As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...
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2 ( 1 − 1 )<br />
0x<br />
ou<br />
y<br />
2<br />
2<br />
x<br />
2<br />
+ 2dx<br />
+ y<br />
2<br />
+ 2d1<br />
x +<br />
2<br />
= − 2dx<br />
+ d<br />
2<br />
Logo, a cônica é uma parábola.<br />
4.3. ε > 1<br />
=<br />
Tomemos novamente a equação:<br />
2 2 2 2 2 2<br />
( 1 − ε ) x + 2dε<br />
x + y = d ε<br />
d<br />
2<br />
y<br />
2<br />
=<br />
d<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Dividamos todos os termos por ( ε − 1).<br />
O <strong>de</strong>nominador será sempre positivo:<br />
x<br />
2<br />
−<br />
Completemos os quadrados no 1º membro:<br />
x<br />
2<br />
Fatorando temos:<br />
⎛ d<br />
⎜ x − 2<br />
⎝ ε −<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
ε ⎞<br />
− d ε d<br />
⎟<br />
⎠<br />
−<br />
y<br />
=<br />
4<br />
( ) 2 2<br />
ε 1<br />
2<br />
2<br />
1 ε − 1 ε − 1 −<br />
Resolvendo no 2º membro<br />
⎛ d<br />
⎜ x − 2<br />
⎝ ε −<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
dε<br />
y − d ε<br />
x − =<br />
2<br />
2<br />
ε − 1 ε − 1 ε − 1<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
ε ⎛ dε<br />
⎞ y − d ε ⎛ d<br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1 1 1 1<br />
⎟ d<br />
ε ⎞<br />
− x + ⎜<br />
⎟ − =<br />
+ ⎜<br />
ε − ⎝ ε − ⎠ ε − ε − ⎝ ε − ⎠<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
ε ⎞<br />
d<br />
⎟<br />
⎠<br />
−<br />
y<br />
2<br />
( ) 2 2<br />
ε 1<br />
2<br />
1 ε − 1 −<br />
Dividindo todos os termos por ( ) 2<br />
=<br />
ε<br />
ε<br />
+<br />
d<br />
2<br />
2<br />
ε<br />
2<br />
− 1<br />
ε<br />
temos:<br />
18<br />
2