MÉTODO DOS CORTES MÍNIMOS

MÉTODO DOS CORTES MÍNIMOS
Edição Revista
Extraída de “ Fiabilidade em Sistemas Eléctricos de Energia”,
M. Ferreira de Oliveira, J. Borges Gouveia, J. Pereira da Silva, FEUP, 1980
FEUP, Abril de 2005
J. Luís P. Pereira da Silva
Professor associado da FEUP

1. Definições
MÉTODO DOS CORTES MÍNIMOS
Consideremos o sistema e o grafo associado representados na figura
1 2
ENTRADA SAÍDA ENTRADA
SAÍDA
5
x5 x5
3 4
Fig. 1 - Sistema constituído por 5 componentes e o grafo associado (o elemento 5 é considerado bidireccional)
Define-se passo (relativamente ao grafo) entre uma entrada e uma saída, como um qualquer
conjunto conexo de ramos, os quais percorridos no sentido que lhes está associado, permitem
uma ligação entre a entrada e a saída; se um passo não toca mais do que uma vez em qualquer nó
do grafo, então o passo designa-se por passo mínimo.
Define-se corte de um conjunto de passos, como qualquer conjunto de ramos que, se retirados do
grafo, interrompem todos os passos; se um corte contém o número mínimo de ramos para,
quando retirados do grafo, interromper todos os passos, então designa-se por corte mínimo.
2. Cálculo da fiabilidade do sistema definido por um grafo
Da análise da figura 1 podemos concluir que ao sistema nela representado estão associados 4
passos mínimos e 4 cortes mínimos, a seguir referidos:
P = x x C = x x
1 1 2 1 1 3
P = x x C = x x
2 3 4 2 2 4
P = x x x C = x x x
3 1 5 4 3 1 5 4
P = x x x C = x x x
4 3 5 2 4 2 5 3
onde, Pi representa o passo mínimo i, Ci o corte mínimo i. Seja, ainda, C i o acontecimento
correspondente à avaria dos componentes associados aos ramos que integram o corte mínimo i.
Para que o sistema “funcione” basta que um qualquer dos passos mínimos esteja disponível, logo
R representa a fiabilidade do sistema:
x 1
x 3
x 2
x 4
2

( 1 2 3 4 )
( )
R = P P + P + P + P
= P x x + x x + x x x + x x x
1 2 3 4 1 5 4 3 5 2
Para que o sistema “não funcione” basta que os componentes que integram um qualquer corte
mínimo não estejam disponíveis, logo Pf representa a probabilidade do sistema avariar:
e porque
teremos
f
( 1 2 3 4 )
P = P C + C + C + C
R + Pf
= 1.0
( 1 3 2 4 1 5 4 2 5 3)
R = 1−
P x x + x x + x x x + x x x
Vemos assim que, se conhecermos os cortes mínimos associados a um conjunto de passos entre
um conjunto de “entradas” e uma “saída”, é possível calcular a fiabilidade do sistema definido
pelos passos referidos.
Consideremos, agora, 3 acontecimentos quaisquer A, B e C; sabemos que
P ( A + B + C) = P( A) + P ( B) + P ( C) − P( AB) − P ( AC) − P ( BC ) + P ( ABC)
Se os três acontecimentos são mutuamente exclusivos, teremos que
P ( A + B + C) = P ( A) + P ( B) + P ( C)
De um modo geral,teremos que
Sendo
teremos que
P ( A + B + C) ≤ P ( A) + P ( B) + P ( C)
( 1 2 ... n ) f ( 1 2 ... k )
R = P P + P + + P e P = P C + C + + C
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( 1)
R ≤ P P + P P + P P + P P
1 2 3
( 1) ( 2 ) ( 3 ) ... ( ) ( 2)
P ≤ P C + P C + P C + P C
f k
É fácil verificar-se que as desigualdades (1) e (2) se aproximam tanto mais de igualdades quanto
mais os valores de ( )
i
P P e ( i )
n
P C se aproximarem de zero. De facto, os termos que se omitem
são produtos obtidos com factores que são os valores de ( )
i
P P e ( i )
P C .
3

Poderemos assim concluir que se as probabilidades de sucesso dos passos Pi, P ( P i ) , forem
valores próximos de zero a equação (1) é uma boa aproximação para o cálculo da fiabilidade do
sistema; esta equação seria aplicável em sistemas compostos por componentes muito pouco
fiáveis. Se as probabilidades P ( C i ) , i.e. as probabilidades dos componentes que constituem o
corte Ci estarem simultâneamente indisponíveis, forem valores pequenos, então a expressão
( 1) ( 2 ) ... ( ) ( 3)
P = P C + P C + + P C
f k
permitirá o cálculo de um valor para Pf (maior que o valor real, mas muito próximo dele) o qual
R R = 1− Pf
; saliente-se que este valor pessimista é
permitirá calcular um valor pessimista para ( )
contudo, um valor muito próximo do verdadeiro valor de R.
3. Interpretação das aproximações associadas à aplicação da teoria dos cortes mínimos
Consideremos ainda o exemplo representado na figura seguinte.
ENTRADA
1 2 1 2
3 4
Fig. 2 - Cortes mínimos associados ao sistema representado na figura 1
5
4
5
3
SAÍDA
A figura 2 representa, sob o ponto de vista de fiabilidade, o sistema associado à figura 1; este
novo sistema é constituído por agrupamentos de componentes ligados entre si “em série”; os
componentes que constituem cada um destes agrupamentos constituem os elementos de um corte
mínimo. Cada corte mínimo pode identificar-se com um modo de avaria do sistema;
efectivamente o sistema não funcionará se, por exemplo, os componentes 2 e 4 não estiverem
disponíveis.
Definam-se, agora, os seguintes acontecimentos:
C 1 - Componentes {1,3} indisponíveis
C 2 - Componentes {2,4} indisponíveis
C 3 - Componentes {1,5,4} indisponíveis
C 4 - Componentes {2,5,3} indisponíveis
Seja, tal como anteriormente, ( i )
P C a probabilidade de ocorrência do acontecimento C i .
4

Se os acontecimentos C i fossem mutuamente exclusivos, teríamos que
f
( 1) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
P = P C + P C + P C + P C
isto é, a indisponibilidade de um sistema seria a soma das indisponibilidades dos seus modos de
avaria. É óbvio, contudo, que os diferentes modos de avaria não são mutuamente exclusivos entre
si; consideremos, por exemplo, os acontecimentos C 2 e C 3 (suporemos que no sistema apenas
existem estes dois modos de avaria).
f
( 2 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 3 )
P = P C C = P C + P C − P C C
Note-se que P ( C2 C 3 ) representa a probabilidade de ocorrência simultânea dos acontecimentos
C 2 e 3
C ; estes dois acontecimentos ocorrem simultaneamente quando os componentes 1, 2, 4, 5
estão indisponíveis.
Em sistemas eléctricos a probabilidade de não funcionamento (indisponibilidade) de um
componente típico pode considerar-se 0,2, isto é, 20 % do tempo em que é requerido o seu
funcionamento. Admitindo que os componentes que integram os cortes 2 C e C 3 são idênticas,
teremos para o caso mais desfavorável que
( 2 3 ) ( ) ( ) ( )
0,04 + 0,008 = P ( C2 ) + P ( C3
)
2 3 4
P C + C = 0.2 + 0.2 − 0.2 = 0,04 + 0,008 − 0,0016
o que valida, em termos numéricos, a equação (3) através da qual calcularemos a fiabilidade de
sistemas eléctricos com recurso à teoria dos cortes mínimos.
4. Identificação sistemática dos modos de avaria de um sistema (ou determinação
sistemática dos cortes mínimos associados a um conjunto de passos)
A identificação dos cortes mínimos associados ao sistema representado na figura 1 foi feita por
simples inspecção. Este procedimento é possível apenas para sistemas com dimensão reduzida.
Considere-se, por exemplo, o sistema representado na figura 3.
2 3
ENTRADA 1
SAÍDA
4
Fig. 3 – Sistema simples para determinação dos cortes mínimos por inspecção
5
5

Procurando identificar os modos de avaria do sistema, verificamos facilmente que se perde a
continuidade entre a “entrada” e a “saída”, desde que:
- o componente 1 avarie
ou
- os componentes 2 e 4 estejam simultâneamente indisponíveis
ou
- os componentes 2 e 5 estejam simultâneamente indisponíveis
ou
- os componentes 3 e 4 estejam simultâneamente indisponíveis
ou
- os componentes 3 e 5 estejam simultâneamente indisponíveis
pelo que podemos afirmar que os cortes mínimos são os seguintes
{ 1 } , { 2, 4 } , { 2,5 } , { 3, 4 } , { 3,5}
C = C = C = C = C =
1 2 3 4 5
Para identificarmos por um processo sistemático os cortes mínimos acima referidos temos que
recorrer à definição de uma matriz que representa a topologia do sistema, sob o ponto de vista de
fiabilidade. Designaremos esta matriz por matriz dos passos e nela vão estar definidos os passos
(ou trajectos) existentes entre todas as “entradas” do sistema e a “saída” em consideração.
Para um sistema existirão tantas matrizes dos passos quantos os pontos (saídas) para os quais
queremos calcular os índices de fiabilidade. A matriz dos passos é uma matriz constituída por
“zeros” e “uns” (é uma matriz binária) com tantas linhas quantos os passos existentes entre as
“entradas” do sistema e a saída em consideração, e com tantas colunas quantos os elementos
(componentes) do sistema.
A existência de um 1 na posição (i,j) - linha i, coluna j – representa que o elemento (ou
componente) j, pertence ao passo i.
A matriz dos passos para o sistema representado na figura 3 é a seguinte:
Componentes 1 2 3 4 5
Passo - P1 1 1 1 0 0
Passo - P2 1 0 0 1 1
Em sistemas complexos não é fácil construir-se a matriz dos passos por inspecção. Existem,
contudo, algoritmos que nos permitem construir esta matriz a partir da descrição da estrutura
topológica do sistema em análise. Neste curso consideraremos que a matriz dos passos pode ser
obtida por inspecção, o que é verdadeiro para sistemas de média dimensão. Com recurso a esta
matriz calcularemos os modos de avaria (ou cortes mínimos) do sistema. Salientamos, mais uma
vez, que um conjunto de cortes mínimos está sempre associado a um conjunto de passos.
Determinaremos a seguir os cortes mínimos associados ao conjunto de passos definidos pela
matriz acima descrita.
6

Define-se “ordem de um corte” como o número de componentes que integram o corte. Assim,
designaremos por cortes de 1.ª, 2.ª e 3.ª ordem os cortes que são definidos por 1, 2 e 3
componentes, respectivamente.
Para que um componente defina um corte de 1.ª ordem é necessário que se esse componente
avariar sejam interrompidos todos os passos, isto é, o componente em causa terá de pertencer a
todos os passos, o que faz com que quando ele avaria sejam interrompidos todos os trajectos entre
as “entradas” e a “saída” em consideração. É agora evidente a seguinte conclusão:
- os componentes associados às colunas da matriz dos passos constituídas apenas por
elementos não nulos (valor um) definem todos os cortes de 1.ª ordem.
Os cortes de 1.ª ordem são, portanto, extremamente simples de determinar; basta que se
pesquisem as colunas da matriz dos passos e sempre que se encontre uma coluna só com
elementos não nulos, então o componente que lhe está associado define um corte de 1.ª ordem.
Para que dois componentes definam um corte de 2.ª ordem é necessário – repete-se a ideia – que
quando esses componentes avariem sejam interrompidos todos os passos; para que o corte
definido pelos dois componentes seja mínimo é necessário que não contenha nenhum corte de 1.ª
ordem, isto é, nenhum dos componentes que definem o corte mínimo pode constituir um corte de
1.ª ordem.
Vejamos, agora, o significado de um vector que represente a soma lógica de um qualquer
conjunto de colunas da matriz dos passos. Consideremos as três colunas seguintes de uma matriz
dos passos com quatro linhas (definem 4 passos):
coluna i coluna j coluna k
Passo 1 1 1 0
Passo 2 0 0 1
Passo 3 1 1 0
Passo 4 0 1 1
A análise dos vectores escritos permite-nos, imediatamente, saber que:
- o componente i pertence aos passos 1 e 3;
- o componente j pertence aos passos 1, 3 e 4;
- o componente k pertence aos passos 2 e 4.
Somando, logicamente, as colunas i e j, teremos:
( i) ( j) ( i + j)
1 1 1
0 0 0
+ =
1 1 1
0 1 1
7

Um outro modo de interpretar o significado das colunas i e j é dizer que:
- uma avaria do componente i causa a interrupção dos passos 1 e 3;
- uma avaria do componente j causa a interrupção dos passos 1, 3 e 4.
Das duas afirmações anteriores poderemos concluir que a indisponibilidade simultânea dos
componentes i e j causa a interrupção dos passos 1, 3 e 4. Salienta-se que esta última afirmação
pode fazer-se por simples inspecção do vector (i+j).
Do mesmo modo se pode concluir que:
( i) ( k ) ( i + k ) ( i) ( j) ( k ) ( i + j + k ) ( j) ( k ) ( j + k )
1 0 1 1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 1 0 1 1
+ = + + = + =
1 0 1 1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1
- a indisponibilidade simultânea dos componentes i e k interrompe os passos 1, 2, 3 e 4 (ver
vector (i+k)), ou seja todos os passos;
- a indisponibilidade simultânea dos componentes j e k interrompe os passos 1, 2, 3 e 4 (ver
vector (j+k)), ou seja todos os passos;
- a indisponibilidade simultânea dos componentes i, j e k interrompe igualmente todos os passos
(ver vector (i+j+k)).
De um modo geral pode afirmar-se que a análise do vector soma (lógica) de n vectores da matriz
dos passos permite identificar-se os passos que são interrompidos pela indisponibilidade
simultânea dos n componentes associados aos vectores parcelas. Se o vector soma for um vector
identidade a avaria simultânea dos n componentes causa a interrupção de todos os passos.
Na sequência do afirmado anteriormente pode concluir-se que os cortes de 2ª ordem são
identificados somando, logicamente, duas a duas as colunas da matriz dos passos; se o vector
soma for um vector identidade os componentes associados aos vectores parcela definem um corte
de 2ª ordem. Para que este corte seja mínimo é necessário que nele não estajam contidos cortes de
1ª ordem. Para evitar a identificação de cortes de 2ª ordem não mínimos é suficiente que se
anulem na matriz dos passos as colunas correspondentes a cortes de 1ª ordem, ou que, aquando
da soma dos vectores coluna dois a dois, não se considerem as combinações que englobem
colunas associadas a cortes de 1ª ordem.
Do mesmo modo para a identificação dos cortes de 3ª ordem basta que se somem, logicamente,
três a três todas as colunas da matriz dos passos; se o vector soma for um vector identidade os
componentes associados aos vectores parcela definem um corte de 3ª ordem. Para que este corte
seja mínimo é preciso que não contenha qualquer dos cortes mínimos de 1ª ou 2ª ordem já
identificados.
8

5. Exemplo de aplicação
Considere-se a sistema representado na figura 4:
6
7
1
2
8
5
3 4
Fig.4 - Esquema para determinação dos passos e cortes mínimos
A matriz dos passos, escrita por inspecção do esquema desenhado, é a seguinte:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Passo 1 1 1 1 1
Passo 2 1 1 1
Passo 3 1 1 1
Passo 4 1 1 1
Passo 5 1 1 1 1 1
Passo 6 1 1 1 1
Passo 7 1 1 1
Passo 8 1 1 1 1
Passo 9 1 1 1
Da análise da matriz escrita pode concluir-se que não existem cortes de 1ª ordem, isto é, a avaria
de um qualquer componente não interrompe, por si só, a continuidade entre os pontos de
alimentação e o ponto de consumo. Adicionando as colunas da matriz escrita, duas a duas,
também se conclui que não existem cortes de 2ª ordem, isto é, a sobreposição de duas quaisquer
avarias não provoca, por si só, a interrupção da continuidade de serviço entre os pontos de
alimentação e o ponto de consumo. O aluno identificará, facilmente, os seguintes cortes de 3ª
ordem:
9
10
9

{1,3,4} {2,3,4} {6,8,9} {6,8,10} {7,8,9} {7,8,10} {1,5,9} {1,5,10} {2,5,9} {2,5,10}
Neste curso supõe-se desprezável a probabilidade de ocorrência de acontecimentos definidos por
cortes de ordem superior à 3ª (note-se contudo que, por exemplo, {3,5,6,8} é um corte de 4ª
ordem).
6. Passos normalmente abertos
Em sistemas eléctricos existem componentes que podem estar em funcionamento normal (isto é,
sob tensão) em dois estados diferentes: o estado “aberto” ou o estado “fechado”. Por outras
palavras, pode dizer-se que existem componentes que se encontram “normalmente abertos” ou
“normalmente fechados”; estão neste caso os disjuntores e os seccionadores. A existência de
componentes normalmente abertos permite que, quando necessário, se obtenham configurações
de recurso na exploração do sistema eléctrico.
Consideraremos no que se segue que, na figura 4, o componente 5 é um disjuntor normalmente
aberto. Procuraremos, a seguir, identificar os modos de avaria do sistema. Um pouco de reflexão
permite-nos já concluir que os modos de avaria que vamos procurar determinar se podem agrupar
em duas classes:
- os modos de avaria que só podem ser eliminados pela conclusão de uma acção de
reparação;
- os modos de avaria que podem ser eliminados por simples operações de fecho de
componentes normalmente abertos.
Para que se identifiquem os modos de avaria dum sistema com componentes normalmente
abertos, começa por se escrever a matriz dos passos, associada ao ponto de consumo que se
estuda, admitindo que todos os componentes estão fechados; para o exemplo da figura 4
escrevemos já esta matriz dos passos.
Os passos assim identificados podem dividir-se em dois grupos: passos normalmente fechados e
passos normalmente abertos; um passo diz-se normalmente aberto quando contém pelo menos
um componente normalmente aberto. A matriz dos passos divide-se, a seguir, em duas
submatrizes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Passo 1 1 1 1 1
Passo 2 1 1 1
Passo 3 1 1 1
Passo 4 1 1 1
Passo 5 1 1 1 1 1
Passo 6 1 1 1 1
Passo 7 1 1 1
Passo 8 1 1 1 1
Passo 9 1 1 1
Submatriz dos passos
normalmente fechados
Submatriz dos passos
normalmente abertos
10

É óbvio que se verifica uma interrupção na continuidade de serviço, entre os pontos de
alimentação e o ponto de consumo em estudo, desde que todos os passos normalmente fechados
sejam interrompidos por um qualquer acontecimento. Já vimos que identificação dos
acontecimentos que provocam a interrupção de um conjunto de passos se pode fazer calculando
os cortes mínimos associados à matriz dos passos definida pelo conjunto dos passos em
consideração. Para o exemplo que temos vindo a usar, é fácil identificar os seguintes cortes
mínimos associados à submatriz dos passos normalmente fechados:
{1,9} {1,10} {2,9} {2,10} {1,3,4} {2,3,4} {6,8,9} {6,8,10} {7,8,9} {7,8,10}
Qualquer acontecimento definido pela sobreposição de avarias nos componentes associados a
qualquer dos cortes identificados interrompe a continuidade de serviço entre os pontos de
alimentação e o ponto de consumo; ficam assim definidos os modos de avaria do sistema.
Importa, agora, associar a cada modo de avaria identificado o tipo de restabelecimento de serviço
que é possível.
Os cortes identificados que também “cortam” os passos normalmente abertos definem
acontecimentos que só podem ser eliminados pela conclusão de uma acção de reparação.
Os cortes identificados que não “cortam” todos os passos normalmente abertos definem
acontecimentos que podem ser eliminados fechados qualquer dos passos normalmente abertos
que não são “cortados.”
Para o exemplo que temos vindo a considerar, verifica-se que os cortes
{1,3,4} {2,3,4} {6,8,9} {6,8,10} {7,8,9} {7,8,10}
“cortam” todos os passos normalmente abertos; estes cortes serão designados neste curso por
cortes do tipo A.
Os cortes
{1,9} {1,10} {2,9} {2,10}
não “cortam” todos os passos normalmente abertos; a estes cortes atribuiremos a designação
convencional de cortes do tipo B.
7. Cálculo dos índices de fiabilidade para cortes do tipo A
Atribuiu-se já a designação de cortes do tipo A aos cortes que definem modos de avarias que só podem
ser eliminados através da conclusão de uma acção de reparação.
Suponhamos que i
λ e i
r representem a taxa de avarias (ano -1 ) e o tempo médio de reparação (anos) do
componente i ; admitamos ainda que foram identificados n1 cortes de 1ª ordem, n2 cortes de 2ª ordem e
n3 cortes de 3ª ordem, todos do tipo A.
11

Apresentam-se a seguir as equações que permitem calcular os índices de fiabilidade do sistema
correspondentes a modos de avaria só elimináveis através da conclusão de acções de reparação. Deixase
para o aluno a justificação das expressões que se escrevem.
Cortes tipo A
a) Cortes de 1.ª ordem: componente i avariado
De cada corte Total
λ = λ λ = λ
A1 i AT1 A1
r = r U = U
A1 i AT1 A1
U = λ r r = U λ
A1 A1 A1 AT1 AT1 AT1
b) Cortes de 2.ª ordem: componentes i e j avariados
De cada corte Total
( r r )
λ = λ λ + λ = λ
A2 i j i j AT 2 A2
r r
r U U
n2
i j
A2 = AT 2 = A2
ri + rj
U = λ r r = U λ
A2 A2 A2 AT 2 AT 2 AT 2
c) Cortes de 3.ª ordem: componentes i, j e k avariados
De cada corte Total
( r r r r r r )
λ = λ λ λ + + λ = λ
A3 i j k i j i k j k AT 3 A3
r r r
r U U
n3
i j k
A3 = AT 3 = A3
ri rj + ri rk + rj rk
U = λ r r = U λ
A3 A3 A3 AT 3 AT 3 AT 3
Para um sistema qualquer os índices de fiabilidade correspondentes aos modos de avaria só
elimináveis com recurso a acções de reparação são dados por:
n1
n1
n2
n3
12

λ = λ + λ + λ
SR AT1 AT 2 AT 3
U = U + U + U
SR AT1 AT 2 AT 3
r = U
λ
SR SR SR
8. Cálculo dos índices de fiabilidade para cortes do tipo B
A designação de cortes do tipo B foi atribuída aos cortes que definem modos de avaria que podem ser
eliminados fechando passos normalmente abertos. Saliente-se que se os passos normalmente abertos
avariarem enquanto estiverem em funcionamento, ou se não for possível o seu fecho (os componentes
normalmente abertos podem “ encravar “ quando se desejar o seu fecho) então a continuidade de
serviço só pode ser restabelecida após uma acção de reparação. O modelo matemático a utilizar tem
que incorporar a lógica de restabelecimento de serviço atrás definida.
Seja B um dos acontecimentos que definem modos de avaria de um sistema que podem ser eliminados
fechando passos normalmente abertos; o acontecimento B será, portanto, definido pela
indisponibilidade simultânea dos componentes que integram qualquer corte de tipo B (de 1ª, 2ª ou 3ª
ordem).
Se admitirmos que conhecemos:
λ B - taxa de ocorrência do acontecimento B
r B - duração média de ocorrência do acontecimento B
U - indisponibilidade média associada ao acontecimento B
B
e que existem nB acontecimentos definidos por cortes do tipo B, teremos que os índices de
fiabilidade correspondentes aos modos de avaria que podem ser eliminados fechando passos
normalmente abertos, serão dados por:
nB nB
λ = λ U = U r = U λ
SF B SF B SF SF SF
Vamos agora definir dois acontecimentos RD e RI, complementares e mutuamente exclusivos,
com o seguinte significado:
RD – os passos normalmente abertos estão disponíveis quando o seu funcionamento é
requerido (recurso disponível);
RI – os passos normalmente abertos não estão disponíveis quando o seu funcionamento é
requerido (recurso indisponível).
13

Calculemos a seguir λ B e U B para cada uma das situações definidas pelos acontecimentos RD e
RI; designaremos as grandezas que vamos calcular, respectivamente por λ , , U , e
λ
,
U
B, RI B, RI
B RD B RD
a) Cálculo da taxa de ocorrência e da indisponibilidade correspondentes ao acontecimento B
admitindo que RD se verifica.
Se RD se verifica poderemos concluir que quando um acontecimento do tipo B ocorre é sempre
possível eliminá-lo fechando um passo normalmente aberto; quando identificamos o corte do tipo
B identificamos também os passos normalmente abertos não “cortados” perto do corte em
consideração. A cada um destes passos disponíveis para a realimentação da carga, corresponde
um tempo de fecho; seja Tf o mínimo dos tempos de fecho associados aos passos normalmente
abertos que não são “cortados” pelo corte B.
i) Suponhamos que B é um corte de 1.ª ordem, constituído pelo componente i. Neste caso é
óbvio que:
λ = λ = = λ
B, RD i rB, RD Tf UB, RD i Tf
ii) Suponhamos que B é um corte de 2.ª ordem, constituído pelos componente i e j. O aluno
verificará facilmente que:
λ = λ λ +
r
( r r )
( r ) ( r )
B, RD i j i j
B, RD
λi λ j i ri T λ f j λi
j rj Tf
= +
λ r + T λ r + T
U = λ r
B, RD B, RD B, RD
B, RD i f B, RD j f
iii) Suponhamos que B é um corte de 3.ª ordem, constituído pelos componente i, j e k. De modo
análogo teremos:
r r r r
λ = λ λ λ + λ λ λ
( r ) ( r )
i j j i
a i j i k
ri + rj j i j k
rj + ri
r r r r
λ = λ λ λ + λ λ λ
( r ) ( r )
i k k i
b i k i j
ri + rk k i k j
rk + ri
r r r r
λ = λ λ λ + λ λ λ
( r ) ( r )
j k k j
c j k j i
rj + rk k j k i
rk +
rj
14

λ = λ + λ + λ
r
B, RD a b c
B, RD
λ ri rj T a f λ r b i rk Tf λ r c
j rk Tf
= + +
λ r r + r T + r T λ r r + r T + r T λ r r + r T + r T
U = λ r
B, RD i j i f j f B, RD i k i f k f B, RD j k j f k f
B, RD B, RD B, RD
b) Cálculo da taxa de ocorrência e da indisponibilidade correspondentes ao acontecimento B
admitindo que RI se verifica.
Se o acontecimento RI se verifica tal é equivalente a dizer-se que sempre que B ocorre não é
possível realimentar a carga com recurso aos passos normalmente abertos; nesta hipótese tudo se
passa como se os passos normalmente abertos não existissem. Pode, portanto, concluir-se que
λ , r , U serão obtidos pelas expressões já obtidas para os cortes do tipo A.
B, RI B, RI B, RI
c) Cálculo da taxa de ocorrência e da indisponibilidade correspondentes ao acontecimento B
Sendo P(B), P(RD) e P(RI) as probabilidades de ocorrência dos acontecimentos B, RD, RI e
atendendo ao modo como RD e RI foram definidos, são verificadas as condições de
aplicabilidade do teoremo de Bayes, logo
o que nos permite escrever
uma vez que
P ( B) = P ( B RD) P ( RD) + P ( B RI ) P ( RI )
( ) ( )
U = U P RD + U P RI
B B, RD B, RI
P ( RD) + P ( RI ) = 1
basta-nos calcular o valor de P(RI), isto é, a probabilidade dos passos normalmente abertos não
“cortados” pelo corte B não estarem disponíveis quando o seu funcionamento é requerido.
A teoria dos cortes mínimos na sua forma mais simples, considerando apenas cortes do tipo A,
permite-nos calcular um componente “equivalente” a um dado conjunto de passos; suponhamos
que os índices de fiabilidade do “componente equivalente” aos passos normalmente abertos não
“cortados” pelo corte são λ R , r R e U R .
15

Se admitirmos que no sistema em análise não se encontram simultaneamente fora de serviço, por
avaria, mais do que 3 componentes, para o cálculo de λ R , r R e U R apenas consideraremos:
- cortes de 1ª ordem se B for um corte de 2ª ordem;
- cortes de 1ª e 2ª ordem se B for um corte de 1ª ordem
e consideraremos que λ R e U R são iguais a zero se B for um corte de 3ª ordem.
Seja, ainda, Pe a probabilidade de os componentes normalmente abertos não fecharem
(probabilidade de encravamento) quando se opera a manobra de fecho dos passos de recurso.
Poder-se-iam escrever várias expressões para cálculo de P(RI), cada uma delas função de
hipóteses que se formulariam. Na expressão que escreveremos admite-se que as componentes
pertencentes aos passos normalmente abertos têm uma taxa de avarias constante e, portanto,
independente do estarem ou não em serviço; considera-se ainda que o encravamento de um
componente é um modo de avaria independente dos modos de avaria associados à taxa de avarias
definida para os componentes.
Teremos então que:
P ( RI ) = Pe + UR
λ . Observe-se que nas expressões escritas anteriormente B, RD B, RI
Resta-nos agora calcular B
deixando-se aos alunos a justificação do porquê desta igualdade.
λ = λ ,
A taxa de ocorrência do acontecimento B será definida pela taxa de solicitação dos passos
λ ) adicionada ao número de interrupções de serviço
normalmente abertos ( λ B, RD ou B, RI
resultantes de avarias nos passos normalmente abertos, enquanto o funcionamento destes é
requerido.
O tempo médio durante o qual é requerido o funcionamento dos passos normalmente abertos, ra,
é dado por:
ra = ri
, se B é um corte do tipo {i}
r
r
a
a
ri rj
= , se B é um corte do tipo {i , j}
r + r
i j
ri rj rk
=
, se B é um corte do tipo {i, j, k}
r r + r r + r r
i j i k j k
16

Teremos, então, que:
( ) ( )
U = U 1−
P + U + U P + U
B B, RD e R B, RI e R
( )
λ = λ + λ − λ P λ r
B B, RD B, RD B, RD e R a
r = U
λ
B B B
9. Avarias activas e avarias passivas
Em tudo quanto se estudou anteriormente considerou-se que um componente pode residir em 2
estados: o estado de avaria e o estado de funcionamento (ver figura 5)
λ
F A
µ = 1 / r
λ - taxa de avarias
r - tempo médio de reparação
Fig. 5 - Componente residindo em 2 estados – Diagrama de Markov
De acordo com um critério que a seguir se apresenta vamos agora dividir o estado de avaria em
dois estados, que designaremos por “estado de avarias passivas, AP” e por “estado de avarias
activas, AA” (ver figura 6).
F
µ = 1/r
λ
λ p
λ a
AP
AA
Fig. 6 - Componente residindo em 3 estados
A figura 7 pode considerar-se equivalente à figura 6, uma vez que λ = λp +
λa
1/S
17

F
µ
λ a
λ p
AP
AA
Fig. 7 - Componente residindo em 3 estados
A simples análise do diagrama de Markov da figura 7 revela-nos que as acções de reparação só se
iniciam no estado AP e que o estado AA é um estado transitório, entre os estados F e AP, onde o
componente reside apenas durante o tempo médio S.
Diz-se que um componente se encontra num estado de avaria passiva se o componente se
encontra avariado e se nenhum outro componente do sistema está necessariamente fora de serviço
como consequência da avaria ocorrida. Um componente encontra-se num estado de avaria activa
se o componente se encontra avariado e, como consequência da avaria ocorrida, se encontram
necessariamente fora de serviço outros componentes do sistema.
Suponhamos, por exemplo, que num transformador se verifica uma ruptura no isolamento
fazendo com que se estabeleça um circuito de baixa impedância entre um enrolamento e a terra:
diremos, então, que ocorreu uma avaria no transformador. Porque se trata de uma avaria que
provoca um curto-circuito existem órgãos de protecção (fusíveis ou disjuntores) que interropem a
corrente de defeito abrindo os seus contactos; nestas circunstâncias verifica-se que o
transformador está avariado e que os correspondentes órgãos de protecção abriram os seus
contactos, encontrando-se por isso fora de serviço: diz-se, então, que o transformador se encontra
activamente avariado.
Antes de iniciar a acção de reparação do transformador retira-se ou isola-se este componente do
sistema, deixando assim de existir um defeito no sistema. Uma vez que já não exista qualquer
defeito no sistema os orgãos de protecção podem, se tal fôr conveniente, ser fechados; a partir do
instante em que estes orgaõs podem ser fechados diz-se que o transformador passou a estar
passivamente avariado. Ao intervalo de tempo que decorre entre o instante em que verifica a
avaria e o instante em que os orgãos de protecção podem ser fechados chama-se tempo de
isolamento do componente avariado; imediatamente após o tempo de isolamento é possível
iniciar a acção de reparação com vista à eliminação do defeito no componente.
Consideremos um outro tipo de avarias. Suponhamos que um disjuntor abre intempestivamente,
por uma avaria no seu circuito de disparo.
Porque como consequência da ocorrência desta avaria não há qualquer outro componente que,
ainda que por pouco tempo, fique necessariamente fora de serviço, diz-se que o componente
transitou directamente do estado de funcionamento para o estado de avarias passivas.
Após a análise dos exemplos anteriores, aconselha-se o aluno a reexaminar as figuras 6 e 7.
1/S
18

10. Avarias que podem ser eliminadas por acções de isolamento
Nas secções seguintes destes apontamentos adoptaremos uma notação diferenciada para os
diferentes tipos de avarias:
iA – componente i encontra-se activamente avariado
iP – componente i encontra-se passivamente avariado
iT – componente i avariado (activa ou passivamente)
Consideremos, por exemplo, o seguinte corte de 2.ª ordem do tipo A: componentes i e j
avariados.
Obviamente, com a frase anterior, queremos significar iT e jT, ou simplesmente {iT, jT}; o
acontecimento referido pode ainda traduzir-se por {i(P ou A), j(P ou A)}.
É ainda evidente a seguinte igualdade:
{iT, jT} = {iP, jP} ∪ {iA, jP} ∪ {iP, jA} ∪ {iA, jA}
Acabamos, assim, de decompor um acontecimento de 2ª ordem em quatro acontecimentos,
também de 2ª ordem.
Porque os efeitos de uma avaria activa são iguais ou mais graves do que os efeitos de uma avaria
passiva, poderemos concluir que: se {iP, jP} provoca a perda da carga então {iA, jP}, {iP, jA} e
{iA, jA} também provocam a perda da mesma carga.
A metodologia de determinação dos cortes dos tipos A e B não considera a saída de serviço de
componentes como consequência de avarias em outros componentes, ou seja, apenas analisa os
efeitos de avarias passivas. Contudo o exemplo anterior ajuda-nos a compreender que se {iP, jP}
é um corte, então {iT, jT} também constitui um corte do sistema visto do ponto de consumo em
consideração. Esta afirmação permite-nos concluir que nas expressões escritas nas secções
anteriores as taxas de avarias que nelas se consideram são as taxas de avarias totais, isto é a soma
das taxas de avarias passivas e activas.
Do mesmo modo se nota que:
{iA, jP} corte {iA, jT} corte
{iP, jA} corte {iT, jA} corte
Teremos assim que para avarias em dois componentes poderemos ter os seguintes tipos de cortes
{iT, jT} , {iA, jT}, {iT, jA} e {iA, jA}
Quer isto dizer que na definição dos cortes possíveis envolvendo dois componentes nunca
aparecem avarias passivas (o mesmo é válido para cortes envolvendo um qualquer número de
componentes). Daí resulta que apenas falaremos em avarias e taxa de avarias (para significar
19

avarias totais e taxa de avarias totais) e em avarias activas e taxa de avarias activas, nunca nos
referindo especificamente a avarias passivas nem a taxa de avrias passivas.
Porque o tempo de residência de um componente no estado de avarias activas corresponde ao
tempo necessário para isolar esse componente do sistema, consideraremos no modelo matemático
que vamos estudar que este tempo de isolamento é sempre pequeno (< 1 hora). Desta afirmação
resulta que poderemos desprezar a probabilidade de sobreposição de duas avarias activas.
Estamos agora em condições de concluir que com 1, 2 ou 3 componentes poderemos ter os
seguintes tipos de acontecimentos:
{i T} {i A}
{iT, jT} {iA, jT} , {iT , jA}
{iT, jT, kT} {iA, jT, kT} , {iT , jA , kT} , {iT, jT, kA}
Já aprendemos a identificar, assim como a calcular os correspondentes índices de fiabilidade dos
cortes que não contêm explicitamente avarias activas.
Todos os modos de avaria que compreendem explicitamente uma avaria activa podem ser
eliminados isolando o componente activamente avariado. De facto, se {iA, jT}, por exemplo, é
um modo de avaria (corte mínimo) tal significa que este acontecimento não contém qualquer
outro acontecimento que também seja um modo de avaria; vimos já que os efeitos de {iA, jT}
contêm os efeitos de {iP, jT}, logo se {iA, jT} é um modo de avaria, então {iP, jT} não pode ser
um modo de avaria ou, o que é equivalente, {iT, jT} não constitui um corte de 2ª ordem do tipo A
ou B. Como a transição de {iA, jT} para {iP, jT} se consegue isolando o componente i, podemos
afirmar que o modo de avaria {iA, jT} pode ser eliminado isolando o componente i ou
concluindo a reparação do componente j.
Aos modos de avaria que podem ser eliminados por acções de isolamento vamos fazer
corresponder a designação de cortes do tipo C. Sempre que um acontecimento possa,
simultâneamente ser eliminado por acções de isolamento ou por acções de manobra (fecho de
passos normalmente abertos) admitiremos que procedemos à sua eliminação sem recorrer aos
passos normalmente abertos; este pressuposto permite-nos não considerar a submatriz dos passos
normalmente abertos aquando da identificação dos cortes do tipo C.
11. Identificação dos cortes mínimos do tipo C
A identificação dos cortes do tipo C faz-se por simulação de avarias activas. Uma vez que
consideramos desprezável a probabilidade de sobreposição de duas ou mais avarias activas
limitamo-nos a simular sequencialmente, uma avaria activa em cada um dos componentes do
sistema. Referimos já na secção anterior que ao identificar-se este tipo de cortes não se considera
a possibilidade de restabelecimento da continuidade se serviço com recurso a passos
normalmente abertos.
Portanto, sempre que a seguir se fala em matriz dos passos pretendemos significar, no caso geral,
matriz dos passos normalmente fechados.
20

a) Identificação dos cortes do tipo C de 1ª ordem
Suponhamos que estamos a simular uma avaria activa no componente i. Antes do início da
simulação verifica-se se i é um corte de 1ª ordem do tipo A ou B; se fôr não se procede à
simulação passando-se para a simulação de avarias no componente seguinte; se i não é um corte
de 1ª ordem do tipo A ou B consideram-se fora de serviço o componente i e todos os
componentes que “abrem” quando ocorre uma avaria activa no componente i ( estes componentes
constituem o que se designa por zona de protecção do componente i).
Conhecendo-se os componentes que estão fora de serviço pode a seguir identificar-se os passos
que são interrompidos; se todos os passos forem interrompidos, então i activamente avariado (iA)
é um corte de 1ª ordem do tipo C.
b) Identificação dos cortes do tipo C de 2ª ordem
Se ao simular uma avaria activa no componente i se verifica que apenas alguns passos são
interrompidos, então divide-se matriz dos passos em duas submatrizes: a submatriz dos passos
não interrompidos e a submatriz dos passos interrompidos como consequência de uma avaria
activa no componente i. Identificam-se, a seguir, os cortes mínimos de 1ª ordem associados à
submatriz dos passos não interrompidos; admita-se que j é um destes cortes.
Se j não for um corte de 1ª ordem dos tipos A ou B e se (i, j) não constituir um corte de 2ª ordem
dos tipos A ou B, então (iA,jT), constitui um corte de 2ª ordem do tipo C.
c) Identificação dos cortes do tipo C de 3ª ordem
Após a identificação dos cortes de 2ª ordem do tipo C identificam-se, a seguir, os cortes mínimos
de 2ª ordem associados à submatriz dos passos não interrompidos pela simulação de uma avaria
activa no componente i; admita-se que (j,k) é um destes cortes.
Se (j,k) não for um corte de 2ª ordem dos tipos A ou B e se (i,j,k) também não for um corte de 3ª
ordem dos tipos A ou B, então (iA,jT,kT) constitui um corte de 3ª ordem do tipo C.
12. Cálculo dos índices de fiabilidade dos cortes do tipo C
Para além das notações já introduzidas anteriormente suponha-se que:
λ ai , representa a taxa de avarias activas do componente i;
i
S , representa o tempo de isolamento do componente i (tempo de decisão mais tempo
necessário ao isolamento eléctrico).
21

a) Cortes de 1.ª ordem: componente i activamente avariado {i A}
De cada corte Total
λ = λ λ = λ
C1 ai CT1 C1
r = S U = U
C1 i CT1 C1
U = λ S = λ r r = U λ
C1 ai i C1 C1 CT1 CT1 CT1
b) Cortes de 2.ª ordem: componente i activamente avariado e componente j avariado {i A, j}
De cada corte Total
( S ) ( r )
λ = λ λ + λ λ λ = λ
C 2 ai j i j ai j CT 2 C 2
S r
r U U
n2
i j
C 2 = CT 2 = C 2
Si + rj
U = λ r r = U λ
C 2 C 2 C 2 CT 2 CT 2 CT 2
c) Cortes de 3.ª ordem: componente i activamente avariado e componente j e k avariados
{i A, j, k}
De cada corte
S r S r
λ = λ λ λ + λ λ λ +
n1
n1
n2
( S ) ( S )
i j i k
C3 ai j i k
Si + rj ai k i j
Si + rk
r S r r
λ λ λ + λ λ λ +
( r ) ( r )
j i j k
j ai j k
rj + Si j k j ai
rj + rk
r S
λ λ λ λ λ λ
k i
( r ) ( r )
k j
k ai k j + k j k ai =
rk + Si rk + rj
( S r S r r r )
= λ λ λ + +
ai j k i j i k j k
r r
S r r
r = U = λ r
i j k
C3 Si rj + Si rk +
rj rk
C3 C3 C3
22

Total
n3 n3
λ = λ U = U r = U λ
CT 3 C3 CT 3 C3 CT 3 CT 3 CT 3
Para um sistema qualquer os índices de fiabilidade correspondentes a modos de avaria que podem
ser eliminados por acções de isolamento são dados por:
λ λ λ λ
SI = CT1 + CT 2 + CT 3
USI = UCT1 + UCT 2 + UCT
3
rSI = USI
λSI
13. Identificação de cortes mínimos do tipo D
Dissemos na secção anterior que para simularmos uma avaria activa consideramos fora de serviço
não só o componente cuja avaria activa se simula mas também os componentes que “abrem”
quando a avaria activa ocorre.
7
2
1
3
L1
L2
4
6
5
8
9
10
11
Fig. 8 - Esquema unifilar para identificação de cortes do tipo D
23

Assim, por exemplo, ao simularmos uma avaria no componente 8 (figura 8) considera-se que os
disjuntores 3 e 6 “abrem”, o que equivale a considerar fora de serviço, durante o tempo de
isolamento do componente 8, os componentes 3, 6 e 8. Se estivermos a calcular os indices de
fiabilidade associados à carga alimentada pelo barramento 7, facilmente se conclui que 8A
constitui um corte de 1ª de ordem do tipo C.
Acabada a simulação correspondente ao componente 8, passaremos a similar uma avaria activa
no componente 9; a simulação de 9A equivale a considerar fora de serviço os componentes 8 e 9,
verificando-se que os dois passos que alimentam o barramento 7 se mantêm inalterados: isto
significa que 9A não è corte de 1ª ordem.
É agora oportuno levantar-se a seguinte questão: quais as consequências da não actuação do
disjuntor 8 quando ocorre uma avaria activa no componente 9? A resposta a esta pergunta passa
pela consideração de um modo de avaria dos componentes já abordado aquando da identificação
dos cortes do tipo B: o encravamento de componentes (tipicamente disjuntores ou seccionadores)
quando solicitados a operar.
Define-se probabilidade de encravamento, Pe, de um destes componentes como sendo o limite
para que tende o quociente ne/ns quando ns → ∞ onde, ns representa o número de solicitações
para actuar e ne representa o número de encravamentos verificados, isto é, o número de vezes que
o componente não actuou tendo sido solicitado a actuar ns vezes.
Se o componente 8 não actua (não abre) quando ocorre uma avaria activa no componente 9
actuarão os componentes que protegem o componente 8, ou seja, actuarão os componentes 3 e 6.
Verifica-se assim que quando a uma avaria activa do componente 9 se sobrepõe o encravamento
do disjuntor 8 há perda de continuidade de serviço para o barramento 7, uma vez que os
disjuntores 3 e 6 “abrem”.
A duração deste modo de avaria corresponde ao tempo de isolamento do transformador 9; tratase,
portanto, de um modo de avaria que pode ser eliminado por uma acção de isolamento, embora
causada pelo encravamento de um componente. A este tipo de modos de avaria, causados por
encravamento de um orgão de protecção mas que podem ser eliminados por acções de
isolamento, fazemos corresponder um tipo de cortes, que designaremos por cortes do tipo D.
A identificação dos cortes do tipo D faz-se simultâneamente com a identificação dos cortes do
tipo C. É fácil concluir-se que não existem cortes de 1ª ordem do tipo D, uma vez que este tipo de
cortes envolve, pelo menos, dois componentes: o componente activamente avariado e o
componente encravado.
a) Identificação dos cortes do tipo D de 2ª ordem
Suponhamos, no que se segue, que a “zona de protecção” do componente i é definida pelos
componentes (k,l,m), que a zona de protecção do componente k é definida por (k1, k2, k3), a do
componente 1 por (l1, l2, l3) e a do componente m por (m1, m2, m3).
Admitamos ainda que estamos a simular uma avaria activa no componente i; já afirmamos
anteriormente que só fazíamos esta simulação se i não for um corte de 1ª ordem dos tipos A ou B.
24

Se iA não for um corte de 1ª ordem do tipo C, isto é, se os componentes (i, k, l, m) fora de
serviço não interromperem todos os passos, passaremos à pesquisa dos cortes, do tipo D de 2ª
ordem definidos por iA e por um qualquer dos componentes k, l ou m encravados. Simularemos,
portanto, os seguintes acontecimentos:
iA, kE
iA, lE
iA, mE
se e só se i não for um corte dos tipos A ou B, e iA não for um corte do tipo C.
A simulação de (iA, kE) corresponde à saída de serviço dos componentes (i, k1, k2, k3, l, m); do
mesmo modo a simulação de (iA,lE) e (iA, mE) corresponde à saída de serviço dos componentes
(i, k, l1, l2, l3, m) e (i, k, l, m1, m2, m3), respectivamente. A cada uma das simulações atrás
referidas corresponde a saída de serviço de um conjunto de componentes facilmente identificável;
se em qualquer destas simulações todos os passos forem interrompidos conclui-se que o
acontecimento que lhe está associado é um corte de 2ª ordem do tipo D.
b) Identificação dos cortes do tipo D de 3ª ordem
Suponhamos que fomos conduzidos à simulação de (iA, kE) e que a saída de serviço dos
componentes (i, k1, k2, k3, l, m) não interrompe todos os passos de alimentação da carga, isto é
(iA, kE) não é um corte de 2ª ordem do tipo D. Nestas circunstâncias deveremos identificar, a
seguir, os cortes de 1ª ordem associados aos passos que não foram interrompidos pela simulação
de (iA, kE).
Se (p) for um destes cortes e se (p) não constituir um corte de 1ª ordem dos tipos A ou B, então
(iA, kE, pT) constitui um corte de 3ª ordem do tipo D.
14. Cálculo dos índices de fiabilidade dos cortes do tipo D
a) Cortes de 2.ª ordem: componente i activamente avariado e componente k encravado
{i A, k E}
De cada corte Total
λ = λ P
λ = λ
D2 ai ek DT 2 D2
r = S U = U
D2 i DT 2 D2
U = λ S = λ r r =
U λ
D2 ai i D2 D2 DT 2 DT 2 DT 2
n2
n2
25

) Cortes de 3.ª ordem: componente i activamente avariado, componente k encravado e
componente p avariado{i A, k E, pT}
De cada corte Total
( ) ( )
λ = λ P λ S + λ λ P r λ = λ
D3 ai ek p i p ai ek p DT 3 C3
S r
r U U
n3
i p
D3 = DT 3 = D3
Si + rp
U = λ r r = U λ
D3 D3 D3 DT 3 DT 3 DT 3
Do mesmo modo que para os outros tipos de cortes poderemos agora escrever os índices de
fiabilidade correspondentes aos modos de avaria causados por um componente encravado e que
podem ser eliminados por uma acção de isolamento
λ = λ + λ
SE DT 2 DT 3
U = U + U
SE DT 2 DT 3
r = U
λ
SE SE SE
15. Cálculo dos índices de fiabilidade do sistema
Nas secções anteriores apresentamos a lógica e as expressões que nos permitem identificar os
modos de avaria de um sistema visto de um ponto de consumo (nó carga) e calcular os
correspondentes índices de fiabilidade.
Conhecidos os índices de fiabilidade totais para os cortes dos tipos A, B, C e D, os índices de
fiabilidade globais para o nó carga em análise, λ s , s U e rs serão:
λ λ λ λ λ
n3
S = SR + SF + SI + SE
US = USR + USF + USI + USE
rS = US
λS
onde, λ s é a taxa de saídas de serviço, s U a indisponibilidade e rs o tempo médio de reposição do
serviço do sistema, para o nó carga em análise.
26

Note-se que em todas as expressões apresentadas se supôs que as taxas de avarias totais e activas,
os tempos médios de reparação e os tempos médios de isolamento dos componentes estão
expressos em unidades coerentes, por exemplo, as taxas em (ano -1 ) e os tempos médios em (ano).
Neste caso os valores resultantes para os índices de fiabilidade dos diversos modos de avaria
(parciais ou totais) e os índices de fiabilidade do sistema virão expressos nas mesmas unidades,
ou seja, as taxas em (ano -1 ) e os tempos médios em (ano), sendo os valores das indisponibilidades
adimensionais.
27