As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

3.1. Definições
Usando um sistema ortogonal como referencial, tomemos o Sol na origem. O
planeta em um determinado momento ocupa uma posição no espaço que chamarei
de P. O vetor posição do planeta será denotado por r , e é aquele com origem no sol
e extremidade em P.
P = r ( t)
= r .
Sabemos que a derivada da posição em
relação a t é a velocidade:
→
r
,
(
t)
=
dr
= v
dt
e que a derivada de v em relação a t ; ou
seja a derivada segunda da posição, é a
aceleração:
, , dr
dv
r = = = a (2)
dt dt
a norma de um vetor r
é indicada pela expressão r = r ; portanto u , que é um
vetor unitário, pode ser escrito em função de r , como:
u =
⎛ ⎞
⎜ ⎟ r
⎝ r ⎠
1
ou seja: u é um vetor unitário que tem a mesma direção de r .
3.2. As Leis de Newton
Estudando os movimentos dos planetas, apoiando-se nas leis de Kepler, Newton
observou que, como eles descrevem órbitas em torno do Sol, devem estar sujeitos a
uma força centrípeta, pois do contrário, suas trajetórias não seriam curvas. Ao
raciocinar dessa maneira, Newton estava admitindo que suas leis dos movimentos
seriam válidas também para os corpos celestes. Este ponto de vista era contrário à
filosofia de Aristóteles, que acreditava que o movimento dos corpos celestes era
regido por leis especiais, diferentes daquelas verificadas para os movimentos na
superfície da Terra.
Baseando-se em suas leis do movimento e nos estudos de Kepler, Newton
conseguiu chegar à expressão matemática da força de atração entre o Sol e um
planeta. Designando por F esta força, ele chegou a seguinte conclusão:
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