As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

2 ( 1 − 1 )
0x
ou
y
2
2
x
2
+ 2dx
+ y
2
+ 2d1
x +
2
= − 2dx
+ d
2
Logo, a cônica é uma parábola.
4.3. ε > 1
=
Tomemos novamente a equação:
2 2 2 2 2 2
( 1 − ε ) x + 2dε
x + y = d ε
d
2
y
2
=
d
2
1
2
2
Dividamos todos os termos por ( ε − 1).
O denominador será sempre positivo:
x
2
−
Completemos os quadrados no 1º membro:
x
2
Fatorando temos:
⎛ d
⎜ x − 2
⎝ ε −
2
2
2
2 2 2
ε ⎞
− d ε d
⎟
⎠
−
y
=
4
( ) 2 2
ε 1
2
2
1 ε − 1 ε − 1 −
Resolvendo no 2º membro
⎛ d
⎜ x − 2
⎝ ε −
2
2
2 2
dε
y − d ε
x − =
2
2
ε − 1 ε − 1 ε − 1
2 2
2
2
2
2
2 2
ε ⎛ dε
⎞ y − d ε ⎛ d
2
2 2
2
2
2
2
1 1 1 1 1
⎟ d
ε ⎞
− x + ⎜
⎟ − =
+ ⎜
ε − ⎝ ε − ⎠ ε − ε − ⎝ ε − ⎠
2
2
2
2
ε ⎞
d
⎟
⎠
−
y
2
( ) 2 2
ε 1
2
1 ε − 1 −
Dividindo todos os termos por ( ) 2
=
ε
ε
+
d
2
2
ε
2
− 1
ε
temos:
18
2