As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...
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⎛ du<br />
dr ⎞<br />
c = ru<br />
× ⎜ r + u ⎟<br />
⎝ dt dt ⎠<br />
Aplicando a proprieda<strong>de</strong> distributiva<br />
<br />
c<br />
<br />
du<br />
dr <br />
ru<br />
× r + ru<br />
× u<br />
dt dt<br />
= . Desenvolvendo os produtos vetoriais temos:<br />
<br />
2 ⎛ du<br />
dr <br />
c = r ⎜ u × + r u<br />
⎝ dt dt<br />
<br />
2 ⎛ du<br />
c = r ⎜ u ×<br />
⎝ dt<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
( u × ) ⎟<br />
⎠<br />
<br />
como u × u = 0<br />
GM <br />
Utilizando a expressão (4), a = − u 2 ,com aquela obtida em (8) po<strong>de</strong>mos escrever:<br />
r<br />
<br />
GM ⎡ 2 ⎛ du<br />
⎞ ⎤<br />
a × c = − u × ⎢ r ⎜ u ×<br />
2<br />
⎟<br />
r<br />
⎥<br />
⎣ ⎝ dt ⎠ ⎦<br />
Simplificando r 2 temos:<br />
<br />
<br />
⎛ ⎛ du<br />
⎞ ⎞<br />
a × c = − GM ⎜ u × ⎜ u × ⎟ ⎟<br />
⎝ ⎝ dt ⎠ ⎠<br />
<br />
× obtemos:<br />
Simplificando essa expressão pela i<strong>de</strong>ntida<strong>de</strong>: a ( b × c ) = ( a.<br />
c ) b − ( a.<br />
b )c<br />
<br />
<br />
⎡ ⎛ du<br />
⎞ du<br />
⎤<br />
a × c = − GM ⎢ ⎜ u.<br />
⎟ u − ( u.<br />
u ) ⎥<br />
⎣ ⎝ dt ⎠ dt ⎦<br />
2<br />
du Como u.<br />
u = u = 1 é uma constante,<br />
dt<br />
<br />
é ortogonal a u <br />
du<br />
. Logo u.<br />
= 0 . Substituindo<br />
dt<br />
na expressão acima, temos:<br />
<br />
<br />
⎡ du<br />
⎤<br />
a × c = − GM<br />
⎢<br />
0 − 1.<br />
⎣ dt ⎥ . Resolvendo, chegamos a:<br />
⎦<br />
12<br />
(8)