As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...
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c . c c<br />
<br />
c . c = c<br />
2<br />
= ou seja<br />
2<br />
Substituindo a expressão (7) na igualda<strong>de</strong> acima temos:<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
( r × v ) . c = c<br />
<br />
Po<strong>de</strong>-se <strong>de</strong>monstrar que se a b e c<br />
Aplicando esse teorema na expressão acima, temos:<br />
c<br />
2<br />
<br />
= r.<br />
<br />
( v × c )<br />
Substituindo essa expressão em (11):<br />
c<br />
2<br />
<br />
= ru.<br />
<br />
( GMu<br />
+ b )<br />
Aplicando a proprieda<strong>de</strong> distributiva chegamos a:<br />
c<br />
2<br />
<br />
, são vetores, então ( a × b ) c = a.<br />
( b × c )<br />
<br />
( u.<br />
u ) + r(<br />
u.<br />
b )<br />
. .<br />
= rGM<br />
(12)<br />
Por <strong>de</strong>finição <strong>de</strong> produto escalar dos vetores u b<br />
<br />
. é:<br />
<br />
u.<br />
b = u . b cosθ<br />
on<strong>de</strong> u é um vetor unitário. Logo:<br />
<br />
u . b = b<br />
cosθ<br />
Substituindo na expressão (12) temos:<br />
2<br />
c = rGM +<br />
isolando r temos<br />
rb cosθ<br />
( GM bcosθ<br />
)<br />
2<br />
c = r +<br />
2<br />
c<br />
r =<br />
GM + bcosθ<br />
14
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