As leis de Kepler sob o ponto de vista de Newton - Departamento de ...

GETÚLIO RODRIGUES BRAGA
AS LEIS DE KEPLER SOB O PONTO DE VISTA DE
NEWTON.
Belo Horizonte
ICEx – Instituto de Ciências Exatas
UFMG – Universidade Federal de Minas Gerais
Monografia apresentada ao curso de
Especialização em Matemática para
Professores, do Departamento de
Matemática da Universidade Federal de
Minas Gerais.
Orientador: Francisco Dutenhefner

GETÚLIO RODRIGUES BRAGA
AS LEIS DE KEPLER SOB O PONTO DE VISTA DE
NEWTON
“Não perguntamos porque os pássaros
cantam. Eles foram feitos para cantar.
Assim, não devemos perguntar porque as
mentes dos homens procuram saber
sobre os mistérios do céu. Os mistérios
são tão ricos precisamente para a mente
dos homens nunca se esgotar de
alimentos.”
2
Johannes Kepler

ÍNDICE
INTRODUÇÃO 4
1. UM POUCO DA HISTÓRIA 5
2. OS SONHOS COMEÇAM A VIRAR REALIDADE 6
3. A PRIMEIRA LEI DE KEPLER
3.1. Definições 9
3.2. As Leis de Newton
3.3. Posição relativa entre r
9
e v
11
3.4. A curva num plano 11
4. UM ESTUDO SOBRE AS CÔNICAS
4.1. Definições 16
4.2. ε = 1 18
4.3. ε > 1 18
4.4. ε = 0 19
4.5. ε < 1 20
4.6. O outro foco da elipse 21
4.7. As descobertas da Newton 22
5. A 2ª LEI DE KEPLER 24
6. A 3ª LEI DE KEPLER 26
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS 28
8. BIBLIOGRAFIA 29
3

INTRODUÇÃO
Este trabalho é o resultado de uma ampla pesquisa sobre um fato que marcou época no
desenvolvimento das idéias científicas. As pesquisas que levaram Kepler a descobrir e
explicar o movimento dos planetas no espaço e que consumiram praticamente toda a sua
vida. Ele viveu em uma época em que as idéias ainda eram defendidas por interesses
religiosos e suas grandes dúvidas esbarravam em tais preceitos, o que o levou a viver, na
época de seus estudos, no seminário, um grande conflito de consciência e medo. Porém,
Deus tornou-se para ele mais que uma fúria divina, objeto de súplicas. O Deus de Kepler
era o poder criador do Cosmo. A sua curiosidade conquistou o medo; desejou ardentemente
conhecer universo.
O grande cientista e pesquisador Johannes Kepler acreditou que se vivêssemos em um
planeta onde nada jamais mudasse, haveria pouca coisa a se fazer. Não haveria nada a ser
calculado e nenhum ímpeto para a ciência. Por outro lado, se vivêssemos num mundo onde
as coisas mudassem de maneira imprevisível e complexa, não seríamos capazes de calcular
nada; também assim não haveria ciências. Porém, vivemos num universo onde as coisas
acontecem e mudam de acordo com padrões, regras que podemos chamar de leis da
natureza, por isso, podemos fazer ciências e com ela melhorar nossas vidas.
Há muito, a humanidade vem tentando entender o que acontece ou como acontece com o
movimento dos astros no céu. Isso se deve, provavelmente pela influência que os
fenômenos celestes exerciam sobre a vida dos povos mais antigos. Assim, a necessidade de
estabelecer a época do plantio e colheita e sua relação com a posição do Sol, da Lua e das
estrelas, levou os astrônomos da Antiguidade a coletar um grande número de dados sobre
os movimentos dos astros. Várias tentativas de criar um sistema que explicasse os
fenômenos observados foram criadas. Dentre elas podemos citar O Modelo dos Gregos, no
qual a Terra era situada no centro do Universo (teoria geocêntrica) e os planetas, bem como
o Sol, a lua e as estrelas, estariam incrustados em esferas que giravam em torno da Terra.
Outro modelo criado foi o Sistema de Ptolomeu grande sábio que viveu em Alexandria, no
século II depois de Cristo. Neste modelo, os planetas moviam-se em círculos, cujos centros
giravam em torno da Terra. Tais modelos perduraram durante 13 séculos, pois eram bem
aceitos pela igreja. Porém, sofreu sucessivas modificações para adaptá-lo às observações
que foram se acumulando durante este longo período, e que acabaram por tornar-lo também
muito complicado. No século XVI, pouco antes do nascimento de Kepler, Nicolau
Copérnico apresentou um modelo mais simples para substituir o sistema de Ptolomeu. Nele,
o Sol estaria em repouso e os planetas, inclusive a Terra, girariam em torno dele em órbitas
circulares (teoria heliocêntrica). Era uma visão completamente nova do Universo. Foi neste
modelo que Kepler encontrou as informações que foram obtidas pelas observações de
Tycho Brahe e dele própria, mas não conseguiu encaixar nele os dados obtidos. Foi dai que
nasceu de forma empírica suas três grandes Leis do Movimento Planetário que serão
demonstradas neste trabalho, utilizando os princípios básicos do Cálculo Diferencial e
Integral.
4

1. UM POUCO DA HISTÓRIA
Johannes Kepler nasceu na Alemanha em 1571. Por ter se desenvolvido frágil e franzino,
não era muito útil nos serviços pesados da pequena estalagem que a família possuía, foi
enviado a um seminário protestante na cidade provincial de Maulbronn ainda menino para
vir a ser um religioso. Enquanto esteve lá, sua mente irrequieta e inconformada o obrigou a
pensar em Deus como um poder criador do Cosmo. Quanto mais procurava entender os
fenômenos, mais suas conclusões o afastavam das explicações dadas e impostas pelas
idéias religiosas da época. Essas visões, para ele, perigosas, perduraram por toda sua vida.
Em 1587, Kepler deixou Maulbronn e foi estudar na grande Universidade de Tubingen.
Sentiu-se livre, pois sua genialidade foi reconhecida pelos seus professores, um dos quais o
introduziu nos mistério da então perigosa hipótese copernicana. Sustentada durante
milhares de anos e apoiadas pelas idéias religiosas da época, a hipótese geocêntrica (de que
a Terra era o centro do Universo) ainda prevalecia. Um Universo no qual o Sol fosse o
centro, ecoou no senso religioso de Kepler que o adotou com ferver, pois encontrou nele
redenção para seus pensamentos pecaminosos. Ele pensava o Sol como uma metáfora para
Deus, em volta do qual tudo girava.
O sistema heliocêntrico de Copérnico fez germinar incontáveis perguntas na mente do
grande gênio; havia somente seis planetas conhecido naquela época: Mercúrio, Vênus,
Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Kepler se perguntava, por que somente seis? Por que não
vinte ou mais? Ninguém nunca havia feito perguntas desse tipo. A mente privilegiada de
Kepler viajou pelos cinco “sólidos platônicos”. Seria essa a causa do número de planetas?
Essa seria a causa da perfeição do Universo? Kepler pensou que os dois números estavam
conectados, que a razão pela qual havia somente seis planetas era porque existiam somente
cinco sólidos regulares, e que estes sólidos inscritos ou aninhados um dentro do outro
especificariam as distâncias dos planetas ao sol. Era o que chamou de Mistério Cósmico.
Essa conexão entre os sólidos e as posições dos planetas explicava em sua mente irrequieta
e ainda cheia de culpa a Mão do Grande Geômetra, Deus.
5

2. OS SONHOS COMEÇAM A VIRAR REALIDADE
Kepler estava extasiado com o rumo que as idéias estavam tomando. “O grande prazer que
tive pela descoberta nunca poderá ser traduzido em palavras... Não refutareis, não importa
gastos nem dificuldades. Despendi dias e noites em cálculos matemáticos, até que pude ver
minhas hipóteses se ajustarem às órbitas de Copérnico, ou se minha alegria se esvaeceria no
ar”. Mas tudo em vão. Mesmo trabalhando arduamente relacionando, sólidos, as órbitas
planetárias, nunca se ajustaram bem. Tinha na mente a convicção de que suas observações
não eram muito precisas. Afinal não dispunha de quase nenhum equipamento e um mínimo
erro comprometeria toda sua expectativa.
Havia, no entanto, um homem, um nobre dinamarquês que ocupava o posto de Matemático
na Corte do Sagrado Imperador Romano, Rodolf II. Esse homem era Tycho Brahe, um
riquíssimo dono de um espetacular observatório, dono de um grande poder de observação,
tinha grande dificuldade em organizar todas as informações colecionadas até então. Ao
saber da fama de Kepler, o convidou a juntar-se a ele em Praga.
Deixando Graz, ele, sua esposa e sua enteada iniciaram uma jornada difícil até Praga.
Vislumbrou o domínio de Tycho, como um refúgio a todos os demônios que povoavam sua
mente, pois talvez ali pudesse ver o seu Mistério Cósmico desvendado. Porém a princípio, a
convivência com Tycho não foi muito pacífica. Ele era uma figura vistosa e rica, mas não
usava muita bem sua riqueza. À sua volta havia um grande grupo de assistentes, formado
em grande parte por parentes distantes e dependentes convictos. Era adepto a festas com
orgias intermináveis. Isso, as insinuações, as intrigas, e os constantes escárnios a respeito
da educação rústica e provinciana que Kepler recebera, deprimiam e entristeciam-no.
Porém, qualquer um dos instrumentos que Tycho possuía custava mais que toda a sua
fortuna e de sua família junta. Isso fez com que ele suportasse qualquer situação, para
vislumbrar a possibilidade de acesso às informações coletadas por Tycho e continuar suas
pesquisas.
Com o passar do tempo as relações entre Tycho, o maior gênio observacional da época e
Kepler o maior gênio teórico, foram melhorando, e uma grande amizade foi aos poucos
surgindo entre eles. Certa ocasião, em um jantar oferecido pelo Barão de Rosemberg,
Tycho, tendo ingerido vinho em excesso, “colocou a civilidade à frente da saúde” e resistiu
à urgência fisiológica de se retirar, mesmo por um instante da presença do Barão, acabou
por contrair uma infecção urinária. Seu estado de saúde foi piorando, pois sua grande
teimosia o impediu de abster-se de bebida alcoólica e controlar-se em relação à comida. Em
seu leito de morte, Tycho doou suas observações a Kepler. Na última noite em seu delírio
de morte, pediu repetidas vezes a ele: “Não me deixem sentir que vivi em vão...” .
Após a morte de Tycho, Kepler, além de herdar suas preciosas anotações, herdou também o
seu posto de Matemática Imperial. As observações de Tycho sobre os movimentos de
Marte e dos outros planetas o estavam levando a loucura. Esses movimentos, sob o ponto
de vista da Terra pareciam retrógrado, ou seja em certa época do ano, parecia afastar-se da
Terra, em outra parecia, no mesmo horizonte aproximar-se. Por isso esse corpo celeste
6

ecebe o nome de planeta que em latim é errante. Sem precisar uma medida de forma muito
significativa, esse movimento poderia ser explicado nos dois modelos planetário até então
em discussão: o de Ptolomeu:
e o de Copérnico:
Porém, quando computadas as medidas precisas
coletadas por Tycho, os dados não conferiam
com nenhum modelo. Que movimento real teriam
então, Terra e Marte em torno do Sol que
poderiam explicar com a precisão das medidas, o
movimento aparente de Marte no céu, incluindo seu arco retrógrado contra o fundo das
constelações? Tycho quando vivo, havia comentado com Kepler, que o movimento
anômalo de Marte dificilmente poderia ser conciliado com a órbita formada por um círculo.
A fascinação de Kepler pela curva perfeita, o círculo, tinha sido uma desilusão. A Terra era
um planeta como havia dito Copérnico, e tão cheia de fome, guerra, pestes, não era o que se
poderia chamar de “perfeição” como queria a Igreja. Portanto sua órbita também não teria
que necessariamente ser uma curva perfeita. Tentou várias curvas ovais, calculou, cometeu
erros aritméticos, e depois de muitos meses de tentativa, já em desespero, tentou a fórmula
de uma elipse. Descobriu que se ajustavam maravilhosamente às observações de Tycho
Brahe. Kepler tinha descoberto que Marte girava em torno do Sol não em círculo, mas em
uma elipse. A primeira Lei de Kepler dos movimentos planetário é simplesmente:
“Um planeta se move em uma elipse com o Sol em um dos seus focos”.
7

Preocupando-se com a velocidade dos planetas, Kepler verificou que eles se movem mais
rapidamente quanto mais próximos do sol e mais lentamente quanto mais afastados dele.
Daí formulou a sua 2ª Lei.
“A reta que une um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais”.
Continuando o estudo das tabelas de Tycho Brahe, Kepler procurou estabelecer relações
entre os períodos de revolução dos planetas e os raios de sua órbitas. Após dez anos de
tentativas, Kepler descobriu uma relação que é sintetizada em sua 3ª Lei:
“Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos
dos raios de suas órbitas”.
Apesar das observações se encaixarem como uma luva no modelo das elipses, essas leis
não foram demonstradas.
Trinta e seis anos após sua morte, a harmonia nos céus descoberta por Kepler foi finalmente
culminada com um espetacular trabalho de Isaac Newton. Newton nasceu no dia de Natal
de 1642. Em seu brilhante currículo entre outras importantes descobertas, ele descobriu a
lei da inércia: a tendência de um objeto em movimento continuar a mover-se em linha reta a
menos que alguma coisa o influenciasse e o retirasse do caminho. A Lua parecia para
Newton, mover-se em linha reta, tangencial à sua órbita, a menos que houvesse alguma
outra força desviando constantemente o caminho para próximo a um círculo, empurrando-a
em direção a Terra. A causa dessa força Newton chamou de gravidade, e acreditou que ela
agia à distância. Não há nada fisicamente unindo a Terra à Lua, embora a primeira esteja
constantemente puxando a segunda em nossa direção. Usando as leis de Newton,nesta
monografia será demonstrada matematicamente a grandiosidade descoberta empiricamente
por Kepler. No 1º capítulo, serão definidas algumas grandezas que serão úteis neste
trabalho e também, procuraremos definir as posições, e demonstrar a 1ª Lei. Para entender
completamente a demonstração dessa Lei, faz-se necessário um estudo sobre as cônicas. A
equação cartesiana e uma análise das vários valores assumidos pela excentricidade. Como a
1ª Lei diz que o Sol ocupa um dos focos da elipse, foi necessário demonstrar qual é o outro
foco; esse estudo foi feito no 2º capítulo. No 3º capítulo, demonstraremos a 2ª Lei e
finalmente no 3º capítulo a 3ª Lei.
3. A PRIMEIRA LEI DE KEPLER
8

3.1. Definições
Usando um sistema ortogonal como referencial, tomemos o Sol na origem. O
planeta em um determinado momento ocupa uma posição no espaço que chamarei
de P. O vetor posição do planeta será denotado por r , e é aquele com origem no sol
e extremidade em P.
P = r ( t)
= r .
Sabemos que a derivada da posição em
relação a t é a velocidade:
→
r
,
(
t)
=
dr
= v
dt
e que a derivada de v em relação a t ; ou
seja a derivada segunda da posição, é a
aceleração:
, , dr
dv
r = = = a (2)
dt dt
a norma de um vetor r
é indicada pela expressão r = r ; portanto u , que é um
vetor unitário, pode ser escrito em função de r , como:
u =
⎛ ⎞
⎜ ⎟ r
⎝ r ⎠
1
ou seja: u é um vetor unitário que tem a mesma direção de r .
3.2. As Leis de Newton
Estudando os movimentos dos planetas, apoiando-se nas leis de Kepler, Newton
observou que, como eles descrevem órbitas em torno do Sol, devem estar sujeitos a
uma força centrípeta, pois do contrário, suas trajetórias não seriam curvas. Ao
raciocinar dessa maneira, Newton estava admitindo que suas leis dos movimentos
seriam válidas também para os corpos celestes. Este ponto de vista era contrário à
filosofia de Aristóteles, que acreditava que o movimento dos corpos celestes era
regido por leis especiais, diferentes daquelas verificadas para os movimentos na
superfície da Terra.
Baseando-se em suas leis do movimento e nos estudos de Kepler, Newton
conseguiu chegar à expressão matemática da força de atração entre o Sol e um
planeta. Designando por F esta força, ele chegou a seguinte conclusão:
9
(1)

“Dois corpos quaisquer se atraem com força proporcional ao produto de suas
massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles”.
F =
GMm
2
r
Onde G é a constante de gravitação universal.
Em particular, essa força é a mesma que mantém o planeta girando em torno do Sol, onde
m é a massa do planeta, M a massa do Sol. Essa força, denotada por F, atuando no planeta,
tem a direção da reta que une os dois astros e sentido apontando para o Sol. Sabemos que
existem outras forças atuando no planeta num dado momento. Para facilitar, durante todo
esse nosso trabalho, vamos supor que apenas o Sol esteja exercendo força no planeta. Como
os vetores F e u tem sentidos opostos, vemos que:
m F
- F
Dessa expressão conclui-se que:
GMm
F = − u 2
(3)
r
Pela segunda Lei Fundamental, temos
F = ma
. Podemos escrever, portanto:
GMm
u = ma
r
− 2
Que depois de simplificada e resolvida em
função do vetor aceleração fica:
GM
a = − u 2
(4)
r
1º) a é um vetor paralelo a r
e r = ru
(5)
2º) Como a é paralelo a r , pelas propriedades de vetores, conclui-se que
r × a =
3.3. Posição relativa entre r e v
A derivada do produto vetorial r × v é:
S
0
10
(6)

d ( r × v ) dv
dr
= r × + × v
dt dt dt
dr dv
Sabemos que = v e que = a . Substituindo na expressão acima fica:
dt
dt
de (6) temos
d( r × v)
= r × a + v × v
dt
d
( r × v )
dt
=
r × a = 0 e como v × v = 0 , temos que:
0
Isso é particularmente importante pois nos garante que r × v é uma constante:
r × v = c
(7)
Por definição o produto vetorial de dois vetores é ortogonal a esses dois vetores.
Então da expressão (7) podemos concluir que r e v são ortogonais a c . Dessa
observação concluímos que a órbita do planeta está contida no plano que passa pela
origem e é ortogonal ao vetor c .
3.4. A curva num plano
Isso garante que a curva é plana.
Vamos modificar o sistema de
coordenadas no espaço de modo que
o plano xy seja o plano da órbita:
De (5) , sabemos que r = ru
dr
d(
ru)
como v = então v
dt
= .
dt
Desenvolvendo o produto teremos:
du
dr
v = r + u Substituindo a expressão acima e a expressão (5) em (7), obtemos:
dt dt
11

⎛ du
dr ⎞
c = ru
× ⎜ r + u ⎟
⎝ dt dt ⎠
Aplicando a propriedade distributiva
c
du
dr
ru
× r + ru
× u
dt dt
= . Desenvolvendo os produtos vetoriais temos:
2 ⎛ du
dr
c = r ⎜ u × + r u
⎝ dt dt
2 ⎛ du
c = r ⎜ u ×
⎝ dt
⎞
⎟
⎠
⎞
( u × ) ⎟
⎠
como u × u = 0
GM
Utilizando a expressão (4), a = − u 2 ,com aquela obtida em (8) podemos escrever:
r
GM ⎡ 2 ⎛ du
⎞ ⎤
a × c = − u × ⎢ r ⎜ u ×
2
⎟
r
⎥
⎣ ⎝ dt ⎠ ⎦
Simplificando r 2 temos:
⎛ ⎛ du
⎞ ⎞
a × c = − GM ⎜ u × ⎜ u × ⎟ ⎟
⎝ ⎝ dt ⎠ ⎠
× obtemos:
Simplificando essa expressão pela identidade: a ( b × c ) = ( a.
c ) b − ( a.
b )c
⎡ ⎛ du
⎞ du
⎤
a × c = − GM ⎢ ⎜ u.
⎟ u − ( u.
u ) ⎥
⎣ ⎝ dt ⎠ dt ⎦
2
du Como u.
u = u = 1 é uma constante,
dt
é ortogonal a u
du
. Logo u.
= 0 . Substituindo
dt
na expressão acima, temos:
⎡ du
⎤
a × c = − GM
⎢
0 − 1.
⎣ dt ⎥ . Resolvendo, chegamos a:
⎦
12
(8)

a
du
c = GM
dt
× que é o mesmo que:
d
a × c = ( GMu
)
(9)
dt
Escrevendo o produto acima em função da definição de a , temos
a
a
c =
dv
× c
dt
× ou ainda:
c =
d
dt
( v × c )
× já que é constante, (10)
Igualando a expressão (9) com a expressão (10)
d d
( v × c ) = ( GMu
) . Isso implica que:
dt dt
v
c = GMu
+ b
× (11)
onde b é um vetor constante. Como v é ortogonal a c e está no plano xy, b também está
nesse plano, pois tem a mesma direção de u
u . b = u b
Como sabemos,
cosθ
Uma vez que b é um vetor constante, a partir desse
momento vamos considerar um sistema de
coordenadas retangulares no espaço, de modo que
esse vetor seja paralelo ao eixo x.
Consideremos o eixo Ox como eixo polar e ,θ o
ângulo entre esse eixo e r , (r,θ) são as coordenadas
polares do ponto P com r = r . Podemos então definir
o produto escala u b
. como:
13

c . c c
c . c = c
2
= ou seja
2
Substituindo a expressão (7) na igualdade acima temos:
2
( r × v ) . c = c
Pode-se demonstrar que se a b e c
Aplicando esse teorema na expressão acima, temos:
c
2
= r.
( v × c )
Substituindo essa expressão em (11):
c
2
= ru.
( GMu
+ b )
Aplicando a propriedade distributiva chegamos a:
c
2
, são vetores, então ( a × b ) c = a.
( b × c )
( u.
u ) + r(
u.
b )
. .
= rGM
(12)
Por definição de produto escalar dos vetores u b
. é:
u.
b = u . b cosθ
onde u é um vetor unitário. Logo:
u . b = b
cosθ
Substituindo na expressão (12) temos:
2
c = rGM +
isolando r temos
rb cosθ
( GM bcosθ
)
2
c = r +
2
c
r =
GM + bcosθ
14

Fazendo
mais simplificada:
2
c
P = e ε =
GM
P
=
1 + ε cosθ
b
GM
podemos escrever a expressão acima de forma
r (13)
4. UM ESTUDO SOBRE AS CÔNICAS
4.1. Definições
15

Sabemos que uma cônica é o lugar dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto
fixo,que chamaremos foco, e uma reta fixa, que é a diretriz, estão numa razão constante.
Na afigura ao lado, seja O o foco e d a diretriz.
Seja M um ponto genérico da cônica. Tracemos MH
perpendicular à diretriz. Temos:
OM
MH
=
ε
= constante
A esse número ε chamaremos de excentricidade da
cônica
Seja xx’ a perpendicular à diretriz conduzida pelo foco. Tomemos um sistema polar
no qual o pólo seja o foco o e o eixo polar seja a semi-reta OX, que encontra a diretriz em
B. Chamemos d à distância OB do foco à diretriz. Podemos escrever:
OM
PB = OB − OP
OB =
OP = r cosθ
log o :
MH
OM
MH
OM
r =
ε
=
como
d
r = dε
r
= d − r cosθ
=
ε
= ε . MH
( d − r cosθ
)
− ε r cosθ
Resolvendo em relação a r temos:
dε
r =
1 + ε cosθ
Observe que a equação (13), que descreve a órbita de um planeta nas nossas hipóteses,
pode ser comparada com essa última equação. Isso implica que a órbita de um planeta é
16

uma cônica. Entretanto, para termos mais informações sobre que tipo de cônica pode ser a
órbita, precisamos fazer um estudo mais detalhado dessa última equação. Para isso, vamos
reescrever essa equação polar em coordenadas cartesianas, efetuando as substituições:
x = r cosθ
y = r senθ
x
2
+
y
2
=
r
Da equação
Obtemos
2
dε
r =
1 + ε cosθ
d ε = r + ε r cosθ
e assim:
2 2
2 2
dε = x + y + ε x ⇒ x + y = dε
− ε x
Elevando ambos os membros ao quadrado e agrupando os termos vem:
2 2 2 2 2 2
( 1 − ε ) x + 2dε
x + y = d ε
Que é a equação cartesiana da cônica.
Para sabermos quais as possíveis formas essa cônica pode assumir façamos um estudo
sobre os possíveis valores de ε .
4.2. ε = 1
Substituindo na equação (14) obtemos:
17
(14)

2 ( 1 − 1 )
0x
ou
y
2
2
x
2
+ 2dx
+ y
2
+ 2d1
x +
2
= − 2dx
+ d
2
Logo, a cônica é uma parábola.
4.3. ε > 1
=
Tomemos novamente a equação:
2 2 2 2 2 2
( 1 − ε ) x + 2dε
x + y = d ε
d
2
y
2
=
d
2
1
2
2
Dividamos todos os termos por ( ε − 1).
O denominador será sempre positivo:
x
2
−
Completemos os quadrados no 1º membro:
x
2
Fatorando temos:
⎛ d
⎜ x − 2
⎝ ε −
2
2
2
2 2 2
ε ⎞
− d ε d
⎟
⎠
−
y
=
4
( ) 2 2
ε 1
2
2
1 ε − 1 ε − 1 −
Resolvendo no 2º membro
⎛ d
⎜ x − 2
⎝ ε −
2
2
2 2
dε
y − d ε
x − =
2
2
ε − 1 ε − 1 ε − 1
2 2
2
2
2
2
2 2
ε ⎛ dε
⎞ y − d ε ⎛ d
2
2 2
2
2
2
2
1 1 1 1 1
⎟ d
ε ⎞
− x + ⎜
⎟ − =
+ ⎜
ε − ⎝ ε − ⎠ ε − ε − ⎝ ε − ⎠
2
2
2
2
ε ⎞
d
⎟
⎠
−
y
2
( ) 2 2
ε 1
2
1 ε − 1 −
Dividindo todos os termos por ( ) 2
=
ε
ε
+
d
2
2
ε
2
− 1
ε
temos:
18
2

⎛
⎜ x −
⎝
2
dε
⎞
2
1
⎟
ε − ⎠
2
d ε
2
( ε
2
−
1)
2
2
−
2
y
2
ε − 1
2 2
d ε
( ε
2
−
1)
2
= 1
Após simplificação teremos:
2
⎛ dε
⎞
⎜ x − 2
1
⎟
⎝ ε − ⎠
⎛ dε
⎞
⎜ 2 ⎟
⎝ ε − 1 ⎠
Fazendo
( x − h)
a
2
2
2
2
−
2
y
2
d ε
ε
2
2
− 1
= 1
2
dε
dε
dε
h = , a = e b =
2
2
, obtemos a equação
ε − 1
ε − 1
2
ε − 1
−
4.4. ε = 0
y
b
2
2
= 1
de uma hipérbole.
Tememos a equação cartesiana da cônica:
2 2 2 2 2 2
( 1 − ε ) x + 2dε
x + y = d ε
Se fizermos ε = 0 , temos
2 2 2 2 2 2
( 1 − 0 ) x + 2d0
x + y = d 0
2
x +
2
y = 0
Sabemos que essa equação é de um ponto.
4.5. 0< ε < 1
Tomemos novamente a equação:
19

2 2 2 2 2 2
( 1 − ε ) x + 2dε
x + y = d ε
2
Dividamos todos os termos por ( 1 − ε ). O denominador será sempre positivo:
x
2
+
Completemos os quadrados no 1º membro:
x
Fatorando temos:
⎛
⎜ x +
⎝
dε
2
⎞
⎟
⎠
2
+
y
2
2
4
( ) 2 2
1 −
2
2
2
1 − ε 1 − ε 1 − ε
ε
Resolvendo no 2º membro
⎛
⎜ x +
⎝
2
2
1
dε
2
⎞
⎟
⎠
2
+
=
d
2
ε
2
2
2
+
( ) 2 2
1 −
2
2
1 − ε 1 − ε
ε
y
Dividindo todos os termos por ( ) 2
⎛
⎜ x +
⎝
2
dε
1 − ε
2
d ε
2
2
⎞
⎟
⎠
2
2 2
2
( 1 − ε ) ( 1 − ε )
2
⎛ dε
⎜ x +
⎝ 1 − ε
⎛ dε
⎜
⎝ 1 − ε
dε
− ε
2
2
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
2
2
2
2
y
x +
1 − ε
+
+
2
2
y
1 − ε
d
2
1 − ε
ε
2
y
2
d ε
2
2
2
=
2
2
d
= 1
ε
d
2
ε
1 − ε
d
2
2
ε
= 1 , ou seja:
Fazendo 2
2
2
2
d ε
=
1 − ε
temos:
2
dε
dε
h = − , b = e
1 − ε
1 − ε
2
2
2
2
2
2 2 2
ε ⎛ dε
⎞ y d ε ⎛ d
2
2 2
2
2
2
2
1 1 1 1 1
⎟ d
ε ⎞
+ x + ⎜
⎟ +
=
+ ⎜
− ε ⎝ − ε ⎠ − ε − ε ⎝ − ε ⎠
20
2

dε
a = 2
(15)
1 − ε
Temos:
( x − h)
a
2
2
+
y
b
4.6. O outro foco da elipse
2
2
= 1
Façamos agora uma mudança de variável
⎧ X = x − h
⎨
⎩ Y = y
⇔
⎧ x = X + h
⎨
⎩ y = Y
A equação da elipse encontrada fica reduzida a:
X
a
2
2
Y
+
b
2
2
= 1 , como mostra a figura
No sistema de coordenadas XY, os centros
são (0,0) e os focos são (c,0) e (-c,0),
como mostra a figura. Sendo
2 2
c = a − b , desenvolvendo vem:
2 2
c = a −
logo
b
2
Que é a equação de uma elipse!
21

c
c
2
2
c
=
=
2
=
d
2 ( 1 − ε )
2
d
ε
2
d
ε
2
2
+
2 ( 1 − ε )
2 ( 1 − ε )
4
ε
d
2
2
2
2
ε
2
d ε
−
1 − ε
4
−
2
d
ou
2
ε
2
2
2
que
⇒
c
2
2
dε
c =
1 − ε
2
=
d
2
ε
2
− ( 1 − ε
2 )
( 1 − ε
2 2
)
Façamos agora, o retorno para o sistema de
coordenadas original xy:
O centro da elipse é O = (h,0) , ou seja O = (
2
ε
− 2
1 − ε
d
,0) e os focos são:
2
dε
1 − ε
F1 = (c+h , 0) ⇒ ( 2
F1 = (0,0)
2
ε
−
1 − ε
d
2
, 0) , ou seja
F2 = (-c+h , 0)
⇒
F2
=
⎛
⎜ −
⎝
2
dε
2
1 − ε
−
2
dε
2
1 − ε
⎞
, 0 ⎟
⎠
⇒ F2
=
2
⎛ − 2dε
⎜
2
⎝ 1 − ε
⎞
, 0 ⎟
⎠
4.7.As descobertas de Newton
No nosso estudo do movimento planetário, verificamos, que quando um planeta está sob a
força de atração do Sol, ele descreve uma trajetória que pode ser apresentada, em
coordenadas polares por:
r =
P
1 + ε cosθ
Na seção anterior, quando desenvolvemos um estudo sistemático da equação polar de uma
cônica, vemos que esta possui a equação:
dε
r
=
1 + ε cosθ
22
d
2
ε
2

Comparando estas equações, concluímos que a órbita do planeta pode ser: uma
circunferência ( ε = 0), uma parábola, ( ε = 1), uma elipse ( ε < 1) ou uma hipérbole (
ε >1).
Logo após a morte de Thycho Brhaer, e conseqüentemente ter herdado suas preciosas e
minuciosas observações, Kepler já havia percebido que seus cálculos não se encaixavam
numa órbita circular. Como acabamos de provar a equação encontrada só nos leva a duas
curvas fechadas: a circunferência e a elipse. Para se adequar a com Kepler na época
chamou de “Harmonia dos Cosmos”, a órbita só pode ser uma elipse.
É importante salientar aqui que a teoria matemática discutida aqui é apenas o começo do
que Newton realizou e constitui apenas uma primeira aproximação da história do
movimento planetário. Por exemplo, admitimos apenas o Sol e um planeta presente na
demonstração. Porém na realidade, todos os outros planetas estão também presentes, e cada
um deles exerce sua própria atração gravitacional independente sobre o planeta em
consideração. Essas influencias adicionais introduzem o que se chama “perturbações” na
órbita elíptica idealizada deduzida aqui. O principal objetivo da mecânica celeste é levar
em consideração toda essas complexidades. A descoberta do planeta Netuno por Adams e
Lê Verrier, foi motivada exatamente pela análise da órbita de Urano e ao procurar
explicações para os desvios relativamente grandes de sua órbita kepleriana.
5. A 2ª LEI DE KEPLER
23

Passemos agora para a 2ª Lei de Kepler: A reta que une um planeta ao Sol varre áreas
iguais em tempos iguais.
Se uma função f é contínua e f ( θ ) ≥ 0 em [ α , β ] , onde 0 α < β ≤ 2π
região delimitada em coordenadas polares, pelos gráficos de r = ( θ ) , θ = α
A =
β
[ f ( ) ]
2
∫ dθ
= ∫
α
1
2
1 2
θ r dθ
2
β
α
≤ , então a área A da
f e θ = β é:
Podemos admitir que a órbita do planeta seja uma elipse no plano xy. Seja f ( θ )
r = a
equação polar da órbita, com centro do Sol no foco O . Denotemos por P0 a posição do
planeta no instante t0 e P sua posição no instante t ≥ t0. Chamaremos θ0 e θ os ângulos
medidos no eixo x positivo no sentido anti-horário. Podemos portanto, falar que a área
varrida por OP no intervalo de tempo [t0 , t] é
θ
1 2
A = ∫ r dθ
(14)
2
θ
0
e então
dA
dθ
θ
d 1 2 1
= ∫ r dθ
= r θ
dθ
θ
0
2
2
1
2
2 2
( ) = r
pela regra da cadeia podemos escrever:
dA dA dθ
1 2 dθ
=
= r
dt dθ
dt 2 dt
Seja os vetores:
i =
j =
k =
( 1,
0,
0)
( 0,
1,
0)
( 0,
0,
1)
logo o vetor r pode ser escrito como: r = r cos θ i + r senθ
j + 0k
, o vetor unitário
u = ( 1 )r
r , pode ser expresso na forma:
u = cos θ i + senθ
j + 0k
. Então
24

du
dθ
dθ
= − sen θ i + cosθ
j + 0k
dt dt dt
Realizando o produto vetorial
du
d
u × = k
dt dt
du
dθ
u × = k .
dt dt
2 ( sen θ + cos θ )
θ 2
du
u × obtemos:
dt
Sendo c o vetor obtido na prova da primeira lei (veja equação 8 ), podemos, utilizando a
ultima equação, escrever:
du
d
2 ⎛ ⎞ 2 θ
c = r ⎜ u × ⎟ = r k , então
⎝ dt ⎠ dt
dA 1 2 dθ
1
Daí concluímos que = r = c
dt 2 dt 2
c =
r
2
dθ
dt
é uma constante.
Isso mostra que a taxa de variação de A é constante. Essa é exatamente a 2ª Lei de Kepler.
6. A 3ª LEI DE KEPLER
Finalmente, chegamos na 3ª Lei de Kepler: O quadrado do período de revolução de um
planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita elíptica do planeta. Isto é, se
T é o tempo que um planeta gasta para completar uma revolução ao redor do Sol e a é o
25

semi-eixo maior mostrado na figura da secção 4.6 , a razão T 2 /a 3 é a mesma para todos os
planetas do sistema solar.
p
Retornemos a equação (15): a = 2 , onde escrevemos p = dε
.
1 − ε
Sabemos que ε =
c
2
. Portanto ε =
a
2
c
. Como
2
a
2
que ε =
2 2
a − b
2
a
ou
2 2
ε a =
2
a −
2
b então:
2 ( 1 − ε )
2 2
b = a , logo:
1
b
a
c −
2 2 2
= a b , temos por conseqüência
2
− ε =
2
(16)
2
Substituindo (16) em (15), temos:
a =
2
b =
p
2
b
2
a
pa
que desenvolvido nos dá
Para concluirmos a prova da 3ª lei de Kepler, retornamos a equação polar (13) da órbita;
r =
com
P
1 + ε cosθ
2
c
p = e ε =
GM
b
GM
Se T é o tempo necessário para o planeta completar uma revolução em torno do Sol, a área
varrida no intervalo de tempo [0,T] é dada por
T
T
⎛ dA ⎞
A = ∫ ⎜ ⎟ dt =
⎝ dt ∫
⎠
0
0
1
cdt
2
=
1
cT
2
26
(17)

Isso também é igual à área da região plana delimitada pela elipse que pode ser expressa por
A = π ab , para uma elipse de eixos maior e eixo menor 2a e 2b respectivamente. Como
conseqüência temos:
1
2π
ab
cT = π ab ou T =
(18)
2
c
Se elevarmos a expressão (18) ao quadrado temos
T
2
2 2 2
4π
a b
= (19)
2
c
Substituindo a expressão (17) em (19) temos
T
T
2
2
2 2
4π
a p.
a
= 2
c
=
Com
T
2
2
4π
p.
a
2
c
3
2
c
p = isso se reduz a:
GM
2 3
4π . a
= ou
GM
2
T =
3
ka
com k =
2
4π
GM
que completa a demonstração da 3ª Lei de Kepler!
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Existia na época de Newton, uma crença grega, de que seria possível compreender o
universo de um modo racional. Essa crença foi revitalizada e intensificada por ele.
27

A descoberta de que leis bem simples prevalecem na natureza e que as mesmas leis se
aplicam na Terra e nos céus, fizeram com que Kepler e Newton representassem uma
transição crítica na História do Homem.
Eles nos permitiram saber que existe uma ressonância entre o modo que pensamos e o
modo como o mundo age. Isso faz com que a nossa civilização global moderna tenha uma
visão mais clara do mundo, permitindo uma exploração maior e mais confiável do nosso
universo.
Confesso que ao final desse trabalho, chegar a essa conclusão, foi uma grande recompensa
e conquista.
Agradeço muito a Deus pela força e disposição que Ele me concedeu para realizá-lo.
Agradeço também a várias pessoas que estiveram envolvidas direta e indiretamente com
esse propósito, como toda a equipe de professores do ICEx, principalmente o Prof.
Francisco Dutenhefner (Chico) pela orientação, aos meus colegas, em particular Lásaro e
Kelson que sempre estiveram dispostos a ajudar e aconselhar. Agradeço infinitamente à
minhas queridas amigas e colegas, professoras Edna Rodrigues Ferreira e Vânia Alves
Ribeiro da Escola Estadual Augusto de Lima que carinhosamente me ajudaram na revisão
desse trabalho. Agradeço principalmente a minha esposa Mabel, minhas filhas e meu neto
pela compreensão e dedicação nos momentos difíceis do meu curso.
8. BILBLIOGRAFIA
MÁXIMO, Antônio & ALVARENGA, Beatriz; Curso de Física vol. I, São Paulo,
Scipione, 2000.
28

SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica; São Paulo, McGraw-Hill, 1887.
SAGAN, Carl, Cosmos;Rio de Janeiro, Francisco Alves, 1984.
SWOKOWSKI, Cálculo com Geometria Analítica; volume 2, 2ª Edição, 1994, Makron
Books.
CASPER, Max,, Kepler, Dover Sciencer, 1993.
FERGUSON, K. Tycho & Kepler – The unlikely partnership that forever changed our
understanding of heavens. Walker and Company, 2004.
GALILEI, G. A mensagem das estrelas. Museu de Astronomia e Ciências Afins
(RJ)/Salamandra, 1987.
29