As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...
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semi-eixo maior mostrado na figura da secção 4.6 , a razão T 2 /a 3 é a mesma para todos os<br />
planetas do sistema solar.<br />
p<br />
Retornemos a equação (15): a = 2 , on<strong>de</strong> escrevemos p = dε<br />
.<br />
1 − ε<br />
Sabemos que ε =<br />
c<br />
2<br />
. Portanto ε =<br />
a<br />
2<br />
c<br />
. Como<br />
2<br />
a<br />
2<br />
que ε =<br />
2 2<br />
a − b<br />
2<br />
a<br />
ou<br />
2 2<br />
ε a =<br />
2<br />
a −<br />
2<br />
b então:<br />
2 ( 1 − ε )<br />
2 2<br />
b = a , logo:<br />
1<br />
b<br />
a<br />
c −<br />
2 2 2<br />
= a b , temos por conseqüência<br />
2<br />
− ε =<br />
2<br />
(16)<br />
2<br />
Substituindo (16) em (15), temos:<br />
a =<br />
2<br />
b =<br />
p<br />
2<br />
b<br />
2<br />
a<br />
pa<br />
que <strong>de</strong>senvolvido nos dá<br />
Para concluirmos a prova da 3ª lei <strong>de</strong> <strong>Kepler</strong>, retornamos a equação polar (13) da órbita;<br />
r =<br />
com<br />
P<br />
1 + ε cosθ<br />
2<br />
c<br />
p = e ε =<br />
GM<br />
b<br />
GM<br />
Se T é o tempo necessário para o planeta completar uma revolução em torno do Sol, a área<br />
varrida no intervalo <strong>de</strong> tempo [0,T] é dada por<br />
T<br />
T<br />
⎛ dA ⎞<br />
A = ∫ ⎜ ⎟ dt =<br />
⎝ dt ∫<br />
⎠<br />
0<br />
0<br />
1<br />
cdt<br />
2<br />
=<br />
1<br />
cT<br />
2<br />
26<br />
(17)