reta cortar o gráfico em mais de um ponto, a
função em questão não terá inversa.
Vamos aos exemplos dados acima:
y
f(x) = x + 1
x
Note que no primeiro gráfico, a reta vermelha traçada corta em
apenas um ponto o gráfico de f. Portanto ela é inversível. Já no segundo gráfico, a reta
vermelha traçada corta em dois pontos (indicados pela seta azul). Portanto a função f não é
inversível.
Para encontrarmos a função inversa na prática fazemos o seguinte:
Seja f(x) = y uma função inversível e que f(x) = ax + b. Com a e b
números reais. Podemos então escrever y = ax + b pois f(x) = y. Para encontrar a inversa,
y
f(x) = x²
x

iremos substituir o x pelo y e o y pelo x na equação y = ax + b. E depois isolaremos o y. O y será
a inversa da função, ou seja o novo y será a .
Substituindo então:
x = ay + b ==> ay = x - b ==> y =
Ou seja, a inversa
Exemplos:
f(x) = x + 1
f(x) = 2x³ + 3
y = x + 1
substituindo x por y e y por x, temos:
x = y + 1 ==> y = x - 1 ==> - 1
y = 2x³ + 3
substituindo x por y e y por x, temos:
x = 2y³ + 3 ==> 2y³ = x - 3 ==> y³ =
==> y =
=