Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

4. Algoritmos gulosos
Aplicações
• Redes elétricas
• Sistemas de estradas
• Pipelines
• Caixeiro viajante
• Linhas telefônicas alugadas
Resolver AEM
• O número de árvores espalhadas pode ser exponencial.
• Como achar uma solução ótima?
• Observação importante
Lema 4.2 (Corte)
Considere um corte V = S ∪ V \ S (com S = ∅, V \ S = ∅). O arco
mínimo entre S e V \ S faz parte de qualquer AEM.
Prova. Na prova vamos supor, que todos pesos são diferentes.
Suponha um corte S tal que o arco mínimo e = {u, v} entre S e V \ S não faz
parte de um AEM T . Em T existe um caminho de u para v que contém ao
menos um arco e ′ que cruza o corte. Nossa afirmação: Podemos substituir e ′
com e, em contradição com a minimalidade do T .
Prova da afirmação: Se substituirmos e ′ por e obtemos um grafo T ′ . Como e
é mínimo, ele custa menos. O novo grafo é conexo, porque para cada par de
nós ou temos um caminho já em T que não faz uso de e ′ ou podemos obter, a
partir de um caminho em T que usa e ′ um novo caminho que usa um desvio
sobre e. Isso sempre é possível, porque há um caminho entre u e v sem e, com
dois sub-caminhos de u para u ′ e de v ′ para v, ambos sem usar e ′ . O novo
grafo também é uma árvore, porque ele não contém um ciclo. O único ciclo
possível é o caminho entre u e v em T com o arco e, porque T é uma árvore.
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