As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

semi-eixo maior mostrado na figura da secção 4.6 , a razão T 2 /a 3 é a mesma para todos os
planetas do sistema solar.
p
Retornemos a equação (15): a = 2 , onde escrevemos p = dε
.
1 − ε
Sabemos que ε =
c
2
. Portanto ε =
a
2
c
. Como
2
a
2
que ε =
2 2
a − b
2
a
ou
2 2
ε a =
2
a −
2
b então:
2 ( 1 − ε )
2 2
b = a , logo:
1
b
a
c −
2 2 2
= a b , temos por conseqüência
2
− ε =
2
(16)
2
Substituindo (16) em (15), temos:
a =
2
b =
p
2
b
2
a
pa
que desenvolvido nos dá
Para concluirmos a prova da 3ª lei de Kepler, retornamos a equação polar (13) da órbita;
r =
com
P
1 + ε cosθ
2
c
p = e ε =
GM
b
GM
Se T é o tempo necessário para o planeta completar uma revolução em torno do Sol, a área
varrida no intervalo de tempo [0,T] é dada por
T
T
⎛ dA ⎞
A = ∫ ⎜ ⎟ dt =
⎝ dt ∫
⎠
0
0
1
cdt
2
=
1
cT
2
26
(17)