As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...
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Sabemos que uma cônica é o lugar dos <strong>ponto</strong>s do plano cujas distâncias a um <strong>ponto</strong><br />
fixo,que chamaremos foco, e uma reta fixa, que é a diretriz, estão numa razão constante.<br />
Na afigura ao lado, seja O o foco e d a diretriz.<br />
Seja M um <strong>ponto</strong> genérico da cônica. Tracemos MH<br />
perpendicular à diretriz. Temos:<br />
OM<br />
MH<br />
=<br />
ε<br />
= constante<br />
A esse número ε chamaremos <strong>de</strong> excentricida<strong>de</strong> da<br />
cônica<br />
Seja xx’ a perpendicular à diretriz conduzida pelo foco. Tomemos um sistema polar<br />
no qual o pólo seja o foco o e o eixo polar seja a semi-reta OX, que encontra a diretriz em<br />
B. Chamemos d à distância OB do foco à diretriz. Po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
OM<br />
PB = OB − OP<br />
OB =<br />
OP = r cosθ<br />
log o :<br />
MH<br />
OM<br />
MH<br />
OM<br />
r =<br />
ε<br />
=<br />
como<br />
d<br />
r = dε<br />
r<br />
= d − r cosθ<br />
=<br />
ε<br />
= ε . MH<br />
( d − r cosθ<br />
)<br />
− ε r cosθ<br />
Resolvendo em relação a r temos:<br />
dε<br />
r =<br />
1 + ε cosθ<br />
Observe que a equação (13), que <strong>de</strong>screve a órbita <strong>de</strong> um planeta nas nossas hipóteses,<br />
po<strong>de</strong> ser comparada com essa última equação. Isso implica que a órbita <strong>de</strong> um planeta é<br />
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