Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

4. Algoritmos gulosos
A abordagem gulosa
1 for i:=1, . . . , n do
2 ci := ⌊s/vi⌋
3 s := s − civi
4 end for
Exemplo
Exemplo 4.1
Com v1 = 500, v2 = 100, v3 = 25, v4 = 10, v5 = 1 e s = 3.14, obtemos
c1 = 0, c2 = 3, c3 = 0, c4 = 1, c5 = 4.
Com v1 = 300, v2 = 157, v3 = 1, obtemos v1 = 1, v2 = 0, v3 = 14.
No segundo exemplo, existe uma solução melhor: v1 = 0, v2 = 2, v3 = 0.
No primeiro exemplo, parece que a abordagem gulosa acha a melhor solução.
Qual a diferença? ♦
Uma condição simples é que todos valores maiores são múltiplos inteiros dos
menores; essa condição não é necessária, porque o algoritmo guloso também
acha soluções para outros sistemas de moedas, por exemplo no primeiro sistema
do exemplo acima.
Lema 4.1
A solução do algoritmo guloso é a única que satisfaz
i∈[m,n]
civi < vm−1
para m ∈ [2, n]. (Ela é chamada a solução canônica.)
Proposição 4.1
Se vi+1|vi para 1 ≤ i < n a solução gulosa é mínima.
Prova. Sejam os divisores vi = fivi+1 com fi ≥ 2 para 1 ≤ i < n e define
fn = vn = 1. Logo cada valor tem a representação vi = fifi+1fi+2 · · · fn.
Seja c1, . . . , cn uma solução mínima. A contribuição de cada valor satisfaz
civi < vi−1 senão seria possível de substituir fi−1 unidades de vi para uma
de vi−1, uma contradição com a minimalidade da solução (observe que isso
somente é possível porque os fi são números inteiros; senão o resto depois da
substituição pode ser fracional e tem quer ser distribuído pelos valores menores
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