As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

⎛ du
dr ⎞
c = ru
× ⎜ r + u ⎟
⎝ dt dt ⎠
Aplicando a propriedade distributiva
c
du
dr
ru
× r + ru
× u
dt dt
= . Desenvolvendo os produtos vetoriais temos:
2 ⎛ du
dr
c = r ⎜ u × + r u
⎝ dt dt
2 ⎛ du
c = r ⎜ u ×
⎝ dt
⎞
⎟
⎠
⎞
( u × ) ⎟
⎠
como u × u = 0
GM
Utilizando a expressão (4), a = − u 2 ,com aquela obtida em (8) podemos escrever:
r
GM ⎡ 2 ⎛ du
⎞ ⎤
a × c = − u × ⎢ r ⎜ u ×
2
⎟
r
⎥
⎣ ⎝ dt ⎠ ⎦
Simplificando r 2 temos:
⎛ ⎛ du
⎞ ⎞
a × c = − GM ⎜ u × ⎜ u × ⎟ ⎟
⎝ ⎝ dt ⎠ ⎠
× obtemos:
Simplificando essa expressão pela identidade: a ( b × c ) = ( a.
c ) b − ( a.
b )c
⎡ ⎛ du
⎞ du
⎤
a × c = − GM ⎢ ⎜ u.
⎟ u − ( u.
u ) ⎥
⎣ ⎝ dt ⎠ dt ⎦
2
du Como u.
u = u = 1 é uma constante,
dt
é ortogonal a u
du
. Logo u.
= 0 . Substituindo
dt
na expressão acima, temos:
⎡ du
⎤
a × c = − GM
⎢
0 − 1.
⎣ dt ⎥ . Resolvendo, chegamos a:
⎦
12
(8)