As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

d ( r × v ) dv
dr
= r × + × v
dt dt dt
dr dv
Sabemos que = v e que = a . Substituindo na expressão acima fica:
dt
dt
de (6) temos
d( r × v)
= r × a + v × v
dt
d
( r × v )
dt
=
r × a = 0 e como v × v = 0 , temos que:
0
Isso é particularmente importante pois nos garante que r × v é uma constante:
r × v = c
(7)
Por definição o produto vetorial de dois vetores é ortogonal a esses dois vetores.
Então da expressão (7) podemos concluir que r e v são ortogonais a c . Dessa
observação concluímos que a órbita do planeta está contida no plano que passa pela
origem e é ortogonal ao vetor c .
3.4. A curva num plano
Isso garante que a curva é plana.
Vamos modificar o sistema de
coordenadas no espaço de modo que
o plano xy seja o plano da órbita:
De (5) , sabemos que r = ru
dr
d(
ru)
como v = então v
dt
= .
dt
Desenvolvendo o produto teremos:
du
dr
v = r + u Substituindo a expressão acima e a expressão (5) em (7), obtemos:
dt dt
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