As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

du
dθ
dθ
= − sen θ i + cosθ
j + 0k
dt dt dt
Realizando o produto vetorial
du
d
u × = k
dt dt
du
dθ
u × = k .
dt dt
2 ( sen θ + cos θ )
θ 2
du
u × obtemos:
dt
Sendo c o vetor obtido na prova da primeira lei (veja equação 8 ), podemos, utilizando a
ultima equação, escrever:
du
d
2 ⎛ ⎞ 2 θ
c = r ⎜ u × ⎟ = r k , então
⎝ dt ⎠ dt
dA 1 2 dθ
1
Daí concluímos que = r = c
dt 2 dt 2
c =
r
2
dθ
dt
é uma constante.
Isso mostra que a taxa de variação de A é constante. Essa é exatamente a 2ª Lei de Kepler.
6. A 3ª LEI DE KEPLER
Finalmente, chegamos na 3ª Lei de Kepler: O quadrado do período de revolução de um
planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita elíptica do planeta. Isto é, se
T é o tempo que um planeta gasta para completar uma revolução ao redor do Sol e a é o
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