As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

“Dois corpos quaisquer se atraem com força proporcional ao produto de suas
massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles”.
F =
GMm
2
r
Onde G é a constante de gravitação universal.
Em particular, essa força é a mesma que mantém o planeta girando em torno do Sol, onde
m é a massa do planeta, M a massa do Sol. Essa força, denotada por F, atuando no planeta,
tem a direção da reta que une os dois astros e sentido apontando para o Sol. Sabemos que
existem outras forças atuando no planeta num dado momento. Para facilitar, durante todo
esse nosso trabalho, vamos supor que apenas o Sol esteja exercendo força no planeta. Como
os vetores F e u tem sentidos opostos, vemos que:
m F
- F
Dessa expressão conclui-se que:
GMm
F = − u 2
(3)
r
Pela segunda Lei Fundamental, temos
F = ma
. Podemos escrever, portanto:
GMm
u = ma
r
− 2
Que depois de simplificada e resolvida em
função do vetor aceleração fica:
GM
a = − u 2
(4)
r
1º) a é um vetor paralelo a r
e r = ru
(5)
2º) Como a é paralelo a r , pelas propriedades de vetores, conclui-se que
r × a =
3.3. Posição relativa entre r e v
A derivada do produto vetorial r × v é:
S
0
10
(6)