Algoritmos e complexidade Notas de aula - Arquivo Escolar

2. Análise de complexidade
função potencial ϕ(n) = 2Cp − Dn. A função ϕ é satisfaz os critérios de um
potencial, porque p ≥ n/2, e inicialmente temos ϕ(0) = 0. Com isso o custo
amortizado caso tem espaço na tabela é
ai = ci − ϕ(i − 1) + ϕ(i)
= D − (2C(p − 1) − Dn) + (2Cp − Dn) = C + 2C = O(1).
Caso temos que alocar uma nova tabela o custo é
ai = ci − ϕ(i − 1) + ϕ(i) = D + Cn − (2C(p − 1) − Dn) + (2Cp − 2Dn)
= C + Dn + 2C − Dn = O(1).
2.5. Notas
O algoritmo 2.9 para multiplicação de matrizes não é o melhor possível: Temos
o algoritmo de Strassen que precisa somente n log 2 7 ≈ n 2.807 multiplicações
(o algoritmo está detalhado no capítulo 6.3) e o algoritmo de Coppersmith-
Winograd com n 2.376 multiplicações [14]. Ambas são pouco usadas na prática
porque o desempenho real é melhor somente para n grande (no caso de Strassen
n ≈ 700; no caso de Coppersmith-Winograd o algoritmo não é praticável).
A conjetura atual é que existe um algoritmo (ótimo) de O(n 2 ).
2.6. Exercícios
(Soluções a partir da página 312.)
Exercício 2.1
Qual a complexidade pessimista dos seguintes algoritmos?
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Algoritmo 2.14 (Alg1)
Entrada Um problema de tamanho n.
1 for i := 1 . . . n do
2 for j := 1 . . . 2 i
3 operações c o n s t a n t e s
4 j := j + 1 // i t e r a ç õ e s com v a l o r e s ímpares de j
5 end for
6 end for
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