As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

2 2 2 2 2 2
( 1 − ε ) x + 2dε
x + y = d ε
2
Dividamos todos os termos por ( 1 − ε ). O denominador será sempre positivo:
x
2
+
Completemos os quadrados no 1º membro:
x
Fatorando temos:
⎛
⎜ x +
⎝
dε
2
⎞
⎟
⎠
2
+
y
2
2
4
( ) 2 2
1 −
2
2
2
1 − ε 1 − ε 1 − ε
ε
Resolvendo no 2º membro
⎛
⎜ x +
⎝
2
2
1
dε
2
⎞
⎟
⎠
2
+
=
d
2
ε
2
2
2
+
( ) 2 2
1 −
2
2
1 − ε 1 − ε
ε
y
Dividindo todos os termos por ( ) 2
⎛
⎜ x +
⎝
2
dε
1 − ε
2
d ε
2
2
⎞
⎟
⎠
2
2 2
2
( 1 − ε ) ( 1 − ε )
2
⎛ dε
⎜ x +
⎝ 1 − ε
⎛ dε
⎜
⎝ 1 − ε
dε
− ε
2
2
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
2
2
2
2
y
x +
1 − ε
+
+
2
2
y
1 − ε
d
2
1 − ε
ε
2
y
2
d ε
2
2
2
=
2
2
d
= 1
ε
d
2
ε
1 − ε
d
2
2
ε
= 1 , ou seja:
Fazendo 2
2
2
2
d ε
=
1 − ε
temos:
2
dε
dε
h = − , b = e
1 − ε
1 − ε
2
2
2
2
2
2 2 2
ε ⎛ dε
⎞ y d ε ⎛ d
2
2 2
2
2
2
2
1 1 1 1 1
⎟ d
ε ⎞
+ x + ⎜
⎟ +
=
+ ⎜
− ε ⎝ − ε ⎠ − ε − ε ⎝ − ε ⎠
20
2