As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...
As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...
As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Passemos agora para a 2ª Lei <strong>de</strong> <strong>Kepler</strong>: A reta que une um planeta ao Sol varre áreas<br />
iguais em tempos iguais.<br />
Se uma função f é contínua e f ( θ ) ≥ 0 em [ α , β ] , on<strong>de</strong> 0 α < β ≤ 2π<br />
região <strong>de</strong>limitada em coor<strong>de</strong>nadas polares, pelos gráficos <strong>de</strong> r = ( θ ) , θ = α<br />
A =<br />
β<br />
[ f ( ) ]<br />
2<br />
∫ dθ<br />
= ∫<br />
α<br />
1<br />
2<br />
1 2<br />
θ r dθ<br />
2<br />
β<br />
α<br />
≤ , então a área A da<br />
f e θ = β é:<br />
Po<strong>de</strong>mos admitir que a órbita do planeta seja uma elipse no plano xy. Seja f ( θ )<br />
r = a<br />
equação polar da órbita, com centro do Sol no foco O . Denotemos por P0 a posição do<br />
planeta no instante t0 e P sua posição no instante t ≥ t0. Chamaremos θ0 e θ os ângulos<br />
medidos no eixo x positivo no sentido anti-horário. Po<strong>de</strong>mos portanto, falar que a área<br />
varrida por OP no intervalo <strong>de</strong> tempo [t0 , t] é<br />
θ<br />
1 2<br />
A = ∫ r dθ<br />
(14)<br />
2<br />
θ<br />
0<br />
e então<br />
dA<br />
dθ<br />
θ<br />
d 1 2 1<br />
= ∫ r dθ<br />
= r θ<br />
dθ<br />
θ<br />
0<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
( ) = r<br />
pela regra da ca<strong>de</strong>ia po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
dA dA dθ<br />
1 2 dθ<br />
=<br />
= r<br />
dt dθ<br />
dt 2 dt<br />
Seja os vetores:<br />
<br />
i =<br />
<br />
j =<br />
<br />
k =<br />
( 1,<br />
0,<br />
0)<br />
( 0,<br />
1,<br />
0)<br />
( 0,<br />
0,<br />
1)<br />
<br />
logo o vetor r po<strong>de</strong> ser escrito como: r = r cos θ i + r senθ<br />
j + 0k<br />
, o vetor unitário<br />
<br />
u = ( 1 )r<br />
r , po<strong>de</strong> ser expresso na forma:<br />
<br />
u = cos θ i + senθ<br />
j + 0k<br />
. Então<br />
24