As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

c
c
2
2
c
=
=
2
=
d
2 ( 1 − ε )
2
d
ε
2
d
ε
2
2
+
2 ( 1 − ε )
2 ( 1 − ε )
4
ε
d
2
2
2
2
ε
2
d ε
−
1 − ε
4
−
2
d
ou
2
ε
2
2
2
que
⇒
c
2
2
dε
c =
1 − ε
2
=
d
2
ε
2
− ( 1 − ε
2 )
( 1 − ε
2 2
)
Façamos agora, o retorno para o sistema de
coordenadas original xy:
O centro da elipse é O = (h,0) , ou seja O = (
2
ε
− 2
1 − ε
d
,0) e os focos são:
2
dε
1 − ε
F1 = (c+h , 0) ⇒ ( 2
F1 = (0,0)
2
ε
−
1 − ε
d
2
, 0) , ou seja
F2 = (-c+h , 0)
⇒
F2
=
⎛
⎜ −
⎝
2
dε
2
1 − ε
−
2
dε
2
1 − ε
⎞
, 0 ⎟
⎠
⇒ F2
=
2
⎛ − 2dε
⎜
2
⎝ 1 − ε
⎞
, 0 ⎟
⎠
4.7.As descobertas de Newton
No nosso estudo do movimento planetário, verificamos, que quando um planeta está sob a
força de atração do Sol, ele descreve uma trajetória que pode ser apresentada, em
coordenadas polares por:
r =
P
1 + ε cosθ
Na seção anterior, quando desenvolvemos um estudo sistemático da equação polar de uma
cônica, vemos que esta possui a equação:
dε
r
=
1 + ε cosθ
22
d
2
ε
2