Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

4. Algoritmos gulosos
Implementação
Algoritmo 4.5 (Seqüenciamento de intervalos)
Entrada Um conjunto de intervalos S = {[ci, fi] | 1 ≤ i ≤ n}, cada com
começo ci e fim fi tal que ci < fi.
Saída Um conjunto máximo de intervalos compatíveis C.
1 C := ∅
2 while S = ∅ do
3 Seja [c, f] ∈ S com f mínimo
4 C := C ∪ [c, f]
5 S := S \ {i ∈ S | i ∩ [c, f] = ∅}
6 end while
7 return C
Seja C = ([c1, f1], . . . , [cn, fn]) o resultado do algoritmo Seqüenciamento
de intervalos e O = ([c ′ 1, f ′ 1], . . . , [c ′ m, f ′ m]) seqüenciamento máximo, ambos
em ordem crescente.
Proposição 4.2
Para todo 1 ≤ i ≤ n temos fi ≤ f ′ i .
Prova. Como O é ótimo, temos n ≤ m. Prova por indução. Base: Como o
algoritmo guloso escolhe o intervalo cujo terminação é mínima, temos f1 ≤ f ′ 1.
Passo: Seja fi ≤ f ′ i com i < n. O algoritmo guloso vai escolher entre os intervalos
que começam depois fi o com terminação mínima. O próximo intervalo
] do seqüenciamento ótimo está entre eles, porque ele começa depois
[c ′ i+1 , m′ i+1
f ′ i e f ′ i ≥ fi. Portanto, o próximo intervalo escolhido pelo algoritmo guloso
termina antes de f ′ i+1 , i.e. fi+1 ≤ f ′ i+1 .
Proposição 4.3
O seqüenciamento do algoritmo guloso é ótimo.
Prova. Suponha que o algoritmo guloso retorna menos intervalos C que um
seqüenciamento ótimo O. Pela proposição 4.2, o último (n-ésimo) intervalo do
C termina antes do último intervalo de O. Como O tem mais intervalos, existe
mais um intervalo que poderia ser adicionado ao conjunto C pelo algoritmo
guloso, uma contradição com o fato, que o algoritmo somente termina se não
sobram intervalos compatíveis.
86