As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

a
du
c = GM
dt
× que é o mesmo que:
d
a × c = ( GMu
)
(9)
dt
Escrevendo o produto acima em função da definição de a , temos
a
a
c =
dv
× c
dt
× ou ainda:
c =
d
dt
( v × c )
× já que é constante, (10)
Igualando a expressão (9) com a expressão (10)
d d
( v × c ) = ( GMu
) . Isso implica que:
dt dt
v
c = GMu
+ b
× (11)
onde b é um vetor constante. Como v é ortogonal a c e está no plano xy, b também está
nesse plano, pois tem a mesma direção de u
u . b = u b
Como sabemos,
cosθ
Uma vez que b é um vetor constante, a partir desse
momento vamos considerar um sistema de
coordenadas retangulares no espaço, de modo que
esse vetor seja paralelo ao eixo x.
Consideremos o eixo Ox como eixo polar e ,θ o
ângulo entre esse eixo e r , (r,θ) são as coordenadas
polares do ponto P com r = r . Podemos então definir
o produto escala u b
. como:
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