MÉTODO DOS CORTES MÍNIMOS

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1. Definições MÉTODO DOS CORTES MÍNIMOS Consideremos o sistema e o grafo associado representados na figura 1 2 ENTRADA SAÍDA ENTRADA SAÍDA 5 x5 x5 3 4 Fig. 1 - Sistema constituído por 5 componentes e o grafo associado (o elemento 5 é considerado bidireccional) Define-se passo (relativamente ao grafo) entre uma entrada e uma saída, como um qualquer conjunto conexo de ramos, os quais percorridos no sentido que lhes está associado, permitem uma ligação entre a entrada e a saída; se um passo não toca mais do que uma vez em qualquer nó do grafo, então o passo designa-se por passo mínimo. Define-se corte de um conjunto de passos, como qualquer conjunto de ramos que, se retirados do grafo, interrompem todos os passos; se um corte contém o número mínimo de ramos para, quando retirados do grafo, interromper todos os passos, então designa-se por corte mínimo. 2. Cálculo da fiabilidade do sistema definido por um grafo Da análise da figura 1 podemos concluir que ao sistema nela representado estão associados 4 passos mínimos e 4 cortes mínimos, a seguir referidos: P = x x C = x x 1 1 2 1 1 3 P = x x C = x x 2 3 4 2 2 4 P = x x x C = x x x 3 1 5 4 3 1 5 4 P = x x x C = x x x 4 3 5 2 4 2 5 3 onde, Pi representa o passo mínimo i, Ci o corte mínimo i. Seja, ainda, C i o acontecimento correspondente à avaria dos componentes associados aos ramos que integram o corte mínimo i. Para que o sistema “funcione” basta que um qualquer dos passos mínimos esteja disponível, logo R representa a fiabilidade do sistema: x 1 x 3 x 2 x 4 2
( 1 2 3 4 ) ( ) R = P P + P + P + P = P x x + x x + x x x + x x x 1 2 3 4 1 5 4 3 5 2 Para que o sistema “não funcione” basta que os componentes que integram um qualquer corte mínimo não estejam disponíveis, logo Pf representa a probabilidade do sistema avariar: e porque teremos f ( 1 2 3 4 ) P = P C + C + C + C R + Pf = 1.0 ( 1 3 2 4 1 5 4 2 5 3) R = 1− P x x + x x + x x x + x x x Vemos assim que, se conhecermos os cortes mínimos associados a um conjunto de passos entre um conjunto de “entradas” e uma “saída”, é possível calcular a fiabilidade do sistema definido pelos passos referidos. Consideremos, agora, 3 acontecimentos quaisquer A, B e C; sabemos que P ( A + B + C) = P( A) + P ( B) + P ( C) − P( AB) − P ( AC) − P ( BC ) + P ( ABC) Se os três acontecimentos são mutuamente exclusivos, teremos que P ( A + B + C) = P ( A) + P ( B) + P ( C) De um modo geral,teremos que Sendo teremos que P ( A + B + C) ≤ P ( A) + P ( B) + P ( C) ( 1 2 ... n ) f ( 1 2 ... k ) R = P P + P + + P e P = P C + C + + C ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( 1) R ≤ P P + P P + P P + P P 1 2 3 ( 1) ( 2 ) ( 3 ) ... ( ) ( 2) P ≤ P C + P C + P C + P C f k É fácil verificar-se que as desigualdades (1) e (2) se aproximam tanto mais de igualdades quanto mais os valores de ( ) i P P e ( i ) n P C se aproximarem de zero. De facto, os termos que se omitem são produtos obtidos com factores que são os valores de ( ) i P P e ( i ) P C . 3
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