As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

Passemos agora para a 2ª Lei de Kepler: A reta que une um planeta ao Sol varre áreas
iguais em tempos iguais.
Se uma função f é contínua e f ( θ ) ≥ 0 em [ α , β ] , onde 0 α < β ≤ 2π
região delimitada em coordenadas polares, pelos gráficos de r = ( θ ) , θ = α
A =
β
[ f ( ) ]
2
∫ dθ
= ∫
α
1
2
1 2
θ r dθ
2
β
α
≤ , então a área A da
f e θ = β é:
Podemos admitir que a órbita do planeta seja uma elipse no plano xy. Seja f ( θ )
r = a
equação polar da órbita, com centro do Sol no foco O . Denotemos por P0 a posição do
planeta no instante t0 e P sua posição no instante t ≥ t0. Chamaremos θ0 e θ os ângulos
medidos no eixo x positivo no sentido anti-horário. Podemos portanto, falar que a área
varrida por OP no intervalo de tempo [t0 , t] é
θ
1 2
A = ∫ r dθ
(14)
2
θ
0
e então
dA
dθ
θ
d 1 2 1
= ∫ r dθ
= r θ
dθ
θ
0
2
2
1
2
2 2
( ) = r
pela regra da cadeia podemos escrever:
dA dA dθ
1 2 dθ
=
= r
dt dθ
dt 2 dt
Seja os vetores:
i =
j =
k =
( 1,
0,
0)
( 0,
1,
0)
( 0,
0,
1)
logo o vetor r pode ser escrito como: r = r cos θ i + r senθ
j + 0k
, o vetor unitário
u = ( 1 )r
r , pode ser expresso na forma:
u = cos θ i + senθ
j + 0k
. Então
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