MÉTODO DOS CORTES MÍNIMOS

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Procurando identificar os modos de avaria do sistema, verificamos facilmente que se perde a continuidade entre a “entrada” e a “saída”, desde que: - o componente 1 avarie ou - os componentes 2 e 4 estejam simultâneamente indisponíveis ou - os componentes 2 e 5 estejam simultâneamente indisponíveis ou - os componentes 3 e 4 estejam simultâneamente indisponíveis ou - os componentes 3 e 5 estejam simultâneamente indisponíveis pelo que podemos afirmar que os cortes mínimos são os seguintes { 1 } , { 2, 4 } , { 2,5 } , { 3, 4 } , { 3,5} C = C = C = C = C = 1 2 3 4 5 Para identificarmos por um processo sistemático os cortes mínimos acima referidos temos que recorrer à definição de uma matriz que representa a topologia do sistema, sob o ponto de vista de fiabilidade. Designaremos esta matriz por matriz dos passos e nela vão estar definidos os passos (ou trajectos) existentes entre todas as “entradas” do sistema e a “saída” em consideração. Para um sistema existirão tantas matrizes dos passos quantos os pontos (saídas) para os quais queremos calcular os índices de fiabilidade. A matriz dos passos é uma matriz constituída por “zeros” e “uns” (é uma matriz binária) com tantas linhas quantos os passos existentes entre as “entradas” do sistema e a saída em consideração, e com tantas colunas quantos os elementos (componentes) do sistema. A existência de um 1 na posição (i,j) - linha i, coluna j – representa que o elemento (ou componente) j, pertence ao passo i. A matriz dos passos para o sistema representado na figura 3 é a seguinte: Componentes 1 2 3 4 5 Passo - P1 1 1 1 0 0 Passo - P2 1 0 0 1 1 Em sistemas complexos não é fácil construir-se a matriz dos passos por inspecção. Existem, contudo, algoritmos que nos permitem construir esta matriz a partir da descrição da estrutura topológica do sistema em análise. Neste curso consideraremos que a matriz dos passos pode ser obtida por inspecção, o que é verdadeiro para sistemas de média dimensão. Com recurso a esta matriz calcularemos os modos de avaria (ou cortes mínimos) do sistema. Salientamos, mais uma vez, que um conjunto de cortes mínimos está sempre associado a um conjunto de passos. Determinaremos a seguir os cortes mínimos associados ao conjunto de passos definidos pela matriz acima descrita. 6
Define-se “ordem de um corte” como o número de componentes que integram o corte. Assim, designaremos por cortes de 1.ª, 2.ª e 3.ª ordem os cortes que são definidos por 1, 2 e 3 componentes, respectivamente. Para que um componente defina um corte de 1.ª ordem é necessário que se esse componente avariar sejam interrompidos todos os passos, isto é, o componente em causa terá de pertencer a todos os passos, o que faz com que quando ele avaria sejam interrompidos todos os trajectos entre as “entradas” e a “saída” em consideração. É agora evidente a seguinte conclusão: - os componentes associados às colunas da matriz dos passos constituídas apenas por elementos não nulos (valor um) definem todos os cortes de 1.ª ordem. Os cortes de 1.ª ordem são, portanto, extremamente simples de determinar; basta que se pesquisem as colunas da matriz dos passos e sempre que se encontre uma coluna só com elementos não nulos, então o componente que lhe está associado define um corte de 1.ª ordem. Para que dois componentes definam um corte de 2.ª ordem é necessário – repete-se a ideia – que quando esses componentes avariem sejam interrompidos todos os passos; para que o corte definido pelos dois componentes seja mínimo é necessário que não contenha nenhum corte de 1.ª ordem, isto é, nenhum dos componentes que definem o corte mínimo pode constituir um corte de 1.ª ordem. Vejamos, agora, o significado de um vector que represente a soma lógica de um qualquer conjunto de colunas da matriz dos passos. Consideremos as três colunas seguintes de uma matriz dos passos com quatro linhas (definem 4 passos): coluna i coluna j coluna k Passo 1 1 1 0 Passo 2 0 0 1 Passo 3 1 1 0 Passo 4 0 1 1 A análise dos vectores escritos permite-nos, imediatamente, saber que: - o componente i pertence aos passos 1 e 3; - o componente j pertence aos passos 1, 3 e 4; - o componente k pertence aos passos 2 e 4. Somando, logicamente, as colunas i e j, teremos: ( i) ( j) ( i + j) 1 1 1 0 0 0 + = 1 1 1 0 1 1 7
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